 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЮЗГУ- 2011
Кафедра высшей математики
Ряд U 1  U 2  U 3   

U
n
называется функциональным,
n 1
если члены его являются функциями от х, т.е. U n  U n (x) .
Совокупность значений Х, при которых функциональный
ряд
сходится,
называется
областью
сходимости
функционального ряда.
Сумма функционального ряда S  lim Sn ( x)  S ( x) .
n
Остаток функционального ряда Rn ( x)  S ( x)  Sn ( x) .
Для всех сходящихся в области Х рядов выполняется
условие: lim Rn ( x)  0 при всех x  X .
n
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Степенным рядом называется функциональный ряд вида


n
2
a n ( x  a)  a 0  a1 ( x  a)  a 2 ( x  a)   ,
(1)
n 0
где a n (n  0,1,2,3, ) - постоянные числа, называемые
коэффициентами степенного ряда; a - фиксированная точка
на числовой оси.
При a = 0 степенной ряд имеет вид

 an xn  a0  a1x  a2 x2    an xn  
n 1
Если при  x   R , R  ряд (2) сходится, а при
 x   R , R  расходится, то интервал  R, R 
(2)
R  lim
n 
an  1
или
R  lim
n  n
1
an
Замечание
4.
Степенной
ряд
можно
почленно
интегрировать (дифференцировать) в любой точке
интервала сходимости, причем после интегрирования
(дифференцирования) получаем степенной ряд с тем же
интервалом сходимости.
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Если функция f x  бесконечно дифференцируема в
некотором интервале, содержащем точку x  a , то
разложение функции в ряд
f x   f a  
n

f a 
x  a   f a  x  a 2    f a  x  a n   н
1!
2!
n!
азывается рядом Тейлора только тогда,
рассматриваемом интервале lim Rn ( x)  0 .
.
Замечание 1. Возможны случаи, когда R  0 или R   .
Замечание 2. Интервалом сходимости степенного ряда (1)
является интервал a  R; a  R  .
Замечание 3. Для определения области сходимости степенного ряда необходимо исследовать сходимость данного
ряда на концах интервала сходимости.
когда
в
f 0
f 0 2
f n  0 n
f x   f 0 
x
x 
x 
1!
2!
n!
Основные разложения
1  x m
ex  1 
 1  mx 



m ( m  1) 2
m m 1 m  2 3
x 
x  ,
2!
3!
2
3
n
x x
x
x



 ,
1! 2 ! 3 !
n!
x x3 x5
x2 n 1
sin x  

    1n
 ,
2n  1!
1! 3 ! 5 !
cos x  1 
x2 x 4 x 6
x2 n


    1n
 ,
2n !
2! 4!
6
arcsin x  x 
arctg x  x 
sh x  x 
ch x  1 
1 x3 1  3 x5 1  3  5 x 7


 ,
2 3
24 5
246 7
x3 x5
x 2n 1

    1n
 ...,
3
5
2n  1
x3 x5 x 7
x2 n 1



 ,
2n  1!
3! 5! 7!
2
4
x 1
6
xR
x  ( 1;1 ]
xR
xR
f x  =
xR
2n
x
x
x
x



 ,
2n !
2! 4! 6!
xR

a0
a n cos nx  bn sin nx ,

2 n 1

(3)
где коэффициенты Фурье a 0 , a n , bn n  1,2, 
a0 
определяются по формулам:
an 
1



f x   cos nx dx ;
bn 

 f x  dx ;

1


1


 f x  sin nx dx

Неполные ряды Фурье
Если функция f x  - четная, то коэффициенты ряда (3):
bn  0 n  1,2, , a n 
2


 f x  cos nx dx
(n = 0,1,2,...)
0
Если функция f x  - нечетная, то коэффициенты ряда (3):
a n  0 n  0,1,2, , bn 
2


 f x  sin nx dx
(n = 1,2,..)
0
Ряды Фурье периода 2
Если функция f x  , удовлетворяет условиям Дирихле в
интервале (-ℓ;ℓ) длины 2ℓ, то в точках непрерывности
функции, принадлежащих этому интервалу, справедливо
разложение
f x  =
x [1;1]
x [1;1]
.
РЯДЫ ФУРЬЕ
Теорема Дирихле. Функция f x  , удовлетворяющая в
интервале (-π;π) условиям Дирихле (т.е. функция
равномерно ограничена, имеет не более чем конечное число
точек разрыва 1 рода и точек строгого экстремума) во
всякой точке х этого интервала, в которой f x  непрерывна,
разлагается в тригонометрический ряд Фурье
n
Разложение функции в ряд Маклоренa (при a  0 )
x2 x3
xn
ln 1  x   x 

    1n 1
 ,
2
3
n
называется интервалом сходимости степенного ряда (2).
Число R
называют радиусом сходимости степенного ряда (2).
Определение радиуса сходимости степенного ряда:
an
© Каф.ВМ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
где

a0
n x
n x 


 bn sin
 a n cos
,
2 n 1 

 

1
an 

bn 
1


 f x   cos
n x
dx

(n = 0,1,2,…),

n x
dx

(n = 1,2,…).

 f x sin
