Л2-11 - WordPress.com

ЛЕКЦИЯ № 2
по учебной дисциплине «ФИЗИКА»
Занятие № 2/1. Законы динамики
Краснодар 2011
Раздел 1. «Физические основы механики».
Тема 2. «Основы динамики ».
Лекция № 2. «Законы динамики».
ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ :
1. Законы Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Принцип независимости
действия сил.
2. Силы в механике (упругости, трения, тяжести).
3. Уравнения движения в динамике. Примеры уравнений прямолинейного и
криволинейного движения материальной точки.
ЦЕЛЬ :
Изучить основные понятия и законы динамики.
ОБЕСПЕЧЕНИЕ :
• методическая разработка занятия;
• макеты измерительных приборов;
• цветной мел, доска.
Литература: [1] с.14-19
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Во вводной части указать на важность изучения основных положений динамики
для специалиста в области авиационной техники, а также показать связь с
материалом предыдущих лекций.
В основной части достигается поставленная цель.
В заключение дать краткое повторение изучаемого материала.
1
Вопрос1. Законы Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Принцип
независимости действия сил
«Динамика» продолжает изучать самое доступное для восприятия явление
перемещения тел в пространстве и времени. Но ! с учетом причин, вызывающих
их. «Динамис» с греческого – сила.
При этом ставится основная задача – определение положения тел в любой
момент времени
При рассмотрении причинно следственных связей( см таб.1 Л1 ) в
механическом движении были определены следующие :
« Основные понятия» :
1. Инертность – способность тел противодействовать изменению состояния.
2. Масса – m [кг]- количественная мера инертности .

3. Сила – F [H] - количественная
мера взаимодействия
тел. При этом


установлены : - силы упругости ( F упр), сила гравитации ( F гр), силы трения ( F тр ).
Далее оказалось, что явление по - разному протекает в разных системах отсчета
4. Инерциальные системы отсчета, Это такая система отсчёта в которой
материальная точка, свободная от воздействия внешних сил, движется
равномерно и прямолинейно или покоится. Или по другому. Инерциальные
системы отсчета это такие системы отсчёта , в которых выполняется первый
закон Ньютона
5. Неинерциальные системы отсчета, в которых первый закон Ньютона не
выполняются.
6. Количество движения . Для количественной оценки явления движения не
достаточно знать только его скорость ( попробуйте остановить летящие с одной
и той же скоростью мячь и кирпичь)
поэтому
ввели физическую величину


импульс тела (количество движения ) P = m V .
7. Импульс силы. Мало знать при определении результата действия силы её
величину так как результат её действия зависит ещё и от времени в течении
которого она действовала поэтому вводится физическая величина импульс силы
- F ∆t ,
где ∆t – время действия силы.
При количественном анализе причинно следственных связей явлений
перемещения тел в пространстве и времени были установлены следующие:
Основные связи, позволяющие количественно предсказать явления
2
Триединые законы взаимодействия Ньютона.
1) Первый закон Ньютона – если на тело нет воздействия или они взаимно
уравновешены, то в инерциальных системах отсчета тело сохраняет состояние
покоя или движется равномерно и прямолинейно.
2) Второй закон Ньютона – если на тело есть воздействие, то в инерциальной
системе отсчета тело движется с ускорением прямо пропорциональном силе и
обратно пропорциональном массе

 
a = F /m  F
=m

a
или
Тогда масса любого тела ( m ) при наличии эталона (mэ) определится как
m = mэ(aэ / a),
где aэ и a – модули ускорения тел при воздействии на них одинаковых сил. Этот
закон можно записать и так учитывая  что
 

a  (v к  v н ) / t ,
умножая на m и учитывая что,



P  mVк  mVн




 m(Vк  Vн ) / t  ma  F ,
 
P  Ft .
Тогда второй закон Ньютона можно сформулировать так :
Изменение количества движения тела – точки



P  mVк  mVн
равно импульсу
действующей на него силы

( mVк


 mVн  Ft


) или ( P  Ft )
3) Третий закон Ньютона – если на тело есть воздействие, то при этом силы,
с которыми взаимодействуют тела в инерциальной системе, равны по величине и
противоположно направлены. Силы имеют одну природу и приложены к
разным телам и не уравновешивают друг друга.

F1 2

F11
Далее установлены законы, позволяющие количественно
оценить силу взаимодействия тел.
m1
m2
3
Вопрос2. Силы в механике (упругости, трения, тяжести).
В природе существует 4е типа сил
 Гравитационные силы,
 Электромагнитные (сила трения, упругости, молекулярные).
 и  ядерные силы, проявляются внутри ядра.
1. Закон всемирного тяготения – две материальные точки притягиваются друг к
другу прямо пропорционально произведению их масс и обратно пропорционально
квадрату расстояния между центрами масс с силой гравитации (направлены по
линии соединяющей мат (.))
Fгр = (G·m1·m2) /r2, G = 6,67·10 -11 [Н м2 /кг2].
Сила тяжести, Fт = Fгр , когда
m1 = mЗемли = 6·1024 кг  Fт = 9,8·m2 при rЗемли = 6,4· 106 м. Сила тяжести Fт не
всегда равна весу P ибо вес это сила, с которой тело давит на опору вследствие
притяжения Земли (или растягивает подвес).
Если тело вместе с опорой свободно падает
тело
P=0, то невесомость
 
ag
опора
Первые принципы динамики:
- три закона Ньютона; - з-н Гука; - з-н Амонтона; - з-н Архимеда; - з-н
всемирного притяжения; основные понятия .
2) Закон Гука – сила упругости при деформации пропорциональна удлинению
(x или ∆ℓ) и направлена противоположно перемещению
частиц тела (x=Δl)
l0
S
Fупр = - k·x, = [(S·E) /0 ]х = S·E· ∆ℓ/0
F = - Fупр = k·x
S – площадь сечения стержня [м2], 0 – начальная длина
стержня [м], Fупр = - k·x , k – жесткость [Н/м].
x x=
Δl
Если ввести понятия : - относительное удлинение ε = ∆ℓ/0 ; -механическое
напряжение σ = F/ S, то закон Гука можно записать
ε = F/(S·E) = σ/Е ,
4
где Е модуль Юнга характеризует свойства материала Е = (Fℓ)/(S ∆ℓ ) – это
сила, которая брус ℓ = 1м и S = 1м2 растягивает на 1м. Е – в справочниках из
эксперимента. Е стали = 20,6·1010 [Н/м2]. Кроме деформации растяжения и
сжатия имеет место сдвиг и кручение. Некоторые материалы обладают
анизотропностью – зависимостью физических свойств (упругих,
механических, тепловых и др.) от направления. Кроме этого, закон σ
Гука выполняется только при определенных значениях , σ на что A
B
указывает диаграмма растяжений ( участок А – B)
ε
3)Закон Амонтона – сила трения пропорциональна силе нормального давления
(N) и определяется как Fтр = μ N, μ – коэффициент трения устанавливается
экспериментально и дается в справочниках. Fтр – направлена встречно движению
(неконсервативная сила) силы рассмотренные 4 и 5 консервативные.
7) Закон Архимеда
FA=ρжgVТ; Р=ρжgh.
h
Вопрос 3. Уравнения движения в динамике. Примеры уравнений
прямолинейного и криволинейного движения материальной точки.
Здесь мы рассмотрим дифференциальные уравнения движения свободной и
несвободной материальных точек. По аналогии со свободным телом в статике,
материальная точка называется свободной, если ее движение ничем не
ограничено. Если движение материальной точки ограничивают другие тела
(связи), то она называется несвободной.
Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки.
Для вывода уравнений воспользуемся второй и четвертой аксиомами динамики.
Согласно второй аксиоме
ma = F
(1)
где, по четвертой аксиоме, F является равнодействующей всех сил, приложенных
к точке.
С учетом последнего замечания выражение (1) часто называют основным
5
уравнением динамики. По форме записи оно представляет собой второй закон
Ньютона, где одна сила, согласно аксиоме независимости действия сил, заменена
равнодействующей всех сил, приложенных к материальной точке.
Вспомнив, что a = dV / dt = d2r / dt = r'', получаем из (1) дифференциальное
уравнение движения материальной точки в векторной форме:
mr'' = F
(2)
В общем случае сила F может быть функцией времени (t), положения (r) и
скорости (r') материальной точки. К позиционным силам, зависящим от
положения, относятся силы упругости, силы всемирного тяготения, а также силы
притяжения или отталкивания тел, имеющих электрические или магнитные
заряды. Силы, зависящие от скорости, встречаются при исследовании движения в
сопротивляющейся вязкой среде (жидкой или газообразной). Очень редко в
природе встречаются силы, зависящие от ускорения. Таким примером может быть
электромагнитная сила притяжения в законе Вебера. Следовательно, в
подавляющем большинстве случаев
F = F(t, r, r')
(3)
Отметим, что в технике различные силы часто создаются с помощью специальных
устройств - амортизаторов, демпферов и т.д., а в системах автоматического
управления с помощью датчиков, электронных устройств и исполнительных
органов возможно создание сил, являющихся функциями любой производной по
времени от перемещения.
Спроектируем (1) на оси инерциальной декартовой системы координат. Зная, что
ax = x''; ay = y''; az = z'', получаем дифференциальные уравнения движения
материальной точки в координатной форме или в проекциях на прямоугольные
оси координат:
mx'' = Fx; my'' = Fy; mz'' = Fz
(4)
При координатном способе радиус-вектор точки является функцией координат
точки r = r (x, y, z). Поэтому из выражения (3) следует, что
Fx = Fx(t, x, y, z, x', y', z'); Fy = Fy(t, x, y, z, x', y', z'); Fz = Fz(t, x, y, z, x', y', z');
Дифференциальные уравнения можно составить и в любых других системах
координат (полярной, сферической и т.д.), проектируя на эти оси (1), зная как
выражаются проекции ускорения в данных осях координат.
Дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки.
6
Согласно аксиоме связей, заменив связи их реакциями, можно рассматривать
несвободную материальную точку, как свободную, находящуюся под действием
активных сил и реакций связей. Тогда в выражении (1), согласно четвертой
аксиоме динамики, F будет равнодействующей активных сил и реакций связей.
Поэтому дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки
можно использовать для описания движения несвободной точки, помня о том, что
проекции сил на прямоугольные оси Fx, Fy, Fz в уравнениях (4) и проекции сил на
естественные оси Fτ, Fn, Fb в уравнениях (6) включают в себя не только проекции
активных сил, но и проекции реакций связей.
Наличие реакций связей в уравнениях движения точки естественно усложняет
решение задач динамики, так как в них появляются дополнительные неизвестные.
Для решения задач нужно знать свойства связей и иметь уравнения связей,
которых должно быть столько, сколько реакций связей. Однако очень часто
удачный выбор систем координат и выбор направлений их осей при составлении
уравнений движения точки позволяет обойти эти трудности и успешно решить
задачу.
Рекомендации по составлению динамических уравнений движения материальной
точки.
Векторные дифференциальные уравнения движения материальной точки чаще
используются в теоретических доказательствах, так как они не связаны с
конкретной системой координат. В практических задачах используются
уравнения в координатной или естественной форме. При решении любой задачи
динамики материальной точки важнейшим этапом является составление ее
дифференциальных уравнений движения. Для составления уравнений можно
рекомендовать следующую последовательность действий.
1. Изобразить материальную точку в промежуточном положении.
2. Показать все силы, действующие на нее, включая реакции связей для
несвободной материальной точки. Если сила определяется вектором скорости, а
направление его заранее неизвестно, то вектор скорости направляют в сторону
увеличения координат точки (см. ниже).
3. Если материальная точка несвободная, используя аксиому связей, заменить
связи их реакциями и перейти к свободной материальной точке.
4. Выбрать систему координат (прямоугольная, естественный трехгранник и т.д.),
в которой наиболее просто может быть решена задача.
Если выбрана прямоугольная система координат, ее начало совмещают с
7
начальным положением материальной точки, а оси направляют так, чтобы
материальная точка, изображенная в промежуточном положении, имела
положительные координаты. При этом для упрощения уравнений движения
нужно стремится, чтобы оси координат были перпендикулярны или параллельны
активным силам или, что особенно важно, реакциям связей.
Если выбран естественный трехгранник, начало отсчета помещают в начальное
положение материальной точки, положительное направление отсчета выбирают
таким, чтобы дуговая координата материальной точки в промежуточном
положении была положительной, а затем в этом положении строят естественные
оси координат по правилам их построения.
5. Найти проекции всех сил, приложенных к материальной точке, на оси
выбранной системы координат.
6. Записать в общем виде дифференциальные уравнения в проекциях на
выбранные оси и подставить в них найденные проекции сил. В результате будут
получены дифференциальные уравнения для данного конкретного случая
движения материальной точки. Далее уравнения можно уточнить, учитывая
особенности движения и свойства связей, а затем преобразовать.
Заметим, что составленные дифференциальные уравнения описывают движение
точки лишь в те промежутки времени, когда на нее действуют силы, указанные в
правых частях уравнений. Если действие каких-либо сил прекращается или
начинается действие новых сил, то для исследования дальнейшего движения
точки необходимо составлять новые дифференциальные уравнения с учетом
новых условий движения точки.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ.
В заключении следует отметить, что полученные соотношения позволяют
проводить количественную оценку явлений перемещения тел в пространстве и
времени. Но ! с учетом причин, вызывающих их. и решать конкретные задачи.
НА САМОПОДГОТОВКЕ.
Изучить вопросы, изложенные в лекции по конспекту и Л1 с 14-19.
СЛЕДУЮЩЕЕ ЗАНЯТИЕ № 5
Лекция №3. «Импульс». Л1 с19-22.