Министерство образования Российской Федерации Автор- учитель математики высшей квалификационной категории МОУ СОШ №5 Вдовина Надежда Владимировна ИСКИТИМ 2009 Пояснительная записка Спецкурс, требует от учителя очень хорошего знания элементарной математики и четких представлений об основах высшей математики. При умелом подходе курс дает широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе решается и разбирается и учителем, и учащимися большое число сложных задач, многие из которых понадобятся как при учебе в высшей школе, так и при подготовке к различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ. При желании учитель может по-разному расставить акценты в процессе ведения данного курса. Можно, к примеру, сделать крен в сторону «абитуриентской» математики. Этому способствует набор тем, рассматриваемых в процессе изучения курса. Особенно такой темы, как алгебраические задачи с параметрами, в ходе изучения которой с учащимися будут разобраны такие важные вопросы, как: рациональные задачи с параметрами, иррациональные задачи с параметрами, параметры и модули, критические значения параметра, метод интервалов в неравенствах с параметрами, замена переменной в задачах с параметрами, метод разложения на множители в задачах с параметрами, решения задач с помощью «разрешения относительно параметра», метод координат (или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами, метод областей в рациональных и иррациональных неравенствах с параметрами, применение производной при анализе и решении задач с параметрами, выписывание и «собирание» ответа в задачах с параметрами. Курс, с одной стороны, поддерживает изучение основного курса математики, направлен на систематизацию знаний, в том числе и методов обоснований (методов решения задач), реализацию внутрипредметных связей, способствует лучшему освоению базового курса математики, а с другой — служит для внутрипрофильной дифференциации и построения индивидуального образовательного пути, для раскрытия основных закономерностей построения математической теории, направлен на рассмотрение фундаментальных понятий математики (действительное число и др.), способов конструирования локальных математических теорий, самостоятельной деятельности по построению микроисследований. Как один из результатов его освоения может быть осознанный выбор других элективных математических курсов, а также профессиональной деятельности в области теоретической или прикладной математики. Объем аудиторных часов — 70 (по одному часу в неделю). Курс целесообразно изучать в 10 -11 классе. Он предназначен для реализации в рамках информационно-математического профиля. Часть его материалов может быть включена в базовый курс математики либо реализована в рамках предпрофильной подготовки. Содержание курса В скобках после наименования темы указано ориентировочное время на ее изучение ТЕМА 1. МНОГОЧЛЕНЫ И ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (12 ч.) Представление о целых рациональных алгебраических выражениях. Степень многочлена. Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком. Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни. Общая теорема Виета. Элементы коминаторки: перестановки, сочетания, размещения, повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля. перестановки с Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета. Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена. Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены. Линейная замена, основанная на симметрии. Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами. ТЕМА 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА (10 ч.) Представление о рациональных возвратные многочлены и уравнения. алгебраических выражениях. Симметрические и Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения. Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений. Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем. Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств. Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств. Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей. ТЕМА 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (15 ч) Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными. Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. переменной. Равносильные линейные преобразования систем. Однородные системы уравнений с двумя переменными. Метод исключения Замена переменных в системах уравнений. Симметрические системы с двумя переменными. Метод разложения при решении систем уравнений. Сведение уравнений к системам. ТЕМА 4 . ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ (10 ч.) Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятия арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения. Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями. Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки. Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами. Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам. Освобождение от кубических радикалов. Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений. Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем). «Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем. Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств. Замена при решении иррациональных неравенств. Использование монотонности и оценок при решении неравенств. Уравнения с модулями. Раскрытие модулей — стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей. Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах. Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»). Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы. Смешанные системы с двумя переменными. ТЕМА 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ (12 ч.) Что такое задача с параметрами. Аналитический подход. Выписывание ответа (описание множеств решений) в задачах с параметрами. Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов. Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов. Задачи с модулями и параметром. Критические значения параметра. Метод интервалов в неравенствах с параметрами. Замена в задачах с параметрами. Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения относительно параметра. Системы с параметрами. Метод координат в задачах с параметрами. Идея метода. Задачи с модулями и параметрами. Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход. Метод координат. Применение производной при анализе и решении задач с параметрами. Тематическое планирование №п/п Тема Число часов 10 класс МНОГОЧЛЕНЫ И ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (12 ч.) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Представление о целых рациональных алгебраических 1 выражениях Степень многочлена. Делимость и деление многочленов с 1 остатком. Алгоритмы деления с остатком. Теорема Безу. Корни многочленов. 1 Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о 1 числе корней многочленов Перестановки 1 Сочетания 1 Размещения 1 Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля. 1 Квадратный трехчлен 1 Кубические многочлены 1 Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения 1 Метод неопределенных коэффициентов 1 РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА (10 ч.) Представление о рациональных алгебраических выражениях. 1 Симметрические и возвратные многочлены и уравнения. Симметрические и возвратные многочлены и уравнения. 1 15 16 17 18 19 20 21 22 Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения. Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений. Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем. Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств. Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств. Метод замены при решении неравенств. Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей. РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (14 ч) 1 1 1 1 1 1 1 1 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Уравнения с несколькими переменными. 1 Рациональные уравнения с двумя переменными. 2 Однородные уравнения с двумя переменными. 2 Замена переменных в системах уравнений. 2 Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными. 2 Метод разложения при решении систем уравнений. 1 Сведение уравнений к системам. 2 Системы с тремя переменными. Основные методы 1 Системы Виета с тремя переменными. 1 11 класс ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ( 22 ч.) 32 33 Иррациональные алгебраические выражения и уравнения Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями. Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам. Иррациональные алгебраические неравенства Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем). 34 35 36 37 39 40 41 42 43 44 45 46 1 3 4 4 3 Дробно-иррациональные неравенства. Сведение к совокупностям 3 систем. Уравнения с модулями 4 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ (12 ч.) Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов. Применение производной при анализе и решении задач с параметрами. Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов. Задачи с модулями и параметром. Критические значения параметра. Метод интервалов в неравенствах с параметрами. Замена в задачах с параметрами. Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения относительно параметра. Системы с параметрами 1 1 1 1 1 1 1 47 48 Метод координат Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических уравнений с параметрами. Уединение параметра и метод «Оха» Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических неравенств и систем неравенств с параметрами Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход. Метод координат Применение производной при анализе и решении задач с параметрами 49 50 51 1 1 1 1 1 Рекомендуемая литература Вавилов В.В. Задачи по математике Говоров В.М. Сборник конкурсных задач по математике .М.: «Наука» 1986 Жафяров А.Ж. Профильное обучение математике старшеклассников.- Новосибирск: Сибирское университетское издательство. 2003 Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решения М.:Аркти 2001 Локоть В.В.Задачи с параметрами и их решения М.:Аркти 2002 Матвиевская Г.П. Рене Декарт: Книга для учащихся. — М.: Просвещение, 1987. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1995. Сканави М.И. Сборник задач по математике. М.: Высшая школа .1969 Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10-11 М.: Просвещение 1991 Образовательный комплекс «Алгебраические задачи с параметрами» Этот комплекс включает в себя уроки по следующим разделам: Элементарные функции в уравнениях с параметрами Решение неравенств с параметрами Некоторые особые приёмы решения задач с параметрами К каждому уроку прилагаются цифровые ресурсы следующих типов Теоретический слайд Динамическая модель Мультимедиа демонстрации Разборы примеров Пошаговые тренажёры Упражнения Задачи для самопроверки Контрольные задания