ИНСТИТУТ НАЦИОНАЛЬНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ и УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ Составитель: к.п.н., доцент, майор безопасности Кудаков С.В. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ №3 (а). Решить неопределенные интегралы: I. 3x 2 14 x 37 2 x dx ; 6x arctg 2xdx. 4 x x 1 4 x 13dx; x 27 dx ; x ln x 2dx. 2. 2 x 9 x 3x dx; 9 x 9 9 x 6x x x 40 x 96 dx ; x cos 4 xdx. 3. 7 x dx; x x 16 2 x 5x 12 x 1 x dx 5 4. 4 x 4 x x dx; ; arccos 4 xdx. . 5 x 4x 4x x x2 dx dx; ; x 1sin xdx. 5. 2 x 3x 1 x x 4 4x x 4 dx; 6. 3x dx ; e sin xdx. x x 2 x 4 5dx x dx ; arctg 3xdx. 7. ; x 2x 5x 9 x 9 x 2 dx ; 2e dx. dx; 8. x x x x x x 1 dx x dx ; e cos xdx. 9. ; 2 x 18x 4 x 1 4 x 4 x x dx 34dx ; x cos dx. 10. ; 2 x 2x 2 x 17 x x 4 1. 2 2 4 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 4 3 4 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 x 2 2 2 3 2 2 2 4 3 x 3 2 2 3 2 2 2 x 2 2 2 2 2 Вычислить определенные интегралы: II. 2 1. ln x 2 3x arctgxdx; 3. 2 3x 0 2 x ln x 2 dx; 7. arctg dx; 8. 2 0 4 2x arcsin xdx; 4. 2 x 3e dx; 5. x sin 2 xdx; 1 0 2 2 1 x 3 0 0 6. 4 dx; 2. 1 1 1 2 x 0 x cos 2dx; 9. 0 arcsin 2 xdx; 10. 2 0 e 2 x ln dx; x 2 1 ИНСТИТУТ НАЦИОНАЛЬНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ и УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ Составитель: к.п.н., доцент, майор безопасности Кудаков С.В. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ №3 (б). Используя геометрический смысл определенного интеграла, решить следующие задачи: III. y x 1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами yx 2 2 x 1 и 2 2 3x 6 . 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом x a cos t , y b sin t . 3 3 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой x 4 cos t , y 4 sin t . 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой y x 2 4 , прямой x=4 и осью Ох. 5. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, 6 x ограниченной гиперболой y , осью Оу и прямыми у=1, у=6. 6.Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох эллипса x a cos t , y b sin t . 1 3 7. Вычислить длину дуги кривой y x x от x =0 до x 1 2 =12. 3 до x 2 =2,4. 4 9. Вычислить длину одной арки циклоиды x at sin t , y a1 cos t . 8. Вычислить длину дуги кривой y ln x от x 1 10. Вычислить длину кардиоиды r 2a1 cos . IV. Дана функция z=f(x,y). Определить: полный дифференциал dz; z z частные производные второго порядка и ; x y z z смешанные частные производные и . 2 2 2 2 2 xy yx 2 1. z 7. z y tgx ; 2. z arccos ; 3. z x y y 2 2 y x ; 4. z ln x 2 4 y ; 5. z arcctg 2 x ctg y . x y arctg ; 9. z e y ; 10. z ; 8. z arcsin x x y xy y xy ; 6. z ; x x y ИНСТИТУТ НАЦИОНАЛЬНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ и УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ Составитель: к.п.н., доцент, майор безопасности Кудаков С.В. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ №3 (в). V. 1. y Определить общее первого порядка: решение дифференциальных y y y 8x 5 y ; 2. y tg ; 3. xy y ln 0; 4. xy y x x x 5x 2 y 2 2 6. 4 xyy y 3x 0; 7. xy y 2 x y ; 8. 2 x 2 2 y x 2 x y 2 y 2 2 уравнений 0; 5. y 0; 9. y x y ; x y x y ; x y 2 10. xyy 8x y ; 2 VI. Определить частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: 1. y cos x y tgx, y 0 1. 2. 1 x y y arctgx, y0 1. 2 2 2 3. y 1 x y arcsin x, y0 1. 4. y 2 ytg2x sin 4x, y0 0. 2 2 2x 5. y y e y , y0 1. 6. xy y x cos x, y . 7. xy y x 2 2 2 y 1 1. 8. y sin x y cos x 1, y 0. 2 2 y, 2 2 5 9. xy 2 y 3x y , y 1 1. 10. y 2 xy 3x e x , y 0 0. 2 VII. Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Определить частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям. 1. y 2 y 8 y 16 x 2, y0 0, y 0 5. 2. y 4 y 3 cos x, y0 1, y0 2. 2x 3. y y 2 y 3e , y0 2, y 0 5. 4. y 2 y 2x 1, y0 1, y0 1. 2 x 5. y 2 y y 9e 2 x 4, y0 1, y 0 1. 6. y 4 y 4 sin 2x, y0 2, y0 7. 2 7. y y 3 cos x sin x, y0 0, y0 1. 2 8. y y 6 y 6 x 4 x 3, y0 3, y 0 5. 9. y 3 y 3e , y0 2, y 0 4. 10. y 4 y 5 y 5x 4, y0 0, y0 3. 3x ИНСТИТУТ НАЦИОНАЛЬНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ и УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ Составитель: к.п.н., доцент, майор безопасности Кудаков С.В. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ №4 (а). I. Решить задачи: 1. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых 3 в мягком переплете. Библиотекарь взял два учебника. Определить вероятность того, что оба учебника окажутся в мягком переплете. 2. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов программы. Определить вероятность того, что он знает ответы на предложенные ему экзаменатором три вопроса. 3. Для некоторой местности в июле шесть пасмурных дней. Определить вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода. 4. Из 200 рабочих норму выработки не выполняют 15 человек. Определить вероятность того, что два случайно выбранных рабочих не выполняют норму. 5. В ящике лежат 20 электрических лампочек, из которых 2 нестандартные. Определить вероятность того, что взятые одна за другой две лампочки окажутся стандартными. 6. Одновременно бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что на каждой кости появится нечетное количество очков. 7. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Определить вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена. 8. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Определить вероятность того, что 2 наудачу выбранные билета окажутся выигрышными. 9. В цехе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Определить вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами. 10. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен равна 0,9, второй экзамен – 0,85 и третий – 0,8. Какова вероятность того, что студент сдаст не менее двух экзаменов. II. Решить задачи, используя формулу Бернулли: 1. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, определить вероятность того, что среди 6 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух девочек. 2. Прибор состоит из 4 узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Определить вероятность того, что за смену откажут: а) 2 узла; б) не менее двух узлов. 3. В некотором водоеме карпы составляют 80%. Определить вероятность того, что из 5 выловленных в этом водоеме рыб окажется: а) 4 карпа; б) не менее 4 карпов. 4. В хлопке число длинных волокон составляет 80%. Какова вероятного того, что среди взятых наудачу 5 волокон длинных окажется: а) три; б) не более двух. 5. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Определить вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех. 6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Производится 4 выстрела. Определить вероятность того, что цель будет поражена: а) три раза; б) не более двух раз. 7. Монету бросают пять раз. Определить вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз. 8. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,6. Определить вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) выключены все моторы. 9. Определить вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3. Какова вероятность появления этого же события более 4 раз? 10.Событие В появится в случае, если событие А появится не менее двух раз. Определить вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4. III. В задачах дана вероятность p появления события А в каждом из n независимых испытаний. Определить вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее k1 раз и не более k2 раз. 1. n=360; p=0,8; k1=280; k2=300. 3. n=640; p=0,9; k1=500; k2=540. 5. n=810; p=0,4; k1=340; k2=400. 7. n=300; p=0,3; k1=110; k2=130. 9. n=100; p=0,5; k1=60; k2=80. 2. n=490; p=0,6; k1=320; k2=350. 4. n=225; p=0,2; k1=50; k2=60. 6. n=250; p=0,7; k1=150; k2=180. 8. n=625; p=0,8; k1=480; k2=500. 10. n=256; p=0,9; k1=200; k2=220. ИНСТИТУТ НАЦИОНАЛЬНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ и УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ Составитель: к.п.н., доцент, майор безопасности Кудаков С.В. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ №4 (б). IV. В задачах задан закон распределения дискретной случайной величины Х (в первой строке указаны возможные значения величины Х, во второй строке заданы вероятности р этих значений). Определить: математическое ожидание М(Х); дисперсию D(X); среднее квадратическое отклонение σ. 1. X p 8 0,1 4 0,3 6 0,2 5 0,4 X p 23 0,2 25 0,1 27 0,3 29 0,4 X p 10 0,4 8 0,1 6 0,3 9 0,2 X p 32 0,1 40 0,3 37 0,4 35 0,2 X p 42 0,3 41 0,3 43 0,2 45 0,2 X p 15 0,2 11 0,5 13 0,2 12 0,1 X p 52 0,1 54 0,4 57 0,3 51 0,2 X p 21 0,5 20 0,2 22 0,2 26 0,1 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. X p 34 0,2 30 0,4 32 0,3 36 0,1 X p 50 0,3 48 0,2 51 0,2 53 0,3 10. V. В задачах случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(x). Определить: дифференциальную функцию распределения f(x); математическое ожидание М(Х); дисперсию D(X). 0 при х 0, 0 при х 0, 2 2 1. F(x)= x при 0 x 1, 2. F(x)= x при 0 x 4, 1 при x 1. 16 1 при x 4. 0 при х 0, 0 при х 2, 2 3. F(x)= x 2 при 2 x 3, 4. F(x)= x при 0 x 2, 4 1 при x 3. 1 при x 2. 0 при х 4, 5. F(x)= x 4 при 4 x 5, 1 при x 5. 0 при х 0, 2 7. F(x)= x при 0 x 3, 9 1 при x 3. 0 при х 0, 3 6. F(x)= x при 0 x 2, 8 1 при x 2. 0 при х 1, 8. F(x)= x 1 при 1 x 2, 1 при x 2. 0 при х 0, 0 при х 0, 3 9. F(x)= x при 0 x 1, 10. F(x)= x при 0 x 3, 27 1 при x 1. 1 при x 3.