Лекция 11.

Лекция №11. Резонанс в электрических цепях. Резонанс напряжений. Резонансные и частотные характеристики
последовательной RLC-цепи.
Определения резонанса. Резонанс - отклик, отголосок (от лат. «resono» - «звучу в ответ, откликаюсь»). Резонансом в
электрической цепи, содержащей катушку индуктивности и конденсатор, называется такой режим, при котором входное
сопротивление цепи или входная проводимость являются чисто активными. То есть реактивная составляющая входного
сопротивления или входной проводимости равна нулю. При этом напряжение и ток на входе цепи совпадают по фазе. В указанных
цепях возможны резонанс напряжений и резонанс токов.
I. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ возникает при последовательном соединении катушки индуктивности и конденсатора
(рис.1).
Рис.1. Схема последовательного
резонансного контура
1 

Согласно второму закону Кирхгофа для этой цепи: U  I RК  jL  j
,
C 

где
RК - активное сопротивление катушки, L - ее индуктивность.
U
Следовательно, I 
. Действующее значение тока в цепи: I 
1
RК  jL  j
C
а угол сдвига фаз между током и напряжением
  arctg


L 
1
C
В режиме резонанса модуль входного сопротивления цепи
При заданном напряжении U ток в цепи l 
между собой: U L  U C  I  L  I 
2
,(1)
1 
j
  Ze ,
C 
1 

где – Z модуль входного сопротивления цепи. Z  R   L 

C 

2
К
1 

RК2   L 

C 

(2)
RК
Комплекс входного сопротивления цепи z  RК  j  L 
U
2
(3)
Z  RК и   0 , то есть L 
1
.
C
U
будет максимальным, напряжение на индуктивности и на емкости равны
RК
1
.
C
Однако следует помнить, что напряжение на катушке индуктивности U 
U R2  U L2 , следовательно, в режиме резонанса
U К  U С . Одной из характеристик резонансной цепи является добротность контура
, которая представляет собой величину,
равную отношению реактивного сопротивления катушки индуктивности или конденсатора к активному сопротивлению (в режиме
резонанса): Q 
L
RК

1
.
CRК
Реактивное сопротивление цепи в режиме резонанса носит название волнового сопротивления или характеристического
сопротивления: 

L
.
C
Добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на индуктивности или емкости превышает напряжение на
входе цепи в резонансном режиме.
При заданных
и
резонанс наступит при угловой частоте
При заданных
и
резонанс наступит при L0 
  0 
1
.
LC
(4)
1
1
, а при заданных  и L резонанс наступит при C0  2 .
2
C
 L
Из (4) следует, что при постоянном приложенном напряжении резонанс может быть достигнут тремя путями:
1) изменением частоты f при неизменных L и C;
2) изменением емкости конденсатора C при неизменных f и L;
3) изменением индуктивности L катушки при неизменных f и C.
В зависимости от соотношения величин
1. В цепи преобладает индуктивность, т.е.
и
возможны три различных случая.
, а следовательно,
. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 2,а.
2. В цепи преобладает емкость, т.е.
, а значит,
. Этот случай отражает векторная диаграмма на рис. 2,б.
3.
- случай резонанса напряжений (рис. 2,в). При этом, как следует из (1) и (2),
.
При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В теоретическом случае при R=0 его величина
стремится к бесконечности. Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах,
которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания.
Пусть, например, в цепи на рис. 1
. Тогда
,
и, соответственно,
.
Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике. Однако, если он возникает стихийно, то
может привести к аварийным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков. Физическая сущность
резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем
конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной. Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных
и емкостных элементов. Действительно, в этом случае
, и соотношение (3) выполняется для
эквивалентных значений LЭ и CЭ .
Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рис. 3 приведены
типовые кривые I(f);
и
для цепи на рис. 1 при U=const.
400
fp
350
300
U[В], I*2000 [A]
250
200
150
100
50
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
f, Гц
R, Ом
Xc(f), Ом
XL(f), Ом
Рис. 3. Резонансные кривые последовательного RLC-контура
Ток рассчитывается по формуле (1), резонансная частота - по формуле (4), напряжения по формулам (5):
U R  RK  I ; U L  I  L  I  xL ; U C  I 
1
 I  xC .
C
(5)
При частотах от 0 до 0 (xL<xC) и в этой области частотной характеристики ток опережает напряжение на зажимах цепи. При
частотах от 0 до  (xL>xC) ток отстает от приложенного напряжения.
Анализ выражений UL и UC показывает, что максимум UL() наступит при
а максимум UC() - при
где d - затухание;
d
1  0
RK

2  d 2
2
2  0
2
 ,
2  d 2 0
 0 ,
. Чем больше d, тем больше расхождение частот 1 и 2. При
d  2 , UL() и UC() максимумов
не имеют. При увеличении частоты UL() монотонно возрастает, а UC() монотонно убывает.
Зависимости  , x, xL , xC , Z от  называются частотными характеристиками. Практически при резонансе напряжение на
катушке индуктивности UK больше напряжения на конденсаторе UC. Вызвано это тем, что активным сопротивлением катушки нельзя
пренебречь, в то время, как активное сопротивление конденсатора весьма мало по сравнению с реактивным, и им можно пренебречь.
Зная напряжение на катушке UK в режиме резонанса и ток I, можно определить параметры катушки RK и L.
Так как при резонансе xL=xC, то активное сопротивление катушки
U K2  U C2
RK 
I2
(6)
,
а индуктивность L 
xC

.
Частотные характеристики (см. рис.4) показывают зависимость сопротивлений активного, реактивного и полного от
частоты внешнего воздействия
1 10
4
fp
8000
6000
4000
L  10
Z, X, R [Ом]
2000
Ãí
C  1  10 6 Ô
0
2000
4000
6000
8000
1 10
4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
f, Гц
R, Ом
Xc(f), Ом
XL(f), Ом
X(f), Ом
Z(f), Ом
Рис.4. Частотные характеристики последовательного RLC-контура
100