О сходимости разностных схем в классе раз- рывных

Доклады Академии наук СССР 1959. Том 124, № 3
А.Н. Тихонов, А.А. Самарский
О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов
Многие разностные схемы, применяемые для решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и сходящиеся в
классе гладких коэффициентов, являются расходящимися в случае разрывных коэффициентов. Цель настоящей статьи - установить необходимые условия сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов для уравнения
Lu 
d  1 du 
  f x 
dx  p x  dx 
0  x  1, 0  m  px   M  ,
(1)
а также дать общую характеристику класса нормальных [1] схем, удовлетворяющих необходимому условию сходимости.
p
п.1. Рассмотрим класс дифференциальных операторов L u ,
определенных на интервале 0  x  1 , и соответствующую нормальную разностную схему (см. [1])
Lh
 p
, определенную на равномерной
разностной сетке
SN
x0  0, x1  h,, xi  ih,, xn  Nh  1 :
Lh
где
 p
yi 
1  yi 1  yi yi  yi 1 
,

h 2  Bi
Ai 
ps   pxi  sh 
Ai  A ps , Bi  B ps 
(2)
при
 1  s  1 ; А и В - нормальные, т. е. линейные
регулярные, положительные и не зависящие от h функционалы, удовлетворяющие условию взаимной симметрии [2].
97
Избранные труды
п. 2. Будем называть
 p
Lh квазиконсервативной разностной схемой, если Bi  Ai 1 или B p xi  sh   A p xi 1  sh  в классе Cm  p  . Если А и В - линейные регулярные функционалы, то условие
квазиконсервативности означает, что: 1) функционал A p s  определен для функций p s  , заданных на интервале  1  s  0 , а B p s 
- на интервале 0  s  1 ; 2) в классе разрывных коэффициентов
Qm  p  B ps   A p1  s    ps  , где  ps  - нульфункционал (см. [2]).
Если условие
Bi  Ai 1 выполняется и в классе Qm  p  , то раз-
 p
ностную схему
Lh мы будем называть консервативной схемой. В
этом случае B ps   A p1  s  для p s   Qm , и разностный оператор
Lh
Lh
 p
 p
можно представить в виде
yi 

1  yi 1  yi yi  yi 1  1  1

 2  yi  .

2 
h  Ai
Ai  h  Ai

п. 3. Перейдем к изучению вопроса о сходимости в Qm  p  нормальной разностной схемы (2), имеющей 2-й порядок точности в
Cm  p  ( m  3 ). Предположим, что px   Qm имеет разрыв 1-го ро-
x 
0    1 , причем
  xn  h , 0    1 , где
xn  nh - узловая точка разностной сетки S N ( h  1 N ). Очевидно,
что    h , n  nh  .
 p
Вычислим погрешность схемы Lh
в окрестности точки x   .
Если p x   Qm ( m  3 ), то погрешность аппроксимации
да в точке
i  Lh ui  Lu i  O h 2 , i  n, i  n  1 ,
где
u  ux  - решение дифференциального уравнения (1).
Для  n и  n 1 получаем выражения
98
Академик А.Н.Тихонов
n 
 p л  1    pпр
h 

Bп


pл  1
1   2 uпр   2 u л 

Aп  Bп
1
0.5   u л   1 u     O h   n 0  O h ,

Aп
 p л
 n 1 

  pпр
h  Bn 1

(3)
p л  1    pпр 

An 1



1
1   2 uпр   2 u л  1 1.5   uпр   1 u    
Aп 1
Bп 1
 p  пр
(4)
 O h    n 1  O h  ,
0
где
 pпр ,
  u л p л  uпр
Если
px   Q1 ,
то
f л  f   0,
i  O h  
f пр  f   0 .
при
i  n, i  n  1;
 n   0 n  O h  ,  n 1   0 n 1  O h  ; O h    Kh   0;
К - положительная постоянная, зависящая от выбора функции px  .
п. 4. Рассмотрим отрезок
x, x  , целиком лежащий внутри отрезка
[0,1] и содержащий фиксированную точку x   x    x . Точка
x   принадлежит некоторому интервалу сетки S N , так что
xn    xn1 . Рассмотрим разностное уравнение
Lh zi 
1  zi 1  zi zi  zi 1 

  i
h 2  Bih
Aih 
h
h
x  x  x 
и предположим, что коэффициенты Ai , Bi и правая часть
творяют условиям:
99
(*)
 i удовле-
Избранные труды
Существуют
I.
такие
и
m>0
что
M>0,
m  A  M, m  B  M,.
h
i
h
i
II.
Существует
такое
b>0,
что  i  e
 bh
при
xi    h, i  n  1 ;  i  e  bh при xi    h, i  n ;  i  Bih Aih1 .
i   h  , где  h  0
III.
при
h  1 / N  0 , если i  n и
i  n  1.
h
Пусть z i - решение уравнения (*), а
zx, h  – полигональная
функция.
Лемма 1. Если, для уравнения (*) выполнены условия I, II, III и
существует некоторая последовательность решений z  x, hN  уравнения (*), равномерно сходящаяся к нулю при
hN  0
N   , то
выполняется условие
 
 
 , h   h hn  nh1    h   0 при h  hN  0 .(5)
 AN 1 BN 
Лемма 2. Если выполнены условия леммы 1 и, кроме того: 1)
 i  O h 2 
или
 i  Ch2
при i  n ,
i  n  1 2) zx, hN   C2 h 2
на некоторой последовательности сеток
S N , то выполняются условия
  , h   O h 2 ,  n  O 1,  n 1  O 1 .
п. 5. Обозначая
L u   f x  , а
 p


Fi h  F f s  ,
(6)
ux  решение дифференциального уравнения
yi
-
решение
уравнения
Lh
 p
y   Fi h ,
f s   f  xi  sh  , где F – нормальный симметричный функционал, удовлетворяющий условию нормировки F[1]=1, получим для разности zi  yi  u xi  уравнение
Lh zi   i ,  i  i  Fi h  f xi .
 p
100
Академик А.Н.Тихонов
Пусть
Lh
 p
- нормальная схема 2-го порядка аппроксимации;
p  Q1 , f  Q0 . Если   xn  h , 0    1 - точка разрыва
px  и f  x  то  i  O h   при i  n, i  n  1 (условие III). Нетрудно убедиться в том, что условия II и III из п. 4 также выполнены.
Подставляя в формулу (5) выражения (3) и (4) для  n и  n 1 и учитывая,
что Fn  f  x n   O 1, Fn 1  f  x n 1   O 1 , получим необходимое
h
h
условие сходимости однородной разностной схемы
Lh
 p
сочно-непрерывных и кусочно-гладких коэффициентов
условие имеет вид:
в классе ку-
px  . Это
Bnh Bnh1 Anh Anh1

  h   0 при h  0 .
pпр
pл
( )
Аналогично, подставляя в (6) выражения (3) и (4) для
n
и
 n1
получим, в силу леммы 2, необходимые условия 2-го интегрального
порядка точности схемы
n
h
n 1
A

 n 1
Bnh
Lh
 p
в
Qm  p  :
 O h ,  n  O 1,  n 1  O 1 .
Cm  p  схема. Представим
px   pˆ x   ~
px  , гдe
px  в виде суммы
pˆ x   p л  p  0 при x   ; pˆ  x   pпр  p   0 при
x   , а функция ~
p   0 ,
px  непрерывна, причем ~
~
~
~
  pпр
 .
p л  p л , pпр
A p xn  sh   Oh ,
Поэтому
и, следовательно,
B~
p x  sh   Oh  ,
A  Aˆ  Oh ,
п. 6. Пусть
Lh
 p
- нормальная, сходящаяся в
n
n
Bn  Bˆ n  Oh  , где
Aˆ n  A pˆ xn  sh   Oh , Bˆ n  B pˆ xn  sh  .
101
n
Избранные труды
Пользуясь функцией
  x   1
при
x   ,   x   0 при
x   , можно написать pˆ x    x  p л  1   x pпр . Тогда будем
Aˆ n     p л  1     pпр ,
иметь
Bˆ n     p л  1     pпр ,
    A x 
где
,
    B x  - характеристические функции регулярных линейных
функционалов А и В [2].
Аналогично находим
Aˆ n1    1    p л  1    1    pпp ,
Bˆ n1    1    p л  1    1    pпр .
Необходимое условие сходимости (  ) можно записать в виде
Bˆ n Bˆ n1 Aˆ n Aˆ n1

  h  .
pпp
pл
( ˆ )
Нашей задачей является предельный переход при N  
( h  1 / N  0 ) в условии ( ˆ ). При этом необходимо сначала рассмотреть возможные пределы функции    1 / N  N  n , когда


N   , пробегая какую-либо последовательность возрастающих чисел N1 , N 2 , , N k , .
В дальнейшем мы будем опираться на следующую теорему П. Л.
Чебышева [4]:
Если a - количество несоизмеримое, то найдется бесконечное
множество таких целых чисел x,y , при которых выражение
y  ax будет разниться с каким-либо данным количеством b менее,
чем на 2/x. Одни из этих величин
x,y будут давать y  ax > b, другие
y  ax <b.
Из теоремы Чебышева следует, что для иррационального
бого
0 , 0  0  1 :
таких сеток
 и лю-
1) существует бесконечная последовательность
S N k с шагом hk  1 / N k , что lim    0  0 , т. е.
N k 
102
Академик А.Н.Тихонов
  0
справа; 2) существует бесконечная последовательность таких
S N с шагом hk  1 / N k , что    0 слева при N k   .
k
 0 - рациональное число, то найдется такое
 , что равенство  1 / N    0 имеет место для бесконечного множества разностных сеток S N ; б) если  0 - иррациональное число, то, каково бы ни было  , равенство  0   1 / N   N  n возможно не
Отметим, что: а) если
k
болeе, чем для одного значения
ностной сетки.
N, т. е. не более, чем для одной раз-
п. 7. Потребуем теперь, чтобы наша нормальная схема
влетворяла необходимому условию ( ˆ ) в
ное
Lh
 p
удо-
Qm  p  . Выбирая произволь-
0   0  1 и совершая предельный переход по последовательно-
сти сеток
S N k (или S N ) при N k   , а также учитывая симметрию
k
 1  A1  1,  1  B1  1 и положительность функционалов A и B, получим: 1)     0 при
 1    0 ;     1 при 0    1 ; 2)       1    в точках
непрерывности  и 
Отсюда следует, что условию сходимости (  ) удовлетворяет
схемы, условия нормировки
только
квазиконсервативная
схема
B ps   A p1  s    ps  , где
 p s      j p л  j   pпp  j  - нуль-функционал. В силу

j 1
значения б) п. 6 суммирование проводится только по иррациональным
особым точкам функционала  .
Лемма 3. На любой последовательности разностных сеток
S Nk


 
 p xi  shN k   hN k  0 при N k   .
103
Избранные труды
Отсюда следует, что найденной нами схеме эквивалентна консервативная схема, для которой      1   при всех 0    1 .
 

Учитывая условие симметрии, найдем
 t  - произвольная
 л  t    пp t  ,
 0.5  0.5 .

    0.5     0.5,
где
нечетная функция ограниченной вариации:
удовлетворяющая
условию
нормировки
п. 8. Рассматривая сходимость для однородного уравнения и пользуясь следующим определением сходимости: разностная схема
сходится к дифференциальному оператору
эффициентов (
Lh
 p
Lh
 p
в заданном классе ко-
px  ), если для любого решения ux  уравнения
p
L u  0 с коэффициентами из заданного класса найдется такое реше p
ние разностного уравнения Lh yi  0 , что на любой последовательности сеток S N k полигональная функция
к
y x, h  равномерно сходится
ux  при h  1 / N k  0 , т. е. yx, h   ux    h   0 , можно
формулировать теоремы:
Теорема 1. Если нормальная разностная схема
Q1  p  , то она квазиконсервативна.
Теорема 2. Для всякой сходящейся в
нормальной схемы
Lh
 p
Lh
 p
сходится в
Q1  p  квазиконсервативной
существует эквивалентная ей в смысле схо-
димости консервативная схема
.
Математический институт им. В. А. Стеклова
Поступило
Академии наук СССР
13.Х.1958
Литература
1.
А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, ДАН, 122, №4, 1958.
104
Академик А.Н.Тихонов
2.
3.
4.
А.Н. Тихонов, А. А. Самарский, ДАН, 122, №2, 1958.
А. Н. Тихонов, А А. С а м а р с к и й, ДАН , 108, № 3, 1956.
Л. Л. Чебышев, Полн. собр. соч., 1, М.-Л., 1944, стр. 271.
105