МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт физической культуры, спорта и туризма КОНТРОЛЬНО-КУРСОВАЯ (КУРСОВАЯ) РАБОТА по дисциплине Спортивная метрология: Основные статистические характеристики ряда измерений (среднее арифметическое значение, мода, медиана, размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации) Выполнил: Копейкин В.Д. ст-т гр. Проверила: Томилина В.В. Оценка______________ (баллы) Тула 2023 0 Содержание Введение.........................................................................................................2 1. Аналитический анализ. Основные статистические характеристики ряда измерений..............................................................................................4 2. Среднее арифметическое значение..........................................................4 3. Мода............................................................................................................5 4. Медиана......................................................................................................6 5. Размах вариации........................................................................................7 6. Дисперсия...................................................................................................7 7. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение..............................9 8. Ошибка средней арифметической (ошибка средней)............................9 9. Коэффициент вариации...........................................................................10 10.Заключение..............................................................................................16 11.Список литературы.................................................................................17 1 Введение В современном обществе, во время перехода к рынку, важно принятие рациональных необходимо проводить управленческих анализ решений. хозяйственной Для этого деятельности организаций, экономики в целом. Это позволяет делать статистика. Она осуществляет сбор, научную обработку, обобщение и анализ информации, характеризующей развитие экономики страны. Следует отметить, что современная статистика владеет большой методологической базой, что позволяет производить детальный и глубокий анализ экономических явлений, и на их основе делать выводы о состоянии экономики, уровне жизни населения. Целью выполнения данной курсовой работы является овладение основными приемами и методами сбора, обработки и анализа статистической информации и закрепление полученных знаний и навыков для дальнейшего использования в практической работе. средний вариация динамика индекс Задачи курсовой работы: рассчитать основные статистические показатели; вычислить аналитические показатели ряда динамики; произвести расчет индивидуальных и агрегатных индексов; рассчитать показатели структуры и состава населения; провести анализ полученных результатов и построить необходимые графики; провести экономический анализ заполненных национальных счетов. 2 Курсовая работа включает комплекс расчетных аналитических работ по темам: «Средние величины и показатели вариации», «Ряды динамики», «Индексы», «Выборочные наблюдения», «Статистика численности и состава населения», «Система национальных счетов». Расчеты в ходе работы выполнялись при помощи программы MS Excel. 3 Аналитический анализ. Основные статистические характеристики ряда измерений К основным статистическим характеристикам ряда измерений (вариационного ряда) относятся характеристики положения (средние характеристики, или центральная тенденция выборки); характеристики рассеяния (вариации, или колеблемости) и характеристики формы распределения. К характеристикам положения относятся среднее арифметическое значение (среднее значение), мода и медиана. К характеристикам рассеяния (вариации, или колеблемости) относятся: размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое (стандартное) отклонение, ошибка средней арифметической (ошибка средней), коэффициент вариации и др. К характеристикам формы относятся коэффициент асимметрии, мера скошенности и эксцесс. Далее приводятся формулы для расчёта основных статистических характеристик, причём предлагаются расчётные формулы как для несгруппированных данных, так и для данных, сгруппированных в интервалы. Характеристики положения 1. Среднее арифметическое значение Среднее арифметическое значение – одна из основных характеристик выборки. Она, как и другие числовые характеристики выборки, может вычисляться как по необработанным первичным данным, так и по результатам группировки этих данных. 4 Точность вычисления по необработанным данным выше, но процесс вычисления оказывается трудоёмким при большом объёме выборки. Для несгруппированных данных среднее арифметическое определяется по формуле: , где n- объем выборки, х1, х2, ... хn - результаты измерений. Для сгруппированных данных: , где n- объем выборки, k – число интервалов группировки, ni – частоты интервалов, xi – срединные значения интервалов. 2. Мода Определение 1. Мода - наиболее часто встречающаяся величина в данных выборки. Обозначается Мо и определяется по формуле: , где - нижняя граница модального интервала, - ширина интервала группировки, - частота модального интервала, интервала, предшествующего модальному, - частота - частота интервала, последующего за модальным. Определение 2. Модой Мо дискретной случайной величиныназывается наиболее вероятное её значение. Геометрически моду можно интерпретировать как абсциссу точки максимума кривой 5 распределения.Бываютдвухмодальные и многомодальныераспределени я. Встречаются распределения, которые имеют минимум, но не имеют максимума. Такие распределения называютсяантимодальными. Определение. Модальным интервалом называется интервал группировки с наибольшей частотой. 3. Медиана Определение. Медиана - результат измерения, который находится в середине ранжированного ряда, иначе говоря, медианой называется значение признака Х, когда одна половина значений экспериментальных данных меньше её, а вторая половина – больше, обозначается Ме. Когда объем выборки n - четное число, т. е. результатов измерений четное количество, то для определения медианы рассчитывается среднее значение двух показателей выборки, находящихся в середине ранжированного ряда. Для данных, сгруппированных в интервалы, медиану определяют по формуле: , где - нижняя граница медианного интервала; ширина интервала группировки, 0,5n – половина медианного интервала, объёма выборки, накопленная - - частота частота интервала, предшествующего медианному. Определение. Медианным интервалом называется тот интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше половины объёма выборки (n/2) или накопленная частость окажется больше 0,5. 6 Численные значения среднего, моды и медианы отличаются, когда имеет место несимметричная форма эмпирического распределения Характеристики рассеяния результатов измерений Для математико-статистического анализа результатов выборки знать только характеристики положения недостаточно. Одна и та же величина среднего значения может характеризовать совершенно различные выборки. Поэтому кроме них в статистике рассматривают также характеристики рассеяния (вариации, или колеблемости) результатов. 1. Размах вариации Определение. Размахом вариации называется разница между наибольшим и наименьшим результатами выборки, обозначается R и определяется R=Xmax - Xmin . Информативность этого показателя невелика, хотя при малых объёмах выборки по размаху легко оценить разницу между лучшим и худшим результатами спортсменов. 2. Дисперсия Определение. Дисперсией называется средний квадрат отклонения значений признака от среднего арифметического. Для несгруппированных данных дисперсия определяется по формуле = где Хi – значение признака, , (1) - среднее арифметическое. Для данных, сгруппированных в интервалы, дисперсия определяется по формуле 7 , где хi – среднее значение i интервала группировки, ni – частоты интервалов. Для упрощения расчётов и во избежание погрешностей вычисления при округлении результатов (особенно при увеличении объёма выборки) используются также другие формулы для определения дисперсии. Если среднее арифметическое уже вычислено, то для несгруппированных данных используется следующая формула: = , для сгруппированных данных: . Эти формулы получаются из предыдущих раскрытием квадрата разности под знаком суммы. В тех случаях, когда среднее арифметическое и дисперсия вычисляются одновременно, используются формулы: для несгруппированных данных: = , для сгруппированных данных: . 8 3. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение Определение. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение характеризует степень отклонения результатов от среднего значения в абсолютных единицах, т. к. в отличие от дисперсии имеет те же единицы измерения, что и результаты измерения. Иначе говоря, стандартное отклонение показывает плотность распределения результатов в группе около среднего значения, или однородность группы. Для несгруппированных данных стандартное отклонение можно определить по формулам = , = = . Для данных, сгруппированных в интервалы, стандартное отклонение определяется по формулам: , или . 4. Ошибка средней арифметической (ошибка средней) Ошибка средней арифметической характеризует колеблемость средней и вычисляется по формуле: 9 . Как видно из формулы, с увеличением объёма выборки ошибка средней уменьшается пропорционально корню квадратному из объёма выборки. 5. Коэффициент вариации Коэффициент вариации определяется как отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому, выраженное в процентах: . Считается, что если коэффициент вариации не превышает 10 %, то выборку можно считать однородной, то есть полученной из одной генеральной совокупности. Характеристики формы распределения Кривая эмпирического распределения (рис. 6) не всегда идеально колоколообразна (нормальна) и симметрична. Отсюда и следует важность вычисления коэффициентов асимметрии и эксцесса для эмпирических рядов распределения, т. к. они характеризуют скошенность и крутость данного ряда по сравнению с нормальным. Таким образом, для многих распределений характерен сдвиг кривой влево или вправо. В связи с этим различают левостороннюю (положительную) и правостороннюю (отри цательную) асимметрию. Она зависит от знака формулы для определения коэффициента асимметрии (нормированного центрального момента третьего порядка), который характеристикой скошенности или асимметрии распределения, определяемой по формулам: 10 служит для несгруппированных данных: , где - центральный момент третьего порядка, - среднее квадратическое отклонение,хi – значение признака, - среднее арифметическое,n – объём выборки; для данных, сгруппированных в интервалы: , где ni – частоты интервалов группировки, xi – срединное значение i интервала группировки, k – число интервалов. При этом, если знак этого выражения отрицательный (-), то асимметрия правосторонняя, или отрицательная (рис. 8), если же знак положительный (+), то или положительная (рис. 9). 11 асимметрия левосторонняя, Рис. 8. Правосторонняя (отрицательная) асимметрия Рис. 9. Левосторонняя (положительная) асимметрия Наиболее простой показатель асимметрии – это мера скошенности: . В основу её положено отклонение средней арифметической от моды, а по знаку выражения определяется левосторонняя (положительная) или правосторонняя (отрицательная асимметрия). 12 Кроме асимметричности кривые распределения характеристики плосковершинности и островершинности. характеристикой служит имеют Их величина эксцесса (нормированного центрального момента четвёртого порядка, см. учебник), которая рассчитывается по формулам: для несгруппированных данных: , где хi - значение признака; для сгруппированных данных , где ni - частоты интервалов группировки; х i - срединное значение интервала группировки; σ - среднеквадратическое отклонение. 13 Рис. 10. Островершинная и плосковершинная кривые распределения Если знак эксцесса отрицательный (-), то имеется тенденция к плосковершинности (рис. 10). Если же знак положительный к островершинности (рис. 10). 14 (+), то имеется тенденция 15 Заключение В результате выполнения курсовой работы изучены темы «Средние величины и показатели вариации», «Ряды динамики», «Индексы», «Выборочные наблюдения», «Статистика численности и состава населения», «Система национальных счетов». Были вычислены основные статистические показатели: средние величины, показатели вариации (дисперсия, среднеквадратическое отклонение, размах вариации, мода, медиана); показатели ряда динамики (абсолютный и относительный прирост); индивидуальные и агрегатные индексы; показатели структуры и состава населения, заполнены сводные национальные счета и построен счет «Товаров и услуг». Проведен анализ полученных результатов, построены необходимые графики, таким образом, поставленные задачи выполнены, цель достигнута. 16 Список литературы Статистика: учебник / И.И. Егорова, И.И. Елисеева, О.Н. Никифоров; под ред. И.И. Елисеевой. М.: Проспект, 2011. - 448 с. Статистика: учебник/ Л.П. Харченко, В.Г. Ионин, В.В. Глинский и др.; под ред. к.э.н., проф. В.Г.Ионина.-3-е изд., перераб. и доп. -М.: ИНФРА-М, 2008. - 445 с. Лысенко С.Н. Общая теория статистики / С.Н. Лысенко, И.А. Дмитриева. -М.: Вузовский учебник, 2009. - 224 с. Ефимова М.Р. и др. Общая теория статистики: учебник / М.Р. Ефимова, Е.В. Петрова, В.Н. Румянцев - 2-е изд., испр. и доп. -М.: Инфра-М, 2007. - 416 с. Общая теория статистики: учебник / под ред. О. Э. Башиной, А. А. Спирина. - 5-е изд., доп. и перераб. - М.: Финансы и статистика, 2005. 440 с. Ефимова М. Р. Социально-экономическая статистика: учебник для вузов / М.Р. Ефимова. -М.: Высшее образование, 2009. - 590 с. Общая теория статистики: учебник / под ред. М.Г. Назарова. -М.:ОМЕГА-Л, 2010. - 410 с. Теория статистики: Учебник для вузов /С.Е. Казаринова, А.Н. Воробьев, Г.Л. Громыко; под ред. Громыко Г.Л. - изд. 2-е, перераб., доп. М.: ИНФРА-М - 2009. - 476 с. Соколин В.П. Курс социально-экономической статистики. Учебник для вузов / под ред. М.Г. Назарова. - 6-е изд., испр. и доп.-М.: ОМЕГА-Л, 2007. - 984 с. 17 Салин В.Н. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: учебник./ В.Н. Салин, Э.Ю. Чурилова. -М.: Финансы и статистика, 2006. - 736 с. 18
