Федеральное агентство по образованию Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Л. И. ЧЕРНЫШОВА В. В. СОКОЛОВИЧ Л. Е. ЯКИМОВ СЕМЕСТРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМУ, ОПТИКЕ, АТОМНОЙ И ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Красноярск 2014 УДК 539.194 ББК 22.33Я73 Ч Рецензенты доктор физико-математических наук, профессор Е.М. Артемьев, доктор физико-математических наук, профессор С.С. Аплеснин Чернышова Л.И., Соколович В.В., Якимов Л.Е. Cеместровые задания по электромагнетизму, оптике, атомной и ядерной физике: учеб. пособие / Чернышова Л.И., Соколович В.В., Якимов Л.Е.; СибГАУ. – Красноярск, 2013. Учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров и содержит 480 задач, соответствующих второй половине двухсеместрового курса физики. В пособии по каждой из 16 тем даны основные понятия, законы и формулы, необходимые для решения семестровых заданий, поясняется смысл величин, входящих в формулы и подробно разбираются типовые задачи и их оформление. УДК 539.194 ББК 22.33Я73 Учебное издание ЧЕРНЫШОВА Лидия Ивановна СОКОЛОВИЧ Виктор Владимирович ЯКИМОВ Лев Евгеньевич Семестровые задания по электромагнетизму, оптике, атомной и ядерной физике Учебное пособие © Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, 2013 © Л. И. Чернышова, 2013 2 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.........................................................................................................6 I. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ..................................................................................7 1. Принцип суперпозиции магнитных полей. Закон Био–Савара–Лапласа. Закон полного тока............................................................................................7 Примеры решения задач...................................................................................8 2. Сила Ампера. Работа в магнитном поле...................................................11 Примеры решения задач.................................................................................13 3. Электромагнитная индукция..................................................................... 14 Примеры решения задач.................................................................................15 4. Магнитное поле в веществе....................................................................... 17 Примеры решения задач.................................................................................18 5. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях... 20 Примеры решения задач.................................................................................20 6. Электромагнитные колебания................................................................... 21 Примеры решения задач.................................................................................22 II. ОПТИКА......................................................................................................... 23 7. Геометрическая оптика...............................................................................23 Примеры решения задач.................................................................................29 8. Интерференция света...................................................................................... 37 Примеры решения задач.................................................................................38 9. Дифракция света............................................................................................. 41 3 Примеры решения задач.................................................................................43 10. Поляризация света........................................................................................ 45 Примеры решения задач.................................................................................47 III. КВАНТОВАЯ ОПТИКА...................................................................................48 11. Законы теплового излучения.........................................................................48 Примеры решения задач.................................................................................49 12. Квантовая природа света. Фотоэффект. Эффект Комптона........................... 51 Примеры решения задач.................................................................................51 13. Давление света..............................................................................................55 Примеры решения задач.................................................................................56 IV. АТОМНАЯ ФИЗИКА.................................................................................. 58 14. Атом водорода по теории Бора......................................................................58 Примеры решения задач.................................................................................59 V. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ........................................................61 15. Волновые свойства частиц. Основы квантовой механики............................. 61 Примеры решения задач.................................................................................63 VI. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА........................................................................................70 16. Физика атомного ядра. Радиоактивность...................................................... 70 Примеры решения задач.................................................................................73 УСЛОВИЯ СЕМЕСТРОВЫХ ЗАДАЧ............................................................. 76 1. Принцип суперпозиции магнитных полей. Закон Био–Савара–Лапласа. Закон полного тока..........................................................................................76 4 2. Сила Ампера. Работа в магнитном поле..................................................81 3. Электромагнитная индукция..................................................................... 85 4. Магнитное поле в веществе....................................................................... 89 5. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях... 93 6. Электромагнитные колебания................................................................... 96 7. Геометрическая оптика................................................................................. 100 8. Интерференция света.................................................................................... 104 9. Дифракция света........................................................................................... 108 10. Поляризация света...................................................................................... 112 11. Законы теплового излучения.......................................................................115 12. Квантовая природа света. Фотоэффект. Эффект Комптона......................... 119 13. Давление света............................................................................................122 14. Атом водорода по теории Бора................................................................... 125 15. Волновые свойства частиц. Основы квантовой механики........................... 127 16. Физика атомного ядра. Радиоактивность.................................................... 130 Библиографический список.............................................................................133 Приложение......................................................................................................... 134 5 Предисловие Данное учебное пособие предназначено для студентов высших технических учебных заведений, изучающих физику в течение двух семестров, и содержит задачи ко второй половине годового курса по темам: электромагнетизм, оптика, квантовая механика, атомная и ядерная физика. В начале пособия помещен краткий перечень формул и законов, связанных с решением задач, рассматриваемых во втором семестре. Эти формулы позволяют студентам, приступившим к самостоятельной работе над каким-либо разделом, определить объём теоретического материала, необходимого для решения рассматриваемых задач. Важным элементом пособия являются примеры решения задач. Они позволяют уяснить методы решения, углубить понимание физических законов, развивают умение рассуждать. Самостоятельное решение задач – наиболее активное проявление знаний и понимания физических явлений и законов. Умение решать задачи достигается в результате глубокого усвоения физических законов и решения большого количества задач. Работа над задачами должна идти параллельно с работой над курсом физики по таким изданиям, как «Курс физики» под редакцией Т.И. Трофимовой или по изданиям других авторов. Для облегчения пользования пособием приводятся справочные данные, необходимые для решения. В условиях и решениях используется система СИ. Пособие содержит 480 задач, в нем приводятся задачи разной степени трудности. Поэтому учебное пособие с равным успехом может быть использовано в вузах при изучении как обычной, так и расширенной программы по физике. 6 I. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 1. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ. ЗАКОН БИО–САВАРА–ЛАПЛАСА. ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА 1. Принцип суперпозиции магнитных полей. Магнитное поле B , создаваемое в вакууме несколькими токами (несколькими движущимися зарядами), равно векторной сумме полей Bi , создаваемых каждым током (каждым движущимся зарядом) в отдельности: n B = ∑ Bi , i =1 или B = ∫ dB. 2.Закон Био́–Сава́ра–Лапла́са. Согласно этому закону -магнитное поле любого тонкого проводника с током может быть вычислено, как векторная сумма полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока. Магнитная индукция dB поля, создаваемого элементом тока длины dl, определяется формулой: dB = µ 0 [ Idl ⋅ r ] ; 4π r3 где µ 0 = 4π · 10–7 Гн/м – магнитная постоянная; dl -вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направленный по направлению тока I; r -вектор, проведенный от элемента в точку, в которой определяется dB ; r – модуль вектора r . Модуль вектора dB определяется формулой µ Idl ⋅ sin α dB = 0 , 4π r2 где α - угол между векторами dl и r . 7 3.Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током, B= µ0 I , 2πr0 где r0 – расстояние от оси проводника. 4. Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника с током I в произвольной точке A B= µ0 I (cos α1 − cos α 2 ), 4πr0 Вектор магнитной индукции B в точке А на рисунке перпендикулярен плоскости чертежа и направлен к нам. 5.Магнитная индукция в центре кругового проводника с током B= µ0 I 2R , где R – радиус окружности проводника. 6. Магнитная индукция на оси кругового тока B= µ 0 IR 2 2( R 2 + h 2 ) 3 / 2 , где h – расстояние от точки, где определяется магнитная индукция, до плоскости контура. 7. Закон полного тока. Циркуляция вектора магнитной индукции вдоль произвольного замкнутого контура равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром n ∫ Bdl = µ0 ∑ I k , k =1 l 8. Магнитная индукция поля внутри соленоида (или на оси тороида) B = µ0nI , где n = N/L. N– число витков, L – длина соленоида. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. Два бесконечно длинных параллельных провода, по которым текут в одном направлении токи с силой 60 А, расположены на расстоянии 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию в точке, отстоящей от одного проводника на расстояние 5 см, а от 8 другого – на расстояние 12 см. Дано: Решение: I1 = I2 = 60 A d = 0,1 м r1 = 5 · 10–2м r2 = 12 · 10–2м В=? C D Для нахождения магнитной индукции в указанной точке А определим направления векторов индукций B1 и B2 полей, создаваемых каждым проводником в отдельности, и по принципу суперпозиции полей: B = B1 + B2 . Абсолютное значение индукции найдем по теореме косинусов: B = B12 + B22 + 2 B1B2 cos α , Где B1 = (1) µ 0 I1 µI ; B2 = 0 2 . Подставляя В1 и В2 в формулу (1), получим 2πr1 2πr2 B= µ0 I 2π 1 1 2 cos α + + . r12 r22 r1 ⋅ r2 (2) Вычислим cos α по теореме косинусов из треугольника АСD: d 2 = r12 + r22 − 2r1 ⋅ r2 ⋅ cos α, где d – расстояние между проводами. Отсюда cos α = r12 + r22 − d 2 = 0,576, 2r1r2 тогда B по формуле (2) получается B = 286 ⋅10−6 Тл = 286 мкТл. Ответ:В = 286 мкТл. Задача 2. Коаксиальный кабель представляет собой длинную металлическую тонкостенную трубку радиусом 10 мм, вдоль оси которой, расположен тонкий провод. Силы токов в трубке и проводе равны, направления противоположны. Определить магнитную индукцию в точках 1 и 2, удаленных соответственно на расстояния 5 и 15 мм от оси кабеля, если сила тока равна 0,5 А. Дано: Решение: 9 I = 0,5 А R = 10 мм = 1 · 10–2 м r1 = 5 · 10–3 м r2 = 15 · 10–3м µ=1 B1 = ? B1 = ? Магнитная индукция в каждой из точек 1 и 2 равна векторной сумме магнитных индукций, создаваемых двумя токами: трубки и осевого провода. Линии индукции магнитного поля прямолинейного тока имеют форму окружности, поэтому через точку 1 проведем окружность l1, центр которой лежит на оси кабеля, и применим теорему о циркуляции вектора магнитной индукции (закон полного тока): ∧ ∫ B1dl cos( B1 , dl ) = B1 ∫ dl = 2πr1B1 = µ0 I , l1 (1) l1 откуда магнитная индукция B1 = µ0 I . 2πr1 (2) Подставив численные значения µ0, J и r1 в формулу (2), получим B1 = 2 · 10 Тл = 20 мкТл. Для определения величины B2 аналогично проведем через точку 2 линию индукции, совпадающую с окружностью l2. Поскольку контур интегрирования l2 охватывает два тока, равных по величине и противоположных по направлению, то –5 ∫ B2 dl cos( B2 , ∧ dl ) = B2 ∫ dl = 2πr2 B2 = 0, l2 l2 откуда B2 = 0. Ответ:B1 = 20 мкТл; B2 = 0. Задача 3. Бесконечно длинный провод образует круговую петлю, касательную к проводу. По проводу течёт ток силой 5 А. Найти радиус петли, если известно, что магнитная индукция поля в центре петли равна B = 41,4мкТл. Дано: Решение: I= 5 А 10 B = 41,4мкТл R =? Следуя принципу суперпозиции, магнитную индукцию B рассматриваемого тока можно представить как сумму полей В1 и В2; где В1 – поле в центре петли, создаваемое током, протекающим по окружности; В2 – поле в центре петли, создаваемое током, протекающим по бесконечно длинному проводнику. Если учесть, что составляющие магнитного поля dB = µ 0 [ Idl ⋅ r ] 4π r3 создаваемые всеми элементами dl проводника в точке О имеют одинаковое направление, то очевидно, что модуль вектора B равен B = B1 + B2 . Поле для кругового тока в центре B1 = µ0 I 2R , поле для бесконечно длинного проводника с током B2 = Соответственно B = ∫ dB = L µ0 I . 2πr0 µ 0 I µ0 I + 2 R 2πR , откуда определяем радиус кругового тока R= Ответ: R = µ0 I (π + 1) = 0.1м 2πB µ0 I (π + 1) 2πB . 2. СИЛА АМПЕРА. РАБОТА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 1.Закон Ампера. Сила F , действующая на проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле, пропорциональна магнитной индукции B , силе тока I, протекающего по проводнику, длине проводника l и синусу угла α между направлением тока в проводнике и направлением вектора магнитной индукции: 11 F = BIl sin α , или для неоднородного магнитного поля dF = [ Idl ⋅ B] . Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки или по правилу (правого винта) тройки векторов. Результирующая сила равна F = ∫ dF . 2. Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных проводников с токами I1 и I2, находящихся на расстоянии a друг от друга, рассчитанная на отрезок проводника длиной l, выражается формулой: F µ 0 I1 I 2 = . l 2π a 3. Индукция зарядом, Bq магнитного поля, создаваемого отдельным движущимся Bq = µ qV sin α µ 0 q[V r ] ⋅ 3 , Bq = 0 ⋅ . 4π r 4π r2 V 4. Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле, M = [ рm ⋅ B], или M = р m ⋅ B ⋅ sin α, где рm – магнитный момент контура с током, равный произведению силы тока в контуре на площадь S, охватываемую этим контуром и на n - вектор нормали к плоскости контура: рm = I ⋅ S ⋅ n. 5. Магнитный поток Φ m через плоский контур площадью S в случае однородного магнитного поля Ф = B ⋅ S ⋅ cosα , где α – угол между вектором нормали n к плоскости контура и вектором индукции B. В случае неоднородного поля элементарный магнитный поток 12 определяется, как dФ = B ⋅ dS ⋅ cos α = B ⋅ dS , а полный поток Ф = ∫ BdS = ∫ Bn ⋅ dS , S S где интегрирование ведется по всей площади S. В системе СИ магнитный поток измеряется в веберах (Вб). 6. Работа перемещения замкнутого контура с током в магнитном поле A = I ⋅ ∆Ф, где ∆Ф – изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R =0.1м находится в однородном магнитном поле (B = 50 мТл),. По проводу течет ток I =10 А. Найти силу, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля. Дано: В = 50мТл R = 0.1м I=10А F=? Решение: Выберем оси координат в плоскости полукольца, при этом начало координат совместим с центром окружности, а ось х направим по диаметру, соединяющему концы полуокружности. По закону Ампера на каждый элемент тока Idl будет действовать сила dF = I [dl ⋅ B] . Сила dF ортогональна вектору dl , направленному по касательной к полуокружности и лежит в плоскости этой полуокружности , соответственно она направлена радиально. В выбранной системе координат её можно представить в виде dF = i dFx + j dFy . Результирующую силу, интегрированием: действующую на весь провод, найдем F = ∫ dF = i ∫ dFx + j ∫ dFy . L L L Из соображений симметрии следует, что первый интеграл в сумме равен 13 нулю. Следовательно, полная сила F = j ∫ dFy = j ∫ dF cosα , L L где dF = IBdl sin (dl ∧ B ), а угол между векторами B и dl равен π/2. Удобно при нахождении интеграла F = ∫ IBdl cosα , вспомнив, что dl =Rdα , перейти к интегрированию по dα L F = j ∫ dFy = j L π /2 ∫ IBR cos αdα −π / 2 Таким образом, величину . результирующая сила направлена по оси y и имеет F =2IBR =2 ·10 · 5 0· 10 -3·0.1=0.1Н. Ответ: 0.1 Н. 3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ. 1. Основной закон электромагнитной индукции: электродвижущая сила ε i индукции, возникающая в замкнутом контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного потока со временем: εi = − dФ , dt Если число витков равно N, то εi = −N dΦ dΨ =− , dt dt где N ⋅ Φ = Ψ – потокосцепление. 2. Разность потенциалов ∆ ϕ на концах проводника длиной l, движущегося в однородном магнитном поле B со скоростью V , выражается формулой ∆ϕ = BlV sin α, где α – угол между V и B . 3. Количество электричества q, протекающего в контуре сопротивлением R при изменении потокосцепления, пронизывающего все витки контура на величину ∆Φ m , выражается формулой 14 q=− ∆Φ . R 4. Ток, протекающий по любому замкнутому проводнику, создает магнитный поток Фm, который пронизывает поверхность, ограниченную этим проводником: Φ = L⋅I , где L– коэффициент самоиндукции или индуктивность контура. Единицей измерения индуктивности в системе СИ является генри (Гн). 5. ЭДС самоиндукции εсi , возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем, пропорциональна скорости изменения силы тока dI/dt: ε c = −L i dI , dt где L– индуктивность контура. 6. Индуктивность соленоида L = µ 0µn 2 V, где – объем соленоида; n – число витков на единицу длины (N/l). 7. Энергия магнитного поля, создаваемого соленоидом индуктивностью L, определяется формулой V = l ⋅S Wm = с LI 2 . 2 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. В магнитном поле, индукция которого В = 0,4 Тл, помещена катушка из N = 300 витков. Сопротивление катушки R = 40 Ом, площадь сечения S = 16 см2. Катушка помещена так, что ее ось составляет угол α = 60º с направлением магнитного поля. Какое количество электричества протечет по катушке при исчезновении магнитного поля? Дано: Решение: В = 0,4 Тл ( Φ − Φ1 ) q=− 2 , где Φ 2 = 0; Φ1 = N ⋅ B ⋅ S ⋅ cos α . N = 300 R R = 40 Ом BSN cos α = 2,4 ⋅ 10 −3 Кл q= S = 16 · 10–4 м2 R –3 α = 60º Ответ: q = 2,4·10 Кл. q= ? Задача 2. Замкнутая квадратная рамка из гибкой проволоки расположена в магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл, силовые линии 15 которого направлены перпендикулярно к плоскости рамки. Какой заряд протечет в рамке, если, не меняя плоскости расположения, придать ей форму окружности? Длина проволоки l = 1 м, ее сопротивление R = 100 Ом. Дано: Решение: В = 0,1 Тл l=1м R = 100 Ом q=− где q= ? 2 l2 l S1 = = ; l 4 16 ∆Φ (Φ − Φ1 ) ( S − S1 ) B =− 2 =− 2 , R R R = 2πr, откуда радиус r= l 2π Следовательно, l 2 l2 − B 2 2 π 4 16 πl l Bl 2 ( 4 − π) S 2 = πr 2 = 2 = , q=− =− , R R ⋅ 16 ⋅ π 4π 4π q= Ответ: 0,1 ⋅1 ⋅ ( 4 − 3,14) = 1,7 ⋅10 − 5 Кл. 100 ⋅16 ⋅ 3,14 q = 1,7 ⋅ 10 −5 Кл. Задача 3. Обмотка соленоида состоит из медной проволоки с площадью сечения S1. Длина соленоида – l, его сопротивление – R. Найти индуктивность соленоида. Дано: S1 l R L= ? Решение: Индуктивность соленоида L = µ 0n 2lS , где n= N l – число витков на единицу длины соленоида (N – общее число витков); µ = 1; S – площадь сечения соленоида. Сопротивление R= ρl1 , S1 где l1 – длина провода; S1 – площадь сечения провода; ρ – удельное сопротивление меди. Отсюда l1 = RS1 . ρ Если r – радиус сечения соленоида, то длина одного витка провода l0 = 2πr. Длина обмотки из N витков l1 = 2πrN , следовательно rN = l1 RS = 1. 2π 2πρ Площадь сечения соленоида S = πr 2 . Следовательно, 16 L = µ0 π π R2S 2 N2 2 R 2 S12 πr = µ0 ( Nr ) 2 = µ0 ⋅ 2 1 2 = µ0 . l l l 4π ρ 4π lρ 2 Ответ L = µ0 R 2 S12 . 4π lρ 2 4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 1. Вектор намагниченности Jm = n 1 ∆V ∑p mi , i где pmi – магнитный момент атома; ∆V – физически бесконечно малый объем магнетика. 2. Магнитное поле в магнетиках B = µ 0 µH , H = B / µ 0 − J m . 3. Магнитная проницаемость µ = 1+ χ, 4. Магнитная восприимчивость χ = Jm . H 5. Удельная магнитная восприимчивость χ уд = χ , ρ где ρ – плотность вещества. 6. Молярная магнитная восприимчивость χM = M ρ χ, где M – молярная масса. 7. Магнетон Бора µБ = eℏ , 2m e где e – элементарный заряд, ħ – постоянная Планка, me– масса электрона. 17 8.Объемная плотность энергии магнитного поля ωm = µ 0 µH 2 , 2 или ωm = B⋅H . 2 9. Зависимость индукции В в ферромагнетиках от напряженности магнитного поля Н выражается графиком B = f (H ). В задачах данного учебного пособия считается, что все сердечники выполнены из одного сорта железа. Железо Сталь Чугун Зависимость индукции ности магнитного поля ферромагнетиках Вв от напряжен- ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. По обмотке соленоида длиной 30 см с ненамагниченным железным сердечником пустили ток силой 0,6 А. Витки провода диаметром 0,4 мм плотно прилегают друг к другу. Определить магнитную проницаемость железного сердечника и индуктивность соленоида при данных условиях, если площадь его сечения равна 4 см2. Дано: Решение: l = 0,03 м Индуктивность соленоида 18 с ферромагнитным I = 0,6 А сердечником –3 d = 0,4 · 10 м L = µµ0n2lS , S = 4 · 10–4 м2 где n – число витков, приходящееся на единицу длины L= ?µ = ? 1 n = ; d µ – магнитная проницаемость железа, которую можно рассчитать по формуле µ= B . µ0 H Напряженность магнитного поля внутри соленоида H = I ⋅ n = 1,5 ⋅103 А/м. По кривой намагничивания железа В(Н) (см. график) находим магнитную индукцию в сердечнике: В = 1,35 Тл. Зная В и Н, найдем µ = 717. Теперь, поскольку В и Н уже известны, формулу для индуктивности перепишем в виде L= BlS . Hd 2 Подставив значения величин B, l, S, H и d, получим L = 0,68 Гн. Ответ:L= 0,68 Гн; µ = 717. Задача 2. Обмотка тонкой тороидальной катушки с железным сердечником состоит из N = 600 витков. Средний радиус тора r0 = 8 см. Найти индукцию магнитного поля внутри катушки, намагниченность и магнитную проницаемость сердечника, если сила тока в обмотке I= 0,5 А. Дано: N = 600 r0 = 8 см = 0,08 м I = 0,5 А B= ? Jm= ? Решение: Напряженность магнитного поля тороида H= IN = 500 А/м. 2πr0 Используя график зависимости магнитной индукции В от напряженности магнитного поля для железа, определим величину магнитной индукции: В = 1,10 Тл. µ=? Используя найденные значения В и Н, рассчитаем намагниченность и магнитную проницаемость сердечника по следующим формулам: 19 Jm = B B − H = 0,85 ⋅ 10 6 А/м, µ = = 1 760. µ0 µ0 Н Ответ J m = 0,85 ⋅ 106 А/м, µ = 1 760. 5. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ 1. Сила Лоренца ( ) Fл = q E + [V B ] , Магнитная составляющая силы Лоренца: Fм = qVB sin α , где α – угол, образованный вектором скорости V частицы и вектором индукции магнитного поля. Электрическая составляющая силы Лоренца: Fэ = qE . B 2. Эффект Холла. При протекании тока вдоль проводящей пластины, помещенной перпендикулярно магнитному полю, возникает поперечная разность потенциалов ∆ϕ = R где R= 1 ( q ⋅ n) IB , a – постоянная Холла; а – размер пластинки в направлении магнитного поля; n– концентрация носителей тока; q – их заряд. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. Протон и α -частица, ускоренные одинаковой разностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле. Чему равно отношение радиусов окружностей, по которым движутся протон и α-частица? Дано: m2 = 4 · m1 q2 = 2q1 U1 = U2 = U Решение: При прохождении ускоряющей разности потенциалов U работа сил электростатического поля идет на сообщение заряженной частице кинетической энергии: R1/R2= ? 20 m1v12 q1U = , 2 (1) m2 v 22 . q 2U = 2 (2) Поделим выражение (1) на (2): q1 m1v12 = q 2 m 2 v 22 откуда mv v1 = 2 , R1 = 1 1 Bq1 v2 или 1 v12 = , 2 4v 22 – радиус окружности протона, R2 = m2 v2 Bq 2 – радиус окружности α-частицы, R1 m1v1 ⋅ q 2 2 ⋅ 2 1 = = = . R 2 q1 ⋅ m 2 v 2 4 2 Ответ: R1 1 = . R2 2 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1. Период Т электромагнитных колебаний в контуре, состоящем из емкости С, индуктивности L и сопротивления R, определяется формулой 2π T= 1 R − LC 2 L 2 . Если сопротивление контура настолько мало, что 2 1 R , << LC 2L то период колебаний T = 2π LC . 2. Если колебания в контуре будут незатухающими, то разность потенциалов на обкладках конденсатора U = U 0 (cos ωt + α) и заряд q = q 0 cos(ωt + α). Ток в контуре изменяется по гармоническому закону 21 J= dq = − q 0 ω sin( ωt + α ), dt где q0 – максимальное значение величины заряда на обкладках конденсатора; α – начальная фаза; ω = 1 LC – собственная частота контура. 3. В процессе периодических превращений энергии электрического поля в энергию магнитного и наоборот колебательный контур будет излучать электромагнитную волну с частотой ν= и длиной волны ω 2π λ = с ⋅T = 2π ⋅ c , ω где c = 3 · 108 м/с – скорость света в вакууме. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L=1.2мГн и конденсатора переменной электроемкости от С1 =12пФ до С2=80пФ. Определить диапазон длин электромагнитных волн, которые могут вызывать резонанс в этом контуре. Активное сопротивление контура принять равным нулю. Дано: С1=12пФ С2=80пФ L=1.2мГн λ1-? λ2 =? Решение: Длина λ электромагнитной волны, которая может вызвать резонанс в колебательном контуре, связана с периодом Т колебаний контура соотношением λ=сТ (1) Период колебаний , в свою очередь, связан с индуктивностью L катушки и электроемкостью С конденсатора колебательного контура соотношением (формула Томпсона) T = 2π LC . Следовательно, λ = 2πс LC . (2) Согласно условию задачи, индуктивность контура неизменна, а электроёмкость контура может изменяться в пределах от С1 до С2 . Этим 22 значениям электроемкости соответствуют длины волн λ1 и λ2 определяющие диапазон длин волн, которые могут вызвать резонанс. После вычисления по формуле (2) получаем: λ1 =226м, λ2=585м. Ответ: λ1 = 226 м, λ2 = 585 м. II. ОПТИКА 7. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА 1. Закон отражения света. Луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр к границе раздела двух сред, построенный в точке падения, лежат в одной плоскости. Угол падения равен углу отражения (рис. 1): α = γ (углы отсчитываются от перпендикуляра к отражающей поверхности). Изображение А ′ В ′ предмета АВ в плоском зеркале всегда мнимое, прямое, в натуральную величину, расположено на том же расстоянии от зеркала, что и предмет (рис. 2). α γ 2. Сферические зеркала. Используя закон отражения света, можно получить характерный ход лучей для вогнутого (рис. 3) и выпуклого зеркал (рис. 4). Здесь R ― радиус кривизны зеркала; О ― центр сферической поверхности; Р ― полюс зеркала; ОР ― главная оптическая ось зеркала; F ― фокус зеркала; PF = F ― фокусное расстояние зеркала R F = . 2 Построение изображения предмета в сферических зеркалах основывается на знании хода характерных лучей. Приведем несколько построений в вогнутом (рис. 5 и 6) и выпуклом зеркале (рис. 7). 23 3. Формула зеркала связывает между собой расстояние от предмета до зеркала d, расстояние от изображения до зеркала f и фокусное расстояние зеркала F: 1 1 1 = + . F d f Обычно по заданным F и d находят неизвестное f. Если зеркало вогнутое, фокусное расстояние F в формуле берут со знаком (+), если выпуклое ― со знаком (–). Если изображение предмета мнимое, то f 24 получится отрицательным, а если действительное ― положительным. 4. Закон преломления света. Луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр к границе раздела двух сред, построенный в точке падения луча, лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления (углы отсчитываются от перпендикуляра) есть величина постоянная для двух данных сред, оно равно отношению абсолютных показателей преломления второй среды и первой: V sin α n2 = = n21 = 1 , sin β n1 V2 где n1 и n2 ― абсолютный показатель преломления первой и второй среды; n21 ― относительный показатель преломления второй среды по отношению к первой; n1 = c , V1 n2 = c , V2 где с = 3 · 108 м/с ― скорость света в вакууме. Согласно теории Максвелла абсолютный показатель преломления n = ε ⋅ µ , где ε ― диэлектрическая проницаемость среды; µ ― магнитная проницаемость среды. Для прозрачных сред обычно µ ≅ 1, тогда n = ε . 25 α α β β β<α β>α Если n2 > n1, то говорят, что вторая среда оптически более плотная, и наоборот. В оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно. На границе раздела двух сред лучи претерпевают отражение и преломление. 5. Полное внутреннее отражение Если свет переходит из cреды оптически более плотной в среду оптически менее плотную (n2 < n1), то существует такой угол падения луча (предельный угол) α 0, для которого угол преломления будет равен 90º. Для всех углов падения при α > α 0 световые лучи испытывают полное внутреннее отражение от границы раздела двух сред, то есть свет совсем не проникает в среду с меньшим показателем преломления. α sin α 0 = n2 , n1 α 0 = arc sin n2 . n1 Если вторая среда воздух (вакуум), т. е. n2 = 1, то sin α 0 = 1 . n1 6. Ход характерных лучей в собирающей и рассеивающей линзах Лучи, падающие на собирающую линзу параллельно ее главной оптической оси, после преломления в линзе соберутся в одной точке F, лежащей на главной оптической оси. Эту точку называют главным фокусом 26 линзы (рис. 8). Луч света, проходящий через оптический центр линзы О, не испытывает преломления. Лучи, падающие на линзу параллельно побочной оптической оси, после преломления в линзе проходят через побочный фокус F′ (лучи 1 и 3 на рис. 9). Совокупность побочных фокусов образует фокальную плоскость ― плоскость, проходящую через главный фокус линзы перпендикулярно главной оптической оси. Лучи, падающие на рассеивающую линзу параллельно главной оптической оси, после преломления в линзе расходятся так, что их продолжения пересекаются в одной точке F, лежащей на главной оптической оси, которая называется мнимым фокусом (рис. 10). Луч, падающий в оптический центр О рассеивающей линзы, идет без преломления, как и в собирающей линзе (луч 3 на рис. 8 и луч 2 на рис. 11). 27 Длину отрезка OF в собирающей и рассеивающей линзах называют фокусным расстоянием линзы (F), ее можно найти по формуле 1 nл 1 1 , = − 1 + F n R1 R2 где nл ― абсолютный показатель преломления линзы; n ― абсолютный показатель преломления окружающей линзу среды; R1 и R2 ― радиусы сферических поверхностей линз. Если линза собирающая, то F > 0, если рассеивающая, то F < 0. 7. Формула тонкой линзы 1 1 1 = + . Расстояние F d f до предмета d всегда берется положительным. Если линза собирающая, F берется со знаком (+), если линза рассеивающая ― со знаком (–). При этом при мнимом изображении f будет отрицательным, а при действительном — 28 положительным. 8. Оптическая сила линзы D= 1 F измеряется в диоптриях, при этом фокусное расстояние должно быть выражено в метрах. Оптическая система двух тонких сложенных вплотную линз равна сумме оптических сил этих линз: D = D1 + D2 или 1 = 1 + 1 . F F1 F2 9. Линейное увеличение линзы Г показывает, во сколько раз высота изображения h′ больше высоты предмета h: Γ= h′ h или Γ= f . d Если Г > 1, то линза дает увеличение изображения, если Г < 1, то линза дает уменьшенное изображение. Полное увеличение оптической системы линз равно произведению увеличений, даваемых каждой линзой в отдельности: Г = Г1 · Г2 · Г3 … ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ З АДАЧА 1. Высота Солнца над горизонтом составляет угол α = 36º. Под каким углом β к горизонту следует расположить зеркало, чтобы осветить солнечными лучами дно вертикального колодца? Решение β γ α γ По рисунку видно, что γ+α+ π + γ = π, 2 (1) причем β = γ + α. Из (1) следует, что π α π , γ+ = , 2 2 4 π α π α γ+α = + , β= + . 4 2 4 2 2γ + α = Ответ: β= π α + . 4 2 З АДАЧА 2. В воде идут два параллельных луча 1 и 2. Луч 1 выходит в воздух непосредственно, а луч 2 проходит сквозь горизонтальную 29 плоскопараллельную стеклянную пластинку, лежащую на поверхности воды. 1.Будут ли лучи 1 и 2 параллельны по выходу в воздух? 2.Выйдет ли в воздух луч 2, если луч 1 испытывает полное внутреннее отражение? Решение 1 β β γ γ α α Так как показатель преломления одной среды относительно другой равен отношению абсолютных показателей преломления света в этих средах, то sin γ n1 sin α nо = , = . sin β′ nо sin γ nв где nв ― абсолютный показатель преломления воды; nо ― абсолютный показатель преломления стекла; n1 ― абсолютный показатель преломления воздуха. Умножая одно равенство на другое, найдем sin α n1 sin α = = . sin β′ nв sin β Отсюда следует, что β′ = β, т. е. лучи будут параллельными. Решение 2 Если β = 90º, то и β ′ = 90º, т. е. оба луча испытывают полное внутреннее отражение, значит луч 2 в воздух не выйдет. З АДАЧА 3. Два луча света падают из воздуха в жидкость. Углы преломления лучей равны β1 = 30º и β2 = 45º. Найти показатель преломления жидкости n, если известно, что падающие лучи перпендикулярны друг другу и лежат в одной плоскости, перпендикулярной поверхности жидкости. 30 Дано: Решение β1 = 30º β2 = 45º α 90°−α n=? β2 β1 Запишем закон преломления для двух лучей: sin α sin(90 − α) = n, = n, sin β1 sin β 2 sin α = n ⋅ sin β1 , cos α = n ⋅ sin β2 , sin 2 α + cos 2 α = n sin 2 β1 + sin 2 β 2 , откуда n= 1 sin β1 + sin 2 β2 2 = 1,15. Ответ: n = 1,15. ЗАДАЧА 4. На нижнюю грань плоскопараллельной стеклянной пластинки нанесена царапина. Наблюдатель, глядя сверху, видит царапину на расстоянии 5 см от верхней грани пластинки. Какова толщина пластинки? Абсолютный показатель преломления стекла n = 1,5. Дано: Решение n = 1,5 d1 = 5 см β d=? β α S' α По рисунку видно, что точка S′ будет мнимым изображением точки S. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABS′ и ABS. 31 AB = d1 · tg β, AB = d · tg α. Так как углы α и β малы, то тангенсы заменим синусами: d1 · sin β = d sin α, но sin α 1 = , sin β n тогда d1 = d , n т. е. d = d1 · n = 5 · 1,5 = 7,5 см. Ответ: d = 7,5 см. З АДАЧА 5. При определенном расположении изображение предмета в вогнутом зеркале в три раза меньше самого предмета. Если же предмет передвинуть на расстояние L = 15 см ближе к зеркалу, то изображение станет в 1,5 раза меньше предмета. Найти фокусное расстояние F зеркала. Дано: L = 15 cм Г1 = 1/3 Г2 = 1/1,5 F=? Решение Увеличение в зеркале определяется формулой Γ1 = A′B′ f 1 = = , AB d 3 откуда d = 3f, где d ― расстояние от зеркала до предмета; f ― расстояние от зеркала до изображения. Пользуясь формулой для вогнутого зеркала 1 1 1 = + , F d f получим 32 F= d⋅ f 3f ⋅ f 3f d = = = , d + f 3f + f 4 4 т. е. d = 4F. Передвинув предмет на расстояние L = 15 см, получим (аналогично предыдущему выражению): Γ2 = f1 1 = , d − L 1,5 F= (d − L) f1 d − L d − L = = , d − L + f1 1,5 + 1 2,5 F= 4F − L , 2,5 откуда F = 10 см. Ответ: F = 10 см. З АДАЧА 6. С помощью линзы, оптическая сила которой D = + 4 дптр, необходимо получить увеличенное в Г = 5 раз изображение предмета. На каком расстоянии d перед линзой нужно поместить этот предмет? Построить изображение и произвести расчет. Дано: Решение Г=5 D = + 4 дптр Оптическая сила 1 1 1 = + . F d f линзы D = 1 . Увеличение F d=? линзы Γ= f . d Преобразуем формулу линзы: 1 1 + = D, d Γ⋅d отсюда d= Γ +1 . Γ⋅D 5 +1 = 0,3 (м), если изображение действительное, 5⋅ 4 − 5 +1 d2 = = 0,2 (м), если изображение мнимое. − 5⋅4 d1 = 33 З АДАЧА 7. Небольшому шарику, который находится на поверхности горизонтально расположенной тонкой собирающей линзы с оптической силой D = 0,5 дптр, сообщили вертикальную начальную скорость V0 = 10 м/с. Сколько времени будет существовать действительное изображение шарика в этой линзе? Дано: Решение D = 0,5 дптр V0 = 10 м/с t=? Действительное изображение длится на расстоянии 2(d – F). Движение шарика прямолинейное равнозамедленное: V02 − V12 = 2 gF , откуда V = V1 − gt , где t1 = V1 g V1 = V02 − 2 gF . O = V1 − gt1 , ― время прохождения расстояния (d – F), тогда 34 t = 2t1 = 2V1 2 2 2 g 2V0 2g = ⋅ V02 − 2 gF = V02 − = 1 − 2 = 1,55 c. g g g D g V0 D Ответ: t = 1,55 с. З АДАЧА 8. Перемещая тонкую собирающую линзу между источником и экраном, нашли два положения, при которых линза дает на экране четкое изображение предмета. Найти высоту h предмета, если высота первого изображения равна h1, а второго ― h2. Дано: Решение Увеличение линзы h1 h2 Γ1 = h=? h1 f1 = , h d1 Γ2 = h2 f 2 = , h d2 (1) где d1, d2, f1, f2 ― расстояния от линзы до предмета и его изображения при первом и втором положениях линзы. Расстояние между предметом и изображением неизменное, т. е. f1 + d 1 = f2 + d2 . (2) Фокусное расстояние постоянное, поэтому 1 1 1 1 1 = + = + . F f1 d1 f 2 d 2 (3) Из выражений (2) и (3) следует, что d1 f1 = d2 f2 или f1 ( f2 + d2 – f1) = d2 f2. f1 f2 + f1d2 – f12 = d2 f2, f1( f2 – f1) = d2( f2 – f1). Отсюда видно, что f1 = d2. Точно также f2 = d1. C учетом этого по уравнению (1) находим h1 ⋅ h2 f1 ⋅ f 2 = = 1, h = h1 ⋅ h2 . h2 d1 ⋅ d 2 Ответ: h = h1 ⋅ h2 . З АДАЧА 9. На главной оптической оси тонкой линзы найти построением положение линзы и ее фокусов, если известны положения источника S и его изображения S′, где ОО′ ― главная оптическая ось. S′ S O O′ 35 Решение Так как источник и его изображение находятся по одну сторону от оптической оси, то это означает, что изображение мнимое. По рисунку видно, что изображение увеличенное. Такие изображения могут давать только собирающие линзы, когда источник находится между линзой и фокусом. Луч, идущий через оптический центр линзы, не преломляется, следовательно, прямая, проходящая через S и S′ при пересечении с главной оптической осью, определяет положение линзы. Луч, идущий параллельно главной оптической оси, за линзой пойдет через ее фокус, следовательно, луч SA за линзой пойдет так, чтобы его продолжение прошло через изображение S ′ . Пересечение этого луча с главной оптической осью определит положение одного фокуса линзы. Продолжение луча SB до пересечения с главной оптической осью определит положение второго фокуса. 36 8. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА 1.Оптическая длина пути, проходимого световым лучом в однородной среде с показателем преломления n, равна L = l · n, где l ― геометрическая длина пути луча. 2.Оптическая разность хода двух световых лучей ∆ = L2 – L1. 3.Условие максимума интенсивности света при интерференции от двух когерентных источников ∆ = ±2k λ = ± kλ, 2 где k = 0, 1, 2, 3, …, λ ― длина световой волны. Условие минимума интенсивности света: ∆ = ±( 2k + 1 ) λ λ = ±( kλ + ). 2 2 4.Оптическая разность хода световых лучей, отраженных от двух поверхностей тонкой пластинки (пленки), по обе стороны которой находится воздух, равна ∆ = 2h ⋅ n ⋅ cos( r ) − λ , 2 где h ― толщина пластинки; n ― показатель преломления вещества пластинки; r ― угол преломления; λ ― длина световой волны в воздухе (при расчетах принимаем равной длине волны в вакууме). 5.Радиусы темных и светлых колец Ньютона в отраженном свете определяются соответственно формулами rk = kλR , rk = (2k − 1) где k = 1, 2, 3, … λR , 2 где k = 1, 2, 3, … Здесь R ― радиус кривизны поверхности линзы, соприкасающейся с плоскопараллельной пластинкой; λ ― длина световой волны в среде между линзой и пластинкой. 6.Длина световой волны λ 0 в вакууме, скорость света с и частота колебаний ν связаны соотношением λ0 = Длина световой волны λ в веществе 37 с . ν λ= V . ν Скорость распространения световой волны в веществе V= c , n где n ― показатель преломления вещества. 7.Практически используемые единицы соотношения между ними: 1 мм = 10–3 м = 10+3 мкм = 106 нм = 107Å, 1 мкм = 10–6 м = 10–3 мм = 10–4 см, 1 нм = 10–9 м = 10–3 мкм = 10–6 мм, 1 Å = 10–10 м = 0,1 нм = 10–4 мкм. измерения длины и ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ З АДАЧА 1. На стеклянный клин нормально к его грани падает монохроматический свет с длиной волны λ . Определить преломляющий угол α клина, если на отрезке клина длиной l помещается N светлых интерференционных полос. Дано: Решение Так как интерференционные полосы наблюдаются при малых углах α клина, то отраженные лучи 1 и 2 будут α=? фактически параллельны. Светлые полосы наблюдаются на тех участках клина, для которых оптическая разность хода кратна четному числу полуволн: λ, l, N λ ∆ = 2k ⋅ , 2 где k = 0, 1, 2, … 38 (1) Разность хода ∆ двух лучей 1 и 2: ∆ = 2d k ⋅ n − λ , 2 (2) где n ― абсолютный показатель преломления стекла; dk ― толщина клина в том месте, где наблюдается светлая полоса, соответствующая номеру k; λ 2 ― добавочная разность хода, возникающая при отражении волны от оптически более плотной среды (ncm =1,5). Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим: 2d k ⋅ n = λ (2k + 1); 2 2d k + N ⋅ n = аналогично λ [2(k + N ) + 1], 2 откуда dk = λ(2k + 1) , 4⋅n dk + N = λ[2(k + N ) + 1] , 4⋅n В виду малости угла α, можно считать tg α = α: α= Ответ: α = dk + N − dk N ⋅ λ = l 2nl (угол в радианах) N ⋅λ . 2nl З АДАЧА 2. Плосковыпуклая стеклянная линза сложена с плосковогнутой так, как показано на рисунке. Оптическая сила системы линз равна D. Определить радиус k-го темного кольца Ньютона, если длина волны падающего света равна λ, а наблюдение ведется в отраженном свете. Дано: Решение 39 В отраженном свете оптическая разность хода D, λ, n λ λ = 2(d k′′ − d k′ ) + , 2 2 где d k = d k′′ − d ′ ― толщина воздушного клина; λ ― дополнительная разность 2 λ хода, возникающая в результате потери при отражении на границе 2 rk = ? ∆ = 2 ⋅ dk + воздух–стекло. В точках, удовлетворяющих условию λ λ 2(d k′′ − d k′ ) + = (2k + 1) , где k = 0, 1, 2, … 2 2 наблюдаются темные кольца, 2(d k′′ − d ′) = kλ, так как d k′′ ≈ или 1 1 rk2 − = kλ, R1 R2 rk2 r2 , d k′ ≈ k . 2 R1 2 R2 Оптическая сила системы линз D = D1 + D2, где D2 = −(n − 1) (1) 1 . R2 D1 = (n − 1) 1 , R1 Таким образом, 1 1 D = (n − 1) − . R1 R2 Подставив выражение (2) в (1), получим: D = kλ, n −1 кольца rk = kλ(n − 1) . D rk2 отсюда радиус k-го темного r d d d 40 (2) Ответ: rk = kλ(n − 1) . D З АДАЧА 3. В опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей поместили перпендикулярно этому лучу тонкую стеклянную пластинку (n = 1,5). При этом центральная светлая полоса смещается в положение, первоначально занимаемое шестой светлой полосой. Длина волны λ = 0,7 мкм. Определить толщину пластинки. Дано: Решение Оптическая разность хода была n = 1,5 N=6 ∆1 = l1 – l2, λ = где ∆1 = kλ. 0,7 · 10–6 м Оптическая разность хода стала d=? ∆2 = l1 – d + d · n – l2 = l1 – l2 + d(n – 1), где ∆2 = (k + N)λ, l1 – l2 + d(n – 1) = (k + N)λ, kλ + d(n – 1) = kλ + Nλ, откуда d= Ответ: d = 8,4 ⋅ 10 −6 м. Nλ = 8,4 ⋅10 − 6 n −1 м. 9. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 1. Радиусы зон Френеля при прохождении сферической световой волны через круглое отверстие вычисляются по формуле ρ k = kλR r0 , R + r0 где λ ― длина световой волны; k = 1, 2, 3, ... ― номер зоны Френеля; r0 ― расстояние от вершины волновой поверхности до точки P, для которой построены зоны Френеля; R ― радиус волновой поверхности. 41 r λ kr• + 2 0 k⋅ λ 2 r0r 2. Расстояние от k-й зоны Френеля до точки P на экране равно rk = r0 + kλ , 2 где k = 1, 2, 3, ... 3.Число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, если на него падает плоская волна (R → ∞) k= ρ2 , λr0 где ρ ― радиус отверстия (ρ = ρk) 4.Условие минимума освещенности при дифракции света на щели в параллельных лучах имеет вид a ⋅ sin ϕ = ± kλ, где k = 1, 2, 3, ... ― порядок дифракционного минимума; а ― ширина щели; λ ― длина световой волны; φ ― угол дифракции; максимума освещенности (k = 1, 2, 3, ...); центрального максимума. a⋅ sinϕ = (2k +1) λ 2 ― условие a · sin ϕ = 0 ― условие 5.Условие главных максимумов освещенности при дифракции света на дифракционной решетке d ⋅ sin ϕ = ± kλ, где k = 0, 1, 2, ... ― порядок главного максимума; d ― постоянная (период) решетки; d = a + b, где а ― ширина щели; b ― ширина непрозрачного промежутка. 42 Период решетки d= 1 , N где N ― число щелей решетки, приходящееся на единицу длины решетки. 6.Условие дополнительных минимумов: d sin ϕ = ± где m ≠ 0, N, 2N, 3N, … Между двумя главными дополнительных минимумов. m⋅λ , N максимумами находится (N – 1) 7.При наклонном падении света на дифракционную решетку условие для главных максимумов имеет вид d (sin ϕ − sin i ) = ± kλ, (k = 0, 1, 2, 3, ...), где i ― угол падения света на поверхность решетки. 8.Условие Вульфа–Брэггов: 2d sin θ = ± kλ, где d ― межплоскостное расстояние (постоянная кристаллической решетки); θ ― угол скольжения; k = 1, 2, 3, ... ― порядок дифракционного максимума; λ ― длина волны рентгеновских лучей. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ З АДАЧА 1. Период дифракционной решетки d = 0,005 мм. Определить число наблюдаемых главных максимумов в спектре дифракционной решетки, если длина волны падающего на решетку света λ = 760 нм. r Дано: 0 Решение:: λ = 760 нм = Найдём, каким должен быть порядок главного –7 = 7,6 · 10 м максимума для угла дифракции 90º. При этом sin ϕ = 1 : d = kλ, d = 0,005 мм = –6 откуда = 5 · 10 м k= Z=? d = 6,59. λ Это означает, что последним наблюдаемым будет максимум 6-го порядка (для k = 7 получилось бы sin φ > 1) Таким образом, с учетом нулевого максимума, на экране будет Z = 6 + l + 6 = 13 максимумов. Ответ: Z = 13. З АДАЧА 2. На щель шириной а = 0,1 мм падает нормально 43 монохроматический свет с длиной волны λ = 0,5 мкм. Дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном параллельно щели. Определить расстояние L от щели до экрана, если ширина центрального дифракционного максимума b = 1 см. Дано: λ = 0,5 · 10–6 м b = 0,01 м a = 0,1 · 10–3 м Решение: ― условие минимума. Центральный дифракционный максимум ограничен по краям минимумами первого порядка: k = 1, следовательно, λ sin ϕ = . Ввиду малости угла ϕ можно sin ϕ заменить tg ϕ: α sin ϕ = kλ a L=? tgϕ = b , 2L L= т. е. λ b = , a 2L откуда a ⋅ b 10 −4 ⋅ 0,01 = =1 2λ 2 ⋅ 0,5 ⋅10 − 6 ϕ ОТВЕТ : L = 1 М . 44 м. З АДАЧА 3. На диафрагму с круглым отверстием радиусом ρ падает нормально параллельный пучок света с длиной волны λ. На пути лучей, прошедших через отверстие, помещают экран. Определить максимальное расстояние r0 от центра отверстия до экрана, при котором в центре дифракционной картины будет наблюдаться темное пятно. Дано: Решение: ρ, λ r0 + r0 = ? ρ λ 2 r0 + λ r0 Число зон Френеля, укладывающихся в отверстии k= ρ2 , λr0 зависит от λr0. Темное пятно в центре дифракционной картине наблюдается при четных k. По мере удаления экрана от отверстия k убывает. Наименьшее четное число зон Френеля равно двум. Следовательно, максимальное расстояние, при котором еще будет наблюдаться темное пятно в центре экрана, определяется условием, согласно которому в отверстии должны уложиться две зоны Френеля. По рисунку видно, что ρ2 + r02 = (r0 + λ ) 2 , откуда r0 = ρ2 ρ2 ≈ , 2λ + λ2 2λ Ответ: r0 = так как λ2 << λ. ρ2 . 2λ 10. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА 1.Интенсивность света, прошедшего через анализатор (см. рис.), 45 определяется по закону Малю́са. Закон Малюса: I = I 0 ⋅ cos 2 α, где α ― угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора; I0 ― интенсивность прошедшего через поляризатор света. Естественный свет, проходя через поляризатор, становится плоско поляризованным и уменьшает интенсивность вдвое: I 0 = 0 ,5I ест . 2.Частично поляризованный свет можно рассматривать как смесь плоско поляризованного и естественного света. Степень поляризации частично поляризованного света P= I max − I min , I max + I min где Imax и Imin ― максимальная и минимальная интенсивности, получаемые после анализатора, если пропускать через него частично поляризованный свет. Они связаны с интенсивностями естественной и плоско поляризованной составляющих луча следующим образом: I max = 0,5 I ест + I п.п. , I min = 0,5I ест . 3.Закон Брюстера: существует такой угол падения света iБ, при котором отражённый луч полностью поляризован, tg iБ = n21, n21 ― относительный показатель преломления. 4.Угол веществом поворота плоскости поляризация оптически активным ϕ = α ⋅ l, где l ― длина светового луча в веществе; α ― постоянная вращения. Для растворов φ = α · l · C, где C ― концентрация раствора. 46 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ З АДАЧА 1. На пути частично поляризованного пучка света поместили николь. При повороте николя на угол α = 60º из положения, соответствующего максимальному пропусканию света, интенсивность прошедшего света уменьшилась в три раза. Найти степень поляризации падающего света. Дано: Решение: α = 60º k=3 P=? Частично поляризованный свет представляет собой смесь естественного и плоско поляризованного: I ч.п = I ест + I п.п . При пропускании через николь естественный свет поляризуется, при этом интенсивность выходящего плоско поляризованного света зависит от ориентации главной плоскости николя относительно плоскости поляризации поляризованного света. Полная интенсивность света, прошедшего через николь, I = 0,5 I ест + I n.n cos 2 α. Если α = 0°, Если α= I max = 0,5 I ест + I п.п . π , I min = 0,5 I ест . 2 По условию задачи Imax = 3I, или Imax = 3(0,5Ieст + Iп.п cos2α) = 3Imin + 3(Imax – Imin)cos260°= = 3Imin + 3(Imax – Imin) 0,25 = 2,25Imin + 0,75Imax, откуда 0,25Imax = 2,25Imin, Imax = 9Imin. Степень поляризации падающего света P= I n.n I max − I min 9 I min − I min = = = 0,8. I ч.п I max + I min 9 I min + I min 47 Ответ: Р = 80 %. З АДАЧА 2. Определить, во сколько раз ослабится интенсивность света, прошедшего через два николя, расположенные так, что угол между их главными плоскостями α = 60º, а в каждом из николей на отражение и поглощение теряется 5 % интенсивности падающего света. Дано: Решение: α = 60º k = 0,05 J0 = J ест =? J J ест (1 − k ). 2 По закону Малюса J = J 0 (1 − k ) cos 2 α = J ест (1 − k ) 2 cos 2 α, 2 J ест J ест ⋅ 2 2 2 = = = = 8,86. 2 2 2 2 2 J J ест (1 − k ) cos α (1 − k ) cos α 0,95 ⋅ 0,52 ОТВЕТ : J ест = 8,86. J III. КВАНТОВАЯ ОПТИКА 11. ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 1.Энергетическая светимость абсолютно черного тела, т. е. энергия, излучаемая за 1 секунду с единицы поверхности абсолютно черного тела, определяется законом Стефана-Больцмана: RT = σT 4 , где Т ― температура по шкале Кельвина; σ = 5,67 · 10–8 Вт/м2·К4 ― постоянная Стефана–Больцмана. 2.Энергетическая светимость RT (или полная лучеиспускательная способность) связана со спектральной плотностью энергетической светимости абсолютно черного тела rλ,T соотношением ∞ RT = ∫ rλ ,T ⋅ dλ. 0 48 3.По закону смещения Вина λ max = С1 , Т где С1 = 2,9 · 10–3 м · К ― постоянная Вина; λ max ― длина волны, соответствующая максимальной спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела (rλ,T)max, Т ― температура абсолютно черного тела. 4.Второй закон Вина: ( rλ ,T )max = C 2 ⋅ T 5 , где ( rλ ,T )max ― максимальная спектральная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела; C2 = 1,29 · 10–5 Вт/м3·К5. 5.Если излучаемое тело не является абсолютно черным, то RT = α ⋅ σ ⋅ T 4 , где α ― степень черноты, показывающая, какую часть составляет энергетическая светимость данного тела от энергетической светимости абсолютно черного тела при той же температуре (α < 1). ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ З АДАЧА 1. В спектре Солнца максимум спектральной плотности энергетической светимости приходится на длину волны λ0 = 0,47 мкм. Приняв, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, найти интенсивность солнечной радиации (т. е. плотность потока излучения) вблизи Земли за пределами ее атмосферы. Дано: λ0 = 0,47 мкм = = 0,47 · 10–6 м I=? Решение: Интенсивность излучения Солнца I= Р , S (1) где Р ― мощность, т. е. энергия излучения Солнца за 1 с; S ― поверхность, сквозь которую проходит энергия. Р = RT·SС = σT4·4π R2с = 4πσT4R2с, 49 (2) где RC ― радиус Солнца. RC = 7 · 108 м (по таблице). Эта энергия проходит сквозь поверхность S сферы радиуса R, равного расстоянию от Солнца до Земли, за 1 с: S = 4πR2; R = 1,5 · 1011 м (по таблице). Таким образом, интенсивность солнечной радиации на орбите Земли I= 4πσT 4 RC2 σT 4 RC2 = . 4πR 2 R2 (3) Температуру Солнца Т найдем из закона смещения Вина С1 = 2,9 ⋅10 −3 м ⋅ К. Подставив T = C1 λ0 = C1 , T в выражение (3), получим λ0 C I = σ 1 λ0 4 2 R ⋅ C = 1,8 ⋅103 Вт/м 2 . R Ответ: I = 1,8·103 Вт/м2. З АДАЧА 2. В результате нагревания черного тела длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости, уменьшилась с λ1 = 2,7 мкм до λ2 = 0,9 мкм. Определить, во сколько раз увеличилась: 1)энергетическая светимость тела; 2)максимальная спектральная плотность энергетической светимости тела. Дано: Решение: λ1 = 2,7 · 10–6 м λ2 = 0,9 · 10–6 м 1) RT2 2) (rλ 2T2 ) max RT1 =? (rλ1T1 ) max Так как по закону Стефана–Больцмана закону Вина λ0 = C1 , T то =? RT2 RT1 = T24 λ41 = = 81. T14 λ42 По второму закону Вина (rλT ) max = C2 ⋅ T 5 , тогда ( rλ2T2 ) max ( rλ1T1 ) max T25 λ15 = 5 = 5 = 243. T1 λ2 50 RT = σT 4 , а по Ответ: RT2 RT1 = 81 , ( rλ2T2 ) max ( rλ1T1 ) max = 243. 12. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА СВЕТА. ФОТОЭФФЕКТ . ЭФФЕКТ КОМПТОНА 1.Энергия кванта света (фотона) определяется формулой c εф = h ⋅ ν = h , λ где h = 6,62 · 10–34 Дж · с ― постоянная Планка; ν ― частота колебаний; λ ― длина волны; с ― скорость света в вакууме. 2.Импульс фотона hν h = . c λ Pф = 3.Масса фотона mф = hν c2 . 4.Формула Эйнштейна для фотоэффекта: hν = A + 2 mVmax , 2 где hv ― энергия поглощенного фотона; А ― работа выхода электрона из металла; m ― масса электрона; Vmax ― его максимальная скорость. Если V = 0, то hν0 = A, ν0 = A h ― красная граница фотоэффекта. 5.При комптоновском рассеянии рентгеновских лучей изменение длины волны ∆λ = λ′ − λ = h (1 − cos θ), m0c h m0c где θ ― угол рассеяния; m0 ― масса покоя электрона; = h m0c = 0,024 5 Å ― комптоновская длина волны для электрона; λ′ ― длина волны рассеянных рентгеновских лучей (λ′ > λ). ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ З АДАЧА 1. Определить максимальную скорость Vmax фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра ультрафиолетовым излучением с 51 длиной волны λ = 0,155 мкм. Дано: Решение: А = 4,7 эВ Максимальную λ = 0,155 мкм = определяют = 0,155 · 10–6 м для фотоэффекта: скорость по me = 9,1 · 10–31 к г Vmax = ? фотоэлектронов уравнению hν = A + h = ν A + m V 2m 2 a Эйнштейна 2 mVmax . 2 x Работу выхода электрона из серебра найдем по таблице: A = 4,7 · 1,6 · 10–19 Дж. Энергия фотона ε ф = hν = hc . λ Подставив значения h, с и λ, получим εф = 1,28 · 10–18 Дж. Vmax = 2( ε ф − A ) m . Подставив численные значения ε ф , А и m, получим Vmax = 1,08 · 106 м/с. Ответ: Vmax = 1,08 · 106 м/с. ЗАДАЧА 2. Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности платины (работа выхода А = 6,3 эВ) при облучении γ-излучением с длиной волны λ = 2,47 пм. Дано: Решение: А = 6,3 эВ ε = hν = hc 6,62 ⋅10 −34 ⋅ 3 ⋅108 = = λ 2,47 ⋅10−12 λ = 2,47 пм = = 2,47 · 10–12 м 8,04 ⋅10−14 Дж = mо = 9,1 · 10–31 кг 52 8,04 ⋅10 −14 эВ = 1,6 ⋅10 −19 Vmax = ? = 5,03 ⋅105 эВ = 0,503 МэВ, т. е. ε >> A. Максимальную скорость фотоэлектронов определим по уравнению Эйнштейна для фотоэффекта: ε = Т, где Т ― кинетическая энергия электронов; работой выхода в данном случае можно пренебречь, так как она пренебрежимо мала по сравнению с энергией γ-фотона. По релятивистской формуле T = (m – mo) с2 = 0,503 МэВ, где Ео = moc2 ― энергия покоя. m= mo 2 = V 1− 2 c mo 1 − β2 1 T = mo c 2 − 1, 1 − β2 V2 mo2 c 4 = − 1 , c2 (ε + mo c 2 ) 2 V = c ⋅ 1− , т. е. откуда mo2 c 4 = 2,6 ⋅ 108 (ε + mo c 2 ) 2 м/с. Ответ: V = 2,6 ⋅ 108 м/с. З АДАЧА 3. Фотон с энергией ε ф = 0,75 МэВ рассеялся на свободном электроне под углом θ = 60°. Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить: 1) энергию ε′ф рассеянного фотона; 2) кинетическую энергию Ек электрона отдачи. Дано: Решение: = 0,75 МэВ 1. Энергию рассеянного фотона найдем по формуле Комптона θ = 60° mо = h (1) λ′ − λ = (1 − cos θ). –31 mo c 9,1 · 10 кг ε′ф = ? Энергия фотона Ек = ? εф 53 εф = hc , λ откуда λ= hc hc , λ′ = . εф ε′ф (2) Подставив (2) в уравнение (1), получим: hc hc h − = ( 1 − cos θ ), ε′ф ε ф mo c откуда hc hc h = + (1 − cos θ), ′ ε ф ε ф mo c ε′ф = 1 . 1 1 − cos θ + εф mo c 2 Подставив числовые значения величин, получим МэВ. ε′ф = 0 ,43 2. Кинетическая энергия электрона отдачи равна разности между энергией падающею фотона εф и энергией ε′ф рассеянного фотона: E K = ε ф − ε′ф = 0,32 МэВ. Ответ: ε′ф = 0,43 МэВ, Ек = 0,32 МэВ. З АДАЧА 4. Энергия фотона равна кинетической энергии электрона, имевшего начальную скорость 106 м/с и ускоренного разностью потенциалов 4 В. Найти длину волны фотона. Дано: Решение: ε = Wк Vo = 106 м/c U=4В λ=? Согласно определению, энергия фотона ε = h⋅ν = λ= h⋅c h⋅c = , ε Wк где h⋅c , λ Wк = откуда mV 2 . 2 Работа электрического поля равна измерению кинетической энергии электрона, т. е. mV 2 mV02 − = A, 2 2 откуда mV02 mV 2 mV02 = + A= + e ⋅U . 2 2 2 54 λ= h⋅c mV02 = 1,8 ⋅ 10 − 7 м. + e ⋅U 2 Ответ: λ = 1,8 ⋅ 10 −7 м. 13. ДАВЛЕНИЕ СВЕТА 1.Давление света, падающего коэффициентом отражения ρ, равно нормально на поверхность с I р = (1 + ρ), c где I ― количество энергии, падающей на единицу поверхности за единицу времени; ρ ― коэффициент отражения света; с = 3 · 108 м/с ― скорость света в вакууме. 2.Давление света, падающего на поверхность под углом i: р= I (1 + ρ) cos 2 i, c где i ― угол падения света. 55 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ З АДАЧА 1. Пучок монохроматического света с длиной волны λ = 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток энергии W = 0,6 Вт. Определить силу F светового давления, испытываемую этой поверхностью, а также число N фотонов, падающих на нее за время t = 5 с. Дано: Решение: λ = 663 нм = 663· Сила светового давления на поверхность площадью –9 10 W = 0,6 Вт S равна t=5с ρ=1 F = рS, (1) N=? F=? где р ― давление света. Световое давление можно найти по формуле: I р = (1 + ρ). c (2) Подставляя выражение (2) в формулу (1), получим F= I ⋅S W 2W (1 + ρ) = (1 + ρ) = = 4 ⋅10 − 9 Н, c c c (3) так как I · S = W, ρ = 1. Число фотонов, падающих на поверхность за 1 секунду, n= W Wλ = . ε ф hc Следовательно, число фотонов N, падающих на поверхность за время t, вычислим по формуле N = n ⋅t = Wλ t = 1019. hc Ответ: F = 4 нН; N = 1019 фотонов за t = 5 с. З АДАЧА 2. Монохроматический свет с длиной волны λ падает нормально на поверхность с коэффициентом отражения ρ. Определить количество фотонов, ежесекундно поглощаемых 1 м2 поверхности, если давление света на поверхность равно р. 56 Дано: Решение: λ, ρ, р S = 1 м2 t=1с Давление света I р = (1 + ρ) , c I= Nпогл = ? откуда p⋅c . 1+ ρ (1) Число фотонов, падающих за 1 с на 1 м2 поверхности, N= I I ⋅λ = . εф h ⋅ c Число фотонов, поглощенных за 1 с поверхностью в 1 м2, N погл = (1 − ρ) N = (1 − ρ) Iλ . hc Подставив выражение (1) в формулу (2), получим N погл = Ответ: N погл = (1 − ρ) рλ ⋅ (1 + ρ) h (1 − ρ) рcλ (1 − ρ) рλ ⋅ = ⋅ . (1 + ρ) hc (1 + ρ) h (фотонов). 57 (2) IV. АТОМНАЯ ФИЗИКА 14. АТОМ ВОДОРОДА ПО ТЕОРИИ БОРА 1.Момент импульса электрона на стационарных орбитах L = m ⋅V ⋅ r = n ⋅ h , 2π где n = 1, 2, 3 … ― главное квантовое число; m ― масса электрона; r ― радиус орбиты; V ― скорость электрона на орбите; h ― постоянная Планка. 2.Радиус боровской орбиты атома водорода r= h 2 ⋅ εo ⋅ n2. π ⋅ m ⋅ e2 3.Скорость электрона, находящегося на n-й орбите, V= e2 1 ⋅ , 2ε o ⋅ h n где εо ― электрическая постоянная; е ― заряд электрона. 4.Потенциальная энергия электрона на n-й орбите атома водорода Ep = − e2 me 4 1 =− 2 2 ⋅ 2 . 4πε 0 ⋅ r 4ε o ⋅ h n Кинетическая энергия Ek = 1 1 mV 2 me 4 = 2 2 ⋅ 2 = − Ep. 2 2 8ε o ⋅ h n Полная энергия электрона, находящегося на n-й орбите 1 1 me 4 1 E = Ek + E p = − E p + E p = E p = − 2 2 ⋅ 2 . 2 2 8ε o ⋅ h n 5.Энергия фотона, излучаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое ε = hν = En − Em , где En и Em ― энергии электрона на соответствующих орбитах. 6.Сериальная формула, определяющая длину волны или частоту света, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с орбиты n на орбиту k 1 ν 1 1 = = R 2 − 2 , λ c n k где R = 1,097·107 1/м ― постоянная Ри́дберга; 58 с λ= ; ν с = 3 · 108 м/с ― скорость света. 7.Длина волны линий спектра водородоподобных ионов 1 1 1 = Z 2 ⋅ R 2 − 2 , λ n k где Z ― порядковый номер элемента в таблице Менделеева. 8.Первый потенциал возбуждения ϕ 1 есть та наименьшая разность потенциалов, которую должен пройти в ускоряющем поле электрон, чтобы при столкновении с невозбужденным атомом перевести его в первое возбужденное состояние. Для атома водорода это соответствует переходу электрона с первой боровской орбиты (n = 1) на вторую (n = 2). 9. Потенциалом ионизации ϕ i называют ту наименьшую разность потенциалов, которую должен пройти в ускоряющем поле электрон, чтобы при столкновении с данным невозбужденным атомом ионизировать его. Работа по удалению электрона из атома Аi равна работе сил электрического поля, ускоряющего электрон, поэтому Ai = eϕi . Для этого атом должен поглотить квант энергии, соответствующий переходу электрона с первой боровской орбиты (n = 1) на бесконечно удаленную (n = ∞). ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ З АДАЧА 1. Определить максимальную и минимальную энергии фотона в видимой серии спектра водорода (серии Ба́льмера). Дано: Решение: 1 1 1 = R 2 − 2 , λ n 2 k=2 εmax = ? где n = 3, 4, 5, …; R = 1,1 · 107 1/м ― постоянная Ридберга. εmin = ? При n = ∞ получаем 1 λ min = R 4 λ min = , откуда 4 ; R ν max = c λ min 59 = c⋅R , 4 тогда ε max = hν max = h ⋅ c ⋅ R 6,62 ⋅10 −34 ⋅ 3 ⋅108 ⋅1,1 ⋅107 = = 4 4 = 5,46 ⋅10 −19 Дж 1 λ max ε min = hν min = = 3,41 эВ. 1 1 5R ; = R − = 4 9 36 λ max = 36 . 5R h ⋅ c h ⋅ c ⋅ 5R = = 3,03 ⋅10 −19 Дж λ max 36 = 1,89 эВ. Ответ: ε min = 3,03 ⋅ 10 −19 Дж = 1,89 эВ. З АДАЧА 2. Определить, какие спектральные линии появятся в видимой области спектра излучения атомарного водорода под действием ультрафиолетового излучения λ = 95 нм? Дано: Решение: Энергия фотона λ = 95·10–9 м hc 6,62 ⋅10 −34 ⋅ 3 ⋅108 Z=1 ε = hν = = = λ 95 ⋅10 − 9 λ5 = ? λ4 = ? = 21 ⋅10 −19 Дж = 13,1 эВ. λ3 = ? E1 = –13,6 эВ. Ев = Е1 + ε = –13,6 + 13,1 = –0,5 эВ. Такой энергией будет обладать электрон после поглощения кванта излучения. Определим номер этого энергетического уровня n= λ E1 − 13,6 = = 5. Eв − 0 ,5 λ λ В видимой области спектра лежат длины волн, соответствующие переходам электрона с вышележащих на второй энергетический уровень. Кроме перехода с 5-го уровня сразу на 2- й возможны переходы вида 5–4–2 60 и 5–3–2. Поэтому в видимом спектре появятся также линии 4–2 и 3–2. 1 1 1 = R 2 − 2 ; λ 52 5 2 λ52 = 0,434 · 10–6 м 1 1 1 = R 2 − 2 ; λ 42 4 2 λ42 = 0,486 · 10–6 м 1 1 1 = R 2 − 2 ; λ 32 3 2 λ32 = 0,656 · 10–6 м V. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 15. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ . ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 1.Формула де Бройля, выражающая связь длины волны с импульсом движущейся частицы в классическом приближении (V << c; р = mV) λ= h , р где h ― постоянная Планка; m ― масса покоя частицы. 2.Импульс релятивистской частицы m0V p = mV = 1−V , λ= 2 c2 2 h 1−V 2 , c m0V где m0 ― масса покоя частицы. 3.Связь длины волны де Бройля с кинетической энергией Ек частицы в классическом приближении λ= h , 2mEk где Ek = p2 . 2m 4.В релятивистском случае кинетическая энергия Т связана с импульсом соотношением p 2 c 2 = T (T + 2m0 c 2 ). Длина волны де Бройля λ= hc T (T + 2m0 c 2 ) , где E0 = m0c 2 ― энергия покоя частицы; Т ― кинетическая энергия; полная энергия E = mo c 2 + T . 5.Соотношение неопределенностей Ге́йзенберга для координаты u 61 импульса частицы: ∆x∆p х ≥ ℏ, где ℏ= h ; 2π ∆x ― неопределенность координаты частицы; ― ∆p x неопределенность проекции импульса частицы на ось х. Для энергии и времени ∆E ∆t ≥ ℏ , где ∆E ― неопределенность энергии данного квантового состояния; время пребывания системы в этом состоянии. ∆t ― 6.Временно́е уравнение Шрёдингера − где ∆= ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ℏ2 ∂ψ ∆ψ + Uψ = iℏ , 2m ∂t ― оператор Лапла́са; описывающая состояние частицы; ℏ= h = 1,06 2π ψ ( x, y , z , t ) U ( x, y, z, t ) ― волновая функция, ― ее потенциальная энергия; · 10–34Дж·с; i ― мнимая единица. 7.В одномерном случае уравнение Шрёдингера − ℏ ∂ 2ψ ∂ψ . + U ⋅ ψ = iℏ 2 2m ∂x ∂t 8.Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера ∂ 2ψ 2m + ( E − U )ψ = 0, ∂x 2 ℏ 2 где ψ = ψ( x ) — волновая функция, Е ― полная энергия частицы; U(x) ― потенциальная энергия. 9.Вероятность dW обнаружить частицу в интервале до x + dx (в одномерном случае) выражается формулой от x dW =| ψ ( x) |2 dx, где ― плотность вероятности. Вероятность обнаружить частицу в интервале от х1 до х2: | ψ ( x ) |2 x2 W = ∫ | ψ ( x) |2 dx. x1 10. Значение энергии частицы Еn, находящейся на n-м энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике 62 En = π2ℏ 2 2 n , 2ml 2 (n = 1, 2, 3, …), где l ― ширина потенциального ящика. 11. Соответствующая этой энергии волновая функция имеет вид ψ ( x) = 2 πn sin x. l l ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ З АДАЧА 1. Параллельный пучок электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью, ширина которой a = 2 мкм. Определить скорость электронов, если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии l = 50 см, ширина центрального дифракционного максимума b = 80 мкм. Дано: Решение: –31 m = 9,1·10 Дифракция электронов является проявлением волновой кг природы этих частиц. Длину волны де Бройля для электрона l = 0,5 м определим, применив формулу –6 а = 2·10 м h λ= . b = 8,0·10–5 м m ⋅V V=? Центральный дифракционный максимум заключен между двумя минимумами первого порядка: a sin ϕ = ± kλ, λ sin ϕ = , a где k = 1, ϕ b tg ϕ = . 2l В виду малости угла ϕ можно записать sin ϕ = b , 2l λ b = , a 2l h b = , mV ⋅ a 2l откуда V= h ⋅ 2l 6,62 ⋅ 10 −34 ⋅ 2 ⋅ 0,5 = = 4,5 ⋅ 10 6 − 31 − 6 − 5 m ⋅ a ⋅ b 9,1 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 8,0 ⋅ 10 м/с. Ответ: V = 4,5 ⋅ 106 м/с. З АДАЧА 2. Электронный пучок выходит из электронной пушки под действием разности потенциалов 300 В. Принимая, что допустимая 63 неопределенность скорости 1 % от ее численного значения, определить неопределенность координаты. Дано: U = 300 В Решение: 2 mV = e ⋅U , 2 ∆V = 0,01 V откуда скорость V = ∆V = 0,01 ⋅ 2eU . m 2eU . m е = 1,6·10 Кл Согласно соотношению неопределенностей m = 9,1·10–31 откуда кг ∆х = ? –19 ∆x = = ℏ 2eU m ⋅ 0,01 ⋅ m = ℏ 0,01 ⋅ 2emU 1,06 ⋅ 10 −34 0,01 ⋅ 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 9,1 ⋅ 10 −31 Ответ: ∆x = 1,13 нм . 64 ⋅ 300 = = 1,13 ⋅ 10 −9 м = 1,13 нм. ∆x ⋅ m ⋅ ∆V = ℏ, З АДАЧА 3. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 10 % от ее численного значения, определить неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае для электрона понятие траектории? Дано: Решение: m = 9,1 ⋅10 −31 кг e = 1,6 ⋅10 −19 Кл Скорость электрона на боровской орбите определяется по формуле V= ∆V = 0,1 V e2 1 (1,6 ⋅ 10 −19 ) 2 ⋅ = = 2ε o ⋅ h n 2 ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 6,62 ⋅ 10 − 34 = 2,2 ⋅106 м/с ∆V = 0,1 ⋅ V , ∆x ⋅ m ⋅ ∆V = ℏ , откуда n=1 ∆х = ? ∆x = ℏ 1,06 ⋅10 −34 = = 0,53 ⋅10 − 9 м = 0,53 нм. m ⋅ ∆V 9,1 ⋅10 − 31 ⋅ 2,2 ⋅106 ⋅ 0,1 Радиус первой боровской орбиты r= h 2εo ⋅ n 2 = 0,528 ⋅ 10 −10 м, π ⋅ m ⋅ e2 т. е. погрешность в определении положения электрона ∆ х >> r. Следовательно, в этом случае невозможно сохранить классическое представление об орбите (или траектории) электрона. 65 З АДАЧА 4. Кинетическая энергия Еk электрона в атоме водорода составляет порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные размеры атома. Дано: Еk = 10 эВ m = 9,1·10–31 Решение: Из соотношения неопределенностей ∆х∆р ≥ ℏ следует, что чем точнее определяется импульс частицы, а значит и ее энергия, тем более неопределенным становится положение и наоборот. кг lmin = ? Пусть атом имеет линейный размер (диаметр) l.Так как электрон находится в пределах атома, то неопределённость его координаты l ∆х = . 2 В этом случае соотношение неопределенностей имеет вид l ⋅ ∆p x ≥ ℏ, 2 откуда l≥ 2ℏ . ∆p x Неопределенность импульса значения частицы не может превышать значения самого импульса ∆px ≤ px . В предельном случае она равна импульсу. Импульс частицы связан с кинетической энергией соотношением 2ℏ p = 2mЕk . Отсюда следует, что lmin = . После подстановки числовых 2mEk значений получаем lmin = 0,12 ⋅10−9 м. Ответ: lmin = 0,12 ⋅10−9 м. 66 З АДАЧА 5. Воспользовавшись соотношением неопределенностей оценить ширину энергетического уровня в атоме водорода: 1) для основного состояния; 2) для возбужденного состояния (время его жизни равно 10–8 с). Дано: Решение: ∆t = 10–8 1. Из соотношения неопределенностей ∆E∆t ≥ ℏ следует, что чем меньше время жизни частицы в некотором состоянии, тем более неопределенной с ∆Е = ? является энергия этого состояния. В основном состоянии (n = 1) электрон может существовать бесконечно долго, т. е. ∆t = ∞, поэтому ∆E = ℏ = 0. Энергия поэтому имеет ∆t строго определенное значение, без неопределенности. 2. В возбужденном состоянии (n > 1) время жизни электрона ∆t = 10−8 с, ширина энергетического уровня (размытость) равна ∆E = ℏ . Получаем, что ∆E = Ответ: 1,06 ⋅ 10 10 − 8 ∆E = 0,66 ⋅10 −7 −34 ∆t = 1,06 ⋅ 10 − 26 Дж = 0,66 ⋅ 10 − 7 эВ. эВ. З АДАЧА 6. Частица находится в основном состоянии (n = 1) в одномерном потенциальном ящике шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками (о < x < l). Найти вероятность пребывания частицы в области o < x < l . Решение Вероятность W обнаружить частицу в области W= l /3 ∫ 2 ψ ( x) ⋅ dx. 3 o<x< l 3 равна интегралу (1) 0 Волновая функция для частицы, находящейся в основном состоянии (n = 1) в бесконечно глубоком потенциальном ящике равна ψ ( x) = 2 πx ⋅ sin . l l Подставив это в (1), найдем 67 W= 2 l l /3 ∫ sin 2 0 πx ⋅ dx. l 1 − cos 2α , вычислим интеграл 2 l /3 1 l 1 l / 3 2πx l 2πx ⋅ dx = ⋅ − = W = ∫ dx − ∫ cos sin l0 l l 0 l 3 2π Используя соотношение = sin2 α = 1 1 2π 1 3 − ⋅ sin = − = 0,195. 3 2π 3 3 4π Ответ: W= 0,195. З АДАЧА 7. Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром 0,4 нм, оценить энергию данного электрона (в электронвольтах). Дано: Решение: Так как атом имеет линейный размер (диаметр) d, то d = 0,4 нм = в пределах = 0,4·10–9 м электрон атома будет находиться где-то d −9 m = 9,1 ⋅10 −31 кг области с неопределенностью ∆x = 2 = 0,2 ⋅10 м. ∆Е = ? ∆x ⋅ m ⋅ ∆V = ℏ , откуда ∆V = ℏ . ∆x ⋅ m Неопределенность скорости не может превышать саму скорость, поэтому можно взять неопределённость скорости за минимально возможную скорость. Отсюда получим минимальную кинетическую энергию электрона E= = mV 2 m ⋅ ℏ2 ℏ2 = = = 2 2( ∆x )2 ⋅ m 2 2( ∆x )2 ⋅ m (1,06 ⋅10 −34 ) 2 = 1,54 ⋅10−19 Дж −9 2 − 31 2(0,2 ⋅10 ) ⋅ 9,1 ⋅10 = 0,96 эВ. Ответ: E = 0,96 эВ З АДАЧА 8. ψ-функция некоторой частицы имеет вид ψ= A −r / a ⋅e , r где r ― расстояние этой частицы до силового центра; а ― некоторая постоянная. Из условия нормировки вероятностей определить нормировочный коэффициент А. Дано: ψ= A −r / a ⋅e , r а = const А=? Решение: ∞ Условие нормировки: ∫ ψ 2 ⋅ dV = 1 . 0 ∞ ∫ 0 A 2 r2 ⋅ e − 2 r / a ⋅ 4πr 2 ⋅ dr = 1, 68 dV = 4πr 2 dr , 4πA 2 ∞ ∫ e − 2r / a ⋅ dr = − 0 2πA2 a = 1, 4π 2 ⋅ A ⋅ a ⋅ e − 2r / a 2 откуда 69 A= ∞ = 2πA 2 ⋅ a, 0 1 . 2π ⋅ a VI. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА 16. ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА . РАДИОАКТИВНОСТЬ 1.Массы атомов принято измерять в атомных единицах массы. За 1 а.е.м. принята 1/12 массы изотопа углерода 6С12. 1 а.е.м. = 1,659 76 · 10–27 кг. 2.Заряд электрона е = 1,6 · 10–19 Кл. Масса покоя электрона mе = 9,1 · 10–31 кг = 5,486 · 10–4 а.е.м. 3.Массовое число А = Z + N, где Z ― зарядовое число, равное числу протонов в ядре (номер элемента в таблице Менделеева); N ― число нейтронов. 4.Дефект массы ∆m атомного ядра есть разность между суммой масс свободных протонов и нейтронов и массой образовавшегося из них ядра: ∆m = ( Z ⋅ m p + N ⋅ mn ) − mя , где Z ― зарядовое число (число протонов в ядре); mp и mn ― массы протона и нейтрона соответственно; mя ― масса ядра. Если учесть, что mя = ma − Z ⋅ me , m p + me = m1 , 1Н N = ( A − Z ), то формулу дефекта массы ядра можно представить в виде ∆m = Z ⋅ m1 + ( A − Z )mn − mа , 1Н где А ― массовое число (число нуклонов в ядре); ma ― масса атома: m1 = 1,007 83 а.е.м. = 1,673 5 ⋅10−27 кг; Н 1 mn = 1,008 67 а.е.м. = 1,675 ⋅10−27 кг; m p = 1,007 28 а.е.м. = 1,672 6 ⋅10−27 кг. 5.Энергия связи ядра Eсв = ∆m ⋅ c 2 , где с = 3·108 м/с ― скорость света. Если дефект массы выражен в а.е.м., а энергия связи вычисляется в МэВ, то с учетом переводных коэффициентов Eсв = 931,5 ⋅ ∆m, 70 1 МэВ = 106 эВ = 106 · 1,6 · 10–19 Дж = 1,6 · 10–13 Дж. 6.Удельная энергия связи (энергия связи на нуклон) E уд = Eсв . A 7.Закон радиоактивного распада N = N 0 e − λt , где λ ― постоянная распада; N0 ― исходное количество ядер; N ― число нераспавшихся ядер к моменту времени t. 8.Период полураспада T= ln 2 0,693 ≈ . λ λ 9.Среднее время жизни τ радиоактивного ядра ― промежуток времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз: τ= 1 . λ 10. Активность радиоактивного препарата a=− dN = λ N 0 ⋅ e −λt = a0 e −λt = λ N , dt где α0 = λN0 ― начальная активность. 11. Единицы активности радиоактивного вещества: 1 распад в секунду = 1 Бк (беккере́ль); 1 ГБк = 109 Бк; 1 ТБк = 1012 Бк. 3,7 · 1010 Бк = 1 Ки (кюри́); 12. Число атомов вещества массой m: N0 = m NA, µ где NA ― число Авогадро (NA = 6,023 · 1023 моль–1); µ ― молярная масса 13. Содержание изотопов в природном уране: U-238 ................................ 0,99274 U-235 ................................ 0,00721 U-234 ................................ 0,00005 14. Периоды полураспада некоторых изотопов: 1. 6С14 ............................... 5 570 лет 2. 20Сa45 ............................ 164 суток 71 3. 27Со60 ............................ 5,3 года 4. 38Sr90 ............................. 27 лет 5. 58Се144 ........................... 285 суток 6. 77Ir192 ............................. 75 суток 7. 84Ро210 ........................... 138 суток 8. 86Rn222 ........................... 3,82 суток 9. 88Ra228 ........................... 1 590 лет 10. 92U235 ........................... 7,1·108 лет 11. 92U238 ........................... 4,5·109 лет 12. 94Pu239 .......................... 24 410 лет 15. Энергия ядерной реакции Q = c 2 [(m1 + m2 ) − (m3 + m4 )], где m1 и m2 ― массы покоя ядра-мишени и бомбардирующей частицы; m3 + m4 ― сумма масс покоя ядер продуктов реакции. Если m1 + m2 > m3 + m4 , то энергия высвобождается (реакция экзотермическая). Если m1 + m2 < m3 + m4 , то энергия поглощается (реакция эндотермическая). 72 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 60 З АДАЧА 1. Найти массу изотопа 27 Со, активность которого составит а0 = 1 кКи. Во сколько раз уменьшится эта активность через t = 10,5 лет? Дано: a0 = 103 Ки = = 3,7 · 10–13 Бк µ = 60 · 10–3 кг/моль NA = 6,02 · 1023 1/моль t = 10,5 лет Т = 5,26 лет m=? а0 а Решение: a0 = − где λ= ln 2 0,693 = T T dN = λN 0 , dt ― постоянная распада; N0 = m NA µ ― начальное число нераспавшихся атомов (t = 0). =? Таким образом, a0 = m= 0,693 ⋅ m ⋅ N A , T ⋅µ откуда a0T ⋅ µ = 0,882 ⋅10 −3 кг = 0,883 г. 0,693 ⋅ N A Через t = 10,5 лет активность уменьшится до величины а = а0 ⋅ е − λt = a0 ⋅ e − 2 ln 2 = a0 ⋅ 1 e + 2⋅ 0, 693 = a0 , 4 то есть в четыре раза. З АДАЧА 2. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра изотопа лития 73 Li. Дано: Решение: 73 Дефект массы Z=3 ∆m = Z ⋅ m1 + ( A − Z )mn − maт , 1Н A=7 где ∆m = ? а.е.м. mат = 7,018 2 ∆m = 3 ⋅1,007 83 + 4 ⋅1,008 67 − 7,018 2 = 0,041 86 Есв = 931,5 ⋅ ∆m = 931,5 ⋅ 0,041 86 = 39 а.е.м. МэВ. Есв = ? Ответ: Есв = 39 МэВ. З АДАЧА 3. Найти энергии связи ядер трития 31 H и 4 гелия 2 He. Какое из этих ядер более устойчивое? Масса атома трития а.е.м., атома гелия m 4 Нe = 4,002 60 а.е.м., масса нейтрона m 3 = 3,016 05 Н 1 2 mn = 1,008 67 а.е.м., масса атома водорода m1 = 1,007 83 1Н а.е.м. Решение Eсв 3 = 931,5 [1 ⋅ 1,00783 + ( 3 − 1 ) 1,00867 − 3,01605] ≈ 8,495 МэВ. 1Н Eсв 4 2 Не = 931,5 [2 ⋅1,007 83 + ( 4 − 2 ) 1,008 67 − 4,002 60] ≈ 28,318 МэВ. Так как Eсв 4 2 Не > Eсв 3 1 Н , то ядро гелия более устойчивое. Ответ: Eсв = 8,495 ММэ Eсв 3Н 1 4 Не 2 = 28,318 ММэ, более устойчиво ядро гелия. З АДАЧА 4. Какой изотоп образуется из одного α-распада? 8 3 Li после одного β -распада и Решение При β-распаде протекает процесс 8 0 8 3 Li → −1e + 4 X +ν При последующем α -распаде из получившегося ядра X вылетает альфа-частица ― ядро атома гелия 42 He, в результате чего образуется новый химический элемент Y согласно реакции 8 4 4 4 X → 2 He + 2Y 74 Судя по зарядовому и массовому числам, это изотоп гелия 4 2 He. З АДАЧА 5. Найти энергию реакции 10 5B + 0 n1 →5 B11 →3 Li7 + 2 He 4 Решение Энергию реакции Q найдем по формуле Q = 931,5 [(mB + mn) – (mLi + mHe)]. Здесь под mB, mLi, и mHe подразумеваются массы ядер этих элементов. Преобразуем эту формулу, чтобы вместо масс ядер можно было работать с массами атомов, пользуясь тем, что 5me – (3me + 2me) = 0: Q = 931,5 [(mB + 5me + mn) – (mLi + 3me + mHe+ 2me)]. Теперь можно рассчитать энергию реакции, подставив в формулу массы соответствующих атомов, взяв их из справочника: Q = 931,5 [(10,01294 + 1,00867) – (7,01601 + 4,00260)] = 2,8 МэВ. Ответ: Q = 2,8 МэВ. 75 УСЛОВИЯ СЕМЕСТРОВЫХ ЗАДАЧ 1. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ. ЗАКОН БИО–САВАРА–ЛАПЛАСА. ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА 1-1.По бесконечно длинному прямому проводнику, изогнутому так, как это показано на рис. 1.1, течет ток силой 100 А. Определить магнитную индукцию в точке О, если радиус закругления равен 10 см. 1-2.По контуру АВС идет ток силой 10 А. Определить магнитную индукцию в точке О, если радиус дуги 10 см, α = 60º (рис. 1..2). Рис.1.1 Рис.1.2 1-3.Ток силой 5 А течет по тонкому проводнику, изогнутому, как показано на рис. 1.3. Радиус изогнутой части проводника 120 мм, угол α = 90º. Найти индукцию магнитного поля в точке О. 1-4.Найти индукцию магнитного поля в точке О контура с током J (рис. 1.4). Рис.1.3 Рис.1.4 1-5.Найти индукцию магнитного поля в точке О контура с током J (рис. 1.5). 1-6.Определить индукцию магнитного поля в точке О, если проводник с током J имеет вид, показанный на рис. 1.6. 76 Рис.1.5 Рис.1.6 1-7.Определить индукцию магнитного поля в точке О, если проводник с током J имеет вид, показанный на рис. 1.7. 1-8.Определить индукцию магнитного поля в точке О, если проводник с током J имеет вид, показанный на рис. 1.8. Рис.1.7 Рис.1.8 1-9. Найти индукцию магнитного поля в точке О, если проводник с током J имеет вид, показанный на рис. 1.9. 1-10. Найти индукцию магнитного поля в точке О, если проводник с током имеет вид, показанный на рис. 1.10. Рис.1.9 Рис.1.10 77 1-11. Найти индукцию магнитного поля в точке O, если проводник с током J имеет вид, показанный на рис. 1.11. 1-12. Найти индукцию магнитного поля в точке О, если проводник с током J имеет вид, показанный на рис. 1.12. Рис.1.11 Рис.1.12 1-13. Ток J течет вдоль длинной тонкостенной трубы радиуса R, имеющей по всей длине продольную прорезь ширины h. Найти индукцию магнитного поля внутри трубы, если h << R. 1-14. Круговой виток радиусом R = 15 см расположен относительно бесконечно длинного провода так, что его плоскость параллельна проводу (рис. 1.14). Перпендикуляр, восстановленный на провод из центра витка, является нормалью к плоскости витка. Сила тока в проводе J1 = 1 А, а сила тока в витке J2 = 5 А. Расстояние от центра витка до провода d = 20 см. Определить магнитную индукцию в центре витка. Рис. 1.14 1-15. К двум точкам проволочного кольца подведены идущие радиально провода, соединенные с источником тока (рис. 1.15). Чему равна индукция магнитного поля в точке О? 78 1-16. Найти индукцию магнитного поля в точке О, если проводник с током силой 0,8 А имеет вид, показанный на рис. 1.16. Радиус изогнутой части проводника равен 10 см. Рис.1.15 Рис.1.16 1-17. Определить индукцию магнитного поля в точке О, если проводник с током J имеет вид, показанный на рис. 1.17. 1-18. Определить индукцию магнитного поля в точке О, если проводник с током J имеет вид, показанный на рис. 1.18. Рис.1.17 Рис.1.18 1-19. Определить индукцию магнитного поля в точке О, если проводник имеет форму, показанную на рис. 1.19. 1-20. Определить индукцию магнитного поля в точке О, если проводник с током J имеет вид, показанный на рис. 1.20. Рис.1.19 Рис.1.20 1-21. Определить индукцию магнитного поля в точке О, если проводник с током J имеет вид, показанный на рис. 1.21. 1.22. К двум точкам проволочного контура подведены провода, соединенные с источником тока (рис. 1.22). Чему равна индукция магнитного поля в точке О? 79 Рис. 1.21 Рис. 1.22 1.23. К двум точкам проволочного контура подведены провода, соединенные с источником тока (рис. 1.23). Чему равна индукция магнитного поля в точке О? 1-24. Бесконечно длинный провод с током J образует петлю, как показано на рис. 1.24. Определить индукцию и напряженность магнитного поля в точке О. Рис.1.23 Рис.1.24 1-25. По бесконечно длинному прямому проводнику, изогнутому так, как показано на рис. 1.25, течет ток силой 10 А. Определить индукцию магнитного поля в точке О, если R = 10 см. 1-26. Найти величину индукции магнитного поля в центре петли радиусом R = 10 см, образованной бесконечно длинным тонким проводником с током J = 50 А (рис. 1.26). Рис.1.25 Рис.1.26 80 1-27. Два бесконечно длинных прямых проводника скрещены под прямым углом. По проводникам текут токи J1 = 80 А и J2 = 60 А. Расстояние между проводниками d = 10 см. Чему равна магнитная индукция в точке, одинаково удаленной от обоих проводников? 1-28. Расстояние между двумя длинными параллельными проводниками равно d = 5 см. По проводникам в одном направлении текут токи силой J = 30 А каждый. Найти величину индукции магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии r1 = 4 см от одного и r2 = 3 см от другого проводника. 1-29. По двум бесконечно длинным прямым проводникам, скрещенным под прямым углом, текут токи J1 = 30 А и J2 = 40 А. Расстояние между проводниками d = 20 см. Найти величину индукции магнитного поля в точке, одинаково удаленной от обоих проводников на расстоянии, равное d. 1-30. Два круговых проводника одинакового радиуса с общим центром О расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях. Индукция магнитного поля в точке О равна B0 = 0,2 мТл. Индукция магнитного поля первого проводника с током J1 = 8 А в этой же точке B1 = 1,6 мТл. Определить индукцию B2 магнитного поля второго проводника в точке О и силу тока J2 в нем. 2. СИЛА АМПЕРА. РАБОТА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 2-1. Рядом с длинным проводом, по которому течет ток J1, расположена квадратная рамка со стороной а, обтекаемая током J2. Рамка лежит в одной плоскости с проводом так, что ее сторона, ближайшая к проводу, находится от него на расстоянии а (рис. 2.1). Определить силу, действующую на рамку, а также работу этой силы при удалении рамки из магнитного поля. Считать, что токи J1 и J2 неизменны. Рис. 2.1 2-2. Горизонтальные рельсы находятся в вертикальном однородном магнитном поле на расстоянии 0,3 м друг от друга. На них лежит стержень, перпендикулярный рельсам. Какой должна быть индукция, чтобы стержень начал равномерно двигаться вдоль рельсов, если по нему пропускать ток силой 50 А? Коэффициент трения стержня о рельсы 0,2. Масса стержня равна 0,5 кг. 2-3. В однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл равномерно движется прямой проводник длиной 10 см. По проводнику течет ток силой 2 А. Скорость движения проводника 20 см/с и направлена перпендикулярно 81 к направлению магнитного поля. Найти: 1) работу перемещения проводника за 10 с движения; 2) мощность, затраченную на это движение. 2-4. В однородном магнитном поле (В = 0,02 Тл) в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, расположено проволочное полукольцо длины l = 3 см, по которому течет ток силы J = 0,1 А. Найти результирующую силу, действующую на полукольцо. Изменится ли сила, если проводник распрямить? 2-5. Виток, по которому течет ток силой 20 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 0,016 Тл. Диаметр витка 10 см. Какую работу надо совершить, чтобы повернуть виток на угол 90º относительно оси, совпадающей с диаметром? То же, если угол 2π? 2-6. Батарея аккумуляторов с ЭДС 120 В и внутренним сопротивлением 0,5 Ом соединена с потребителем двумя медными параллельными проводами, расположенными на расстоянии 5 см один от другого. Провода укреплены на изоляторах, расстояние между которыми равно 50 см. Определить силу, действующую на изоляторы при коротком замыкании на зажимах потребителя, если длина проводников равна 20 м, а сечение проводов 3 мм2. 2-7. Провод в виде тонкого полукольца радиусом 10 см находится в однородном магнитном поле с индукцией 50 мТл. По проводу течет ток силой 10 А. Найти силу, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям индукции, а проводящие провода находятся вне поля. 2-8. Квадратная рамка со стороной 10 см расположена около длинного провода с током 100 А так, что две стороны рамки параллельны проводу и отстоят от него на расстояние 20 см. Чему будет равен вращающий момент, действующий на рамку, если по ней пропустить ток силой 1 А? 2-9. По тонкому проводу в виде кольца радиусом 20 см течет ток силой 100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено магнитное поле с индукцией 20 мТл. Найти силу, растягивающую кольца. 2-10. По двум одинаковым квадратным контурам со стороной а = 20 см текут токи силой 10 А в каждом. Определить силу взаимодействия контуров, если расстояние между соответственными сторонами контуров равно 2 мм. 2-11. Проводник длиной l = 24 см и сопротивлением R = 36 Ом согнут в форме квадрата и помещен в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл, перпендикулярное плоскости квадрата (рис. 2.2). Какая сила будет действовать на Рис. 2.2 82 проводник, если на соседние вершины образованной фигуры подать напряжение U = 5,4 В? 2-12. Проводящее кольцо радиусом R = 1,5 м поместили в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости кольца. По кольцу пропустили ток силой J = 10 А. При какой величине индукции магнитного поля кольцо разорвется, если проволока, из которой кольцо изготовлено, выдерживает максимальное натяжение Тmax = 2,6 Н? 2-13. Прямой провод, по которому течет ток I =1кА, расположен в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции. С какой силой F действует поле на отрезок провода длиной l=1м, если магнитная индукция B равна 1Тл? 2-14. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом расстоянии а=10см друг от друга, текут одинаковые токи I = 100A. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить силу F, действующую на отрезок длиной l = 1м каждого провода. 2-15. По двум параллельным проводам длиной l=1 м каждый текут одинаковые токи. Расстояние d между проводами равно 1 см. Токи взаимодействуют с силой F =1мН. Найти силу тока в проводах. 2-16. Два длинных прямых взаимно перпендикулярных провода отстоят друг от друга на расстояние а. В каждом проводе течет ток I. Найти максимальное значение силы Ампера на единицу длины провода в этой системе. 2-17. Прямой провод длиной 10см, по которому течет ток I = 20 А, находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0.01 Тл. Найти угол между направлением вектора В и тока, если на провод действует сила F = 10 мН. 2-18. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной длиной 10 см, течет ток силой 20 А, сила которого поддерживается неизменной. Плоскость квадрата составляет угол 20º с линиями индукции однородного магнитного поля. Вычислить работу, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить провод за пределы поля. Индукция поля равна 0,1 Тл. 2-19. Горизонтальный проводник массой 20 г и длиной 20 см подвешен за концы на двух тонких вертикальных проволочках в вертикальном однородном магнитном поле, индукция которого равна 6,5 Тл. На какой угол α от вертикали отклонятся проволочки, если по проводнику пропустить ток силой 1 А? 83 2-20. Определить работу, которую надо совершить, чтобы повернуть виток с током J, имеющий форму квадрата со стороной а, на угол π / 2 от положения равновесия в магнитном поле с индукцией В. 2-21. Металлическая полоска, расположенная в горизонтальной плоскости XY параллельно оси Y, может перемещаться вдоль оси х в магнитном поле индукцией В = (В, О, О), В = 10–2 Тл. Длина полоски L = 0,1 м, вес Р = 2 · 10–2 H. Если через полоску протекает ток силой J = 10 А в противоположном направлении оси Y, то для смещения полоски достаточно приложить силу F = (f, О, О). Если ток силой J = 10 А протекает в отрицательном направлении оси Y, то какую силу F2 нужно приложить для смещения полоски? 2-22. Тонкий провод в виде дуги, составляющей треть кольца радиусом R = 15см, находится в однородном магнитном поле с В =20мТл. По проводу течет ток I =30 А. Плоскость, в которой лежит дуга , перпендикулярна линиям магнитной индукции, и подводящие провода находятся вне поля. Определить силу F, действующую на провод. 2-23. Два электрона движутся в вакууме по параллельным прямым с одинаковой скоростью 3 · 105 м/с. Расстояние между электронами равно 1 мм. Найти силу магнитного взаимодействия между электронами. 2-24. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0.01 Тл находится прямой провод длиной l = 8см, расположенный перпендикулярно линиям магнитной индукции. По проводу течет ток I =2 A. Под действием сил поля провод переместился на расстояние s = 5 см. Найти работу А сил поля. 2-25. С какой силой действует ток силой 10 А, проходящий по длинному проводу, на квадратную рамку со стороной 40 см? Расстояние от провода до ближайшей стороны равно 20 см, сила тока в рамке 0,3 А (рис. 8.1). 2-26. В однородном магнитном поле по вертикальным направляющим без трения скользит прямой горизонтальный проводник длиной 0,4 м и массой 0,2 кг, по которому течет постоянный ток (рис. 2.3). Вектор магнитной индукции направлен горизонтально перпендикулярно проводнику. Чему равна сила тока в проводнике, если известно, что его ускорение равно 2 м/с2 и направлено вниз? Рис. 2.3 2-27. Металлический стержень массой m = 0,5 кг и длиной l = 1 м соскальзывает с наклонной плоскости, составляющей угол α = 30º с горизонтом. В пространстве создано однородное магнитное поле с 84 индукцией В = 0,1 Тл, силовые линии которого направлены вертикально вниз. Определить ускорение этого стержня, если по нему пропустить ток силой J = 5 А в направлении, показанном на рис. 8.4. Коэффициент трения между стержнем и поверхностью наклонной плоскости µ = 0,2. 2-28. На двух легких проводящих нитях горизонтально висит металлический стержень длиной l = 0,25 м и массой m = 0,015 кг. Стержень находится в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией В = 0,3 Тл, силовые линии которого направлены вертикально вниз. Определить угол отклонения нитей, если по стержню пропустить ток силой J = 0,2 А. 2-29. В тонком проводнике, выполненном в виде кольца радиусом R = 20 см протекает ток силой J = 500 А. Если плоскость кольца перпендикулярна вектору индукции однородного магнитного поля B = 5 · 10–2 Тл, то какова величина силы, растягивающей кольцо? 2-30. Прямоугольная рамка со сторонами а = 40 см и b = 30 см расположена в одной плоскости с бесконечным прямолинейным проводником с током J = 6 А так, что длинные стороны рамки параллельны проводу. Сила тока в рамке J1 = 1 А. Определить силы, действующие на каждую из сторон рамки, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии с = 10 см, а ток в ней сонаправлен току J. 3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ 3-1. На расстоянии 1 м от длинного прямого проводника с силой тока 10 А расположено кольцо радиусом 1 см. Кольцо расположено так, что поток, пронизывающий кольцо, максимален. Чему равно количество электричества, которое протечет по кольцу, если ток в проводнике выключить? Сопротивление кольца 10 Ом. Поле в пределах кольца считать однородным. 3-2. На расстоянии 0,5 м от длинного прямого проводника с током 103 А расположен проволочный контур 50×50 см. Контур расположен так, что поток, пронизывающий его, максимален. Чему равно количество электричества, которое протечет по контуру, если ток в проводнике выключить? Сопротивление контура равно 10 Ом. 3 3-3. По однослойной катушке без сердечника с индуктивностью 50 мГн течет ток силой 5 А. Какое количество электричества индуцируется в катушке при выключении тока, если ее длина 100 см, а диаметр медной проволоки 0,6 мм? 3-4. Нужно изготовить соленоид из медного провода диаметром 0,6 мм длиной 20 см. Каким должно быть поперечное сечение соленоида, если индуктивность 85 Рис. 3.1 соленоида должна быть 0,01 Гн? 3-5. По двум параллельным проводам перемещаются две подвижные перемычки, сопротивления которых равны R1 = 10 мОм и R2 = 10 мОм, а скорости соответственно V1 = 1,0 м/с и V2 = 2,0 м/с (рис. 3.1). Сопротивление третьей неподвижной перемычки R0 = = 10 мОм, расстояние между проводами l = 0,20 м, индукция пронизывающего контур магнитного поля В = 30 мТл. Определить силу тока в неподвижной перемычке. 3-6. Определить диаметр проволоки, из которой намотана катушка индуктивностью 0,001 Гн, если диаметр ее равен 2 см, а общее число витков 1 000. 3-7. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода диаметром 0,2 мм. Диаметр соленоида 5 см. По соленоиду течет ток силой 1 А. Определить, какое количество электричества протечет через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. 3-8. Найти индуктивность соленоида длиной l, обмоткой которого является медная проволока массой m. Сопротивление обмотки R. Диаметр соленоида значительно меньше его длины. 3-9.Сколько метров тонкого провода надо взять для изготовления соленоида длиной 100 см с индуктивностью 1 мГн, если диаметр сечения соленоида значительно меньше его длины? 3-10. Проволочная рамка расположена перпендикулярно магнитному полю, индукция которого изменяется по закону В = В0 (1 + е − kt ), где В0 = 0,5 Тл; k = 1 c–1. Определить величину ЭДС, индуцируемой в контуре в момент времени t = 2,3 с. Площадь рамки S = 4 · 10–2 м2. 3-11. Из изолированной проволоки сделана петля в форме восьмерки с радиусами колец r1 и r2. Определить разность потенциалов между точками соприкосновения провода, если перпендикулярно плоскости петли наложено магнитное поле, индукция которого меняется с течением времени по закону B = kt, где k – постоянный коэффициент. 3-12. В однородном магнитном поле с индукцией 6 · 10–2 Тл находится соленоид диаметром 3 см, имеющий 80 витков медной проволоки сечением 1 мм2. Соленоид поворачивают на угол 180º за время 0,2 с так, что его ось остается направленной вдоль поля. Определить среднее значение ЭДС, возникающей в соленоиде, и индукционный заряд. Удельное сопротивление меди равно 1,7 · 10–8 Ом · м. 3-12. При некоторой силе тока плотность энергии магнитного поля соленоида без сердечника равна 0,2 Дж/м3. Во сколько раз увеличится плотность энергии поля при той же силе тока, если соленоид будет иметь железный сердечник? 86 3-13. Из какого числа витков проволоки состоит однослойная обмотка катушки, индуктивность которой 0,001 Гн? Диаметр катушки 4 см, диаметр проволоки 0,6 мм. Витки плотно прилегают друг к другу. 3-14. В магнитном поле, индукция которого равна 0,5 Тл, помещена катушка, состоящая из 200 витков. Сопротивление катушки 40 Ом, площадь поперечного сечения равна 12 см2. Катушка помещена так, что ее ось составляет 60º с направлением магнитного поля. Какое количество электричества протечет по катушке при исчезновении магнитного поля? 3-15. Тонкий медный проводник массой 1 г согнут в виде квадрата и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл так, что плоскость его перпендикулярна линиям поля. Определить количество электричества, которое протечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию. 3-16. Плоский виток изолированного провода перегибают, придавая ему вид восьмерки, а затем помещают в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям. Длина витка равна 120 см. Петли восьмерок можно считать окружностями с отношением радиусов 1 : 2. Какой ток течет по проводу, если поле будет убывать с постоянной скоростью 10–2 Тл/с? Сопротивление витка 1 Ом. 3-17. Катушка длиной 20 см с диаметром 3 см имеет 400 витков. По катушке идет ток силой 2 А. Найти индуктивность катушки и магнитный поток, пронизывающий площадь ее поперечного сечения. 3-18. Тонкий медный обруч массой m расположен в однородном магнитном поле с индукцией В. Плоскость обруча перпендикулярна направлению поля. Какое количество электричества пройдет по проводнику, если обруч, потянув в диаметрально противоположных точках, вытянуть в линию? 3-19. Соленоид имеет длину 20 см, площадь поперечного сечения 10 см и число витков 400. Соленоид находится в диамагнитной среде. Индуктивность соленоида 10–3 Гн. Найти магнитную индукцию и вектор намагничивания внутри соленоида, если по соленоиду проходит ток силой 2 А. 2 3-20. На длинной прямой соленоид, имеющий диаметр сечения 5 см и содержащий 20 витков на каждый сантиметр длины, плотно надет круговой виток из медного провода сечением 1 мм2. Найти ток в витке, если ток в обмотке соленоида изменяется с постоянной скоростью 100 А/с. Индуктивностью витка пренебречь. 87 3-21. Сколько метров тонкого провода надо взять для изготовления соленоида длиной 100 см с индуктивностью 1 мГн, если диаметр сечения соленоида значительно меньше его длины? 3-22. По соленоиду без сердечника сечением 5 см2, содержащему 1 200 витков, течет ток силой 2 А. Индукция магнитного поля в центре соленоида равна 10 мТл. Определить индуктивность соленоида и энергию его магнитного поля. 3-23. По длинному прямому проводнику течет ток. Вблизи проводника расположена квадратная рамка из тонкого провода сопротивлением 0,02 Ом. Проводник лежит в плоскости рамки и параллелен двум ее сторонам, расстояния до которых соответственно равны а1 = 10 см и а2 = 20 см. Найти силу тока в проводнике, если при его включении через рамку протекло количество электричества, равное 6,93 · 10–4 Кл. 3-24. Прямолинейный проводник длиной 1,2 м с помощью гибких проводников присоединен к источнику с ЭДС в 24 В и внутренним сопротивлением 0,5 Ом. Этот проводник помещен в однородное магнитное поле с индукцией 0,8 Тл, которое направлено перпендикулярно плоскости рисунка. Сопротивление внешней цепи равно 2,5 Ом. Определить силу тока в проводнике в тот момент, когда он движется со скоростью 12,5 м/с. Во сколько раз изменится сила тока, если проводник остановится? 3-25. В однородном магнитном поле с индукцией В вращается в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции, диск радиуса r, совершая n оборотов в секунду. При помощи скользящих контактов диск подключен к цепи, сопротивление которой R (рис. 3.3). Определить ЭДС индукции, возникающую при вращении диска, количество электричества q, протекающее по цепи, а также количество теплоты, выделенное в цепи за время в течение которого диск совершил N оборотов. Рис. 3.3 3-26. Контур из проволоки с удельным сопротивлением ρ = 0,017 мкОм · м и площадью поперечного сечения S = 1 мм2, формы кругового витка радиуса r = 5 см расположен перпендикулярно линиям однородного магнитного поля с магнитной индукцией В = 0,1 Тл. Определить, какой заряд пройдет через поперечное сечение витка при исчезновении поля. 3-27. Определить, какой ток идет через амперметр, подсоединенный к железнодорожным рельсам, при приближении к нему состава со скоростью V = 54 км/ч. Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли равна В = 40 мкТл, расстояние между рельсами l = 1,8 м, сопротивление 88 амперметра R = 100 Ом. Рельсы считайте изолированными от Земли и друг от друга. 3-28. Плоский контур с источником постоянного тока находится во внешнем однородном магнитном поле, вектор индукции которого В перпендикулярен плоскости контура (рис. 3.4). Во сколько раз изменится мощность тока в контуре после того, как поле начнет увеличиваться со скоростью 0,01 Тл/с? Площадь контура 0,1 м2, ЭДС источника тока 10 мВ. Рис. 3.4 3-29. Две параллельные шины, подключенные к аккумулятору с ЭДС ε и внутренним сопротивлением r, находятся в однородном магнитном поле с индукцией В. Шины замкнуты проводником длиной l и сопротивлением R, который перемещается по шинам без нарушения контакта перпендикулярно полю, со скоростью V (рис. 3.5). Рис. 3.5 Пренебрегая сопротивлением шин, определить напряжение на зажимах источника, мощность тепловых потерь источника, а также механическую мощность, подводимую к проводнику. 3-30. Катушка с немагнитным сердечником ( µ = 1) имеет N = 1 000 витков, длина катушки l = 0,4 м, а площадь поперечного сечения S = 10 см2. С какой скоростью нужно менять ток в катушке, чтобы в ней возникла ЭДС самоиндукции 1 В? 4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 4-1. Катушка с железным сердечником сечением 20 см2 имеет индуктивность 0,02 Гн. Какой должна быть сила тока, чтобы индукция в сердечнике была 1 мТл? Катушка содержит 1 000 витков. 4-2. Индукция магнитного поля в железном сердечнике равна 1,45 Тл. Определить магнитную восприимчивость и значение вектора намагниченности в нем, если магнитные свойства выражены графиком B = f (H). 4-3. Замкнутый железный сердечник длиной 50 см имеет обмотку 1 000 витков. По обмотке течет ток силой 10 А. Какой ток надо пустить через обмотку, чтобы при удалении сердечника индукция осталась прежней? 4-4. По обмотке тороида с ненамагниченным железным сердечником пустили ток силой 0,6 А. Витки провода диаметром 0,4 мм плотно прилегают друг к другу. Определить индуктивность тороида при данных 89 условиях, а также энергию магнитного поля в сердечнике, если площадь его сечения 4 см2, а диаметр средней линии 30 см. 4-5. По соленоиду течет ток силой 5 А. Длина соленоида 1 м, число витков 500, площадь поперечного сечения 50 см2. В соленоид вставлен ненамагниченный железный сердечник. Найти энергию магнитного поля соленоида. 4-6. Найти плотность энергии магнитного поля в железном сердечнике соленоида, если напряженность намагничивающего поля равна 1 600 А/м. 4-7. По обмотке длинного соленоида со стальным сердечником течет ток силой 2 А. Определить объемную плотность энергии магнитного поля в сердечнике, если число витков на каждом сантиметре длины соленоида равно 7 см–1. 4-8. В соленоид длиной 50 см вставлен сердечник из железа, для которого зависимость B = f (H) неизвестна. Число витков на единицу соленоида равно 400 м–1, площадь поперечного сечения 10 см2. Найти магнитную проницаемость сердечника при силе тока через обмотку соленоида в 5 А. Известно, что магнитный поток, пронизывающий площадь поперечного сечения соленоида с сердечником, равен 1,6 · 10–3 Вб. Найти индуктивность соленоида при этих условиях. 4-9. При некоторой силе тока плотность энергии магнитного поля соленоида без сердечника равна 0,2 Дж/м3. Во сколько раз увеличится плотность энергии поля при той же силе тока, если соленоид будет иметь железный сердечник? 4-10. На стержень из немагнитного материала длиной 50 см намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля внутри соленоида, если сила тока в обмотке равна 0,5 А. Площадь сечения стержня равна 2 см2. 4-11. Напряженность магнитного поля тороида с железным сердечником возросла от 200 до 800 А/м. Определить, во сколько раз изменилась магнитная проницаемость и магнитная восприимчивость железного сердечника. 4-12. Обмотка тороида содержит 10 витков на каждый сантиметр длины. Сердечник сделан из ненамагниченного железа. Рассчитать магнитную восприимчивость железа, если по обмотке пропустили ток силой 12 А. Чему равна при этой силе тока плотность энергии магнитного поля? 4-13. Имеется соленоид с железным сердечником длиной 50 см, площадью поперечного сечения 10 см2 и числом витков 1 000. Найти индуктивность этого соленоида, если по обмотке течет ток силой 0,1 А. 90 4-14. На алюминиевый стержень длиной 50 см и сечением 2 см намотан в один слой провод таким образом, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке 0,5 А. 2 4-15. Обмотка тонкой тороидальной катушки с железным сердечником состоит из 500 витков. Средний радиус тора равен 8 см. Найти индукцию магнитного поля внутри катушки, намагниченность и магнитную проницаемость сердечника при силе тока в обмотке 0,5 и 1,5 А. 4-7. На стальном ненамагниченном торе, средний диаметр которого 0,3 м и площадь поперечного сечения 16 см2 имеется обмотка, содержащая 800 витков. Когда по обмотке пустили ток силой 1,8 А, баллистический гальванометр дал отброс, соответствующий заряду, прошедшему через прибор, q = 0,24 мКл Рис. 4.1 (рис. 4.1). Зная, что сопротивление цепи гальванометра равно 0,8 Ом, определить напряженность поля и магнитную индукцию внутри кольца, намагниченность кольца, а также магнитную проницаемость стали при заданном токе в обмотке. 4-16. Две катушки с числом витков 125 и 1 000 намотаны на тороидальный ферромагнитный сердечник диаметром 5 см и площадью поперечного сечения 1 см2. По первой катушке течет постоянный ток силой 1 А, вторая катушка подключена к гальванометру. При размыкании цепи первой катушки через гальванометр проходит заряд 10–3 Кл. Полное сопротивление цепи второй катушки равно 100 Ом. Определить магнитную проницаемость материала, из которого сделан сердечник. 4-17. Индукция магнитного поля в железном сердечнике равна 1,4 Тл. Определить значение вектора намагничивания Jm в нем, если его магнитные свойства выражаются графиком B = f (H). 4-18. Индукция магнитного поля в железном сердечнике равна 1,35 Тл. Определить восприимчивоcть железа, если магнитные свойства его выражаются графиком B = f (H). 4-19. На железный стержень длиной 500 мм и сечением 2 см2 намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке равна 0,5 А. 4-20. Площадь поперечного сечения соленоида с железным сердечником равна 10 см2. Найти: 1) магнитную проницаемость материала сердечника при таких условиях, когда магнитный поток, пронизывающий площадь поперечного сечения соленоида, равен 1,4 · 10–3 Вб; 2) какой силе тока, текущего через соленоид, соответствует этот магнитный поток, если 91 известно, что индуктивность соленоида при этих условиях равна 0,44 Гн. Длина соленоида – 1 м. 4-21. В магнитное поле с индукцией 2 · 10–5 Тл помещен шарик из висмута радиусом 5 мм. Каков магнитный момент шарика? Как он направлен? Магнитная восприимчивость висмута χm = –1,76 · 10–4. 4-22. Катушка с железным сердечником имеет площадь поперечного сечения 20 см2 и число витков, равное 500. Индуктивность катушки с сердечником равна 0,28 Гн при силе тока через обмотку в 5 А. Найти магнитную проницаемость железного сердечника в этих условиях. 4-23. Соленоид имеет длину 20 см, площадь поперечного сечения 10 см и число витков 400. Соленоид находится в диамагнитной среде. Индуктивность соленоида 10–3 Гн. Найти магнитную индукцию и вектор намагничивания внутри соленоида, если по соленоиду проходит ток силой 2 А. 2 4-24. При индукции В поля, равной 1 Тл плотность энергии магнитного поля в железе равна 200 Дж/м3. Определить магнитную проницаемость железа в этих условиях. 4-25. Определить магнитную восприимчивость и молярную восприимчивость висмута, если удельная магнитная восприимчивость = -1.3х10-9м3/кг. 4-26. Определить намагниченность М тела при насыщении, если магнитный момент каждого атома равен магнетону Бора и концентрация атомов 6х1028м-3. 4-27. Магнитная восприимчивость алюминия равна 2.1·10-5. Определить его удельную магнитную восприимчивость и молярную восприимчивость. 4-28. Кусок стали внесли в магнитное поле напряженностью Н =1600А/м. Определить намагниченность М стали. 4-29. Вычислить среднее число магнетонов Бора, приходящихся на один атом железа, если при насыщении намагниченность железа равна 1.84МА/м. 4-30. Напряженность Н магнитного поля в меди равна1 МА/м. Определить намагниченность меди М и магнитную индукцию В, если известно, что удельная магнитная восприимчивость равна χуд = -1.1х10-9м3/кг. 92 93 5. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ 5-1. В области пространства одновременно существуют однородные и постоянные магнитное поле с индукцией 0,2 Тл и перпендикулярное ему электрическое поле напряженностью 2 · 105 В/м. Перпендикулярно обоим полям движется, не отклоняясь от прямолинейной траектории, электрон. Какова его скорость? 5-2. Электрон влетает в однородное магнитное поле 7 перпендикулярно силовым линиям. Скорость электрона равна 4 · 10 м/с. Индукция магнитного поля 10–3 Тл. Чему равны тангенциальное и нормальное ускорения электрона в магнитном поле? 5-3. Вычислить радиус окружности, которую описывает протон в магнитном поле с индукцией 1,5 · 10–2 Тл, если скорость протона равна 2 · 106 м/с. 5-4. Спираль, по которой движется электрон в однородном магнитном поле, имеет диаметр 80 см и шаг 200 мм. Определить скорость электрона. Индукция магнитного поля равна 0,5 мТл. 5-5. α-частица, кинетическая энергия которой равна 500 эВ, влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярное скорости ее движения. Индукция магнитного поля 0,1 Тл. Найти: 1) силу, действующую на частицу; 2) радиус окружности; 3) период обращения частицы. 5-6. Найти угловую скорость обращения электрона по окружности, которую он описывает в однородном магнитном поле, если магнитная индукция поля равна 0,02 Тл. 5-7. Найти кинетическую энергию протона, движущегося по дуге окружности радиусом 60 см в магнитном поле, индукция которого равна 1 Тл. 5-8. Однородное магнитное поле, индукция которого равна 10 мТл, направлено перпендикулярно однородному электрическому полю напряженностью 17 кВ/м. Ион, пройдя ускоряющую разность потенциалов 15 кВ и влетев в область, занятую полями, со скоростью, перпендикулярной обоим полям, движется равномерно и прямолинейно. Определить отношение q / m для этого иона. 5-9. Протон и альфа-частица, двигаясь с одинаковой скоростью, попадают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус кривизны траектории протона больше радиуса кривизны траектории электрона? 5-10. Протон и электрон, ускоренные одинаковой разностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле. Во сколько раз радиус 94 кривизны траектории протона больше радиуса кривизны траектории электрона? 5-11. α -частица, момент импульса которой равен 1,3 · 10–22 кг · м2/с, влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярное скорости ее движения. Индукция магнитного поля равна 2,5 · 10–2 Тл. Найти кинетическую энергию α-частицы. 5-12. Электрон, прошедший в ускоряющем электрическом поле разность потенциалов 104 В, движется в однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл, перпендикулярной к его скорости. Определить момент импульса электрона. 5-13. α-частица, кинетическая энергия которой равна 500 эВ, влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярное скорости ее движения. Индукция магнитного поля 0,1 Тл. Найти: 1) силу, действующую на частицу; 2) радиус окружности, по которой движется частица; 3) период обращения частицы. 5-14. Циклотрон предназначен для ускорения протона до энергии 5 МэВ. Каков должен быть радиус дуантов R циклотрона, если индукция магнитного поля равна 1 Тл? 5-15. Циклотрон предназначен для ускорения протона до энергии 4 МэВ. Определить индукцию магнитного поля, если максимальный радиус полуокружности внутри дуанта равен 60 см. 5-16. Однородное электрическое (Е = 3 В/см) и магнитное (В = 10–4 Тл) поля направлены взаимно перпендикулярно. Каковы должны быть направление и величина скорости электрона, чтобы его траектория была прямолинейна? 5-17. Протон и α -частица влетают в однородное магнитное поле. Скорость частиц направлена перпендикулярно силовым линиям поля. Во сколько раз период обращения протона в магнитном поле больше периода обращения α-частицы? 5-18. Спираль, по которой движется электрон в однородном магнитном поле, имеет диаметр 80 мм и шаг 200 мм. Определить скорость электрона V, если индукция магнитного поля равна 5 мТл. 5-19. Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности со скоростью 106 м/с. Индукция магнитного поля равна 0,3 Тл. Радиус окружности 4 см. Найти заряд частицы, если известно, что ее энергия равна 12 кэВ. 5-20. Определить силу, действующую на электрон в момент, когда он пересекает под прямым углом ось длинного соленоида в непосредственной близости от его конца. Сила тока в соленоиде 2 А, число витков на единицу 95 длины 3 000 м–1. Скорость электрона 3 · 107 м/с. Магнитная проницаемость среды равна единице. 5-21. Ион, несущий один элементарный заряд, движется в однородном магнитном поле напряженностью 100 кА/м по окружности радиусом 10 см. Определить импульс иона. 5-22. Два иона, имеющие одинаковый заряд, но различные массы, влетели в однородное магнитное поле. Первый ион начал двигаться по окружности радиусом 5 см, второй ион – по окружности радиусом 2,5 см. Найти отношение масс ионов, если они прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов. 5-23. Через сечение S = а · b медной пластинки толщиной а = 0,5 мм и высотой b = 10 мм идет ток 20 А. При помещении пластинки в магнитное поле, перпендикулярное ребру b и направлению тока, возникает поперечная разность потенциалов 3,1 · 10–6 В. Индукция магнитного поля 1 Тл. Определить: 1) концентрацию электронов проводимости в меди; 2) их среднюю скорость при этих условиях. 5-24.Покоящийся в начальный момент электрон ускоряется электрическим полем, напряженность которого постоянна. Через 0,01 с он влетает в магнитное поле, перпендикулярное электрическому, магнитная индукция которого равна 10–5 Тл. Во сколько раз нормальное ускорение электрона в этот момент больше его тангенциального ускорения? 5-25. Электрон влетает в однородное магнитное поле, магнитная индукция которого равна 10–3 Тл, со скоростью 6 000 км/с. Направление скорости составляет угол 30º с направлением поля. Определить траекторию движения электрона в магнитном поле. 5-26. В направлении, перпендикулярном линиям индукции однородного магнитного поля, влетает электрон с кинетической энергией W = 3 · 10–16 Дж. Определить величину магнитной индукции поля В, если радиус кривизны траектории движения электрона в поле равен R = 2 см. 5-27. Протон и α-частица, двигаясь с одинаковой скоростью, влетают в заряженный плоский конденсатор параллельно пластинам. Как относятся между собой на выходе из конденсатора смещение протона (hp) и α-частицы (hα) по оси, перпендикулярной пластинам конденсатора? 5-28. Заряженная частица влетела в однородное магнитное поле со скоростью V под углом α = 90º к линиям индукции магнитного поля. Как изменится радиус окружности, по которой будет двигаться частица, и период обращения ее по окружности, если частица влетит в то же магнитное поле под тем же углом со скоростью в 2 раза больше прежней? 96 5-29. Два электрона А и В движутся в однородном магнитном поле, при этом векторы их скоростей VA и VB перпендикулярны вектору магнитной индукции B. Отношение кинетических энергий электронов Определить отношение радиусов их траекторий EA = 4. EB RA . RB 5-30. Протон и электрон, обладая одинаковыми кинетическими энергиями, влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Определить отношения радиусов траекторий протона и электрона Rp Re . Отношение масс протона и электрона равно 1836. 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 6-1. Два конденсатора с емкостями С1 = 16 мкФ и С2 = = 36 мкФ и катушка с индуктивностью L = 0,1 Гн соединены так, как показано на рис. 6.1. Определить амплитуду колебаний заряда q2 на втором конденсаторе, если амплитуда колебаний силы тока в катушке равна J0 = 0,5 А. 6-2. Конденсатор неизвестной емкости С, катушка индуктивности L и резистор сопротивлением R подключены к источнику переменного напряжения ε = ε 0 cos ω t (рис. 6.2). Сила тока в цепи равна J = ε 0 cos ωt . R Определить амплитуду напряжения U0 между обкладками конденсатора. Рис. 6.1 Рис. 6.2 6-3. Разность потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре меняется по закону U = 80cos (104πt). Электроемкость конденсатора C = 10–8 Ф. Найти: 1) период колебаний контура; 2) индуктивность контура L; 3) длину волны λ, соответствующую этому контуру. 6-4. Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности L = 2 мкГн и конденсатора, настроен на длину волны λ = 20 м. Определить максимальное напряжение на конденсаторе, если энергия, запасенная в контуре, W = 4 · 10–10 Дж. 97 6-5. Колебательный контур, имеющий катушку индуктивностью L = 0,1 Гн и конденсатор емкостью С = 0,1 мкФ, присоединен через ключ к источнику ЭДС ε = 3 В и внутренним сопротивлением r = 100 Ом (рис. 6.3). Вначале ключ замкнут. После установления стационарного режима ключ размыкают. Определить амплитуду колебаний напряжения на индуктивности или на емкости. 6-6. В схеме (рис. 6.4) ЭДС ε = 10 В, индуктивность катушки L = 10–4 Гн, емкость конденсаторов С1 = 2 мкФ, С2 = 8 мкФ. Вначале ключ находился в положении а. Какова будет частота электромагнитных колебаний после переключения ключа в положение b? Рис. 6.3 Рис. 6.4 6-7. В схеме (рис. 6.5) ЭДС батареи ε = 10 В, индуктивность катушки L –4 = 10 Гн, емкости конденсаторов С1 = 2 нФ, С2 = 8 нФ. Вначале ключ находился в положении а. После переключения ключа в положение b какова будет энергия электростатического поля конденсаторов и энергия электромагнитных колебаний? 6-8. Если в контуре (рис. 6.6), содержащем конденсатор емкостью С = 30 мкФ и две катушки индуктивностью L1 = 700 нГн и L2 = 300 нГн, первоначально при разомкнутом ключе К зарядить конденсатор до напряжения U0 = 100 В, то какова будет амплитуда тока в контуре после замыкания ключа К? Рис. 6.5 Рис. 6.6 6-9. Колебательный контур состоит из двух соединенных последовательно одинаковых конденсаторов емкостями С1 = С2 = 4 мкФ и катушки индуктивностью L = 0,2 мГн. Определить период свободных колебаний в контуре, максимальный заряд и максимальное напряжение на каждом конденсаторе. Максимальный ток в цепи Jmax = 0,1 А. 6-10. Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и конденсатора, настроен на длину волны λ = 3 м. В момент, когда 98 мгновенное значение силы тока в контуре J = 10 мА, мгновенное значение заряда на конденсаторе q = 2 · 10–11 Кл, определить максимальное амплитудное значение тока в цепи. 6-11. В колебательном контуре максимальный заряд конденсатора составляет q = 6 · 10–6 Кл. Электроемкость конденсатора С = 2 · 10–6 Ф. Индуктивность катушки L = 3 · 10–3 Гн. Если в определенный момент сила тока в колебательном контуре равна J = 2,4 · 10–4 А, то какой при этом будет заряд на конденсаторе? 6-12. Максимальная сила тока в колебательном контуре радиоприемника равна J = 24 мА. При этом максимальный заряд конденсатора контура составляет q = 6 нКл. На какую длину волны настроен радиоприемник? 6-13. Индуктивность колебательного контура равна L = 1,5 мГн. Максимальная сила тока в контуре Jmax = 3 · 10–3 A. Максимальная разность потенциалов на конденсаторе контура составляет Umax = = 1,7 В. Какова циклическая частота ω колебаний в контуре? 6-14. Радиоприемник настроен на частоту ν = 6 · 10–5 Гц. Индуктивность колебательного контура радиоприемника равна L = 1,5 мГн. Максимальная сила тока в контуре Jmax = 0,3 мА. Определить максимальную разность потенциалов на конденсаторе контура. 6-15. Катушка индуктивностью L = 1 мГн и воздушный конденсатор, состоящий из двух круглых пластин диаметром 20 см каждая, соединены параллельно. Расстояние d между пластинами равно 1 см. Определить период Т колебаний. 6-16. Конденсатор электроемкостью С = 500 пФ соединен параллельно с катушкой длиной l = 40 см и площадью S сечения, равной 5 см2. Катушка содержит N = 1 000 витков. Сердечник немагнитный. Найти период Т колебаний. 6-17. Катушка (без сердечника) длиной l = 50 см и площадью S1 сечения, равной 3 см2, имеет N = 1 000 витков и соединена параллельно с конденсатором. Конденсатор состоит из двух пластин площадью S2 = 75 см2 каждая. Расстояние d между пластинами равно 5 мм. Диэлектрик – воздух. Определить период Т колебаний контура. 6-18. На какую длину волны будет резонировать контур, состоящий из катушки индуктивностью L = 4 мГн и конденсатора электроемкостью С = 1,11 нФ? 6-19. Если отношение максимальной величины заряда на обкладках конденсатора к величине амплитуды силы тока в колебательном контуре k = 6 · 10–5 с, омическим сопротивлением которого можно пренебречь, то какова резонансная частота контура? 99 6-20. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и двух одинаковых конденсаторов, включенных параллельно. Омическое сопротивление контура пренебрежимо мало. Период собственных колебаний Т = 26 мкс. Если конденсаторы соединить последовательно, то каким станет период собственных колебаний контур 6-21. Если в контуре, содержащем два конденсатора емкостью С = 30 мкФ каждый и две катушки емкостью L = 700 нГн каждая, зарядить первоначально один из конденсаторов до напряжения U0 = 200 В при разомкнутом ключе К, то какова станет амплитуда тока в контуре после замыкания ключа К (рис. 6.7). 6-22. Если в контуре, содержащем конденсатор емкостью С = 30 мкФ и две катушки индуктивностью L1 = 700 нГн и L1 = 300 нГн, при первоначально разомкнутом ключе К зарядить конденсатор до напряжения U0 = 100 В, то какова будет амплитуда тока в контуре после замыкания ключа К (рис. 6.8)? Рис. 6.7 Рис. 6.8 6-23. Батарея из двух последовательно соединенных конденсаторов, емкостью С = 10–2 Ф каждый заряжена до напряжения U = 1 000 В и в начальный момент времени подключена к катушке индуктивностью L = 10–4 Гн так, что образовался колебательный контур (рис. 6.9). Спустя время ∆t = 5 · 10–4 с один из конденсаторов пробивается. Если сопротивление между его обкладками становится равным нулю, то какая будет амплитуда силы тока в контуре? 6-24. Батарею из двух последовательно соединенных конденсаторов емкостью С = 10 мФ каждый, причем один из них предварительно заряжен до напряжения U0 = 1 000 В, соединяют с катушкой индуктивностью L = 100 мкГн так, что образуется колебательный контур (рис. 6.10). Определить амплитуду силы тока в контуре, если сопротивление контура пренебрежимо мало. 100 Рис. 6.9 Рис. 6.10 6-25. В колебательном контуре происходят свободные гармонические колебания. Если максимальный заряд конденсатора –6 qmax = 10 Кл, а максимальная сила тока Jmax = 10 А, то какова частота колебаний этого контура? 6-26. Катушка, индуктивность которой L = 3 · 10–6 Гн, присоединена к плоскому конденсатору с площадью пластин S = 100 см2, расстояние между ними d = 0,1 мм. Чему равна диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами, если контур резонирует на волну длиной 750 м? 6-27. Уравнение изменения со временем разности потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре дано в виде U = 50cos 104 πt. Емкость конденсатора равна 10–7 Ф. Найти: 1) период колебаний; 2) индуктивность контура; 3) закон изменения со временем силы тока в цепи; 4) длину волны, соответствующую этому контуру. 6-28. Уравнение изменения силы тока в колебательном контуре со временем дается в виде J = –0,02sin 400 π t. Индуктивность контура 1 Гн. Найти: 1) период колебаний; 2) емкость контура; 3) максимальную разность потенциалов на обкладках конденсатора; 4) максимальную энергию магнитного поля; 5) максимальную энергию электрического поля. 6-29. Чему равно отношение энергии магнитного поля колебательного контура к энергии его электрического поля для момента времени Т c? 8 6-30. Колебательный контур состоит из индуктивности –2 L = 10 Гн, электроемкости С = 0,405 мкФ и сопротивления R = 2 Ом. Найти, во сколько раз уменьшится разность потенциалов на обкладках конденсатора за время одного периода. 7. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА 7-1.Радиус кривизны вогнутого сферического зеркала 20 см. На расстоянии 30 см от зеркала поставлен предмет высотою 1 см. Найти положение и высоту изображения. Построить чертеж. 7-2.На каком расстоянии получится изображение предмета в выпуклом сферическом зеркале радиусом кривизны 40 см, если предмет помещен на расстоянии 30 см от зеркала? Какой величины получится изображение, если предмет имеет высоту 2 см? Проверить вычисления, сделав чертеж на миллиметровой бумаге. 7-3.Выпуклое сферическое зеркало имеет радиус кривизны 60 см. На расстоянии 10 см от зеркала поставлен предмет высотой в 2 см. Найти положение и высоту изображения. Построить чертеж. 101 7-4.В вогнутом сферическом зеркале, радиус кривизны которого 40 см, хотят получить действительное изображение в 0,5 натуральной величины. Где нужно поставить предмет и где получится изображение? 7-5.Величина изображения предмета в вогнутом сферическом зеркале вдвое больше, чем величина самого предмета. Расстояние между предметом и изображением 15 см. Определить: 1) фокусное расстояние; 2) оптическую силу зеркала. 7-6.Где будет находиться и какой величины будет изображение Солнца, получаемое в сферическом рефлекторе, радиус кривизны которого равен 16 м? 7-7. Широкий световой пучок падает на основание стеклянного полушара с показателем преломления n = 1,41, перпендикулярно к плоскости основания. Каков максимальный угол α отклонения прошедших через полушар лучей от их первоначального направления? 7-8.На плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной 1 см падает луч света под углом 60º. Показатель преломления стекла 1,73. Часть света отражается, а часть, преломляясь, проходит в стекло, отражается от нижней поверхности пластинки и, преломляясь вторично, выходит обратно в воздух параллельно первому отраженному лучу. Определить расстояние L между лучами. 7-9.Показатель преломления стекла равен 1,52. Найти предельные углы полного внутреннего отражения для поверхностей раздела: 1) стекло–воздух; 2) вода–воздух; 3) стекло–вода. 7-10. Двояковыпуклая линза, ограниченная сферическими поверхностями одинакового радиуса кривизны в 12 см, поставлена на такое расстояние от предмета, что изображение на экране получилось в Г раз больше предмета. Определить расстояние от предмета до экрана, если: 1) Г = 1; 2) Г = 20; 3) Г = 0,2. Показатель преломления материала линзы 1,5. Линза погружена в сероуглерод (n=1,63). 7-11. Луч света выходит из скипидара в воздух. Предельный угол полного внутреннего отражения для этого луча 42º23′. Чему равна скорость распространения света в скипидаре? 7-12. На стакан, наполненный водой, положена стеклянная пластинка. Под каким углом должен падать на пластинку луч света, чтобы от поверхности раздела воды со стеклом произошло полное внутреннее отражение? Показатель преломления стекла 1,5. 102 7-13. Найти главное фокусное расстояние кварцевой линзы для ультрафиолетовой линии спектра ртути ( λ = 2,59 · 10–7 м), если главное фокусное расстояние для желтой линии натрия (λ = 5,89 · 10–7 м) равно 16 см и показатели преломления кварца для этих длин волн соответственно 1,504 и 1,458. 7-14. Из двух стекол с показателями преломления 1,5 и 1,7 сделаны две одинаковые двояковыпуклые линзы. 1) Найти отношение из фокусных расстояний. 2) Какое действие каждая из этих линз произведет на луч, проведенный параллельно оптической оси, если погрузить линзы в прозрачную жидкость с показателем преломления 1,6? 7-15. Радиусы кривизны поверхностей двояковыпуклой линзы равны R1 = R2 = 50 см. Показатель преломления материала линзы равен n = 1,5. Найти оптическую силу линзы. 7-16. В 15 см от двояковыпуклой линзы, оптическая сила которой равна 10 дптр, поставлен перпендикулярно к оптической оси предмет высотой 2 см. Найти положение и высоту изображения. Построить чертеж. 7-17. Линза с фокусным расстоянием 16 см дает резкое изображение предмета при двух положениях, расстояние между которыми 60 см. Найти расстояние от предмета до экрана. 7-18. Двояковыпуклая линза, ограниченная сферическими поверхностями одинакового радиуса кривизны в 12 см, поставлена на такое расстояние от предмета, что изображение на экране получилось в Г раз больше предмета. Определить расстояние от предмета до экрана, если: 1) Г = 1; 2) Г = 20; 3) Г = 0,2. Показатель преломления материала линзы 1,5. 7-19. Найти фокусное расстояние линзы, погруженной в воду, если известно, что ее фокусное расстояние в воздухе равно 20 см. Показатель преломления стекла, из которого сделана линза, равен 1,6. 7-20. Плосковыпуклая линза с радиусом кривизны 30 см и показателем преломления 1,5 дает изображение предмета с увеличением, равным 2. Найти расстояние предмета и изображения от линзы. Построить чертеж. 7-21. В фокальной плоскости двояковыпуклой линзы расположено плоское зеркало. Предмет находится перед линзой между фокусом и двойным фокусным расстоянием. 103 Построить изображение предмета. 7-22. Найти увеличение, даваемое лупой, фокусное расстояние которой равно 2 см: 1) для нормального глаза с расстоянием наилучшего зрения в 25 см; 2) для близорукого глаза с расстоянием наилучшего зрения в 15 см. 7-23. Чему должны быть равны радиусы кривизны поверхностей, ограничивающих лупу (|R1| = |R2|), чтобы она давала увеличение для нормального глаза Г = 10? Показатель преломления стекла, из которого сделана лупа, равен n = 1,5. 7-24. Двояковыпуклая линза, ограниченная сферическими поверхностями одинакового радиуса в 12 см, поставлена на такое расстояние от предмета, что изображение на экране получилось в Г раз больше предмета. Определить расстояние предмета до экрана, если: 1) Г = 1; 2) Г = 20; 3) Г = 0,2. Показатель преломления материала линзы 1,5. Линза погружена в воду. Найти ее фокусное расстояние. 7-25. Солнце? В каком направлении водолаз видит из-под воды заходящее 7-26. Светящаяся точка со скоростью 0,2 м/с движется по окружности вокруг главной оптической оси собирающей линзы в плоскости, параллельной плоскости линзы, и отстоящей от нее на расстоянии в 1,8 раза большем фокусного расстояния линзы. Какова скорость движения изображения? 7-27. На оси х в точке х1 = 0 находится тонкая рассеивающая линза с фокусным расстоянием F1 = –20 см, а в точке х2 = 20 см ― тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием F2 = 30 см. Главные оптические оси обеих линз лежат на оси х. Свет от точечного источника S, расположенного в точке х < 0, пройдя данную оптическую систему, распространяется параллельным пучком. Найти координату х точечного источника. 7-28. Объектив проекционного аппарата имеет оптическую силу 5,4 дптр. Экран расположен на расстоянии 4 м от объектива. Определить размеры экрана, на котором должно уместиться изображение диапозитива размером 24×36 мм. 7-29. В стекле с показателем преломления n1 = 1,5 имеется сферическая полость радиусом R = 4,5 см, заполненная водой. Показатель преломления воды n2 = 4/3. На полость падает широкий пучок параллельных световых лучей. 104 Определить радиус r пучка световых лучей, которые проникают в полость. 7-30. Луч света падает под углом 30º на плоскопараллельную стеклянную пластинку и выходит из нее параллельно первоначально отраженному лучу. Показатель преломления стекла 1,5. Какова толщина d пластинки, если расстояние между лучами равно 1,94 см? 8. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА 8-1. Рис. 8.1 В точку А экрана от источника S монохроматического света длиной волны 0,5 мкм приходят два луча: SA и SBA, отраженный в точке В от зеркала, параллельного лучу SA (Рис. 8.1). Расстояние l1 от экрана до источника света равно 1 м, расстояние h от луча SA до плоскости зеркала равно 2 мм. Что будет наблюдаться в т. А экрана ― усиление или ослабление света? 8-2. См. условие задачи 8-1. Что будет наблюдаться в т. А, если на пути луча SA перпендикулярно ему поместить плоскопараллельную пластинку стекла (n = 1,55) толщиной d = 6 мкм? 8-3. Монохроматическая световая волна падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, отстоящими друг от друга на расстояние d = 2,5 мм. На экране, расположенном за диафрагмой на расстоянии L = 1 м, образуется система интерференционных полос. На какое расстояние и в какую сторону сместятся эти полосы, если одну из щелей перекрыть стеклянной пластинкой толщиной h = 10 мкм? 8-4. В установке для наблюдения колец Ньютона плоско-выпуклая линза сделана подвижной и может перемещаться в направлении, перпендикулярном к пластинке. Описать, что будет происходить с кольцами Ньютона при удалении и приближении линзы к пластинке. Кольца получаются с помощью монохроматического света. 8-5. При каких толщинах d пленки исчезают интерференционные полосы при освещении ее светом с длиной волны λ = 0,6 мкм? 105 Показатель преломления пленки n = 1,5. 8-6. На экране наблюдается интерференционная картина от двух когерентных источников света с длиной волны λ = 480 нм. Когда на пути одного из лучей поместили тонкую пластинку из кварца (n = 1,46), то интерференционная картина сместилась на N = 69 полос. Определить толщину h кварцевой пластинки. 8-7. В опыте Юнга вначале берется источник света с длиной волны λ 1 = 600 нм, а затем ― λ 2. Какова длина волны во втором случае, если 7-я светлая полоса в первом случае совпадает с 10-й темной во втором? 8-8. На плоскопараллельную пленку с показателем преломления n = 1,3 падает нормально параллельный пучок белого света. При какой наименьшей толщине пленки она будет наиболее прозрачна для света с длиной волны λ = 0,6 мкм? 8-9. Плоскопараллельная стеклянная пластинка толщиной h = 1,2 мкм и показателем преломления n = 1,5 помещена между двумя средами с показателями n1 и n2. Свет с длиной волны λ = 0,6 мкм падает нормально на пластинку. Определить оптическую разность хода волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей пластинки и указать, усиление или ослабление интенсивности света происходит в следующих случаях: 1) n1 < n < n2; 2) n1 > n > n2; 3) n1 < n > n2; 4) n1 > n < n2. 8-10. Определить радиус 4-го темного кольца Ньютона, если между линзой с радиусом кривизны 5 м и плоской поверхностью, к которой она прижата, находится вода. Длина волны света λ = 589 нм. Наблюдение ведется в отраженном свете. 8-11. Найти разность радиусов 3-го и 16-го колец Ньютона, если разность радиусов 2-го и 20-го темных колец равна 4,8 мм. 8-12. Между стеклянной пластинкой и лежащей на ней плосковыпуклой стеклянной линзой налита жидкость, показатель преломления которой меньше показателя преломления стекла. Радиус r8 восьмого темного кольца Ньютона при наблюдении в отраженном свете ( λ = 700 нм) равен 2 мм. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R = 1 м. Найти показатель преломления жидкости nж. Две соприкасающиеся тонкие симметричные стеклянные линзы: одна двояковыпуклая, другая ― двояковогнутая образуют систему с оптической силой D = 0,5 дптр. В свете с длиной волны λ = 0,61 мкм, отраженном от этой системы, наблюдают кольца Ньютона. Определить радиус десятого темного кольца. 8-13. 106 8-14. В установке для наблюдения колец Ньютона свет с длиной волны λ = 0,5 мкм падает нормально на плосковыпуклую линзу с радиусом кривизны R1 = 1 м, положенную выпуклой стороной на вогнутую поверхность плосковогнутой линзы с радиусом кривизны R2 = 2 м. Определить радиус r3 третьего темного кольца Ньютона в отраженном свете. 8-15. Разность радиусов 5-го и 25-го колец Ньютона равна 9 мм. Радиус кривизны линзы R = 15 м. Найти длину волны монохроматического света, падающего нормально на установку. Наблюдение ведется в отраженном свете. 8-16. Сферическая поверхность плосковыпуклой линзы соприкасается со стеклянной пластинкой. Пространство между линзой и пластинкой заполнено сероуглеродом. Показатели преломления линзы, сероуглерода и пластинки равны соответственно: n1 = 1,5, n2 = 1,63 и n3 = 1,7. Радиус кривизны сферической поверхности линзы R = 100 см. Определить радиус 5-го темного кольца Ньютона в отраженном свете с длиной волны λ = 0,5 мкм. 8-17. На вершине сферической поверхности плосковыпуклой стеклянной линзы имеется сошлифованный плоский участок радиусом r0 = 3 мм, которым она соприкасается со стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R = 150 см. Найти радиус шестого светлого кольца при наблюдении в отраженном свете с длиной волны λ = 0,655 мкм. 8-18. Плосковыпуклая стеклянная линза с радиусом кривизны R = 120 см соприкасается выпуклой поверхностью со стеклянной пластинкой. При этом в отраженном свете радиус некоторого темного кольца rк = 2,5 см. Наблюдая за данным кольцом, линзу осторожно отодвинули от пластинки на ∆h = 10 мкм. Каким стал радиус этого кольца? 8-19. Для наблюдения колец Ньютона в отраженном свете ( λ = 0,55 мкм) плосковыпуклую линзу с радиусом кривизны R1 = 3 м в одном случае положили на плоскопараллельную пластинку, а в другом ― на вогнутую линзу с радиусом кривизны R2 = 6 м. Определить, на сколько при этом изменился радиус десятого темного кольца. 8-20. На стеклянную пластинку положена плосковыпуклая линза выпуклой стороной. При нормальном падении красного света (λ = 610 нм) радиус 5-го светлого кольца Ньютона равен 5 мм. Определить: а) радиус кривизны выпуклой границы линзы; б) оптическую силу линзы (показатель преломления линзы n = 1,5); в) радиус 3-го светлого кольца. Наблюдение ведется в отраженном свете. 107 8-21. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует клин вследствие стекания жидкости. Наблюдая интерференционные полосы в отраженном свете с λ = 5 461 Å, нашли, что на 2 см пленки приходится пять полос. Найти угол клина в секундах. Свет падает перпендикулярно к поверхности пленки (n = 1,33). 8-22. На стеклянный клин падает нормально пучок света (λ = 5 820 Å). Угол клина равен 20''. Какое число темных интерференционных полос приходится на единицу длины клина? 8-23. На установке для наблюдения колец Ньютона был измерен в отраженном свете радиус третьего темного кольца (k = 3). Когда пространство между пластинкой и линзой заполнили жидкостью, то тот же радиус стало иметь кольцо с номером, на единицу большим. Определить показатель преломления жидкости. 8-24. Установка для наблюдения колец Ньютона в отраженном свете освещается нормально монохроматическим светом. После того как пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнили жидкостью, радиусы темных колец уменьшились в 1,25 раза. Найти показатель преломления жидкости. 8-25. Установка для наблюдения колец Ньютона в отраженном свете освещается монохроматическим светом с длиной волны 5 · 103 Å, падающим нормально. Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено водой. Найти толщину слоя воды между линзой и пластинкой в том месте, где наблюдается третье светлое кольцо. 8-26. На стеклянную пластинку нанесен тонкий слой прозрачного покрытия, показатель преломления которого n = 1,41 меньше показателя преломления стекла. На пластинку под углом α = 30º падает пучок белого света. Какова минимальная толщина покрытия dmin, если в отраженном свете оно кажется зеленым? Длина волны зеленого света λ = 0,53 мкм. 8-27. При наблюдении колец Ньютона в отраженном синем свете ( λ = 0,45 · 10–6 м) с помощью плоско-выпуклой линзы, положенной на плоскую пластинку, радиус третьего светлого кольца оказался равным 1,06 мм. После замены синего светофильтра на красный был измерен радиус пятого светлого кольца, оказавшийся равным 1,77 мм. Найти радиус кривизны R линзы и длину волны красного света. 8-28. На пути световой волны, идущей в воздухе, поставили стеклянную пластинку толщиной h = 1 мм. На сколько изменится оптическая длина пути, если волна падает на пластинку: 1) нормально; 2) под углом i = 30º? 108 8-29. На пути монохроматического света c длиной волны λ = 0,6 мкм находится плоскопараллельная пластинка толщиной h = 0,1 мм. Свет падает на пластинку нормально. На какой угол ϕ следует повернуть пластинку, чтобы оптическая длина пути L изменилась на λ ? 2 8-30. Для измерения показателя преломления аммиака в одно из плеч интерферометра Майкельсона помещена закрытая с обеих сторон откачанная до высокого вакуума стеклянная трубка длиной l = 15 см. При заполнении трубки аммиаком интерференционная картина для длины волны λ = 0,589 мкм сместилась на 192 полосы. Определить показатель преломления аммиака. 9. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 9-1. Вычислить радиусы первых пяти зон Френеля, если расстояние от источника света до волновой поверхности равно 1 м. Расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения также равно 1 м, длина световой волны λ = 5 · 10–7м. 9-2. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии 4 м от точечного источника монохроматического света (λ = 5 · 10–7 м). Посредине между экраном и источником помещена диафрагма с круглым отверстием. При каком радиусе отверстия центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране, будет наиболее темным? 9-3. Точечный источник света с длиной волны λ = 0,5 мкм расположен на расстоянии R = 1м перед диафрагмой с круглым отверстием радиусом ρ = 1мм. Найти расстояние r0 от диафрагмы до точки наблюдения, для которой число зон Френеля, укладывающееся в отверстии, k = 3. 9-4. Между точечным источником света и экраном поместили диафрагму с круглым отверстием, радиус которого ρ можно менять в процессе опыта. Расстояния от диафрагмы до источника и экрана равны R = 100 см и r0 = 125 см. Определить длину волны света, если максимум освещенности в центре дифракционной картины на экране наблюдается при ρ1 = 1 мм и следующий максимум при ρ2 = 1,29 мм. 9-5. На диафрагму с круглым отверстием радиусом ρ = 1 мм падает нормально параллельный пучок света длиной волны λ = 0,5 мкм. На пути лучей, прошедших через отверстие, помещают экран. Определить максимальное расстояние rmax от центра отверстия до экрана, при котором в центре дифракционной картины будет наблюдаться 109 темное пятно. 9-6. Свет от монохроматического источника (λ = 0,6 мкм) падает нормально на диафрагму с круглым отверстием. Диаметр отверстия 6 мм. За диафрагмой на расстоянии 3 м от нее находится экран. 1.Сколько зон Френеля укладывается в отверстии диафрагмы? 2.Каким будет центр дифракционной картины на экране: темным или светлым? 9-7. Тонкая металлическая пластинка имеет круглое отверстие диаметром 4 мм. На пластинку падает нормально параллельный пучок лучей (λ = 0,5 мкм). На экране, удаленном на 1 м от пластинки, наблюдается дифракционная картина. Темное или светлое пятно находится в центре дифракционной картины? 9-8. На диафрагму с круглым отверстием диаметром d = 4 мм падает нормально параллельный пучок лучей монохроматического света (λ = 0,5 мкм). Точка наблюдения находятся на оси отверстия на расстоянии r0 = 1 м от него. Сколько зон Френеля укладывается в отверстии? 9-9. Точечный источник света с длиной волны λ = 500 нм помещен на расстоянии R = 0,5 м перед непрозрачной преградой с отверстием радиуса ρ = 0,5 мм. Определить расстояние r0 от преграды до точки, для которой число открываемых отверстием зон Френеля k будет равно: 1) 1; 2) 5; 3) 10. 9-10. Дифракционная картина наблюдается на некотором расстоянии от точечного источника света (λ = 5 · 10–7 м). Посредине между экраном и источником света помещена диафрагма с круглым отверстием. При радиусе отверстия ρ = 1 мм центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране, наиболее темный. Чему равно расстояние от источника света до экрана? 9-11. Свет от монохроматического источника падает нормально на диафрагму с круглым отверстием, диаметр которого 6 мм. За диафрагмой на расстоянии 3 м от нее находится экран. Число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, равно 5. Какова длина волны света источника? 9-12. Точечный источник света с длиной волны λ = 0,5 мкм расположен на некотором расстоянии R перед диафрагмой с круглым отверстием радиуса ρ = 1 мм. При расстоянии r0 = 2 м от диафрагмы до точки наблюдения число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, k = 3. Каково расстояние R от источника света до диафрагмы? 9-13. Плоская световая волна (λ = 0,7 мкм) падает нормально на диафрагму с круглым отверстием радиуса ρ = 1,4 мм. Определить расстояния r01, r02, r03 от диафрагмы до трех наиболее 110 удаленных от нее точек, в которых наблюдаются минимумы интенсивности. 9-14. На диафрагму с круглым отверстием падает нормально параллельный пучок монохроматического света (λ = 6 · 10–7 м). На экране наблюдается дифракционная картина. При каком наибольшем расстоянии между диафрагмой и экраном в центре дифракционной картины будет наблюдаться темное пятно? Диаметр отверстия равен 1,96 мм. 9-15. Плоская световая волна (λ = 0,5 мкм) падает нормально на диафрагму с круглым отверстием диаметра d = l см. На каком расстоянии r0 от отверстия должна находиться точка наблюдения, чтобы отверстие открывало: 1) одну зону Френеля; 2) две зоны Френеля? 9-16. Вычислить радиус ρ5 пятой зоны Френеля для плоского волнового фронта (λ = 0,5 мкм), если построение делается для точки наблюдения, находящейся на расстоянии r0 = 1 м от фронта волны. 9-17. На щель шириной a = 0,1 мм нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника (λ = 0,6 мкм). Определить ширину l центрального максимума в дифракционной картине, проецируемой с помощью линзы, находящейся непосредственно за щелью, на экран, отстоящий от линзы на расстоянии L = 1 м. 9-18. На щель падает нормально параллельный пучок монохроматического света. Расположенная за щелью линза с фокусным расстоянием F = 2 м проецирует на экран дифракционную картину в виде чередующихся светлых и темных полос. Ширина центральной светлой полосы l = 5 см. Как надо изменить ширину щели, чтобы центральная полоса занимала весь экран при любой его ширине? 9-19. Дифракционная решетка шириной 12 мм содержит 4 800 штрихов. Определить: 1) число максимумов, наблюдаемых в спектре дифракционной решетки для длины волны λ, являющейся серединой оптического диапазона; 2) угол, соответствующий последнему максимуму. 9-20. Период дифракционной решетки d = 0,005 мм. Определить число наблюдаемых главных максимумов в спектре дифракционной решетки, если: 1) λ1 = 760 нм 2) λ2 = 440 нм. 9-21. Дифракционная решетка содержит N = 200 штрихов на 1 мм. На решетку падает нормально монохроматический свет (λ = 0,5 мкм). Максимум какого наибольшего порядка дает эта решетка? 111 9-22. На дифракционную решетку, содержащую 400 штрихов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет (λ = 0,6 мкм). Найти общее число дифракционных максимумов, которые дает эта решетка. Определить угол φ дифракции, соответствующий последнему максимуму. 9-23. Определить длину волны монохроматического света, падающего нормально на дифракционную решетку с периодом 2,2 мкм, если угол между направлениями на первый и второй максимумы равен 15º. 9-24. На дифракционную решетку, имеющую 50 штрихов на 1 мм, падает нормально пучок белого света. Какова разность углов отклонения конца первого и начала второго спектров? Длины крайних красных и крайних фиолетовых волн принять равными 760 и 400 нм. Какова разность углов отклонения конца второго и начала третьего спектров? 9-25. Сумма ширины прозрачного и непрозрачного участков дифракционной решетки в 5 раз больше длины волны падающего света. Определить углы, соответствующие первым трем наблюдаемым максимумам. 9-26. Зонная пластинка дает изображение источника, удаленного от нее на 3 м, на расстоянии 2 м от своей поверхности. Где получится изображение источника, если его отодвинуть в бесконечность? 9-27. Какова интенсивность света J в центре дифракционной картины от круглого экрана, если он закрывает всю первую зону? Интенсивность света в отсутствии экрана равна J0. 9-28. Диск из стекла с показателем преломления n (для длины λ ) закрывает полторы зоны Френеля для точки наблюдения Р. При какой толщине h диска освещенность в Р будет наибольшей? 9-29. Точечный источник монохроматического света помещен на расстоянии R от круглой диафрагмы, а экран с противоположной стороны ― на расстоянии r0 от нее. При каких радиусах диафрагмы ρ центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране, будет темным, и при каких ― светлым, если перпендикуляр, опущенный из источника на плоскость диафрагмы, проходит через ее центр? 9-30. Монохроматический свет с длиной волны λ = 0,6 мкм падает на длинную прямоугольную щель шириной а = 15 мкм под углом α0 = 45º к ее нормали. Определите угловое положение минимумов, ограничивающих с двух сторон центральный максимум. 112 10. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА 10-1. На пути частично поляризованного света поместили николь. При повороте николя на угол φ = 60º из положения, соответствующего максимальному пропусканию света, интенсивность прошедшего света уменьшилась в k = 2 раза. Найти степень поляризации света. 10-2. Два николя N1, N2 расположены так, что угол α между их плоскостями пропускания равен 60º. Во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении через один николь N1? Во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении через оба николя? При прохождении каждого николя потери на отражение и поглощение составляют 5 %. 10-3. Пучок частично поляризованного света рассматривается через николь. Первоначально николь установлен так, что его плоскость пропускания параллельна плоскости колебаний линейно поляризованного света. При повороте николя на угол α = 60º интенсивность пропускаемого им света уменьшилась в 2 раза. Определить отношение I ест , а также степень поляризации Р пучка света. I ч.п 10-4. Во сколько раз ослабляется интенсивность света, проходящего через два николя, плоскости пропускания которых образуют угол α = 30º, если потери на поглощение и отражение в каждом из николей 10 %? 10-5. Степень поляризации Р частично поляризованного света равна 0,5. Во сколько раз отличается максимальная интенсивность света, проходящего через анализатор, от минимальной? 10-6. На николь падает частично поляризованный свет, степень поляризации которого Р = 0,8. Во сколько раз изменится интенсивность прошедшего света, если николь повернуть на угол α = 60º относительно положения, соответствующего максимальному пропусканию света. 10-7. Анализатор в 2 раза уменьшает интенсивность света, приходящего к нему от поляризатора. Определить угол α между плоскостями пропускания поляризатора и анализатора. Потерями интенсивности света в анализаторе пренебречь. 10-8. Если между двумя скрещенными поляроидами поместить третий, плоскость пропускания которого составляет угол α с плоскостью пропускания анализатора, то поле зрения просветлеет. Найти интенсивность прошедшего света. 113 10-9. Естественный свет проходит через поляризатор и анализатор, поставленные так, что угол между их главными плоскостями равен α. Как поляризатор, так и анализатор поглощают и отражают 8 % падающего на них света. Оказалось, что интенсивность луча, вышедшего из анализатора, равна 9 % интенсивности естественного света, падающего на поляризатор. Найти угол α. 10-10. В частично поляризованном свете амплитуда светового вектора, соответствующая максимальной интенсивности света, в 2 раза больше амплитуды, соответствующей минимальной интенсивности. Определить степень поляризации света. 10-11. Угол α между плоскостями пропускания поляризатора и анализатора равен 45º. Во сколько раз уменьшится интенсивность света, выходящего из анализатора, если угол увеличить до 60º? 10-12. На николь падает частично поляризованный свет. При некотором положении николя интенсивность света, прошедшего через него, стала минимальной. Когда плоскость пропускания николя повернули из этого положения на угол 45º, интенсивность света возросла в 1,5 раза. Определить степень поляризации Р света. 10-13. На пути частично поляризованного света, степень поляризации Р которого равна 0,6, поставили анализатор так, чтобы интенсивность света, прошедшего через него, была максимальной. Во сколько раз уменьшится интенсивность света, если плоскость пропускания анализатора повернуть на угол α = 30º? 10-14. Пучок естественного света падает на систему из 6 николей, плоскость пропускания каждого из которых повернута на угол α = 30º относительно плоскости пропускания предыдущего николя. Какая часть светового потока проходит через эту систему? 10-15. Степень поляризации частично поляризованного света Р = 0,25. Найти отношение интенсивности поляризованной составляющей этого света к интенсивности естественной составляющей. 10-16. Естественный свет падает на систему из 3-х последовательно расположенных одинаковых поляроидов, причем главное направление среднего поляроида составляет угол α = 60º с главными направлениями двух других поляроидов. Каждый поляроид обладает поглощением, таким, что при падении на него плоско поляризованного света максимальный коэффициент пропускания составляет k = 0,81. Во сколько раз уменьшается интенсивность света после прохождения этой системы? 10-17. Предельный угол полного внутреннего отражения пучка света 114 на границе жидкости c воздухом равен 43º. Определить угол Брюстера iБ при падении луча из воздуха на поверхность этой жидкости. 10-18. Определить степень поляризации Р света, который представляет собой смесь естественного света с плоско поляризованным, если интенсивность поляризованного света равна интенсивности естественного. 10-19. Параллельный пучок естественного света падает на сферическую каплю воды так, что отраженный луч полностью поляризован. Найти угол α между отраженным и падающим пучками в т. А (Рис. 10.1). α 10-20. На какой угловой высоте φ над горизонтом должно находиться солнце, чтобы солнечный свет, отраженный от поверхности воды, был полностью поляризован? Рис. 10.1 10-21. Пучок естественного света, идущий в воде, отражается от грани алмаза, погруженного в воду. При каком угле падений i отраженный луч полностью поляризован? 10-22. Угол Брюстера iБ при падении света из воздуха на кристалл поваренной соли равен 57º. Определить скорость света в этом кристалле. 10-23. Луч света проходит через жидкость, налитую в стеклянный (n = 1,5) сосуд, и отражается от дна. Отраженный луч полностью поляризован при падении его на дно сосуда под углом 42º37’. 1) найти показатель преломления жидкости; 2) под каким углом должен падать на дно сосуда луч, чтобы произошло полное внутреннее отражение? 10-24. Пучок света, идущий в воздухе, падает на поверхность некоторой жидкости под углом i = 54º. Определить угол преломления r пучка, если отраженный луч полностью поляризован. 10-25. Пучок естественного света падает на полированную поверхность стеклянной пластинки, погруженной в жидкость. Отраженный от плоскости пучок света составляет угол φ = 97º с падающим пучком. Определить показатель преломления n жидкости, если отраженный свет полностью поляризован. 10-26. Естественный свет интенсивностью 115 J0 проходит через поляризатор и анализатор, угол между главными плоскостями которых составляет α . После прохождения света через эту систему он попадает на зеркало, и, отразившись, проходит через нее вновь. Пренебрегая поглощением света, определить интенсивность J света после его обратного прохождения. 10-27. При прохождении естественного света через некоторый поляризатор через него проходит η 1 = 30 % светового потока, а через два таких поляризатора ― η2 = 13,5 %. Найти угол ϕ между плоскостями пропускания этих поляризаторов. 10-28. Пучок света, длина волны которого в вакууме 5 890 Å, падает на пластинку исландского шпата перпендикулярно его оптической оси. Найти длины волн обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле, если показатели преломления исландского шпата для обыкновенного и необыкновенного лучей равны соответственно n0 = 1,66 и nе = 1,49. 10-29. Линейно поляризованный световой пучок падает на поляризатор, вращающийся вокруг оси пучка с угловой скоростью ω = 21 рад/с. Найти световую энергию, проходящую через поляризатор за один полный оборот, если поток энергии в падающем пучке Ф0 = 4,0 мВт. 10-30. Параллельный пучок света падает нормально на пластинку из исландского шпата толщиной 50 мкм, вырезанную параллельно оптической оси. Принимая показатели преломления исландского шпата для обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно nо = 1,66 и nе = 1,49, определить разность хода этих лучей, прошедших через пластинку. 11. ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 11-1. Электрическая печь потребляет мощность Р = 500 Вт. Температура ее внутренней поверхности при открытом небольшом отверстии диаметром d = 5 см равна 700 ºС. Какая часть потребляемой мощности рассеивается стенками? 11-2. Вольфрамовая нить накаливается в вакууме силой тока 1 А до температуры Т1 = 1 000 К. При какой силе тока нить накалится до температуры Т2 = 3 000 К? Коэффициенты черноты вольфрама и его удельные сопротивления, соответствующие температурам Т1 и Т2 равны: a1 = 0,115; а2 = 0,334; ρ1 = 25,7××10–8 Ом · м; ρ2 = 96,2 · 10–8 Ом · м. 11-3. В спектре Солнца максимум спектральной плотности энергетической светимости приходится на длину волны λ0 =0,47 мкм. 116 Приняв, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, найти интенсивность солнечной радиации (т. е. плотность потока излучения) на орбите Марса. 11-4. Определить температуру тонкой пластинки, расположенной вблизи Земли за пределами ее атмосферы перпендикулярно лучам Солнца. Считать температуру пластинки одинаковой во всех ее точках. Пластинку считать абсолютно черным телом. Интенсивность солнечной постоянной равна 1,8 кВт/м2. 11-5. Имеются два абсолютно черных источника теплового излучения. Температура одного из них Т = 2 500 К. Найти температуру другого источника, если длина волны, соответствующая максимуму его спектральной плотности энергетической светимости, на 0,5 мкм больше длины волны, соответствующей максимуму спектральной плотности энергетической светимости первого источника. 11-6. Энергетическая светимость абсолютно черного тела равна 3 Вт/см2. Определить длину волны, отвечающую максимуму спектральной плотности энергетической светимости этого тела. 11-7. Температура внутренней поверхности муфельной печи при открытом отверстии площадью 30 см2 равна 1 400 К. Принимая, что отверстие печи излучает как черное тело, определить, какая часть мощности рассеивается стенками, если потребляемая мощность составляет 1,6 кВт. 11-8. Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к излучению абсолютно черного тела, для которого максимум спектральной плотности энергетической светимости приходится на длину волны 0,48 мкм. Найти массу, теряемую Солнцем за одну секунду за счет излучения. 11-9. Какое количество энергии излучает Солнце за 1 мин? Излучение Солнца считать близким к излучению абсолютно черного тела. Температуру поверхности Солнца принять равной 5 800 К. 11-10. Диаметр вольфрамовой нити в электрической лампочке равен 0,3 мм, длина спирали 5 см. При включении лампочки в цепь напряжением 127 В через лампочку течет ток силой 0,31 А. Найти температуру лампочки. Отношение энергетических светимостей вольфрама и абсолютно черного тела считать равным 0,31. 11-11. Температура вольфрамовой спирали в 211-ваттной лампочке равна 2 450 К. Отношение ее энергетической светимости к энергетической 117 светимости абсолютно черного тела при данной температуре равно 0,3. Найти площадь излучающей поверхности спирали. 11-12. В каких областях спектра лежат длины волн, соответствующие максимуму спектральной плотности энергетической светимости, если источником света служит; 1) спираль электрической лампочки (Т = 3 000 К); 2) атомная бомба, в которой в момент взрыва Т = 10 млн градусов. 11-13. На какую длину волны приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, имеющего температуру, равную температуре человеческого тела, т. е. 36,6 ºС? 11-14. Мощность излучения абсолютно черного тела равна 10 кВт. Найти площадь излучающей поверхности тела, если известно, что длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности его энергетической светимости, равна 0,7 мкм. 11-15. При нагревании абсолютно черного тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, изменилась с 0,69 мкм до 0,5 мкм. Во сколько раз увеличилась при этом энергетическая светимость тела? 11-16. Температура абсолютно черного тела изменилась с 1 000 К до 3 000 К. 1) Во сколько раз увеличилась при этом его энергетическая светимость? 2) На сколько изменилась при этом длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости? 3) Во сколько раз увеличилась его максимальная спектральная плотность энергетической светимости? 11-17. Поверхность тела нагрета до 1 000 К. Затем одна половина этой поверхности нагревается на 100 К, другая ― охлаждается на 100 К. Во сколько раз изменится энергетическая светимость этого тела? 11-18. Какую мощность надо подводить к зачерненному металлическому шарику радиусом 2 см, чтобы поддерживать его температуру на 27° выше температуры окружавшей среды? Температура окружающей среды равна 20 ºС. Считать, что тепло теряется только вследствие теплового излучения? 11-19. Вольфрамовая нить накаливается в вакууме током 1 А до температуры 1 000 К. При каком токе нить накалится до 3 000 К? 11-20. Вольфрамовая нить диаметром 0,1 мм соединена последовательно с другой вольфрамовой нитью, и по ним пропускают 118 электрический ток. Нити находятся в вакууме, первая нить имеет Т1 = 2 000 К, а вторая ― Т2 = 3 000 К. Каков диаметр второй нити? Длина нитей одинакова. 11-21. С поверхности сажи площадью S = 2 см2 при температуре Т = 400 К за время t = 5 мин излучается энергия W = 83 Дж. Определить коэффициент черноты aT сажи. 11-22. Максимальная спектральная плотность энергетической светимости (rλT )max абсолютно черного тела равна 4,16 · 1011 Вт/м2 · м. На какую длину волны λ0 она приходится? 11-23. Зачерненный шарик остывает от температуры 27 ºС до 20 ºС. На сколько изменилась длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности его энергетической светимости? 11-24. Вследствие изменения температуры абсолютно черного тела максимум спектральной плотности энергетической светимости (rλT )max сместился от λ01 = 2,4 мкм до λ02 = 0,8 мкм. Как и во сколько раз изменилась энергетическая светимость RT тела и максимальная спектральная плотность излучения (rλT ) max ? 11-25. Абсолютно черное тело находится при температуре Т1 = 2 900 К. В результате остывания этого тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, изменилась на ∆λ = 9 мкм. До какой температуры Т2 охладилось тело? 11-26. Черное тело находится при температуре Т1 = 2 000 К. При остывании тела длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости, изменилась на ∆ λ = 10 мкм. Определите температуру Т2, до которой тело охладилось. 11-27. Черное тело нагрели от Т1 = 600 К до Т2 = 2 400 К. Определить: 1) во сколько раз увеличилась его энергетическая светимость; 2) как изменилась длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости. 11-28. Площадь, ограниченная графиком спектральной плотности энергетической светимости r λ Т черного тела, при переходе от термодинамической температуры Т1 к температуре Т2 увеличилась в 5 раз. Определить, как изменилась при этом длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости этого черного тела. 11-29. Медный шарик диаметром d = 1,2 см поместили в откачанный 119 сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к нулю. Начальная температура шарика 300°К. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найти, через сколько времени его температура уменьшится в 2 раза. Температура внутренней поверхности муфельной печи при открытом отверстии площадью 30 см2 равна 1 400 К. Принимая, что отверстие печи излучает как черное тело, определить, какая часть мощности рассеивается стенками, если потребляемая мощность составляет 1,6 кВт. 11-30. В черный тонкостенный металлический сосуд, имеющий форму куба, налит 1 кг воды, нагретой до 50 ºС. Определить время t остывания сосуда до 10º, если он помещен в черную полость, температура стенок которой поддерживается около 0º К, а вода заполняет весь объем сосуда. 12. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА СВЕТА. ФОТОЭФФЕКТ . ЭФФЕКТ КОМПТОНА 12-1. Сколько фотонов попадает за 1 с на сетчатку глаза человека, если глаз воспринимает свет с длиной волны 0,5 мкм при мощности светового потока 2 · 10–17 Вт? 12-2. Капля воды объемом 0,2 мл нагревается светом с длиной волны 0,75 мкм, поглощая ежесекундно 1010 фотонов. Определить скорость нагревания воды. 12-3. Красная граница фотоэффекта для некоторого металла λ0 = 275 нм. Найти работу выхода электрона из металла и максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых из этого металла светом с длиной волны λ = 180 нм. 12-4. Пороговая чувствительность сетчатки глаза человека к желтому свету (λ = 600 нм) равна 1,7 · 10–18 Вт. Сколько фотонов при этом падает на сетчатку глаза за 1 с? 12-5. Определить энергию, массу и импульс фотона, если соответствующая ему длина волны равна 0,016 Å 12-6. Лазер мощностью 20 Вт испускает за 1 с 1020 фотонов. Определить длину волны излучения лазера. 12-7. Красная граница фотоэффекта равна 2 750 Å. Найти: 1) работу выхода электрона из металла; 2) максимальную скорость электронов, вырываемых из металла светом с длиной волны λ = 1 800 Å; 3) максимальную кинетическую энергию этих электронов. 12-8. Найти импульс вылетающего 120 электрона и импульс, получаемый катодом при вылете одного электрона с поверхности цезиевого катода при освещении светом с длиной волны λ = 0,331 мкм. Работа выхода для цезия А = 1,89 эВ. 12-9. Красная граница фотоэффекта для некоторого металла равна 2 750 Å. Чему равно минимальное значение энергии фотонов, вызывающих фотоэффект? 12-10. Определить постоянную Планка по результатам эксперимента, в котором фотоэлектроны, вырываемые с поверхности некоторого металла светом с частотой 2,2 · 1015 1/с полностью задерживаются обратным потенциалом в 6,6 В, а вырываемые светом с частотой 4,6 · 1015 1/с – потенциалом в 16,5 В. 12-11. Найти величину задерживающего потенциала для фотоэлектронов, испускаемых при освещении калия светом, длина волны которого равна 3 300 Å. 12-12. Какая доля энергии фотона израсходована на работу вырывания фотоэлектрона, если красная граница фотоэффекта λ0 = 307 нм и максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона равна 1 эВ? 12-13. При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом в одном случае с длиной волны λ1 = 0,35 мкм, а в другом с λ2 = 0,54 мкм обнаружили, что соответствующие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в 2 раза. Найти работу выхода электрона с поверхности этого металла. 12-14. Будет ли наблюдаться фотоэффект, если на поверхность серебра направить ультрафиолетовое излучение с длиной волны λ = 300 нм? 12-15. При какой температуре кинетическая энергия молекулы двухатомного газа будет равна энергии фотона с длиной волны λ = 5,89 · 10–4 мм? 12-16. Какую энергию должен иметь фотон, чтобы его масса была равна массе покоя электрона? 12-17. Найти массу фотона, импульс которого равен импульсу молекулы водорода при температуре 20 ºС. Скорость молекулы считать равной средней квадратичной скорости движения молекул газа. 12-18. Максимальная скорость фотоэлектронов, вылетающих из металла при облучении его гамма-фотонами, равна 291 Мм/с. Определить энергию гамма-фотонов. 12-19. Энергия фотона равна кинетической энергии электрона, имевшего начальную скорость 106 м/с и ускоренного разностью 121 потенциалов 4 В. Найти длину волны фотона. 12-20. Определить наибольшую длину волны света, при которой может происходить фотоэффект для платины. 12-21. Цезий (работа выхода 1,88 эВ) освещается спектральной линией водорода (λ = 0,476 мкм). Какую наименьшую задерживающую разность потенциалов надо приложить, чтобы фототок прекратился? 12-22. Фотон рентгеновского излучения с энергией 0,15 МэВ испытал рассеяние на покоившемся свободном электроне, в результате чего его длина волны увеличилась на ∆λ = 0,015 Å. Найти угол, под которым вылетел комптоновский электрон отдачи. 12-23. Рентгеновское излучение с длиной волны 56,3 пм рассеивается плиткой графита. Определить длину волны лучей, рассеянных под углом 120º к первоначальному направлению рентгеновских лучей. 12-24. Гамма-лучи с длиной волны 2,7 пм испытывают комптоновское рассеяние. Во сколько раз длина волны излучения, рассеянного под углом 180º к первоначальному направлению, больше длины волны падающего излучения? 12-25. Фотон с энергией ε ф = 0,75 МэВ рассеялся на свободном электроне под углом θ = 60º. Найти энергию рассеянного фотона ε′ф , кинетическую энергию и импульс электрона отдачи. Кинетической энергией электрона до соударения пренебречь. 12-26. Катод фотоэлемента облучается светом с длиной волны λ = 0,35 мкм. Какая энергия была передана фотоэлектронам, если по цепи фотоэлемента прошёл заряд Q = 2 · 10–12 Кл? 12-27. Катод фотоэлемента облучается светом с длиной волны λ = 0,35 мкм. Какова может быть максимальная величина тока фотоэлемента, если поглощаемая световая мощность составляет Р = 2 мВт? 12-28. Кристалл рубина облучается вспышкой длительностью τ = 10–3 с и мощностью Р = 200 кВт. Длина волны света λ = 0,7 мкм, кристалл поглощает 10 % энергии излучения. Вычислить количество квантов света N, поглощенных кристаллом. 12-29. Какой максимальный заряд Q может быть накоплен на конденсаторе емкостью C = 2 · 10–11 Ф, одна из обкладок которого облучается светом с длиной волны λ = 0,5 мкм? Работа выхода электрона составляет А = 3 · 10–19 Дж. 122 12-30. До какого максимального заряда Q можно зарядить покрытый селеном шар радиуса R = 10 см, облучая его светом с длиной волны λ = 110 нм, если работа выхода из селена А = 9 · 10–19 Дж? 13. ДАВЛЕНИЕ СВЕТА 13-1. Найти давление света на стенки электрической лампы мощностью 100 Вт. Колба лампы ― сферический сосуд радиусом 5 см, стенки которой отражают 10 % падающего на них света. Считать, что вся потребляемая лампой мощность идет на излучение. 13-2. Пучок света с длиной волны 0,49 мкм, падая перпендикулярно к поверхности, производит давление 5 мкПа. Сколько фотонов падает ежесекундно на 1 м2 этой поверхности? Коэффициент отражения света от данной поверхности 0,25. 13-3. Параллельные лучи длиной волны 0,5 мкм падают нормально на зачерненную поверхность, производят давление –9 2 10 Н/см . Определить число фотонов, заключенных в 1 м3 падающего светового потока. 13-4. Найти световое давление солнечного излучения на 1 м2 земной поверхности, перпендикулярной направлению излучения, если солнечная постоянная С = 8,38 кДж/м2 · мин. Коэффициентом отражения света от земной поверхности пренебречь. 13-5. Поток излучения мощностью 1 мкВт падает перпендикулярно на поверхность площадью 1 см2. Определить световое давление, если коэффициент отражения 0,8. 13-6. На поверхность площадью 100 см2 ежеминутно падает 63 Дж световой энергии. Найти световое давление в случаях, когда поверхность полностью отражает и полностью поглощает все излучение. 13-7. Монохроматический пучок света с длиной волны 0,662 мкм падает нормально на поверхность с коэффициентом отражения 0,8. Определить количество фотонов, ежесекундно поглощаемых 1 см2 поверхности, если давление света на поверхность равно 1 мкПа. 13-8. Пучок монохроматического света с длиной волны 663 нм падает нормально на зеркальную пластинку. Поток энергии W = 0,6 Вт. Определить силу F давления, испытываемую этой поверхностью, а также число фотонов, падающих на нее за время t = 5 с. 13-9. Параллельный пучок света длиной волны 500 нм падает 123 нормально на зачерненную поверхность, производя давление p = 10 мкПа. Определить: 1) концентрацию n0 фотонов в пучке; 2) число N фотонов, падающих на 1 м2 за 1 с. 13-10. Параллельный пучок монохроматического света (λ = 662 нм) падает на зачерненную поверхность и производит на нее давление 0,3 мкПа. Определить концентрацию nо фотонов в световом пучке. 13-11. Свет длиной волны λ = 0,5 мкм падает нормально на поверхность с коэффициентом отражения 0,9. Определить количество фотонов, ежесекундно поглощаемых 1 см2 поверхности, если давление света на поверхность равно 2 мкПа. 13-12. Монохроматический свет с длиной волны 0,662 мкм падает нормально на поверхность с коэффициентом отражения 0,8. Определить энергию фотонов, ежесекундно поглощаемых 1 см2 поверхности, если давление света на поверхность равно 1 мкПа. 13-13. Монохроматический свет с длиной волны 4 900 Å падает нормально на поверхность с коэффициентом отражения 0,7. Определить энергию и число фотонов, ежесекундно отражаемых 1 см2 поверхности, если давление света на поверхность равно 2 мкПа. 13-14. Определить силу светового давления F1 солнечного излучения на поверхность земного шара, считая ее абсолютно черной. Найти отношение этой силы к силе гравитационного притяжения Солнца F2. Средняя плотность Земли d = 5,5 г/см3. 13-15. Спутник в форме шара движется вокруг Земля на такой высоте, что поглощением солнечного света в атмосфере можно пренебречь. Диаметр спутника D = 40 м. Зная солнечную постоянную (С = 1,4 кДж/м2ּ◌с) и принимая, что поверхность спутника, полностью отражает свет, определить силу давления F солнечного света на спутник. 13-16. Плоская световая волна интенсивностью 0,2 Вт/см2 падает на плоскую зеркальную поверхность с коэффициентом отражения 0,8. Угол падения 45º. Определить величину нормального давления, которое оказывает свет на эту поверхность. 13-17. Плоская световая волна интенсивностью 0,7 Вт/см2 освещает шар с зеркальной поверхностью радиуса 5 см. Коэффициент отражения равен 1. Найти силу светового давления, действующую на шар. 124 13-18. Небольшое идеально отражающее зеркальце массой m = 10 мг подвешено на невесомой нити длиной l = 10 см. Найти угол, на который отклонится нить, если по нормали к зеркальцу в горизонтальном направлении произвести выстрел коротким импульсом лазерного излучения с энергией W = 13 Дж. 13-19. Поток энергии, излучаемый электрической лампочкой, равен 600 Вт. На расстоянии 1 м от лампы перпендикулярно падающим лучам расположено круглое плоское зеркальце диаметром 2 см. Принимая, что излучение лампы одинаково во всех направлениях и что зеркальце полностью отражает падающий на него свет, определить силу светового давления на зеркальце. 13-20. Небольшая идеально поглощающая пластинка массой 10 мг подвешена на нити длиной 20 см. Свет лазерной вспышки падает перпендикулярно поверхности, вследствие чего нить с пластинкой отклоняется от вертикали на угол 0,6º. Оценить энергию лазерной вспышки. 13-21. Параллельный пучок монохроматического света ( λ = 500 нм) падает на зачерненную поверхность и производит на нее давление р = 0,34 мкПа. Определить концентрацию фотонов в световом пучке. 13-22. Монохроматический свет длиной волны 490 нм, падая нормально на поверхность, производит на нее давление 9,81 · 10–7 Н/м2. Сколько квантов света падает ежесекундно на единицу площади этой поверхности? Коэффициент отражения света ρ = 0,6. 13-23. Световое давление на плоское зеркало равно 0,2 мкПа. Определить интенсивность света, падающего на поверхность зеркала, если коэффициент отражения ρ = 0,6. Световой поток падает нормально к поверхности зеркала. 13-24. Определить диаметр шарообразного спутника, движущегося вокруг Земли за пределами атмосферы, если сила давления солнечного света на спутник F = 11,2 мН, коэффициент отражения света от поверхности спутника ρ = 1, солнечная постоянная С = 1,4 кВт/м2. 13-25. Параллельный пучок света интенсивностью I = 0,2 Вт/см2 падает под углом 60º на плоское зеркало с коэффициентом отражения ρ = 0,9. Определить давление света на зеркало. 125 13-26. Плоская световая волна интенсивностью J = 0,1 Вт/см2 падает под углом α = 30º на плоскую отражающую поверхность с коэффициентом отражения ρ = 0,7. Определить нормальное давление, оказываемое светом на эту поверхность. 13-27. На идеально отражающую поверхность нормально падает монохроматический свет с длиной волны λ = 0,60 мкм. Поток излучения составляет 0,45 Вт. Определить: 1) число фотонов N, падающих на поверхность за время t = 3 с; 2) силу давления, испытываемую этой поверхностью. 13-28. Давление монохроматического света с длиной волны λ = 600 нм на зачерненную поверхность, расположенную перпендикулярно падающему излучению, равно 0,18 мкПа. Определить число фотонов, падающих на поверхность площадью 50 2 см за 1 с. 13-29. Параллельный пучок света с интенсивностью J = 0,25 Вт/см2 падает под углом α = 60º на плоское зеркало с коэффициентом отражения ρ = 0,90. Определить давление света на зеркало. 13-30. Исходя из корпускулярных представлений вычислить величину светового давления па зеркальную поверхность, если угол падения лучей равен α. 14. АТОМ ВОДОРОДА ПО ТЕОРИИ БОРА 14-1. Найти: 1) радиусы первых трех боровских орбит в атоме водорода; 2) скорость электрона на них. 14-2. Определить частоту вращения электрона на первой и второй орбите атома водорода. 14-3. Определить потенциальную, кинетическую и полную энергию электрона, находящегося на первой орбите атома водорода. 14-4. Определить потенциальную, кинетическую и полную энергию электрона, находящегося на второй орбите атома водорода. 14-5. Вычислить кинетическую энергию электрона, находящегося на п-й орбите атома водорода: 1) n = 3; 2) n = 5. 126 14-6. Найти: 1) период обращения электрона на первой боровской орбите в атоме водорода; 2) его угловую скорость. 14-7. Определить магнитный момент электрона, находящегося в атоме водорода на первой боровской орбите. Сравнить полученный результат с магнетоном Бора. 14-8. Найти для электрона, находящегося в атоме водорода на первой боровской орбите, отношение магнитного момента к механическому моменту импульса. 14-9. Найти момент импульса электрона на стационарных орбитах: 1) n = 1; 2) n = 2; 3) n = 3. 14-10. Определить длину волны, спектральной линии в серии Бальмера. соответствующую третьей 14-11. Найти наименьшую и наибольшую длины волн спектральных линий водорода серии Ла́ймана. 14-12. Найти наибольшую и наименьшую длины волн в первой инфракрасной серии спектра водорода (серии Па́шена). 14-13. 1) Найти наибольшую длину волны в ультрафиолетовой серии спектра водорода. 2) Какую наименьшую скорость должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами электронов появилась эта линия? 14-14. Вычислить энергию и длину волны фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на первый. 14-15. Определить наименьшую и наибольшую энергии фотона в ультрафиолетовой серии спектра водорода (серии Лаймана). 14-16. Фотон с энергией 16,5 эВ выбил электрон из невозбужденного атома водорода. Какую скорость будет иметь электрон вдали от ядра атома? 14-17. Определить энергию фотона, соответствующего второй линии в первой инфракрасной серии атома водорода (серии Пашена). 14-18. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны λ = 121,5 нм. Определить радиус электронной орбиты возбужденного атома водорода. 14-19. Определить первый потенциал возбуждения атома водорода. 14-20. Определить потенциал ионизации атома водорода. 127 14-21. Вычислить частоты вращения электрона в атоме водорода на второй и третьей орбитах. Сравнить эти частоты с частотой излучения при переходе электрона с третьей на вторую орбиту. 14-22. На сколько изменилась кинетическая энергия электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона c длиной волны λ = 4 860 Å? 14-23. Найти: 1) радиус первой боровской электронной орбиты для однократно ионизированного гелия; 2) скорость электрона на ней. 14-24. В каких пределах должна лежать длина волны монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света радиус орбиты электрона увеличился в 9 раз? 14-25. Определить энергию, необходимую для перевода атома водорода во второе возбужденное состояние (k = 1, n = 3). 14-26. Какому элементу принадлежит водородоподобный спектр, длины волн излучений которого в четыре раза короче, чем у атомарного водорода? 14-27. У какого водородоподобного волн между головными линиями серий равна 59,3 нм? иона разность длин Бальмера и Лаймана 14-28. Найти энергию связи электрона в основном состоянии водородоподобных ионов, в спектре которых длина волны третьей линии серий Бальмера равна 108,5 нм. 14-29. Определить для атома водорода и иона Не + : энергию связи электрона в основном состоянии, потенциал ионизации, первый потенциал возбуждения и длину волны головной линии Лаймана. 14-30. Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Какую скорость приобрел атом? 15. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ . ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 15-1. Найти волну де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией: 1) Ек = 100 эВ; 2) Ек = 3,0 эВ. 15-2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U0. Найти длину волны де Бройля λ для двух случаев: 1) U1 = 51 В; 2) U1 = 510 кВ. 128 15-3. Определить длину волны де Бройля для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии. 15-4. Электрон движется по окружности радиусом r = 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией В = 8 мТл. Определить длину волны де Бройля электрона. 15-5. Определить длину волны де Бройля электрона, движущегося по второй орбите атома водорода. 15-6. На узкую щель шириной a = 1 мкм падает параллельный пучок электронов, имеющих скорость V = 3,65 · 106 м/с. Определить расстояние х между двумя максимумами интенсивности первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, находящемся от щели на расстоянии L = 30 см. 15-7. Частица находится в потенциальном ящике шириной l в четвертом возбужденном состоянии (n = 5). Определить координаты точек, в которых плотность вероятности нахождения частицы максимальна и минимальна. 15-8. Определить неточность ∆ х в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью V = 1,5 · 106 м/с, если допускаемая неточность ∆V в определении скорости составляет 10 % от ее величины. Сравнить полученную неточность с диаметром d атома водорода, вычисленным по теории Бора для основного состояния и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае. 15-9. Длительность возбужденного состояния атома водорода равна примерно ∆ t = 10–7 с. Какова неопределенность энергии в данном состоянии? 15-10. Наименьшая неточность, с которой можно найти координату электрона в атоме водорода, порядка 10–10 м. Найти неопределенность средней кинетической энергии электрона в невозбужденном атоме водорода. 15-11. Электрон находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной l = 0,5 нм с абсолютно непроницаемыми стенками. Определить наименьшую разность ∆Е энергетических уровней. Ответ выразить в электронвольтах. 129 15-12. Нейтрон находится в одномерной бесконечно глубокой яме шириной l = 10–10 м с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти наименьшую разность двух соседних энергетических уровней нейтрона. Ответ выразить в электронвольтах. 15-13. Электрон с кинетической энергией 15 эВ находится в металлической пылинке диаметром 1 мкм. Оценить относительную неточность, с которой может быть определена скорость электрона. 15-14. Во сколько раз дебройлевская длина волны λ частицы меньше неопределенности ∆х ее координаты, которая соответствует относительной неопределенности импульса в 1 %? 15-15. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, определить относительную неточность ∆р/р импульса этой частицы. 15-16. Приняв, что минимальная энергия Е нуклона в ядре равна 10 МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, линейные размеры ядра. 15-17. Используя соотношение неопределенностей ∆х∆рх ≥ ℏ , оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l ~ 0,1 нм. 15-18. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной l. Вычислить вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (n = 2), будет обнаружен в средней трети ящика. 15-19. Электрон с энергией Е = 4,9 эВ движется в положительном направлении оси х. Высота потенциального барьера равна 5 эВ. При какой ширине d барьера вероятность прохождения электрона через него будет равна 0,2? 15-20. Электрон находится в потенциальном ящике шириной l = 0,5 нм. Определить наименьшую разность ∆ Е энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электронвольтах. 15-21. Собственная функция, описывающая состояние частицы в потенциальном ящике, имеет вид ψ ( x) = C sin πn x. . l Используя условия нормировки, определить постоянную С. 15-22. Частица находится в потенциальном ящике шириной l в первом возбужденном состоянии (n = 2). 130 Определить, в каких точках интервала (0 < x < l) плотность вероятности нахождения частицы |ψ2(x)|2 максимальна и минимальна. 15-23. Частица находится в потенциальном ящике шириной l в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность W нахождения частицы в интервале длиной l /4, расположенном посередине ящика. 15-24. Электрон с энергией Е = 9 эВ движется в положительном направлении оси х. Оценить вероятность того, что электрон пройдет через потенциальный барьер, если высота барьера U = 10 эВ и ширина d = 0,1 нм. 15-25. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l = 0,1 нм. При какой разности энергий (U–Е) вероятность W прохождения электрона через барьер равна 0,99? 15-26. Протон и электрон движутся с одинаковыми скоростями. У какой частицы длина волны де Бройля больше? 15-27. Частица массой 6,63·10–6 г находится в потенциальной яме шириной 0,1 нм. Какова неопределенность координаты и импульса частицы? 15-28. Сравнить неопределенности координат и импульсов протона и электрона для случаев, когда эти частицы находятся в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной l. 15-29. На установке для наблюдения дифракции микрочастиц через щель поочередно пропускают поток протонов, электронов, альфа-частиц и нейтронов, движущихся с одинаковыми скоростями. В каком случае центральный дифракционный максимум шире? 15-30. Определить энергию электрона атома водорода в состоянии, для которого волновая функция имеет вид ψ(r ) = A(1 + a ⋅ r )e − αr , где А, а и α ― некоторые постоянные. 16. ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА . РАДИОАКТИВНОСТЬ 16-1. На сколько процентов уменьшится активность изотопа 6С14 за время t = 1000 лет? 16-2. Сколько 1 млн атомов? 16-3. атомов полония распадается Найти число распадов за 1 с в 1 г радия. 131 за 1 сутки из 16-4. Найти массу радона, активность которого равна 1 Ки. 16-5. Найти количество полония 3,7 · 1010 Бк. 210 84Ро , активность которого равна 16-6. Найти постоянную распада радона, если известно, что число атомов радона уменьшается за сутки на 18,2 %. 16-7. 16-8. 1 час? Найти удельную активность урана 92U253. Чему равна активность радона, образовавшегося из 1 г радия за 16-9. Определить промежуток времени, в течение активность изотопа стронция Sr90 уменьшится в 10 раз. которого 16-10. На сколько процентов снизится активность изотопа Ir192 за 30 суток? 16-11. Сколько 1 млн атомов? атомов радона распадается за 1 сутки из 16-12. Вычислить массу ядра изотопа кислорода 8O16. 16-13. Сколько ядер изотопа U235 содержится в 4 г природного урана? 16-14. При делении ядра урана U235 в результате захвата медленного нейтрона образуются осколки: ксенон-139 и стронций-94. Одновременно выделяются три нейтрона. Найти энергию этой реакции. 16-15. Вычислить активность 1 г изотопа Ra228 и время, через которое активность упадет на 10 %. 16-16. Определить удельную энергию связи ядра 92U253. 16-17. Определить дефект массы ядра 27Со60. 16-18. Какое количество энергии выделяется в термоядерной реакции синтеза 1 г гелия из дейтерия и трития? результате 16-19. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра изотопа лития 3Li 7 . 16-20. Активность изотопа углерода 6С14 в древних деревянных предметах составляет 4/5 активности этого изотопа в свежесрубленных деревьях. Период полураспада изотопа 6С14 равен 5570 годам. Определить возраст древних предметов. 16-21. Сколько энергии можно получить при расщеплении урана 92U235 массой 1 г, если при расщеплении каждого ядра урана выделяется энергия 132 200 МэВ? 16-22. Ядро бериллия 4Вe9, захватывая дейтрон, превращается в ядро бора 5В9. Написать уравнение реакции и определить выделяющуюся энергию. 16-23. Ядро лития 3Li7, захватывая протон, распадается на две α-частицы. Написать ядерную реакцию и определить выделяющуюся в ней энергию. 16-24. Ядро урана-238, захватывая нейтрон, испытывает последовательно два β - и один α -распад. Записать ядерные реакции, соответствующие этим превращениям. 16-25. Определить энергию ядерных реакций: 9 2 10 1 4Be + 1H → 5B + 0n 3Li 6 + 1H2 → 2He4 + 2He4 Высвобождается или поглощается энергия в этих реакциях? 16-26. Период полураспада стронция 90 равен Т = 27 лет. Через 38 Sr сколько лет произойдет распад 7/8 от первоначального числа радиоактивных ядер? 16-27. Масса ядра дейтерия 21 Н на 3,9 · 10–30 кг меньше суммы масс нейтрона и протона. Какая энергия выделяется при ядерной реакции 1 1p + 01n → 21H ? 16-28. При делении одного ядра урана 92U235 выделяется 3,2 · 10–11 Дж. Если атомная электростанция, имеющая КПД 25 %, расходует в сутки 235 г урана-235, то какова ее электрическая мощность? 16-29. Радиоизотоп 32Р, период полураспада которого Т = 14,3 сут, образуется в ядерном реакторе со скоростью q = 2,7 · 109 ядер в секунду. Через сколько времени после начала образования этого радиоизотопа его активность станет а = 1,0 · 109 Бк? 16-30. По активности содержащегося изотопа 6С14 был определен возраст древнего предмета, составивший 2000 лет. Какой ошибке во времени датировки соответствует 1% погрешности при измерении активности? 133 Библиографический список 1. Трофимова, Т. И. Курс физики : учебник / Т. И. Трофимова. 8-е изд., стер. – М. : Высш. шк., 2004. – 544 с. : ил. 2. Савельев, И. В. Курс общей физики : учебник : в 5 кн. / И. В. Савельев. М. : АСТ.– 2005. 3. Детлаф, А. А. Курс физики : учебник / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский, Л. Б. Милковская. – М. : Высш. шк., 2002. – 718 с. : ил. 4. Трофимова, Т. И. Сборник задач по курсу физики с решениями: учеб. пособие для вузов / Т. И. Трофимова, З. Г. Павлова. 3-е изд., стер. – М. : Высш. шк., 2002. – 591 с. : ил. 5. Иродов, И. Е. Задачи по общей физике : учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., испр. / И. Е. Иродов. – М. : Лаборатория базовых знаний, 2001. 432 с. : ил. 6. Волькенштейн, В. С. Сборник задач по общему курсу физики : для студ. техн. Вузов / В. С. Волькенштейн. – Изд. доп. и перераб. – М. : Спец. лит., 2002. – 327 с. 7. Бондарев, Б. В. Курс общей физики : в 3 кн. : учеб. пособие / Б. В. Бондарев, Н. П. Калашников, Г. Г. Спиркин. – М. : Высш. шк., – 2003. 8. Джанколи, Д. Физика: В 2-х т.: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989. – 656 с, ил. 9. Слинкина Т.А. Электричество и магнетизм: сб. семестр. заданий: учеб. пособие / Т.А. Слинкина, Л.И. Чернышова; СибГАУ. – Красноярск, 2007. – 152 с. 10.Чернышова Л.И. Оптика, атомная и ядерная физика: учеб. пособие по общему курсу физики / Л.И. Чернышова, Т.А. Слинкина, А.Г. Баранов, Н.В. Костылева. СибГАУ. – Красноярск, 2004, – 103 с. 134 Приложение Наименования и обозначения электрических и магнитных единиц СИ Наименование величины Сила электрического тока Электрический заряд Поток электрического смещения Поверхностная плотность электрических зарядов Электрическое смещение Объемная плотность электрических зарядов Обозначение А Кл Кл Кл/м2 Кл/м2 Кл/м3 Электродвижущая сила Напряженность электрического поля Электрическая емкость Электрическое сопротивление Удельное электрическое сопротивление Энергия Мощность Магнитная индукция Напряженность магнитного поля Индуктивность Наименование единицы Ампер Кулон Кулон Кулон на квадратный метр Кулон на квадратный метр Кулон на кубический метр В В/м Вольт Вольт на метр Ф Ом Фарад Ом Ом · м Ом-метр Дж Вт Тл Джоуль Ватт Тесла А/м Гн Ампер на метр Генри Удельное сопротивление ρ и температурный коэффициент α проводников Вещество Алюминий Графит Железо Медь ρ при 20 ºС, нОм · м 26 3,9 · 103 98 17 135 α, ºС–1 3,6 · 10–3 –0,8 · 10–3 6,2 · 10–3 4,2 · 10–3 Масса и энергия покоя некоторых элементарных и легких ядер Масса m0, кг m0, а. е. м. –31 9,11 · 10 0,000 55 Частица Электрон Нейтральный π-мезон Протон Нейтрон Дейтрон α-частица 2,41 · 10–28 1,672 · 10–27 1,675 · 10–27 3,35 · 10–27 6,64 · 10–27 0,145 26 1,007 28 1,008 67 2,013 55 4,001 49 Энергия Е0, Дж Е0, МэВ 8,16 · 10–14 0,511 2,16· 10–11 1,50 · 10–10 1,51 · 10–10 3,00 · 10–10 5,96 · 10–10 135 938 939 1 876 3 733 Множители и приставки, наиболее часто употребляемые в физике Множитель Приставка 109 106 103 102 10–1 10–2 10–3 10–6 10–9 10–12 гига мега кило гекто деци санти милли микро нано пико Обозначение приставок Г М к г д с м мк н п Диэлектрическая проницаемость ε Масло (трансформаторное) 2,2 Парафин 2,0 Слюда 7,0 Стекло 7,0 Фарфор 5,0 Эбонит 3,0 136 Основные физические постоянные Нормальное ускорение свободного падения Гравитационная постоянная Постоянная Авогадро Молярная газовая постоянная g = 9,81 м/с2 G = 6,67 · 10–11 м3/(кг · с2) NА = 6,02 · 1023 моль–1 R = 8,31 Дж/(К · моль) Постоянная Больцмана Постоянная Фарадея Элементарный заряд Масса электрона Удельный заряд электрона Скорость света в вакууме Постоянная Стефана–Больцмана Постоянная закона смещения Вина Постоянные в формуле Планка Постоянная Планка Постоянная Ридберга Боровский радиус Комптоновская длина волны электрона Магнетон Бора k = 1,38 · 10–23 Дж/К F = 9,65 · 107 Кл/моль е = 1,60 · 10–19 Кл mе = 9,11 · 10–31 кг e / m = 1,76 · 1011 Кл/кг с = 3,00 · 108 м/с σ = 5,67 · 10–8 Вт/(м2 · К4) b = 2,90 · 10–3 м · К С1 = 3,74 · 10–16 Вт · м2 С2 = 1,44 · 10–2 м · К h = 6,63 · 10–34 Дж · с ħ = 1,05 · 10–34 Дж · с R = 2,07 · 10–18 с–1 R′ = 1,10 · 107 м–1 а = 5,29 · 10–11 м λС = 2,43 · 10–12 м µБ = 9,27 · 10–24 Дж/Тл Ei = 2,18 · 10–18 Дж 1 а. е. м. = 1,66 · 10–27 кг µN = 5,05 · 10–27 Дж/Тл ε0 = 8,85 · 10–12 Ф/м µ0 = 4π · 10–7 Гн/м Энергия ионизации атома водорода Атомная единица массы Ядерный магнетон Электрическая постоянная Магнитная постоянная 137 Учебное издание ЧЕРНЫШОВА Лидия Ивановна СОКОЛОВИЧ Виктор Владимирович ЯКИМОВ Лев Евгеньевич СЕМЕСТРОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМУ, ОПТИКЕ, АТОМНОЙ И ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ Учебное пособие 138
