Задача 6 вариант У с л о в и е з а д а ч и . В цепи источники ЭДС Е заданы в вольтах, сопротивления в омах. Требуется определить: 1) потенциалы узлов; 2) токи ветвей − методами контурных токов и узловых потенциалов; 3) ток - методом эквивалентного источника; 4) проверить баланс мощностей Решение 1) Находим потенциалы узлов Для этого расставим на схеме индексы на источниках ЭДС и сопротивлений в соответствии с заданными индексами токов. 𝑅1 = 5 Ом, 𝑅2 = 5 Ом, 𝑅3 = 2 Ом, 𝑅5 = 10 Ом , 𝑅6 = 10 Ом , 𝐸1 = 40 𝐵, 𝐸2 = 10 𝐵, 𝐸3 = 4 𝐵, 𝐸4 = 20 𝐵, 𝐸3 𝐸1 𝐼1 0 𝐼3 𝐸4 𝐼4 𝑅3 𝑅5 𝐼5 2 𝑅1 𝑅2 𝐸2 𝐼2 3 1 𝑅6 𝐼6 В данной схеме: узлов - 4, ветвей - 6, из них особых ветвей − 1. Под особыми ветвями понимаются ветви, в которых имеется только источники ЭДС. Количество уравнений, составляемых по методу узловых потенциалов, равно Nу−1−Ne, где Nу - число узлов, Ne - число особых ветвей. Для данной схемы количество уравнений, составляемых по методу узловых потенциалов, равно 4 - 1 - 1 = 2. Так как в исходной схеме имеются особые ветви, то примем потенциал одного из узлов, к которой присоединена одна из этих ветвь, равным нулю: 𝜑0 = 0 В, тогда потенциал узла №2 равен 𝜑2 =𝜑0 +𝐸4 =0+20=20 В. Составим уравнения для определения потенциалов остальных узлов. Уравнение для узла №1: 1 1 1 1 1 1 1 𝜑1 ⋅ ( + + ) − 𝜑0 ⋅ − 𝜑2 ⋅ − 𝜑3 ⋅ = 𝐸3 ⋅ 𝑅3 𝑅5 𝑅6 𝑅3 𝑅5 𝑅6 𝑅3 Уравнение для узла №3: 1 1 1 1 1 1 1 1 𝜑3 ⋅ ( + + ) − 𝜑0 ⋅ − 𝜑2 ⋅ − 𝜑1 ⋅ = 𝐸1 ⋅ + 𝐸2 ⋅ 𝑅1 𝑅2 𝑅6 𝑅1 𝑅2 𝑅6 𝑅1 𝑅2 Перенесём все известные слагаемые в правую часть и объединим полученные уравнения в систему. Получим: 1 1 1 1 1 1 1 + + ) − 𝜑3 ⋅ = 𝜑0 ⋅ + 𝜑2 ⋅ + 𝐸3 ⋅ 𝑅3 𝑅5 𝑅6 𝑅6 𝑅3 𝑅5 𝑅3 1 1 1 1 1 1 1 1 𝜑3 ⋅ ( + + ) − 𝜑1 ⋅ = 𝜑0 ⋅ + 𝜑2 ⋅ + 𝐸1 ⋅ + 𝐸2 ⋅ 𝑅1 𝑅2 𝑅6 𝑅6 𝑅1 𝑅2 𝑅1 𝑅2 { 𝜑1 ⋅ ( Подставим в полученную систему уравнений численные значения и получим: 0.7 ⋅ 𝜑1 − 0.1 ⋅ 𝜑3 = 4 { −0.1 ⋅ 𝜑1 + 0.5 ⋅ 𝜑3 = 14 Решим систему уравнений и получим искомые потенциалы узлов: 𝜑1 =10 В, 𝜑3 =30 В 2) Рассчитаем схему по методу контурных токов. 22 𝐼11 33 В данной схеме: узлов - 4, ветвей без источников тока - 6, независимых контуров - 3. Количество уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно Nв−Nу+1, где Nв - число ветвей без источников тока, Nу - число узлов. Для данной схемы количество уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно 6 - 4 + 1 = 3. Составим уравнения по методу контурных токов. Составим уравнение для контура №1: 𝐼11 ⋅ (𝑅1 + 𝑅2 ) − 𝐼22 ⋅ 𝑅2 = 𝐸1 − 𝐸2 − 𝐸4 Составим уравнение для контура №2: 𝐼22 ⋅ (𝑅2 + 𝑅5 + 𝑅6 ) − 𝐼11 ⋅ 𝑅2 + 𝐼33 ⋅ 𝑅5 = 𝐸2 Составим уравнение для контура №3: 𝐼33 ⋅ (𝑅3 + 𝑅5 ) + 𝐼22 ⋅ 𝑅5 = 𝐸3 − 𝐸4 Объединим полученные уравнения в одну систему, при этом перенесём известные величины в правую сторону, оставив в левой стороне только составляющие с искомыми контурными токами. Система уравнений по методу контурных токов для исходной цепи выглядит следующим образом: 𝐼11 ⋅ (𝑅1 + 𝑅2 ) − 𝐼22 ⋅ 𝑅2 = 𝐸1 − 𝐸2 − 𝐸4 {𝐼22 ⋅ (𝑅2 + 𝑅5 + 𝑅6 ) − 𝐼11 ⋅ 𝑅2 + 𝐼33 ⋅ 𝑅5 = 𝐸2 𝐼33 ⋅ (𝑅3 + 𝑅5 ) + 𝐼22 ⋅ 𝑅5 = 𝐸3 − 𝐸4 Подставим в полученную систему уравнений значения сопротивлений и источников и получим: 10 ⋅ 𝐼11 − 5 ⋅ 𝐼22 = 10 {−5 ⋅ 𝐼11 + 25 ⋅ 𝐼22 + 10 ⋅ 𝐼33 = 10 10 ⋅ 𝐼22 + 12 ⋅ 𝐼33 = −16 Решим систему уравнений и получим искомые контурные токи: 𝐼11 =2 А, 𝐼22 =2 А, 𝐼33 =−3 А Рассчитаем токи в ветвях исходя из полученных контурных токов. 𝐼1 =𝐼11 =2 А, 𝐼2 =−𝐼11 +𝐼22 =−2+2=0 А, 𝐼3 =−𝐼33 =−(−3) =3 А, 𝐼4 =−𝐼11 −𝐼33 =−2−(−3) =1 А, 𝐼5 =−𝐼22 −𝐼33 =−2−(−3) =1 А, 𝐼6 =I22=2 А. Исходя из узловых потенциалов вычисленных выше находим токи ветвей. Определим токи во всех ветвях, кроме особых, по закону Ома для участка цепи: 𝜑0 − 𝜑3 + 𝐸1 0 − 30 + 40 𝐼1 = = =2А 𝑅1 5 𝜑2 − 𝜑3 + 𝐸2 20 − 30 + 10 𝐼2 = = =0А 𝑅2 5 𝜑0 + 𝜑1 + 𝐸3 0 + 10 − 4 𝐼3 = = =3А 𝑅3 2 𝜑2 − 𝜑1 20 − 10 𝐼5 = = =1А 𝑅5 10 −𝜑1 + 𝜑3 −10 + 30 𝐼6 = = =2А 𝑅6 10 Определим по первому закону Кирхгофа ток 𝐼4 в особой ветви. Составим уравнение для узла №2: −𝐼2 + 𝐼4 − 𝐼5 = 0 Перенесём известные слагаемые в правую часть и получим искомый ток: 𝐼4 = 𝐼2 + 𝐼5 = 1 А 3) Рассчитаем ток I1 в ветви с элементами E1, R1 по методу эквивалентного генератора. Для этого рассчитаем напряжение холостого хода на выводах разомкнутой ветви с искомым током и эквивалентное сопротивление пассивной цепи относительно ветви с искомым током. Рассчитаем напряжение холостого хода. На рисунке ниже приведена рассчитываемая схема. Напряжение холостого хода 𝑈𝑥𝑥 сонаправлено с искомым током. Принятое направление искомого тока приведено на схеме выше. 𝐸3 𝑈𝑥𝑥 𝐸4 К1 𝐼1 𝑅3 𝑅5 2 𝑅2 𝐼3 𝐸2 𝐼2 1 К2 𝑅6 Рассчитаем схему по законам Кирхгофа. В данной схеме: узлов − 2, ветвей − 3, независимых контуров − 2. Составим уравнения по первому закону Кирхгофа. Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно Nу−1, где Nу − число узлов. Для данной схемы количество уравнений по первому закону Кирхгофа равно 2 − 1 = 1. Составим уравнение для узла №1: 𝐼1 − 𝐼2 − 𝐼3 = 0 Составим уравнения по второму закону Кирхгофа. Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно Nв−Nу+1, где Nв - число ветвей без источников тока. Для данной схемы количество уравнений по второму закону Кирхгофа равно 3 − 2 + 1 = 2. Составим уравнение для контура №1: 𝑅3 ⋅ 𝐼1 + (𝑅2 + 𝑅6 ) ⋅ 𝐼2 = −𝐸3 + 𝐸4 + 𝐸2 Составим уравнение для контура №2: (𝑅2 + 𝑅6 ) ⋅ 𝐼2 − 𝑅5 ⋅ 𝐼3 = 𝐸2 Объединим полученные уравнения в одну систему, при этом перенесём известные величины в правую сторону, оставив в левой стороне только составляющие с искомыми токами. Система уравнений по законам Кирхгофа для исходной цепи выглядит следующим образом: 𝐼1 − 𝐼2 − 𝐼3 = 0 {𝑅3 ⋅ 𝐼1 + (𝑅2 + 𝑅6 ) ⋅ 𝐼2 = −𝐸3 + 𝐸4 + 𝐸2 (𝑅2 + 𝑅6 ) ⋅ 𝐼2 − 𝑅5 ⋅ 𝐼3 = 𝐸2 Подставим в полученную систему уравнений значения сопротивлений и источников и получим: 𝐼1 − 𝐼2 − 𝐼3 = 0 { 2 ⋅ 𝐼1 + 15 ⋅ 𝐼2 = 26 15 ⋅ 𝐼2 − 10 ⋅ 𝐼3 = 10 Решим систему уравнений и получим искомые токи: 𝐼1 = 2,5 А, 𝐼2 = 1,4 А, 𝐼3 =1,1 А Определим искомое напряжение холостого хода. Рассмотрим контур, проходящий в указанном порядке через элементы 𝑈𝑥𝑥 , 𝐸2 , 𝑅2 , 𝐸4 , и составим для него уравнение по второму закону Кирхгофа. Получим: 𝑈𝑥𝑥 − 𝑅2 ⋅ 𝐼2 = −𝐸2 − 𝐸4 Определим напряжение холостого хода. Получим: 𝑈𝑥𝑥 = 𝑅2 ⋅ 𝐼2 − 𝐸2 − 𝐸4 = 1.4 ⋅ 5 − 10 − 20 = −23 В Рассчитаем внутреннее сопротивление цепи 𝐸э относительно ветви с искомым током. Для этого из исходной схемы уберём ветвь с искомым током, при этом оставим концы этой ветви. Все источники ЭДС закоротим. 𝑅э 𝑅3 𝑅5 𝑅2 𝑅6 Рассчитаем эквивалентное сопротивление цепи относительно ветви с искомым током. Ветвь с элементами 𝑅3 параллельна ветви с элементами 𝑅5 . Эквивалентное сопротивление этих ветвей равно: 𝑅3 ⋅ 𝑅5 2 ⋅ 10 𝑅35 = = = 1.6667 Ом 𝑅3 + 𝑅5 2 + 10 Ветвь с элементами 𝑅6 последовательна ветви с элементами 𝑅35 . Эквивалентное сопротивление этих ветвей равно: 𝑅356 = 𝑅6 + 𝑅35 = 10 + 1.6667 = 11.6667 Ом Ветвь с элементами 𝑅2 параллельна ветви с элементами 𝑅356 . Эквивалентное сопротивление этих ветвей равно: 𝑅2 ⋅ 𝑅356 5 ⋅ 11.6667 𝑅э = = = 3.5 Ом 𝑅2 + 𝑅356 5 + 11.6667 Определим искомый ток: 𝑈𝑥𝑥 + 𝐸1 −23 + 40 𝐼1 = = =2А 𝑅э + 𝑅1 3.5 + 5 3) Проверим баланс мощностей Определим мощность, потребляемую приёмниками: 𝑃пр = 𝑅1 ⋅ 𝐼1 2 + 𝑅2 ⋅ 𝐼2 2 + 𝑅3 ⋅ 𝐼3 2 + 𝑅5 ⋅ 𝐼5 2 + 𝑅6 ⋅ 𝐼6 2 . Подставим числовые значения и получим: Pпр𝑃пр =5⋅22 +5⋅0+2⋅32 +10⋅12 +10∙22 =88. Определим мощность , отдаваемую источниками ЭДС: Pист 𝑃ист =𝐸1 ⋅𝐼1 +𝐸2 ⋅𝐼2 +𝐸3 ⋅𝐼3 +𝐸4 ⋅𝐼4 . Подставим числовые значения и получим: 𝑃ист = 40 ⋅ 2 + 10 ⋅ 0 + 4 ⋅ (−3) + 20 ⋅ 1 = 88. Итак,𝑃пр = 88, 𝑃ист = 88. Баланс мощностей сходится.