ЛЕКЦИЯ 3 3 Изгиб 3.1 Поперечная сила и изгибающий момент 3.1.1 Типы балок

ЛЕКЦИЯ 3
3 Изгиб
3.1 Поперечная сила и изгибающий момент
3.1.1 Типы балок
Стержень, на который действует нагрузка, перпендикулярная оси стержня, называется балкой. Рассмотрим некоторые простейшие примеры балок (рис.
3.1).
RA
RB
RA
q
RA
RB P 2
l
A
B A
a
b
а
P1
a
MA
B
A
b
б
в
Рис. 3.1 Типы балок
Будем предполагать, что в каждом из примеров балка имеет плоскость
симметрии, параллельную плоскости рисунка. Таким образом, имеет вертикальную ось симметрии. Также предполагается, что прикладываемая нагрузка
действует в плоскости симметрии, и, следовательно, изгиб происходит в этой
плоскости. Позже будет рассмотрен случай и несимметричного поперечного
сечения.
Балка на рис. 3.1 a с шарнирно-неподвижной опорой на одном конце и
шарнирно-подвижной опорой на другом конце называется шарнирно-опёртой
балкой. Характерной чертой шарнирно-опёртой балки является то, что оба конца балки во время изгиба могут свободно вращаться, но не могут перемещаться
в поперечном направлении (т.е. перпендикулярно оси балки). Один конец балки
может также перемещаться вдоль оси балки (т.е. горизонтально). В опорах
шарнирно-опёртой балки могут возникать вертикальные реакции.
Балка на рис. 3.1 б, которая на одном конце заделана или жёстко защемлена, называется консольной. В заделке балка не может ни вращаться, ни перемещаться поступательно, в то время как свободный конец балки может и перемещаться поступательно и вращаться. Третий пример на этом рисунке представляет балку со свисающей частью. Эта балка опёрта в точках А и В и имеет
свободный край в точке С.
Нагрузками, действующими на балку могут быть сосредоточенные силы,
такие как Р1 и Р2 на рис. 3.1 а и в, или распределённые, такие как нагрузка q на
рис. 3.1 б. Распределённые нагрузки характеризуются их интенсивностью, ко-
Безмельницин В.Т. Техническая механика. Лекция 3
2
торая выражается в единицах силы на единицу длины вдоль оси балки. На рис.
3.1 б интенсивность постоянна вдоль участка приложения нагрузки. В случае
переменной нагрузки она является функцией координаты вдоль оси балки.
Балки, изображённые на рис. 3.1, статически определимые, так как их реакции могут быть определены из уравнений равновесия. Например, в случае
шарнирно опёртой балки (рис. 3.1 а) обе реакции вертикальные и их величины
могут быть определены из уравнений равновесия по моментам относительно
опор:
A
 0  R Bl  P1a  0  R B 
P1a
,
l
B
 0  R A l  P1b  0  R A 
P1b
.
l
M
M
Реакции балки со свисающей частью (рис. 3.1 в) определяются аналогично.
В случае консольной балки (рис. 3.1 б) действие приложенной нагрузки q
уравновешивается вертикальной реакцией RA и моментом в заделке MA как показано на рисунке.
Приравнивая нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось, получаем:
R A  qb ,
а приравнивая нулю сумму моментов относительно точки А, получаем:
b

M A  qb a   .
2

Реактивный момент МА действует против часовой стрелки, как показано
на рисунке.
3.1.2 Результирующие напряжений в балке
Рассмотрим в качестве примера консольную балку, на свободном конце
которой действует сила Р под углом α к оси балки (рис. 3.2 а).
Безмельницин В.Т. Техническая механика. Лекция 3
Q
P
P
β
m
β
z
3
Q
M
M
N N
m
z
б
a
в
Рис. 3.2 Результирующие напряжения N, Q, M
Если провести сечение балки m-m плоскостью, перпендикулярной оси
балки, отбросить правую часть балки, действие отброшенной части балки заменить напряжениями, действующими в сечении, то оставшаяся левая часть балки
должна быть в равновесии под действием силы Р и напряжений. Распределение
напряжений в сечении неизвестно, но результирующие напряжений должны
уравновешивать силу Р (рис. 3.2 б). Очевидно, что в общем случае, чтобы уравновесить силу Р, в поперечном сечении должна действовать осевая сила N,
направленная по оси балки и уравновешивающая горизонтальную составляющую силы Р, поперечная или поперечная сила Q, действующая в плоскости поперечного сечения и уравновешивающая поперечную составляющую силы Р, и
изгибающий момент М, действующий в плоскости балки и уравновешивающий
момент силы Р относительно поперечного сечения.
Осевая сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М называются
результирующими напряжений в сечении. Для статически определимых балок
результирующие могут быть определены из уравнений равновесия. Так, для
балки, изображенной на рис. 3.2 а, мы получим (рис. 3.2 б):
 Fx  0
 N  Pcos;
 Fy  0
 Q  Psin;
 Mc  0
 M  Pzsin.
Таким образом, из уравнений равновесия отсечённой части конструкции
мы получили значения результирующих напряжений в сечении. Напряжения,
результирующая которых – осевая сила N, рассматривались при исследовании
растяжения – сжатия. Теперь рассмотрим напряжения, результирующие которых – изгибающий момент М и поперечная сила Q.
M
M
N
N
Q
Q
N
M
N
Q
Q
M
Рис. 3.3 Правила знаков результирующих напряжений N, M, Q в балке
Безмельницин В.Т. Техническая механика. Лекция 3
4
Правило знака для результирующих напряжений в сечении балки показано на рис. 3.3. Как следует их этого рисунка, положительная осевая сила N
направлена от сечения и вызывает растяжение, а отрицательная – направлена к
сечению и вызывает сжатие (это соответствует ранее принятому правилу). Положительный изгибающий момент М вызывает сжатие верхних волокон балки,
а отрицательный – нижних. Положительная поперечная сила Q вызывает вращение примыкающего к сечению участка балки по часовой стрелке, отрицательная – против.
Рассмотрим пример (рис. 3.4). Шарнирно опёртая балка АВ, нагружена
сосредоточенной силой Р и сосредоточенным моментом М 0, действующими
как изображено на рис. 3.4. Найти перерезывающую силу и изгибающий момент в балке в сечении слева и справа от точки приложения сосредоточенного
момента.
RA
P
RB
RA
P
Q
Q
RB
M0
M M
A
B
l/4
l/2
l/4
а
l/2
l/2
б
в
Рис. 3.4 Пример определения результирующих напряжений
Первым шагом в расчёте шарнирно опёртой балки является определение
реакций опор. Составляя уравнения равновесия по моментам относительно точек А и В, находим реакции опор:
M
M
B
A
 0  R B  l  M0  P 
l
P M
 0  RB   0 ,
4
4
l
M
3
3
 0   R A  l  M0  P  l  0  R A  P  0 .
4
4
l
Далее, проведём сечение слева от точки приложения момента М0, отбросим правую часть балки, действие её заменим равнодействующими напряжений
в данном сечении Q и М (рис. 3.4 б). Из уравнений равновесия – суммы проекций всех сил на вертикальную ось и суммы моментов всех сил относительно
сечения определяем величины Q и М слева от сечения приложения момента М0:
F
y
M
3
P M
 0  Q  RA  P  P  0  P    0 ,
4
l
4
l
Безмельницин В.Т. Техническая механика. Лекция 3
5
M 
3
 P  0 l
R l Pl
Pl Pl M
4
l
 M c  0  M  2A  4   2   4  8  20 .
Для получения результирующих справа от сечения приложения момента
М0 аналогично, отбрасывая левую часть балки от сечения, получим:
Q  R B  
l  P M  l Pl M
P M0
, M  RB    0    0 .

2 4
l 2 8
2
4
l
Таким образом, поперечная сила не меняется при переходе сечения приложения сосредоточенного момента М0, а величина изгибающего момента при
переходе сечения приложения сосредоточенного момента М0 меняется на величину этого момента.
3.2 Напряжения в балках
3.2.1 Нормальные напряжения при изгибе
Чтобы получить формулу для нормальных напряжений в балке, рассмотрим балку, нагруженную двумя силами, как показано на рис. 3.5
P
P
y
z
a
P
a
Q
P
M
Pa
Рис. 3.5 Чистый изгиб
Безмельницин В.Т. Техническая механика. Лекция 3
6
В центральной части балки поперечная сила равна нулю, а изгибающий
момент постоянный и равен Ра. Такое состояние балки называется чистым изгибом.
Чтобы определить распределение напряжения по сечению в состоянии
чистого изгиба, необходимо рассмотреть деформации балки. Будем предполагать, что плоскость yz – плоскость симметрии поперечного сечения балки и что
нагрузка действует в той же плоскости (рис.3.5), следовательно, изгиб будет
происходить в той же плоскости. Под действием постоянного по длине балки
изгибающего момента М = Ра и при отсутствии в сечении балки поперечной
силы Q ось балки изогнётся по дуге окружности (рис. 3.6 а), так как все поперечные сечения балки находятся в абсолютно одинаковых условиях. Следовательно, поперечные сечения балки mn и pq, расстояние между которыми до деформации равно dz, останутся плоскими и нормальными к продольным волокнам балки.
О
y
ρ
dθ
x
ρ-y
y
m
a1
б
p
b1
y
z
n
q
а
Рис. 3.6 Чистый изгиб элемента балки
Итак, после деформации балка изогнулась по дуге окружности, вследствие чего верхние волокна сожмутся, а нижние растянутся. Таким образом,
где-то между крайними волокнами есть волокна, которые не меняют своей
длины, т.е. остаются той же длины dz, которую имели все волокна до деформации. Эти волокна балки, которые не изменили своей длины, называются
нейтральными и образуют нейтральный слой. Пересечение нейтрального слоя с
плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью сечения (рис.
3.6 б). На рис. 3.6 положение нейтрального слоя показано штрих – пунктиром.
Продолжения же поперечных сечений mn и pq пересекутся в точке О – центре
кривизны продольных волокон после изгиба балки. Обозначим угол между поперечными сечениями dθ, а радиус кривизны нейтрального волокна через ρ. Та-
Безмельницин В.Т. Техническая механика. Лекция 3
7
ким образом, так как длина нейтрального волокна не меняется и равна длине
всех продольных волокон до деформации dz, то
dz  d .
(а)
Найдём удлинение продольного волокна ab, расположенного на расстоянии у от нейтрального волокна. Длина его до деформации определяется формулой (а). После деформации, так как радиус кривизны этого волокна равен (рис.
3. 6 а) ρ – у, длина его стала:
a1b1  (  y)d .
(б)
Относительное удлинение продольного волокна, т.е. деформация волокна
в направлении оси z, определится формулой:
a b  ab (  y)d  d
y
z  1 1

   y ,
ab
d

(в)
1
- кривизна нейтрального слоя.

Таким образом, продольные деформации прямо пропорциональны кривизне и расстоянию от нейтрального слоя. В случае действия положительного
изгибающего момента, как в данном случае, для точек сечения с положительной координатой у (верхние волокна) деформации отрицательны (сжатие), а
для точек с отрицательной координатой (нижние волокна) – положительны
(растяжение). В поперечном же направлении, т.е. в направлении оси х, деформации будут определяться, как известно, соотношением:
где  
 x   z  y ,
где ν – коэффициент Пуассона. И прямоугольное поперечное сечение после деформации примет форму, изображённую на рис. 3.6 б, причём радиус кривизны
нейтрального слоя:

1  .

Для балки из упругого материала с линейной диаграммой деформации –
напряжения (материал подчиняется закону Гука), мы имеем   E и, следовательно, нормальные напряжения в балке определятся согласно формуле (в) соотношением:
  Ey .
(г)
Безмельницин В.Т. Техническая механика. Лекция 3
8
Таким образом, напряжения меняются пропорционально расстоянию от
нейтральной оси, как показано на рис. 3.7 а:
y
с2
dA
у
σ
с1
x
а
б
Рис. 3.7 Распределение нормальных напряжений по сечению
Ниже нейтральной оси действуют растягивающие напряжения, выше –
сжимающие.
Обозначим через dA элемент площади поперечного сечения на расстоянии у от оси х (рис. 3.7 б). Нормальная сила, действующая на этой площадке
равна
dN  dA ,
а момент этой силы относительно оси х равен
dMx  dN  y  ydA .
Равнодействующая элементарных сил равна осевой силе и в этой задаче
она равна нулю, т.е. согласно (г):
N   dA  E  ydA  ES x  0 ,
A
A
где
S x   ydA  0 A
статический момент площади поперечного сечения относительно оси х. Так как
статический момент площади поперечного сечения относительно оси х равен
нулю, то, следовательно, ось х проходит через центр тяжести поперечного сечения. Таким образом, оси х и у на рис. 3.7 б – главные центральные оси сечения.
Равнодействующая же элементарных моментов равна изгибающему моменту в поперечном сечении, т.е.
Безмельницин В.Т. Техническая механика. Лекция 3
M x   Ey 2 dA  E  y 2 dA  EI x ,
A
9
(д)
A
где
I x   y 2dA A
момент инерции поперечного сечения относительно оси х.
Итак, согласно (д)
M
E  x .
Ix
(3.1)
Подставляя выражение для Еκ (3.1) в соотношение (г) получим окончательно формулу для нормальных напряжений:

Mx
y.
Ix
(3.2)
В случае, когда изгибающий момент положительный, в верхней части сечения действуют сжимающие напряжения (у положительно).
Максимальные растягивающие и сжимающие напряжения в балке имеют
место в точках наиболее удалённых от нейтральной линии сечения. Обозначая
расстояния до наружных волокон через с1 и с2 (рис. 3.7 б) и предполагая, что
изгибающий момент положителен, мы получим по формуле (3.2):
 max 
Mx
M
M
M
c1  x ,  min   x c 2   x ,
Ix
Wx1
Ix
Wx 2
I
I
где Wx1  x и Wx 2  x называются моментами сопротивления изгибу.
c1
c2
Если поперечное сечение симметрично относительно оси х, то с1 = с2 = с
и максимальное и минимальное напряжения равны по абсолютной величине:
 max   min 
Mx
M
c x .
Ix
Wx
(3.3)
где
I
Wx  x c
момент сопротивления сечения изгибу.
(3.4)
Безмельницин В.Т. Техническая механика. Лекция 3
10
h/2
Для балки прямоугольного поперечного сечения шириной b и высотой h
(рис. 3.8 а) осевой момент инерции и момент сопротивления изгибу равны:
x
h/2
x
b
d
a
б
3.8 Моменты инерции и моменты сопротивления изгибу
bh 3
bh 2
.
Ix 
, Wx 
12
6
(3.5)
Для сплошного кругового сечения (рис. 3.4 б) получаем:
d 4
d 3
.
Ix 
, Wx 
64
32
(3.6)
Геометрические характеристики различных видов профилей можно найти
в соответствующих справочниках, учебниках и задачниках.
Формула для нормальных напряжений при изгибе (3.2) получена в предположении, что поперечная сила в сечении равна нулю, т.е. для чистого изгиба.
Как будет показано в следующей лекции, формула (3.2) справедлива и в случае
поперечного изгиба, когда в поперечном сечении действует и поперечная сила.