Линейные преобразования

308833473
1
Линейные преобразования
Пусть дано п-мерное действительное пространство Vп. Рассмотрим
преобразование этого пространства, то есть отображение, переводящее каждый
вектор а пространства Vп в некоторый вектор а этого же пространства. Вектор
абудем называть образом вектора а при рассматриваемом преобразовании.
Обозначив преобразование через , образ вектора а будем обозначать а, то
есть
а = а
Преобразование 
линейного пространства Vп называется линейным
преобразованием этого пространства, если оно переводит сумму любых векторов
а и b в сумму образов этих векторов
(а + b)  = а + b,
(1)
а произведение любого вектора а на любое число  переводит в произведение
образа вектора а на это же число 
( а)  =  (а ).
(2)
Из этого определения следует, что линейное преобразование линейного
пространства переводит любую линейную комбинацию данных векторов
a1,a2,…,aп в линейную комбинацию образов этих векторов с теми же
коэффициентами
(1а1 + 2а2 +  + пап)  = 1(а1 ) + 2(а2) ++ п(ап  )
(3)
При любом линейном преобразовании  линейного пространства Vп
нулевой вектор 0 остаётся неподвижным:
0 = 0,
а образом вектора, противоположного данному вектору а, является вектор,
противоположный образу вектора а:
(–a)  = – a 
Доказательство. Если а – произвольный вектор, то из (2) следует:
0  = (0а)  = 0(а ) = 0
308833473
2
Кроме того,
(–а)  = ((–1)а)  = –1 (а ) = – (а )
Примерами линейных преобразований могут служить тождественное
преобразование , ставящее всякий вектор в соответствие самому себе: а  = а, и
нулевое преобразование, отображающее каждый вектор а в нуль: а  = 0.
Пусть
е1,е2,…, еп,
(4)
– базис линейного пространства Vп. Будем обозначать еТ = (е1,е2,…, еп). Так как
всякий вектор а пространства Vп
однозначно выражается в виде линейной
комбинации векторов базиса (4), то по свойству (3) образ вектора а с теми же
коэффициентами выражается через образы векторов (4). Иными словами, всякое
линейное преобразование  пространства Vп однозначно определяется
заданием образов е1 ,е2 ,…, еп  всех векторов базиса (4).
Для любой упорядоченной системы из п векторов
с1,с2,…, сп
пространства
Vп
существует,
причём
(5)
единственное,
такое
линейное
преобразование  этого пространства, что (5) является системой образов векторов
базиса (4) при этом преобразовании
ei = ci, i = 1,2,…,n.
(6)
Единственность преобразования  только что доказана, и нужно доказать
лишь его существование. Определим преобразование  так: если а –
произвольный вектор пространства и его запись в базисе (4) имеет вид
n
a   i ei ,
i 1
то положим
a 
n
 i ci
i 1
(7)
308833473
3
Для доказательства линейности этого преобразования положим, что некоторый
другой вектор пространства имеет представление
n
b    i ei
i 1
Тогда
n
 n



a  b     i   i ei     i   i ci 
i 1
 i 1

n
  i ci 
i 1
n
  i ci  a  b
i 1
Далее, если  – любое число, то
 n

n
n
 i 1

i 1
i 1
γa     γα i ei    γα i ci  γ  αi ci   a 
Справедливость равенства (6) следует из того, что в выражении вектора еi через
вектора базиса (4) лишь коэффициент i равен единице, а остальные
коэффициенты равны нулю.
Таким образом установлено взаимно однозначное соответствие между
всеми линейными преобразованиями линейного пространства Vп и всеми
упорядоченными системами (5) из п векторов этого пространства.
Всякий вектор сi обладает определённой записью в базисе (4)
ci 
n
 ij eij ,
i  1,2, ,n
(8)
j 1
Из координат векторов сi можно составить квадратную матрицу
А = (ij)
(9)
беря в качестве i-й строки строку координат вектора сi , i = 1,2,…,п. Так как
система (5) была !!!! , то матрица А будет произвольной квадратной матрицей пго порядка с действительными элементами.
308833473
4
Таким образом, имеет место взаимно однозначное соответствие между
всеми линейными преобразованиями пространства Vп и всеми квадратными
матрицами порядка п; это соответствие, конечно, зависит от выбора базиса (4).
Будем говорить, что матрица А задаёт линейное преобразование  в базисе
(4), или что А является матрицей линейного преобразования  в базисе (4). Если
через е обозначить столбец, составленный из образов векторов базиса (4), то из
(6), (7) и (8) следует матричное равенство, полностью описывающее связи ,
существующие между линейным преобразованием Vп, базисом е и матрицей А,
задающей это линейное преобразование в этом базисе
е = Ае
Зная матрицу А линейного преобразования 
(10)
в базисе (4), можно по
координатам вектора а в этом базисе найти координаты его образа а. Если
n
a   i ei ,
i 1
то
n
a   i ei  ,
i 1
что равносильно матричному равенству
a  1 , 2 , , n e  .
Используя (10), получаем
a  1 , 2 , , n A e
Отсюда следует, что строка координат вектора а равна строке координат вектора
а, умноженной справа на матрицу А линейного преобразования , все в базисе (4).
Связь между матрицами линейного преобразования в разных
базисах.
Матрица, задающая линейное преобразование, зависит от выбора базиса.
Установим связь между матрицами, задающими в разных базисах одно и то же
линейное преобразование.
308833473
5
Пусть даны базисы е и е с матрицей перехода Т
е = Те
(11)
и пусть линейное преобразование  задаётся в этих базисах соответственно
матрицами А и А
е  = Ае,
е = Ае
(12)
Тогда
(Те) = А(Те)
Пусть (i 1, i 2,…, i п) – i-я строка матрицы Т. Тогда
(i 1е1 +  i 2 е2 +…+ i п е п)  = i 1(е1) +  i 2 (е2 )+…+ i п( е п )
и
(Те) = Т(е )
Таким образом,
(Те) = Т(е ) = Т (Ае) = (ТА)е,
А( Те) = (А Т)е
Таким образом,
(ТА)е = (А Т)е
Если хотя бы для одного i, i = 1,2,…,n i-я строка матрицы ТА будет отличаться от
i-й строки матрицы А Т,
то две различные линейные комбинации векторов
е1,е2,…, еп окажутся равными друг другу, что противоречит линейной
независимости базиса е. Таким образом,
ТА = А Т,
откуда следует, ввиду невырожденности матрицы перехода Т
А = ТАТ–1, А = Т–1АТ
(13)
Будем называть матрицы В и С подобными, если они связаны равенством
С = Q–1BQ,
где Q – невырожденная матрица, и будем говорить, что матрица С получена из
матрицы В трансформированием матрицы Q.
Доказанные выше равенства можно сформулировать в виде теоремы:
308833473
6
Матрицы, задающие одно и то же линейное преобразование в разных
базисах, подобны между собой. При этом матрица линейного преобразования

в
базисе
е
получается
трансформированием
матрицы
этого
преобразования в базисе е матрицей перехода от базиса е к базису е.
Если матрица А задаёт линейное преобразование  в базисе е, то любая
матрица В, подобная матрице А,
В = Q–1АQ,
также задаёт преобразование  в некотором базисе, а именно в базисе,
получающемся из базиса е при помощи матрицы перехода Q–1.
Операции над линейными преобразованиями.
Сопоставляя каждому линейному преобразованию пространства Vп его
матрицу в фиксированном базисе, получаем взаимно однозначное соответствие
между всеми линейными преобразованиями и всеми квадратными матрицами
порядка п. Естественно ожидать, что операциям сложения и умножения матриц, а
также умножения матрицы на число, будут соответствовать аналогичные
операции над линейными преобразованиями.
Пусть в пространстве Vп даны линейные преобразования  и ,
определяемые равенством
а( + ) = а + а
(14)
Оно переводит, следовательно, любой вектор а в сумму его образов при
преобразованиях  и .
Преобразование ( + ) является линейным. Если а и с – произвольные
векторы, а  – любое число, то
(а + с)( + ) = (а + с) + (а + с) = а + с + а + с = = а( + ) + с( + )
(a) ( + ) = (a) +(a)  =  (a) +  (a) = (a + a) = (a( + ))
Назовём произведением линейных преобразований  и  преобразование
, определяемое равенством
а() = (а )
(15)
308833473
то
есть
7
получающееся
в
результате
последовательного
применения
преобразований  и .
Преобразование  является линейным:
(а + с)( ) = ((а + с))  = (а + с) = (а) + (с) = а() + с()
(а) ( ) = ((а) ) = ((а )) = ((а )) = (а())
Назовём произведением линейного преобразования  на число 
преобразование , определяемое равенством
а() = (а)
(16)
Образы при преобразовании  всех векторов умножаются на число .
Преобразование  является линейным:
(а + с)( ) = ((а + с)) = (а + с) = (а) + (с) = а() + с ()
(а) () = ((а ) ) = ((а)) = (а( ))
Пусть в базисе е1,е2,…, еп преобразования  и  задаются соответственно
матрицами А = (ij) и В = (ij)
е = А е, е = В е
Тогда, ввиду (14),
е i( + ) = еi + еi =
n
  ij e j 
j 1
n
 ij e j 
j 1
  ij  ij e j ,
n
j 1
то есть,
е( + ) = (А + В)е
Таким образом, матрица суммы линейных преобразований в любом базисе равна
сумме матриц этих преобразований в том же базисе.
Далее, ввиду (15),
n
n
n  n
 n


 n






ei ψ   ei ψ    ij e j     ij e j     ij   jk ek     ij  jk ek






j 1
i 1  k 1
 k 1  j 1
 j 1


то есть
 
е( ) = (АВ)е
308833473
8
Иными словами, матрица произведения линейных преобразований в любом
базисе равна произведению матриц этих преобразований в том же базисе.
Наконец, ввиду (16),
n
ei   ei      ij e j 
j 1
  ij e j ,
n
j 1
то есть,
е()=(А) 
Следовательно, матрица, задающая в некотором базисе произведение линейного
преобразования

на
число
,
равна
произведению
матрицы
самого
преобразования  в этом базисе на число .
Из полученных результатов следует, что операции над линейными
преобразованиями обладают теми же свойствами, что и операции над матрицами.
Так, сложение линейных преобразований коммутативно и ассоциативно, а
умножение ассоциативно, но при п > 1 не коммутативно. Для линейных
преобразований
существует
однозначное
вычитание.
Тождественное
преобразование играет среди линейных преобразований роль единицы, а нулевое
преобразование – роль нуля. Действительно, в любом базисе тождественное
преобразование задаётся единичной матрицей, а нулевое преобразование –
нулевой матрицей.