ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
1. ( сonst ) / = 0;
степенные функции
2. (u n ) / = n ⋅ u n −1 ⋅ u / ;
2a. ( x ) / = 1;
2b. (u 2 ) / = 2 ⋅ u ⋅ u / ;
1
1
2c. ( ) / = − 2 ⋅ u / ;
u
u
1
2e. ( u ) / =
⋅u/;
2⋅ u
m
m
−
1
m
n
n
=x n)
( x =x ;
m
n
x
показательные функции
3. ( a u ) / = a u ⋅ ln a ⋅ u / ;
3a. ( e ) = e ⋅ u ;
логарифмические функции
1
⋅u/;
4. (log a u) / =
u ⋅ ln a
u
/
4a. (ln u ) / =
u
/
1 /
⋅u ;
u
a
= ln a − ln b; ln a n = n ln a )
b
тригонометрические функции
5. (sin u ) / = cos u ⋅ u / ;
( ln
6. (cos u ) / = − sin u ⋅ u / ;
1
7. (tg u ) / =
⋅ u/;
2
cos u
1
/
8. ( ctg u ) = − 2 ⋅ u / ;
sin u
обратные тригонометрические функции
1
⋅ u/;
9. (arcsin u ) / =
2
1− u
1
⋅u/;
10. (arccos u ) / = −
1 − u2
1
11. ( arctg u ) / =
⋅u/;
2
1+ u
1
12. ( arcctg u ) / = −
⋅u/;
2
1+ u
гиперболические функции
13. ( sh u ) / = ch u ⋅ u / ;
14. ( ch u ) / = sh u ⋅ u / ;
1
15. (th u ) / =
⋅u/;
2
ch u
16. ( cth u ) / = −
1
⋅ u/;
2
sh u
показательно – степенные функции
17. (u v ) / = u v ⋅ ln u ⋅ v / + v ⋅ u v −1 ⋅ u / .
модуль функции
/
18. u = sgn u ⋅ u / , ( u = sgn u ⋅ u ) ,
⎧⎪ 1, u > 0
где sgn u = ⎨− 1, u < 0; – функция знак u
⎪⎩ 0, u = 0.
(сигнум u).
Правила дифференцирования
1. ( сu ) / = c ⋅ u / ;
u
1
1a. ( ) / = ⋅ u / ;
c
c
/
2. (u ± v) = u / ± v / ;
3. (u ⋅ v ) / = u / ⋅ v + u ⋅ v / ;
u / u/ ⋅ v − u ⋅ v/
4. ( ) =
;
v
v2
5. сложная функция
( F (u ( x )) / = Fu/ ⋅ u x/ ;
6. параметрически заданная функция
/ /
/
⎧ x = x (t ), ⇒ y / = y t ; y // = ( y x ) t ;
⎨ y = y (t )
x
xx
x t/
x t/
⎩
7.
неявно
заданная
функция
y = y ( x ) уравнением
F ( x , y ) = 0; ⇒ чтобы найти производную
неявно
заданной
функции,
нужно
продифференцировать
обе
части
уравнения F ( x, y ) = 0, считая y функцией
от
х
и
применяя
правило
5
дифференцирования сложной функции;
8. логарифмическое дифференцирование
y = f ( x ) ⇒ ln y = ln f ( x );
1 /
⋅ y = (ln f ( x )) / .
y
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ (u = u ( x ))
1.
∫ 0 du = c;
u2 ± a2
= ln u + u ± a
2
du
11. ∫
= tg u + c;
cos 2 u
du
12. ∫
= − ctg u + c;
sin 2 u
гиперболические функции
13. ∫ sh u du = ch u + c;
14.
∫ ch u du = sh u + c;
du
= th u + c;
2
u
du
16. ∫ 2 = − cth u + c;
sh u
15.
∫ ch
du
;
u/
u = ax + b ⇒ dx =
d ( ax + b)
;
a
dx
1
u = (ax 3 + b) ⇒ dx =
d (ax 3 + b)
3ax 2
∫x
1
sin( ax 3 + b) + c;
3a
2
сos (ax 3 + b) dx =
d ( mx )
m
1
mx
dx
= arcsin
+ c;
2
2
m
a
a − (mx )
u = mx ⇒ dx =
∫
2
тригонометрические функции
9. ∫ sin u du = − cos u + c;
10. ∫ cos u du = sin u + c;
du = u x/ dx ⇒ dx =
∫ ax + b = a ⋅ ln ax + b + c;
дробные рациональные и
иррациональные функции
du
1
u
5. ∫ 2
= arctg + c;
2
a
a
u +a
du
1
u−a
6. ∫ 2
=
+ c;
ln
u − a 2 2a u + a
du
u
= arcsin + c;
7. ∫
2
2
a
a −u
∫
( x) = f ( x)
1
1 (ax + b)1− m
∫ (ax + b) m dx = a ⋅ 1 − m + c;
показательные функции
au
4. ∫ a u du =
+ c;
ln a
4a. ∫ e u du = e u + c;
8.
/
Непосредственное интегрирование
степенные функции
u m +1
2. ∫ u m du =
+ c; m ≠ −1;
m +1
du
3. ∫
= ln u + c;
u
m
m
−
1
=x n)
( n xm = x n ;
n
xm
du
∫ f ( x)dx = F ( x) + C ⇔ F
+ c;
основные свойства неопределенного
интеграла
1.
2.
3.
4.
∫ (u ± v )dx = ∫ udx ± ∫ vdx;
∫ αudx = α ∫ udx;
d ∫ u( x )dx = u( x )dx;
∫ du = u + c;
замена переменной
u = u (t ) ⇔ du = u t/ dt ;
∫ f (u)du = ∫ f (u(t ))u dt;
/
t
интегрирование по частям
∫ udv = uv − ∫ vdu.
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Теоремы Роля, Лагранжа, Коши
Теорема
Ролля
Если
то
существует хотя бы одна точка ξ,
f ( x) :
1. непрерывна на отрезке [a, b];
2. дифференцируема на интервале ( а, b);
a < ξ < b, что f (ξ ) = 0
/
3. принимает равные значения
на концах отрезка,
то есть f ( a ) = f (b),
f ( x) :
1. непрерывна на отрезке [a, b];
Лагранжа
существует хотя бы одна точка ξ,
a < ξ < b, что
2. дифференцируема на интервале (а, b),
f ( x) и g ( x) :
Коши
1. непрерывны на отрезке [a, b ];
2. дифференци руемы на интервале ( а, b);
3. g / ( x ) ≠ 0
во всех точках интервала (а, b),
f (b) − f (a ) = f / (ξ )(b − a)
существует хотя бы одна точка ξ,
a < ξ < b, что
f (b) − f (a) f / (ξ )
=
g (b) − g (a ) g / (ξ )
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
lim
x →a
f ( x) ⎧ 0 ⎫
f ′( x )
= ⎨ ⎬ = lim
g ( x ) ⎩ 0 ⎭ x→a g ′( x )
№
п/п
Вид
неопределен
ности
1
{0 ⋅ ∞}
2
{∞ − ∞}
{ 1 },
{ 0 },
{ ∞ }.
f ( x ) ⋅ h( x ) =
x →a
f ( x) ⎧ ∞ ⎫
f ′( x )
= ⎨ ⎬ = lim
g ( x ) ⎩ ∞ ⎭ x→a g ′( x )
f ( x ) h( x )
=
1
1
h( x )
f ( x)
2.1 . дроби привести к общему знаменателю;
2.2 . умножить и разделить разность функций на
сопряженное выражение, если это разность
квадратных корней;
2.3 . умножить и разделить разность функций на
неполный квадрат суммы этих функций, если
это разность корней кубических;
1
1
−
h( x ) f ( x )
2.4 . f ( x ) − h ( x ) =
1
f ( x ) ⋅ h( x )
Результат преобразований
(c, d – const ≠ 0)
⎧0 ⎫
⎧∞ ⎫
⎨ ⎬ или ⎨ ⎬ – применить
⎩0 ⎭
⎩∞ ⎭
правило Лопиталя
⎧c ⎫
⎨ ⎬=∞;
⎩0 ⎭
⎧0 ⎫
⎨ ⎬=0;
⎩c ⎭
⎧с ⎫
⎨ ⎬=
⎩d ⎭
⎧c⎫
⎨ ⎬=0;
⎩∞ ⎭
⎧∞ ⎫
⎨ ⎬=∞;
⎩c⎭
A
⎧0 ⎫
⎧∞ ⎫
⎨ ⎬ или ⎨ ⎬ – применить
⎩0 ⎭
⎩∞ ⎭
правило Лопиталя
y = u ⇒ ln y = v ln u;
v
3.1.
0
0
lim
Преобразования
∞
3
или
lim ln y = A ⇒ lim y = e A .
x→a
3.2.
x→a
y = u v = e v⋅ln u
См. выше
Исследования функции без применения производных
№
п/п
Цель
исследования
Действия
Вывод
1
Найти область
определения
функции
Найти точки, в которых
функция не определена или не
задана (точки разрыва графика
функции)
Исключить найденные точки
из области определения
функции
Найти
вертикальные
асимптоты
Вычислить односторонние
пределы функции в точках
разрыва и в точках,
«подозрительных» на разрыв
для кусочно-аналитической
функции
2
3
Исследовать
функцию
на четность
и нечетность
Если f ( − x ) = f ( x ) ,
то функция четная.
Если f ( − x ) = − f ( x ) ,
то функция нечетная
T – период функции –
(наименьшее из всех
возможных значений,
удовлетворяющих уравнению:
f ( x + T ) = f ( x)
4
Исследовать
функцию на
периодичность
5
Найти точки
пересечения
с осями
координат
Решив уравнение y = f ( x ) = 0 ,
найти x 0 : f ( x 0 ) = 0 .
6
Найти
наклонные, в
частности,
горизонтальные
асимптоты
Вычислить пределы
f ( x)
и
k = lim
x → ±∞
x
b = lim ( f ( x ) − kx )
Найти y (0) = y 0
x → ±∞
Если хотя бы один из
односторонних пределов в
исследуемой точке равен
бесконечности, то график
функции имеет вертикальную
асимптоту:
lim f ( x ) = ∞ ⇒ x = a –
x →a ±0
вертикальная асимптота
Ограничиться исследованием
функции на интервале (0, ∞ ) .
График четной функции
симметричен относительно
оси OY, график нечетной
функции симметричен
относительно начала
координат
Ограничиться исследованием
на интервале, по длине равном
периоду T, за пределы
интервала продолжить график
функции периодическим
образом
Точка пересечения графика с
осью OX: ( x 0 ,0) .
Точка пересечения графика с
осью OY: (0, y 0 )
Если k и b – конечные числа,
то уравнение наклонных
асимптот y = kx + b , причем,
при к = 0 асимптота
горизонтальная y = b
Исследования функции с применением производных
№
п/п
Цель
исследован
ия
Действия и вывод
1.1.1. Найти критические точки первого порядка xi , i = 1,2,..., n :
y / ( x i ) = 0 или y / ( x i ) = ∞ , или y / ( x i ) − не существует
(необходимое условие существования экстремума функции в точке);
1
Найти интервалы монотонности и точки
локальных экстремумов функции
1.2.1. Применить первое достаточное
экстремума функции в критической точке:
x
y/
y/
y
существования
x < x1
x1
x > xx
⎯
Критическая точка
первого порядка
+
Функция убывает
( x1 , y ( x1 )) − точка
минимума
Функция
возрастает
x < x2
x2
x > x2
+
Критическая точка
первого порядка
⎯
( x 2 , y ( x 2 )) − точка
максимума
Функция
убывает
y
x
условие
Функция возрастает
1.2.2. Если x 3 и x 4 – стационарные точки (все производные до (2к–1)
порядка равны нулю), можно применить второе достаточное условие
существования экстремума функции в точке:
y ( 2 k ) ( x3 ) > 0 ⇒ ( x3 , y ( x3 )) − точка локального минимума;
y ( 2 k ) ( x4 ) < 0 ⇒ ( x4 , y ( x4 )) − точка локального максимума;
y ( 2 k ) ( x5 ) = 0, y ( 2 k +1) ≠ 0 – в точке ( x5 , y ( x5 )) экстремума нет.
2
Найти интервалы выпуклости
и вогнутости графика
функции и точки перегиба
2.1. Найти критические точки второго порядка x j , j = 1,2,..., m :
y // ( x j ) = 0 или y // ( x j ) = ∞ , или y // ( x j ) − не существует
(необходимое условие существования точки перегиба графика);
2.2. Применить достаточные условия выпуклости и вогнутости графика
и существования точек перегиба:
x
x < x6
x6
x > x6
y //
y
+
График функции
вогнутый
Критическая точка
второго порядка,
точка
непрерывности
( x 6 , y ( x 6 )) − точка
перегиба
⎯
График функции
выпуклый
