модели исследования движения

2-1
2 часть
МОДЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ
2.1. Модель материальной точки
Исследуя движение реального объекта, его можно заменить моделью
материальной точки, если:
1) Размеры реального объекта во много раз меньше его перемещений;
2) Нас не интересует вращение реального объекта.
y
m
Траектория
Trajektorija
y
x
Единственный
параметр реального
объекта – масса m.
z
z
x
Рис.2.1.
Положение точки в пространстве определяют три координаты.
Положение и движение материальной точки (модели) определяют три
компоненты перемещения ux, uy и uz. Соответственно этим трем
перемещениям надо использовать три дифференциальных уравнения
движенния (второй закон Ньютона):
d 2u x
m 2   Fxk ;
k
dt
d 2u y
m 2   Fyk
k
dt
d 2u z
m 2   Fzk ;
k
dt
k=1,2,3,....n
(2-1)
Для реального обьекта может быть два типа задач:
a) Известны силы  определить как движется объект;
b) Известно как двигается объект  определить силы, вызвавшие
движение.
2-2
2.1.1. Определение движения. Начальные условия
Проинтегрировав один раз дифференциальные уравнения (2-1), получаем
функции скорости vx(t), vy(t), vz(t). Каждая из этих функций содержит одну
константу интегрирования. Их можно определить только используя
информацию об известной скорости реального объекта в некоторый момент
времени t0. Обычно за t0 принимается начало движения (но необязательно) и
скорости тогда vx(t0), vy(t0), vz(t0), поэтому их обычно называют начальными
условиями.
Проинтегрировав второй раз дифференциальные уравнения (2-1),
получаем функции перемещения ux(t), uy(t), uz(t). Появляются еще три
константы интегрирования. Их можно определить только используя
информацию об известных перемещениях реального объекта в некоторый
момент времени t0. Обычно за t0 принимается начало движения (но
необязательно) и перемещения тогда ux(t0), uy(t0), uz(t0).
Вывод
Для определения движения реального объекта при известных силах
кроме дифференциальных уравнений (2-1) также необходимы начальные
условия
vx(t0), vy(t0), vz(t0)
(2-2)
ux(t0), uy(t0), uz(t0).
2.2. Модель твердого тела
2.2.1. Степени свободы твердого тела
Если необходимо определить не только то, как перемещается реальный
объект, но и как он поворачивается, тогда нас не удовлетворяет модель
материальной точки. Ее необходимо дополнить уравнениями, которые
определяют как тело поворачивается вокруг каждой из осей.
Во-первых, выясним как можно однозначно определить положение
твердого тела в пространстве. В модели твердого тела в отличии от модели
материальной точки используются все размеры реального объекта. Модель
твердого тела используется тогда, когда можно не учитывать деформации
реального объекта. Это те случаи когда мы исследуем движение реального
объекта и соответствующие движению перемещения несравнимо больше той
части перемещений, которые вызывают деформации реального объекта.
2-3
На рис.2.2. в левом нижнем углу изображено тело, одна грань которого
AB. Двигаясь, это тело попадает в верхний правый угол рис.2.2 в
соответствующем положении. Это новое положение мы можем однозначно
определить при помощи:

1) трех проекций перемещения u A одной точки тела (напр. A рис.2.2.)
(как в модели материальной точки)
ux(t), uy(t), uz(t);
2)и трех углов x ,y,z, которые определяют как тело поворачивается
вокруг осей x, y, z. Вспомним, что в математике за положительное направление
вращения принимается движение против часовой стрелки.
1
B
1
A
y
x
uA
A
1
B
A
B x
z
B
y
z
Рис.2.2.
Вывод
1) У тела есть 6 независимых степеней свободы
ux(t), uy(t), uz(t),
x(t) , (t)y, (t)z;
2) Для определения движения твердого тела необходимо 6
уравнений движения
2-4
2.2.2. Уравнения движения модели твердого тела
Второй закон Ньютона необходимо записать для каждой из шести
степеней свободы.
1) Три уравнения (2-1) для определения перемещений остаются такими
же как в модели материальной точки
mu i   Fik ;
i= x,y,z.
k
Уравнения (2-1) содержат одну характеристику массы – общую массу m,
которую можем определить суммируя (интегрируя) все бесконечно малые
частицы тела dm с объемом dv и плотностью  по всему объему тела V:
m   dm   dV ;
V
V
2) Для модели твердого тела еще необходимо записать второй закон Ньютона
для трех угловых перемещений Ii. Если перемещение тела вызвано силами
приложенными в направлении соответствующей оси
 Fi
k
, тогда поворот
k
вокруг определенной оси может вызвать только момент
 Mi
k
. Рассмотрим
k
(см.рис.2.3.) как преобразуются уравнения движения, если записываем момент
силы относительно оси z. Записываем
уравнение движения элемента массы
dm
ux
 x  dF .
dm u
dm
dF
Маленький элемент dm находится на
расстоянии r от оси. Чтобы получить
момент, две половины уравнения
умножаем на r:
Φz
 xr  dFr .
dmu
r
x
z
Рис.2.3.
Перемещение ux определяем как соответствующую длину дуги центрального
угла z
ux= rz.
Интегрируем по всему объему V
 xrdm   rdF ---- >  z  r 2 dm M z
u
V
V
V
2-5
 rz dm  J z
2
Интеграл
назывют моментом инерции массы. И это
V
характеристика распределения массы, которая не зависит ни от сил, ни от
параметров движения, т.е. это характеристика реального объекта.
Система уравнений движения твердого тела
При интегрировании добавить
6 начальных условий
d 2u x
m 2   Fxk ;
k
dt
d 2u y
m 2   Fyk ;
k
dt
2
d u
m 2z   Fzk
k
dt
2
d x
Jx
  M kx
2
x
dt
2
d y
k
Jy

M

y
y
dt 2
2
d z
Jz
  M kz
2
z
dt
u x (t o ), v x (t o )  u x (t o )
u y (t o ), v y (t o )  u y (t o )
u z (t o ), v z (t o )  u z (t o )
При интегрировании добавить
6 начальных условий
 x (t 0 ), x (t 0 )   x (t 0 )
 y (t 0 ), y (t 0 )   y (t 0 )
 z (t 0 ),  (t )   (t )
z
y
0
z
0
В сокращенном виде записываем
y
 i   Fik
mu
k
J i i   M ki
i
i=x,y,z
x
z
x
z
Рис.2.4.
k=1,2,...n
2-6
2.2.3. Уравнения равновесия. Реакции связей
В практическом применении системы уравнений твердого тела важен
частный случай движения – состояние покоя.
Тело находится в положении покоя, т.е. равновесия, если
u i  0;
 i  0;
(i=x,y,z).
Все 6 уравнений движения упрощаются и становятся уравнениями равновесия
0   Fik ;
0   M ki .
k
(2-3)
k
Тело может находится в положении покоя только тогда, когда другие тела не
позволяют ему перемещаться. Проще говоря, другие тела создают связи.
Соответствующие силы называют реакциями связи.
Рассмотрим мост (см.рис.2.5). Если ширина реки мала, тогда балку моста
можем опереть на два берега реки. Реальные нагрузки действуют только в
вертикальной плоскости. Для простоты примем, что есть только одна внешняя
приложенная сила (напр. грузовой автомобиль) F. Совместим плоскость
F
R
a
1
R
R
2
R
1
F
R
3
2

l
Рис.2.5.a
Рис.2.5b.
координатной системы x-y с балкой моста и плоскостью нагрузки. Реакции
связей появляются только в направлении того перемещения (и поворота), в
направлении которого внешние силы пытаются переместить (повернуть) тело.
Сила F пытается сдвинуть балку моста в направлении оси y и повернуть ее
вокруг оси z. Поэтому появляются две реакции связей R1 и R2, которые
удерживают тело в состоянии равновесия (см. рис.2.5a.). Из шести уравнений
равновесия только два (сумма проекций сил на ось y и сумма моментов
относительно оси z) содержит силовые связи.
y
0   Fxk ;
k
y
0
x
z
z
0   Fyk ;
x
k
 M xi
k
0   Fzik
k
; 0
R1  R 2  F
k
 M yi
k
k
;
0   M kz
k
R 2 l  F(l  a)  0
2-7
Остальные уравнения дают тождественное равенство нулю 0  0 . При
написании уравнений моментов принято, что начало системы координат
совмещено с левой опорой.
Если число неизвестных реакций связей равно количеству уравнений
движения, тогда говорят ''задача статически определима''. Однако в жизни
очень часто это не так. На рис. 2.5b показана та же самая модель моста. Только
река шире и балка моста не выдерживает нагрузку. Приходится ставить
промежуточную опору. Появляется еще одна реакция связи R3. Если
промежуточная опора находится на расстоянии b от левого берега, тогда
предыдущие уравнения равновесия дополнятся новыми членами от реакции R3 ,
но не будет новых уравнений
R1  R 2  R 3  F ;
R 2 l  F( l  a )  R 3 b  0 .
Из двух уравнений нельзя найти три неизвестных величины. Задача стала
''статически неопределимой''. Если количество неизвестных реакций балки
больше числа возможных уравнений равновесия, задача статически
неопределима.
2.2.4. Уравнения равновесия и движения
Реакции на тело могут быть наложены только в нескольких направлениях (как
на перемещения так и на повороты). Для этих направлений пишем уравнения
равновесия. В остальных направлениях тело может двигаться, и для них надо
записывать дифференциальные уравнения движения.
2.2.5. Модель твердого тела – первая часть инженерного расчета
Рассмотрим в качестве примера расчет на прочность топливного бака ракеты.
a  u
Fi  mu

Fi  mu

Рис.2.6a.
Рис.26b.
2-8
Во-первых, (см.рис.2.6a.) расчитаем параметры движения ракеты (траекторию,
ускорения и т.д.), используя модель твердого тела. Расчеты ведем в системе
координат, которая связана с землей, с местом запуска ракеты.
Вторую часть расчета уже ведем в системе координат, связанной с самой
ракетой (см.рис.2.6b.). Силу, которая пытается оторвать днище топливного бака,
получим, взяв из первой части расчета ускорение топливного бака
 .
F  mu
2.3. Реальный объект как система моделей
2.3.1. Система материальных точек
Если несколько реальных объектов действуют один на другой, тогда их
следует рассматривать не как отдельные модели, а как связанную систему
моделей. Как типичный пример модели системы материальных точек можно
упомянуть Солнечную систему.
Рис.2.7.
Если в системе связаны n тел, тогда для каждого из них необходимо записать
систему уравнений (2-1) и общую систему получим как сумму этих n систем.
Соответственно надо найти и n комплектов начальных условий.
2.3.2. Различные модели одного и того же реального объекта
Выбор модели зависит от того, что необходимо рассчитать для реального
объекта. Итак, к выбору модели реального объекта следует приступать только
после того как мы выяснили что хотим рассчитать.
2-9
Поясним на примере поезда.
ЗАДАЧА
ТИП МОДЕЛИ
Скорость
движения
поезда
Материальная
точка с одной
степенью свободы
Межвагонные
силы при
трогании
Система
материальных
точек, у каждой
одна степень
свободы
Колебания
вагонов,
возникающие
из-за
неровностей
пути
Вертикальные
и угловые
колебания
вагонов
Система
материальных
точек, у каждой
две степени
свободы
Определение
параметров
подвески
вагона для
создания
комфорта
пассажира
Каждый вагон –
по крайней мере
система трех
твердых тел
(кузов и две
тележки с
колесными
парами)
РИСУНОК МОДЕЛИ
^
Эшелон
Eselons
Система твердых
тел, у каждого три
степени свободы
z
y
x
z
z
y
y
x
x
2-10
Вопросы для проверки
1. Модель материальной точки и соответствующая ей система уравнений.
2. Начальные условия движения материальной точки.
3. Дайте свой пример реального объекта для определения параметров
движения которого подходит модель материальной точки. Составьте
систему уравнений и запишите начальные условия
a) если есть одна степень свободы,
b) если есть две степени свободы,
c) если есть три степени свободы.
4. Дайте свой пример определения сил, действующих на реальный объект для
случая, когда подходит модель материальной точки. Составьте уравнения и
запишите начальные условия
a) если есть одна степень свободы,
b) если есть две степени свободы,
c) если есть три степени свободы.
5. Что такое момент инерции массы тела и зачем он нужен?
6. Что такое степени свободы тела?
7. Что такое реакции связей?
8. Что такое уравнения равновесия?
9. Что такое статически неопределимая система?
10. Модель твердого тела и соответствующая ее система уравнений.
11. Начальные условия движения модели твердого тела.
12. Могут ли начальные условия быть заданы только
a) в перемещениях;
b) в скоростях?
13. Дайте свой пример реального объекта, где у твердого тела
a) одна реакция связи,
b) две реакции связей,
c) три реакции связей,
d) четыре реакции связей,
e) пять реакций связей,
f) шесть реакций связей.
14. Приведите свой пример случая когда реальный объект необходимо заменить
a) твердым телом с одной вращательной степенью свободы;
b) твердым телом с двумя вращательными степенями свободы;
c) твердым телом с тремя вращательными степенями свободы.
15. Когда реальный объект необходимо заменять моделью системы
материальных точек?
16. Дайте свой пример случая когда реальный объект необходимо заменять
моделью твердого тела с двумя степенями свободы и одним или несколькими
уравнениями равновесия.
17. Дайте свой пример случая когда реальный объект необходимо заменять
моделью системы твердых тел.