Комплексные числа.

Геометрическое изображение комплексных чисел
Комплексное число z = х + уi может быть изображено на плоскости точкой М (х;у) или радиус-вектором точки
М (х;у).
Такая плоскость называется комплексной плоскостью.
Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел, если в них положить у = 0, они
изображаются точками на действительной оси Ох.
Если у комплексного числа z = х + уi действительная часть равна нулю, т.е.х = 0, то это число называется чисто
мнимым числом, оно изображается точкой на мнимой оси Оу.
Тригонометрическая форма комплексного числа
Длина вектора r , изображающего комплексное число z  x  yi , называется модулем этого числа и обозначается
|z| или r:
r  z  x2  y 2 .
Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r , изображающим
комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Аrg z или φ.
y
y
tg  ⟹   arctg .
x
x
Аргумент комплексного числа z = 0 не определен.
Аргумент комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого
2πк (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …):
Arg z = arg z + 2πк,
где arg z = φ – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π; π], то есть
-π < φ ≤ π,
y

arctg x , для точек I и IV четверти,

y

  arctg   , для точек II четверти,
x

y

arctg x   , для точек III четверти.

 x  r  cos
Так как 
, то z  x  yi  r  cos  r  sini
 y  r  sin 
или
z  r  (cos   i  sin  )
тригонометрическая форма комплексного числа.
Над комплексными числами в тригонометрической форме можно выполнять действия:
1) Умножение
При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме перемножаются их модули, а аргументы
складываются:
z1z2  r1r2 cos(1  2 )  i  sin(1  2 ) .
2) Деление
При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме перемножаются их модули, а аргументы
складываются:
z1
r
 1 cos(1   2 )  i  sin(1   2 ) ,
z 2 r2
3) Возведение в степень
При возведении комплексного числа в n-ю степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на
показатель степени (формула Муавра):
z n  r n  (cosn  i  sin n ) .
4) Извлечение корня
n
z  n r  (cos
  2k
n
 i  sin
  2k
n
) , k = 0, 1, 2,…(n - 1).