5,6

Международный конкурс по математике 11 класс «Числа, сотворившие чудеса»
Рекомендуемое время выполнения заданий – 120 мин.
1. (3 балла) Существуют так называемые «совершенные» числа – натуральные
числа, равные сумме всех своих собственных различных делителей. Например,
число 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма равна 6.
Выберите числа, которые также являются «совершенными»
а) 28 б) 32 в) 496 г) 500 д) 8128 е) 8200
2. (3 балла) Подлинность купюры евро можно проверить по её серийному
номеру, состоящему из буквы и одиннадцати цифр. Нужно заменить букву на
её порядковый номер в латинском алфавите, сложить это число с остальными,
затем складывать цифры результата, пока не получим одну цифру. Если эта
цифра — 8, то купюра подлинная. Кстати, в долларе также зашифровано число
8. Если посчитать нумерологический код, то dollar = 8, а это самое денежное
число: символ силы, мощи и энергии предпринимательства. Еще восьмерка
символизирует
бесконечность,
способность
к
самовоспроизведению.
Определите, какая из представленных купюр подлинная. Буква S в латинском
алфавите имеет порядковый номер 19.
а)
б)
3. (3 балла) Пятница 13-ое не везде считается самым несчастливым днём
календаря. В Греции и испаноязычных странах традиционно боятся
выпадающего на 13-ое число вторника. А в Италии — пятницы, но другого
числа, ведь этого числа итальянцы опасаются гораздо больше, чем 13.
Возможное объяснение этому кроется ещё в могилах древних римлян, на
которых были нередки надписи, перевод которых означает «Я жил» или «Моя
жизнь кончена». Запишите число, которого боятся итальянцы, если оно
является значением производной функции f ( x)  x 2  5x в точке x  6 . Ответ
запишите без пробелов и каких-либо знаков препинания. Например, 9
Ответ:___________________________________
1
4. (4 балла) Английский математик Абрахам де Муавр в престарелом возрасте
однажды обнаружил, что продолжительность его сна растет на 15 минут в день.
Составив арифметическую прогрессию, он точно определил дату своей смерти
– 27 ноября 1754 года. Сколько часов по его подсчетам должен был составить
его сон в этот день, если это число является наибольшим числом третьего
десятка, которое можно получить из трех двоек и одного знака
арифметического действия. Ответ запишите без пробелов и каких-либо знаков
препинания. Например, 9
Ответ:______________________________________
 x 2  y 2  1346
5. (4 балла) Числа, составляющие решения системы уравнений 
,
 x  y  46
для многих подданных Английской Королевы означают, соответственно, "нет
денег" (наибольшее число) и "срок истек" (наименьшее число). Это произошло
от того что, если в лондонском автобусе вставить электронную карту оплаты,
то именно эти числа сообщат вам о нехватке денег или просрочке карты.
Привыкнув к таким монологам бездушной машины, владельцы сотовых
телефонов из столицы Великобритании стали использовать "автобусные"
значения этих чисел в своих SMS-сообщениях, считая это не только более
легким, но и более креативным способом общения. Запишите эти числа в
порядке возрастания, разделяя их одним пробелом. Например, 45 65
Ответ:_______________________________________
6. (4 балла) В Будапеште нет троллейбусов до (*) номера. Троллейбусы в
Будапеште появились в 1949 году, и первому троллейбусу дали номер (*).
Укажите число, которое надо поставить вместо (*). Это число еще
знаменательно тем, что во французском, грузинском и датском языках оно
произносится не так, как остальные числа, похожие на него. Это число
является наибольшим натуральным корнем неравенства x 2  71x  70  0 . Ответ
запишите без пробелов и каких-либо знаков препинания. Например, 9
Ответ:______________________________________
7. (4 балла) Решите ребус
2
И вы узнаете число, которому наравне с числом π поставлен памятник. Этот
памятник означает начало всех дорог в Венгрии. Года в таким номером
никогда не было в истории человечества. В некоторых странах это число
входит в ряд натуральных чисел. Про это число существует сказка Самуила
Яковлевича Маршака, про это же число напечатана книга Эмилия
Александрова и Владимира Лёвшина. В ответ запишите это интересное число
арабскими цифрами без пробелов и каких-либо знаков препинания. Например,
15
Ответ__________________________________________
8. (5 баллов) Интересные свойства числа (*) часто применяются в арифметике
как для теоретических изысканий и практических действий, так и для
составления различных занимательных задач или так называемых
«головоломок». Распространено также практическое применение этого числа
(*) для проверки умножения и деления. Основано оно на том свойстве всякого
числа, что остаток, получаемый от деления любого числа на (*), всегда равен
остатку от деления на (*) суммы цифр исходного числа. Еще нетрудно
убедиться, что если мы напишем произвольное двузначное число, а затем
напишем цифры этого же числа в обратном порядке и возьмем разность
полученных чисел, то эта разность всегда разделится на (*). Найдите число,
которое необходимо поставить вместо (*) если оно получается в результате
преобразования выражения:
36 sin 20 sin 50 sin 70
. Ответ запишите без пробелов
sin 80
и каких-либо знаков препинания. Например, 15
Ответ:______________________________________
9. (5 баллов) Найдите в таблице 6 слов, связанных с математикой. Вычеркните
их. Каждая буква может быть использована только один раз. Учтите, что слова
не могут располагаться по диагонали, но могут изгибаться как угодно.
3
Выпишите оставшиеся буквы и составьте слово. Это название
количественного числительного до 100, которое образуется не так, как другие.
Объясняется это тем, что в древности условной единицей торговли меховыми
шкурками была связка из такого числа штук, которое сегодня обозначается
этим числительным. Ткань, в которую заворачивались эти шкурки,
называлась именно этим числительным (от этого же корня происходит
название одежды). Ответ запишите словом, без каких-либо знаков препинания.
Например, шесть
М А
Т
Е
А
Л
Г
М М Е
Р
Р
Б
Е
А
А
О
Р
А
С О
Т
Р
А
Д
У
Р
К
И
С
У И
Ж Н О
К
О
К Н
Ь
А
Ь
Л О
Т
С
Т
Е О
Ответ:______________________________________
10. (5 баллов) Сумма корней уравнения x  3   x 2  4x  3 равняется числу,
которое на тайском языке произносится как «ха». Запишите число, которое
получится из фразы «Ха, ха, ха». Ответ запишите без пробелов и без каких-либо
знаков препинания. Например, 787
Ответ:______________________________________
Всего 40 баллов.
4