Berman G N Sbornik zadach po kursu matematicheskogo analiza

Г, Н , БЕРМ АН
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО КУРСУ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ИЗДАНИЕ ДВАДЦАТОЕ
Д о п у щ е н о Министерством
вы сш его и ср ед н его с п ец и а льн о го о б р а зо в а н и я СССР,
в качестве уч еб н о го п о собия
д л я студентов вы сш и х у ч е б н ы х з а ве д ен и й
щ
Ы
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕ Д А К Ц И Я
ФИ ЗИ КО -М А ТЕМ АТИ ЧЕСКОИ Л И ТЕРА ТУ РЫ
1985
22.16
Б 50
У ДК 51Z ,
Б е р м а н Г. Н. Сборник задач по курсу м атем ати к
ского анализа: Учебное пособие для вузов. — 20-е изд.
М.: Н аука. Главная редакция физико-математической ЛК:
ратуры, 1985. — 384 с.
Сборник содерж ит систематически подобранные за~ :чи и упражнения к основным разделам курса математк
/.кого анализа. Большинство параграф ов для удобства п с .
зования подразделено на части. Группам задач с однор ■'
ным содержанием предшествует общее указание. Пе,.: >
задачам и физического содерж ания даю тся нужные спраг
по физике.
Д л я студентов высших учебных заведений,
19-е издание вышло в 1977 г.
Ил. 83.
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
1985
ОГЛАВЛЕНИЕ
-
1
предисловия к семнадцатому изданию
6
а в а 1. Функция .............................................................................. ...
7
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
Первоначальные сведения о функции . . . . . . . . . . . . . .
Простейшие свойства функций . . . . . . . . . . . . . . . . . I .
Простейшие функции ........................................................................... ... •
О братная функция. Степенная, показательная и логарифмиче­
ская функции ................................................................ ...............................
§ 5. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции
§ 6. Вычислительные задачи
•
1 л а в а II.
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
' лава
ние
§
§
§
§
§
1
Непрерывность
Основные определения
Бесконечные величины.
Непрерывные функции
Нахождение пределов.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
П ризнаки существования предела . . .
.............................................................................
Сравнение бесконечно м а л ы х ..................
19
22
25
27
27
29
32
34
I I I . Производная и дифференциал. Дифференциальное исчисле­
44
П роизводная. Скорость изменения функции ....................................
Дифференцирование ф у н к ц и й .................................................................
Дифференциал. Дифференцируемость функции .................................
Производная как скорость изменения (дальнейшие примеры)
Повторное дифференцирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
47
63
66
73
а в а IV . Исследование функций и их графиков ........................................
79
§
§
§
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
5.
Предел.
1
11
14
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Поведение функции .................................................. ......................... ... .
Применение первой п р оизводн ой ......................................................... .
Применение второй производной ......................... ...................................
Дополнительные вопросы. Решение у р а в н е н и й .................. ...
Формула Тейлора и ее применение ......................................................
Кривизна .............................................. ............................................................
Вычислительные задачи ............................. ........................... ...
79
80
89
92
99
101
103
1; л а в а V. Определенный интеграл .......................................................................
105
§ 1. Определенный интеграл я его простейшие свойства . . . . . . .
§ 2. Основные свойства определенного интеграла
1*
105
108
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава
V I. Неопределенный интеграл. Интегральное исчисление . . . .
114
§ 1. Простейшие приемы и н тегрирован ия.............................................. .........114
§ 2. Основные методы и н тегрирован ия..................................................... ... ......117
§ 3. Основные классы интегрируемых функций , . ................................ ......121
Г л а в а V II. Способы вычисления определенных интегралов. Несобствен­
ные и н т е г р а л ы ................................................................................. .................... ......128
§ 1. Способы точного вычисления и н т е гр а л о в .................................................128
§ 2. Приближенные методы . ................................................................................135
§ 3. Несобственные и н тегр ал ы ........................................................................
138
Глава
V III. Применения и н т егр а л а ............................................................ . •
143
§ 1. Некоторые задачи геометрии и статики .............................................. ...... 143
§ 2. Некоторые задачи физики .............................................. ..............................158
Г л а в а 1Х„ Ряды . ........................................................ ... ............................. ................168
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
Числовые р я д ы ..................................................................................................163
Функциональные р я д ы .................................................................................... 172
Степенные р я д ы ..................................................................................................175
Некоторые применения рядов Т е й л о р а ..................................................... 178
Г л а в а X. Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчис­
ление ......................................................................................................... . . . . .
§
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
5.
182
Функции нескольких перем ен ны х...............................................................182
Простейшие свойства функций ......................................................................184
Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
188
Дифференцирование ф у н к ц и й .............. .......................................................192
Повторное дифференцирование ................................ .....................................195
Г л а в а X I. Применения дифференциального исчисления функций не­
скольких переменных ....................................... . • . ..............................................199
§ 1. Формула Тейлора. Экстремумы функций нескольких перемен­
ных ...........................................................................................................................199
§ 2. Плоские л и н и и ............................................................................................ ......204
§ 3. Векторная функция скалярного аргумента. Линии в простран­
стве. П овер х н о сти .............................................. ............................................... 206
§ 4. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению . . .
211
Глава
X II. Многомерные интегралы и кратное интегрирование . . . .
213
§ 1. Двойные и тройные и н т е гр а л ы ....................................... ........................ ..... 213
§ 2. Кратное интегрирование ....................................................................... . 214
§ 3. Интегралы в полярных, цилиндрических и сферических коорди­
натах ....................................................................................................................... 217
§ 4. Применение двойных и тройных и н т е г р а л о в ......................................... 220
§ 5. Несобственные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра 229
Глава
X III.
Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности
235
§ 1. Криволинейные интегралы по д л и н е .................................................. ..... 235
§ 2. Криволинейные интегралы по к о о р д и н атам ....................................... ..... 238
§ 3. Интегралы по поверхности ....................................................................... ..... 243
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава
§
§
§
§
§
§
5
XIV. Дифференциальные у р а в н е н и я ............................................................247
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Уравнения первого п о р я д к а ................................................................... ......247
Уравнения первого порядка (продолж ение)....................................... ..... 258
Уравнения второго и высших п о р я д к о в .............................................. ..... 261
Линейные у р а в н е н и я .................. ' ............................................................. ..... 265
Системы дифференциальных у р а в н е н и й .....................................................270
Вычислительные з а д а ч и .................................................................................... 273
Глава
§ 1.
§ 2.
§ 3.
XV. Тригонометрические р я д ы ................................................................ ..... 276
Тригонометрические м н огочлены ..................................................................276
Ряды Ф у р ь е ......................... ............................................................................... 277
Метод Крылова. Гармонический а н а л и з ........................................... ..... 280
Глава
XVI. Элементы теории п о л я .................................................................... .....282
Ответы .................................................. .................................................................. ... • •
283
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К СЕМНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящий «Сборник задач» предлагается студентам, изучаю­
щим математический анализ в объеме программы для высших
технических учебных заведений. [«Сборник» содержит системати­
чески подобранные задачи и упражнения к основным разделам
курса математического анализа.
Теоретические сведения и справки о необходимых формулах
в «Сборнике задач» не помещены; имеется в виду, что читатель
найдет их в соответствующих разделах учебника. Большинство
параграфов «Сборника задач» для удобства пользования подраз­
делено на ч а с т и . Группам задач g однородным содержанием пред­
шествует общее указание. Перед задачами физического содержа­
ния даются нужные справки по физике. Д ля более трудных задач
указания к решению даны в разделе «Ответы»; такие задачи отме­
чены звездочкой (*).
Первое издание «Сборника задач» появилось в 1947 г. Все
последующие издания, дважды сопровождавшиеся значительной
переработкой, осуществлялись без непосредственного участия
Георгия Николаевича Бермана, скончавшегося 9 февраля 1949 г.
после продолжительной и тяжелой болезни, полученной в резуль­
тате ранения на фронте Великой Отечественной войны. Эта работа
выполнялась товарищами Г. Н. Бермана по совместной работе —
И. Г. Арамаиовичем, А. Ф. Бермантом, Б. А. Кордемским,
Р . И. Позойским и М. Г. Шеетопал.
В 1959 г. наш коллектив потерял соавтора и первого редак­
тора «Сборника» профессора Анисима Федоровича Берманта, ско­
ропостижно скончавшегося 26 мая.
Георгий Николаевич и Анисим Федорович были замечательными
товарищами, людьми высокой культуры, одаренными прогрессив­
ными педагогами. Память о них неизгладима.
И. Г. Араманович, Б. А. Кордемский,
Р. И. Позойский, М. Г. Шеетопал
Настоящее (двадцатое) издание печатается без существенных
изменений и практически не отличаетея'от предыдущего (1977 г.).
ГЛАВА
Г
ФУНКЦИЯ
§ 1. Первоначальные сведения о функции
Функции
и с п о с о б ы их з а д а н и я
1. Сумма внутренних углов плоского выпуклого мйогоуголь»
ника является функцией числа его сторон. Задать аналитически
эту функцию. Какие значения может принимать аргумент?
2 . Ф у н к ц и я у от х за д а н а следую щ ей т а б л и ц е й :
Н езависимая переменная х . . 1 0
Функция у . . . . . . . . . . .
— 1,5
Н езависимая переменная х . .
4
— 1,8
0 ,5
—1
5
-2 ,8
6
0
1
0
1,5
3,2
2
2,6
3
0
7
1,1
8
1.4
9
1,9
10
2,4
Построить ее график, соединив точки «плавной» линией, и по
графику «уплотнить» таблицу, определив значения функции при
х = 2,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5.
3. Функция задана графиком, изображенным на рис. 1. Пере­
вести чертеж на миллиметровую бумагу, выбрать масштаб и не­
сколько значений независимой переменной. Из чертежа определить
значения функции, соответствующие выбранным значениям неза­
висимой переменной, и составить таблицу этих значений.
4. Функция задана графиком, изображенным на рис. 2. По
графику ответить на следующие вопросы:
а) При каких значениях независимой переменной функция
обращается в нуль?
б) При каких значениях независимой переменной функция
положительна?
в) При каких значениях независимой переменной функция
отрицательна?
5. Зависимость силы Ғ взаимодействия двух электрических за­
р я дов еі и
от р а сст оя н и я г м е ж д у ними вы р аж ается п о за к о н у
Кулона формулой
8
ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
Положив е1 = е2— 1 и е = 1, составить таблицу значений данной
функции для r = 1, 2, 3,
10 и построить ее график, соединив
найденные точки «плавной» линией.
6.
Записать функцию, выражающую зависимость радиуса г
цилиндра от его высоты Һ при данном объеме V = 1. Вычислить
значения г при следующих значениях Һ: 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3;
3,5; 4; 4,5; 5. Построить график функции.
7. Выразить площадь равнобочной трапеции с основаниями а
и Ь как функцию угла а при основании а. Построить график
функцни при а = 2, b = 1.
8. Выразить зависимость длины b одного катета прямоуголь­
ного треугольника от длины а другого при постоянной гипоте­
нузе с = 5. Построить график этой функции.
9. Даны функции
Найти: /(0 ); /(1 ); /(2 ); / ( - 2 ) ; / ( - * ) ; K V 2); | / ( { ) | ; <р(0);
<р(1); <р(2); ф (—2); ф(4). Существует ли / ( — 1); Ф(— 1)?
10. Дана функция f (и) = и3 — I. Найти; /(1 ); f(a); f ( a + 1);
f ( a - l ) ; 2/ (2а).
11. Даны функции F(z) = 22~3 и ф(г) = 2|г1~2. Найти: F ( 0);
Ғ(2); Ғ (3); Ғ ( - 1); F (2,5); F ( — 1,5) и Ф(0); ф (2); Ф(— 1); -ф(дс);
Ф ( - 1 ) + Ғ (1 ).
12. Дана
ф ( 4 ') :
13.
14.
15.
16.
функция
=
Найти;
(0); -ф (1);
‘Ф
а)ф(^) = ^3+ 1 . Найти: ф (t2) и [ф (О]2F ( x ) = x 4 — 2х2-\-5. Доказать, что Ғ(а) = Ғ ( — а).
Ф (z) — z3 — 5z. Доказать, что Ф (— z) = — Ф (z).
f{t) = 2t2~\-^ + j + 5t. Доказать, что / ( * ) = / ( ! ) .
ф (— 1);
§ 1. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫ Е СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИИ
17. f(x) = sinx — cos*. Доказать, что / ( 1 ) > 0 .
18. (jc) = lgAT. Доказать, что (л:) -Ь ^ (л: + 1) = -ф[л; (л; + 1)1.
19. F(z) — a*.
1) Доказать, что при любом г справедливо соотношение
F (— г) F (z) — 1 = 0 .
2) Доказать, что F [х) F (y) = F(x-\-y).
20. Даны график функции y = f(x) и значения а и b независияой переменной х (рио. 3). Построить на чертеже f(a) и / ( 6).
Каков геометрический смысл
отношения — Ь — а ?
21. Показать, что если
любая хорда графика функ­
ции y = f ( x ) лежит выше
стягиваемой ею дуги, то для
всех Хі Ф Х і имеет место не­
равенство
I ( *l ) 4 ~ / ( *2)
2
. /f (I Ха\ +~Ь ах 2)] .
22. Дано: f ( x ) = x 2 — 2х+ 3. Найти все корни уравнения: a)f(x)—
- / ( 0); б) /(* ) = / ( - 1).
23. Дано: f (х) = 2х3 —Ъх2 —23*. Найти все корни уравнения
f ( * ) = / ( - 2).
24. Дана функция /(*). Указать хотя бы один корень урав­
нения / (х) = / (а).
25. Указать два корня уравнения
* если известно,
что функция f (х) определена на отрезке [—5, 5]. Найти все корни
данного уравнения для случая, когда f(x) = x2 — 12х + 3.
26. F ( jc)=jc2 + 6; <р(х) = 5х. Найти все корни уравнения F (*)=■
Ч ф ( * ) 127. /(л :)= л :+ 1 ; ф (л-) = л: — 2. Решить уравнение
[/(*) + ф (х) | = | / (*) | + 1ф (х) |.
28.
+ &л: +
= 8.v +
29.
ных а,
Найти значения а и b в выражении функции /(х ) = ах2 +
5, для которых справедливо тождество f ( х + 1) —/ (х) =
3.
Пусть f(x) = a c o s (bx + r). При каких значениях постоян­
b и с выполняется тождество / ( x - f 1) —f(x) = sin*.
Сложные функции
30. Дано: у = г2, г = дг+1. Выразить у как функцию х.
31. Дано: у = У г + 1, г = tg2 х. Выразить у как функцию х.
32. Дано: у = г2, г — j / x - j - 1, х = а'. Выразить у как функцию/.
10
ГЛ . I. ФУНКЦИЯ
33. Дано: y = sinx; v = lg у; u = Y 1 + v 2. Выразить и как
функцию х.
____
34. Дано: г / = 1 + х ; г = c o sу\ v = V \ —г2. Выразить v как
функцию х.
35. Следующие сложные функции представить с помощью це­
почек, составленных из основных элементарных функций:
1) // = sin3x; 2) у = У (1 + х)2; 3) у = lg tg x ;
4) г/ = sin3 ( 2 л г 1); 5) у — 5<-3х+1]2.
36. f (х) = х'л — х; (р (х) = sin 2х. Найти:
а)
б ) ф I / (1)3; в) ф [ / ( 2 )]; г ) /" [ ф (Л')3:
Д) / [/ (л)]; е) f{ f[ f (1)]}; ж) <p[<p(*)].
37. Д о к а з а т ь справедливость следующего способа построения
графика, сложной функции y = f[q>(x)] = F(x) по известным гра­
фикам составляющих функций: у =
= /(* ). У = <Р(х). Из точки А гра­
фика функции <р(х) (рис. 4), соот­
ветствующей данному значению неза­
висимой переменной х, проводится
прямая, параллельная оси Ох, до
пересечения в точке В с биссектрисой
первого и третьего координатных уг­
лов; из точки В проводится пря­
мая, параллельная оси Оу, до пере­
сечения с графиком функции f(x)
в точке С. Если из точки С про­
вести прямую, параллельную оси Ох,
то точка D ее пересечения с прямой
NN ' будет точкой графика функции F (х), соответствующей взя­
тому значению х.
Неявные функции
38. Написать в явном виде функцию у, неявно заданную сле­
дующим уравнением:
1) х» + ^ = 1; 2) 5 - ^ = 1; 3) я3+ У3 = а3-,
4) ху = С; 5) 2-^ = 5; 6) lg* + l g ( y + 1) = 4 ;
7) 2х^ ( х 2 — 2) = д:3+ 7; 8) (1 -\-х) cos у — х2 = 0.
39*. Показать, что при л :> 0 уравнение у - \ - \ у \ — х — \х\ = 0
определяет функцию, графиком которой является биссектриса
первого координатного угла, а при х < :0 данному уравнению
удовлетворяют координаты всех точек третьего координатного угла
(включая и его граничные точки).
§ 2. п р о с т е й ш и е с в о й с т в а ф у н к ц и я
11
§ 2. Простейшие свойства функций
Область
определения функции
40. Составить таблицу значений функции целочисленного аргу­
мента У = ^ Для 1
41. Значение функции целочисленного аргумента и = (р(п) равно
количеству простых чисел, не превосходящих п. Составить таб­
лицу значений и для l s g n < ; 20.
42. Значение функции целочисленного аргумента u = f(n) равно
количеству целых делителей аргумента, отличных от 1 и самого п.
Составить таблицу значений и для l s g r t C 2 0 .
43. Из трех материальных отрезков, длины которых равны 1;
2 ; 1 единицам длины, а массы соответственно равны 2;ч3; 1 еди­
ницам массы, составлен брус (рис. 5). Масса переменного отрезка A M
длины х есть функция от х.
При каких значениях х оп­
ределена эта функция? Со­
ставить ее аналитическое вы- А
ражение и построить график.
44. Башня имеет следую­
щую форму: на прямой круг­
лый усеченный конус с ради­
усами оснований 2# (нижнего)
и R (верхнего) и высотой R поставлен цилиндр радиуса R и выеоты 2R\ на цилиндре — полусфера радиуса R. Выразить площадь
S поперечного сечения башни как функцию расстояния х сече­
ния от нижнего основания конуса. Построить график функции
S = /< * ).
45. В шар радиуса R вписывается цилиндр. Найти функцио­
нальную зависимость объема V цилиндра от его высоты х. У ка­
зать область определения этой функции.
46. В шар радиуса R вписывается прямой конус. Найти функ­
циональную зависимость площади боковой поверхности S конуса
от его образующей х. Указать область определения этой функции.
В задачах 47—48 найти области определения данных функций:
47. 1) у = 1 - l g * ; 2) 0 = lg(x + 3); 3) y = V 5 ^ 2 ^ ;
4) y = V — p x ( p ^ > 0 y , 5) y = g - i - j;
7)
8) » =
10) y = v W = T x :
12) y = ,
' a
6) # = - q - r ;
y= \-V T = ? -,
n ) »
=
^
- 4* + 3 ;
* -------:i!3) y — arcsin —;
y x* - 3 x + 2
*
14) у = arcsin (x — 2);
' v
4
15) у = arccos (1 — 2x);
12
гл. і.
ф ункция
j _2х
г_
16) у — arccos— — ; 17) г/ = a r c s i n 2х;
2!) У - у ' l g ( - - 4" -); 22) z/ = lgsinjc;
23) у = arccos
48,
; 24) у = log, 2.
*> У ~ т - х ) + ^ * + 2; «2> у = У З ^ г + агс8І п ^ ;
3) г/= arcsin
— lg (4 — х)\
5) y = Y x - \ + 2 Y l — x + V x 2+ l ;
‘ 6) # = 4ТГр- + ^ ( х 3-л :);
7) y = lgsin ( х - 3 ) + і Л б - х а;
8) y = V s i n x + у г1 6 - х 2; 9) // = - 4 = 4- 1/ s i nx;
х — 5
* 10) i/ = lg х*— Юх+24
%,—
У х + 5',
15) 0 = l g [ l - l g ( * » - 5 x + 1 6 ) ] .
49. Тождественны ли функции:
! ) / ( * ) = -*2 и Ф М = -^;
2)f(x) = ~
и ф (*) =■*;
3) /(*) = * и ф(д:) = Уг^ ; 4) / (х) = lg *2 и ф(л:) = 2 ^ х ?
50. Придумать пример аналитически заданной функции:
1) определенной только в интервале —2 ^ х ^ 2;
2) определенной только в интервале —2
< 2 и не опреде­
ленной при х = 0\
3) определенной для всех действительных значений х, за исклю­
чением х — 2 , х = 3 , х = А.
51. Найти области определения однозначных ветвей функции
у = ф(х), заданной уравнением:
1) (/а — 1 + logs(х — I) = 0 ; 2) i f - 2 x i f + x * - x = 0.
Элементы поведения функции
52. f(x) — -y£-z-. указать область определения функции f(x) а
убедиться, что эта функция неотрицательна.
S 2.
ПРОСТЕЙШ ИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
13
53. Найти интервалы знакопостоянства и корни функции:
1) у = 3х — 6; 2) у = х2 — 5* + 6; 3) г/ = 2дс~1;
4) у = х? — Зх2-\-2х; 5) у = \х\.
54. Какие из указанных ниже функций четны, какие нечетны,
какие не являются ни четными, ни нечетными:
1) у = х* — 2х2-,
2) у = х - х 2;
3) у = сosx; 4) у = 2 х;
5 )у = х —^ +
б) y = sinx;
7) г/= s i nх —c o sх;
8) у = 1 - х 2;
9) y = t g x ;
10) у = 2~*2;
П )у = ^ 1 ;
12) 2, = ^
;
І4) У = ^ 1 -
15) У =
16) у = 2*-*‘;
17) у = \ п \ ~ ?
13) у =
55. Каждую из следующих функций представить в виде суммы
четной и нечетной функций:
1) # = х2+ Зх-}-2; 2) у = 1 —х3 — х* — 2xs;
3) у = sin 2* + cos -|- + tgx.
56. Доказать, что /(* ) + / ( — х) — четная функция, a f(x) —
— / ( — х) — нечетная функция.
57. Представить [в виде суммы четной и нечетной функций
следующие функции:
1) у = ах\ 2) # = (1 -}-л;)100 (см. задачу 56).
58. Доказать, что произведение двух четных функций есть
четная функция, произведение двух нечетных ф ункций— четная
функция, произведение четной и нечетной ф ункции—нечетная
функция.
59. Какие из нижеследующих функций будут периодическими:
1) y = sin2*;
2) у — sin л2;
3) у = х - с osx;
4) # = s in - - ;
5) У = 1 + t g х\ 6) ^ = 5; 7) у = [х]; 8) у = х - [ х \ >
(Функция [х] определяется так: если х — целое число, то [х] = х.
Если х не есть целое число, то [х] равно наибольшему целому
числу, меньшему х. Так, [2] = 2; [3,25] = 3; [— 1,37] = —2.)
60. Построить график такой периодической функции с перио­
дом Т = 1, которая на полуинтервале [0, 1) задана формулой:
1) у = х; 2) у = х2.
61. Указать интервалы возрастания и убывания и интервалы
постоянства функций:
1) 0= 1*1: 2) У= 1*1-*■
62. Указать наибольшее и наименьшее значения функций:
1) y = sin2x; 2) у = cos*3; 3) y = l — sinjc; 4) г/ = 2*-.
14
ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
63.
С помощью графического сложения построить график функ­
ции у = /(х) + <р(х):
1) для графиков, изображенных на рис. 6;
2) для графиков, изображенных на рис. 7.
64. Зная график функции у = / (х), построить график функции!
1) У Н / М 1;
2) t, = i - [ |/ ( x ) |+ / ( x ) ] ;
3) y = ~ [ \ f m - f ( x ) ] .
§ 3. Простейшие функции
Линейная функция
65. Дано, что при напряжении £ = 2,4 В сила тока 7 = 0,8 А.
Выразить аналитически, используя закон Ома, зависимость между
силой тока и напряжением; построить график найденной функции.
66. В сосуд произвольной формы налита жидкость. На глу­
бине Һ = 25,3 см давление этой жидкости р = 1,84- 10s Па.
а) Составить функцию, выражающую зависимость давления от
глубины.
б) Определить давление на глубине ft = 1 4 ,5 см.
в) На какой глубине давление станет равным 2,65 103 Па?
67. Тело движется прямолинейно под действием силы F. Исходя
из закона Ньютона, написать функцию, выражающую зависимость
между силой F и ускорением w, если известно, что если тело
движется с ускорением 12 м/с2, то на пути s = 1 5 м производится
работа А = 3 2 Дж.
68. Определить линейную функцию у = ах + Ь по следующим
данным:
3)
х У
1) X у 2)
х У
2,5 7,2
2
4,3
0 4
3,2 6,8
0
3 6
— 1,6
§ 3, ПРОСТЕЙШ ИЕ ФУНКЦИИ
15
69. Некоторое количество газа занимало при 20 °G объем 107 см*,
при 4 0 °С объем стал равным 114 см3.
а) Составить, исходя из закона Гей-Люссака, функцию, выра­
жающую зависимость объема V газа от температуры t.
б) Каков будет объем при 0 °С?
70. Равномерно движущаяся по прямой точка через 12 с после
начала движения находилась на расстоянии + 3 2 ,7 см от некоторой
точки этой прямой; через 20 с после начала движения расстояние
стало равным + 4 3 ,4 см. Выразить расстояние s как функцию вре­
мени L
71. Напряжение в некоторой цепи падает равномерно (по линей­
ному закону). В начале опыта напряжение было равно 12 В, а по
окончании опыта, длившегося 8 с, напряжение упало до 6,4 В.
Выразить напряжение V как функцию времени t и построить график
этой функции.
72. Найти приращение линейной функции у = 2х — 7 при пере­
ходе независимой переменной х от значения Xi = 3 к значению
*2= 6 .
73. Найти приращение линейной функции у = —Зх + 1, соот­
ветствующее приращению независимой переменной Ах = 2.
74. Функция у = 2 ,5 * + 4 получила приращение Ду = 10. Найти
приращение аргумента.
75. Даны функция у — ~ ^ 2- и начальное значение независи­
мой переменной хг = а — Ь. При каком конечном значении х2 не­
зависимой переменной х приращение Дг/ = ^ у ?
76. Функция ф(х) задана так: ф (х ) = х /2 + 2 п р и —о о < х « £ 2 ;
ф(х) = 5 —х при 2 С х < + оо. Найти корни уравнения <р(х)=а
с=2х —4 аналитически и графически.
77. Построить график функции:
1) У = \ х + 11 + 1*— 1 1; 2) у = | х + 1 1— |х — 1 [;
3) i/ = |x — 3 | — 2 | х + 1 | + 2 |х | —х + 1 .
78*. Д ля каких значений х справедливо неравенство
| / (х) + ф (х) | < | / (х) | + 1ф (х) |,
если / (х) = х —3, а ф (х) = 4 —х.
79. Д ля каких значений х справедливо неравенство
| / (х) - ф (х) | > | / (х) | - ! ф (х) |,
если /(х ) = х, а ф(х) = х — 2.
80. Функция f (х) определена так:
в каждом из интервалов
л < л : < я + 1, где и -ц е л о е положительное число, f(x) меняется
линейно, причем f(n) = — 1, f ( n + ^ ) = 0. Построить график этой
функции.
16
ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
Квадратичная функция
81. Построить график и указать интервалы возрастания и убываніія данной функции:
I) */ = | х 2; 2) у = х2- 1; 3) у = |х 2- 1 [ ; 4) і / = І - х 2;
5) у=?х2- х + 4; 6) у = х - х 2\ 7) у = \ х - х 2\;
8) у = 2х2 + 3; 9) у = 2х2- Ьх + 4; 10) у = — Зх2 + Ь х - 1;
I I ) у = | — Зх2 + 6х — 1 |; 12) у = — х | х |.
82. Написать аналитическое выражение однозначной функции,
определенной на полуинтервале (— оо, 6], если известно, что
график ее состоит из точек оси Ох с абсциссами, меньшими
числа —3, из точек параболы, симметричной относительно оси Оу
и проходящей через точки А (—3, 0), 5 ( 0 , 5), и из точек отрез­
ка CD с концами С (3, 0) и D (6, 2).
83. Найти наибольшее значение функции:
1) У = — 2хг + х — 1\ 2) у — — Xs — З х -f-2',
3) у = 5 —х2; 4) у = — 2х2+ ах — а3; 5) у = а*х — Ь*х3.
84. Найти наименьшее значение функции:
1) у = х 2+ 4 х - 2 ; 2) у = 2х2- 1 , 5 х + 0 , 6 ; 3) у = 1 - 3 * + блг3;
4) у = а 3*2+ а4; 5) у = ( а х Ь ) (ах — 2Ь).
85. Представить число а в виде суммы двух слагаемых так,
чтобы произведение их было наибольшим.
86. Представить число а в виде суммы двух чисел так, чтобы
сумма квадратов этих чисел была наименьшей.
87. Около каменной стенки нужно сделать деревянный забор,
чтобы огородить прямоугольный участок земли. Общая длина
забора равна 8 м. Какова должна быть длина части забора, парал­
лельной стенке, для того чтобы забор охватил наибольшую площадь?
88. В треугольнике сумма сторон, заключающих данный угол,
равна 100 см. Чему должны быть равны эти стороны, чтобы площадь
треугольника была наибольшей?
89. Какой из цилиндров с данным периметром осевого сечения
Р — 100 см имеет наибольшую боковую поверхность?
90. Какой из конусов, периметр осевого сечения которых
равен Р, имеет наибольшую боковую поверхность?
91. Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, на
который поставлен конус (с тем же основанием). Угол при вер­
шине конуса 60°. Периметр осевого сечения тела 100 см. Каков
должен быть радиус цилиндра, для того чтобы боковая поверх­
ность тела была наибольшей?
92. В равнобедренный треугольник с основанием а и высотой Һ
вписан прямоугольник, как показано на рис. 8 . Какова должна
быть высота прямоугольника, для того чтобы он имел наибольшую
площадь?
93. В данный прямой конус вписан цилиндр так, что плоскости
и центры круговых оснований цилиндра и конуса совпадают. При
17
§ 3. ПРОСТЕЙШ ИЕ ФУНКЦИИ
каком отношении радиусов оснований цилиндра и конуса цилиндр
будет иметь наибольшую боковую поверхность?
94. Дан прямой круговой конус, радиус основания которого
равен R, а высота Н. В конув вписан цилиндр так, что плоскости
и центры круговых оснований цилиндра и конуса совпадают.
Каким должен быть радиув цилиндра, для того чтобы полная
поверхность цилиндра имела наибольшую величину? Рассмотреть
случаи Н > 2 R и Я С 2/?.
95. Каков должен быть радиув круга, для того чтобы сектор,
периметр которого равен данному числу Р, имел наибольшую
площадь?
96. Окно имеет форму прямоугольника, который сверху закан­
чивается правильным треугольником. Периметр окна Р. Каково
должно быть основание а прямоугольника, для того чтобы окно
имело наибольшую площадь?
Рис. 8
Рис. 9
97. Окно имеет форму прямоугольника, который сверху закан­
чивается полукругом. Каково должно быть основание прямоуголь­
ника, для того чтобы при периметре, равном 2 м, окно имело
наибольшую площадь?
98. Из листа картона прямоугольной формы размером 30 x 50 см*
нужно вырезать уголки так, чтобы, согнув лист по пунктирным
линиям (рио. 9), получить коробку наибольшей боковой поверх­
ности. Найти сторону вырезаемых квадратов.
99. Из проволоки длиной 120 см нужно сделать модель пря­
моугольного параллелепипеда в квадратным основанием. Какова
должна быть сторона основания, для того чтобы полная поверх­
ность параллелепипеда была наибольшей?
100. Кусок проволоки длиной с нужно разрезать на две части;
из одной сделать квадрат, из другой — правильный треугольник.
К ак нужно разрезать проволоку, чтобы сумма площадей получен­
ных таким образом фигур была наименьшей?
101. Найти на прямой у*=х точку, вумма квадратов расстояний
которой от точек (— а, 0), (а, 0) и (0, Ь) была бы наименьшей.
102. Найти на прямой | / = х + 2 точку, сумма квадратов рас­
стояний которой до прямых Зх — 4*/ + 8 = 0 и Зх —у — 1 = 0 была
бы наименьшей.
18
; гл. і. функция
103. Электрический ток J распределяется по двум ветвям
в сопротивлениями ri и га (рис. 10). Показать, что наименьшие
потери энергии, идущей на нагревание проводника в единицу
времени, соответствуют распределению токов, обратно пропорцио­
нальному сопротивлениям ветвей. (Исходить из закона: количество
выделившегося тепла Q = 0,24PRt.)
104. Построить параболу у = х2 и использовать ее для графи­
ческого решения следующих уравнений:
1) л? —* —2,25 = 0; 2) 2ха - З х - 5 = 0;
3) 3 ,1 х а_ Mjc + 5,8 = 0;
4) 4хг - 1 2 х + 9 = 0; 5) Зх2 - 8х + 7 = 0.
105. Функция <р(х) задана так: ф(х) = у х —у п р и — о о < х ^
И. ф(х) = 1 + х при -IIg - ^ x c + oo. Найти аналитически и гра­
;3’
фически все действительные корни
уравнени я [ф (х)]2 = 7х + 25.
rV W C V -i
106.
Указать область определения
функции
У = lg (ах2 + Ъх + с).
107.
Найти /(x-f-1), если дано, что
f ( х - 1 ) = 2ха - З х + 1 .
108*. Показать, что функция /(х)=>
Рис, 10
£2_L2^ 4«с
—
принимает любое действих 2 + 4 х + 3с
тельное значение, если 0 <c==s;l.
—\АлДл/'—
Дробно-линейная функция
109. Исходя из закона Бойля —Мариотта, найти функцию,
выражающую зависимость объема газа от давления при t = const,
если известно, что при давлении Ю5 Па объем газа равен 2,3 л.
Построить график этой функции.
110. Переменная х обратно пропорциональна у, д обратно
пропорциональна г, г в свою очередь обратно пропорциональна о.
В какой зависимости находятся х и и?
111. Переменная х обратно пропорциональна у, у прямо про­
порциональна 2, z прямо пропорциональна и, и обратно пропор­
циональна о. В какой зависимости находятся х и и?
112. При электролизе количество выделяющегося на электроде
вещества пропорционально силе тока, сила тока пропорциональна
проводимости электролита, проводимость пропорциональна концент­
рации электролита, концентрация при данном количестве вещества
обратно пропорциональна объему растворителя. Как количество
выделяющегося на электроде вещества зависит от объема раство­
рителя?
19
§ 4, ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
113. Построить график дробно-линейной функции!
л»
х —1
л»
2х
л\ _ 2х 5
1) у = * ^ 2 : 2) У —з ^ 7 ‘> 3) у — Зл. _ 7і5:
..
л:
г>
4 — Зл
Г- ’ 5)
3 -2 ,2 5 * '
2 Х
114. Найти по графику наибольшее и наименьшее значения
дробно-линейной функции на данном отрезке:
1) У = -£ [1. 5]; 2) 0 = 2 ^ 5 1 - 1 , 21; 3> У = Г Й [0' 4]*
115. Доказать: 1) если абсциссы четырех точек Afi(Xi; t/J,
М 2(х2\ ih), Мз{хз, уз), М і (Хі , уі) графика функции У = ~
(рис. 11) составляют пропорцию
то прямолинейные тра­
пеции М уМ 2N 2N i и
равновелики;
2) если точки M i и М а лежат на графике функции */ = —
(рис. 12), то площади фигур А і М і М 2А г и В і М і М 2В2 равны.
116. С помощью графического сложения построить график
х24- 1
функции у = —-— .
§ 4. Обратная функция. Степенная, показательная
и логарифмическая функции
Обратная функция
117. Найти функцию, обратную данной:
1) у = х\ 2) у = 2х-% 3) у = \ — Ъх\ 4) у = х2+ 1 ‘,
5) У = \ \
6) У = ү ~ \
9) у = 10**1;
7) у = х*-2х-,
10) y = i + lg (*4-2);
8) у = \ / х2
11) t/ = logu2;
гл. і. функция
м
12 ) у = 1 £ ғ ;
13) y =
15) у = 14- 2 sin
1 4 ) 0 = 2 sin 3 x ;
16) g = 4 arcsin V \ — x 2.
118. Доказать, что функция, обратная к дробно-линейной функ­
ции I/ = ^ q r | (считаем, что ad — bo%k 0), также дробно-линейна я.
119. При каком условии дробно-линейная функция задачи 118
совпадает со своей обратной?
120. Показать, что если f(x) = y/ra — xn, х > 0, то / [/ (х)] = х.
Найти функцию, обратную f (х).
121. Какова особенность графика функции, тождественной
со своей обратной?
122. Функция у т х задана уравнением дг — 1+ log2 (х — 1)=0.
Найти область определения данной функции и записать функцию,
обратную данной.
123. Функция д от х задана уравнением y2- f sin3x —у + 2 = 0 .
Найти функцию, обратную данной.
бтепенная функция
124. Построить график функции:
I) У =
2) д = — \ х * \ 3) у = х3 + 3х2;
4) у = & — х + 1\ 5) у = — х3+ 2х —2; 6) у = 2х3/2;
7)У = ^ * '5/4;
8) у = х0-9',
I I ) у = ± з г *-*1
9) д = х2-1;
10) j/ = x°-e2;
12) д = 5хг*л; 13) д = \ ~ У Щ .
125. Графически найти приближенные значения действительных
корней уравнения х + 3 = 4т[/"х2.
126*. Начертить кубическую параболу у = х3 и использовать
ее для графического решения уравнения:
1) х3+ х — 4 = 0;
2) х3 —Зх2 —х + 3 = 0;
3) х3 — 6х2 + 9х — 4 = 0;
4) х3 + Зх2 + 6х + 4 = 0.
127.
По данному условию составить уравнение и решить его
графически:
1) Квадрат какого числа равен самому числу, сложенному
с его обратной величиной?
2) Деревянный шар с радиусом, равным 10 см, и плотностью,
равной 0,8 г/см3, плавает на поверхности воды. Найти высоту
сегмента, погруженного в воду.
3) Общая масса деревянного куба и пирамиды с квадратным
основанием равна 0,8 кг. Ребро куба равно стороне основания
пирамиды, высота пирамиды 45 см. Найти ребро куба. Плотность
дерева 0,8 г/см3.
21
§ 4. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
128. Дана функция у — х п, х > 0 . При каких значениях х эта
функция имеет значения, большие значений обратной функции,
и при к а к и х —меньшие?
Показательная
и гиперболические функции
129. Построить график функции:
I) у = —2Л;
2) у = 2Х+3;
3) у = ~ ■3 ';
4) у = 1 - 3 -3 ;
6) у = 2 - **.
5) у = ( I ) 1"
130. Используя график функции у = 2х, построить без д а л ь ­
нейших вычислений график функции:
1) у = 2*-1;
2) у = 1 • 2*»;
3) у = 1
4 - 1.
131. Показать, что графиком функции у = k ax ( k > 0 ) является
та же линия, что и для функции у = ах, только сдвинутая парал­
лельно оси ординат.
132. С помощью графического сложения построить график
функции:
1) y = jc2 + 2х;
2) у = хг — 2*.
133. Графически решить уравнение 2х — 2х = 0.
134. Построить фигуру, ограниченную линиями у = 2х, у =»
1 4- х
= ——- и х = 3. По графику найти приближенно координаты
точек пересечения данных линий.
135. Найти наибольшее возможное значение п, при котором
2х > х л для всех x^slOO (п целое).
136. Доказать, что # = shje и у = th x —нечетные функции, а
у = ch х — четная функция. Являются ли эти функции периоди­
ческими?
137. Доказать справедливость следующих равенств:
1) сһ2лс — shajc = 1;
2) chax + sha .x = c h 2x;
3) 2 sh x ch x = sh 2x; 4) sh (a ± P) = sh a ch P ± sh p ch a;
5) ch ( a ± P) = c h a c h p ± s h a s h P;
6)
=
7) i — cth*jc-------g^FЛогарифмическая функция
138. Построить график функции:
1) г/ = — log2х;
2) у - Ig-^-:
3) tj = \ lg x |;
4) г/ = logs Ia: I;
7) t/ = a'°gav;
5) у = 1 -f- lg (x + 2);
8) y = log* 2.
6)
== loga| 1 —x\\
22
гл. I. функция
139. Используя график функции у = \gx, построить график
функции:
1) 0 = y l g ( * + l ) ;
2) г/ = 2 lg
140. Дана функция # = * + lg^-. С помощью графического сло­
жения построить график данной функции и по графику найти
наименьшее значение этой функции в полуинтервале (0 , 2]. _____
141. Показать, что график функции у = loga (* + V x a+ 1)
симметричен относительно начала координат. Найти обратную
функцию.
142. Доказать, что ордината графика функции у — Ioga x равна
соответствующей ординате графика функции y = \ o g anX, умножен­
ной на п.,
§ 5. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции
Тригонометрические функции
143. Указать амплитуду и период гармоники:
1) у — sin Зл:;
2) j/ = 5cos2x;
3) y = 4s i nnx;
/і\
л ■ ^
р\
• Qtix
* Ъх
4) г/ = 2 s m- g;
5) у = sin — ;
6) у = q3 sin
-g -.
144. Указать амплитуду, период, частоту и начальную фазу
гармоники:
1) у = 2 sin (3* + 5);
2) у = — c o s ^ ^ - ;
3) у = j s i n 2 n ( < o - - ^ - ) ;
4) y = s i n ^ t i .
145. Построить график функции:
I ) у = — sinx;
2 ) у = \ — s in х;
3) у = 1 — c o sх;
4) у = s in 2х;
5) y = sin-|-;
6) у = — 2 s i n ^ ;
7) t/ = cos2jc;
8) t/ = 2sin
;
9) у = 2 sin (Зх + ^ j ;
10) y = ~ s i n ( 2 n x - 1,2);
II) y = 2 + 2 s in ( ^ + £ );
12) у = 2 cos —у —;
13) у — I sin x ;
14) y = \cosx\;
16) у = I ctgjc ;
17) y = secx;
cos* для — я
0,
19) д =
1
для
15) y = | t gx| ;
18) */ = cosecx.
0<х<1,
1/х для
1г ^ х < ;2 .
146. Стороны треугольника равны 1 см и 2 см. Построить
график площади треугольника как функции угла х, заключенного
§ 5. ТРИГОНОМ ЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
23
между данными сторонами. Найти область определения этой функ­
ции и то значение аргумента х, при котором площадь треугольника
будет наибольшей.
147. Точка движется равномерно по окружности радиуса R
с центром в начале координат против часовой стрелки с линейной
скоростью v см/с. В начальный момент времени абсцисса этой
точки была а. Составить уравнение гармонического колебания
абсциссы точки.
148. Точка равномерно движется по окружности х2-\-у2 = 1.
В момент t0 ее ордината была у0, в момент tt ордината равня­
лась г/i. Найти зависимость ординаты точки от времени, период
и начальную фазу колебания.
149. На рис. 13 изображен кривошипный механизм. Радиуа
маховика R, длина шатуна а. Маховик вращается равномерно по
часовой стрелке, делая п оборотов в секунду. В мойент <= 0,
когда шатун и кривошип составляли одну прямую («мертвое»
положение), крейцкопф (А ) находился в точке О. Найти зависи­
мость смещения х крейцкопфа (А) от времени t.
150. G помощью графического сложения построить графин
функции:
1) */ = s in x - f cosx;
2) t/ = s in 2nx + sin3nx;
3) у = 2 sin j + 3 sin j ;
4) y = x + sinx\
5) y — x — sin jc;
6) у = — 2х + cos x.
151. Графически решить уравнение:
1) x = 2sinx;
2) x = tgx;
3) x — cosx = 0;
4) 4 s i n x = 4 —x;
5) 2-j: = cosx.
152. Найги период сложной гармоники:
1) у = 2 sin Зх + З sin 2х;
2) у = sin£ + cos2£;
г>\
•
fit
|
•
Zlt
3) у = s in - g - - b s m ^ - ;
4) у = sin (2ni
+ 2 sin
+ —j + 3 sin 5n i .
153. Представить одной простой гармоникой:
1) г/ = sin х 4- cos x;
2) y = si nx + 2 s i n ^ + | - j .
24
г л . I. ФУНКЦИЯ
154.
Обосновать следующий графический
гармонических колебаний. Пусть даны гармоники
прием сложения
/lisin'fcox + tpi) и Л2 sin (сох + фг).
Построим векторы A i и Л а длиной соответственно А г и А 2 под
углами фі и ф2 к горизонтальной оси (рис. 14). Сложив векторы
A t и Аз, получим вектор А длиной
А, наклоненный к горизонтальной
оси под углом ф ; А и ф будут соответ­
ственно амплитудой и начальной фа­
зой суммы
Л івіп (о)Х + фі) +
-j-v42 sin ((ох + фз) = A sin (сох + ф).
155*. Указать период функции и
построить ее график:
1) у = | sin дг | + ] cos х |;
о\
'
1 / I Sin д: I ■
“
2 \
cos X
sin х \
I cos x j J ’
156. Найти область определения и выяснить вид графика
функции:
_______
1) f/ = Igsinx;
2) y = Y l g s i n x ;
3) у = у \
Обратные тригонометрические функции
157. Построить график функции:
1) </ = arcctgx;
2) у = 2 arcsin
3) у = 1 - f arctg 2х;
4) у = ү . — arccos 2jc;
5) у = arcsin -Ц— •
158. Круговой сектор с центральным углом а свертывается
в конус. Найти зависимость угла а при вершине конуса от угла а
и построить график.
159. Картина высотой а висит на стене наклонно, образуя
со стеной двугранный угол <р. Нижний край картины на b выше
уровня глаз наблюдателя, который стоит на расстоянии I от стены.
Найти зависимость между углом у, под которым наблюдатель
видит картину, и углом ф.
160. Д ля кривошипного механизма (рис. 13, задача 149) ука­
зать зависимость угла а поворота кривошипа от смещения х
крейцкопфа.
161. Выяснить, для какого интервала изменения х справедливо
тождество:
1) arcsin х + arccos х — я /2;
2) arcsin Y x 4 - arccos Ү х = л /2;
3) arccos "К 1 — x2 = arcs in x;
4) arccos Y l — x2 = — arcsin x\
§ 6. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫ Е ЗАДАЧИ
5) arctg х = arcctg-^-;
25
6) arctg х = arcctg ү — я;
7) arccos гхАг
1 Xм= 2 arctg х ;
9) arctg л: + arctg 1 = arctg
1 I х
8) arccos i?-у, л\ = —2 arctg xj
;
1IX
10) arctg x + arctg 1 = я + arctg
162.
Пользуясь тождествами задачи 161, найти область опре­
____
_
деления и построить график функции:
1) у = a r c c o s l / l —х2;
2) «/ = a rc s in ]/l —х + arcsin V х \
3) у = arccos 1 = ^ - 4) У = arctg х - a r c c t g - .
163*. Построить график функции у = arcsin (sin х). Доказать,
что эта функция периодична и найти ее период.
164. Построить график функции у = arccos (cos х).
165. Построить график функции y = arctg(tgx).
1 6 6. П острои ть граф ик ф ункции:
1) у = х — arctg (tg х);
2) у = х — arcsin (sin х);
3) у = х arcsin (sin х);
4) у = arccos (cos х) — arcsin (sinх).
§ 6. Вычислительные задачи
167. Построить график функции t/ = x3+ 2x2 —4х + 7 на отрез­
ке [—4, 2] по значениям х через 0 ,2; по оси ординат выбрать
масштаб, в 20 раз меньший, чем по оси абсцисс. По графику
найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
[—3, 2]. В какой точке функция переходит от возрастания к убы­
ванию? Найти корень функции на отрезке [—4, 2]. Погрешность
вычислений 0 , 1.
168. При изучении законов рассеивания шрапнели в теории
стрельбы требуется построить график функции y — eAcos2a,
^ 2 ,7 1 8 . Выполнить построение при А — 2, давая а значения от 0
до 90° через каждые 5Ч. Вычисления вести с точностью до 0,01.
169. Даны три точки: М і ( \ , 8); Af2(5, 6); М 3(9, 3). Провести
через них параболу у = ах1 + Ьх + с. Найти корни функции йх2+
+ Ьх + с. Погрешность вычислений 0,01.
170. Из углов квадратного листа жести размером 3 0 x 3 0 см'
нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы из оставшейся
части можно было согнуть коробку емкостью 1600 см3. Каком
длниы должна быть сторона х каждого вырезаемого квадрата?
Погрешность вычислений 0,01.
171. Проверить, что если ъ уравнении х4 + рх2 + <?х+ s = 0
положить х2 — у, то это уравнение заменится системой
х2 = У,
( у - г/о)2 + ( х - х0)2 = г2,
где Уо = ^ ү Е-, х 0 = — ү и r* = y l - \ - x l - s .
2в
г л . I. ф у н к ц и я
Пользуясь этим приемом, решить графически уравнение х 1—•
— Зха — 8* — 29 = 0. Погрешность вычислений 0,1.
172*. Используя прием, указанный в задаче 171, доказать,
что с помощью дополнительной замены переменной х = х'-{-а
действительные корни уравнения 4-й степени x* + axa + bx2-\-cx+
+ d = 0 могут быть найдены графически путем отыскания точек
пересечения некоторой окружности и параболы у = хг.
Пользуясь этим приемом, решить графически уравнение х4 +
+ 1,2х3 — 22х2 — 39* + 3 1 = 0 . Погрешность вычислений 0,1.
173. Графически найти корни уравнения e*sinx = l , ея«2,718,
заключенные между 0 и 10; указать приближенную общую фор­
мулу значений остальных корней. Погрешность вычислений 0,01.
174. Графически решить систему
х + У2— 1,
16x2+ i/ = 4.
Погрешность вычислений 0,01.
175. Построить график функции (в полярной системе координат)
по значениям полярного угла ф через я /12 *):
1) р = аф (спираль Архимеда); 2) р = а/ф (гиперболическая
спираль);
3) р = еаф (е^ ! 2,718) (логарифмическая спираль);
4) р = д sin Зф (трехлепестковая роза);
5) р = асоБ2ф (двулепестковая роза); 6) р = а(1 — со5 ф)
(кардиоида).
Вычисления вести с точностью до 0,01. Постоянную а > 0
выбрать произвольно.
•) Здесь принято, что если р (ф) < 0, то на соответствующем луче точки
графика нет.
ГЛАВА
И
ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§ 1. Основные определения
Функции
целочисленного
аргумента
176. Функция целочисленного аргумента принимает значения
= 0,9;
«, = 0,99;
иа = 0,999; . . . ;
и„ = 0,999 ... 9; ...
п раз
Чему равен lim «„? Каково должно быть п, для того чтобы
п -* с о
абсолютная величина разности между ип и ее пределом была
не больше 0,0001?
177. Функция ип принимает значения
и 1 1.
1;
и 2 ^1.;
иа — g1 ; . . . ;
ип — I
•
Найти lim ип. Каково должно быть п, для того чтобы разность
п —* ОО
между и„ и ее пределом была меньше заданного положительного
числа е?
^_ j
178. Д оказать, что ип — ~n + t стремится к 1 при неограничен­
ном возрастании п. Начиная с какого п абсолютная величина
разности между ип и 1 не превосходит 10-4?
179. Функция
принимает значения
я
^1
COS 2
| »
Зя
^2
cos я e
2 *
COS-рг2
— 2 » *■' I
пл
COS 2
Vn — ^ » • • •
Найти lim vn- Каково должно быть п, для того чтобы абсоп —*СО
лютная величина разности между vn и ее пределом не превосходила 0,001?
Принимает ли vn значение своего предела?
1
5
7
180. Общий член ип последовательности «і = ү , «2= 4-, я8 = -g ,
17
2п — \
2л + 1
«4= ig-, . .. имеет вид ■
, если п — нечетное число, и ,
если и — четное число.
23
ГЛ. II. П РЕД ЕЛ . НЕПРЕРЫ ВНОСТЬ
Найти Ііш и„. Каково должно быть п, для того чтобы разность
п -* СО
между и„ и ее пределом по абсолютной величине не превосходи­
ла 1(Н; данного положительного числа е?
181. Доказать, что последовательность ип —
ПРИ неогра4
ниченном возрастании п стремится к пределу, равному у , моно4
тонно возрастая. Начиная о какого п величина ~^ — ип не пре­
восходит данного положительного числа е?
182. Доказать, что ип = 1—- — при неограниченном возраста­
нии п имеет пределом 1. Начиная q какого п величина | 1 — ип\
не превосходит данного положительного числа е?
Какой характер имеет предельное изменение переменной «„?
183. Функция vn принимает значения биномиальных коэффи­
циентов:
Vi = m,
Vi=
т ( т — 1)
i .~2 '»
т ( т — 1 ) ( т — 2)
t . 2 . з----- "»•••
Vn~
т ( т — 1) (от— 2 ) . . . [(от — (п — 1)1
1 . 2 - 3 ...п
*
где т — целое положительное число. Найти lim vn.
П-+ОО
184. Доказать, что последовательность мя = 1 + (— I)4 не имеет
предела при неограниченном возрастании п.
185. Доказать, что при неограниченном возрастании п после2« + (—2)«
довательность «„ = — —— не имеет предела, а последователь2я _l (_2)я
ность v„ = —
—— имеет предел. Чему он равен?
18S. Имеет ли предел последовательность:
ля
1) ы„ = r i s i n g ;
sm
2) ип = lg-fi-
(п>1)?
187. Доказать теорему: если последовательности и,\, ы2, . . .
. . . , «Я1 . . . и «1, о2, . . . , и», ... стремятся к общему пределу а, то
к тому же пределу стремится и последовательность til, vu н2і
U-2, • • • , W/i, Уя, • • •
188. Доказать теорему: если последовательность иі, и2, . ..
. . . , ип, . .. стремится к пределу а, то к тому же пределу стремится
любая ее бесконечная подпоследовательность (например, uit u3l
и5, • •
1 8 9 . П осл ед о в а тел ь н о сть ц ь и2, . . . , ия, . . . и м еет п р едел а ^ О .
Д оказать, что lim - ^ ± L = 1 . Что можно сказать об этом пределе,
п -.0 0
ип
если а = 0? (Привести примеры.)
§ 2. БЕСКОНЕЧНЫ Е ВЕЛИЧИНЫ
29
Функции непрерывного аргумента
190. Дано у = хъ. Когда х - у 2, то у -»-4. Каково должно быть б,
чтобы из |де — 2 | < б следовало \у — 4 | < е = 0,001?
я®—1
3
191. Пусть у = ~2 . При * - > 2 имеем у-*-у . Каково должно
3I
быть б, чтобы из |х — 2 1< ;6 следовало г/—
< 0, 1?
192. Пусть У = 2 ( ^ ! ц ‘ п Ри х - у З имеем у - > ~ . Каково долж­
но быть б, чтобы из |де — 3 | < б следовало |-^— г/j с 0,01?
193. Доказать, что sin де стремится к единице при х - * п / 2 .
Каким условиям должен удовлетворять х в окрестности точки
х = п/2, чтобы имело место неравенство 1 —s i n* < 0,01?
194. При неограниченном возрастании х функция у = ^ г г і
1
*“+
стремится к нулю: lim
= 0- Каково должно быть N, чтобы
х -»00 Х Т 1
из | л с | > М следовало у < е ?
_]
195. Если д:-»- + оо, то У=
1- Каково должно быть N,
чтобы из j х | > N следовало | у — 1 1< е?
§ 2. Бесконечные величины. Признаки существования предела
Бесконечные
величины
196. Функция и„ принимает значения иi = 3, ы2 = 5, щ — 1, ...
. . . , ип = 2п + 1, . . . Доказать, что и„ —бесконечно большая величина
при « -> о о . Начиная с какого п величина ип становится боль­
ше N ?
197. Доказать, что общий член ип любой арифметической про­
грессии есть величина бесконечно большая при « - > оо. (Когда
она будет положительной и когда отрицательной?) Справедливо
ли это утверждение для произвольной геометрической прогрессии?
198. При х-»-0 имеем У = —^ ----- *°о- Каким условиям должен
удовлетворять х , чтобы имело место неравенство | у | > 104?
199. Доказать, что функция У = — з бесконечно велика при
х-*-3. Каким должен быть х, чтобы величина \у\ была боль­
ше 1000?
200. Когда х стремится к 1, функция у =
неограничен­
но возрастает.
следовало
Каково должно
— Ю4?
быть б, чтобы из j x — 1 | < 6
30
ГЛ. II. П РЕД ЕЛ . НЕПРЕРЫВНОСТЬ
201. Функция у = 2х _ і бесконечно велика при х->-0. Каким
неравенствам должен удовлетворять х, чтобы | у\ было больше 100?
202. При х —*■-f- оо имеем: у — lg x -> + oo. Каково должно
быть М , чтобы из х > М следовало t/> iV = 1 0 0 ?
203. Какие из основных элементарных функций являются
ограниченными во всей области их определения?
X2
204. Доказать, что функция y = yqr^т ограничена на всей
числовой оси.
_
х2
205. Будет ли функция у —
ограничена на всей числовой
оси? Будет ли она ограничена в интервале (0, + оо)?
206. Является ли функция г/ = lg sin je ограниченной во всей
области ее существования?
Тот же вопрос относительно функции « /= lg c o sx .
207. 1) Доказать, что функции у = x s i n x и у — х cos ж не огра­
ничены при х -> о о (указать для каждой из них хотя бы по одной
такой последовательности хп, для которой уп -*■ оо).
2) Будут ли указанные функции бесконечно большими?
3) Построить графики этих функций.
208. Построить графики функций / (х) — 2х sIn * и f (х) = 2 ~ х$іпя.
Для каждой из этих функций указать такие две последователь­
ности ж„ и х'п значений х, что lim f{x n) = оо, a lim / (ж|,) = 0.
л -+ 0 0
гг —»оо
209. При каких значениях а функция у = a* sin х будет на
ограничена при х ->■+ оо (я -> — оо)?
210. Будет ли бесконечно большой неограниченная функция!
1) т = -^-cos-^ при х - > 0; 2) / (лг) = л; arctg л: при х-+оо;
3) f (ж) = 2х arcsin (sin х) при х->- + оо;
4) / (х) = (2 -j- sin х) lg х при х -> + со;
5) f (ж) = (1 + sin ж) lgx При
211. Функция «я принимает значения
«
Мі = л, Ui —
3
tig —
4
__ я + 1
t ••• t W/i —
t • •‘
Доказать, что u„ — бесконечно малая величина при п -> о о .
212. Функция ип принимает значения
1
tin — — 7 , W i ------- £ •
1
27’
1
8 ’ "’ ' *
« » -8
№* ’
Доказать, что un — бесконечно малая величина при л -> о о .
213. Доказать, что y = j q r i ”*" 0 при ж—>-0. Каким условиям
должен удовлетворять ж, чтобы имело место неравенство \ у \ < 10-4?
214. Показать, что при х - > + сю функция у = У х 4* 1 "V ~X
стремится к нулю. Каким должно быть /V, чтобы при x > N было
д< е?
§ 2. БЕСКОНЕЧНЫ Е ВЕЛИЧИНЫ
*1
215.
Доказать, что если предел функции / (х) при х-*-оо ра­
вен а, то /(* ) можно представить в виде суммы / (дс) = а + <р(х),
где ф (х) бесконечно мала при х -*■ оо.
Представить в виде такой суммы следующие функции!
1\
*3
!) У-^fiZ ri '
r>\
xS
о\
2) У— 2х2+1 ’
Признаки
1—
^ У
существования
предела
216*. Функция и„ принимает значения
1 ..
1 ■ 1
1 I
1
I
.
1
«1— 4 . «2 — 4 -г 10’ • ■• » Un ~~ з _(_1 т~ 32+ 1+ ' ' • + 3«-!- 1'
Доказать, что ип стремится к некоторому пределу при п-*- оо.
217. Функция и„ принимает значения
,. _ 1
Ui — 2 I
..
1 т
1
1
«2 — 2 " + 2- 4 ’ U a ~~ 2
г
, и„ —
1
2-4
г
1 ,
2
1
2-4-6’
1
*Г 2 .4
,
,
1
I • "Г 2 .4 .... ,2п 1 •"
Доказать, что ип стремится к некоторому пределу при я - » - с о .
218. Доказать теорему:
Если разность между двумя функциями при одном и том же
изменении независимой переменной бесконечно мала, причем одна
из функций возрастает, другая убывает, то обе стремятся к одному
и тому же пределу.
219. Даны два числа и0 и у0 («о<«о)- Члены последователь»
ностей ип и vn задаются формулами
и\
—
U i —
Ио+ ^о
---------—
2—
’
..
uo+ 2fo.
-----------—
з —
>
^i + t'i
=
---------—
2—
’
ui + 2oj_
- -
:
вообще
M/t —
2
I
2
“
Доказать на основе теоремы, приведенной в предыдущей зада»
че, что обе последовательности ип и vn стремятся к одному и тому
же пределу, заключенному между и0 и v0.
220. Дана последовательность чисел ип:
Hi — 1 ^ 6 ,
U-1 — 1 ^ 6 + Ыі,
Un — l/" 6
Un-lt ■..
Доказать, что эта последовательность имеет предел, и найти его.
32
ГЛ. II. П РЕД ЕЛ . НЕПРЕРЫ ВНОСТЬ
§ 3. Непрерывные функции
221. Функция у определена следующим образом:
у —0
у —х
у = — х2 + 4л: —2
у = 4 —х
при
при
при
при
х < 0;
0 = egx< 1;
1 ^ х < 3;
х^зЗ.
Будет ли эта функция непрерывной?
222. Три цилиндра, радиусы оснований которых соответственно
равны 3, 2 и 1 м, а высоты одинаковы и равны 5 м, поставлены
друг на друга. Выразить площадь поперечного сечения получив­
шегося тела как функцию расстояния сечения от нижнего осно­
вания нижнего цилиндра. Будет ли эта функция непрерывной?
Построить ее график.
2 2 3 . П усть
1,
3 —ах3,
если
1;
если х > 1.
При каком выборе числа а функция f(x) будет непрерывной?
(Построить ее график.)
224. Пусть
— 2 sin*,
^ s i n x + B,
cos х,
если х
— л /2;
если — л /2 - < х < л / 2;
если х ^ л / 2 .
Подобрать числа А и В так, чтобы функция Д х) была непрерыв­
ной; построить ее график.
225. В каких точках терпят разрывы функции # = •
и у = ф т 2уг? Построить графики обеих функций. Выяснить раз­
ницу в поведении этих функций вблизи точек разрыва.
у2— J
226. Функция
не определена при х = 1. Каким
должно быть значение/ ( 1), чтобы доопределенная этим значением
функция стала непрерывной при х = 1?
___
.
sin X
COS К
227. Какого рода разрывы имеют функции у — - ү - и У — ~ү~
при х = 0? Указать характер графиков этих функций в окрест­
ности точки х — 0.
(X I
228. Исследовать непрерывность функции, заданной так: ! / ~ ~ при х ^ 0, у = 0 при х — 0. Построить график этой функции.
§ 3. НЕПРЕРЫ ВНЫ Е ФУНКЦИИ
3?
і 229. С колько точек разрыва (и какого рода) имеет функция
у =
, ? Построить ее график.
!
|
'
230. Функция у = arctg— не определена в точке х = 0. Можно
ли так доопределить функцию /(х ) в точке х = 0, чтобы функция
стала непрерывной в этой точке? Построить график этой функции.
231. Исследовать непрерывность функции, определенной так:
f(x) = s i n ~
при х ^ О ,
/ ( 0) = 1.
Построить график этой функции.
232. Построить график функции / (л:) = лгsfп ” . Какое значение
должно иметь / ( 0), чтобы функция f(x) была везде непрерывной?
233. Доказать, что функция у — [ _Д |/;е- имеет в точке х = 0
разрыв первого рода. Построить схематично график этой функции
в окрестности точки х = 0.
1
234. Исследовать характер разрыва функции y = 2 il~ x в точке
х = 1. Можно ли так определить у при х = 1, чтобы функция
стала непрерывной при х = 1?
235. Исследовать характер разрыва функции у =
2 '/ * _ j
^ в точке
х = 0.
236. Функция f(x) определена следующим образом: f (х) =>
- ( —■
+ -М
= ( х + 1 ) 2 'I х! х> при х ^ О и / (0) = 0. Доказать, что в интер­
вале — 2 s g x s g 2 функция fix) принимает все без исключения
значения, содержащиеся между / ( — 2) и / ( 2), и что она все же
разрывна (в какой точке?). Построить ее график.
237. Исследовать непрерывность функции у = j + gig~; - Выяснить
характер ее графика.
238. Функция определена так: если х — рациональное число,
то /(х ) = 0; если х —иррациональное число, то /(х ) = х. При
каком значении х эта функция непрерывна?
239. Исследовать непрерывность и построить график функции:
1) г/ = х - [ х ] ;
2) y =
3) г/ = (— 1)М.
[Функция [х] равна наибольшему целому числу, не превосходя­
щему х (см. задачу 59).]
240. Используя свойства непрерывных функций, убедиться
в том, чго уравнение х5 —З х = 1 имеет по меньшей мере один
корень, заключенный между 1 и 2.
2
Г. U . В е р н а я
ГЛ. II. П РЕД ЕЛ . НЕПРЕРЫ ВНОСТЬ
241*. Показать, что: а) многочлен нечетной степени имеет по
меньшей мере один действительный корень; б) многочлен четной
степени имеет по меньшей мере два действительных корня, если
он принимает хотя бы одно значение, противоположное по знаку
коэффициенту при его старшем члене.
242. Показать, что уравнение х - 2 * = \ имеет по меньшей мере
один положительный корень, не превосходящий 1.
243. Показать, что уравнение x = a s in x + 6, где 0 < а < 1 ,
6 > 0, имеет по меньшей мере один положительный корень и
притом не превосходящий Ь-\-а.
244*. Показать, что уравнение -А г - + Х~““Aj X—Ajj = 0, гДе
a i > 0 , a2> 0, a3> 0 и
< L, < Хя, имеет два действительных
корня, заключенных в интервалах (Хи %г) и (К, Ъ>)§ 4. Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых
Функции целочисленного аргумента
В задачах 245 — 267 найти пределы.
260.
ІІГП ------;------;------------ р .
п - ° ° l + Y + g - + - - - + ЗЯ
261. lim -jjj- (1 + 2 -j- 3 + . . .-j- п).
§ 4. н а х о ж д е н и е п р е д е л о в
Л+
2И * - „ '™ ( т ^ +
- + < ^ 1 Т 7 .) -
( п з + 3Г5 + • • ■ + G-« - l ) ' ( 2 , . + i ) )
1
265'
{■ 266. Н тЦ -д -} .
Я-.00 * *г1
f 267.
Функция
n-юо —
2" + 1
непрерывного
аргумента
В задачах 268—304 найти пределы.
«268. l i m § ± | .
о 269. П т ( *3^
°
А -* 0 \
273. lim
Х-+—І *
■*
« 274. lim (x ~ *)V ‘Z ~ x
x —»i
+ І + і) .
*
/
«271. І і т
*®~3
х! 1 у г х/к+ ^ + Г
*270. Jim т -^ -.
X - * l 1—X*
- 272. І і т
JC—
►
1
*
275. lim
x 2— 1
*
°
8x? ~ l
i 6x2— 5 x ~ r 1'
-i
. 276. lim
X .+ 1 x 9 - x 2- x + l
■.
•: 277. lim (=-?- л->1 \ l - *
1 -* V
.
278' I1™ [* (■*—2)3 “ * * -ах + г]279- І ^ , [ г ^ ё г 4 + 3 i / - 1 , 4+2)]280. lim ^ j— ү (m и n — целые числа).
283' J™
284' ,'iS , r J S S -
28S- l mJ £
T -4
286- і і ^ ( з з Ь - Е Т г ) ’
287. lim
- ^ - ■ ) № ; + J + 2)l
x-*&№x + [
4x2
j
288. lim f r + i) “ + ( r + 2)» + ... + («+,ioqi“ <
X - .o o
*
+
III
289. lim y s m -yi - .
X-+00 l /& + X—X
2 9 ,. ,lm { ^ T 3 + y g = t
X- *4~00
2*
|/
J-1— X
m . Hm ! ^ Ң ~ Й ± І -.
X-.OO V^JC4+ 1—
1
292. 11ш У Я + 3 - У У + 4 .
x -»OQ
у дс^+1
36
Г Л . II. П Р Е Д Е Л . Н Е П Р Е Р Ы В Н О С Т Ь
Г 293. lim
Jt —
►
О
295. lim
ж—о Vх^-\-16—4*
, 297. lim
x - l іЛ* - 1
294. lim
x-m
Я2
296. lim
’ ж-*8
X—
►
В
х~ 5
298. lim V x + h ~ V *
A
-.0
A
ft-*U
299. lim
300. lim
x ~*0
x -»o
г/'х —1
302. lim — :— (n и /я — целые числа).
■*-*i у х — 1
303*. lim ^ t + g .- ^ V r 2*.
304. lim */ 7+ .л? - у [ з +*»
*+ *2
x -* o
* - ,1
* - i
305. Как изменяются корни квадратного уравнения ах2 + Ьх +
+ с = 0, когда б и с сохраняют постоянные значения (6 ^ 0),
а величина а стремится к нулю?
В задачах 306—378 найти пределы.
( 306. lim (У^х + а — х).
X”►
СО
с 308. lim ( V x 2+ 1 —x )* ).
x—>±oo
310.
8311.
_______________
307. lim (У х 2-|- 1 —l / x 2 — l).
X—СО
309. lim х ( У x2 + 1 —x).
x - . + oo
lim ( K ( * 4 a) {x + b) — x).
lim { V x 2— 2 х - 1 - У > - 7 л : + 3).
л-*±оо
312. lim ( К (* + I)2 - V (x - l)2).
ДС-ЮО
3
313. l i m ^ O / V + l - l / x 3- ! ) .
sin 3x
315. l i m * *
316. l i m S g .
*
tg 9x
317. lim sin 5x‘
JC-.0
sin (an)
318. lim (sin a)m
a-*-o
„„„ ..
2x —arcsin jc
2 arcsin x
319. lim
»
‘.'“
i+arctsxx—
»0 3x
314. lim
A-H)
*) В
п р и м е р а х , где
с л у ч а и х -»■+ сю и л
указано
— д а.
х -» -± :о о ,
сл едует
отдельн о
рассм атривать
§ 4. Н А Х О Ж Д Е Н И Е П Р Е Д Е Л О В
321. lim-!—
*->o x 2
322. lim-1- - c~ x .
x_ 0 xsin2AT
324. lim ?+ s!n* ~ cos* .
a —o
326. lim ja\ ~ cosaT .
a-* о ®—sln a
*328. lim
4\2
tg“
e -* o V ( 1 —cos a)2
« 325. lim ^ ~ 8,11a .
1 — sm * — cos*
*-.0
323. lim:
a3*
327. lim (-J----- -p- )*
x_ 0 \ slnjc
tfi*/
329. lim
C0SJC
n V 0 -»ln*)*
а
/
331. l i m ( f - * ) t g * .
—
332. lim
a
л
1
* 333. l i m ( l - z ) t g ^ .
___
2
334. lim ^ s in ^ -j ^ t g ^ .
„ - ,a \
—►1
335. lim
^
„
*
cos* — sin a:
cos 2л; *
*"*7
336. lim
s m fVx — -j6 A/
337. lim
1 — sin
sin 2“
*
338. lim ( 2 x t g x -----2 - 1 .
339. lim S S <*+«>
а
340. lim co sax -c osp*.
341. lim rin(fl + * )-rin (B- x )
я \
X-+ —
Ь
x~0
342. lim
« -Р
COS x j
*
X
л ->о t g ( a + x ) - t g ( a - A : )
«а- В а
343. l i m sin (a + 2/i) — 2^sin (a + ft) + sin_a^
344. lim tg(a + 2f t ) - 2^ ( a + ft) + tga>
345.
346. lim
.. l/" 14- a; sin л; —V cos 2x
347. lim -——-------- ;---------- .
x
..
1 - cos * / c o s 2*
348. Hm ---------—г
x -*■0
2
349. ||m Г І +
. Г
С
Ц
-..rcgjj;.
x -* 0 / 1 — arcsin 2x — У 1 + arctg 2л:
..
У it —/a r c c o s х
350*. lim -— - 7= = -----•
л:-* —1
V *+ I
/I
ГЛ . II. П Р Е Д Е Л . Н ЕП РЕРЫ ВН О С ТЬ
351
t -> оо
*-и
1\ х
353. l i m( l + -M х .
X —* СО '
1
-_
/,
,
k \тя
* 354. lim (l + X
х —>со V
Х 1
355- І ™ ( й - 2 Г ' ' -
35\ ' L mJ M
357. lim
358.
359. lim ( ^ ~ ) \
х—
»+ оо\ * * /
360. lim
X—
юо V
З6'-«?И(1+^Г-
зв2-і™ (^Ш
363. lim (1 -f- sin x)cosecje,
)
‘ •
lim (Д±Д
^/
t 364. lim (j
X -» 0
X -+ 0
6
r
/
365. l i m ! £ l i ± ^ .
366. liin-ln- ^ +- ) — n ? .
x -* 0
■*
x -»о
*
367. lim [x [ln (x + a) — lnx]}.
X —* OO
368. lim
^ЗбЭ. l i m ^ i .
X-»*
*~ e
Һ-+ о
'371. lim ^ = r e.
' 372*. lim
x_ 1X - l
J i n 2x
x^ 0
s in *
к
376. 1і тл:(ех — l ) 1
* -o
je —0
sin *
_a x _ pb x
375. l i m?----- — .
х-*й
377. lim (chx —sh*).
X-+ + CQ
X —►OO
3*
373. lim — - g~*.
X2 ,
i
374. l i m - ------- -— .
x-<-o
^370. lim
A
x
378. lim thjc.
x —*■+ oo
Разные пределы
В задачах 379—401 найти пределы.
(ах -4-1 )п
379. lim ■ д ' ■. Отдельно рассмотреть случаи, когда п есть:
х-*оо х \ А
1) целое положительное число, 2) целое отрицательное число,
3) нуль.
380. lim х ( У х 2- \ - У х * + 1 —хУ~2\.
X—*■І СО
'
381. lim
X-»
T 11
* - » 4+- oCO
oU
w “Г
383. lim ^— .
(-»00 *
'
( а > 0).
382. lim
X-+±CQ
x-+-t-_oou
*
384. lim arctg *
(а > 0)-
39
§ 4. Н А Х О Ж Д Е Н И Е П Р Е Д Е Л О В
385.
li m £±J*L?.
3 86.
х —woo * 4~co$ x
пх
g 2
sin (a -f- 3ft) — 3 sin (a + 2ft) + 3 sin (a-f- h) — sin a
л-*о
W
388. lim tg2x ( y 2 sin2x + 3 s i n x + 4 —l/s i n 2* + 6 sin л;+ 2).
x —*n/2
389. lim 1 ~~cos(^'~cosx\
x -* 0
390*. lim ( c o s c o s 4 - . . . cos
*
л -« Л
391. lim хг fl —co s-1-).
* - .C O
K 1
'
2
4
1 '
392. lim (cos У x + 1 — cos У x).
X —. CO
393*. lim JC(arctg
394. lim x (arctg
X—
*oo
396,
\
lim
f
X~T*/
(n > 0).
*-+4-oo \
ono
arctg —
л -t-Z
x -*Q
X
397*. lim (cos x f iil
x' !
*-»0
Jncos*
onn
398. lim — — .
* - .0
395*. lim ■- 51.пж~ аГс{1 і .
^sin K\X— Sin*
399. lim ——)
*
*-*0 '
J_
400. lim (cosx-|-sin;t)* «
'
X -*Q
X —*■Ө
Сравнение бесконечно малых
402. Бесконечно малая величина и„ принимает значения
,
и 1 — 1,
1
Ui — 21
1
з • • • ■ * Мп
1
n 1 ■• • 1
а бесконечно малая величина va — соответственно значения
.
Vi
1
1,
1
V%
2! •
1
— 31’ * * * *
л 11
Сравнить ип и vn\ какая из них высшего порядка малости?
403. Функция ип принимает значения
п
U1 — U,
а функция
Ui
3
g~,
8
U3 271 • ■■ >
_ n 2— 1
I • ■■1
— соответственно значения
о
Уі —2,
5
i»2—"g-.
10
V3 —27»
л 2- Н
Vn----- Лз~'
С равнить эти б еск о н еч н о малы е величины .
404. Бесконечно малая величина ия принимает значения
п
H i — U,
Й2 —
1
1
|
t
401. lim (co sx -|-a sin 6;t)*.
М3
2
Ы/І
« -1
j » •• • I
40
ГЛ. II. П РЕД ЕЛ . НЕПРЕРЫ ВНОСТЬ
а бесконечно малая величина vn — соответственно значения
о
t>i = 3,
5
i>2= -4-,
7
v3= g , . . . ,
2п + 1
и„=—
Убедиться в том, что ип и vn — бесконечно малые одного порядка,
но неэквивалентные.
405. При х -»-1 функции
и у = \ — У х бесконечно
малы. Которая из них высшего порядка малости?
406. Дана функция у = х3. Показать, что Ду и Ах при А х-уО
и при х ф О являются бесконечно малыми одного порядка.
Проверить, что при х —0 величина Ау бесконечно малая более
высокого порядка, чем Ах.
При каком значении х приращения Ах и Ау будут эквива­
лентными?
407. Убедиться в том, что при л: ->• 1 бесконечно малые вели­
чины 1 — х и 1 — У х будут одного порядка малости. Будут ли
_____
_
они эквивалентными?
408. Пусть х -vO . Тогда У а + х :‘ — У а ( а > 0) будет беско­
нечно малой величиной. Определить порядок ее относительно х.
409. Определить порядок относительно х функции, бесконечно
малой при х -* -0:
1) x3- f ЮООх2;
2) У х * - У х ;
3)
1+ К *
4)
jc
—
1~-1
410. Доказать, что приращения функций и = а У х и v = bx2
при х > 0 и при общем приращении А х - у 0 будут одного порядка
малости. При каком значении х они будут эквивалентными (а и
Ь отличны от нуля)?
411. Показать, что при х-*-1 бесконечно малые величины
1 —л: и c ( l —\ ^ х ) , где а Ф 0 и к — целое положительное число,
будут одного порядка малости. При каком значении а они будут
эквивалентными?
412. Доказать, что при х - + п / 2 функции secx — tg x и л — 2х
будут бесконечно малыми одного порядка. Будут ли они эквива­
лентными?
413. Доказать, что при *-*-0 бесконечно малые величины
егх__ех и s in 2x — si n* будут эквивалентными.
414. Определить порядок относительно х функции, бесконечно
малой при х —>-0:
I ) У Ц - і а- — 1; 2) У \ + 2 х - 1 - У х ; 3) ev * - \ ; 4) esinx- l ;
5) 1 п ( 1 + У xsi nx);
8) e*2- c o s x ;
6) У 1 + * 2t g y ;
9) c o s x - |/ c o s x ;
I I ) ln (1 -hx2) — 2 |/A(e-V— l)2;
7) e * - c o s x ;
10) s i n ( K l " - f x - l);
12) arcsin ( / 4 + x2- 2).
41
§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ
Некоторые геометрические задачи
415. Дан правильный треугольник со стороной а\ из трех
высот его строится новый правильный треугольник и так п раз.
Найти предел суммы площадей всех треугольников при я-*-оо.
416. В круг радиуса R вписан квадрат, в квадрат вписан
круг, в этот круг опять вписан квадрат и так я раз. Найти пре­
дел суммы площадей всех кругов и предел суммы площадей всех
квадратов при п-+со.
417. В равнобедренный прямоугольный треугольник, основа­
ние которого разбито на 2я равных частей, вписана ступенчатая
фигура (рис. 15). Доказать, что при неограниченно возрастаю­
щем п разность между площадью треугольника и площадью сту­
пенчатой фигуры бесконечно мала.
Рис. 15
Рис. 16
418. В равнобедренном прямоугольном треугольнике, катет
которого равен а, гипотенуза разделена на я равных частей и
из точек деления проведены прямые, параллельные катетам. При
этом получается ломаная AK LMN OPQ RTB (рис. 16). Длина этой
ломаной при любом я равна 2а, значит, и предел ее длины ра­
вен 2а. Но, с другой стороны, при неограниченном возрастании я
ломаная неограниченно приближается к гипотенузе треугольника.
Следовательно, длина гипотенузы равна сумме длин катетов.
Найти ошибку в рассуждении.
419. Отрезок А В длины а разделен я точками на равные
части, и из этих точек проведены лучи под углами я/2и (рис. 17).
Найти предел длины получившейся ломаной линии при неограни­
ченном возрастании я. Сравнить с результатом предыдущей задачи.
420. Отрезок АВ длины а разделен на я равных частей. На
каждом частичном отрезке построена дуга окружности, равная
л /n радиан (рис. 18). Найти предел длины получившейся линии
при /I—>-оо. Как изменится результат, если на каждом частичном
отрезке будет строиться полуокружность?
421. Окружность радиуса R разделена я точками М и М 2, . . .
. . . . М„ на равные части. Из каждой такой точки проведена дуга
42
Г Л . II. П Р Е Д Е Л . Н Е П Р Е Р Ы В Н О С Т Ь
окружности радиуса г до пересечения с дугами, построенными
в соседних точках (рис. 19). Найти предел длины получившейся
замкнутой линии при неограниченном возрастании п.
422.
Два круга с радиусами R и г ( R > г) касаются в начале
координат оси OY и расположены правее нее (рис. 20). Какого
порядка относительно х при х-*-0 будут бесконечно малый отре­
зок М М ' и бесконечно малый угол а?
А
В
Рис. 17
Рис. 18
423.
Центр окружности соединен отрезком прямой ОР с точ­
кой Р, лежащей вне окружности. Из точки Р проведена каса­
тельная Р Т к окружности и из точки Т опущен перпендикуляр
T N на прямую ОР. Доказать, что отрезки А Р и AN, где А —
точка пересечения прямой ОР с окружностью, — эквивалентные
бесконечно малые при Р - + А .
Рис. 19
Рис. 20
424.
В конечных и в средней точках дуги АВ окружности
проведены касательные и точки А и В соединены хордой. Д ока­
зать, что отношение площадей образовавшихся при этом двух
треугольников стремится к 4 при неограниченном уменьшении
дуги АВ.
Вычислительные задачи
425.
Исходя из эквивалентности при х - у 0 функций V i + x —
и ү х , вычислить приближенно: 1) V^OS; 2) ^ 9 1 2 ; 3) 1/2 6 0 ;
4) К 1632; 5) у щ . \ 6) V о ,021.
l
$ 4. НАХОЖ ДЕНИЕ ПРЕДЕЛО В
43
426. Показать, что при * - > 0 функции y ^ l + x — 1 и х]п —
эквивалентные бесконечно малые. Воспользоваться этим для при­
ближенного вычисления корней: 1)
1047; 2)
8144; 3) У 1,1;
4) \ / 1080. Найти значение этих же корней с помощью логариф­
мических таблиц. Сравнить результаты.
427. Использовать эквивалентность 1 п (1 + х ) и х при х-»-0
для приближенного вычисления натуральных логарифмов следую­
щих чисел: 1,01; 1,02; 1,1; 1,2. Найти десятичные логарифмы
этих же чисел и сравнить с табличными данными.
ГЛАВА
III
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Производная. Скорость изменения функции
Некоторые
задачи физики
428. Дано уравнение прямолинейного движения точки:
s = 5t + 6.
Определить среднюю скорость движения: а) за первые б секунд,
б) за промежуток времени от конца 3-й до конца 6-й секунды.
429. Точка М удаляется от неподвижной точки А так, что
расстояние AM растет пропорционально квадрату времени. По
истечении 2 мин от начала движения расстояние A M равнялось
12 м. Найти среднюю скорость движения: а) за первые 5 мин,
б) за промежуток времени от t = 4 мин до t = 7 мин, в) за про­
межуток времени от t =
до t = t%.
з
430. Дано уравнение прямолинейного движения: s = ^3 + y .
Найти среднюю скорость движения за промежуток времени от
i = 4 до / = 4 + А^ полагая Д/ = 2; 1; 0,1; 0,03.
431. Свободно падающее тело движется по закону s = - ү , где
g ( = 9 ,8 0 м/с*) есть ускорение силы тяжести. Найти среднюю
скорость движения за промежуток времени от / = 5 с до (/ + Д/)с,
полагая A t = 1 с; 0,1 с; 0,05 с; 0,001 с; найти скорость падающего
тела в конце 5-й секунды, в конце Ю-й секунды. Получить фор­
мулу для скорости падающего тела для любого момента времени t.
432. Имеется тонкий неоднородный стержень АВ. Длина его
L = 20 см. Масса отрезка A M растет пропорционально квадрату
расстояния точки М от точки А, причем известно, что масса
отрезка ЛМ = 2 см равна 8 г. Найти: а) среднюю линейную
плотность отрезка стержня A M — 2 см; б) среднюю линейную
плотность всего стержня; в) плотность стержня в точке М.
433. В тонком неоднородном стер ж н е АВ д л и н ой 30 см масса
(в граммах) распределена по закону /я = 3/24-5/, где / —длина
части стержня, отсчитываемая от точки А. Найти: 1) среднюю
л и н ей н ую п лотн ость стержня; 2 ) л и н ей н ую плотн ость: а) в точ к е,
5 1. ПРОИЗВОДНАЯ. СКОРОСТЬ ИЗМ ЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ
45
отстоящей от точки А на расстоянии / = 5 см, б) в самой точке А,
в) в конце стержня.
434. Количество тепла Q (в джоулях), необходимого для нагре­
вания 1 кг воды от 0 до t°C, определяется формулой
(2 = 4186,8 (t + 0,00002^ + 0,0000003/3).
Вычислить теплоемкость воды для <= 30°, <=100°.
435*. Угловую скорость равномерного вращения определяют
как отношение угла поворота к соответствующему промежутку
времени. Дать определение угловой скорости неравномерного
вращения.
436. Если бы процесс радиоактивного распада протекал равном ер н о , т е г т ю я с к о р о с т ь ю р а с п а д а с л е д о в а л о бы п о н и м ать к о л и ч е ­
ство вещества, разложившегося в единицу времени. На самом
деле процесс протекает неравномерно. Дать определение скорости
радиоактивного распада.
437. Сила постоянного тока определяется как количество
электричества, протекающее через поперечное сечение проводника
в единицу времени. Дать определение силы переменного тока.
438. Термическим коэффициентом линейного расширения стержня
называют приращение единицы его длины при повышении темпе­
ратуры на 1 °С, если предположить равномерность теплового рас­
ширения. На самом же деле процесс протекает неравномерно.
Пусть / = / ( 0 , где / —длина стержня, / —температура. Дать
определение коэффициента линейного расширения.
439. Коэффициентом растяжения пружины называют прираще­
ние единицы длины пружины под действием единичной силы,
действующей на каждый квадратный сантиметр сечения пружины.
При этом предполагается пропорциональность растяжения дейст­
вующему усилию (закон Гука). Дать определение коэффициента
растяжения k в случае уклонения от закона Гука. (Пусть / —
длина пружины, S —площадь поперечного сечения, Р — растяги­
вающая сила и / = <р(Р).)
Производная функция
440. Найти приращение функции у = х3 в точке Хх = 2, полагая
приращение Ах независимой переменной равным: 1) 2; 2) 1;
3) 0,5; 4) 0,1.
441. Найти отношение
1) у = 2х3 — х2 + 1 при
2) </= ү
при
для функций:
х = 1;
Аде = 0, 1;
х = 2;
Ах = 0,01;
3) У = У х
при х = 4;
Дх = 0,4.
Показать, что при Дх ^ 0 предел этого отношения в первом
случае равен 4, во втором равен — 1/4, в третьем равен 1/4.
4в
г л . 111. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
442. Дана функция у = г*. Найта приближенные значения
производной в точке х = 3, полагая последовательно Ах равным:
а) 0,5; б) 0,1; в) 0,01; г) 0,001.
443. /(*) = **; найти ? (5); / ' ( — 2); f (— 3/2).
444. /(х )= л » ; найти / '( l ) ; ¥ (О); / ' ( - ^ 2 ) ; /'(1 /3 ).
445. / (х) = х2. В какой точке / ( х ) = /'( х ) ?
446. Проверить, что для функции f (х) = хг справедливо соотношение f '( a + b) = f ' ( ( f r ) . Будет ли это тождество справед­
ливым для функции f(x) = x*?
447. Найти производную функции # = si nx при jc = 0 .
448. Найти производную функции y = lgx при х = 1 .
449. Найти производную функции у = 10х при х — 0.
450. Известно, что /(0 ) = 0 и существует предел выражения
при х-*-0. Доказать, что этот предел равен / ' (0).
451. Доказать теорему: если f(x) и ф (х ) при х = 0 равны нулю
[/(О) —0, ф (0) = 0] и имеют производные при х = 0 , причем
ф' (0) ^ 0 , то
цт М = ГМ
q>w
452. Доказать, что если f(x) имеет производную при х = а, то
lim ?lAa)_r ^ W z = f( a ) ~ a f (а).
453. Доказать, что производная четной функции есть нечетная
функция, а производная нечетной функции — четная функция.
Геометрический
смысл производной
454. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной
к параболе t/ = x2: 1) в начале координат; 2) в точке (3, 9);
3) в точке (— 2, 4); 4) в точках пересечения ее с прямой у =
«= Зх — 2.
455. В каких точках угловой коэффициент касательной к куби­
ческой параболе у — х3 ,равен 3?
456. В какой точке касательная к параболе у = хг: 1) парал­
лельна оси Ох, 2) образует с осью Ох угол 45°?
457. Может ли касательная к кубической параболе г/ = х3
составлять с осью Ох тупой угол?
458. Под какими углами пересекаются парабола у = хг и пря­
мая Зх — у — 2 = 0?
459. Под какими угл ам и п ер есек аю тся п ар абол ы у = х2 и
уг = х?
46Q. Под каким углом пересекается гипербола у = \ ( х с пара­
болой у = V x t
s 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
47
461. Написать уравнения касательной и нормали, проведенных
к кривой у = х3 в точке с абсциссой 2. Найти подкасательную
и поднормаль.
462. При каком значении независимой переменной касательные
к кривым у = х2 и у = х3 параллельны?
463. В какой точке касательная к параболе # = jc*: 1) парал­
лельна прямой у = Ах — 5; 2) перпендикулярна к прямой 2 х —
— 6г/ + 5 = 0; 3) образует с прямой Зх — г / + 1 = 0 угол 45®?
464. Доказать, что подкасательная, соответствующая любой
точке параболы у = ахг, равна половине абсциссы точки касания.
Используя это обстоятельство, дать способ построения касатель­
ной к параболе в данной ее точке.
465. Доказать, что нормаль к параболе в любой ее точке
служит биссектрисой угла, составленного фокальным радиусом
точки и прямой, параллельной оси параболы и проходящей через
данную точку.
§ 2. Дифференцирование функций
Степенные функции
В задачах этого раздела х, у, z, t, и, и, s —независимые пере­
менные; а, Ь, с, d, т, ti, р, q — постоянные.
466. Продифференцировать функцию:
1) Зх2 — 5х-(-1; 2) х* — у л3 + 2,5х2 —0,3* + 0,1; 3) ах2-\-bx-\-c\
4) у ^ + У 2 ; 5) 2 У Т - 1 + т^З; 6) 0
_ х , п , дс2 , т*
7' п "*■ х + trfi "г *2 >
отдс2 , пх Ух
у- +
,
8
рУх.
X
^
^ ;
Q. виЧ-лг-И в
Р+ Я
’
2
10) 0, 1Г з - ^
+ М ;
13) ( у + I)2 (у — 1);
16) ( - ^
11) (X —0,5)2;
14) 0,5 — 3 (а —х)2;
12) У х ( х * - У х + \);
15)
) \
467. f(x) = З х - 2 У х ; найти / ( 1); f ( 1); /(4); /'(4 ); /( а 2); /'(а*).
468. / ( 0 =
469. / (г)= 2М
найти / ( - 1); / ' ( - 1);
(2); / ' ( 1 ) .
± К Ь 1; найти
470. /(х ) = 4 — 5*-}-2х* —лс*. Показать, что
f ’ ( a ) = f ' ( — а).
В задачах 471—489 продифференцировать указанные функции.
і
ГЛ. I I I . П РО И ЗВО Д Н А Я и ДИ Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л
471. 1) у - ( х 2 — Зх-\- 3) (хг + 2х — 1);
2) у = (хз-З л г + 2) (** + * * - 1); 3) *, = ( / 7 + l ) ^ , - l ) ;
4) У==(^ ~ ^ )(4дг^ +^ ) ;
5) у = ( У х + 2 х ) { \ + Ү х ъ + 2>х)\
6 ) у = ( хг - 1 ) (л-2 - 4 ) ( ^ - 9 ) ;
7)
уЧ
__
1 + 7 /* )(1 + К 2 * )(1 + 1 /3 * ).
х
472. у^ = д;
^—
1 I.
473. у = **+7‘
474. s =
3/2+ 1
/—1 ‘
475. и =
476. */ =
ах+Ь
cx-{- d'
477. z =
478. ы =
480. y =
482. у
xfi
v3 — 2 '
2_
-а r; 3z -iГ
I-* 3
484. s
/я
1
479. y -
: 1 + JC 3-
481. u =
483. 2 =
485. у =
486. у
ifl — 2v
oz+ t ) + I ‘
*a+ i
+ (* * -!) ( I -* ).
3 C*2 — l)
l — 3&
£/a — V - f - I
02 — 3
I
*2+ * + l 2x*
b2 — x*'
( t —xa) ( l —2*®)'
дс3+ 1 ’
c . , _ адс Ч~
чоо> *
am + bm2‘
4 0
------a
(x — a ) ( x — b ) ( x — c Y
490. /(x ) = (x2 + x + 1)(* 2 —x + 1); найти /'(0 ) и /'(1 ).
491. F (x) = (x — 1) (x — 2) (x — 3); найти Ғ' (0), Ғ' (1) и Ғ' (2).
492. F (*) = 7 ^ 2 + ^ ц г г найти Ғ' (0) и Ғ' (— 1).
493. s (/) = гД у + у ; найти s' (0) и sf (2).
494. у (х) = (1 + х3)(5 —
495. р (ф) = 7^ ;
найти у ' (1) и у'(а).
найти р ' (2) и р ' (0).
496. ф(г):
1+ г ; найти ф '( 1).
497. z ( t ) — ( y t 3 - \ - \ ) t \ найти г ' (0).
В задачах 498—513 продифференцировать данные функции.
498. 1) (х —а)(х —b)(x —с)(х —d); 2) (хг+ 1 ) 4; 3) (1 —х)2(
4) (1 + 2х)30; 5) (1 —х2)10; 6) (5х3 + х2-4 )» ; 7) (x3- x ) s;
8) (7 л * - 4 + в ) ’ ;
9) , = ( Р - ± + 3 ) ' ;
10) » = ( г ± і ) \
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
11) у = ( i q p j ) ’ ;
12) у — (2х3 + 3** + 6 х + 1)*.
499-
m
1 4 -l^ jt
•-Щ Т ,-
u=={jzzi]
504. s = ( l - 2 * > ) •
•
®®®'
,. ...
=■
510. y = y- ri =_ =x .
~ ~
512. и = ------, - ■—.
______
■■■813;
и’—t-h 1)**
^8- >=VтЬ-
я»7д>509. ya =
1 — i / 2 j»
m ■у = ч һ [ t
503. s -K T ^ J 5.
e>505.
‘ =<га?-
enn
r r = ^ = + tt= ^ = .
V ' / 2л:- 1
К (x2+2)*
514. u(t») = (y2+ y + 2 ) 3''2; найти и'(1).
515. у(х) = у Г^ з -J; найти г/' (2).
516. t/ (дс) =
найти £/' (0).
Тригонометрические функции
В задачах 517—546 продифференцировать данные функции.
517. j/ = sin * -)-c o sХг
519. у = - ^ .
52і.г = ^a
©520. р = ф sin ф -f- cos ф.
+ -sin
? ~а .'
rn o
X
523. Jг/ = -sin
---;------ .
x+ cosx
525. г/ =
518. y = i _ *со- -
522. si =— 1 + co s Г
__ .
X sin X
*> 524.
у1 =-f- tg, JC
. .п .
J
cos2 jc.
526. t/ = ~ t g 4^.
527. y = c o s x — - ^ c o s 3x.
*528. г/= 3 sin2л: — sin8*.
529. у = ү t g3x — t g x + x .
530. y = x s e с2лг —tgjc.
531. у = sec2x + cosec2 x.
533. у = a cos
532.
= sin Здт.
e 534. y = 3sin (Злг+5).
ГЛ. III. П РО И ЗВ О Д Н А Я
и ДИ Ф Ф Е РЕ Н Ц И А Л
535. у — tg —t —,
536. у — У 1 2 tg х«
537. vw= si n—.
X
538. у = sin (sin х).
539. j/ = cos34x.
540. y = y t g y .
541. g = s \ n \ r \-\ -x2.
542. у = сt g y f l + x 2-
543. t / = ( l + sin2x)4.
544. y = Y
м5-
546. у = sin2 (cos Зх).
Ш-
i+ tg ^+ l).
547. Вывести формулы
(sin"x cos nx)' = n sin”-1x CO S (rt + 1) x;
(sin" x sin пхУ = n sin"-1 x sin (n + 1) x;
(cos" x sin nx)' = n cos”-1 x cos (n + l)x ;
(cosnx cos nx)' — - П cos'1-1 X sin (n + 1) X.
Обратные тригонометрические функции
В задачах 548—572 продифференцировать данные функции.
548. у = х arcsin х.
550. у = (arcsin х)2.
552. у = -arcsin
1 х
554. у =
arccos х
arcsm х
549. у = arccos х*
« 5 5 1 . г/ = х arcsin х + У I — хг.
553. y = x s in x a rc tg x .
555. у — У х arctg х.
556. р = (arccosх + arcsinх)п.
557. y = arcsecA:.
559. у =
v
arcsin х
, - —.
У 1— х*
558.
у-
•'560. у-
■arctg х.
arctg х '
2х— 1
561. у = arcsin (х — 1).
562. у — arccos
563. у = arctg х*.
564. у = arcsin - .
565. у — arcsin (sin х).
566. у = arctg2 *-.
567. у =
У \ — (arccos х)2.
569. у — j
У arcsin Ух2+ 2х.
Уз '
568. у = arcsin | / "
S 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЯ
с>7л у.. = arcsin -----------:—
япайяде .
570.
J
571. у = arccos * І£ £ 2 І*
*
а +ftcoea
1 — сое a sin х
14-jc2).
572. у-.
f=arctg(x — Y
Логарифмические функции
и
э а д а п а л
"- ■
В
задачах
573—597
продифференцировать данные функции,
573. уi/ =
= хjcalog3x
2 log3.v.
574. уу == In2
Ы?х.
j. 575. у = x l g x .
n 576. y = j/ln a :.
u j u
т -ц -ъ г,-
578. # = л: sin * Inn.
57«- у = т к 1—ІПДС
581- 0 = 7 + iH V
583. г/ = лг" In д:.
585. г/ = 1п(1 — 2х).
587, у = In sin лг.
589. y = Intgx.
591. г/ = ln^sin л:.
593. г/ = (1 + In sin jc)".
580. г/ = - ^ - .
- on
_ on
584.
«586.
588.
590.
592.
594.
595. у = In arctg Y 1• - f x2,
Гп x
la x
У = ~і+ * y = Y 1 + In3 jc.
y = ln (дг2 — 4л:).
y = \oga (x2~ 1).
у= m
In arccos 2x.
2x
у = arctg [In (a* + 6)].
у - lo g 2 (lo g s (logs x)].
596. # = arcsin2 [ln (a3- f x3)).
597. у = У l n s i n ^ p .
Показательные функции
В задачах 598—633 продифференцировать данные функции.
598. у
599. у — 10*.
х
601. у =4*«
602. у
604. у = J .
5. у
ЛЛО
х • 10*
х3+ 2 *
COS X
608. y = - j r ,
607-
600. у ==3**
603. у = хех.
606. у = е*сosjc.
х
609. у - - 21пЛ?*
612. у = (хг — 2х + 3)е*.
611. y = Vr l + e Js.
613. у- — j!■+«*
_ gX.
с ,л
1—10*
Ы 4. у —
615. у - f a .
616. i/ = xe*(cos.x: + sinx),
617. у = е~х.
619. у = е* * + Ч
610.
У =
х3- 3х .
618. у = Ю2* '3-
51
52
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФ Ф ЕРЕНЦИАЛ
620.
622.
624.
626.
628.
y = s i n (2Jf).
y = a sWx.
г/ = 2зг.
у = sin (e*+**-*).
y = ev има*+ <*+*).
630. y = ae~b"x\
632. г/ = 4 e - * !j(sin(<ox-fa).
621. y = 3sinx.
623. ^ = :^ arcsin2*.
625. =
627.
10l- sin' 3;c.
< 629> j/ = in s in j / arctge:i.v.
631. у = х2е~хгіа\
633. y — axx?.
Гиперболические функции
В задачах 634—649 продифференцировать данные функции.
634. у = sh®х.
635. у = In ch * .
636. 1/ = arctg (th л:).
637. і/ = th (1 — X е ) .
638. i/ = sh2* 4- ch2jc.
639. t/ = ch (sh х).
640. y = Y c h x .
642. i/= th (lnx).
641. y = &h,x.
643. y = x sh x
644. у = i / ( l + t h ^ ) 3.
645. у = i th I - 1 t t f
сяс
, V 1-t-thJC
646. t f = l / T~
.
с„
1 iU ,
l+ /2 th *
647. tf = —th ^ -f-1—-In — —
648. у — —ch 2x
649. у = xV * csch x.
а
V
1—thX
У х sh 2x.
— chx.
» 2
8
1—/ 2th*
Логарифмическое дифференци рование
В задачах 650—666 продифференцировать данные функции,
используя правило логарифмического дифференцирования.
650. у = хх\
652. y ^ i s i n x ) ™ * .
654. у = (х-\-\)У*.
651. у = х*х.
653. у = (1пх)*.
655. {/ = x3e**sin2x.
656.
657' У = х 'п*-
658.
659. y = Y x s \ n x V \ - е*•
у
т ^ (х -3 )2
660. у = V
а
г
1-Та-Г— •
1 + arc sin х
661. у = х«х.
662. у = Х * " х.
663. у = ( т ^ ) •
664. у = 2х ^х.
665. y = (*2+ l ) sln*.
у
66b. у„ — * Л Ғ + І )
53
і 2. ДИФФ ЕРЕНЦИРОВАН ИЕ ФУНКЦИИ
Разные функции
В задачах 667—770 продифференцировать данные функции.
* 667. у = { 1 + У х ) \
668
669. у = У l + V 2 p x .
671. у = lg(x — cosx).
и 670. у = arctg (x2 — 3x -f- 2).
672. # = 3 co s2* —cos3*.
673. </ = 5 t g | + t g | .
0 674. 0 = ,— L = .
V x+Vx
675. t/ = sin у sin 2x.
676. y = sinxeCOSK.
677. y = x6y/ ' x « - 8.
678. y = e - x' \ n x .
679. U =
?680. у = arctg x - l *
2 sin2jc
682. y - cos 2* ‘
_ ->2*+3
681. y =
e
1683. y = ~7= arctg
*
Кз
.tg f+ ctgl
x /3
684. у —
i-* a
685. f/ = sin2y c tg |- .
=
686.
■
688.
t/ = x arctg У х .
690.
у = cos 2x In jc.
691. y = j arctgx + | a r c t g ^
692.
</ = arcsin (n s in x).
693. y = arcsin ] /s in x.
694. t/=
695. у = x — У 1 — x2 arcsin x.
696.
697. y = V x + V
698. у = arccos У 1 — Зх.
687. y = \ n ( x - \ - У a2
x2).
>689. у = У 1 + tg2 x + tg4 x.
Х+
У
x
.
699. y = sin2^1- J —■
701. y = arctg j /
1 —X
!+*■
703. у = x arcsin (In x).
705.
t/ = c o s x ] / l + s i n 2 A:.
sia®3x— 2^sins3x.
„„„
„ arcsin x
у=
COS
2— •
700. у = log3 (я2 — sinx).
702. y = \ n -
X +
V l - X *
X
1 —ex
704- !/“ tg f + F •706. у = 0 ,4 (c o s 2*"*’ 1 ■sin 0 , 8 x ) \
707. y = x - 10»"*.
708. У —tg22x
709. t/ = In arctg
710. y = In
1
x
+ V jP — I
54
ГЛ. III. П РО И ЗВ О Д Н А Я И Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л
т .
> = У \ + х У х + 3.
712. р = х2) Л + ] Л с .
713.
'= - = *. — .
714. w= x3arctgx3.
715. у =
У l + sin2x
In sin -SC
а
*
r \ ------------5
717. у ~ - l _ 4 'x •
7 ,6 « У = arcsm x + y i - x 2.
1
_ .0
Tn718- ^ = elnJC.
719. у = l n ± = ^ .
720. y = \ 0 * l8x,
721. у = s i n a x s i n x 2.
722. у
arcsin 4*
723. у =
2 cosjc
/ c o s 2x
V 724- y = \ l n \ ± ^ x - \ a r d g x .
725. у = 21пх>
726. у = V (а —x) (x — b) — (a — b) arctg j / ^
^ 5— — .
727. у = 20—
sma x cos x
728. у3 = У ' \ + *.
729. у = У a2 — x2 — a arccos —.
730. у
731. £
1 + ctg x ' 1 -(- tg x '
732. у = ln (x + ] / x 2 — l ) ---- 4
r
1
Yx* - 1
.
733. у = eaJC(a sin x — cosx). 734. y = xeI —cosx.
p—
736. у = г* (sin 3x —3cos3x).
735. £ = —
arctg e i x
v
'
737. у = 3x3 arcsin x + (xa -f 2) У 1 —x®.
738. г/ = ■ .
1 ■739. y = = 2 a r c s in ^ - ^ —l / 2 - f 4x —
V W ^
740. у = ln (e* cos x -f e- * sin x).
741. £/
^ 1 + x arctg x
I +
X2
742> y =
*
COS ( * —
COS X ) *
11
743. у = е*зіпхсо53х.
744. y = \ / 9-{-6j/x®.
745. у = x — ln (2ex -f- 1+ У e2x + 4ex -f-1).
e*’
746. г/
748. у = ln tg 42 - ctg X ln (1 + si n x) -
X.
55
§ 2. Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И РО ВА Н И Е ФУНКЦИЙ
749. у = 2 In (2л: — 3 У 1 — 4ха) —6 arcsin 2х.
750. «, =
+ In J/T + T * + a rc tg * .
751. у = у (3 —х) У \ - 2 х — хг -\-2 a r c s i n .
752. у = In (л; sin х V 1 —я2).
753. у = X \ f \ + х2 sin х.
754. x = V x + ^ 3r W .
755. y = Y ( \ + x e ^ f .
756. </ = - L * - № + > * + .
sin д: , 3 sin х .
^ — 4oos4x
8cosax
758. y =
57
l + t g 2-
3 ,
8 П .
,
л:
1-tgy
759.
In5- ж
760. */ = * V V + aa)a + ^
57
(arccos x)3
^
ln(* + Vx * + a?).
761. y = x (arcsin x)2 — 2x -f 2 V I — x2 arcsin x.
762. t/ = In cos arct g—
.
1.
JC+ 1
*.
« 763.
1
arctg
, 2jc—1
'
764' » = ? ln v 5 = m + 7 f arctgW
765. » - in
УШ
=%Ш+2 arctg /f Е l+jc
* .
|/ 1-Ьл:-Ы/ 1—jc
766. j/ = (tg2x)
C tg —
® /"
**
767. y = y
у
tf"
768. y = I n l / " *2+ * +1 j\-----! _ / arct g ? 5 ^ ^ arctg
э
У x*-x+ l
2^3 \
/3
/3 У
769. i/ = arccos
ттл
У
x
, 1i
(1+ 2*)2 . У з „ i „ 4 x - l
1+8л* + 12 l - 2 * + 4*2 + 6
ctg у з '
771. Доказать, что функция у — In :■
_) удовлетворяет соотно1 -f~x
шению ху' + \ = е у.
772. Доказать, что функция
У = ү + ү х У х 2 + 1 + In } / * + ]Л ;2 -J-1
S.
удовлетворяет соотношению 2у = ху' + In у*.
ГЛ. 111. П Р О И З В О Д Н А Я И Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л
56
773. Доказать, что функция у ~ аг^ п * удовлетворяет соотноУ 1—х1
шению (1 —х2) у' — ху = 1.
774*. Вычислить суммы
а) 1 + 2х + Зх2-\-... + пх:'~1;
б) 2 + 2- Зх + 3- 4х 2 + ... + п ( п - \ ) х " - К
Обратные функции
775. Допустим, что правило дифференцирования степенной
функции установлено только для целого положительного показа­
теля. Вывести формулу дифференцирования корня, используя пра­
вило дифференцирования обратной функции.
776. х = £>arcsil1 и- найти выражение для ~ через у\ через
х.
777. t = 2 — 3 s + S3; выразить ^ через s.
__0
1 <
778. гг— 2
1+ v
проверить соотношение
du
dv
.
779. Зная, что функции arcsin ~\f х и sin2х — взаимно обратные
функции и что (sin2 л:)' = sin 2л:, найти ( a r c s in ] /* ) .
780. Обозначим функцию, обратную степенно-показательной
функции у = хх, символом а(х), т. е. положим, что из у — хх сле­
дует х = а (у). Найти формулу для производной от функции у =
= а (х).
781. Функции, обратные гиперболическим, обозначаются сим­
волами A rshx, Arch х, Arth х. Найти производные этих функций.
782. s = te~e', найти
783. у = |
- Выразить
du
ведливость соотношения ^
через х; через у. Показать спра-
dx
.
^ = 1.
784. х = у3 — 4г/ + 1. Найти
785. / = arcsin 2s. Найти выражение для ~
„
786. Проверить справедливость соотношения
через s; через І.
dy
dx
,
если х
и у связаны зависимостью:
1) у = х 2 + ах + Ь\ 2) у = х-п; 3) г/ = In (х2— 1).
Функции,
заданные неявно
787.
Убедиться дифференцированием в том, что производные
от обеих частей равенства sin2jt = 1 — cos2х тождественно равны
между собой.
$ 2. Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р О В А Н И Е Ф У Н К Ц И И
57
788. Убедиться дифференцированием в том, что производные
от обеих частей равенства
2 sin2 * — 1
COS X
. cos дг (2 sin х - \ - 1) _
1 sin X
,
тождественно равны друг другу.
789. Чему равен угловой коэффициент касательной, проведен­
ной к эллипсу ^- + ^ = 1 в точке ( 1, ^ 2 )?
790. Чему равен угловой коэффициент касательной к гипер­
боле ху = а (афО), проведенной в точке (а, 1)?
791. Чему равен угловой коэффициент касательной к окруж­
ности (х — 1)2+ («/ + 3)г = 17, проведенной в точке (2, 1)?
В задачах 792 — 812 найти производные функций у, задан­
ных неявно.
792. ~ + j j = 1•
793. х 1' 2 + у'<г = а'/2.
794. х 3 + у 3 — Заху = 0.
795. «/2cosx = a2 sin Зх:
796. у 3 — З у + 2 а х = 0.
797. у 1 — 2ху + Ь2 = 0.
* 798. х* ~г у* = x 2tf.
799. х 3 + ахгу + Ьху1 + у 3 = 0.
800. sin (xi/) + cos (j«/)=tg (я + у)л801. 2 Х+ 2 У= 2 Х+У.
802. 2 у \ п у = х.
803. х — r/=arcsin х—arcsin у.
804. ху = ух.
*805. г/ = cos (х-\- у).
806. cos (ху) — х.
807. jc2/:) -f у 2/3 а113.
808. у = 1 + х е у.___ ____________809. xsini/—cosy-f-cos2y=0.
810. t g - | =
j.
811. у sin x —cos (x —y) = 0 .
812. у = x -f arctg y.
813. Убедиться в том, что функция у, определенная уравне­
нием х у — \ п у — 1, удовлетворяет также соотношению
t? + ( x y - l ) d£ = 0 .
Применения
производной
814. На параболе у — х 1 взяты две точки с абсциссами хг = ] ,
х 2= 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке пара­
болы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей?
815. Через фокус параболы проведена хорда, перпендикуляр*
ная к оси параболы. Через точки пересечения этой хорды с па­
раболой проведены касательные. Доказать, что эти касательные
пересекаются под прямым углом.
816. Составить уравнения касательной и нормали к гиперболе
у — ]/х в точке с абсциссой х = — 1/2. Найти подкасательную и
поднормаль.
817. Показать, что отрезок касательной к гиперболе У = ~ ,
заключенный между осями координат, делится в точке касания
пополам.
58
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ и ДИФФЕРЕНЦИАЛ
818. Показать, что для гиперболы ху — а площадь треуголь­
ника, образованного любой касательной и координатными осями,
равна квадрату полуоси гиперболы.
819. Точка движется по прямой так, что ее расстояние s от
начального пункта через t с равно s = 1* — 4ta -f-16t*.
а)
В какие моменты точка была в начальном пункте? б) В ка­
кие моменты ее скорость равна нулю?
820. Тело массой 3 кг движется прямолинейно по закону
s = » l + / + /*;
s выражено в сантиметрах, t — в секундах. Определить кинетиче( то2 \
скую энергию (—^—) тела через 5 с после начала движения.
821. Угол а поворота шкива в зависимости от времени t задан
функцией а = £а + 3< — 5. Найти угловую скорость при / = 5 с.
822. Колесо вращается так, что угол поворота пропорциона­
лен квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 с.
Найти угловую скорость ю через 32 с после начала движения.
823. Угол Ө, на который поворачивается колесо через t с равен
Ь = а і г — Ы-\-с, где а, Ь, с — положительные постоянные. Найти
угловую скорость о) движения колеса. В какой момент времени
угловая скорость будет равна нулю?
824. Количество электричества, протекшее через проводник,
начиная с момента времени / = 0, дается формулой
Q = 2t* + 3 t + l (Кл).
Найти силу тока в конце пятой секунды.
825. На линии у = х2(х — 2)г найти точки, в которых каса­
тельные параллельны оси абсцисс.
826. Показать, что линия у = хъ-\-Ъх — 12 во всех своих точ­
ках наклонена к оси Ох под острым углом.
827. В каких точках линии у = х3-\-х — 2 касательная к ней
параллельна прямой у = 4 х — 1.
828. Составить уравнения касательных к линии у = х — ~х в точ­
ках ее пересечения с осью абсцисс.
829. Составить уравнение касательной к линии у = x3-f3x* — 5,
перпендикулярной к прямой 2 х — 6y - f l = 0 .
В задачах 830 — 833 составить уравнения касательной и нор­
мали к данным линиям.
830. у = sin я в точке М ( х 0, у0).
831. у = \пх в точке М (х0, у о).
ЗдО
832. у = 4a2Zf -2 в точке с абсциссой х = 2а.
833. у 2 = 2az_x (циссоида) в точке М (х0, у а).
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
»
834. Показать, что подкасательная к параболе п-го порядка
у = хп равна ~ й части абсциссы точки касания. Дать способ по­
строения касательной к линии у = х п.
835. Найти подкасательные и поднормали к линии у — х3-,
у 2 = х 3; ху 2 — 1. Дать способы построения касательных к этим ли­
ниям.
836. Составить уравнения касательной и нормали к параболе
х 2 = 4ау в ее точке (*<>, уа)', показать, что касательная в точке
с абсциссой х 0 = 2 am имеет уравнение х = ~--{-ат.
837. Хорда параболы у = хг — 2 * + 5 соединяет точки с абсцис­
сами *1= 1, х2 = 3. Составить уравнение касательной к параболе,
параллельной хорде.
*а_3x4-6
838. Составить уравнение нормали к линии у = -----^ Т в точке в абсциссой х = 3.
839. Составить уравнение нормали к линии у — — j / x + 2
в точке ее пересечения о биссектрисой первого координатного
угла.
840. Составить уравнение нормали к параболе у = х 2 — 6х + 6,
перпендикулярной к прямой, соединяющей начало координат с вер­
шиной параболы.
841. Показать, что нормали к линии у = х2 —х + 1, проведен­
ные в точках с абсциссами *1 = 0, х2 = — 1 и х 3 = 5/2, пересека­
ются в одной точке.
842. В точках пересечения прямой х — # + 1 = 0 и параболы
у = х 2 — 4х + 5 проведены нормали к параболе. Найти площадь
треугольника, образованного нормалями и хордой, стягивающей
указанные точки пересечения.
843. Показать, что касательные, проведенные к гиперболе у =
=
в точках ее пересечения с осями координат, параллельны
между собой.
844. Провести касательную к гиперболе
=
так, чтобы
она прошла через начало координат.
845. На линии у — -х + ^ найти точку, в которой касательная
параллельна оси абсцисс.
846. Найти уравнение касательной к линии
х2 (* + £/)= а 2 (х - у)
в начале координат.
847. Доказать, что касательные к линии у --
, проведен­
ные в точках, для которых у = 1, пересекаются в начале коор­
динат.
60
ГЛ. I I I . П Р О И З В О Д Н А Я и Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л
848. Провести нормаль к линии у = х 1пх параллельно прямой
2к —2// + 3 = 0.
849. Найти расстояние от начала координат до нормали к лич
нии у = е2х х 2, проведенной в точке х = 0 .
850. Построить график функции у = sin (2х —л/3) и найти
точку пересечения касательных к графику, проведенных в точках
с абсциссой Хі = 0 и х2 = 5л/12.
851. Показать, что у линии у = аеЬх (а и b — постоянные)
подкасательная во всех точках имеет постоянную длину.
852. Показать, что поднормаль линии у = х\п(сх) (с— произ­
вольная константа) в любой точке данной линии есть четвертая
пропорциональная к абсциссе, ординате и сумме абсциссы и орди­
наты этой точки.
1 ---------853. Показать, что любая касательная к линии у = ^ У х — 4х 2
пересекается с осью ординат в точке, одинаково удаленной от
точки касания и от начала коор­
динат.
854. Показать, что касательная к
У
li~
эллипсу а2 -f ьг = 1 в точке М (х0, у0)
1/
имеет уравнение ^ + ^ - = 1.
855. Показать, что касательная
fr h
0
кгиперболе ^ — bi = 1 вточке/И(х0,г/о)
ХХл
УУ о
.
имеет уравнение
856. Доказать, что нормаль к
Рис■ 21
эллипсу в любой его точке делит
пополам угол между фокальными ра­
диусами (рис. 21) этой точки. Вывести отсюда способ построения
касательной и нормали к эллипсу.
857. Составить уравнения касательных к гиперболе
— у = 1,
перпендикулярных к прямой 2х + 4г/ —3 = 0.
858. Через начало координат проведена прямая, параллель­
ная касательной к кривой в произвольной ее точке М. Найти
геометрическое место точек Р пересечения этой прямой с прямой,
параллельной оси ординат и проходящей через точку М.
Найти такие геометрические места для а) параболы у 2 = 2 рх,
б) логарифмики у = к щ ь х, в) окружности х 2 + у 2 = а2, г) трактрисы
,
г —,------5
,
а 4- V а 2 — х2
у ~ У а 1 —х 2 —a In — ----------.
В задачах 859 — 864 найти углы, под которыми пересекаются
данные лннии.
х -И
859. 1) у = Щ
„
___ х2+ 4jc+ 8
и у=-
16
§ 2. ДИ Ф Ф Е РЕ Н Ц И РО ВА Н И Е ФУНКЦИИ
£1
2) у = ( х — 2)2 и у = 4х — х 2 + 4.
860. 1) x2+ t/2 = 8 и у 2 = 2 х.
2) х2 у 2 — 4х = 1 и х 2 + у 2 + 2у = 9.
861. х 2 - у 2 = 5 и ^ + £ = 1.
862. х2 + г/2 = 8ал: и У2==2а—х '
ЯлЗ
863. *2 = 4ау и */ = ^ р 4Н2864. y = sinjc и у = cos* ( О ^ д с ^ п ) .
865. Составить уравнение касательной и нормали к линии
в точке с абсциссой, равной а.
866.
Доказать, что сумма отрезков на осях координат, обра­
зуемых касательной к кривой х11г + у 1>2 = а1/2, для всех ее точек
равна а.
867» П оказать, что отрезок касательной к астроиде д:2/3-f г/2/3 =
= я2/3, заключенный между осями координат, имеет постоянную
длину, равную а.
868. Доказать, что отрезок касательной к трактрисе
заключенный между осью ординат и точкой касания, имеет по­
стоянную длину.
869. Показать, что для любой точки М (х 0, Уо) равнобочной
гиперболы х 2 — у 2 = а2 отрезок нормали от точки М до точки пе­
ресечения с осью абсцисс равен полярному радиусу точки М.
870. Показать, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс каса­
тельной в произвольной точке кривой 4 + ^ = 1. пропорционах
у
лен кубу абсциссы точки касания.
871. Доказать, что ордината любой точки линии 2х 2у 2 — х* = с
(с — постоянная) есть средняя пропорциональная между абсцис­
сой и разностью абсциссы и поднормали, проведенной к линии
в той же точке.
872. Доказать, что у эллипсов -* + §* = 1, у которых ось 2а —
общая, а оси 2b различны (рис. 22), касательные, проведенные
в точках с одинаковыми абсциссами, пересекаются в одной точке,
лежащей на оси абсцисс. Воспользовавшись этим, указать про­
стой прием построения касательной к эллипсу.
873. Показать, что линия у = еь* sinmx касается каждой из
линий у = екх, у = — екх во всех общих с ними точках.
62
ГЛ .
1 1 1 . П РО И ЗВО Д Н А Я и ДИ Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л
874. Д ля построения касательной к цепной линии у — a ch-^
употребляется следующий способ: на ординате M N точки М , как
на диаметре, строится полуокружность (рис. 23) и откладывается
хорда N P = a\ прямая М Р будет искомой касательной. Д ока­
зать это.
Графическое дифференцирование
875.
Измерение температуры обмотки электромагнита мотора
при прохождении электрического тока дало следующие результаты:
Время
t
мин.
. . . . . . . . . .
Температура Ө ° С .........................
0
20
5
26
15
41
20
32,5
46
25
49
30
52,5
35
54,5
40
56,5
45
58
50
59,5
55
61
10
Построить приближенный график непрерывной зависимости
температуры от времени. Выполнив графическое дифференциро­
вание, построить график скорости изменения температуры от
времени.
О
0.02 0.04 0,0В 0.08 0,10 0,12 ОД С
876.
На рис. 24 изображена кривая подъема впускного кла­
пана цилиндра паровой машины (низкого давления). Построить
кривую скорости графическим дифференцированием.
§ 3. ДИ Ф Ф Е РЕ Н Ц И А Л . ДИ Ф Ф ЕРЕНЦИРУЕМ ОСТЬ ФУНКЦИИ
И
§ 3. Дифференциал. Дифференцируемость функции
Ди ффе р е н ц и а л
877. Найти приращение функции у = х2, соответствующее при­
ращению Ал: независимой переменной. Вычислить Ау, если л: = 1
и Дх = 0,1; 0,01. Какова будет погрешность (абсолютная и отно­
сительная) значения Ду, если ограничиться членом, содержащим
Ах в первой степени?
878. Найти приращение Av объема v шара при изменении ра­
диуса R = 2 на AR. Вычислить Av, если AR = 0,5; 0,1; 0,01.
Какова будет погрешность значения Ду, если ограничиться чле­
ном, содержащим AR в первой степени?
879. Дана функция у = х 3 -\-2х. Найти значения приращения
и его линейной главной части, соответствующие изменению х от
х = 2 до л; = 2 , 1.
880. Какое приращение получает функция у = Ъхг — х при пе­
реходе независимой переменной от значения л = 1 к значению
х — 1,02. Каково значение соответствующей линейной главной
части? Найти отношение второй величины к первой.
881. Дана функция y = f(x). В некоторой точке х дано при­
ращение Аде = 0,2; соответствующая главная часть приращения
функции оказалась равной 0,8. Найти производную в точке х.
882. Дана функция f(x) = x%. Известно, что в некоторой точке
приращению независимой переменной Ax = 0,2 соответствует глав­
ная часть приращения функции df(x) = —0,8. Найти начальное
значение независимой переменной.
883. Найти приращение и дифференциал функции у = х2—х
при х = 10 и Ддс = 0,1. Вычислить абсолютную и относительную
погрешности, которые получаются при замене приращения диф­
ференциалом. СДелать чертеж.
884. Найти приращение и дифференциал функции у = ]/гх при
х = 4 и «Дх = 0,41. Вычислить абсолютную и относительную по­
грешности. Сделать чертеж.
885. у = х 3 — х. При х = 2 вычислить Ду и dy, давая Дх зна­
чения Ддс=1; Дх = 0,1; Дх = 0,01. Найти соответствующие значес
I Ду — dy |
ния относительной погрешности о = — . . .
I ^У I
886. Найти графически (сделав чертеж на миллиметровой бу­
маге в большом масштабе) приращение, дифференциал и вычис­
лить абсолютную и относительную погрешности при замене прира­
щения дифференциалом для функции у = 2* при х = 2 и Дх = 0,4.
887. Сторона квадрата равна 8 см. Насколько увеличится его
площадь, если каждую сторону увеличить на: а) 1 см; б) 0,5 см;
в) 0,1 см. Н а й т и г л а в н у ю л и н е й н у ю ч а с т ь приращения п л о щ ад и
этого квадрата и оценить относительную погрешность (в процен­
тах) при замене приращения его главной частью.
64
ГЛ. Ш . П РО И ЗВО Д Н А Я и Д И Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л
888. Известно, что при увеличении сторон данного квадрата
на 0,3 см линейная главная часть приращения площади состав­
ляет 2,4 см2. Найти линейную главную часть приращения пло­
щади, соответствующую приращению каждой стороны на: а) 0,6 см;
б) 0,75 см; в) 1,2 см.
889. Найти дифференциал функции:
1) 0,25 У х ;
7)
2)
8)
3)
9)
12) 5 ± J - ; 13)
17) 2" г з Ц
4)
5)
10)
6)
И ) (x2+ 4 x + l ) ( х * - у - Х)\
14) ( 1 + x - x 2)3; 15) tg2x; 16) 5lnte*;
18) in t g
19)
20) У arcsin x + (arctg дс)8;
1
7
• 21) 3 arcsinx —4 a rc tg x + g -a rc c o s x —^-arctgx;
_ j
_
22) 3 *' + 3 x 3 - 4 У х .
890. Вычислить значение дифференциала функции: 1) (/=»
= (tg
| ja ПРИ изменении независимой переменной от х = я /6 до
х = 61 л/360; 2) t/ = cos2<p при изменении <р от 60Q до 60°30';
3) ^ = 5Іп 2ф при изменении ф от я /6 до 61 л/360; 4) y = siпЗф
при изменении ф от я /6 до 61я/360; 5) у = sin у при изменении Ө
я
ОТ
6“ Д 0
61л
360 ‘
891. Найти приближенное значение приращения функции у —
= sin х при изменении х от 30° до 30Qr . Чему равен s in 3 0 ° r?
892. Найти приближенное значение приращения функции у =
= tg x при изменении х от 45° до 45д10'.
893. Найти приближенное значение приращения функции у =■
1 -1- cm
X
=
л
п
,
1
"Ри изменении * от -з Д0 Т + Too894. р = A:V^cos 2ф; найти dp.
1
,
895. </ = 3* + 227 + 6^ . Вычислить dy при х = 1 и dx = 0,2.
896. Вычислить приближенно sin 6 0 °3 \ sin 60а 18'. Сопоставить
полученные результаты с табличными значениями.
897. Проверить, что функция у =
удовлетворяет соот­
ношению 2х2 dy = (х2у 2 + \ ) d x .
898. Проверить, что функция у, определенная уравнением
arctg ~ = In У х2 + у 1, удовлетворяет соотношению х (dy — dx) =
= y{dy + dx).
§ 3. Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л . Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р У Е М О С Т Ь Ф У Н К Ц И И
65
899. f (х) = е0Лг ([— Подсчитать при ближенно /( 1 ,0 5 ).
©ОО. Вычислить arctg 1,02; arctg 0 ,97 . __
901. Вычислить приближенно
« 9 0 2 ., Вычислить приближенно arcsin 0,4983.
903. Если длина тяжелой нити (провода, цепи) (рис. 25) рав­
на 2s, полуиролет /, а стрелка провеса / , то имеет место при­
ближ енное равенство
а) Подсчитать, какое изменение произойдет в длине нити при
изменении ее стрелки провеса / на величину df.
б) Если учесть изменение длины провода ds (например, от из­
менения температуры или нагрузки), то как изменится при этом
стрелка провеса?
904. Сравнить погрешности при нахождении угла по его тан­
генсу и по его синусу с помощью логарифмических таблиц, т. е.
сопоставить точность нахож ден и я у гл а х п о формулам l g s i n x = y
,
I
I
и lg tg х = 2 , если у и 2 даны с
одинаковыми погрешностями.
905. При технических рас­
четах часто сокращают зх и
2S
У g ( g - ускорение силы тяжерис 95
сти), когда одно из этих чисел
стоит в числителе, а другое — в
знаменателе. Какую относительную погрешность делают при этом?
906. Выразить дифференциал сложной функции через незави­
симую переменную и ее дифференциал:
1) у = У & + Ьх, х = /3 + 2/ + 1;
2) s — c o s 2 z, z =
3) 2 = arctg у, u =
4) v = З-1/* , x = l n t g s ; 5) s = el , 2 = *-I n/ , / = 2u2 — З н -J- 1;
6) y = In tg
, u = arcsin v, у = cos 2s.
Дифференци руемость
функций
907. Функция t j ~ \х\ непрерывна при любом х. Убедиться,
что при х' = 0 она недифференцируема.
908. Исследовать непрерывность и дифференци руемость ф унк­
ции у — \x'J \ при х — 0.
909. Функция / (х) определена следующим образом: f (х) = I + д :
для х ^ 0 ; f(x) = x для 0 < х < 1 ; / (х) = 2 — х для 1 < і < 2 и
f(x) = 3x —x2 для х > 2 . Исследовать н еп р ер ы в н о ст ь /^ ) и выяс­
нить существование и непрерывность /' (.V).
3
Г. Н. Б г р м а н
66
ГЛ. II I. П Р О И З В О Д Н А Я И Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л
910. Функция (/ = ] s i n x | непрерывна при любом х. Убедиться,
что при х — 0 она недифференцируема. Имеются ли другие значе­
ния независимой переменной, при которых функция недифферен­
цируема?
911. Исследовать непрерывность и дифференцируемость функ­
ции y = e ~ lJ:| при х = 0.
912. f(x) = x2 sin ү при х ф О , / ( 0 ) = 0. Будет ли ф у н к ц и я /(х )
дифференцируемой при х = 0 ?
913. / (х) = —
V*
при х ф 0 ,
/ ( 0) = 0.
Будет ли функция
f(x) при х = 0 непрерывной и дифференцируемой?
9 1 4 . Д ан а функция / (х) = 1 + у ^ ( х — I)2. Показать, что при
х = 1 из приращения функции нельзя выделить линейную глав­
ную часть, и поэтому f (х) при д : = 1 не имеет производной.
Истолковать результат геометрически.
915. f(x) = x arctg
при х ф 0, /( 0 ) = 0. Будет ли функция f(x)
при х = 0 непрерывной, дифференцируемой? Истолковать резуль­
тат геометрически.
916. / ( * ) = — - -щ при х ф 0 и / (0) = 0 . Будет ли функция
1
е
f(x) при х = 0 непрерывной; дифференцируемой?
§ 4. Производная как скорость изменения
(дальнейшие примеры)
Относительная
скорость
917. Точка движется по архимедовой спирали р=<нр. Найти
скорость изменения полярного радиуса р относительно полярного
угла ф.
918. Точка движется по логарифмической спирали р = еаф.
Найти скорость изменения полярного ради уса, если известно, что
он вращается с угловой скоростью со.
919. Точка движется по окружности p = 2/-cosq). Найти ско­
рости изменения абсциссы и ординаты точки, если полярный ра­
диус вращается с угловой скоростью о . Полярная ось служит
осью абсцисс, полюс — началом системы декартовых координат.
920. Круг радиуса R катится без скольжения по прямой.
Центр круга движется с постоянной скоростью v. Найти скоро­
сти изменения абсциссы х и ординаты у для точки, лежащей на
границе круга.
921. Барометрическое давление р изменяется с высотой Һ в со­
ответствии с функцией In -p-- = ch, где через р 0 обозначено нормаль­
§ 4. П Р О И З В О Д Н А Я КАК С К О Р О С Т Ь И З М Е Н Е Н И Я
67
ное давление, а с—постоянная. На высоте 5540 м давление достигает
половины нормального; найти скорость изменения барометриче­
ского давления с высотой.
922. у связан с х соотношением у2 = 1 2 * . Аргумент х возра­
стает равномерно со скоростью 2 единицы в секунду. С какой
скоростью возрастает у при х = 3?
923. Ордината точки, описывающей окружность х2 + у2 = 25,
убывает со скоростью 1,5 см/с. С какой скоростью изменяется
абсцисса точки, когда ордината становится равной 4 см?
924. В какой точке эллипса 16х2 + 9у2 — 400 ордината убывает
с такой ж е скоростью, с какой абсцисса возрастает?
925. Сторона квадрата увеличивается со скоростью и. Какова
скорость изменения периметра и площади квадрата в тот момент,
когда сторона его равна а?
926. Р адиус круга изменяется со скоростью v. Какова ско­
рость изменения длины окружности и площади круга в тот мо­
мент, когда его радиус равен г?
927. Радиус шара изменяется со скоростью v. С какой ско­
ростью изменяются объем и поверхность шара?
928. При каком значении угла синус изменяется вдвое медлен­
нее аргумента?
929. При каком значении угла скорости изменения синуса и
тангенса одного и того ж е угла одинаковы?
930. Скорость роста синуса увеличилась в п раз. Во сколько
раз при этом изменилась скорость роста тангенса?
931. Предполагая, что объем ствола дерева пропорционален
кубу его диаметра и что последний равномерно увеличивается из
года в год, показать, что скорость роста объема, когда диаметр
равен 90 см, в 25 раз больше скорости, когда диаметр равен
18 см.
Функции,
заданные
параметрически
932. Проверить, лежит ли заданная декартовыми координатами
точка на линии, уравнение которой дано в параметрической форме:
а) Л еж ит ли точка (5, 1) на окружности х = 2 + 5 cos t, у = — 3 +
+ 5 s i n/ ? б) Л ежит ли точка (2, \*г 3) на окружности x = 2 c o s / (
у = 2 sin /?
933. Построить графики функций, заданных параметрически;
a) x = 3 c o s / , y = 4 s i n / ; б) x = t2 — 2t, y = t 2-\-2t\
в) x = c o s / , y = t-\-2 si n/ ;
г) x —
t / = ^ - ( / 3+ l ) .
934. Из уравнений, параметрически задающих функцию, исклю­
чить параметр:
1) x = 3t, у = Ы — і2\ 2) х = cos /, </ = si n2/ ;
3) x = /3+ l , y = t2\ 4) x = ф — sin ф, у = \— cos ф;
5) * = t gf , y = sin 2/ + 2 cos 2t.
3*
С8
ГЛ. 111. П Р О И З В О Л ПАЯ и ДИ ФФЕРЕНЦИАЛ
935. Найти значение параметра, соответствующее заданным
координатам точки на линии, уравнение которой дано в парамет­
рической форме:
1)
2)
3)
4)
х=
*=
x=
jc =
3(2 c o s/ — cos 2/), у = 3 ( 2 si n/ — sin 2/); (—9 ,0 );
/2 + 2/, y = P + t- (3, 2);
2 t g /, r/ = 2 sin2/ - f s in 2 t; (2 , 2);
/2— 1, y = t3 — t; (0, 0).
В задачах 936 — 945 найти производные от у по х.
936. ;e= acoscp,
*/= &sinф.
937. x = acos3(p,
938. х = а(<р — s in ф),
939. х = l - / 2,
y = b sin 3 q>.
у = а ( 1 — с о б ф ).
y = t - t 3.
940. x = ф - ,
941. д: = I n (1 + / 2),
942. л: = ф (1 — s in ф),
У = 1~Т - y = t — arctg /.
у = ф со 8ф.
t.
Г/= 7^=Тy — ef cost.
1+р
943. х = г^ - 1,
944. x = e' si n/ ,
945. л' — .
,
уВ задачах 946 — 949 найти угловые коэффициенты касательных
к данным линиям.
946. x = 3 c o s i, i/ = 4s i nZ в точке (3 " K 2 /2 , 2 1/ 2 )947. х —t — /^, г/ = / 2 — /3 в точке (0, 0).
948. x = / 3- f l , г/ = / 2 + /-[-1 в точке (1, 1).
949. х —2 c o s t , у = sin / в точке (1 , - 1 / 3 / 2 ) .
950. Д л я линии, заданной в параметрической форме, указать
связь между параметром / и углом а , образованным касательной
к линии с осью абсцисс:
1) х = cos t + i sin / — 2 cos /,
/ / = sin / — / cos / — 2 sin /;
2) .v = a cos'11, y — as'urt;
_______
3) x = a cos / У 2 co s 2i, y = a sin / ] / 2 cos 2t.
951. Убедиться в том, что функция, заданная параметрически
уравнениями х = 2/ + 3 /2, /у = /2-j-2 i3, удовлетворяет соотношению
=
У
-\-2у'3 ^штрихом обозначено дифференцирование пол', т. е.
= А г,)952. Убедиться В ТОМ, ЧТО функция, заданная параметрически
1 ',!
уравнениями х ---- —р—, у ~
Ч Г = 1 + ! /’ (іГ = д .
.4
2
-J- ( , удовлетворяет соотношению
§ 4. П Р О И З В О Д Н А Я КАК С К О Р О С Т Ь И З М Е Н Е Н И Я
953.
У б е д и т ь с я в то м , что ф у н к ц и я , з а д а н н а я п ар а м е тр и ч ес к и
у р а в н е н и я м !! A ' = c h 2 f , y = s h 2 t , у д о в л е т в о р я е т со о тн о ш ен и ю
yif-x = 0
(y ' = g ) .
934.
Убедиться в том, что функция, заданная параметрически
уравнениями
I
X = —== = = У I + t2
.
In
і+ у Т Т ^
r
' ■■■■, у -
1
удовлетворяет соотношению y V 1
t
V i + **
у'2 = у’ (у' =
dx)'
955. Убедиться в том, что функция, заданная параметрически
1 + 1п<
3 + 2 In t
уравнениями х = — -ү,— , у = — ----- , удовлетворяет соотношению
yi/ = 2xt/2+ l
(у' = %
956. Найти углы, под которыми пересекаются линии:
5
5
1) у = х1 и * = 3-c o s t, у = 4- s i n/ ;
a t1
.
2 ) x = acos<p, і/ = а з т ф и x =
atYz
■ У — ’\ rjr ■
957. Показать, что при любом положении производящего круга
циклоиды касательная и нормаль в соответствующей точке цик­
лоиды проходят через его высшую и низшую точки.
958. Найти длины касательной, нормали, подкасательной и
поднормали к кардиоиде х = а ( 2 c o s t — cos 2t), y = a(2s\nt —
— sin 2t) в произвольной ее точке.
659. Найти длины касательной, нормали, подкасательной, под­
нормали к астроиде х = a si n3 /, у = a co s 31 в произвольной ее
точке.
980.
Д ок азать, что касательная к окружности х2 + у2 = а1 сл у ­
жит нормалью к эвольвенте окружности
х = а (cos t + 1 sin t) ,
у = a (sin / — t cos t).
961. Найти длины касательной, нормали, подкасательной и
поднормали эвольвенты окружности (см. уравнения последней
в предыдущей задаче).
962. Д ок азать, что отрезок нормали к кривой x = 2 a s i n £ - ( + a s i n / c o s 2 ^ у = — acoss t, заключенный между осями коорди­
нат, равен 2а.
В задачах 963— 966 составить уравнения касательной и н о р -;
малн к данным линиям в указанных точках.
963. х = 2efm
,
у = е~*
при £ = 0.
964. Ac = si n£,
y = cos2t
при / = л /6 .
965. х = 2 In ctg / + 1, y=tgt-\-ctgt при t = л /4 .
ллл
|ч
966. 1) x =
Зд/
3fl/“
1
Л
y = TJ^t* при t = 2:
70
г л . III. ПР ОИЗВОДНАЯ и ДИ ФФЕРЕНЦИАЛ
2) х = i (t cos t — 2 sin t), y = t (t sin i + 2 cos t) при t = n/4;
3) x = sintf, y = a‘ при t = 0.
967. П оказать, что в двух точках кардиоиды (см. задачу 958),
* отличающимся на 2
соответствующих значениям параметра г,
касательные параллельны.
968. Д ок азать, что если ОТ и ON — перпендикуляры, опущ ен­
ные из начала координат на касательную и нормаль к астроиде
в любой ее точке (см. задачу 959), то
4 • ОТ2 + ON 2 = а2.
969. Найти
длину
перпендикуляра,
опущенного
из начала
к о о р д и н а т на к а с а т е л ь н у ю к л и н и и
2х = а (3 cos t
cos 3 1),
2y = a (3 sin t + sin 3/).
Показать, что 4p2 = Зр2 + 4a2, где p — полярный радиус данной
точки, а р —длина указанного перпендикуляра.
Скорость
изменения
полярного
радиуса
970. Д ана окружность р = 2r sin ф. Найти угол Ө между по­
лярным радиусом и касательной и угол а между полярной осью
и касательной.
971. Д оказать, что у параболы p = a s e c 2 ^ сумма углов, обра­
зованных касательной с полярным радиусом и с полярной осью,
равна двум прямым. Использовать это свойство для построения
касательной к параболе.
972. Д ана линия p = a s i n 3 ~ (конхоида); показать, что a = 4fl
(обозначения те ж е, что в задаче 970).
973. Показать, что две параболы p = tfsec2 ү
и p = b cosec2 -|-
пересекаются под прямым углом.
974. Найти тангенс угла между полярной осью и касательной
к линии p = a s e c 2(p в точках, в которых р = 2а.
975. Найти тангенс угла между полярной осью и касательной
в начале координат: 1) к линии p = sin3 cp, 2) к линии р = sin Зф.
976. П оказать, что две кардиоиды р = а ( 1 - Ь с о в ф ) и р =
t = a ( l — совф) пересекаются под прямым углом.
977. Уравнение линии в полярных координатах задано пара­
метрически: р = / i (t), ф = / 2 (0- Выразить тангенс угла 0 между
касательной и полярным радиусом в виде функции t.
978. Линия задана уравнениями p = at3, ф — Ы2. Найти угол
между полярным радиусом и касательной.
979. Дан эллипс x = acost, y = bsint. Выразить полярный
радиус р и полярный угол ф как функции параметра t. Исполь­
§ 4. П Р О И З В О Д Н А Я КАК С К О Р О С Т Ь И З М Е Н Е Н И Я
71
зовать полученную форму задания эллипса для вычисления угла
между касательной и полярным радиусом.
Полярной
подкасательной
называется
проекция
отрезка касательной от точки касания до ее пересечения с пер­
пендикуляром, восставленным к полярному радиусу в полюсе, на
этот перпендикуляр. Аналогично определяется п о л я р н а я п о д ­
н о р м а л ь . Учитывая это, решить задачи 980— 984.
980. Вывести формулу для полярной подкасательной и поляр­
ной поднормали линии p = f ( ф).
981. Показать, что длина полярной подкасательной гипербо­
лической спирали Р = _^ постоянна.
982. Показать, что длина полярной поднормали архимедовой
спирали р = аф постоянна.
983. Найти длину полярной подкасательной логарифмической
спирали р = а ф.
984. Найти длину полярной поднормали логарифмической спи­
рали р = .а ф.
Скорость
изменения
длины
В задачах 9 85— 999 через s обозначена длина дуги соответ­
ствующей линии.
/Уо
985. Прямая у = ах-{-Ь; ^- = ?
986. Окружность х1-\-if = г\ ^ = ?
987. Эллипс х-.;
а1 ' b*
{ •’ d
s- - ?
dy
988. Парабола tf = 2px\ ds = ?
989. П олукубическая парабола у2 = ах3\ ^ = ?
990. Синусоида г/ = s in jc; ds = ?
991. Цепная линия у = еХ-~^е * (у — ch х)\ ^ = ?
ds
992. Окружность я = г c o s / , y=rs\nt\ ^- = ?
ds
993. Циклоида х = а (/ — sin /), у = а (1 — cos /); ^
994. Астроида л; = a co s3 /, у = a si n3 /; rfs = ?
995. Архимедова спираль х = at sin t, у = at c o s /; ds = ?
996. Кардиоида x = a (2 cos / — cos 2i), y = a (2 sin / — sin 2/)j
ds = ?
997. Трактриса x = a ^cos / - f ln tg y j ,
y = as\nt\ rfs = ?
998. Развертка окружности
х = a (cos / -f-/ sin t),
у = a (sin / — / c o s / ) ;
999. Гипербола x = acht, y = asht\ ds = ?
ds
= ?
ГЛ. 111. П Р О И З В О Д Н А Я и Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л
Скорость
движения
1000. Лестница длиной 10 м одним концом прислонена к вер­
тикальной стене, а другим — опирается о пол. Нижний конец
отодвигается от стены со скоростью 2 м/мин. С какой скоростью
опускается верхний конец лестницы, когда основание ее отстоит
от стены на 6 м? Как направлен вектор скорости?
1001. П оезд и воздушный шар отправляются в один и тот ж е
момент из одного пункта. П оезд движется равномерно со ск о­
ростью 50 км/ч, шар поднимается (тоже равномерно) со ск о­
ростью 10 км/ч. С какой скоростью они удаляются друг от друга?
Как направлен вектор скорости?
Р__
в ~—
в — ^—
Рис. 26
1002.
Человек, рост которого 1,7 м, удаляется от источника
свет;!, находящ егося на высоте 3 м, со скоростью 6,34 км/ч.
С какой скоростью перемещается тень его головы?
1003. Лошадь бежит по окружности со скоростью 20 км/ч.
В центре окружности находится фонарь, а по касательной к окруж ­
ности в точке, откуда лошадь начинает бег, расположен забор.
С какой скоростью перемещается тень лошади вдоль забора в мо­
мент, когда она пробежит 1/8 окружности?
1004. На рнс. 26 изображен схематически кривошипный меха­
низм паровой машины: А — крейцкопф, ВВ' — направляющие,
АР — шатун, Р — палец кривошипа, Q — маховое к о л е с о . М аховое
73
§ 5, П О В Т О Р Н О Е Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р О В А Н И Е
колесо равномерно вращается с угловой скоростью со, радиус его R,
длина шатуна I. С какой скоростью движется крейцкопф, когда
маховик повернут на угол а?
1005. Разорвалось маховое колесо, делавшее 80 оборотов в ми­
нуту. Радиус колеса 0 ,9 м, центр приподнят над полом на 1 м.
Какой скоростью будет обладать обломок, отмеченный на рис. 27
буквой А, при падении на землю?
§ 5. Повторное дифференцирование
Функции,
заданные
в явном
виде
1006. у = х 2 — 3х + 2; (/' = ? 1007. у = 1 - х 2 - х 4; у"' = ?
1008. /( * ) = (* + 1 0 )« ;
(2) = ?
1009. f(x) = x* — 4 ^ + 4 ; / 1V(1) = ?
1010. у = (х2 + I)3; у" = ?
1011. у = cos2*; i/"' = ?
1012. f ( x ) = e 2x-1; / " ( 0 ) = ?
1013. /( * ) = arctg х; Г ( 1 ) = ?
1014. / ( х ) = т ^ ; / v (*) = ?
1015. у = x JIn х\ y, v = ?
1017. p = a sin 2 c p ; 0
= ?
1016. / ( * ) = £ ; П * ) = ?
1018. y = ~ :
y {n) = ?
В задачах 1019— 1028 найти вторые производные от функций
1019. y = xt*\
1020. t/ = г ^ 3.
1021. tj = ( I -j-х2) arctg х.
1023. y = \n(x + V T + x 2).
1022. y = j / a 2—х2.
1024. у = —-Lr-.
1025. у = е^х.
1026. у = | / 1 —x2 arcsine.
1027. у = a r c s in (a sin х).
1028. у = хх.
В задачах 1029— 1040 найтиобщие выражения для производ­
ных порядка п от функций:
1029. у = епх.
1030. у = е~х.
1031. у = sin ах -}- cos bx.
1032. у = sin2jc.
1033. у = х е х.
1034. у = х \ п х .
1035. у = -
^
1037. y = \ogax.
1039. у — —— I—го*
J
.ү-— Зх + 2
~
1036. г/ = ]п (ах-гЬ).
1038. у = -^ —у
1040. у = sin4x + cos4jt.
1
74
г л . II I. ПРОИЗВОДНАЯ и ДИФФ ЕРЕНЦИАЛ
■^041. Д оказать, что функция у = ( х г — \)п удовлетворяет соот­
ношению
(х2 — 1) t/(n+2)-j- 2 xt/(n+1) —п ( n + 1) */(л) = 0.
1042. Д оказать, что функция у = ех s i n * удовлетворяет соот­
ношению у" — 2 у’ + 2у = 0, а функвд я у =
s in %— соотношению
у" + 2у' + 2у = 0.
~~3
1043. Д оказать, что функция г/ = —ц-^ удовлетворяет соотноше­
нию 2 у'2 = (у — 1) у”-.
_______
1044. Д оказать, что функция у = У 2 х —х 2 удовлетворяет соот­
ношению у 3у " + 1 = 0 .
1045. Д оказать, что функция у = е4 х 2e~x удовлетворяет соот­
ношению у ’” — 13 у ’ — \2 у = 0;
1046. Д оказать, что функция у = eVx -J-е~ ^
удовлетворяет
соотношению ху" + !2 У' ~ т У —
1047. Д оказать, что функция у = c o s 6* + si ne* удовлетворяет
соотношению у" — у ' + у е 2х = 0.
1048. Д оказать, что функция
у = A sin (со/ -|- <ав) + В c o s (<о/ + «йо)
(А, В, о», (й0 — постоянные) удовлетворяет соотношению
g + » V -o .
1049. Д оказать, что функция
а 1епх -|- а ге~пх - f а я c o s пх
а4 sin пх
(аи а->, а:„ й4, п — постоянные) удовлетворяет соотношению
1Ө50. Д оказать, что функция у = s in (п a rc s in х) удовлетворяет
соотношению (1 — х-) /у" — xy' -f- п-у = 0.
1051. Д оказать, что функция erx[ircii"x удовлетворяет соотноше­
нию (1 — х 2) у" — х у ' — а?у = 0.
1052. Д оказать, что функция /у = (х-\-\г хг + l)fe удовлетворяет
соотношению (1 + х2) у" + ху' — k2tj = 0.
1053. Д оказать, что выражение S = ^ , — 2
если
заменить у на
1
У
, т. е. если
положить
не изменится,
у=
I
Уі
и'"
, то —— ■
уL
§ 5, П О В Т О Р Н О Е Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р О В А Н И Е
d-x
75
du
d -ц
1054. Д ан о y = f(x). Выразить j"* через d.y и
Показать,
dy* чеРез J x и - d -
(1 -L«'2)3/2
= — -jjr2— можно преобразовать к виду
что формулу
Д2/3 = ___!___
1
/&у \\2/
2/а3 ~‘ /d?x\va '
\dx-,i
W )
1055. Дано: F (х) = f (х) (р (х), при этом /' (х) ср' (х) = С. Д ок а­
зать, что
F" _ Г , ф" , _2С
F
/
Ф “г- / - Ф
Функции,
Г'" __ г
f
заданные
/ f
, <р*
Ф'
в неявном
виде
1056. Ь2х2 + а?у2 = агЬг\ % = ?
1057. х* + у2 = г2; dxi
0 = ?
1058. у = tg (х + у); g
1059. s = 1 + /в*; % = ?
Ю60. t f + x 3 -2>axy = 0-
1061.
1063.
обратной
1064.
1065.
= ?
у" = ?
у = sin (х + у)\ / = ?
Ю62. ех ^ = ху', у" = ?
Вывести формулу для второй производной функции,
данной y = f(x).
etJ+ ху = е; найти г/"(х) при х = 0.
if
у2 = 2рх; определить выражение /г = ^ = = = = = .
1066. Убедиться в том, что из у2-f х2 = ./?2 следует £ = ^ > ГДв
' / 1—
У (i -I-у’1?
1067. Доказать, что если
ах2 + 2Ьху + су2 + 2gx + 2/у + /г = 0,
го
d y _____ a x + b y + g
dx
b x + cy + f
и
d 2(/
dx2
( f t * -, - c y - f I ) 3 '
где Л — постоянная (не зависящая от х и
1068. Д оказать, что если (а-\-Ьх) е ^ х =
Функции,
1069. x = al2,
С 1Ө70. x = acost,
заданные
у).
х, то
параметрически
у = bt3\
y = a s mz ;
d2*
:
U
Л>
«ч
d2‘J
i
:„ = ?
dy2
dF
76
ГЛ. I I I . П Р О И З В О Д Н А Я и Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л
1071. x = a co st,
y — bsint;
01072. х = а(ср — si пф) ,
у = а( 1 — cos<p);
1073. 1) x = acosr4,
y = a sin3 ?;
2) x = acos*t,
y = a s i n 2 <;
L:' = ^
y=
^ = ?
1074. 1) a: = In ^
2) x = arcsin /,
/a - l ;
y = l n ( l - * 2)j
S = ?
y = atsint\
4"^ = ?
1075. л: = а£ cos
1076. Д оказать, что функция у = Ң х ) , заданная параметриче­
скими уравнениями y = er cos /, x = e/ sin<, удовлетворяет соотно­
шению у" (х + у)2 = 2 (ху' — у).
1077. Д оказать, что функция у-— f(x), заданная параметриче­
ски уравнениями y = 3t — i:\ х = З/2, удовлетворяет соотношению
36у" (у — Y o x ) = я + 3.
1078. Д оказать,
уравнениями
что
функция,
x = sin<,
заданная
параметрически
y = sin&/,
удовлетворяет соотношению
1079. Д оказать, что если
x = f(t)ao%t—f ( ^s i n
y = f (t) sin t + f (t) cost,
TO
ds2 = dx2 + dy2 = [/ (t) + / " (01* d t \
Ускорение
движения
1080. Точка движется прямолинейно, причем s = ^ t* — ^+ 5.
Найти ускорение а в конце второй секунды (s выражено в мет­
рах, t — в секундах).
1081. Прямолинейное движение происходит в соответствии
С формулой s — t2 — 4^4*1. Найти скорость и ускорение движения.
„
2 • л/ |
1082. Точка движется прямолинейно, причем s = g - s i n
Найти ускорение в конце первой секунды (s выражено в санти­
метрах, t — в секундах).
77
§ 5, П О В Т О Р Н О Е Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р О В А Н И Е
1083. Точка движется прямолинейно, причем s = '|/7 . Д оказать,
что движение замедленное и что ускорение а пропорционально
кубу скорости V.
1084. Т яж елую балку длиной 13 м спускают на землю так
что нижний ее конец прикреплен к вагонет*
ке (рис. 28), а верхний удерживается ка­
натом, намотанным на ворот. Канат сматы­
вается со скоростью 2 м/мин. С каким ус­
корением откатывается вагонетка в момент,
когда она находится на расстоянии 5 м от
точки О?
1085. Б а р ж у , палуба которой на 4 м ниже
уровня пристани, подтягивают к ней при
помощи каната, наматываемого на ворот со
скоростью 2 м /с. С каким ускорением дви­
ж ется барж а в момент, когда она удалена
от пристани на 8 м (по горизонтали).
1086. Точка движется прямолинейно так,
что скорость ее изменяется пропорционально
квадратному корню из пройденного пути. П о­
казать, что движение происходит под дей­
ствием постоянной силы.
1087. Д а н о , что сила, действующ ая на
Рис. 28
материальную точку, обратно пропорцио­
нальна скорости движения точки. Д оказать, что кинетическая энер­
гия точки является линейной функцией времени.
Формула
Лейбница
1088. Применить формулу Лейбница для вычисления произ­
водной:
1) [(л:2 + 1 ) sinjc](20);
2) (ex s'mxYn);
3) (х3 sin а х )(и>.
1089. Показать, что если у = (1 — х)-а е~ах, то
( Х~ х ) % = ах УПрименив формулу Лейбница, показать, что
(1 — х) */(л+1) — (п -{-ах) у (п) — пау{п~1'>= 0.
1090. Функция
у — б®arcsin х
удовлетворяет
соотношению
(1 — х2) у" — ху' — а?у = 0 (см. задачу 1051). Применив формулу
Лейбница и дифференцируя это равенство п раз, показать, что
(1 — х2)
— (2 п 4 -1 )ху(п+1} — (/I2 -4-“ 2)
= 0-
1091. П оказать, что
(е“* cos bx){n) — тпе?х cos (bx - f wp),
где
r — V a 2 -\-b2,
tg ф = 6/а.
ГО
г л . III. П Р О И З В О Д Н А Я И Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л
Используя формулу Лейбница, получить следующие формулы:
rn c o s «Ф = ап — C‘nan^ b 2 + C'nan~i bi — ,
rn sin «ф = Clnan~lb — Сіап-яЬ3 + Cnan-sbs — ...
1092. Д оказать, что (хп~1е1/х) ^ = (—
1093. П оказать, что функция у = arcsin х удовлетворяет соот­
ношению (1 — х2) у" —ху'. Применяя к обеим частям этого урав­
нения формулу Лейбница, найти
( п ^ 2).
1094. Применяя формулу Лейбница п раз, показать, что функ­
ция у — cos (m arcsin х) удовлетворяет соотношению
(1—х 2) г/(л+2) —(2/1+ 1)хг/,л+1)-{-(тг— я2) г/(л) =
0.
1095. Если у = (arcsin х)2, то
(1 — х2) у(піЛі — (2п — 1)
— (п — I)2
= 0.
Найти у' (0), у" (0), . . . , «/<")(0).
Дифференциалы
высших
1096. у = У х 2\ d2y = ?
1098. г/ =
порядков
1097. г/ = х т ; d3# = ?
Ч- 1) 1(л: — I)2; d2i/ = ? 1099. у = 4 - * ’; dae/ = ?
1100. у = arctg
tg xj; d2# = ?
1102. y = sin2x; d3y = ?
1101. t/ = "J/"ln2 x — 4; d2y = ?
1103. p2 cos3 ф — a* sin3 ф = 0; d3p = ?
1104. r v 3 + y2/a = a2''3; d*y = ?
1105. i / = ln-j-qjjj;
x = tg /;
выразить d2</ через:
1) x и dx,
2) t и г#.
1106. y=sinz\ z = ax\ x = P\ выразить d2y через: 1) 2 и dz,
2) x и dx, 3) t и dt.
ГЛАВА
IV
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ
§ 1. Поведение функции
1107. П о к а з а т ь , что т о ч к а х = 0 есть то ч к а м иним ум а ф у н кц и и
у = 3 х * - 4 х 3 + 1 2 х 2 + 1.
1108. Исходя непосредственно из определения возрастающей и
убывающей функции и точек максимума и минимума, показать,
что функция у = х3 — Зх + 2 возрастает в точке *і = 2, убывает
в точке jc2 = 0, достигает максимума в точке ха= — 1 и минимума
в точке хА= I.
1109. Так ж е, как в задаче 1108, показать, что функция у =
= cos 2л; возрастает в точке Хі = Зл/4, убывает в точке ха = я /6 ,
достигает максимума в точке х3 = 0 и минимума в точке -к4 = л /2 .
1110. Н е пользуясь понятием производной, выяснить поведе­
ние данной функции в точке х = 0:
1) у = 1 — л:4;
2) у = х5 — х3;
3) у = Ух\
4) у —У'х2;
5) у = \ —Ух?\
6) « /= | tg x
7) у = | 1п( х+1) | ;
8) у = е~ •*
9) у = У х л-{-х2.
1111. Показать, что функция у = In (х2-\-2х — 3) возрастает
в точке *1 = 2, убывает в точке х2 = — 4 и не имеет стационар­
ных точек.
И 12. Выяснить поведение функции г/= sin x + c o s x в точках
X i = 0, х2 = 1, х3 = — л /3 и х 4 = 2 .
1113. Выяснить поведение функции у = х — 1п х в точках
=
= 1/2, x-i — 2, х3 = е и х4 = 1 и показать, что если данная функ­
ция возрастает в точке х = а > 0, то она убывает в точке 1/а.
1114. Выяснить поведение функции z/ = x arctg х в точках
л'і = 1, х* = — 1 и х3 — 0.
1115. Выяснить поведение функции
при
х ф 0,
при
х~0
в точках х, = ]/2t *2 = _ ] / 2 и xs = 0 .
80
ГЛ . IV. И С С Л Е Д О В А Н И Е Ф У Н К Ц И И И ИХ Г Р А Ф И К О В
§ 2. Применение первой производной
Т е о р е мы Р о л л я
и Лагранжа
1116. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
у = х 3 -{-4х2 — 7* — 10 на отрезке [— 1, 2].
1117. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
y = l ns i n* на отрезке [ я /6, 5л/6].
1118. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
y _ 4sin* на отрезке [0 , л].
1119. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
y — Y x 1 — 3 *4-2 на отрезке [ 1, 2].
2 — х1120. Функция У = —
принимает равные значения на кон­
цах отрезка [ - 1. !]• Убедиться в том, что производная от этой
функции нигде на отрезке [— 1, 1] в нуль не обращается, и
объяснить такое уклонение от теоремы Ролля.
1121. Функция у = |* | принимает равные значения на концах
отрезка [— а, а]. Убедиться в том, что производная от этой функ­
ции нигде на отрезке [— а, а] в нуль не обращается, и объяснить
такое уклонение от теоремы Ролля.
1122. Доказать теорему: если уравнение
а0хп + axxn l +
ап-\Х = 0
имеет положительный корень х — х0, то уравнение
/Ши*'1-1 -f- (п — 1) ах*™-2 4- . . . 4 - ап- 1= 0
также имеет положительный корень и притом меньший х01123. Дана функция / (*) = 1 + хт (* — 1)л, где т и « — целые
положительные числа. Не вычисляя производной, показать, что
уравнение /'(* ) = 0 имеет по крайней мере один корень в интер­
вале (0 , 1).
1124. Показать, что уравнение *3 — 3* + с = 0 не может иметь
двух различных корней в интервале (0, 1).
1125. Не находя производной функции
/ (*) = (* — 1) (* — 2) (* - 3) (* — 4),
выяснить, сколько действительных корней имеет уравнение / ' (*) =»
= 0 , м указать интервалы, в которых они лежат.
1126. Показать, что функция /(* ) = х п-\~рх4-*7 не может иметь
более двух действительных корней при четном п и более трех
лри нечетном п.
1127. Написать формулу Лагранжа для функции // = sin3* иа
отрезке [*i, х«].
1128. Написать формулу Лагранжа для функции у = Х (1 — 1п*)
на отрезке [а, Ь].
§ 2. П Р И М Е Н Е Н И Е П Е Р В О Й П Р О И З В О Д Н О Й
81
1129. Написать формулу Лагранжа для функции у = arcsin 2х
на отрезке [х0, х04-Д*]1130. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функ­
ции у = х п на отрезке [0 , а\, п > 0, а > 0.
1131. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функ­
ции у = 1п х на отрезке [ 1, е].
1132. Доказать с помощью формулы Лагранжа неравенства
а
In
о
о
при условии 0
1133. Доказать с помощью формулы Л агранжа неравенства
g | ^ t g a - t g p ^ ^
при условии
0< p < « < f
1134. Доказать с помощью формулы Лагранжа справедливость
при а > Ь неравенств
nbn~x (а — Ь) <.ап — Ь" <. па'1- 1 (а — Ь),
если л > 1, и неравенств противоположного смысла, если л < 1.
1135. Рассмотрим функцию
f(x) = f
х 2 sin — при
*
0
при
х ф 0,
х = 0.
Эта функция дифференцируема при любом х. Напишем для
нее формулу Лагранжа на отрезке [0, х\.
Будем иметь:
/ ( * ) - / « > ) = * / '(В)
(0 < g < * ) .
х 2 sin ~ = х І 21- sin | — cos y j ,
откуда c o S y = 2£sin ^— xsin-^-. Заставим теперь х стремиться
к нулю, тогда будет стремиться к нулю и g, и мы получаем:
lim c o s 4- = 0.
E— a
5
Объяснить этот парадоксальный результат.
1136.
Применяя на отрезке [1; 1,1J к функции f (х) = arctg х
формулу
/ (л* + Ax ) ^ f (х0) + / ' (х 0 +
Ах,
найти приближенное значение arctg 1, 1.
В задачах 1137— 1141, используя формулу
/ (хо + Ах) *=»/(х0) + / ' (х0 4-
j Ах,
вычислить приближенные значения данных выражений:
82
ГЛ . IV. И С С Л Е Д О В А Н И Е Ф У Н К Ц И И И ИХ ГР А Ф И К О В
1137. arcsin 0,54.
1138. l g l l . Сравнить с табличным значением.
1139. In (х + V 1 + х2) при х = 0,2.
1140. ]g 7, зная lg 2 = 0,3010 и lg 3 = 0,4771. Сравнить резуль­
тат с табличным.
1141. lg 61. Сравнить результат с табличным.
1142. Убедиться в том, что, применяя формулу
f(b) = f(a) + ( b - a ) f ' р ± ^ )
к вычислению логарифма от N - \ - 0 ,QW, т. е. полагая
1
/» 7- ,
1
иг .
0,43429
л т д ,
,
lg (N + 0,0hV) = lg А Н-------— 0,01 Л = l g /V -|
Д' + -тр- N
, , , 0,43429
П505- ,
’
допускаем погрешность, меньшую 0 ,00001, т. е. получаем пять
верных цифр после запятой, если только lg jV дан с пятью вер­
ными цифрами.
Поведение функций
в интервале
1143. Показать, что функция у = 2х3+ Зх2 — 12х + 1 убывает
в интервале (—2, 1).
______
ІІ1 4 4 . Показать, что функция у — Уг 2 х — х 2 возрастает в интер­
вале (0, 1) и убывает в интервале (1, 2). Построить график дан­
ной функции.
1145. Показать, что функция у = хл + х везде возрастает.
1146. Показать, что функция у = arctg.*: — х везде убывает.
X" —1
’ 1147. Показать, что функция у = —-— возрастает в любом
интервале, не содержащем точки х = 0.
1148. Показать, что функция у =
изменяется моно­
тонно в любом интервале, не содержащем точек разрыва функции.
1149*. Доказать неравенство
ПРН условии
0 < . * i < x 2< л /2.
1150. Найти интервалы монотонности функции у = х* — Зх2 —
— 9 х + 1 4 и построить по точкам ее график в интервале (—2, 4).
1151. Найги интервалы монотонности функции у = х 1— 2xL— 5.
В задачах 1152— 1164 найти интервалы монотонности функций.
n 1152. у = ( х - 2 ) Ң 2 х + і у .
1153. у = У (2 х — а){а — л)2
(а> 0 ).
Пг<.
' ” 54. у
I — х -f~ X2
*1156. у = х — ех.
.
lice
1^
1155. у = Тх. ,_ g~i+6x.
1157. у = х гегх.
83
$ 2. ПР ИМ ЕНЕНИЕ ПЕРВОП ПРОИЗВ ОДН ОЙ
1158. У = - ^ ~ -
П 5 9 . у = 2х2 — In * .
1160. у = х —2 si nx
(0 й і *
2л). *
1161. у = 2 sin х -f- cos 2 х
(0 « S x s g 2л).
_____
1163. y = ln(x + V l + x2).
1162. y = x + cosx.
1164. у = X ]/ox —х2
(fl> 0 ).
В задачах 1165— 1184 найти экстремумы функций.
1165. у = 2 х 3 - 3 х 2.
1166. у = 2Х3 — 6х2 — 18х
7.
4 6 7 . у = ^ + ^ + 4.
1168. у = Г ^ - 3 ^ + 82.
,169- У = Щ х* + \ * + Шу
П Ж У = - х 2 ^ * Г+ 2 -
1171. у = ^ х ^ У Ь х - 7 .
3л '
1172. t/ — ■ 4>АЗ
* 9xV~x'
1173. (/ = - 1+ -34 ..
К 4+ 5Г -1
1175. у = х — In (1 + х).
Ц74. у = У (tf -a* )* .
1176. у = х — In (1 + x2).
1177. tj = (x — 5)2 У ( х - { - 1)2.
1178. у = (л:2 — 2 х) In х — у л:2+ 4х.
1179. у — £ (*2_И ) arctg* —|- х 2- Ц р .
1180. у = ~ ^х2 —
arcsinx + ^ x V 1 —х2 —^дс*.
1181. (/ = xs i nx- l - c os x —-|-ха
1182. y =
1183. у =
—xj c o s x -f si nx —
cos л (x
(—
^Osgxsgyj .
3) -J~ ^2 sin я (x -j- 3)
(0<x<4).
1184. y = aePx -\-be-Px.
В задачах 1185— 1197 найти наибольшие и наименьшие значе­
ния данных функций на указанных отрезках и в указанных
интервалах.
1185. у = х4 — 2х2 + 5;
[—2, 2].
1186. y = x + 2 У х;
[ 0, 4] .
1187. г/ = х5- 5 х 4 + 5х3+ 1 ;
[— 1, 2].
1188. у = х3- Зх2 + 6х - 2;
[— 1, *].
1189. у = У 100 — ха
(—6 й£хй=:8).
1190 ■ У = \ ~
1191. </ = ^ |
^
(0 < * < ! ) .
(0<х^4).
84
Г Л . IV. И С С Л Е Д О В А Н И Е Ф У Н К Ц И Й И ИХ Г Р А Ф И К О В
л2
Л2
1192. « / = - + _
1193.
1194.
1195.
1196.
(0<*<1)
( а > 0 , Ь > 0 ).
г/ = sin 2jc —ле (— я/2 sg x
ir/2).
г/ = 2 tg jc — tg2x
(0 < j c < я/2).
у — Xх
(0,1 =s£*< + oo).
у = У (х2-2х)2
(О ^х^З).
1197. у = arctg
(О й С х ^ 1).
Неравенства
В задачах
1198— 1207 доказать справедливость неравенств.
1198. 2 1 /х > 3 - 1
(х > 1 ).
1199. ех > 1 + х
(хфО).
1200. х > In (1 + х )
( х > 0).
1201. 1п х > - ^ ~ [1)
(x>l).
1202. 2* a r c tg x S s ln ( l + х а).
1203. 1 + х 1 п ( х + 1 / Г + ^ ) ^ у Т + ^ .
1204. l n ( l + * ) > H ^ .
1205. s i n* < * _ £ + ^
1206. s in .£ - t - t g x > 2*
1207. c h x > l + J
(jr> 0 ).
(х > 0 ).
(0 < х < я / 2).
(х=^0).
З а д а ч и на о т ы с к а н и е н а и б о л ь ш и х
и наименьших значений функций
1208. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма
их кубов была наименьшей.
1209. Какое положительное число, будучи сложено с обрат­
ным ему числом, дает наименьшую сумму?
1210. Число 36 разложить на два таких множителя, чтобы
сумма их квадратов была наименьшей.
1211. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого
был бы равен 72 см3, призем стороны основания относились бы,
как 1 :2 . Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы пол­
ная поверхность была наименьшей?
1212. Из углов квадратного листа картона размером 18 X 18 СМ2
нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист
по пунктирным линиям (рис. 29), получить коробку наибольшей
вместимости. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата?
§ 2. ПР ИМЕН ЕНИЕ ПЕРВОП ПРОИЗВОДНОЙ
85
1213. Решить предыдущую задачу для прямоугольного листа
размером 8 x 5 см2.
1214. Объем правильной треугольной призмы равен у. Какова
должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы
была наименьшей?
1215. Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном
объеме v каковы должны быть радиус основания и высота ци­
линдра, чтобы его поверхность была наимень­
шей?
1216. Найти соотношение между радиусом
I
R и высотой Н цилиндра, имеющего при дан­
I
ном объеме наименьшую полную поверхность.
I
I
1217. Требуется изготовить коническую во­
ронку с образующей, равной 20 см. Какова
должна быть высота воронки, чтобы ее объем
был наибольшим?
Ғис. 29
1218. Из круга вырезан сектор с централь­
ным углом ос. Из сектора свернута коническая
поверхность. При каком значении угла а объем полученного
конуса будет наибольшим?
1219. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Ка­
ковы должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованного
вращением этого треугольника вокруг его основания, был наи­
большим?
1220. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Ка­
ковы должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образован­
ного вращением этого треугольника вокруг высоты, опущенной
на основание, был наибольшим?
1221. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который
можно вписать в шар радиуса R.
1222. Найти высоту конуса наибольшего объема, который
можно вписать в шар радиуса R.
1223. Дождевая капля, начальная масса которой та, падает
под действием силы тяжести, равномерно испаряясь, так что
убыль массы пропорциональна времени (коэффициент пропорцио­
нальности равен к). Через сколько секунд после начала падения
кинетическая энергия капли будет наибольшей и какова она?
(Сопротивлением воздуха пренебрегаем.)
1224. Рычаг второго рода имеет точку опоры в Л; в точке В
(АВ = а) подвешен груз Р. Вес единицы, длины рычага равен k.
Какова должна быть длина рычага, чтобы груз Р уравновешивался
наименьшей силой? (Момент уравновешивающей силы должен
равняться сумме моментов груза Р и рычага.)
1225. Расходы на топ ли во д л я топки п ар о х од а п роп ор ц и он ал ь н ы
кубу его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/ч расходы
на топливо составляют 30 руб. в час, остальные же расходы (не
зависящие от скорости) составляют 480 руб. в час. При какой
Г Л . IV. И С С Л Е Д О В А Н И Е Ф У Н К Ц И И И ИХ ГР А Ф И К О В
скорости парохода общая сумма расходов на 1 км пути будет
наименьшей? Какова будет при этом общая сумма расходов в час?
1226. Три пункта А , В и С расположены так, что / . A B C = 60°.
Из пункта А выходит автомобиль, а одновременно из пункта
В — поезд. Автомобиль движется по направлению к Б со скоро­
стью 80 км/ч, поезд —по направлению к С со скоростью 50 км/ч.
В какой момент времени (от начала движения) расстояние между
поездом и автомобилем будет наименьшим, если ЛВ = 200 км?
1227. Н а окружности дана точка А. Провести хорду ВС парал­
лельно касательной в точке А так, чтобы площадь треуголь­
ника ABC была наибольшей.
1228. Найти сторовы прямоугольника наибольшего периметра,
вписанного в полуокружность радиуса R.
1229. В данный сегмент круга вписать прямоугольник наиболь­
шей площади.
1230. Около данного цилиндра описать конус наименьшего
объема (плоскости оснований цилиндра и конуса должны совпа­
дать).
1231. Найти высоту прямого круглого конуса наименьшего
объема, описанного около шара радиуса R.
1232. Найти угол при вершине осевого сечения конуса наи­
меньшей боковой поверхности, описанного около данного шара.
1233. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного
треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот
треугольник круга был наибольшим?
1234. Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного
около полушара радиуса R (центр основания конуса лежит в центре
шара).
1235. Какова должна быть высота конуса, вписанного в шар
радиуса R, для того чтобы его боковая поверхность была наи­
большей?
1236. Доказать, что конический шатер данной вместимости
требует наименьшего количества материи, когда его высота в J/ 2
раз больше радиуса основания.
1237. Через данную точку Р ( 1, 4) провести прямую так, чтобы
сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на коорди­
натных осях, была наименьшей.
1238. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади,
х2 и2
вписанного в эллипс а 2 -f~ = 1.
1 Ьг
1239. Найти наименьший по площади эллипс, описанный около
данного прямоугольника (площадь эллипса с полуосями а и Ь
равн а mb).
1240. Через какую точку эллипса
~ = 1 следует провести
касательную, чтобы площадь треугольника, составленного этой
касательной и осями координат, была наименьшей?
§ 2. П Р И М Е Н Е Н И Е П Е Р В О Й П Р О И З В О Д Н О Й
87
1241. На эллипсе 2хг -\-у 2 = 18 даны две точки А (1, 4) и В (3, 0).
Найти на данном эллипсе третью точку С такую, чтобы площадь
треугольника ABC была наибольшей.
1242. На оси параболы tf = 2px дана точка на расстоянии а
от вершины. Указать абсциссу х ближайшей к ней точки кривой.
1243. Полоса железа шириной а должна быть согнута в виде
открытого цилиндрического желоба (сечение желоба имеет форму
дуги кругового сегмента). Найти значение центрального угла,
опирающегося на эту дугу, при котором вместимость желоба будет
наибольшей.
1244. Бревно длиной 20 м имеет форму усеченного конуса,
диаметры оснований которого равны соответственно 2 м и 1 м.
Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным
сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна и объем кото­
рой был бы наибольшим. Каковы должны быть размеры балки?
1245.- Ряд опытов привел к п различным значениям х и jc2........хп
для исследуемой величины А. Часто принимают в качестве зна­
чения А такое значение х, что сумма квадратов отклонений его
от Xi, х 2.........х„ имеет наименьшее значение. Найти х, удовле­
творяющее этому требованию.
1246. Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки
берега; с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположен­
ный в 15 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки
берега (лагерь расположен на берегу). Если гонец может делать
пешком по 5 км/ч, а на веслах по 4 км/ч, то в каком пункте
берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее
время?
1247. Прямо над центром круглой площадки радиуса R нужно
повесить фонарь. На какой высоте нужно это сделать, чтобы он
наилучшим образом освещал дорожку, которой обведена площадка.
(Степень освещения некоторой площадки прямо пропорциональна
косинусу угла падения лучей и обратно пропорциональна квад­
рату расстояния от источника света.)
1248. На отрезке длиной /, соединяющем два источника света
силы А и / 2, найти наименее освещенную точку.
1249. Картина высотой 1,4 м повешена на стену так, что ее
нижний край на 1,8 м выше глаза наблюдателя. На каком рас­
стоянии от стены должен стать наблюдатель, чтобы его положение
было наиболее благоприятным для осмотра картины (т. е. чтобы
угол зрения был наибольшим)?
1250. Груз весом Р, лежащий на горизонтальной плоскости,
должен быть сдвинут приложенной к нему силой F. Сила трения
пропорциональна силе, прижимающей тело к плоскости, и направ­
лена против сдвигающей силы. Коэффициент пропорциональности
(коэффициент трения) равен k. Под каким углом <р к горизонту
надо приложить силу F, чтобы величина ее оказалась наименьшей?
Определить наименьшую величину сдвигающей силы.
88
ГЛ. IV. И С С Л Е Д О В А Н И Е Ф У Н К Ц И И И ИХ ГР А Ф И К О В
1251. Скорость течения воды по круглой трубе прямо пропор­
циональна так называемому гидравлическому радиусу R, вычис­
ляемому по формуле R = S/p, где S — площадь сечения потока
воды в трубе, а р — смоченный (подводный) периметр сечения
трубы. Степень заполнения трубы водой характеризуется централь­
ным углом, опирающимся на горизонтальную поверхность теку­
щей воды. При какой степени заполнения трубы скорость тече­
ния воды будет наибольшей? (Корни получающегося при решении
задачи трансцендентного уравнения найти графически.)
1252. На странице книги печатный текст должен занимать S
квадратных сантиметров. Верхнее и нижнее поля должны быть
по а см, правое и левое —по b см. Если принимать во внимание
только экономию бумаги, то какими должну быть наиболее вы­
годные размеры страницы?
1253*. Коническая воронка, радиус основания которой R ,
а высота Я , наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар.
Каким должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытеснен­
ной из воронки погруженной частью шара, был наибольшим?
1254. Вершина параболы лежит на окружности радиуса R,
ось параболы направлена по диаметру. Каков должен быть пара­
метр параболы, чтобы площадь сегмента, ограниченного параболой
и ее общей с окружностью хордой, была наибольшей? [Площадь
симметричного параболического сегмента равна двум третям про­
изведения его основания на «стрелку» (высоту).]
1255. Конус, радиус основания которого R, а высота Н, пере­
сечен плоскостью, параллельной образующей. Каково должно
быть расстояние между линией пересечения этой плоскости с пло­
скостью основания конуса и центром основания конуса, для то­
го чтобы площадь сечения была наибольшей? (См. предыдущую
задачу.)
1256. Д ля какой точки Р параболы i/2 = 2рх отрезок нормали
в Р, расположенный внутри кривой, имеет наименьшую длину?
1257. Показать, что касательная к эллипсу, отрезок которой
между осями имеет наименьшую длину, делится в точке касания
на две части, соответственно равные полуосям эллипса.
1258. Доказать, что в эллипсе расстояние от центра до любой
нормали не превосходит разности полуосей. (Удобно воспользо­
ваться параметрическим заданием эллипса.)
1259. В прямоугольной системе координат хОу даны точка (а, Ь)
и кривая tj = f(x). Показать, что расстояние между постоянной
точкой (а, /;) и переменной (х, / (х)) может достигнуть экстремума
только в направлении нормали к кривой
Первообразной функции f(x) называется функция F (х), про­
изводная которой равна данной функции: Ғ' (х)=Ң х).
§ 3. ПРИМ ЕНЕНИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОМ
£9
В задачах 1260— 1262 показать (при помощи дифференциро­
вания и без него), что данные функции являются первообраз!!ымп
одной и той же функции.
1260. у = In ах
и //= ]пх.
1261. у = 2 sin2*
и у = — cos 2 х.
1262. у = (ех + е~хУ и y = (ex - e ~ xf .
1263*. Показать, что функция
у = cos2х -f cos2 ( ~ + xj — cos х cos ^ j + x'j
есть константа (т. e. не зависит от х). Найти значение этой кон­
станты.
2л"
1264. Показать, что функция у —2 arctgд -|-a r c 1s - j -i X nм есть
константа при х ^ 1 . Найти значение этой константы.
1265. Показать, что функция
acos* + 6 п
. f-§/~a —b,
y = arccos^ + ^ - 2 arctg ( F Z + b ^ Y ) '
где 0 < fts g ;a , есть константа при х ^ О . Найти значение этой
константы.
1266. Убедиться в том, что функции
е2х, e-vshjc и ех ch х от­
личаются одна от другой на постоянную величину. Показать,
что каждая из данных функций является первообразной для функ­
ции е2х.
§ 3. Применение второй производной
Экстремумы
В задачах 1267— 1275 найти экстремумы данных функций,
пользуясь второй производной.
1267. у = хл — 2а*2 + а2х
( а > 0).
1268. у = х 2 ( а - х ) 2.
* 1270. y = x + V 1 - х .
1272. y = chax.
1274. y = .J L . '
1269. у = х + а*
( а > 0).
»1271. y = x V 2 ^ j K
1273. у = х*е-*.
1275. tg= x 1/x.
1276. При каком значении а функция /(x ) = asinA: + 4- sin3.v
имеет экстремум при х = я/3? Будет ли это максимум или минимум?
1277. Найти значения а и Ь, при которых функция у = а
4 -Ъх2-\-х имеет экстремумы в точках ху = 1 и хг — 2. Показать,
что при этих значениях а и b данная функция имеет минимум
в точке Xi и максимум в точке х2.
О
90
ГЛ. IV. И С С Л Е Д О В А Н И Е Ф У Н К Ц И Й И ИХ ГРА Ф И К О В
Выпуклость,
вогнутость, точки
перегиба
1278. Выяснить, выпукла или вогнута линия у = хъ— 5х3—■
— 15а;2 + 30 в окрестностях точек (1, 11) и (3, 3).
1279. Выяснить, выпукла или вогнута лрния у = a rc tg х в окре­
стностях точек (1, л /4) и (— 1, — л/4).
1280. Выяснить, выпукла или вогнута линия у = х2 In х в окре­
стностях точек (1, 0) и (1/е2, — 2/е1).
1281. Показать, что график функции у = х a rc tg х везде вогнутый.
1282. Показать, что график функции y = l n ( x 2 — 1) везде вы­
пуклый.
1283. Доказать, что если график функции везде выпуклый
или везде вогнутый, то эта функция не может иметь более одного
экстремума.
1284. Пусть Р (х) — многочлен с положительными коэффициен­
тами и четными показателями степеней. Показать, что график
функции у = Р (х) + ах + b везде вогнутый.
1285. Линии «/ = <р (я) и у = \\>(х) вогнуты на интервале (а, Ь).
Доказать, что на данном интервале: а) линия у = ср (х) + г|э (х)
вогнута; б) если <р (х) и \|)(х) положительны и имеют общую точку
минимума, то линия у = <р( х ) г|5(х) вогнута.
1286. Выяснить вид графика функции, если известно, что
в интервале (а, Ь)\
1) » > 0 , у’ > 0, ( / " < 0;
2) у > 0 , у ' < 0, у " > 0;
3) у < 0, у’ > 0, у " > 0;
4) i / > 0 , у' < 0 , у " < 0.
В задачах 1287 — 1300 найти точки перегиба и интервалы
вогнутости и выпуклости графиков данных функций.
1287. у = х3 — 5х2 + Зх — 5.
1288. у = (х + I)4 + е*.
' 1289. у = х4 - 12x:J+ 48х2 - 50.
1290. у = х + Збх2 — 2xs —х*.
1291. у = Зх5 — 5х* + Зх — 2.
1292. у = (х + 2 )й+ 2х + 2.
1293. У = - т ^
1294. у = а — у х — Ь.
1295. y=e°inx(—л/2г^хг^л/2).
1296. у = 1 п ( 1 + х 2).
1297. у = ~ 1 п ~
•1298. у = а — 'уг(х —Ь)2.
1300. y = xi (12 lnx — 7).
( а > 0).
( а > 0).
•-1299. у = еагс1я \
X—
I- 1
1301. Показать что линия f/ = “ q r y имеет три точки перегиба,
лежащие на одной прямой.
1302. Показать, что точки перегиба линии y = x s i n x лежат на
линии у2 (4 + х2) = 4х2.
и
sin X
1303. П оказать, что точки перегиба линии у = —— лежат на
линии у2(4 + х4) = 4.
§ 3. ПРИМ ЕНЕНИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВ ОДН ОЙ
91
1304. Убедиться в том, что графики функций у = ± е ~ х и
y = e~x s\nx (кривая затухающих колебаний) имеют общие каса­
тельные в точках перегиба линии у = е~х sin*.
1305. При каких значениях а и b точка ( 1, 3) служит точкой
перегиба линии у = ах3 + Ьх2?
1306. Выбрать а и р так, чтобы линия х2у + ах + ру = 0 имела
точку А (2; 2,5) точкой перегиба. Какие еще точки перегиба будет
она иметь?
1307. При 'каких значениях а график функции у = ех -\-ахг
имеет точки перегиба?
1308. Доказать, что абсцисса точки перегиба графика функции
не может совпадать с точкой экстремума этой функции.
1309. Доказать, что у любой дважды дифференцируемой функ­
ции, между двумя точками экстремума лежит ио крайней мере
одна абсцисса точки перегиба
графика функции.
1310. На примере функции у = jc4 + 8г* + 18х2+ 8 проверить,
что между абсциссами точек перегиба графика функции может и
не быть точек экстремума (tp. с предыдущей задачей).
1311. По графику функции (рис. 30) выяснить вид графиков
ее первой и второй производных.
1312. То же сделать по графику функции (рис. 31).
1313. Выяснить вид графика функции по данному графику ее
производной (рис. 32).
92
г л . IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ II ИХ ГРАФИКОВ
1314. Выяснить вид графика функции по данному графику еа
производной (рис. 33).
1315. Линия задана параметрически уравнениями х = ф(/),
y = ^(t ). Убедиться в том, что значениям t, при которых выра­
жение ^ ^ ^ (|)• меняет знак (штрихом обозначено дифференциро­
вание по t), а ф' (t) ф 0, соответствуют точки перегиба линии.
1316. Найти точки перегиба линии x = t2, y = 3t-\-t'\
1317. Найти точки перегиба линии х — ё , y = sint.
§ 4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений
Формула
Коши
и правило Лопиталя
1318. Написать формулу Коши для функций /(x) = si nx и
ф(х) = 1пх на отрезке [а, Ь], 0 <^а<.Ь.
1319. Написать формулу Коши для функций /(х) = е2х и <р (х)=а
= 1+е-* на отрезке [а, Ь\
1320. Проверить справедливость формулы Коши для функций
/(х) = х3 и ф(х) = х2+ 1 на отрезке [ 1, 2].
1321. Проверить справедливость формулы Коши для функций
/(x) = s i nx и ф (х) = х + cos х на отрезке [0, л /2].
1322. Доказать, что если на отрезке [а, b\ имеет место соот­
ношение | / ' (х) | ^ | ф' (х) | и ф' (х) не обращается в нуль, то спра­
ведливо также соотношение | Д /(х)|3 =| Аср(х) |, где Д /(х )= /(х + Д х ) —
— /(х), Дф (х) = ф (х + Д х) — ф (х), а х и х + Дх — произвольные
точки отрезка [а, />].
1323. Доказать, что на отрезке [х, 1/2] (х^=0) приращение
функции у = In (1 -f-х~) меньше приращения функции y = arctgx,
на отрезке [1/2, х] —наоборот: Д a r c t g x < A I n (1 + х2). Пользуясь
последним соотношением, показать, что на отрезке [ 1/2, 1]
arctg х — In (1 + х2)
— In 2 .
В задачах 1324— 1364 найти пределы.
-1324. lim
I
' — l
a
л —* a V x - l ' a
P\ __ |
*
p
1326. lim
. 0 sin x
1328. lim
x —0
1330. lim
jc^ O
1332. lim
x — ; !r ctr;j f
.VX — sill X
, .
I П СОЯ X
1325. l i m -------- .
х- 0
*
.
e r/-x — с< is а х
1327. lim —-------------.
л;_>о
r
1329. lim
*0
1331.
— c o s fijc
ea V x ~ \
| / sin b x
n — 2 a rctg x
X — tgJC ■
xm — am
x -* a x n — an ‘
1333.
' "4' + j)
ax —b*
, 0 cx — dx
93
§ 4. Д О ПОЛ НИТЕ Л ЬНЫ Е ВОПРОСЫ, РЕШ ЕНИЕ УРАВНЕНИИ
1334. lim —
—
COS X —
1335. l i mn —
—
.
S il l Д.- COS X
1
x— 0
1336. l i m - ^ L .
1337. lim ^
1338. U m eX~ e' * ~ 2x .
1339. lim ~
~ e* .
1340. lim —— ------2, X 1 .
1341. U m e—
l - x\
x_o
x^
111 (x~ ° \
t g jc
0
X
* -o
c o s x + ^ - l
-
\ n ( l + x ) * - 4 x + 2 x * — \- & + **
1342. l i m ----------д -:-----x_ 0
ю л»
6 Sin
X — bx
-------------- ■.
+ AC?
In sin 2 *
1343. lim -j— :— .
JC- . 0
I‘l sin x
ln
(1
'
I-
* _ ,0
l n л:
*n sin * "
— *) + t g ^
1345. l i m -------- ;------------.
X —* 1
« „ .*
1344. lim
c t g ИХ
1346.
lim (x ne~x).
X-+ + OQ
1347. lim [(л — 2 arctgx) Inx],
X-+OQ
1348. lim fлгsin “ 1.
ж- c o L
x]
1350. n m [ < a - - « t g 2 j ] .
1352. lim (ctg л;—
*-*(Л
X'
1349. І і т Г —----- ---------- -Д~1-
д-._*1 Ljc— 1
>n x ]
1351. 11m ( Л - 1353. lim
x-*lnx , /1
»
COS -Д - l n (1 — ЛС)
1354. lim [y/~(a + x) (b + x) (c-\-x) —дг].
1355. lim [x (e1/jc — 1)].
*-*co
1357. lim (tgx)2v-31.
x -* я/2
1
1359.
1356. lim [x2^/*2].
jf-»0
1358. lim xsin*.
1361. lim (ex -\-xyi*.
1362. lim (2
x->0
.*-»0
1360. l i m ( l / x y e x.
x-*0
Ig-H
л: - » oo
л* -*• a '
1363. l i m ( l + l ) ' .
*->oo V
X~!
1364. l i m [ —
*->oL
—
x- \
a *
x
2“
.
-
11.
XJ
1365. Проверить, что l i m
sin * существует, но не может быть
* м х i ” sin х
вычислен по правилу Лопиталя.
1366. Значения какой функции (при достаточно больших зна­
чениях х) больше: а*ха или хл?
94
ГЛ. IV. И С С Л Е Д О В А Н И Е Ф У Н К Ц И И И ИХ Г Р А Ф И К О В
1367. Значения какой функции (при достаточно больших зна
ОО
чениях х) больше: /( х ) или In f(x), при условии, что f(x)
при х —>- со.
1368. Пусть х -» -0 . Доказать, что е — (1 + ^ ) 1/Л — бесконечно
малая первого порядка относительно х.
1369. Пусть х-»-0. Доказать, что In (1+ *) —еЫ 1п(е+*) —
бесконечно малая второго порядка относительно х.
1370. К окружности радиуса г проведена касательная в точке А
(рис. 34) и на ней отложен отрезок AN, длина которого равна
длине дуги AM. Прямая M N пересе­
кает продолжение диаметра АО в
точке В. Установить, что
0В =
г (a cos а — sin а)
sin а — а
1
где а —радианная мера централь­
ного угла, соответствующего дуге
AM, и показать, что \ \ m O B - 2 r .
CL-+0
Асимптотическое изменение функций
и а с и м п т о т ы л и ни й
1371. Проверить, исходя непосредственно из определения, что
прямая у = 2х + 1 есть асимптота линии у = —
.
1372. Проверить, исходя непосредственно из определения, что
прямая х + у = 0 есть асимптота линии х 2у + х у 2 = 1.
1373. Доказать, что линии у = Y х 3 + Зх2 и У=
асимпто
тически приближаются друг к другу при х- . оо.
1374. Д оказать, что функции
- I -
/ (х) = V хв + 2х4 + 7х2 + 1 и ф (х) = хя + х
асимптотически равны друг другу при х -> + оо. Воспользоваться
этим рбстоятельством и вычислить приближенно /(115) и /(120).
Какую погрешность сделаем, положив / (100) = ф (100)?
В задачах 1375— 1391 найти асимптоты данных линий.
1375.
аа
1377. У-
_ у1 — 1
—
1
■
1
*2
— 4 * -|- 5 '
1379. 2 у ( х + 1)2 = х3.
1381. у 3 = 6 х 2 + к \
1383. ху 9 + х2у = а3.
1376. хг/ = й.
1378. у = с-
(x — b f •
1380. у 3 = а * - х 3.
1382. у 2 (х2 + 1) = х 2 (х2 - 1).
§ А. Д О П О Л Н И Т Е Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы , Р Е Ш Е Н И Е У Р А В Н Е Н И Й
85
1384. у (х.2 — ЗЬх + 2Ь2) = х3 — Зах2 + ал.
1385. (у + х + 1)2 = х2+ 1 .
1386. y = xln [
г
1388. г/ = хе2/х 4- 1.
1387. у = хех.
1389. у = х arcsecx.
1390. у = 2х + arctg *-.
1391. У = *; д ^ ~ а - ГДе /(*) —многочлен (а= ^0).
1392. Линия задана параметрически уравнениями дс = ф (0,
y = a[)(0. Доказать, что асимптоты, не параллельные координат­
ным осям, могут быть только при тех значениях t = t0, при кото­
рых одновременно
1і пі ф( 0 = с о и lim і|э (t) = оо.
i —* ta
t —*• ta
При этом, если уравнение асимптоты есть у = ах-\-Ь, то
а = 1іп і-Щ -, b = lim [і|і(0 - а ф ( 0 ].
/ —►/о т w
t —* t а
Как найти асимптоты, параллельные координатным осям?
1393. Найти асимптоты линии х = у t- , ' У
а = .t +t 1 ■
2et
1394. Найти асимптоты линии x =
У— ү^7 \ '
21
i2
1395. Найти асимптоты липни х = -— т», уИ ] _ / 21396. Найти асимптоты декартова листа .y =
, у "=
2
^_g
1397. Найти асимптоты линии х = <2_ 4 . У= t у* —4) ’
Общее
исследование функций
•
и линий
В задачах 1398— 1464 провести полное исследование данных
функций и начертить их графики.
X
1398. уa = т^ "- -г-.
l+
\ + х.r1400. у-
1399. J« = 1—X-
X
х* -
1402> у-- ^
1401.
1 •
лг2
— 1
1403.
•
= 32ха fx2
П3.
(Л'2 -- I)3.
+ i
■
1405. « =
дс ,
2*-1
1407.
: U —I)2
93
ГЛ . IV. И С С Л Е Д О В А Н И Е Ф У Н К Ц И И И ИХ Г Р А Ф И К О В
X3
1доз
-4г53» У 3—А- ■
1410. у ( х - l) = x3.
1A І 0 .. (X - D*
У (А+ l):J ‘
1414. ху = (.V2 — 1) (х — 2).
X
14(6. У — ~
ех •
е*
1418.
У=х1420. у = 1п ( х * + 1).
1422. у = хае~х.
I
1424.
X*
ft-140Q
1 lUJ* У
2 (a: -j- l)-‘
1411. y(x 3— 1) = JC4.
x3-f- 2x2+ 7x —3
ІІІЪ
1Hr10» У =
2x1415. ( y - -* )* 4+ 8 = 0.
1417. y = x 2e~x.
1419. y = x — ln ( * + !)•
1421. y = x 2e~x‘.
1423. y = xe~x~/2.
, In X
1425. y = x ц-----.
1 X
1427. y =
s in * .
0 = ( 1 + 'І") •
1429. y = In cos*.
1428. у = х 5І ПX.
1431. y = * — 2 arctg.*.
1430. у = COS* — 111 COS х.
1
1432. у = exi~ 4х + 3 (без отыскания точек перегиба).
1426.
1433. у = esin-*— s in х (без отыскани fi точек перегиба).
1434. у = У х 2 — х .
143G. (Зі/ + *)3 = 27*.
1438. у = ( х - 1)2/Ңх + \ ) \
1440. (у - Х)2 = Х5.
1442. у2 = *3 + 1.
1444. t f = x ( x - l f .
1446.
,
Г -
х3 - 2
1435. t f - = *2 (x2 — 4)3.
1437. У = V ( * + i) a — V *
1439. !? == 6*a — Xs.
1441. ( y - - xlf = *®.
1443. 0* == Xя — *.
1445.
=*2( * - 1).
1447. x 2y-\-xif = 2 .
Я* '
1448. i f = х 2 с^ - ~ (строфоида) ( a > 0).
1449. 9 f — 4*:! —**.
1450. 2bif = x%(4 —a:2)8.
1451. i f — х 2 — X*.
1452. x2y - = 4 ( * — I),
1453. у 2 (2 а — х) = хя (циссоида) (а > 0 ) .
1454. х~у'~ — (х — 1) (х — 2 ).
1455. x2if = (а + х )3 (a. — х) (конхоида) (а > 0 ) .
1458. у 2х* = (х2 - \ у ‘.
1457. Ф - = (1 - .v2)3.
1459. fl == 2 г х с 2х.
1460. у = с1/-* — К.
1461. y = - c '3 c.
1456. l&tf = (л'2 — 4)2 (1 - х 2).
1462.
=
f ( 0) = 1.
§ 4. Д О П О Л Н И Т Е Л Ь Н Ы Е В О П Р О С Ы , Р Е Ш Е Н И Е У Р А В Н Е Н И Й
07
__ 1__
1463. у — 1 — хе 1*1 х при х ф О , у = 1 при х = 0 .
1464. у = х° -~ 4 | jc| + 3.
В задачах 1465 — 1469 исследовать функции, заданные пара­
метрически, и начертить их графики.
1465. x = t 3 - \ - 3 t + \ , y = t 3 - 3 t + l .
1466. х = t 3 — Зл, y = t 3 — 6 arctgt.
1467. x —
зt
у—
3/2
1468. x ^ t e 1, y = t e - ‘.
1469. x — 2a cos t — a cos 2t, у = 2a sin t — a sin 2t (кардиоида).
В задачах 1470— 1477 исследовать линии, урлр,нения которых
заданы в полярных координатах (см. сноску на с. 26).
1470. p = a s in 3 c p (т р е х л е п е с т к о в а я р о за ).
1471. p = atg<p.
1472. p = a ( l + tg<p).
1473. р = а (1 + cos ф) (кардиоида).
1474. p = a ( l + 6 cos<p) ( а > 0, b > 1).
1475. р = | / Л^ (жезл).
1476. р = ~ arctg
1477. p = ] / l — t2, ф = a rc s in /- \ - Y \ — t2.
B задачах 1478— 1481 исследовать и построить линии, пред­
варительно приведя их уравнения к полярным координатам.
1478. (х2 4 -y 2)3 — 4a2x 2f .
1479. (х2 + у2) х = а2у.
1480. x*-{-y* = az (x2 + tf).
1481. (д:2 + у2) (х2 — у 2)2 = 4х 2у*.
Решение
уравнений
1482. Проверить, что уравнение хЛ- х 2 — 8х-\-\2 — 0 имеет
один простой корень Ху = —3 и один двукратный корень х 2 = 2 .
1483. Проверить, что уравнение х* + 2х 3 — З а:2 — 4х + 4 = 0 имеет
два двукратных корня
= 1 и х 2 = —2.
1484. Убедиться в том, что уравнение х arcsin х = 0 имеет только
один действительный корень х = 0 и притом двукратный.
1485. Показать, что корни уравнения x s i nA. =0 имеют вид
y = kn (/г = 0, ± 1, ± 2, ...), причем значению /г = 0 соответствует
двукратный корень. Какова кратность остальных корней?
1486. Показать, что уравнение х 3 — Зхг + бх — 1 = 0 имеет един­
ственный действительный простой корень, принадлежащий интер­
валу (0 , 1), и найти этот корень с точностью до 0 , 1, пользуясь
методом проб.
1487. Показать, что уравнение х 4 + 3х 2 — х — 2 = 0 имеет два
(и только два) действительных простых корня, принадлежащих
соответственно интервалам (— 1, 0) и (0, 1). С помощью метода
проб найти эти корни с точностью до 0 , 1.
4
Г. Н. Берм ан
98
ГЛ . IV. И С С Л Е Д О В А Н И Е Ф У Н К Ц И Й И ИХ Г Р А Ф И К О В
1488. Показать, что уравнение f (х) = а ф О , где / ( ^ — много­
член с положительными коэффициентами, показатели степеней
всех членов которого нечетны, имеет один и только один дейст­
вительный корень (который может быть и кратным). Рассмотреть
случай, когда а = 0. Найти с точностью до 0,01 корень уравне­
ния х3 + 3х — 1 = 0 , комбинируя метод проб с методом хорд.
1489. Д оказать теорему: для того чтобы уравнение x3-\-px+q=0
имело три простых действительных корня, необходимо и доста­
точно, чтобы коэффициенты р и q удовлетворяли неравенству
4р3-\-27д2 < 0. Найти с точностью до 0,01 все корни уравнения
лс3 — 9л: + 2 = 0, комбинируя метод проб с методом хорд.
1490. П оказать, что уравнение х4 + 2х2 — 6х + 2 = 0 имеет два
(и только два) действительных простых корня, принадлежащих
соответственно интервалам (0, 1) и ( 1, 2) . Комбинируя метод хорд
с методом касательных, найти эти корни с точностью до 0,01.
1491. П оказать, что уравнение х6- f 5х + 1 = 0 имеет единст­
венный действительный простой корень, принадлежащий интервалу
(— 1, 0), и найти этот корень с точностью до 0,01, комбинируя
метод хорд с методом касательных.
В задачах 1 4 9 2 — 1497 приближенные значения корней урав­
нения следует находить комбинированием трех методов: метода
проб, метода хорд и метода касательных. (При необходимости
следует пользоваться таблицами значений функций, входящ их
в уравнение.)
1492. П оказать, что уравнение хех — 2 имеет только один дей­
ствительный корень, который принадлежит интервалу (0, 1), и
найти этот корень с точностью до 0,01.
1493. П оказать, что уравнение x l n х — а не имеет вовсе дейст­
вительных корней при а < — \/е, имеет один действительный дву­
кратный корень при а = — \/е, два действительных простых корня
при — 1 / е < а - < 0 и один действительный простой корень при
a s? 0. Найти корень уравнения х ! п х = 0,8 с точностью до 0,01.
1494. Показать, что так называемое уравнение Кеплера х =
= e s i n x - f a , где 0 < и < 1 , имеет один простой действительный ко­
рень, и найти этот корень с точностью до 0,001 при е = 0 , 5 3 8 и а = 1.
1495. Показать, что уравнение ах = ах при
1 всегда имеет
два (и только два) действительных и положительных корня, при­
чем один корень равен 1, а второй корень меньше, больше или
равен 1 в зависимости от того, будет ли а больше, меньше или
равно е. Найти с точностью до 0,001 второй корень этого урав­
нения при а — 3.
1496. Показать, что уравнение x 2 an_tgx = n, где а ф 0, имеет
один действительный корень. Найти с точностью до 0,001 корень
этого уравнения при а = \ .
1497. При каком основании а системы логарифмов существуют
числа, равные своим логарифмам? Сколько таких чисел может
быть? Найти такое число (с точностью до 0,01) при а = 1/2?
§ 5. Ф О РМ У Л А Т Е Й Л О Р А И ЕЕ П Р И М Е Н Е Н И Е
99
§ 5. Формула Тейлора и ее применение
Формула
Тейлора для
многочленов
1498. Разложить многочлен х 4 — 5*3+ х 2 — Зх + 4 по степеням
двучлена х — 4.
1499. Разложить многочлен х 3 + Зх 2 — 2х -J- 4 по степеням дву­
члена * + 1.
1500. Разложить многочлен *10 — 3*5+ 1 по степеням двучлена
х — \.
1501. Функцию /(*) = (*2 — Зх-f-1)3 разложить по степеням х,
пользуясь формулой Тейлора.
1502. / (х) — многочлен четвертой степени. Зная, что f ( 2) = — 1,
/'(2 ) = 0, 7" (2) = 2, /"'(2) = — 12, /iv (2) = 24, вычислить / (— 1),
Г (0), П 1).
Формула Тейлора
1503. Написать формулу Тейлора п-го порядка для функции
у = -- при х 0 = — 1.
1504. Написать формулу Тейлора (формулу Маклорена) «-го
порядка для функции у = хех при *о = 0.
1505. Написать формулу Тейлора л-го порядка для функции
у = У х при *о = 4.
1506. Написагь формулу Тейлора 2л-го порядка для функции
У = е~ -^ү— при *о = 0.
1507. Написать формулу Тейлора л-го порядка для фуикции
y = xs In* при * » = 1.
1508. Написать формулу Тейлора 2п-го порядка для функции
у = sin2* при *о = 0.
1509. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции
y = - ^ z r \ ПРИ хо = 2 и построить графики данной функции и ее
многочлена Тейлора 3-й степени.
1510. Написать формулу Тейлора 2-го порядка для функции
у = tg * при *о = 0 и построить графики данной функции и ее
многочлена Тейлора 2-й степени.
1511. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции
г/ = arcsin * при *0 = 0 и построить графики данной функции и
ее многочлена Тейлора 3-й степени.
1512. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции
у = - у - при *0 = 1 и построить графики данной функции и ее
1х
многочлена Тейлора 3-й^тепени.
1513*. Доказать, что число 6 в остаточном члене формулы
Т ей л о р а 1-го п ор я д к а
/ ( а + / ! ) = / ( а ) - И /' (а) + | / " ( а + 0/О
4»
300
ГЛ . IV, И С С Л Е Д О В А Н И Е Ф У Н К Ц И И И ИХ Г Р А Ф И К О В
стремится к 1/3 при Һ-+ 0, если
П а ) Ф 0.
Некоторые
непрерывна при .v = a и
применения
формулы Тейлора
В задачах 1514 — 1519 выяснить поведение данных функций
в указанных точках.
1514. у = 2х 6 — ха + 3 в точке х = 0.
1515. у = х11 + Зх6+ 1 в точке я = 0.
1516. y = 2 c o s x + x 2 в точке * = 0.
1517. у = 6 \ п х — 2 г '+ 9,vs — 18х в точке х = 1 .
1518. у = 6 sinjc + x2 в точке х = 0.
1519. у = 24еЛ— 24х — 12х2 — 4х 3 — х* — 20 в точке х = 0.
1520. f(x) = jc1u — 3jcs 4 -^2+ 2. Найти первые три члена разло­
жения по формуле Тейлора при х0= 1 . Подсчитать приближенно
/(1,03).
1521. f (х) = х8 — 2а'7+ 5хв —х + 3. Найти первые три члена
разложения по формуле Тейлора при х 0 = 2. Подсчитать прибли­
женно /(2,02) и /(1,97).
1522. f (х) = хт — х 1 0 х20. Найти первые три члена разложе­
ния f ix ) по степеням л - 1 и найти приближенно /(1,005).
1523. f(x) = x &— 5x:j- fx . Найти первые три члена разложения
по степеням х — 2. Вычислить приближенно /(2 , 1). Вычислить
/ ( 2J ) точно и найти абсолютную и относительную погрешности.
1524. Проверить, что при вычислении значений функции е*
при 0
< 1/2 по приближенной формуле
е * pa 1i i+ х +1
+т *3
-g-
допускаемая погрешность меньше 0,01. Пользуясь этим, найти У е
с тремя верными цифрами.
X3
1525. Пользуясь приближенной формулой ех ^ 1 + * + g-, найти
1
-гг=г и оценить погрешность.
Vе
1526. Проверить, что для углов, меньших 28°, погрешность,
X'*
которая получится, если вместо sin л: взять выражение х — 3)- + ^ у ,
будет меньше 0,000001. Пользуясь этим, вычислить sin 20° с шестью
верными цифрами.
1527. Найти cos 10° с точностью до 0,001. Убедиться в том,
что для достижения указанной точности достаточно взять соот­
ветствующую формулу Тейлора 2-го порядка.
1528- Пользуясь приближенной формулой
у2
уЗ
1п (1+ * ) ~ * —ү + ^- —
найти In 1,5 и оценить погрешность.
у4
101
§ 6. К Р И В И З Н А
§ 6. Кривизна
В задачах 1529 — 1536 найти кривизну данных линий.
1529. Гиперболы ху = 4 в точке (2,2).
X'3 I/2
1530. Эллипса
+
= 1 в вершинах.
1531. у = х* — 4х 3 — 18х2 в начале координат.
1532. у 2 — 8 х в точке (9/8, 3). 1533. у = \п х в точке (1, 0).
1534. у = In (х + У 1 + х2) в начале координат.
1535. f/ = si nx в точках, соответствующих экстремальным зна­
тен!! ям функции.
/3
я \
1536. Декартова листа х 3 -\-у 3 = Заху в точке к - а , 4, а ).
В задачах 1537— 1542 найти кривизну данных линий в про­
извольной точке (х, у).
1537. у = х?.
1538.
1539. у = In sec х.
1540. х 2' 3 + у 2' 3 = а2/3.
1541. ~ + g = l .
1542. y = a c h x~.
В задачдх 1543 — 1549 найти кривизну данных линий.
1543. х = ЗР, y = 3t — t 3 при t = 1.
1544. x = acos 3 t, y = as in3i при t = ty.
1545. * = a(cos <+ / si n t), y = a( si nt — t c o s t ) при / = я/2.
1546. x = 2a c o s / — a cos 22, y = 2 asin t — asin2if в произволь­
ной точке.
1547. p = a<p в точке р = 1 , ф = 0.
1548. р = аф в произвольной точке.
1549. р = афЛ в произвольной точке.
1550. Найги радиус кривизны эллипса а2 + | з = 1 в т°й ег0
точке, в которой отрезок касательной между осями координат
делится точкой касания пополам.
1551. Показать, что радиус кривизны параболы равен удвоен­
ному отрезку нормали, заключенному между точками пересечения
нормали с параболой и ее директрисой.
1552. Показать, что радиус кривизны циклоиды в любой еа
точке вдвое больше длины нормали в той же точке.
1553. Показать, что радиус кривизны лемнискаты p2 = a2cos2v
обратно пропорционален соответствующему полярному радиусу.
1554. Найти окружность кривизны параболы у = х 2 в точка
(1,1).
1555. Найти окружность кривизны гиперболы х у — 1 в точка
(1. О1556. Найти окружность кривизны линии у = е к в точке (0, 1).
1557. Найти окружность кривизны линии </ = tgx: в точка
(я/4, 1).
ГЛ . IV. И С С Л Е Д О В А Н И Е Ф У Н К Ц И И II ПХ Г Р А Ф И К О В
102
1558. Найги окружность кривизны циссоиды (x~-]-if) х — 2ау1—0
в точке (а, а).
В задачах 1559— 1562 найти вершины (точки, в которых кри­
визна принимает экстремальное значение) данных линий.
1559. У'х -|-У~У = V а . 1560. у = \ п х .
1561. у = ех .
1 5 6 2 . х = а (3 c o s t - \ - cos 3^), У = а (3 sin t - f sin 3^).
1563. Найти наибольшее значение радиуса кривизны линии
р = a sin 3 -д.
1564. Показать, что кривизна в точке Р лииии y = f(x) равна
|y"cos:ia |, где а —угол, образуемый касательной к линии в точ­
ке Р с положительным направлением
•Ф,Б6)
оси абсцисс.
1565. Показать, что кривизну
(0,5)
линии в произвольной точке можно
I
У
у
I
,
d. sin а
I
представить выражением к =
I
5У
dx
I'
где а имеет то же значение, что
и в предыдущей задаче.
1566.
Функция f ( x ) определена
так: f(x) = х3в интервале — оо < х ^ 1,
/ (х) = ах 1 + Ьх + с в интервале 1 <;
< ; е < 4 - с о . Каковы должны быть
м
а,Ь, с, для того чтобы линия y = f(x)
Рис. 35
имела везде непрерывную кривизну.
1567. Даны (рис. 35): дуга AM окружности с радиусом, рав­
ным 5, и с центром в точке (0, 5) и отрезок ВС прямой, соеди­
няющей точки 5 (1 , 3) и С(11, 66). Требуется точку М соединить
с точкой В дугой параболы так, чтобы линия АМ ВС имела везде
непрерывную кривизну. Найти уравнение искомой параболы (взять
параболу 5-го порядка).
В задачах 1568— 1574 найти координаты центра кривизны и
уравнение эволюты для данных линий.
1568. Парабола и-го порядка у = х п.
1569. Гипербола *2- — = 1.
1570. Астроида х 2/3 4 У2/3 = аг/3.
157!. Полукубическая парабола i f = ax2.
1572. Парабола x — 3t, y = i ‘l — 6.
1573. Циссоида i f =■-2а — X ‘
1574.
у = a si n2 / COS/.
1575. Показать, что эволюта трактрисы х — a^ ln tg * - fc o s / j,
= a s i n t есть цепная линия.
g
Линия х = а ( I 4 '-'os2 0 sin t,
=
103
§ 7. В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н Ы Е З А Д А Ч И
1576. Показать, что эволюта логарифмической спирали р = а ф
представляет собой точно такую же спираль, только повернутую
на некоторый угол. Можно ли так подобрать а, чтобы эволюта
совпала с самой спиралью?
1577. Показать, что любую эвольвенту окружности можно
получить путем поворота одной из них на соответствующий угол.
1578. Показать, что расстояние некоторой точки циклоиды от
центра кривизны соответствующей точки эволюты равно удвоен­
ному диаметру производящего круга,
1579. Эволютой параболы у2 = 4рх служит полукубическая
парабола ру2= * 7 (х — 2р)3. Найти длину дуги
полу кубической
параболы от острия до точки (х, у).
1580. Найти длину эволюты эллипса, полуоси которого равны
а и Ь.
1581. Показать, что эволютой астроиды л: = a cos3/, y = as\nat
является астроида вдвое больших линейных размеров, повернутая
на 45°. Воспользовавшись этим, вычислить длину дуги данной
астроиды.
1582*. Показать, что эволюта кардиоиды
х = 2а co s t — а cos 2t,
у = 2а sin t —а sin 2/
есть также кардиоида, подобная данной. Воспользовавшись этим,
найти длину дуги всей кардиоиды.
1583*. Доказать теорему: если кривизна дуги некоторой линии
либо только возрастает, либо только убывает, то окружности кри­
визны, соответствующие различным точкам этой дуги, не пересе­
каются и лежат одна внутри другой.
§ 7. Вычислительные задачи
1584. Найти минимум функции у = х4+ х2 + х + 1 с точностью
до 0,001.
1585. Найти максимум функции у = х + \пх — г 1 с точностью
до 0,001.
1586. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
у = х 2 -j- 3 cos х в интервале (0, я / 2) с точностью до 0,01.
1587. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
у = х — ех1 в интервале (0,2; 0,5) с точностью до 0,001.
1588. Найти координаты точки перегиба линии
y = * L (x *- 6л2 + 1 9 * - 3 0 )
а точностью до 0,01.
104
ГЛ. IV. И С С Л Е Д О В А Н И Е Ф У Н К Ц И И И ИХ Г Р А Ф И К О В
1589. Найти координаты точки перегиба лшши
у= 6.v2Inx-f 2а'3—9л:2
с точностью до 0 ,01.
1590. Найти с точностью до 0,01 кривизну линии у =
в точке
ее пересечения с прямой у — х — 1.
1591. На линии у = \ п х найтп с точностью до 0,001 коорди­
наты точки, е которой радиус кривизны данной линии в три раза
больше абсциссы этой точки.
ГЛАВА
V
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определенный интеграл и его простейшие свойства
1592. Выразить с помощью интеграла площадь фигуры, огра­
ниченной следующими линиями:
1) осями координат, прямой 1 = 3 и параболой у = х --\ - 1;
2) осью
аб сц и с с,
п рям ы м и
х = а, х = Ь и л и н и ей
у = ех -\-1
(Ь > а );
3) осью абсцисс и дугой синусоиды i/ = sinx, соответствующей
первому полупериоду;
4) параболами у = х 2 и у — 8 — х2\
5) параболами у = х 2 и у = У х;
6) линиями у = 1п х и у — In2 ж.
1593. Фигура ограничена осью абсцисс и прямыми у = 2х,
х = 4, х — Q. Найти площади входящих и выходящих «-ступенча­
тых фигур («лестниц»), разбивая отрезок [4, 6] на равные части.
Убедиться, что оба полученных выражения стремятся при неогра­
ниченном возрастании п к одному и тому же пределу 5 — пло­
щади фигуры. Найти абсолютную и относительную погрешности
при замене данной площади площадями входящих и выходящих
n -ступенчатых «лестниц».
1594. Криволинейная трапеция с основанием [2, 3] ограничена
параболой у — х2. Найти абсолютную и относительную погрешно­
сти при замене данной площади площадью входящей 10-ступен­
чатой «лестницы».
1595. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
у — х 2/ 2, прямыми х = 3, х = 6 и осью абсцисс.
1596. Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой у =
■=2.v + 3 от параболы у = х2.
1597. Вычислить площадь параболического сегмента с основа­
нием a = 1 0 см и стрелкой /і = 6 см. (Основанием служит хорда,
перпендикулярная к оси параболы, рис. 36.)
1598. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
■=д2 — 4 x -f5 , осью абсцисс н прямыми х = 3, х — 5.
1599. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугами пара­
бол у = ^ х 2 и t/ = 3 —
106
ГЛ . V. О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й И Н Т Е Г Р А Л
1600. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами
у — X2 —6 х + 10 И у = 6 х — А'2.
1601. Вычислить площадь, заключенную между параболой у =>
= а'2 — 2 * + 2, касательной к пей в точке (3, 5), осью ординат и
осью абсцисс.
1602. М атериальная точка движется со скоростью v = 21-j~
+ 4 см /с. Найти путь, пройденный точкой за первые 10 с.
1603. Скорость v при свободном падении равна gt. Найти
путь, пройденный за первые 5 с падения.
1804. Скорость движ ения, пропорциональная квадрату време­
н и , в конце 4-й секунды равна 1 см /с. Чему равен путь, прой­
денный за первые 10 с?
1605. И звестно, что сила, противодействующая растяжению
пружины, пропорциональна удлинению ее (закон Гука). Растя­
гивая пружину на 4 см, произвели работу 100 Д ж . Какая работа
будет произведена при растяжении пружины
на 10 см?
1606. Чтобы растянуть пруж ину на 2 см,
н уж но произвести работу 20 Д ж . Н асколь­
ко можно растянуть пруж ину, затратив р а­
боту 80 Д ж ?
1607. Скорость v радиоактивного рас­
пада является заданной функцией времени:
v ~ v (t). Выразить количество т радиоактив­
ного вещества, распавшегося за время от
момента Т а до момента Т у\ а) приближен­
н о — суммой, б) точно— интегралом.
Рис. 36
1608. Скорость нагревания тела является
заданной функцией времени ар (/). На сколько
градусов 0 нагреется тело за время от момента 7’0 до момента Т i?
Выразить решение: а) приближенно— суммой, б) точно — интегралом.
1609. Переменный ток / является заданной функцией времени
/ = / (t). Выразить (приближенно — суммой и точно — интегралом)
количество Q электричества, протекшее через поперечное сечение
проводника за время Т, считая от начала опыта.
1010.
н апряженне Е переменного тока является заданной
функцией времени £ = ip(/); ток У— тоже заданной функцией вре­
мени /
Выразить работу А тока за время от момента Т 0
до момента 1\\ а) приближенно — суммой, б) точно — интегралом.
1611. Электрическая цепь питается батареей аккумуляторов.
В течение 10 мни напряжение на клеммах равномерно падает от
60 В до £ = 40 В. Сопротивление цепи R = 20 Ом. Найти
количество электричества, протекшее через цепь за 10 мин.
1(112. Н апряжение электрической цепи равномерно падает,
уменьшаясь на а = 1,5 В в минуту. Первоначальное напряжение
цепи £о=120 В; сопротивление цепи R = 60 Ом. Найти работу
тока за 5 мин. Индуктивностью и емкостью пренебрегаем.
§ 1. П Р О С Т Е Й Ш И Е С ВОЙСТВ А
1613. В цепь равномерно вводится напряжение. В начале опыта
напряжение равно нулю. По истечении минуты напряженне до­
стигает 120 В. Сопротивление цепи равно 100 Ом. Индуктивностью
и емкостью пренебрегаем. Найти работу тока в течение одной
минуты.
1614. Прямоугольная стенка аквариума, до краев наполнен­
ного водой, имеет основание а и высоту Ь. Выразить силу Р дав­
ления воды на всю стенку: а) приближенно — с помощью суммы,
б) точно —с помощью интеграла.
1615. а) Вычислить силу Р, с которой вода, наполняющая
аквариум, давит на одну из его стенок. Стенка имеет форму пря­
моугольника. Длина ее а = 60 см, а высота b = 25 см. б) Разде­
лить горизонтальной прямой стенку аквариума так, чтобы силы
давления на обе части стенки были одинаковыми.
Вычисление интегралов суммированием
1616. Непосредственным суммированием и последующим пере1
ходом к пределу вычислить интеграл ^e' dx . (Интервал интегрио
рования делить на п равных частей.)
1617. Непосредственным суммированием и последующим переь
ходом к пределу вычислить J x k dx, где А—целое положительное
а
число (интервал интегрирования делить на части так, чтобы абс­
циссы точек деления образовывали геометрическую прогрессию).
1618. При помощи формулы, полученной в предыдущей задаче,
вычислить интегралы:
10
а+2
а
2г? һ?үг
I) J xdx; 2) $ xdx;
3) J x 2 dx\ 4) \
dx;
0
а —2
а/ 2
a
5) l ( 3 x * - x + l ) d x ;
0
6)
8) \ (x - a) ( x - b) dx;
9) |
2 5
7) j ( 2 * + l ) 2d*;
1
o
a
II) $ *3 dx-,
*'
™
dx;
—a
12) j f dx;
о
1619*. Найти
10)
j (^)2
dx;
0
13) _( ( £ - £ ) dx.
Ііш / 1*+ 2*+ "- + '1- \ При k > 0 . Вычислить приn"+i
1
ближенно 15+ 2в+ . . . + 100s.
Л-ООV
1620. Непосредственным суммированием и последующим пере­
ходом к пределу вычислить интеграл j
(Интервал интегриро-
108
ГЛ. V. О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й И Н Т Е Г Р А Л
вгшія долить на части так, чтобы абсциссы точек деления обра­
зовывали геометрическую прогрессию.)
2
1621. Д ля интеграла \
I
dx
составить интегральную сумму, раз-
бив интервал интегрирования на п равных частей. Сравнив с ре­
зультатом предыдущей задачи, вычислить
1622*. Вычислить lim
Н—
Н— ^ n-ooW
л + 1 п+ 2
число). Подсчитать приближенно ~
~
f
(я — целое
^ ап/ v
™ + ■■■+ з?«•
1G23*. Непосредственным суммированием и последующим пе­
реходом к пределу вычислить интегралы:
а
а
In X
1) J хех dx; 2) ^I nxdx; 3)
dx.
о
1
[В 1) разбивать интервал интегрирования на равные части, в 2)
и 3) — как в задаче 1620.]
§ 2. Основные свойства определенного интеграла
Геометрическая интерпретация
определенного интеграла
1624. Выразить при помощи интеграла площадь фигуры, огра­
ниченной дугой синусоиды, соответствующей интервалу 0 ^ х = ^ 2л,
и осью абсцисс.
1625. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кубической
параболой у — х 3 и прямой у = х.
1626. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами
у — х 2 — 2 х — 3 и у = —-л:2 6л: — 3.
1627. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у=*
= хл — х и у = дг4— 1.
Оценка
интеграла
10
1628. Доказать, что интеграл ^
о
2
е
меньше чем -g-.
1629. Доказать, что интеграл \ e K' - x dx заключен между
о
*
и 2еа.
2
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
109
В задачах 1630— 1635 оценить интегралы.
3. 5
2
1630. J
5л/ 4
1631.
1. 5
1632.
0
J ( l + s i n 2 x)dx.
л/ 4
Үг
Е/2
1633.
1634.
е
J x a rc tg xdx.
1635. $x*e~x*dx.
1/2
V з/З
1636. Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:
1
1
2
1) ^ x2dx или
0
2
2) J x2dx или $ x 3 dx?
0
1
1
1637. Выяснить, какой из интегралов больше:
1
2
1
I) §2x*dx или ^ x ’ dx;
0
0
2
1
2
1
4
3) ^ In x d x или $( l nx) 2dx;
1
2
2) $2х' dx или $ 2Л'5ах;
1
4
4) $ In x d x или jj(lnx)2dx?
3
3
l
1638. Доказать, что ^ ] / 1 + x 3dx < ] / 5 / 2 ,
о
неравенством Коши — Буняковского
I fi (X) h (X) dx U
a
I
л [ I [h (x)Y dx у
f
a
r
воспользовавшись
\ [h (*)]2dx.
a
Убедиться, что применение общего правила дает менее точную
оценку.
1639. Доказать, исходя из геометрических соображений, сле­
дующие предложения:
а) если функция / (х) на отрезке [а, Ь] возрастает и имеет во­
гнутый график, то
ь
(Ь— а) / (а) < j f ( x ) d x < ( b - а) ■
f - -;
а
б) если функция f i x ) на отрезке [а, Ь] возрастает и имеет вы­
пуклый график, то
ь
(IЬ - а ) f (а)р -@ < f / (х) d x < ( b - a ) f (b).
а
3
С х®rfjc
1640. Оценить интеграл \
, пользуясь результатом за­
дачи 1639.
110
Г Л . V. О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й И Н Т Е Г Р А Л
[1 _____
1641. Оценить интеграл *( ]/1 -J- x*dx, пользуясь:
|о
а) основной теоремой об оценке интеграла,
б) результатом задачи 1639,
в) неравенством Коши — Буняковского (см. задачу 1638).
Среднее значение функции
1642. Вычислить среднее значение линейной функции y = kx-\-b
на отрезке [xi, х,]. Найти точку, в которой функция принимает
это значение.
1643. Вычислить среднее значение квадратичной функции
ах 2 на отрезке [xlt х2]. В скольких точках интервала функция
принимает это значение?
1644. Вычислить среднее значение функции у = 2х 2 -j- Зх -f 3
на отрезке [1. 4].
1645. Исходя из геометрических соображений, вычислить сред­
нее значение функции у = У а 1 — хг на отрезке [— а, а].
1646. Исходя из геометрических соображений, указать сред­
нее значение непрерывной нечетной функции на интервале, сим­
метричном относительно начала координат.
1647. Сечение желоба имеет форму параболического сегмента.
Основание его а = 1 м, глубина h = 1,5 м (см. рис. 36 на с. 106).
Найти среднюю глубину желоба.
1648. Напряжение электрической цепи в течение минуты рав­
номерно увеличивается от £ 0= 100 В до £ 1= 1 2 0 В . Найти сред­
нюю силу тока за это время. Сопротивление цепи 10 Ом.
1649. Напряжение электрической цепи равномерно падает, убы­
вая на 0,4 В в минуту. Начальное напряжение в цепи 100 В.
Сопротивление в цепи 5 Ом. Найти среднюю мощность в течение
первого часа работы.
Интеграл
с переменным пределом
1650. Вычислить интегралы с переменным верхним пределом:
X
X
1) $ *2dx; 2) \ л*dx; 3) Г (*- dx.
0
а
|
1651. Скорость движения тела пропорциональна квадрату вре­
мени. Найти зависимость между пройденным расстоянием s и вре­
менем t, если известно, что за первые 3 с тело прошло 18 см,
а движение началось в момент / = 0.
1652. Сила, действующая на материальную точку, меняется
равномерно относительно пройденного пути. В начале пути она
равнялась 100 Н , а когда точка переместилась на 10 м, сила
§ 2. О С Н О В Н Ы Е СВО ЙСТВА О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н ТЕ ГРА Л А
111
возросла до 600 Н. Найти функцию, определяющую зависимость
работы от пути.
1653. Напряжение электрической цепи равномерно меняется.
При t = ti оно равно E lt при t = t 2 оно равно Е2. Сопротивление
R постоянно, самоиндукцией и емкостью пренебрегаем. Выразить
работу тока как функцию времени t, прошедшего от начала
опыта.
1654. Теплоемкость тела зависит от температуры так: с = с0 +
-fНайти функцию, определяющую зависимость количе­
ства тепла, полученного телом при нагревании ог нуля до t, от
температуры t.
1655. Криволинейная трапеция ограничена параболой у = х2,
осью абсцисс и подвижной ординатой. Найти значения прираще­
ния Д5 и дифференциала dS площади трапеции при х = 1 0 и
_____
Дх = 0,1.
1656. Криволинейная трапеция ограничена линией у==-Үхг-\-16,
осями координат и подвижной ординатой. Найти значение диф­
ференциала dS площади трапеции при д; = 3 и Ад: = 0,2.
1657. Криволинейная трапеция ограничена линией у = х3, осью
абсцисс и подвижной ординатой. Найти значения приращения AS
площади, ее дифференциала dS, абсолютную (а) и относительную
($ = -£gj
погрешности,
дифференциалом,
и 0 ,0 1 .
1658. Найти
если
возникающие при
* = 4,
замене приращения
а Ах принимает значения 1; 0,1
X
при
производную от функции
X
1659. Найти производную от функции y = \jsinxdx при х —0,
х = я /4 и х = п /2.
0
1660.
Чему равна производная от интеграла с переменным ниЖ'
ним и постоянным верхним пределом по нижнему пределу?
5
1661. Найти
производную от функции у = ^ | / 1 + xl dx при
X
х = 0 и л; = 3/4.
1662. Найти производную по х от функции
1663. Найти производную по х от функции:
112
Г Л . V. о п р е д е л е н н ы й и н т е г р а л
2к
1664*. Найти производную по х от функции $ ln?xdx.
X
1665. Найти производную по х от функции д, заданной неявно:
$ еь dt + $ cos td t = 0.
1686.
Найти производную по х от функции у, заданной пара­
метрически:
t
г
1)
^sin <eft, y = \ z o s t d t \
0
о
t*
1
2) х = §И пМ £, y = l t 2 \ntd t.
1
i‘
1667. Найти значение второй производной по г от функции
2*
Г
при г = 1 я
1668. При каком значении х функция I (х) — ^xe~xl dx имеет
о
экстремум? Чему он равен?
1699. Найти кривизну в точке (0, 0) линии, заданной урав­
нением
0 = J (1 - H ) 1 п (1 + * )Я .
о
1670. Найти точки экстремума и точки перегиба графика
X
функции у = \ ( х 2 — 3x + 2)dx. Построить график этой функции.
О
1671. По графикам функций, данным на рис. 37 и 38 , выяс­
нить вид графиков их первообразных.
§ 2. О С Н О В Н Ы Е СВО Й С ТВ А О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О И Н Т Е Г Р А Л А
Формула
113
Н ь ю т о н а —Л е й б н и ц а
1672. Вычислить интегралы:
I
4
О
5) § V x ( l + V x ) d x ;
4
Г
1
2
6) j ( V 7 ~ ‘y rx)dx-,
»
г(
8)
9)
(a > 0 , b > 0 );
l
a
'
1673. Вычислить интегралы!
о
10) j ( j / z - l ) 2<fa.
*,
71
Я
1) Jsin xd jc;
2а
7) j
2) ^ c o s x d x
0
(объяснить геометрический смысл полученного результата);
з
3) \ e x dx;
о
я/4
4) $ sec2*£f*;
]
5) f r ^ - ;
0
0
6)
vm
i
1/2
/ 1—Jt3
1874. Функция f(x) имеет равные значения в точках х = а и
ь
х = Ь и непрерывную производную. Чему равен $ /' (x)dx?
а
1675.
Касательная к графику функции g = f ( x ) в точке с абс­
циссой х = а составляет с осью абсцисс угол я/3 и вто ч к ев аб сь
ь
циссой х = b — угол л/4. Вычислить $f" (х) dx и $ f (х) /" (х) dx;
а
Г
(а )
предполагается непрерывной.
а
Г Л А В А
VI
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Простейшие приемы интегрирования
В задачах 1676— 1702, воспользовавшись основной таблицей
интегралов и простейшими правилами интегрирования, найти
интегралы.
1676. \ V x d x .
1677. \ V x ^ d x .
1678.
1679. $10*dx.
1680. \ a xex dx.
1681. |
1682‘
1683. ^3,4л:-0'17dx.
1684. J ( l - 2 u ) d a .
1685. \ ( V x + l ) ( x - V x + l)dx.
1686. j
- dx. -
1687. I ( 2 X - 1 -2 + 3x-0’8 - 5x0'38) dx.
i m . J (1 = £ )* & .
1690.
.692.
jO + p f* .
Г (l+ 2 x * )^
,699‘ ) " F ( I + ^ r -
1701.
Ie91.
.
1697. j clg2 x d x .
= IfiOO
*4689. J
f — n-df ——■
J cos 2 x - f sin- .*
dx.
-.693.
l695*“ * •
1698.
2 sin2 J dx.
17nn
(l+xr-dx
170°- J д а г -
1702. ( (arcsin x + arccos x) dx.
J '
В задачах 1703— 1780 найти интегралы, воспользовавшись тео­
ремой об инвариантности
J
формул интегрирования.
1703. ^ s i n x d ( s i n x ) .
* 1704. J t g3x d( l gx) .
1705. f ? ( ] ± £ L.
. 1706. C ( x + l ) 15dx.
J / 1 + дс2
l707' І 1 5 ^ 3 ) Г '
J
'™ -
І-5 Г Т П Ғ
JI5
§ 1. П Р О С Т Е Й Ш И Е П Р И Е М Ы И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Я
1710. \ V % - 2 x d x .
1709. 5 / ( 8 - 3 x f d x .
1711.
( а/
1712. l 2 x V x 2 + l d x .
m - =dx.
J - / (а-\-Ьх)г
1714. \ x 2 y x 3 + 2dx.
1713. $ х Y 1 — х 2 dx.
1715.
1717.
С xdx
J Ух 1 + 1 ’
1716. j
:3 dx
•
1723.
1725.
x dx
Y sin 2 x
cos
J
У
I
In
X
dx
J 2 У Зх2— 5дс+6 ’
1720. С sktxd* .
‘1719. $ sin3x cos x dx.
1721.
(6 x — 5)
1718
J Ух'
^
У 4 + x§
J
,
COS3 X
1722. I cos3x sin2xd*.
1724.
dx.
dx
5 (a r c s in ж)3 У 1 —
у ( " d a f f 4»,.
1726. f
x%
COS2 X
dx
У 1+
tg *
1727. I cos3xd(3x).
1728. Jf
1729. I cos 3x dx.-
1730. ^ (cos a — cos 2x) dx.
1731. ^ s in (2л — 3) dx^.
1732. ^ cos (1 - 2 x)dx.
1734. ^ex sin (ex) dx.
1733. I j |c o s 7 2 x " - ^ ) ] -2 dx.
1735. S ^ L
1738.
1741.
.
( 29——
x г*
J
— 1
f
x2dx
J
*»+ l f
-1736. j** 1739ш ло
1744. J tg xdx.
1750.
г
x)n
dx.
1752. ^ gsin x cos x dx.
1755. I e~3x+1 dx.
1758.
1760.
1763.
С
d
x)
x
(a rc sin
a rc s in
f
dx
-cx-\-m
I -•
e* dx
J
e*+ l ’
f
J
' m i - S feS p i. 1740. j
• 1743. j
* 1745. $ ctg xdx.
1747. ^ ctg (2х + l) dx.
(ln
cos2 (1 -f- ln x)
(jt/3)
у 1 — (JC/3)*
d*
S t + 9л2'
( • ___ dx
J У '4-9ла
1746. 5 tg 3 xdx.
1748. j _ |+. n2*
dx.
COS2 X
"1749. f —
J хіпм
1751. ^ esinj:d (sinлс).
:1753. j ^ a ^ d x .
1756. 5 e**xdx.
-1759. j*
\1754/ ^ a - x dx.
1757. ]e-*’x 2 dx.
dx
У
1761. f J }/
1 — 25л:2
dx
4 — л2
,v d*
,764- і ғ + г -
-1762. J
1765.
P
A*
2*2+ 9 •
xdx
J Уа*—х*
116
гл.
1766.
1769.
VI. НЕО П РЕДЕЛ ЕН Н Ы Й ИНТЕГРАЛ
J xb- r 4
1767. f -f —
J Y/ 11—
—X
x**
f
1770. f
JJ
*"
J ү
У j1 _
—44х
1768. f fA‘rfjt
JJ
cosaA*
<z2 + s i n 2 a ‘
1772.
1773.
J |Лі-Л*
« M
Зл: —
dx.
1
1774. [ Ц ^ -dx.
J *2+ 9
/ f e ' * -
Ш 6- И
-j-Ж4
dx
1777 . f \ + * ~ х* dx.
^
'
J Y(
V n\ —
—X
xW
1778. Г
■ J (x +Yx*— l)2‘
1779. f 2^л:-r—-fV eI ^ L idx.
1780. Сі_+ (а^
J
) / l —x2
J
] / 1
3П !^ .
— 9л:2
В задачах 1781 — 1790 найти интегралы, выделив цел ук
подынтегральной дроби.
1781.
1784.
1787.
1790.
J i b * ’
|з - > д
а
*
J 2x~^Tdx’
1783.
1785. £ {^x— \)dx
2
1786.
'— 1
dx.
"Ь 1
1789.
1782.
1788.
С х 4 dx
II
і) а -г п "
Н
<
J *2+1 '
В задачах 1791 — 1807 найти интегралы, и с п о л ь з о е и к
разложения подынтегрального выражения и прием выделен
ного квадрата.
r
dx
dx
1792. 1
x(x-l) •
dx
(x + l)(2 * -3 )'
1793. j
1795. £
x2+
1
dx
dx
x* + 3 x - I O ’
dx
{ (JC_
* = 1)2
$ ++ ,4-•
dx
1794.
) * (* + !)*
f*
dx
J (a— x ) ( b — xj J*
d*
1796. J *2_7*+10 ■
1
1797. f
1798. JС 4л:2— 9■'
w oo.
Г
dx
. i
1801.
> » i . $J jc72 +&2 xҒ+ 3І '’ ,802- І і = г г -5Я
1803. j’
1804.
41* + 41+ 5> 7
1805.
1807.
dx
Y Ax — 3 —
dx
У2—
6x — 9x*
1806.
С
dx
J /l-(2 x + 3 )a
Г
dx
J Y 8+
6 x — 9x2
N o p a g e in o rig in a l
N o p a g e in o rig in a l
§ 2. О С Н О В Н Ы Е М Е Т О Д Ы И Н Т Е Г Р И Р О В А Н И Я
1900. \ x 2 V 4 ^ ¥ d x .
J
____
И 9
1901. f ---------dx
J
(x2 + 4 ) / 4 * 2+ l
1902*. J V x + l x 2
1903’*'. Jf у
- tM
= . 1904*. Jf x(\ + xex)
x _ *2
В задачах 1905— 1909 найти интегралы, применив сначала за­
мену переменной, а потом интегрирование по частям.
1905. \ e Vx dx.
1906. j sin Y x d x .
1907.
dx. 1908. f * ^ d x .
J 1+-C2
J Y (\- x *f -
1909. f - ^ ^ r d x .
J X* (I-{-X2}
Разные задачи
В задачах 1910—2011 найти интегралы.
1910. $ ( * + 1) \/rx 1+ 2xdx.
1912. \ y ^ d x .
1911. \( \ + е * * ) г е * ^ х .
1913. § ^ d x .
1914. \ V T ^ e * d x .
1915. ^ -v cos л " dx.
1916. J ( 2 - 3 x ^ Y ^ x ^ d x .
,917- і т т Ь ^ Ғ ^ -
'918.
1919 •
'920. j , e x
1921.
1923.
1927.
3 /2 1
dx
V l—
\^± L d x.
1922. \ -^ Z L
\ c^ ^ d x .
1924. f —
J
•J
у 1
a-
J
Уx
у Q x 2— 4
dx.
dx
J х Ү З — In2*
1
1928. Г
J
d<P
..
j sm2cpcos2cp
..
1929.
J cos**
,930‘ I* ' 'coJx * •
1931, \ Ktg3 *sec4 Jtdt.
1932. J j ( l - t g 3 * ) 2dx.
1933.
Ш 4- J 5Й 5Т-
' “ »• I p ~ -
,936. f p f f = .
1937. S * K i + ~ f e
1938. jj(|Ain.*: + cos;e)Jdx.
1939. ^amxbnx dx.
1940. f dx
i Y
V 55—
- 22
x ± x**
1941. f
- j - J
J
dx
/9л2-6*+2‘
120
Г Л . VI. Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й И Н Т Е Г Р А Л
1942.
I
1944.
dx
1948.
jc2 —
7л: -1-
2x2- 3 x + \
(2 — 5 a ) dx
1952.
dx
Г
(Zx— \ ) i x
3 Ух 2+ 2х -\-2
xdx
f
1953.
У~х dx
у
dx
2jc+ 5
л
1949. f
dx.
J У 9*2+ 6x + 2
j'
(4 — 3 a ) dx
1951. J 5ж2 + 6л:+18 '
У4*2+ 9л:+1
1954.
(x — 3)
.) Ү3 — 2х — х 2
1947.
12 *
3~ 4x
1950.
P
1945.
x 2-t-2x-f- 2 ’
(3jc— 1) dx
4x2— 4х-\- 17 *
(x —2) dx
1946.
f (8x—11) rf*
J У 5 -j- 2x — x-
1943.
у 12л:-9л:2- 2
(дс+ 2) dx
У3х 2— l l x
J
+
i V ^ dx-
1955.
2л; + 3
1956. J arctg xdx.
1957. $ x sin x cos xdx.
1958. I x 2 cos cox dx.
1959. I e2xx'-' dx.
1960.
1962.
f ! n s ^ dX'
J
r
dx.
COS" X
x> dx
sm dx
sin
3*
(1+*4)®'
I*
dx
1964. J 1 — sin 3* ’
(* eX~ l A
J e*+T
1969. J e2^+ln xtfX'
1971.
dx.
1973. \ e x sin2 xdx.
1975.
1977.
1979.
s
1+t g x
sin
x dx
J * ______
J
sm
x
1981. J хаехг dx.
1983.
Г
.v3dx
dx.
2‘ x dx
- co s2 2x
sin
1965.
1967.
С x a rc sin x
2
,
1966
f
dx
’• ) e*+l
1968. \eeX+x dx
3 -4 -л:3
1970. j
у 2 + 2 л:2
1972. jС xoxx_dx
sm d x
,9 7 4 .
dx.
r O + tg * ),^ ,
J
1976. J
1978. j
sin
2x
d(f
У
3 cos ф + sin ф
sin2 X COS X
(I + sin 2 *)
,
dx.
,9 8 0 . j X
J± h ± d x .
1982. \ e - x*x6 dx.
,QR4
xidx-
f
J У~ 1 -+- 2x2 ’
Ү Ш Ш -dx.
_
1985.
J
1988.
^ tl+ ^ d x .
1987. j
1986. f —
J
x A У х 2-\-4
1989. I
dx
x * y x*~ 3
У л:2 - 8
d x.
121
§ 3. О С Н О В Н Ы Е К Л А С С Ы И Н Т Е Г Р И Р У Е М Ы Х Ф У Н К Ц И И
1990. С
1991.
J V х° - ь 1
1992. С -------^ = .
J (2 + л) ^І+дс
J V х + 1 —1
1993. Г
J (к
^
1994. J
1995*. j
,996. f ---- ——— .
J (лл:-I-&)vT*
1997. f
J
1999.
2000.
Jy x * + 4
2002- Ь ’+ S f 2004. f рл ( ' +gAJ J l .
J VI —e-x
Л.
x
«) \ x {x — 1 )
1998. f
* ‘\ ж .
J (I- . v ' 2
.
2001. V - ^ d x .
J
л- \ ' x
2003- J s p r * * 1* * * 2005. \ У ex — 1 dx.
J
2006*. Jf 'п(*
+
JC(*+1)
dx.
2007. .1f -AjJ+- .C
, '.
2005. J arccos
dx.
2009. j ln (x - |-|A -J - x 2)dx.
2010.
J \
2011. І '------ dx~ ____
co s4*
J cos1 д: V sin 2л:
§ 3. Основные классы интегрируемых функции
Д робно-рациональны е функции
В задачах 2012— 2067 найти интегралы.
1) Знаменатель имеет только действительные различные корни.
ш 2- Ь -н Э -н г
2° ' Ч
г а
^
» « •
2 0 l5 :i s i d k r s -
2 « « - J ' - Ч Ё і — dx.
2017.
20' 8- f p x - l , ( S - W . 5 > -
*>'*• І ғ ^ э т -
Л.
**»■ № = & £ ■
* * '•
2)
Знаменатель имеет только действительные корни; нгкотоые корни — кратные.
"*• f %$&**•
2023-ЯйтИ-
" *
2025- і
І i q s ? H
f
122
ГЛ. V'{. н е о п р е д е л е н н ы й и н т е г р а л
2026.
2027.
2028- I F T W
2030.
, „ .
,
W
2029. I
....
J 8
, _____________
J (*—I)3(x2— 1)*
***• S
т
І
2033. J j ™
Ш
Л '
2 0 3 3 .1 ^ + 1 ^ .
3) Знаменатель имеет комплексные различные корни
’“ М
т і^ П Г
2038. ]
2037.
.
2039. |
2040. f
2041. 5
dx
(■ 'f-'1 . . . .
2042' f й ^ + Ш + т /
**«• i п
■
й
&
2040- j
;•
^
.
dx
' 2043. f
2°45-1
2047*. J
4) Знаменатель имеет комплексные кратные корни.
2048- J
~12>dx
2050. I j E s f w d*
2052- ! (I;4+ 9),.
2049. J „ ( < + * , , + д , .
o n ,, (* ( ^+І)4^
2 0 5 1 . J j i + 2 * + 2)Г
2053. jC (1+ д;)(1 + д.2)а.
*uao.
2054- J < T W
2055- 5 T ^ w 5) Метод Остроградского,
(4jc2—8x)
2056- i і ғ Й т Т Р * '
2057. J £
2058- f ■ £ & & « * .
2059. j
««• Ы Һ 2062. І і р - з ^ г д а 2004. J
2066- j
2 0 6 3 .^ 1 ^ .
* * •
^ -^ 5 + 2 ? + * -Т
i 3 & Й ? * .
2067' ) 5*’ ( 3 - 2 * V
123
§ 3. О С Н О В Н Ы Е КЛА СС Ы И Н Т Е Г Р И Р У Е М Ы Х Ф У Н К Ц И И
Некоторые
иррациональные
функции
В задачах 2068— 2089 найти интегралы.
1) Ф у н щ ш вида
2068- f
tw
^
v
[x , \
r
^
y
207°- SЬ+,^ + ;+
/
|
/
. . . ).
ш я - S vi+ v t+ tv i-
2о71- SV
-dx.
dx
2074
•ІУ Т Т ІІ2 0 7 5 * - J V ( * - l ) 3(* + 2)J
2) Дифференциальные биномы xm (a -f bxn)p dx.
2076. J V x (1 + \ r ~xf dx.
2077. J a;-1 (1 + *з;)
2 0 7 8 .— “^ = = .
2079. \ x5} / ( 1 + x3)2 dje.
X y
X 2 ~j - 1
J
dx
_____
2080. Г ~- dx : .
J у \ -f- X 3
2081.
2082.
2083. j - y ^ -* dx.
2084.
2085. f
J * у 1-f- xi
2087. f -- d x
J^U/r+^4'
J
*
1+ *3 f a
2086 f У
'J
*2 UX•
2088. $ ^ * ( 1 -*«)<&.
J
у
1 - f- X *
2089. \ V l + V x d x .
Тригонометрические
функции
В задачах 2 0 9 0 — 2131
найти интегралы.
2090. ? sin 3 х c o s 2 xdx.
2091. f ^ ^ - d x .
2092. JС COS
— X^SЦ
-.
in J X
2093. ,1 fCOS2
s- ^* d x .
J
2094. Jf
J
c o s4 л:
2095.
id*
j
, dx. , .
cos3 x sin3 дг
sin 4 * c:os4 * ’
ГJ
2096. f -A mXdX^
2097.
2098. 5 cosexdx.
2099. J ctg1xdx.
2100. $ ig*xdx.
2101.
J (1— c o s * ) 2
J
f
стеделе_
(1— COS*)2 -
J tg8*
d*.
124
ГЛ . VI. н е о п р е д е л е н н ы й и н т е г р а л
2102. f 4 - .
2103. J{ C
^ , x ± ^ i x dx .
cos2 x — sia-л:
J sm* x
2104. Jf (5 П—
J ----- г^.
1 .t- f C O S X ) 2106 I*____ ______ _
2105. Jf
2107. f
J a co s x + й sin л ’
* J
-^ x cos
XdlJx
2108. J[ sin
2110. f
---- .
J
2
™d x.
2 1 17'
j 4 — 3 cos2 * 4 -5 sin 2 **
2119.
X
2 d* — — .
cos-
1— tgjc
2115.
f ^ ^ --rr.
J (sin д: + 2 s e c jc) 3
2 1 1 6 - J 5 - 4 s i n * + 3 cos я*
J a - s in 2
2109.
1 -j- tg л;
2113. f
J
2114. Jf 4T-тт
- dx < . .
-j- t g д.- - j- 4 c tg л:
2120. Г
dx
2111.
fjQ-f.
J 5 + 4 sin *
+ co s*
2118. Jf —
1+ S in -
X'
t g .i 'c o s 2 j e *
J
J 5 —3co$x
2112. f
s in Jt-f-C O S
я
J
J
[ 1.— dx
4- .
s in 4 X
2121. f .
s in - * - |- tg “ *
2122. f -, ™ s x d x .s ■.
J
s in J .£— c o s J *
2123.
2124. J
2125*. [ T
- Sin^
J
sm -1 x
. dx.
2126. f 7- = = M = = s .
J
2127. f - - dxJ Y 1— sin* X
2129. Г <cos2f - ^ - .
у sina x cos5- x
2128. ? ] / 1 + cosec xdx .
J
2130. f ^ = .
J cos* X / 4 - ctg2 я
J sin J ү
cos, *.
2131. J V t g x d x .
Гиперболические функции
В задачах 2132—2150 найти интегралы.
2132. $ сҺ л. й/х.
2133. $shA;d*.
»34. J jf c .
« М з & Э >
2136. 5(ch2a.v + sh2CA')dA:.
2138. 5 th^jcdx.
2137. J sh2x dx.
2139. (jcth’ xdx.
2140. [sh 3 xdx.
125
§ 3. О С Н О В Н Ы Е К ЛА С С Ы И Н Т Е Г Р И Р У Е М Ы Х Ф У Н К Ц И И
2141. $сЬ3л'<±е.
2142. $ th 4x<ix:.
2143. $ sh2л:ch3х dx.
2144. \ c t h &x d x .
2145. f
2146
2I47- j ,-т+жг?-
J
J
■J E -
2148. ^ У Ж х А с .
d* - -.
sh X ch X
2149. J
2150. j
Рациональны е функции
e-x dx
sh4 x *
о т x и } ax--}-b x - f в
задачах 2151—2174 найти интегралы.
r
dx
Г
dx
2151*
2152.
J x Y х--\- X + 1
J x Y x 2+ 4 x - 4
С
dx
. dx 2153.
2154. f
J xY2 + x - x 2
J к У х 2+ 2 х — 1
В
2155. Jf Y 2 хx2+ x *dx
2157.
Г
2156.
dx
J ( 2x — 3) Y Ax — x2’
2159. ^ V 3x 2 — З я - f 1 dx.
2161.
2163.
P
dx
J
Г
X
J
1
— Y x 2 - л;-)- Г
dx
+ /х
2
+
2
л: +
2167.
Г
J Vx*+4x + 5
f 3-*3 8a: + 5 Wv
2169.
J Y x 2— 4x — 7
2171.
2172.
2174.
f
J ( x - l ) Y x 2- t - x - h l
2160. jj У 1 — 4x — x 2 dx.
2162.
2164.
2166.
3.t3 dx
dx
2158. \ V x 2 - 2 x - \ d x .
2
Г (2x2 — 3x) dx
2165.
J Y x*-2x-\-5'
f*
dx
J x 2 (x + Y 1 - t - x 2) '
P
x2 dx
J Y 1 — 2x — x 2’
Г
3xa —5*
J У З - 2 х - х - аХ-
2168. f
J
2170.
X'3_JC+1 -dx
Y x * + 2x + 2
Г
x 4 dx
J Y x 2-\-4x-\-5
dx
} (ж »+ Зх 2 + З х + 1 )Удс 2 + 2 х - 3
f V 1+ * 2 A*
J 2+x2
'
r
(2x + 3 ) d x
2173.
Г
(x— \)dx
J x 2Y 2 x %— 2 x-j- 1"
J (x 2 + 2х + 3 ) У х 2+ 2 х + 4
Разные функции
В зад ач ах 2175— 2230 найти и н тегралы .
x * dx
01 -~
С
2175
’
S
W 2'
xdx
3 х - у ғ = т
ГЛ . VI. н е о п р е д е л е н н ы й и н т е г р а л
2177. ^x\/~a + x dx .
2179.
2181.
2183.
J
х У 1+J
dx.
У\=~х
*!=*■
Г ln (jc-|- I) dx
2196.
2198.
2200.
2202.
2204.
J
I
dx
X — Ух'- —
У (1+^)5
dx.
I /
27+1
■dx.
I
/
J
dx
sin 2x — 2 sin x ’
dx
a-—62cos2x *
(ln x —1) dx
In2*
i
2212 .
2216.
2218.
2 dx.
dx
(2jc —
3) У Ax
xex dx
J у 1 +e*’
2I82-
1
2184. J (x2-f- 3x -f- 5) cos 2x dx.
2186. $ arctg (l -\-~Уx)dx.
2188. l e ¥ x dx.
2190. \ ( x 3 - 2 x 2 + 5)e 3x dx.j
1 "
2206. $ x 2ex cos x dx.
С
dx
2208.
У sin3X COSr: X
sin 2x dx
2210.
cos4x-\- sin4x'
2214.
2,S0- 1 F = W F W -
J Д.'** (x — 1 )
1—у X dx
1+ 'Уx x
s
s
-
2192. f -----г*.
2191. J sin У x dx.
2194.
dx
• fJ aemx-\-be~mx*
dx
J y j +1 '
2185. $x2 sh xdx.
f arcsin xdx
2187.
J _
‘
2189. J хе^ x dx.
2193.
2178
i'xBTdgx_.
J U + *2)2
2195.
J ] / * 2+
2+ l1
J-
2197.
dx
/(!+ * )*
2199. j j}2—1 ‘
22°1- i Т Т Ж 2203. $ x l n ( l - H 3)d*2205. f -тl ± * d x .
J yV -lf
2207. $ x ^ 2( ^ + l ) ^ .
2209, ^ Sill5-x cos5* •
2211
f ------—--------.
1 + Sin -K+ c o s j e '
J
2213.
9215
2
Г
J л :/л !-[-З л : 2 - 1 - 1
f
J (l+ * )2‘
arctg x dx
2217
x4 '
•1
arctg x
dx.
2219
(1 + *Я
•I
§ 3. О С Н О В Н Ы Е К ЛА СС Ы И Н Т Е Г Р И Р У Е М Ы Х Ф У Н К Ц И И
dx
2220.
(1 —2-г)4
*»• J У І + еdxх + е 2*
2221.
2223.
2225.
2227.
y + tg * + W
' ( 3 + x2)2x*dx
I
(1 + ^
\
sin л -j-cos 4 X
2224‘ \ sin&xdxооой
f
x2- 8 x + 7
•
J (x2—3*—10
4 •
2228. f £ + * " * ) * J:
2229*. f — -. --==■.
J *2+ l /Г + х *
1 - j - COS X
. xcos3 * — sin x .
^--------dx.
2230. f e,sin * --------cos-д:
J
127
ГЛАВА
V II
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Способы точного вычисления интегралов
Непосредственное применение формулы
Н ь ю т о н а —Л е й б н и ц а
В задачах 2231—2258 вычислить интегралы.
2231. \ У l + x d x .
О
—2
9
1
2237. l ( e x — l)i ex dx.
О
\
2238‘ J*
о
(&> д > ° ) -
ё
е
2241. Jj' —J* - dx.
I
ё»
2242. \
€*
аП
2246-
\
0
{x- a) ( x - 2 a )
22«- уййЗЬ=32
129
$ I. С П О С О Б Ы ТО Ч Н О Г О В Ы Ч И С Л Е Н И Я И Н Т Е Г Р А Л О В
2248. f
, , , d.X : р г.
2249. f
J x~-\-4x + 5
л/2
» » '•
f
2250.
,) x - \ - x
n is - ,-
2252- 1' cos5x sin 2x dx.
0
Л /2
___________________
П./(й
j
J^cosx —cos3xdx.
2254. $ sin2 (cox-f q>0) dx.
— л /2
2255.
0
f
2256. { ctg*<pdq>.
-І /2
^
S jn Jt
2/Л sjn _L
2257.
В
n il
І' — ^ - d x .
l/jt
dx
Я/2
— л /2
2253.
f
_ j 5 V ^ + 2 x — *'J
задачах
J
2258.
X
c os / s i n ( 2 t - % ) d f .
-Л/2
2259— 2268
интегрированием
по
частям
найти
интегралы:
1
л /2
2259. lxe~x dx.
W3
2260. J x c o s xdx.
0
°
я /t
Я
Ш
Я
2262. $x3 sin xdx.
и
с—1
2264. \ In (x -)- 1) dx.
2263. j[xlog2xdx.
І
a 1^7
2265.
oJ
a
2261. \
_________
f
J
У«Ч *г
Я /2
2266. $ j / a 2 —x2dx.
<
2267. j e2-*cos x dx.
0
0
2268. J i n 3xdx.
I
2269. Составить рекуррентные формулы для вычисления интея /2
л /2
гралов
$ cos*xdx и $ sin"xdx (п — целое положительное число
о
о
или нуль) и вычислить интегралы:
я /2
я /2
Я /2
а) $ sin5xdx;
б) J cos8xdx;
в) J sin11xdx.
o
o
o
2270. Составить рекуррентную формулу для вычисления интеЯ /2
грала $ sinmx co s'!xdx (т и п — целые положительные числа или
о
нули; исследовать частные случаи четных и нечетных значе­
ний т и п).
2271. Составить рекуррентную формулу и вычислить интеграл
О
$ х пех dx (п — целое положительное число).
—1
S
3
Г. Н. Берман
13®
ГЛ. V II. СПОСОБЫ
ВЫ ЧИСЛЕНИЯ
О П РЕД Е Л Е Н Н Ы Х
ИНГВГРАЛОВ
2272. Доказать рекуррентную формулу
Г
dx
.
х
J (1 + * Т ~
2 (я -1 )(1 +
2п —3 Г
dx
+ 2 ( п - 1) J (1
^ ) " -1
(п — целое положительноК,число) и вычислить с ее помощью инте(* dx
Грал .1 (1+Х2)4'
о
t
2273. Доказать, что если J m = p n mх dx,
то
J m = e — rnJm-t
(т — целое полажительно^ ч и Ц о ^
2274*. Найти jj хр (1 — x j \ ^ x 'ф и
о
числа).
Замена
q— целые
положительные
п е р е м е н н о й \ л ori^ д е л е н н о м
и н т е г р a JKg
В задачах 2275—2295 вычислить интеррйлы?
2275. f - ^ Л - й х .
2276. Г 6 ^ .
J Ү х -\
4
І
Г
I
2278.
9<>77^
[+ х
О
I
f - ~ d >r.
J 1+ У х
2279.
С
J V e* +
л
я /4
2281*. J sin8 1 d*.
2283. j
0
2286 .
2280.
e~*
2282*. j cos72xdx.
2284. J
1
2285.
2287.
J
л:
их*
1
1
2288. \ / ( 1 —x 2f d x .
0
j
у"2/2
f — p==.
J я 5/
1
У-2
’
2289. $ *2 / l - x2 dx.
0
2290.
2291. J
2292. f
d*
I & + 3) '
2293.
f
Л
x
1'31
$ I. СПОСОБЫ ТОЧНОГО ВЫ ЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
1 //3
2294.
2 /2
І' -------- 2295. f — j t = .
J (2х*+1)/*Ч-1
J
о
/а/3
*K(jk*-2)1
Разные задачи
2296. Вычислить
слить среднее
с
значение функции у = V x + 4 = на
ух
отрезке [1, 4].
2297. Вычислить среднее значение функции / (х) = ^a_|'_JC на
отрезке [1; 1,5].
2298. Вычислить среднее значение функций / (x )= s fn х и
/ (дг) = sin2jc на отрезке [0, л].
2
2299. Найти среднее значение функдаи f (х) = £' *-f- .1 на отрезке
[О, 2].
2300. При каком а среднее значение функции г/ =1пх на
отрезке [1, а] равно средней скорости изменения функции на этом
отрезке?
В задачах 2301—2317 вычислить интегралы:
2
у»
due
Угра1
2302- .f i W
о
1/2
2303. f - - У
J * —Зх + 2
2304. Г
J (1 + *<
2305 . 1‘ ^ ___ dX' ^ = .
J / j c + l + V ^ +І)3
2306. f
Л ^а* + ^
о
2
о
2309. f eXyrf , ^ Xdx.
J
e +3
о
я /4
2311. Jf cos3* dx.
2312.
о
t
2314. ji (arcsin x)*dx.
6
'
2308. \ xbV \ + x 2 dx.
о
я /2
2310. f
dx
J *l/>+5*+l
l r
f д2cos*
dxл+ 3
о
J
я /2
2313. Jf
о
dx
2315. \ arctg V V x — 1 dx.
i
1
С & x+ 2\dx
" rD- 1 (ж*+4* + 1)*/*’
0»
2/6
‘
Уз
1
2307. [ V 2 x + x 2 dx.
о
n o .c
v
я /2
f
Sin X CCS xdx
6' a»ert**+fc* sin** •
132
гл.
V II. СПОСОБЫ
ВЫ ЧИСЛЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕН Н Ы Х
ИНТЕГРАЛОВ
п/2
2318. Показать, что j
J rsjni>x = J< где a 11 й ~ любьіе
о
ствнтельные числа, отличные от нуля.
х
2319. Решить уравнение \ — г *■ — —
.1
ҮІ
X
2320. Решить уравнение ^
dx
У&Г-І
12
6
III 2 ’
2321. Убедившись в справедливости неравенств у > 1 п х > 1
4
при х > е , показать, что интеграл (*
I dx
$
больше 0,92.
2322*. Показать, что
~
0,523 < f
^
6
меньше единицы,
но
-d~ — < - V ^ 0,555.
— х 2 — jc3
4 J /2
2323*. Показать, что
*3
2324. Используя неравенство s i n x > x — ^ , справедливое при
х > 0 , и неравенство Коши — Буняковского (см. задачу 1638),
я/ ■
>
______
оценить интеграл $ j /x s i n xdx.
о
1
2325*. Показать, что 0,78 < С
< 0,93.
j/ У J + -*4
2326. Найти наибольшее и наименьшее
X
J ( X ) = \ , r l t f + 2 dt Н3 0ТРезКе t—
значения
функции
П-
2327. Найти точку экстремума и точки перегиба графика
X
функции y = \ ( t — \)(t — 2)2dt.
о
В задачах 2328—2331, не вычисляя интегралов, доказать спра­
ведливость равенств:
§ 1. С П О С О Б Ы Т О Ч Н О Г О В Ы Ч И С Л Е Н И Я И Н Т Е Г Р А Л О В
я/8
2328.
(
*10sine *dx = 0.
2329.
-л /8
1
f
~ 3'1 .+ 7*
133
dx = 0.
J ,
1
1
*/2
2330. j eC0SXdx = 2 l e C0SX dx.
2331. I cos д: In ^1 - ^ d x = 0.
—I
0
—*1/2
2332*. а) Показать, что если f (t) — функция нечетная, то
X
—X
X
^ f ( t) d t —функция четная, т. е. что jj f (t )d t — \ f ( t ) d t .
a
a
a
x
б) Будет ли \ f ( t ) d t функцией нечетной, если / ( / ) —функция
а
четная?
2333*. Доказать справедливость равенства
1
Их
1 і-н *
X
j i -м 2
1
t£ X
2334. Д оказать тождество J
i/e
2335. Доказать тождестве
s i n * л;
j
(* > 0 )j
i/«
cos2 х
arcsin y i dt +
^
arccos У І dt =
2336. Доказать справедливость равенства
1
I
$xm(l — x)”dx = \ x n'( 1 — x)mdx. ,
о
о
2337. Доказать справедливость равенства
ь
ь
{ x ) d x = \ f (a-\-b — х) dx.
а
а
Л /2
л /2
2338. Доказать, что \ f ( c o s x ) d x = \ l f ( s m x ) d x .
о
о
полученный
Применить
л /2
результат к вычислению интегралов
cos2x d x и
о
л /2
\| sin2xd.v.
б
2339*. Доказать,
что
п
j xf (sin х) dx =
п
j / (sin x) dx =>
134
г л . VII. СПОСОБЫ
ВЫЧИСЛЕНИЯ
Я /2
ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
я /2
/ (sin х) dx = л j /(s in x )d x . Применить полученный реЯ
f
Ж Sifl
1
X
зультат к вычислению интеграла \ {^_соъі х йх2340*. Показать, что если /(х ) —функция периодическая с пеа+ Т
риодом Т, то
J f ( x ) d x не зависит от а.
а
2341*. О функции f(x) известно, что она нечетная на отрезке
Ғ ~ Т ’ Т І и имеет нернод, равный Т. Доказать, что \ f(t )d i есть
*-
а
также периодическая функция с тем же периодом.
1
2342. Вычислить интеграл § (1 — x 2)ndx, где я — целое положи -
о
тельное число, двумя способами: разлагая степень двучлена по
формуле для бинома Ньютона и с помощью подстановки je = sin<p.
Сравнив результаты, получить следующую формулу суммирования
(Сп — биномиальные коэффициенты):
™
"
С\ с\ С3
3 +
5
7
2 •4 •6 ■... •2я
, (—1)пс "
+ •••
2п + 1
ЬЗ-5....-(2п+1)*
2л
С*
2343. Интеграл \
и
новки tg І = z. Имеем
х легко берется с помощью подста-
2л
,J
С
dx
£ 5 — 3 cos*
0
_
С
}
d2
О yijm
2
( 1 + 2 2 ) J5 _ 3 i ^ | j
Но, с другой стороны, —3 < —3 cos х < ; -)-3, следовательно,
2<5-3cos*<8 и
Отсюда
2я
2Я
2я
2л
С ' dx > JГ 5г—
р -— > ,1\ 8I dx
J 2
— 3 cos х
0
0
о
(/у
и, значит, J\ он—
5----- > т 7— О COS X
Найти ошибку в рассуждении.
Л /4
2344*. Пусть / „ = J tg"xdx ( п > 1 и целое). Проверить, что
0
J
/ п + /п-2 = ^ г у - Доказать, что ^ - ^ < / „ < 2 ^ 7 2 " .
§ 2. П Р И Б Л И Ж Е Н Н Ы Е М Е Т О Д Ы
^35
2345*. Доказать справедливость равенства
X
J ezxe~ г2 dz = г*2/4 $ е~ 22/4 dz.
а
о
2346*. Доказать, что
(
{
1і шт
м -°° |
О,
0,
если х* < Ь
6,
л ,
. .
(со> 0 , / г > 0 , 6 > а > 0 ) .
+ о о , если х = о
§ 2. Приближенные методы
В задачах 2347 — 2349 вычисления вести с точностью до 0,001.
2347. Площадь четверти круга, радиус которого равен единице, равн а
С д р у г о й ст о р о н ы , в з я в ед и н и чн ы й к р у г с ц ен тр о м
в начале координат, уравнение которого х 2 -\-у 2 = 1, и применяя
для вычисления площади четверти этого круга интегрирование,
■ОЛ УЧИ М
1
1
= f У I —x 2 dx, т. е. л = 4 f y r l — x2dx.
м
Пользуясь правилами прямоугольников, трапеций и правилом
Симпсона, вычислить приближенно число л, разбивая отрезок
интегрирования [0, 1] на 10 частей. Полученные результаты срав­
нить между собой и с табличным значением числа л.
1
2348. Зная, что J y q ip = f > вычислить приближенно число д .
о
Результаты, полученные по различным правилам, при разбиении
отрезка интегрирования на 10 частей сравнить между собой
и с результатами предыдущей задачи.
ю
. dx
— , используя правило Симпсона
J
при и = 1 0 . Найти модуль перехода от натуральных логарифмов
к десятичным. Сравнить с табличным значением.
В задачах 2350—2355 вычислить приближенно, пользуясь
формулой Симпсона, интегралы, которые не могут быть найдены
в конечном виде с помощью элементарных функций. Число п
частичных интервалов задается в скобках.
1
1 _____
2 3 5 0 .$ K l - x * d x
(п = 10).
2 3 5 1 .\ Y \ + x ' d x (ft= 1 0 ).
о
о
5
2352. ^
л /3
(п — 6).
2353.
j У cos <pdtp
(я = 1 0 ).
136
гл.
VII. СПОСОБЫ
ВЫЧИСЛЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
л /2
л /3
2354. f | Л - 0 , 1 sin2ф d(f (п = 6 ). 2355. j ^
о
dx
(и = 10).
( .3 5
2356. Вычислить по формуле Симпсона интеграл
\ / (х) dx,
1,0 5
пользуясь следующей таблицей значений функции f(x):
X
1,05
1 ,1 0
1,15
1 ,2 0
1,25
1,30
1,35
/м .
2,36
2,50
2,74
3,04
3,46
3,98
4,60
2357.
Прямая линия касается берега реки в точках А и В.
Д л я измерения площади участка между рекой и прямой А В про­
вешены 11 перпендикуляров к АВ от реки через каждые 5 м
(следоЕательио, прямая АВ имеет длину 60 м). Длины этих
перпендикуляров оказались равными 3,28 м; 4,02 м; 4,64 м;
5,26 м; 4,98 м; 3,62 м; 3,82 м; 4,68 м; 5,26 м; 3,82 м; 3,24 м.
Вычислить приближенное значение площади участка.
Рис. 39
2358. Вычислить площадь поперечного сечения судна при сле­
дующих данных (рис. 39):
А А 1= A^A-i — А іА з = Л3Л4 = A^Aj = A$Ag = Ад А 7 = 0,4 м,
А В = 3 м, Л 1В 1= 2,92
м,
А 2 В 2 = 2,75 м, А 3Вз = 2,52 м,
A 4 BJ — 2,30 м, А 5 В 5 — 1,84 м, А сВ в = 0,92 м.
2359. Д ля вычисления работы пара в цилиндре паровой машнны вычисляют площадь индикаторной диаграммы, представляющей
собой графическое изображение зависимости между давлением
пара в цилиндре и ходом поршня. На рис. 40 изображена инди­
137
§ 2. П Р И Б Л И Ж Е Н Н Ы Е М ЕТ О Д Ы
каторная диаграмма паровой машины. Ординаты точек линий ABC
и ED, соответствующие абсциссам х0, лч, х,, . . . , * 10, даны сле­
дующей таблицей:
Ординаты линии A B C ..............
»
>
ED . . . . . .
Хо
60,6
5,3
*e
>
»
E D ..................
15,0
0,9
Хл
X*
19,9
0,7
17,0
53,0
Х2
32,2
24,1
1,2
0 ,6
0 ,6
X
*10
12 ,0
1 1 ,0
1 ,8
8 ,2
*7
13,3
1,0
1,3
*3
0 ,8
5,7
Вычислить с помощью формулы Симпсона площадь ABCDE.
Ординаты даны в миллиметрах. Длина OF = 88,7 мм (точка F —
общая проекция точек С и D на ось абсцисс).
В задачах 2360—2363 при нахождении пределов интегрирова­
ния необходимо воспользоваться методами приближенного решения
уравнений.
2360. Найти площадь фигуры, ограниченной дугами парабол
у = х' — 7 и у = — 2х2 + 3х и осью ординат.
2361. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = л3
и прямой у = 7 (* + 1 )2362. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у =
*= 16 —х2 и полукубической параболой у = — {/~х2.
2363._Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4—х4
и у = уг х.
2364. На рис. 41 изображена индикатонная диаграмма (упро­
щенная) паровой машины. Исходя из размеров, проставленных
на чертеже (в мм), вычислить площадь ABCDO, если известно
уравнение линии ВС':роу = const (линия ВС называется а д и а ­
б а т о й ) , 7 = 1 , 3 , АВ — прямая, параллельная оси Ov.
138
гл . VII. С П О С О Б Ы
ВЫЧИСЛЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
2365.
На рис. 42 представлена индика­
торная диаграмма дизельного двигателя. От­
резок А В соответствует процессу сгорания
смеси, адиабата ВС — расширению, отрезок
CD — выпуску и адиабата DA —сжатию.
Рис. 42
Уравнение
адиабаты
BC:pvl3 = const, уравнение адиабаты
AD : />у'-35 = const. Исходя из р а з м е р о в , проставленных на чер­
теже (в мм), определить площадь ABCD.
§ 3. Несобственные интегралы
Интегралы с бесконечными
пределами
В задачах 2366 — 2385 вычислить несобственные интегралы
(или установить их расходимость).
+ о°
+ со
dx
2368. j e-axd x ( a > 0).
2367. J
V
*'
1
1
+«
2х dx
dx
2369. J
2370.
f
. 2371. I* І!1£ dx.
лса+1
-j~2x -J- 2
J
— ОО
- f - ОО
+
СО
i x
4 - oo
4- со
dx
2372.
2373- оI
Y
2375. J at
+ .°°
2376.
J x e - ^ dx.
0
+ oo
2379.
J e ~ v * dx.
0
4 - oo
2377. J x3er*‘dx.
+ 00
2380. § e-*sinxdjc.
о
- f oo
4 - со
arctg дг
dx.
2381. j e-ax cos bxdx. 2382
• J1 дса
о
+ 00
Ac
2385. j' 7т- r ^ d x .
2384
(ДГЗ-І- 1)2 •
•i
2374- /2
i’ o H f e f
4- oo
dx
2378. J xs i nxdx.
Q
+ .0°
(T W * -
dx
2383.
I'
1+**’
$ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
>39
В задачах 2386 — 2393 исследовать сходимость интегралов.
-f- оо
4 - оо
238в- |
; 0
-}-оо
г387- j 4
I
Ld‘ -
г388- f ( « ■ + ? + . ) > ■
О
2389. f ' n(x2+[)dx. 2390. f Vxe~* dx . 2391. f xJ l M ? dx.
J
*
J
2392. f - = - 2 3 9 3 .
.] *ln1n*
J
у 1-j”
f — %-щ.
J x {\ nx f*
И н т е г р а л ы от ф у н к ц и й
с бесконечными разрывами
В задачах 2394 — 2411 вычислить несобственные интегралы (или
установить их расходимость).
2394. f J- 7V ^i —
= x*
.
0 r
2395.J f* 2—
^ т т-4 x + 3
2396'J fУi T
= T ‘
х—1
Me
2
0
1
2397.C*ln*& .
0
2400. f —^ = .
J1 -rj^lnx
2402. \
2398.
2401. t‘ -y= dx...
aJ f ( » - a ) ( 4 - ) : )
- - -=
2404. .fM--------x 2+ 2 ^ 1 -*
2406. f
у*2
2399. J j g j .
1
0
■- - - i f
2
1
(a < b ).
( a < 6).
2403. f
.
2405. Jf -------Г
7= у’
(2 —
2407. f
v' *;1
dx.
І А х - ^ =.
2408. f £7- ^ * .
± [ г *5
2409. ^ ln(2+ / x ) dx.
2410. f ~ d x .
2411.
-1
y x
-1
0
В задачах 2412 — 2417 исследовать сходимость интегралов.
2412. f - У — dx.
j y
1
*'*• j
l-'x*
2413. f - * -d x =-.
jj i kd- **) »
1
24l«- j jeSsi-
2414. f
J
-
dx
1
Л/2
2417-j 'уг^-
140
г л . VII. СПОСОБЫ
ВЫЧИСЛЕНИЯ
Разные
ОПРЕДЕЛЕННЫ Х
ИНТЕГРАЛОВ
задачи
2418. Функция f (х) в полуинтервале [а, 4 - оо) непрерывна и
f (х) -*■ Л Ф 0
при x-v -f-o o . Может
ли
интеграл J / (x)dx схов
диться?
+М
2419. При каких значениях k интеграл j
* dx будет
сходящимся?
2420. При каких значениях k сходятся интегралы
С
dx
«
.
2>
7 2J **1п*
J *(1пл.-)*
2
2421. При каких значениях k
л
сходится
^
интеграл \ ------
< »«.)?
“ ^
4-оо
2422. Можно ли найти такое k, чтобы интеграл § x kdx схоо
дился?
+00
2423. При каких значениях
k
С
и t интеграл ^
о
х^
сходится?
Л /2
2424. При каких значениях т интеграл J
2425. При каких значениях
k
~ dx сходится?
и
п
Г dx
интеграл \ —— сходится?
В задачах 2426 — 2435 вычислить несобственные интегралы.
2426. f - - ? = ■
J х/х-1
-}-00
2428. І
J
тельное число).
+оо
2430. ^ хпе~х dx
о
.
2427*. С l n ^ - ^ L .
J,
l-xy'1 -x*
-4-00
2429. і
(п — целое положи.1 («-г*-)»
(п — целое положительное число).
+00
2431. \ х2гг+1е~
0
1
2432. J (In х)" dx
о
dx
(п — целое положительное число).
(п — целое положительное число),
5 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
141
1
С
2433*. \
J
dx
У
V i1—х2
при т: а) четном, б) нечетном ( т > 0).
i_2434*. j —, ^ Х'>Пdx (п — целое положительное число).
V*
+5°
2435. (* ---------( 0 < а < 2 я ) .
J
(х — соз а) У х2 — 1
-{-00
-f-00
х 2 d:
2436*. Доказать, что Г — L = Г
=
’
J 1+*4
J 1+л-4
2J/2
Г+Х4
2у г
О
О
-f-00
2437*. Доказать, что j (і-^х2)2 ^х = 0.
р
_2
2438, Вычислить интеграл 1 — - -
$ х3У х 2- 1
dx.
В задачах 2439 —2448 вычислить интегралы, пользуясь фор­
мулами
+0О
_
j е ~ х*dx = X^- (интеграл Пуассона),
+00
J
о
dx = Y (интеграл Дирихле).
+ 0 0
2439. | e ~ a* d x
+0 0
( а > 0).
2440. j ~ d x .
+оо
2441*. ^ x2e - xIdx.
О
+00
2442. \ x2ne ~ x2dx (п — целое положительное число),
о
+00
+00
*n-X^ d x .
2443. j
dx.
2444. J —
+CO
( sin ctx cos bx
2445. \ ------ -------dx
„
и
.
»
/
+00
2446*.
j s^ - d x .
_
л
I
-
№
( a > 0, b > 0 ) .
+00
2447*.
j ^~dx.
+00
2448*.
j — ■dx.
142
г л . VII. СПОСОБЫ
ВЫ ЧИСЛЕНИЯ
О ПРЕДЕЛЕННЫ Х
ИНТЕГРАЛОВ
X
2449*. Положим (р(х) = — $ \ n c o s y d y . (Этот интеграл иазыО
вается и н т е г р а л о м Л о б а ч е в с к о г о . ) Доказать соотношение
Ф (* ) =
2
Ф (£ - + £ ) _
2
< р ( ^ - | - ) - х 1п
2
.
<3 помощью найденного соотношения вычислить величину
ф ( |) = -
Я/2
j In cos y d y
(впервые вычисленную Эйлером).
В задачах 2450 — 2454 вычислить интегралы.
п/2
2450. j lnsinxd*:.
0
Я
2451. $ х In sin х dx.
0
Я/2
2452*. $ x ctg xdx.
о
ГЛАВА
V III
П РИ М ЕН Е Н И Я И Н Т Е ГРА Л А
§ 1. Некоторые задачи геометрии и статики
Площадь фигуры
2455. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,
уравнения которых г/2 == 2дс -|- 1 и х — у — 1 = 0 .
2456. Найти площадь фигуры, заключенной между параболой
у = — х2 + 4х — 3 и касательными к ней в точках (0, —3) и (3, 0).
2457. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
у* = 2рх и нормалью к ней, наклоненной к оси абсцисс под
углом 135°.
2458. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами
У= хг и у = У х .
2459. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами
= 1 6 и у2 — 24х = 48.
2460. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами
у — хг и у = х а/ 3.
2461. Окружность х2+ #2 = 8 разделена параболой у = х г{2 на
две части. Найти площади обеих частей.
2462. Найти площади фигур, на которые парабола у* = Ъх
делит окружность х2+ </2 = І6.
2463. Из круга радиуса а вырезан эллипс, большая ось кото­
рого совпадает с одним из диаметров круга, а меньшая равна 2Ь.
Доказать, что площадь оставшейся части равна площади эллипса
с полуосями а и a — b.
2464. Найти площадь фигуры, ограниченной дугой гиперболы
и ее хордой, проведенной из фокуса перпендикулярно к действи­
тельной оси.
2465. Окружность х?‘ + у2 = а2 разбивается гиперболой хг — 2у2=>
= а 2/4 на три части. Определить площади этих частей.
2466. Вычислить площади криволинейных фигур, образованных
X2
X2
пересечением эллипса -j- + у2 = 1 и гиперболы ~ —
2467. Вычислить площадь фигуры, заключенной между линией
1
X2
0 = Г + Ғ и паРаболой У = -j -
144
ГЛ. V I I I . П Р И М Е Н Е Н И Я И Н Т Е Г Р А Л А
2468. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией у=>
= х(х — I)2 и осью абсцисс.
2469. Найти площадь фигуры, ограниченной осью ординат
и линией х = у2 (у — 1).
2470. Найти площадь части фигуры, ограниченной линиями
ут — х п и у'г~ х т, где т и п — целые положительные числа, распо­
ложенной в первом квадранте. Рассмотреть вопрос о площади всей
фигуры в зависимости от характера четности чисел т и п.
2471. а) Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограни­
ченной осью абсцисс н линией у = х —х2] / х .
б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями
линии (у — х)2 = хь и прямой х = 4.
2472. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной
линией
(у — х — 2)2 = 9х и осями координат.
2473. Найти площадь петли линии уг = х (х — 1)а.
2474. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией
f/2= ( l —х2)3.
2475. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией
у2 = х2 —х4.
2476. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией
х4 —ах3 -f а2у2 = 0.
2477. Найти площадь конечной части фигуры, ограниченной
линией х 2у2= 4(х — 1) и прямой, проходящей через ее точки
перегиба.
2478. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у = ех, у ~ е ~ х и прямой х = 1 .
2479. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограничен­
ной линией у — (х2+ 2х)е~х и осью абсцисс.
2489. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограничен­
ной линией у = е~х (х2 + 3х + 1) + е2, осью Ох и двумя прямыми,
параллельными оси Оу, проведенными через точки экстремума
функции у.
2481. Найти площадь конечной части фигуры, ограниченной
линиями у = 2х2ел и у —— х3ех.
2482. а) Вычислить площадь криволинейной трапеции с осно­
ванием \а, b], ограниченной линией у = 1пх.
б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией у — Inx,
осьго ординат и прямыми у — 1па и y = \ n b .
2483. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 1п х и у = 1п2х.
2484. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
In х
,
У = ~4Г и у = х { п х 2485. Вычислить площадь одного из криволинейных треуголь­
ников, ограниченных осью абсцисс и линиями у = s in х и «/= cosx.
145
§ 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ
2486. Вычислить площадь криволинейного треугольника, огра*
ниченного осью ординат и линиями y = tI g x и
j2 cosx.
2487. Найти площадь фигуры, ограниченной линией у = sin3x -f
-f cos3x и отрезком оси абсцисс, соединяющим две последователь­
ные точки пересечения линии с осью абсцисс.
2488. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс
и линиями у = arcsin х и у = arccos х.
2489. Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией
(у — arcsin х)2 = х — х2.
2490. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой цик­
лоиды x = a(i — s i n 0» г/ = а ( 1 —cos/) и осью абсцисс.
2491. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой
x = acos3t, y — asin3t.
2492. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой х =:
= 2 a c o s t — aco s2t, у = 2а sin t — a sin 2t.
2493. Найти площадь фигуры, ограниченной: 1) эпициклоидой
x = ( R + r ) c o s t - r c o s ^ — -t, у = ( /? + /•) sin* —/- s in ^ y - ^ ;
2) гипоциклоидой
л '= (R — г) cos t + r c o s R~
i, у = (R —г) sin t — г sin
1,
причем # = nr (n —целое число). Здесь R — радиус неподвижной,
а г — радиус подвижной окружностей; центр неподвижной окруж­
ности совпадает с началом координат, a t означает угол поворота
радиуса, проведенного из центра неподвижной окружности в точку
касания.
2494. Найти площадь петли линии:
1) x = 3t2, y = 3 t - t 3; 2) x = i2 — 1, y = t3- L
2495. а) Вычислить площадь, описываемую полярным радиусом
спирали Архимеда р = аср при одном его обороте, если началу
движения соответствует <р = 0.
б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной вторым и третьим
витками спирали и отрезком полярной оси.
2496. Найти площадь фигуры, ограниченной линией p = asin2q>
(двулепестковая роза).
2497. Найти площадь фигуры, ограниченной линией p=acos5<p.
2498. Найти площадь фигуры, ограниченной улиткой Паскаля
р = 2а (2 - f cos <р).
2499. Найти площадь фигуры, ограниченной линией р =■
— a t g ( p ( a > 0 ) и прямой ср = л/4.
2500. Найти площадь общей части фигур, ограниченных ли­
ниями p = 3 + cos4cp и р = 2 — cos 4<р.
2501. Найти площадь части фигуры, ограниченной линией
р = 2 + c o s 2ф, лежащей вне линии p = 2 + sin<p.
146
ГЛ. V III. П РИМ ЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
2502. Найти площадь фигуры, ограниченной линией ра =
= a2 cos nq> (п — целое положительное число).
2503. Показать, что площадь фигуры, ограниченной любыми
двумя полярными радиусами гиперболической спирали РФ = а и
ее дугой, пропорциональна разности этих радиусов.
2504. Показать, что площадь фигуры, ограниченной любыми
полярными радиусами логарифмической спирали р = ает(р и ее
дугой, пропорциональна разности квадратов этих радиусов.
2505*. Найти площадь фигуры, заключенной между внешней
и внутренней частями линии p = a s in 3-|-.
2506. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
р = у \ — 1\
ф
arcsint + Y \ — P.
В задачах 2507 — 2511 удобно перейти предварительной поляр­
ным координатам.
2507. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бер­
нулли (х2 у2)2= а2 (х2 — у1).
2508. Найти площадь части фигуры, ограниченной лемнискатой
Бернулли (см. задачу 2567), лежащей внутри окружности ** + 0®=
= а 2/2.
2509. Найти площадь фигуры, ограниченной линией (х2 + у2)2—
— а2х2 — b-у- = 0.
2510. Найти площадь фигуры, ограниченной линией
(х2 + y2f — Аа2ху (хй — у2) .
2511. Вычислить
х*-\-у* = х2 + у2.
площадь
фигуры,
ограниченной
линией
2512. Вычислить площадь фигуры, заключенной между линией
1
у = ~р+ ^2 и ее асимптотои.
2513. Найти площадь фигуры, заключенной между линией
у = х е ~ х1/2 и ее асимптотой.
2514. Найти площадь фигуры, содержащейся между циссоидой
х3 и ее асимптотои.
у 2 — с,-----
J
2а—х
2515. Найти площадь фигуры, заключенной между линией
ху2 = 8 — 4х и ее асимптотой.
2516*. 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
у = хгег~ и ее асимптотой.
2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией у2 = хе~гх.
2517. Найти площадь фигуры, заключенной между трактрисой
* = a ^cos / + In t g y j , y = a s i n t и осью абсцисс.
2518. Д ля линии Р —
Ha&TI1 площадь петли и площадь
фигуры, заключенной между линией и ее асимптотой.
§ 1. НЕКОТОРЫЕ ЗА ДА ЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ
Длина
W
линии*)
2519. Вычислить длину дуги цепной линии у = a ch
(от лсх= 0
до ж2 = й).
2520. Найти длину дусн иар-абалы уг = 2рх от вершиыыдо ее
точки М (х, у). (Взять у в качестве независимой переменной.)
2521. Найти длину дуги линии у = 1га л;(от Xi—V 3 до Хі = У 8).
2522. Найти длину дуги линии # — 1п (1 — х*) ^ о т а :і= 0 д о л ^ = ||.
£*4-1
2523. Найти длину дуги линии у = In
(от Хі=а до х2= о ).
2524. Вычислить длину дуги иолукубической нараболы у2 =
2
х
= д- ( х — I)3, заключение» внутри параболы г/2 = -3 <
2525. Вычислила. длину дуги полунубической параболы бг/3 =
<= я2, заключенной внутри окружности лг2 + г/2 = 6.
2526. В ы ч и сл ть длину петлад линии 9ау? = х (х — За)2.
2527. Найти периметр* одного из криволинейных треугольников,
ограниченных осью абсцисс и линиями y = l mc o s ; e и у = In sin х.
2528. Найти длину дуги линии У ~ ~ 4—
заключенной ме­
жду ее наинизшей точкой и вершиной (точка линии с экстре­
мальной кривизнам).
_____
_
2529. Найти длину линии у —V х — хг a xc s\n V х .
2530. Нагйти длину л н н т г (у — arcsin х)2 = 1 — х2.
2531. На циклоиде x = a(t — sin/). У = а (1 —cos/) найти точку,
которая делит первук> арку игиклоиды по длине в отношении 1 : 3.
2532. Дана астроида x = R c o s 3t, y — R s w 3t и точки на ней
A (R, 0), 5 ( 0 , R). Найти на дуге А В такую точку М , чтобы длина
дуги A M составляла четверть длины дуги А В.
2533*. Найти длину линии ^y j 2/3 + (у )* ^ == I2534. Найти длину линии л: = a cos5/, i/ = a s in 5/.
2535. Найти длину дуги трактрисы
х = a [cos t-\- In tg
t/ = asinZ
от ее точки (0, а) до ее точки (х, у).
2536. Найти длину дуги эвольвенты окружности
х = R (co s/-(-/ sin /),
у = R (sin t — t co s t)
(от / і = 0 д о t2=ri).
*) В задачах н а вычисление длин дуг там, где это необходимо, в скобка*
указывается интервал изменения независимой переменной, соответствующий
спрямляемой дуге.
148
г л . V III. ПРИМ ЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
2537. Вычислить длину дуги линии
х = (t2 — 2) sin t -f 2t cos t,
у = (2 — t2) cos t + 21 sin t
(от ?i = 0 до h = л).
Z3
2538. Найти длину петли линии x — t2, y = t — g-.
2539. По окружности радиуса а, вне и внутри ее с одинако­
вой угловой скоростью катятся (без скольжения) две окружности
с радиусами, равными Ъ. В момент t = 0 они касаются своими
точками M i и М 2 точки М неподвижной окружности. Показать,
что отношение путей, проходимых точками М х и М -t за произвольный
промежуток времени t, постоянно и равно
(См. задачу 2493).
2540. Доказать, что длина дуги линии
x = f" (t) cos / + / ' (t) sin t,
y = — f" (t) sin t + / ' (t) cos t,
соответствующей интервалу (fx, ti), равна [f(t) - f /" (/)] [£.
2541. Применить результат предыдущей задачи к вычислению
длины дуги линии х = е‘ (cost-\- sin t), у = ё (co s/ — sin/) (от /і= 0
до t2 = t).
2542. Доказать, что дуги линий
и
* = /(0-ф '(0.
х = / ' (0 sin t — ф' (t) cos t,
У = Ч>(0 + / ' ( 0
y = f (0 cos t + ф' (t) sin t,
соответствующие одному и тому же интервалу изменения пара­
метра t, имеют равные длины.
2543. Найти длину дуги архимедовой спирали р = аср от на­
чала до конца первого завитка.
2544. Доказать, что дуга параболы У = ^р х2, соответствующая
интервалу 0 - ^ х ^ а , имеет ту же длину, что и дуга спирали
Р — РЧ>, соответствующая интервалу O ^ g p s c a .
2545. Вычислить длину дуги гиперболической спирали р ф = 1
(от фі = 3/4 до ф2 = 4/3).
2546. Найти длину кардиоиды р = а (1 -f cos ф).
2547. Найти длину линии p = a s i n 3 ^- (см. задачу 2505).
2548. Доказать, что длина линии р = a s i n ^ (т — целое чис­
ло) соизмерима с а при т четном и соизмерима с длиной окруж­
ности радиуса а при т нечетном.
2549. При каких значениях показателя k(k=£0) длина дуги
линии у = ахк выражается в элементарных функциях? (Основы­
ваться на теореме Чебышева об условиях интегрируемости диф­
ференциального бинома в конечном виде.)
§ I. Н Е К О Т О Р Ы Е З А Д А Ч И Г Е О М Е Т Р И И И СТА ТИ КИ
149
2550. Найти длнну линии, заданной уравнением
X
у = § Ycosxdx.
— я/2
2551. Вычислить длину дуги линии
t
f cos 2 »
х = j — dz,
t
sin г •
y = ^ — dz
от начала координат до ближайшей точки с вертикальной каса­
тельной.
2552. Д оказать, что длина дуги синусоиды у — sin*, соответ­
ствующей периоду синуса, равна длине эллипса, полуоси которого
равны У 2 и 1.
2553. Показать, что длина дуги «укороченной» или «удлинен­
ной» циклоиды x = mt — п sin t, y = m — n c o s t (т и л —положи­
тельные числа) в интервале от tx = 0 до fa = 2n равна длине
эллипса с полуосями а = т-\-п, Ь = \т — п\.
2554*. Доказать, что длина эллипса с полуосями а и Ъ удов­
летворяет неравенствам л (a + b) < L < л У 2 -УсР + Ь3 (задача
И. Бернулли).
Объем тела
2555. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью,
образованной вращением параболы t f = 4х вокруг своей оси (па­
раболоид вращения), и плоскостью, перпендикулярной к его оси
и отстоящей от вершины параболы на расстояние, равное единице.
2556. Эллипс, большая ось которого равна 2а, малая —2Ь,
вращается: 1) вокруг большой оси, 2) вокруг малой оси. Найти
объем получающихся эллипсоидов вращения. В частном'случае
получить объем шара.
2557. Симметричный параболический сегмент, основание ко­
торого а, высота Һ, вращается вокруг основания. Вычислить
объем тела вращения, которое при этом получается («лимон»
Кавгльери).
2558. Фигура, ограниченная гиперболой х2 —у2 = а2 и прямой
х — а - \ - һ ( һ > 0 ) , вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем тела
вращения.
2559. Криволинейная трапеция, ограниченная линией у = хех
и прямыми х = \ и у = 0, вращается вокруг оси абсцисс. Найти
объем тела, которое при этом получается.
2560. Цепная линия y = c h x вращается вокруг оси абсцисс.
При этом получается поверхность, называемая к а т е н о и д о м .
Найти объем тела, ограниченного катеноидом и двумя плоско­
150
ГЛ. V III. П РИМ ЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
стями, отстоящими от начала на а и b единиц и перпендикуляр­
ными к оси абсцисс.
2561- Фигура, ограниченная дугами парабол у = х* и у 2 = х,
вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем тела, которое
при этом получается.
2562. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси
абсцисс трапеции, лежащей над осью Ох и ограниченной линией
(х - 4) у 1 = х (х - 3).
2563. Найти объем тела, полученного от вращения криволи­
нейной трапеции, ограниченной линией у = arcsinx, с основанием
[0, 1] вокруг оси Ох.
2564. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигу­
ры, ограниченной параболой у = 2х — х- и осью абсцисс, вокруг
оси ординат.
2565. Вычислить объем тела, которое получится от вращения
вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной дугой
синусоиды у = sin х, соответствующей полупериоду.
2566. Лемниската (х2 + у2)2 = а2 (х2 — у2) вращается вокруг
Оси абсцисс. Найти объем тела, ограниченного поверхностью,
которая при этом получается.
2567. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг
оси абсцисс фигуры, ограниченной линией: 1) х4+ Ух = агх2>
2 ) х*-\-у* = хК
2568. Одна арка циклоиды х = а (/ — sin i), y = a ( l — cost) вра­
щается вокруг своего основания. Вычислить объем тела, ограни­
ченного полученной поверхностью.
2569. Фигура, ограниченная аркой циклоиды (см. предыдущую
задачу) и ее основанием, вращается вокруг прямой, перпендику­
лярной к середине основания (ось симметрии). Найти объем полу­
чающегося при этом тела.
2570. Найти объем тела, полученного при вращении астроиды
х2/3 + ут = а2/3 вокруг своей оси симметрии.
2571. Фигура, ограниченная дугой линии x = — cos3t, у=>
с3
= -у sin31 (эволюта эллипса), лежащей в первом квадранте, и
координатными осями, вращается вокруг оси абсцисс. Найти
объем получающегося при этом тела.
2572. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью
бесконечного веретена, образованного вращением линии у =я
1
=
вокруг ее асимптоты.
2573. Линия у* = 2ехе~2х вращается вокруг своей асимптоты.
Найти объем тела, ограниченного поверхностью, которая полу­
чается в результате этого вращения.
2574*. 1) фигура, ограниченная линией у = е ~ х' и ее асимп­
тотой, вращается вокруг оси ординат. Вычислить объем тела,
§ 1. НЕКОТОРЫЕ ЗА ДА ЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ
151
которое при этом получается. 2) Та же фигура вращается вокруг
оси абсцисс. Найти объем получающегося тела.
2575*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью,
получающейся при вращении линии у = хге~*г вокруг своей
асимптоты.
2576*. Фигура, ограниченная линией у = ^ ~ и осью абсцисс,
вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем получающегося
тела.
2577*. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, производимой вращением циссоиды г/2 —
( а > 0 ) вокруг ее асимп­
тоты.
2578. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полу­
чающейся при вращении трактрисы х — a ^cos / + In tg y j , . у =>
e = a s i n / вокруг ее асимптоты.
2579*. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом
—
4ei Т — +
Т —
^ = 112580. 1) Вычислить объем тела, ограниченного эллиптическим
параболоидом г = -j- - f у и плоскостью 2 = 1.
2)
Найти объем тела, ограниченного однополостным гиперболоидом -~г 4- ~ — г2— 1 и плоскостями г = — 1 и 2 = 2.
4
У
2581. Вычислить объемы тел, ограниченных параболоидом
г = х2 + 2у2 и эллипсоидом д:а + 2і/2 + 22 = 6.
2582. Найти объемы тел, образованных пересечением двупо^2
|i2
j®
^
(А
лостного гиперболоида
у = 1 и эллипсоида -g- + ■j- +
+ ^ = 1.
2583. Найти объем тела, ограниченного конической поверхX2
I /2
п
ностью (z — 2)2 = -j- + у и плоскостью г = 0.
2584. Вычислить объем тела, ограниченного
2 z = j - + ^ - и конусом ~
параболоидом
= г2.
2585*. Найти объем тела, отсеченного от круглого цилиндра
плоскостью, проходящей через диаметр основания («цилиндриче­
ский отрезок», рис. 43). В частности, положить /? = 10с м
И Н - б СМ.
2586.
Параболический цилиндр пересечен двумя плоскостями,
из которых одна перпендикулярна к образующей. В результате
получается тело, изображенное на рис. 44. Общее основание па­
раболических сегментов а = 1 0 см, высота параболического сег-
152
ГЛ. V III . П Р И М Е Н Е Н И Я И Н Т Е Г Р А Л А
мепта, лежащего в основании, Я = 8 см, высота тела Һ = 6 см.
Вычислить объем тела.
2587.
Цилиндр, основанием которого служит эллипс, пересе- •
чен наклонной плоскостью, проходящей через малую ось эллипса.
Вычислить объем тела, которое при этом получается. Линейные
размеры указаны на рис. 45.
2588*. На всех хордах круга радиуса R, параллельных одно­
му направлению, построены симметричные параболические сег­
менты постоянной высоты Н. Плоскости сегментов перпендику­
лярны к плоскости окружности. Найти объем полученного таким
образом тела.
2589*. Прямой круглый конус радиуса R, высотой //.рассечен
на две части плоскостью, проходящей через центр основання па­
раллельно образующей (рис. 46). Найти объемы обеих частей
конуса. (Сечения конуса плоскостями, параллельными образую­
щей, суть параболические сегменты.)
2590.
Центр квадрата переменного размера перемещается вдоль
диаметра круга радиуса а, причем плоскость, в которой лежит
квадрат, остается перпендикулярной к плоскости круга, а две
§ 1. Н Е К О Т О Р Ы Е З А Д А Ч И Г Е О М Е Т Р И И И СТАТИКИ
153
противоположные вершины квадрата перемещаются по окружно­
сти. Найти объем тела, образованного этим движущимся квад­
ратом.
2591. Круг переменного радиуса перемещается таким образом,
что одна из точек его окружности остается на оси абсцисс, центр
движется по окружности х2+ у2= г2, а плоскость этого круга
перпендикулярна к оси абсцисс. Найти объем тела, которое при
этом получается.
2592. Оси двух равных цилиндров пересекаются под прямым
углом. Найти объем тела, составляющего общую часть цилиндра
(на рис. 47 изображена 1/8 тела).
(Рассмотреть сечения, образован­
ные плоскостями, параллельными
осям обоих цилиндров.)
R
Рис. 48
Рис. 47
2593.
Два наклонных цилиндра имеют одну и ту же высоту Н
и общее верхнее основание радиуса R, а нижние основания их
соприкасаются (рис. 48). Найти объем общей части цилиндров.
Площадь
поверхности
вращения
2594. Найти площадь поверхности, образованной вращением
параболы у2 = 4ах вокруг оси абсцисс от вершины до точки с абс­
циссой х = 3а.
2595. Вычислить площадь поверхности, образованной враще­
нием кубической параболы Зц — хл — 0 Ео кр уг оси абсцисс (от
*1 = 0 до х 2= а).
2596. Вычислить площадь катеноида — поверхности, образован­
ной вращением цепной линии у = a сһ
вокруг оси абсцисс (от
*1 = 0 до х2 = а).
д*2
у2
2597. При вращении эллипса ^ -f ?- = 1 вокруг большой осп
получается поверхность, называемая удлиненным эллипсоидом
вращения, при вращении вокруг малой — поверхность, называемая
укороченным эллипсоидом вращения. Найти площадь поверхно­
сти удлиненного и укороченного эллипсоидов вращения.
l&l
ГЛ . V III . П Р И М Е Н Е Н И Я И Н Т Е Г Р А Л А
2598. Вычислить площадь веретенообразной поверхности, обра­
зованной вращением одной арки синусоиды у — sin * вокруг оси
абсцисс.
2599. Д уга тангенсоиды у = tg х от ее точки (0, 0) до ее точки
(я/4, 1) вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить площадь по­
верхности, которая при этом получается.
2600. Найти площадь поверхности, образованной вращением
петли линии 9ау2 = х (За — х)2 вокруг оси абсцисс.
2601. Дуга окружности x2 + у2 = аа, лежащая в первом квад­
ранте, вращается вокруг стягивающей ее хорды. Вычислить пло­
щадь получающейся при этом поверхности.
2602. Найти площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси абсцисс дуги линии * = 6*sin/, y = e( cost от /і = 0 до
= л/2.
2603. Найти площадь поверхности, образованной вращением
астроиды х = a cos3/, у = a sin3/ вокруг оси абсцисс.
2604. Арка циклоиды вращается вокруг своей оси симметрии.
Найти площадь получающейся при этом поверхности. (См. зада­
чу 2568.)
2605. Найти площадь поверхности, образованной вращением
кардиоиды p = a ( I + cos<p) вокруг полярной оси.
2608. Окружность р = 2л sin ф вращается вокруг полярной оси.
Найти площадь поверхности, которая при этом получается.
2607. Лемниската p2 = a2cos2(p вращается вокруг полярной
оси. Найти площадь поверхности, которая при этом получается.
2608. Бесконечная дуга линии у = е~х, соответствующая поло­
жительным значениям х, вращается вокруг оси абсцисс. Вычис­
лить площадь поверхности, которая при этом получается.
2609. Трактриса x = a ^ c o s / + lntg-^-j, y = a s i n / вращается
вокруг оси абсцисс. Найти площадь получающейся бесконечной
поверхности.
М ом енты и центр масс*)
2610. Вычислить статический момент прямоугольника с о с н о ­
ванием а и высотой Һ относительно его основания.
2611. Вычислить статический момент прямоугольного равно­
бедренного треугольника, катеты которого равны а, относительно
каждой из его сторон.
2612. Доказать, что имеет место следующая формула:
ь
ь
$ (ах + b)f (х) dx = (al + b ) \ f (х) dx,
а
а
где £ — абсцисса центра масс криволинейной трапеции с основа­
нием [а, Ь], ограниченной линией «/ = /(* ).
*) Во всех задачах этого раздела (2610—2662) плотность принимается рав­
ной единице.
§ 1. НЕКОТОРЫЕ ЗА ДА ЧИ ГЕОМЕТРИИ И СГАТИКИ
№
2613. Найти центр масс симметричного параболического сег­
мента с основанием, равным а, и высотой Һ.
2614. Прямоугольник со сторонами а и b разбивается на две
части дугой параболы, вершина которой совпадает с одной из
вершин прямоугольника и которая проходит через его противо­
положную вершину (рис. 49). Найти
центр масс обеих частей Si и Si пря­
моугольника.
2615. Найти координаты центра
масс полуокружности
у — У г 2 — х2.
2616. Найти координаты центра масс
полукруга, ограниченного осью абсцисс
и полуокружностью у = У г2 — х2.
2617. Найти центр масс дуги ок­
ружности радиуса R, стягивающей
центральный угол а.
2618. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной
осями координат и параболой У х + У у = У а .
2619. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной
д<2
в
координатными осями и дугой эллипса ^ + р- = 1, лежащей в пер­
вом квадранте.
2620. Найти статический момент дуги эллипса ^2 + § а = ^ «
лежащей в первом квадранте, относительно оси абсцисс.
2621. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной
дугой синусоиды у — si n* и отрезком оси абсцисс (от
= 0 до
х2 = л).
В задачах 2622—2624 найти статический момент фигуры, огра­
ниченной данными линиями, относительно оси абсцисс:
2622. У — ' щ ^ и у — х2.
2623. y = sin* и у = 1 / 2 (для одного сегмента).
2624. у = х2 и у :Ух.
2625. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной
замкнутой линией уг = ах3 — jc4.
2626. Найти координаты центра масс дуги цепной линии у =
= ach-^-, содержащейся между точками с абсциссами jti = — а и
*2 = а.
2627. Доказать, что статический момент произвольной дуги
параболы относительно оси параболы пропорционален разности
радиусов кривизны в конечных точках дуги. Коэффициент про­
порциональности равен р/3, где р — параметр параболы.
2628. Найти координаты центра масс первой арки циклоиды
x = a(t — s i n /)» у = а ( \ — cost).
156
ГЛ. V III . П Р И М Е Н Е Н И Я И Н Т Е Г Р А Л А
2629. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной
первой аркой циклоиды и осью абсцисс.
2630. Найти координаты центра масс дуги астроиды х =
= acos3t, y = a s \ n 3t, расположенной в первом квадранте.
2631. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной
осями координат и дугой астроиды (в первом квадранте).
2632. Доказать, чго абсцисса и ордината центра масс сектора,
ограниченного двумя полярными радиусами и линией, заданной
в полярных координатах уравнением р = р(ф), выражаются так:
ф_ч
фа
\ р3cos (pdq>
\
р:| sin ф dtp
2633. Найти декартовы координаты центра масс сектора, огра­
ниченного одним полувитком архимедовой спирали р = йф (от
Фі = 0 до ф-2 = я).
2634. Найги центр масс сектора круга радиуса R с централь­
ным углом, равным 2а.
2635. Найти декартовы координаты центра масс фигуры, огра­
ниченной кардиоидой р = й (1 + с о 5 ф ).
2636. Найти декартовы координаты центра тяжести фигуры,
ограниченной правой петлей лемнискаты Бернулли р2 = а2соз2ф.
2637. Показать, что декартовы координаты центра масс дуги
линии, уравнение которой дано в полярных координатах р = р(ф),
выражаются так;
\ р cos ф y r(J2+ р 'а Лр
\ р sin ф Y р 2 + р '- rfq>
] / р 2 + р '2 Лр
2638. Найти декартовы координаты центра масс дуги лога­
рифмической спирали p — ae't (от фі = я/2 до ф2 = я).
2639. Найти декартовы координаты центра масс дуги карди­
оиды р = а ( 1 + с о 5 ф ) (от фі = 0 до ф2 = я).
2640. На каком расстоянии от геометрического центра лежит
центр масс полушара радиуса R?
2641. Найти центр масс поверхности полусферы.
2642. Дан прямой круглый конус; радиус основания его R,
высота Н. Найти расстояния от основания конуса до центра масс
его боковой поверхности, полной п о в е р х н о с т и И обЪбМ З.
2643. На каком расстоянии от основания лежит центр масс
тела, ограниченного параболоидом вращения и плоскостью, пер­
пендикулярной к его оси? Высота тела Һ.
§ 1. Н Е К О Т О Р Ы Е З А Д А Ч И Г Е О М Е Т Р И И И СТА ТИ КИ
157
2644. Найти момент инерции отрезка A B = I относительно оси,
лежащей с ним в одной плоскости, зная, что конец А отрезка
отстоит от оси на а единиц, конец В — на b единиц.
2645. Найти момент инерции полуокружности радиуса R от­
носительно ее диаметра.
2646. Найти момент инерции дуги линии у = ех (0 г ё * ==£ 1/2)
относительно оси абсцисс.
2647. Вычислить моменты инерции одной арки циклоиды х =
е= д (/ — s in t), y = a ( l — cosi) относительно обеих осей координат.
2648. Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а
и b относительно стороны а.
2649. Найти момент инерции треугольника с основанием а и
высотой Һ относительно:
1) основания;
2) прямой, параллельной основанию, проходящей через вер­
шину;
3) прямой, параллельной основанию, проходящей через центр
тяжести треугольника.
2650. Найти момент инерции полукруга радиуса R относи­
тельно его диаметра.
2651. Найти момент инерции круга радиуса R относительно
его центра.
2652. Найти момент инерции эллипса с полуосями а и b от­
носительно обеих его осей.
2653. Найти момент инерции цилиндра, радиус основания ко­
торого R, высота Н, относительно его оси.
2654. Найти момент инерции конуса, радиус основания кото­
рого R , высота Н, относительно его оси.
2655. Найти момент инерции шара радиуса R относительно
его диаметра.
2656. Эллипс с полуосями а и b вращается вокруг одной из
своих осей. Найти момент инерции получающегося тела (эллип­
соид вращения) относительно оси вращения.
2657. Найти момент инерции параболоида вращения, радиус
основания которого R, высота Н, относительно оси вращения.
2658. Вычислить момент инерции тела, ограниченного однополостным гиперболоидом у + у — 22 = 1 и плоскостями 2 = О и
2 = 1, относительно оси Ог.
2659. Криволинейная трапеция, ограниченная линиями у = ех,
у = 0, х = 0 и я = 1 , вращается: 1) вокруг оси Ох, 2) вокруг оси
Оу. Вычислить момент инерции получающегося тела относительно
оси вращения.
2660. Найти момент инерции боковой поверхности цилиндра
(радиус основания R, высота Н) относительно его оси.
2661. Найти момент инерции боковой поверхности конуса
(радиус основания R, высота Н) относительно его оси.
ГЛ. V III . П Р И М Е Н Е Н И Я И Н Т Е Г Р А Л А
2662.
Найти момент инерции поверхности шара радиуса R от­
носительно его диаметра.
Теоремы Гульдина
2663. Правильный шестиугольник со стороной а вращается
вокруг одной из сторон. Найти объем тела, которое при этом по­
лучается.
2664. Эллипс с осями ААу = 2а и В В 1 = 2Ь вращается вокруг
прямой, параллельной оси A A V и отстоящей от нее на расстоя­
ние 3Ь. Найти объем тела, которое при этом получается.
2665. Астроида вращается вокруг прямой, проходящей через
два соседних острия. Найти объем и поверхность тела, которое
при этом получается (см. задачу 2630).
2666. Фигура, образованная первыми арками циклоид
x = a(t — sin/),
у — a (I — cost)
и
х —а (/ — sin /),
у = — я(1 —cos/),
вращается вокруг оси ординат. Найти объем и поверхность тела,
которое при этом получается.
2667.
К эадрат вращается вокруг прямой, лежащей а его пло­
скости и проходящей через одну из его вершин * Прв каком поло­
жении прямой относительно квадрата объем получающегося тела
вращения будет наибольшим? Тот же ваарос для треугольника.
§ 2. Некоторые задачи физики
2668. Скорость тела дается формулой x = ~\f 1 + / м/с. Найти
путь, пройденный телом за первые 10 с после начала движения.
2669. При гармоническом колебательном движении по оси
абсцисс около начала координат скорость ~ дается формулой
(/ — время, Т — период колебания, ф0 —начальная фаза). Найти
положение точки в момент времени /о, если известно, что в мо­
мент ti она находилась в точке x — xi.
Сила / взаимодействия двух точечных масс определяется по
формуле f — k
, где m и М — массы точек, г — расстояние
между ними, a k —коэффициент пропорциональности, равный
6 ,6 7 -10-1'1 ! ^ к г •са (закон Нютона). Учитывая это, решить задачи
2670—2678. (Предполагается, что плотность постоянна.)
в 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ФИЗИКИ
199
2670.
Стержень А В, длина которого /, масса М , притягивает
точку С массы т, которая лежит на его продолжении ка рас­
стоянии а от ближайшего конца В стержня. Найти силу взаимо­
действия стержня и точки. Какую точечную массу нужно поме­
стить в А, для того чтобы она действовала на С с той же си дай,
что и стержень АВ? Какую работу совершит сила притяжения,
когда точка, отстоявшая от стержня на расстоянии ги прибли­
зится к нему на расстояние г2, двигаясь вдоль прямой, состав­
ляющей продолжение стержня?
, 2671. С какой силой полукольцо радиуса г и массы М дейст­
вует на материальную точку массы т, находящуюся в его центре?
2672. С какой силой проволочное кольцо массы М, радиуса R
действует на материальную точку С массы т, лежащую на пря­
мой, проходящей через центр кольца перпендикулярно к его
плоскости. Расстояние от точки до центра кольца равно а Какую
работу совершит сила притяжения при перемещении точки из
бесконечности в центр кольца?
2673. Используя результат предыдущей задачи, вычислить,
с какой силой плоский диск, радиус которого равен R, масса М,
действует на материальную точку массы т, которая лежит на
его оси на расстоянии а от центра.
2674. Используя результат предыдущей задачи, вычислить,
с какой силой действует на материальную точку массы т беско­
нечная плоскость, на которой равномерно распределена масса
с поверхностной плотностью а. Расстояние от точки до плоскости
равно а.
2675*. Радиусы оснований усеченного прямого круглого кону­
са равны R и г, высота к, плотность у. С какой силой действует
он на материальную точку массы т, помещенную в его вершине?
2676. С какой силой материальная ломаная =
притя­
гивает материальную точку массы т, находящуюся в начале коор­
динат? (Линейная плотность равна у.)
2677. Доказать, что материальная ломаная у = а \ х |- f 1 (aSsO)
притягивает материальную точку, находящуюся в начале коорди­
нат, с одной и той же силой независимо от а, т. е. независимо
от величины угла между сторонами ломаной.
2678*. Дна одинаковых стержня (длиной I и массы М каждый)
лежат на одной прямой на расстоянии I один от другого. Под­
считать силу их взаимного притяжения.
2679. Капля с начальной массой М падает под действием силы
тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу, рав­
ную т. Какова работа силы тяжести за время от начала движе­
ния до полного испарения капли? (Сопротивлением воздуха пре­
небрегаем.)
2680. Какую работу нужно произвести, чтобы насыпать кучу
песка в форме усеченного конуса высоты Н, имеющего радиусы
160
ГЛ . V I I I . П Р И М Е Н Е Н И Я И Н Т Е Г Р А Л А
оснований R и г (/■ < # )? Плотность равна d (песок поднимают
с поверхности земли, на которой покоится большее основание ко­
нуса).
2681. Размеры пирамиды Хеопса приблизительно таковы: вы­
сота 140 м, ребро основания (квадрата) 200 м. Плотность камня,
из которого она сделана, приблизительно равен 2,5 • 103 кг/м3.
Вычислить работу, затраченную при ее постройке на преодоление
силы тяжести.
2682. Вычислить работу, которую необходимо затратить, для
того чтобы выкачать воду, наполняющую цилиндрический резер­
вуар высотой Н = 5 м, имеющий в основании круг радиуса
R = 3 м.
2683. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы вы­
качать жидкость плотности d из резервуара, имеющего форму
обращенного вершиной вниз конуса, высота которого равна Н,
а радиус основания R. Как изменится результат, если конуо
будет обращен вершиной кверху?
2684. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать воду, наполняющую полусферический резервуар радиуса
R = 0,6 м.
2685. Котел имеет форму параболоида вращения (рис. 50).
Радиус основания R = 2 м, глубина котла Н = 4 м. Он наполнен
жидкостью, плотность которой d = 800 кг/м3. Вычислить работу,
которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.
2686. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы выка­
чать воду из цистерны, которая имеет следующие размеры
(рис. 51): а = 0,75 м,
= 1,2 м, Н — 1 м . Боковая поверхность
цистерны — параболический цилиндр.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвиж­
ной оси, равна
Jia2, где со —угловая скорость, а У —момент
инерции относительно оси вращения. Зная это, решить задачи
2687—2692.
161
§ 2. Н Е К О Т О Р Ы Е З А Д А Ч И Ф И З И К И
2687. Стержень АВ (рис. 52) вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси 0 0 ' с угловой скоростью (о = Юл рад/с. Попе­
речное сечение стержня 5 = 4 см2, длина его / = 20 см, плотность
материала, из которого он изготовлен, ■у= 7,8-103 кг/м3. Найти
кинетическую энергию стержня.
2688. Прямоугольная пластинка, стороны которой а = 50 см и
ft = 40 см, вращается с постоянной угловой скоростью со, равной
Зл рад/с, вокруг стороны а. Найти кинетическую энергию пла­
стинки. Толщина пластинки d равна 0,3 см, плотность у матери­
ала, из которого сделана пластинка, равна 8■ 103 кг/м3.
2689. Треугольная пластинка, основание которой а = 40 см,
а высота Я = 30 см, вращается вокруг своего основания с постоян­
ной угловой скоростью со = 5л рад/с. Найти кинетическую энер­
гию пластинки, если толщина ее d — 0,2 см, а плотность мате­
риала, из которого она изготовлена, ү = 2,2 - 103 n r / M J .
а
О
Рис. 52
Рис. 53
2690. Пластинка в форме параболического сегмента (рис. 53)
вращается вокруг оси параболы с постоянной угловой скоростью
to — 4л рад/с. Основание сегмента а = 20 см, высота Һ = 30 см, тол­
щина пластинки d — 0,3 см, плотность материала ү = 7 ,8 - 103 кг/м3.
Найти кинетическую энергию пластинки.
2691. Круглый цилиндр, радиус основания которого равен R,
а высота Я, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой
скоростью со. Плотность материала, из которого сделан цилиндр,
равна у. Найти кинетическую энергию цилиндра.
2692. Тонкая проволока массы М согнута в виде полуокруж­
ности радиуса R и вращается вокруг оси, проходящей через концы
полуокружности, делая п оборотов в минуту. Вычислить ее кине­
тическую энергию. Вычислить кинетическую энергию, если осью
вращения служит касательная в средней точке полуокружности.
2693.
Пластинка в форме треугольника погружена вертикально
в воду так, что ее основание лежит на поверхности воды. Осно­
ван ие п ластинки а, вы сота Һ.
а) Подсчитать силу давления воды на каждую из сторон пла­
стинки.
б) Во сколько раз увеличится давление, если перевернуть пла6
Г. И. Б ер м ан
162
ГЛ. V I I I . П Р И М Е Н Е Н И Я И Н Т Е Г Р А Л А
стинку так, что на поверхности окажется вершина, а основание
будет параллельно поверхности воды?
2694. Квадратная пластинка погружена вертикально в воду
так, что одна из вершин квадрата лежит на поверхности воды,
а одна из диагоналей параллельна поверхности. Сторона квадрата
равна а. С какой силой вода давит на каждую сторону пластинки?
2695. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину,
имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание кото­
рой а = 6,4 м, нижнее ft = 4,2 м, а высота й = 3 м.
2696. Пластинка, имеющая форму эллипса, наполовину погру­
жена в жидкость (вертикально), так что одна из осей (длиной 2Ь)
лежит на поверхности. Как велика сила давления жидкости на
каждую из сторон этой пластинки, если длина погруженной полу­
оси эллипса равна а, а плотность жидкости d?
2697. Прямоугольная пластинка со сторонами а и b ( а > Ь )
погружена в жидкость под углом а к поверхности жидкости.
Большая сторона параллельна поверхности и лежит на глубине Һ.
Вычислить силу давления жидкости на каждую из сторон пластинки,
если плотность жидкости d.
2698. Прямоугольный сосуд наполнен равными по объему ча­
стями воды и масла, причем масло вдвое легче воды. Показать,
что давление на каждую стенку сосуда уменьшится на одну пя­
тую, если вместо смеси будет взято одно масло. (Учесть, что все
масло находится сверху.)
При решении задач 2699—2700 следует опираться на закон
Архимеда: подъемная сила, действующая на погруженное в жид­
кость твердое тело, равна весу вытесненной им жидкости.
2699. Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь
основания которого 5 = 4000 см2, а высота Н = 50 см, плавает на
поверхности воды. Плотность дерева d = 0,8-10a кг/м3, а) Какую
работу нужно произвести, чтобы вытащить поплавок из воды?
б) Вычислить, какую работу нужно затратить, чтобы поплавок
погрузить в воду целиком.
2700. Шар радиуса R с плотностью 1 погружен в воду так,
что он касается поверхности. Какую работу нужно затратить,
чтобы извлечь шар из воды?
Задачи 2701—2706 связаны с явлением истечения жидкости из
малого отверстия. Скорость истечения жидкости определяется по
закону Торричелли: v = V 2 g h , где Һ — высота столба жидкости
над отверстием, g — ускорение силы тяжести *).
*) В данной здесь форме закон Торричелли применим только к идеаль­
ной жидкости. Д ля этой идеальной жидкости и даны ответы к задачам. (П рак­
тически пользуются формулой y = |ij/"2g/i, где fi — коэффициент, зависящий от
вязкости жидкости и характера отверстия, из когорого происходит истечение.
Д л я воды в простейшем случае р,= 0 ,6 .)
163
§ 2. Н Е К О Т О Р Ы Е З А Д А Ч И Ф И З И К И
2701. В дне цилиндрического сосуда, площадь основания ко­
торого 100 см, а высота 30 см, имеется отверстие. Вычислить
площадь этого отверстия, если известно, что вода, наполняющая
сосуд, вытекает из него в течение 2 мин.
2702. Коническая воронка высотой Я = 20 см наполнена водой.
Радиус верхнего отверстия R = 12 см. Нижнее отверстие, через
которое вода начинает вытекать из воронки, имеет радиус г =
= 0,3 см. а) В течение какого времени уровень воды в воронке
понизится на 5 см? б) Когда воронка опорожнится?
2703. В дне котла, имеющего форму полушара радиуса R =
= 43 см, образовалась пробоина площадью 5 = 0,2 см2. Через
сколько времени вода, наполняющая котел, вытечет из него?
Рис. 54
Рис. 55
2704. Котел имеет форму эллиптического цилиндра с горизон­
тальной осью. Полуоси эллиптического сечения (перпендикуляр­
ного к оси цилиндра) равны b (горизонтальная) и а (вертикаль­
ная); образующая цилиндра равна L (рис. 54). Котел наполнен
водой до половины. За какое время вода вытечет из котла через
отверстие в его дне, имеющее площадь S?
2705. В вертикальной стенке призматического сосуда, напол­
ненного водой, проделана прямоугольная вертикальная щель, вы­
сота которой равна Һ, ширина Ь. Верхний край щели, параллель­
ный поверхности воды, расположен на расстоянии Н от поверх­
ности. Какое количество воды вытечет из сосуда за 1 с, если
считать, что уровень воды поддерживается все время на одной
высоте? Рассмотреть случай Н = 0 (задача о водосливе).
2706. Сосуд, наполненный до краев водой, имеет форму парал­
лелепипеда с площадью основания 100 см2. В боковой стенке его
имеется узкая щель высотой 20 см и шириной 0,1 см (рис. 55).
За какое время уровень воды в сосуде понизится на: а) 5 см;
б) 10 см; в) 19 см; г) 20 см? (Воспользоваться результатом пре­
дыдущей задачи.)
Уравнение состояния идеального газа имеет вид pv — R T , где
р — давление, у —объем, Т — абсолютная температура и R — по­
стоянная для данной массы газа. Решить задачи 2707—2709, счи­
тая газы идеальными.
6*
164
Г Л . VU1. П Р И М Е Н Е Н И Я И Н Т Е Г Р А Л А
2707. В цилиндре, площадь основания которого 10 см2, а вы­
сота 30 см, заключен атмосферный воздух. Какую работу необхо­
димо затратить, чтобы вдвинуть поршень на 20 см, т. е. вдвинуть
его так, чтобы он остановился на расстоянии 10 см от дна ци­
линдра (рис. 56)? Атмосферное давление равно 105 Па. Процесс
протекает изотермически, т. е. при постоянной температуре.
2708. В цилиндрическом сосуде, поперечное сечение которого
100 см2, заключен воздух при атмосферном давлении. В сосуде
имеется поршень. Первоначальное расстояние его от дна сосуда
равно 0,1 м. Цилиндр помещен в
30 см
пустоту, благодаря чему воздух
в нем расширяется, выталкивая
поршень. 1) Вычислить работу,
I
I
совершаемую воздухом в цилин­
- tr дре, когда он поднимает поршень
на высоту: а) 0,2 м, б) 0,5 м,
в) 1 м. 2) Может ли эта работа
неограниченно увеличиваться при
20см
неограниченном расширении газа?
(Процесс, как и в предыдущем
Рис. 56
примере, протекает изотермически.)
2709. В цилиндрическом сосуде объемом ио = 0,1 м3 находится
атмосферный воздух, который подвергается сжатию быстрым вдви­
ганием поршня (считаем при этом, что процесс протекает без при­
тока или отдачи тепла, т. е. адиабатически). Какую работу надо
затратить, чтобы сжать воздух в сосуде до объема и = 0,03 м3?
(Атмосферное давление равно 105 Па.) При адиабатическом про­
цессе давление и объем газа связаны соотношением pif* = pjtf
(уравнение Пуассона). Д ля двухатомных газов (а также для воз­
духа) у т 1,40.
По закону Ньютона скорость охлаждения тела пропорцио­
нальна разности между температурой тела и температурой окру­
жающей среды. На основании этого закона решить задачи
2710—2711.
2710. Тело, температура которого 25°, погружено в термостат
(в котором поддерживается температура О3). За какое время тело
охладится до 10°, если за 20 мин оно охлаждается до 20°?
2711. Тело, температура которого 30°, за 30 мин пребывания
в термостате, температура которого 0°, охладилось до 22,5°. Ка­
кова будет температура тела через 3 ч после начала опыта?
По закону Кулона сила взаимодействия двух электрических
зарядов равна
Н, где qi и ^ — величины за р я д ов в к у л о ­
нах, г —расстояние между зарядами в метрах, электрическая по­
стоянная е0 = 8,85 г Ю-12 Ф/м (4яе0= 1,11 • 10"10) и е —диэлектри­
§ 2. Н Е К О Т О Р Ы Е З А Д А Ч И Ф И З И К И
165
ческая проницаемость среды относительно вакуума (для воздуха
е ^ 1 ) . На основании этого закона решить задачи 2712— 2714.
2712. Бесконечная прямая равномерно заряж ена положитель­
ным электричеством (линейная плотность электричества о). С ка­
кой силой действует эта прямая на единичный згряд, находя­
щийся в точке А на расстоянии а от нее? Д иэлектрическая про­
ницаемость среды равна единице.
2713. Д ва электрических заряда: <71 = 6,67 10 9 Кл и q-2 ~
= 10- 10 9 Кл находятся на расстоянии 10 см друг от друга. Р а з­
деляющей их средой служ ит воздух. Сначала оба заряда закреп­
лены неподвижно, затем заряд q2 освобождается. Тогда под дейст­
вием силы отталкивания заряд q2 начнет перемещаться, удаляясь
от заряда qx. Какую работу совершит сила отталкивания, когда
ззрид: а) удалится на расстояние 30 см; б) удалится в беско­
нечность?
2714. Д ва электрических заряда ^ = 33,3- 10 ' 9 Кл и q2 =s
= 40 - 1 0 ~у Кл, находятся на расстоянии 20 см друг от друга.
Каково будет расстояние между зарядами, если мы приблизим
(.1. рои к первому, затратив при этом работу 18- 10 5 Д ж ? (Р аз­
деляющей средой служит воздух.)
2715. Н апряж ение на клеммах электрической цепи V = 120 В.
В цепь равномерно вводится сопротивление со скоростью 0,1 Ом
в секунду. Кроме того, в цепь включено постоянное сопротивле­
ние г = 1 0 Ом. Сколько кулонов электричества пройдет через цепь
в течение двух минут?
2716. Н апряжение на клеммах электрической цепи, равное
первоначально 120 В, равномерно падает, убывая на 0,01 В в се­
кунду. Одновременно с этим в цепь вводится сопротивление тож е
с постоянной скоростью, именно 0,1 Ом в секунду. Кроме того,
в цени имеется постоянное сопротивление, равное_12 Ом. Сколько
кулонов электричества протечет через цепь за 3 мин?
2717. При изменении температуры сопротивление металличе­
ских проводников меняется (при обычных температурах) по за ­
кону R = R0 (1 + 0,0040), где R0 — сопротивление при 0 СС и Ө—
температура по Цельсию. (Этот закон справедлив для больш ин­
ства чистых металлов.) Проводник, сопротивление которого пои
0°С равно 10 Ом, равномерно нагревается от Өі = 20° до Ө2= 2 0 0 J
в течение 10 мин. В это время по нему идет ток под напряже­
нием в 120 В. Сколько кулонов электричества протечет за это
время через проводник?
2718. Закон изменения напряжения синусоидального тока, име­
ющего частоту со, дается следующей формулой: £ = £,0sin (со/-|-ф ),
где Е0 — максимальное напряжение, ф — фаза, а / — врем я. Н ай ти
среднее значение квадрата напряжения за 1 период. Показать,
что при постоянном сопротивлении переменный ток выделяет
за 1 период столько же тепла, сколько постоянный, имеющий
166
Г Л . V III . П Р И М Е Н Е Н И Я И Н Т Е Г РА Л А
напряжение, р а в н о е ]/(£ 2)ср. (Ввиду этого выражение V ( E 2)cp на­
зывают эффективным напряжением переменного тока.)
2719. Напряжение синусоидального тока дается формулой
а ток — формулой
где Е 0 и / 0 — постоянные величины (наибольшие значения напря­
жения и тока), Т — период, а ф0 —так называемая разность фаз.
Вычислить работу тока за время от t\ = 0 до /2 = Т и показать,
что наибольшее значение эта работа будет иметь тогда, когда
разность фаз ф0 равна нулю.
2720.
Найти время, в течение которого 1 кг воды нагреется
электроприбором от 20 СС до 100 °С, если напряжение тока 120 В,
сопротивление спирали 14,4 Ом, температура воздуха в комнате
20 °С и если известно, что 1 кг воды остывает от 40 °С до 30 °С
за 10 мин. (По закону Джоуля —Ленца Q = I 2Rt, где Q — коли­
чество теплоты в джоулях, / —ток в амперах, R — сопротивление
в омах и / — время в секундах; удельная теплоемкость воды
4190 ^ г -қ - Кроме этого, воспользоваться законом Ньютона об
охлаждении; см. задачу 2710.)
2721. Воздух, наполняющий сосуд вместимостью 3 л, содер­
жит 20% кислорода. Сосуд имеет две трубки. Через одну из них
в сосуд начинают впускать чистый кислород, через другую вы­
текает наружу столько же воздуха, сколько притекает в сосуд
кислорода. Какое количество будет содержаться в сосуде, после
того как через него протечет 10 л газа?
2722. Воздух содержит а% (= 8% ) СОа; он пропускается через
цилиндрический сосуд с поглотительной массой. Тонкий слой
массы поглощает количество газа, пропорциональное его концен­
трации и толщине слоя, а) Если воздух, прошедший слой в Н см
( = 10 см) толщиной, содержит Ь% ( = 2 % ) С 0 2, то какой толщи­
ны Н 1 должен быть поглотительный слой, для того чтобы, выходя
из поглотителя, воздух содержал только с % (= 1%) углеки­
слоты? б) Сколько углекислоты (в %) останется в воздухе, про­
шедшем поглотитель, если толщина поглотительного слоя будет
равна 30 см?
2723. Если при прохождении через слой воды толщиной 3 м
поглощается половина первоначального количества света, то ка­
кая часть этого количества дойдет до глубины 30 м? Количество
света, поглощенного при прохождении через тонкий слой воды,
пропорционально толщине слоя и количеству света, падающего
на его поверхность.
§ 2. Н ЕК О ТО РЫ Е ЗА Д А Ч И Ф И ЗИ К И
167
2724. Если первоначальное количество фермента 1 г через час
становится равным 1,2 г, то чему оно будет равно через 5 часов
после начала брожения, если считать, что скорость прироста
фермента пропорциональна его наличному количеству?
2725. Если через два часа после начала брожения наличное
количество фермента составляет 2 г, а через три часа 3 г, то
каково было первоначальное количество фермента? (См. преды­
дущую задачу.)
2726. 2 кг соли растворяются в 30 л воды. Через 5 мин раст­
воряется 1 кг соли. Через какое время растворится 99% перво­
начального количества соли? (Скорость растворения пропорцио­
нальна количеству нерастворенной соли и разности между кон­
центрацией насыщенного раствора, которая равна 1 кг на 3 л, н
концентрацией раствора в данный момент.)
Г Л А В А IX
РЯДЫ
§ 1. Числовые ряды
Сходимость числового
ряда
В задачах 2727—2736 для каждого ряда: 1) найти сумму п пер­
вых членов ряда (S,,), 2) доказать сходимость рада, пользуясь
непосредственно определением сходимости и 3) найти сумму
ряда (5).
1
2727" Г 2 + :
Н- . . . 4
1
1
2728. 773 + з 5 + - • + (2/1—1) (2/х+1) + ...
1
JL
2729.
-j- ...
(Зя — 2) (3/1+ 1)
7+ -
2731.
2732.
2733.
2734.
2735.
2736.
!-------L
’ -)-----* пи /,1
l
I **..*
(я _
-1-3)
1
+ (2 п — 1 ) (2 л + 5 )
1 -7
1
1
1
п(п + 1) (п -|- 2)
1 - 2 - 3 ■+1 2 - 3 - 4
3"+2П
13
5
6"
3G
6
3
2я-М
VT + --п2(/х+ 1);
2
П
+ ...
9 + 225 + • ' • + ТС-'Т п ^ Г)а (2п + Г)2
1
1
arctg 2 +l'-“‘
arctg
- ‘s Іg + ... -f arctg 2п* -f
■
Ряды с положительными
членами
В задачах 2737—2753 вопрос о сходимости данных рядоь ре­
шить с помощью признаков сравнения.
if. 2Ъ-!+■••
I
|
«
JX ,
4 ~Ь • ■• "Ь sm ^
2737. -Г2 + з ^ г + ••■+
П
илп • JT , •
2738. sin j - “h
JT
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
2739. 1 + 1 ! ^
1G9
+ ... + 1! ± 1 + ...
2740- 2 L5 + 3i 6 + - +
(n+ l)1(,: + 4) +
2741. 4 + 1- + . . . + ^ - + ...
2742.
tgj
+
lg j +
... +
t g £ + ...
2743. 4 + | + - - . + ^ q r r + ...
2744. ] +
+ - . . + з^
2 7 4 5In. ^2 +* ^in
oo
гт - 2
n —I
гі
+■••
+ ...+
3 ' * *’ ‘ In ( / i + 1)
sd ^ + s-
oo
2747- 2 Ш
n —I
CO
2748. У
n=
1
00
-?Л - = .
Vrc* + ‘in
1
2749. У ^ 4 .
•*,n —v1n&
CO
2750. 2
Л=1
00
________
2751. j Y
П=1
OO
2752. 2 ^ ( К М П - І Л Г 7 !)ft = 1
00
2753. 2 ~ ( У п 2+ п + \ - У п 2- п + \ ) .
n= I
В задачах 2754—2762 доказать сходимость данных рядов с по­
мощью признака Даламбера.
” 54. j + 55 + - + ( S T T » + 2755.
I + £ + ...+ £ + ...
2756. tg ; + 2 t g J + . . . + /l t g ^ r + ...
^ I 2- 5
2 - 5 -. . . - ( З я 1)
2757. Т + Г 5 + - - + 1.5.....(4я-3) + " •
07С 7
2758. J + J
°759 ' I
I
. 1, 3-...-(2я— 1) .
2759- 3 + зТб + ■•■+ --- -------- + ■•■
2760. s in |- + 4 s i n - | + . . . - f r t 2s i n ~ + ...
170
г л . IX. Р Я Д Ы
2761. 2j + з|- + • • • +
2762
Z iO Z .
-22 +
-t-
+
+ •••
jji
4-
+
T -
2 n .„ i
- -
В задачах 2763— 2766 доказать сходимость данных рядов с по­
мощью радикального признака Коши.
27вз- ТГ1 + ПИ + - + Т Я п Ь т ) + * 7 M --a - + (-5-)* + -
+ (i4 r )“+ -
2765. arcsin 1 + arcsin2 + ••• + arcsin" — - f ...
' 3 \4
jП+
2766. g -|---- ------Ь • ■■+ ---- 3УГ---- f" ■■*
В задачах 2767—2770 вопрос о сходимости данных рядов ре­
шить с помощью интегрального признака Коши.
2767 •
2 In2 2
2™ -
ігсг2
+1 я"1
па ? +1 ••■
3 1п23
• “ +1
+
2769.
п
Ь + --- +
( я + 1 ) ]п2 ( я + 1 )
л п
1
+ ---
-г ( г р і ) + — + ( г р £ ) + • "
ОО
2770. У
Vп
п — 1 г
« —1
В задачах 2771—2784 выяснить, какие из данных рядов схо­
дятся, какие расходятся.
m u j h +m
+ * * b * t + -"
2772. 1
+ 2 Й ~ Г + - '•
+
2773. У 2 + " | / ”' | + ■• ■+ | / " +
2774. 1 + Г 2 + -
-‘•
+ г ; + -
2775. 2 + |- + ... + ^
+ ...
1
2
ti
2776. у щ + 2боТ + ■• ■+ 1000.U+1 ^ ‘ ‘*
2777.
+
+
2778. з + | + ■■■+ ^
+
+
+ ■■■
2779. arctg 1 + arctg 2 \ + . . . + arctg*
+ ...
171
§ 1. Ч И С Л О В Ы Е РЯ Д Ы
2780. 2 + f6 + .
2781 • Ғ З +
6^7 +
2 7 8 2 .|- + |
" ' +
(5п — 4) (4/г— 1) +
+ ... + „ 4
2783. 1
+
г+
1‘ ’
...
+ ^ +
2784*. sin 2 Ң—sin ^ -f- . . . + s' n ой" ~Ь • ■■
В задачах 2785—2789 доказать каждое из соотношений с по­
мощью ряда, общим членом которого является данная функция.
2785.
lim 7 = 0.
П—
*СС^
2786. l i m ^ f = 0 ( а > 1 ) .
П-+СО CL
lim -^ -^ 0 .
2788.
г)71
2787.
П -+ С О '
2789.
>'
иЯ
П —
*-СО \ и Ч
l i m ^ - = 0.
п —►оо А
Ряды с п р о и зв о ль н ы м и членами.
Абсолютная сходимость
В задачах 2790—2799 выяснить, какие из указанных рядов
сходятся абсолютно, какие не абсолютно, какие расходятся.
27М. l - 4 + . . . + ( - l ) « j j i T + . . .
2791. l - 3i + . . . + ( _ i r . (-s r Llp + ...
2792' Ш - Ш + ' • • + (“ О " 1W
0_n„
sin a
УЛ. — j — -J-------—
2794. I
-
. sin na
. sin 2 a
+
... +
+ ц + ■• •
.
-------Г ■■■
+
2795. 2 — | + ... + ( - l ) n+1^
+ ...
2796. — 1 + - - - . . . + ( _ l ) » - L + ...
V2
^
' Yn
2797.
+
2798- І й г і -
n— 1
+ ( - ! ) ”« 5 ! + ...
2799' 2
Я=1
(-•)* « w -
172
ГЛ. IX. РЯДЫ
on
оо
2800. Показать, что если ряды У] а;, и £ Ь% сходятся, то
П= І
П= I
on
ряд 2 « А абсолютно сходится.
/і = і
ГГ)
2801. Показать, что если ряд V] ап абсолютно сходится, то
л= 1
и ряд У п
П= 1
- пп также абсолютно сходится.
§ 2. Функциональные ряды
Сходимость функциональных
рядов
В задачах 2802—2816 определить области сходимости рядов.
2802. 1 + * + . . . + *" + . . .
2803. In х + !n2* + . . . + In" x + . . .
2804. x + a-! + . . . + .v'!2- f . . .
2805. * + *■ + . . . + g + . . .
2806. * + ^ + . . . + - ^ 1 + . . .
У
у n
2
2807т Ь + т т ғ + - - + т ^ + 2803. 2A- + 6x2 + ... + n ( n + 1)*" + . . .
2809. * + — ^ - + . . . + —^ — + •••
2
2-Ы 2
я + ]/л
2810. г1 +г. -Vт- +1 т1т+^АТ1 +1 --- +1 П
1 +ГХ^ 'г! +1 --2811. sin 2 + sin 4' + • • • + sin jt n -j- . . .
2812- A-tg J- H- дс* tg J + . . . + A"*tg2* + . . .
2813. s
i
,
Sin 2x
n .
.
,
sin n x
v + ... + —
.
+
28»4. COS
— X +. cos
— 2x +, ... +. cos
_ _fix +. ...
„„ . .
2815. <rx + e~ix + . . . + e~n'-x + . . .
2816. 5 +
+
Равномерная (правильная)
сходимость
В задачах 2817 — 2820 доказать, что данные ряды равномерно
(правильно) сходятся на всей оси Ох.
173
s 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
ОО
2Ш - 2
п= 1
2821.
w id ttm -
Показать,
2819- 2
2820- 2
п— 1
что
ряд
п = 1
1+[фМР
+
- »■
1
4+М*)]2
,
. . . + д2_1 ^
+ • • • сходится равномерно (правильно) в любом
интервале, в котором определена функция ф(*).
---- ;_= - + ■•• + ------ 1
+ • ••
2822. Показать, что ряд ^ y i + j e 2 [ Л +2*
равномерно (правильно) сходится на всей положительной полуоси.
Сколько нужно взять членов, чтобы при любом неотрицательном х
можно было вычислить сумму ряда с точностью до 0,001?
по оо & гг
1л (1 +*) . In (1 -\-2х) .
. 1п(1+лдг)
2823*. Показать, что ряд
х ■■■■■Ч — ~2J3 — + . . . Н---- пхП + . . .
равномерно сходится в полуинтервале 1 + to е с л к + со, где со —
любое положительное число. Убедиться, что при любом х из
отрезка 2 «£* sS 100 достаточно взять Еосемь членов, чтобы полу­
чить сумму ряда с точностью до 0,01.
ОО
2824. Показать, что ряд
хп (1— х) сходится неравномерно
П — 1
на отрезке [0, 1].
2825. Функция f (х) определяется равенством
ОО
£ /
COS П Х
\
fW = І1< угn =
1
Показать, что функция f(x) определена и непрерывна при
любом х. Найти /(0),
и / ( у ) . Убедиться в том, что для
вычисления приближенных значений функции f(x) при любом х
с точностью до 0,001 достаточно взять три члена ряда. Найти
с указанной точностью /(1 ) и f ( —0,2).
2826. Функция f(x) определяется равенством
ОО
оо
^ М ==Г+^~*" 2
п =
1+ (* + ша)а
1
2
п =
1+ (Л-ШВ)2
I
Показать, что функция / (х) определена и непрерывна при любом х.
Убедиться, что / (х) — периодическая функция с периодом со.
Интегрирование
и дифференцирование рядов
2827. Показать, что ряд х2 + хв + . .. + xin~2+ . . . равномерно
сходится на отрезке — 1 + сог^л;==£ 1 — со, где о> — любое положи­
тельное число, меньшее 1. Интегрированием данного ряда найти
174
ГЛ. IX. РЯДЫ
в интервале (— 1, 1) сумму ряда
X3
I Л
х7
У- -L
х 1п~г
I 4п_
Л
1
3 -г- 7
2828. Найти сумму ряда
2829. Найти сумму ряда
2830. Функция / (л;) определяется равенством
/ (х) = е~* + 2е~2х + . . . + пе~пх - f . ..
Показать, что функция f(x) непрерывна на всей положитель­
In 3
ной полуоси Ох. Вычислить $ f(x)dx.
In 2
2831. Функция f(x) определяется равенством
/ (х) = 1 + 2 • Зх -j-... + п ■Зп- 1хп~1 + . . .
Показать, что функция f(x) непрерывна в интервале (— 1/3, 1/3).
0,125
Вычислить
J / (х) dx.
о
2832*. Функция f(x) определяется равенством
/<*) = j t g £ + A-tg-£ + . . . + ^ t g £ + . . .
Вычислить J f(x) dx, предварительно убедившись в том, что
я/6
функция f(x) непрерывна в заданном интервале интегрирования.
2833*. Функция f ( x ) определяется
рядом
f(x)= ^
Показать, что функция f(x) непрерывна на всей числовой оси.
оо
Вычислить
J f (я) dx.
2834. Исходя из соотноления f xndx = ~ y , найти сумму ряда:
~
\
огs'>
§ 3. С Т Е П Е Н Н Ы Е Р Я Д Ы
175
4- °°
2835. Исходя из соотношения
^
= —*2 -,
найти
сумму
2
ряда JT2 + 2Т22 + ■■• 4- п . 2и + • • •
2836. Исходя из соотношения
п /2
f
1
c a ^ x d x - * • ( 2 п - 1 ) ( 2 » - 3 ) - ....3 - 1
t-Оа х а х - 2
2 и (2 л — 2 ) ■ ■ 4 ■2
•
найти сумму ряда
! _ L 3 J.
2
U
2 •4 ' ' "
П1^ 1 1 ■3 ■■■■■(2га
'
'
1) .
2 ■4 ■ • 2га
2837. Доказать, что ряд
sin 2 л х , sin 4 я * .
2
*
4
, sin 2пяд: ,
Г- - - І
2«
'"•••
равномерно сходится на всей числовой оси. Показать, что этот
ряд нельзя почленно дифференцировать ни в каком интервале.
2838. Исходя из равенства 1 -\-х + х2+ . . . = l
(| х | < 1), просуммировать ряды ! + 2х + Зх2 + . . . 4- пхп~1 + • ■• и 1 + Зх + . . .
, . . _1_ га (п 4 1
J
хП_г
^ и показатЬ) чт0 р Яд
nx*- 1
j _j_ 2jc 4 - . . .
...
равномерно сходится на өтрезке [— р, р], где | р | < 1 .
2839. Показать справедливость равенства
1
1+ *
.
2х
.
1 + х2
. тх ™ - 1 .
1 + х’п
_
1
1 —X '
где т = 2я"1 и — 1 < ; х < 1 .
2840. Убедиться, что функция y — f (л), определяемая рядом
х + х2 + + . . . -+ ^ *_j-yj- + ■■■, удовлетворяет
соотношению к у ' ~
§ 3. Степенные ряды
Разложение
функций
2841. Разложить функцию
сти точки х = 1 (при х0=1) .
2842. Разложить функцию
ности точки х = 1.
2843. Разложить функцию
сти точки х = 3.
2844. Разложить функцию
ности точки х = 2.
в степенные
ряды
у = \п х в ряд Тейлора в окрестно­
y = V x a в ряд Тейлора в окрест­
у = \/х в ряд Тейлора в окрестно­
y—
в ряд Тейлора в окрест­
176
ГЛ . IX. Р Я Д Ы
В задачах 2845 — 2849 разложить данные функции в ряд Тей­
лора в окрестности точки х = 0 (ряд Маклорена):
2845. у = сһх.
2846. у = х2ех.
2847. у — cos (я-Ьа).
2848. y = ex sinx.
2849. y = cos x c h x .
В задачах 2850 — 2854 найти первые пять членов ряда Тейлора
для данных функций в окрестности точки * = 0.
2850. у = In (14- ех).
2851. y = ecos*.
2852. г/ = соsax.
2853. у = — In cos х.
2854. t/= (1-f я)*.
В задачах 2855 — 2868 разложить данные функции в окрест­
ности точки х = 0, пользуясь формулами разложения в ряд Мак­
лорена функции ех, sin a:, c o s x , la (1 + х) и ( l - f * ) m.
2855. у = е2х.
2856. у = е~х‘ .
2858. у = {
2хл
2857. // = {
srn X
. ----2861. у = [ х
1
2862. у = {х — tg х) cos х.
2863. у = In (10 4-х).
2864.
2865. y = V l + .v 2.
2866.
У 1
при х ^ О ,
при * = 0.
ПРИ х=^°< 2859. г/ = sin *,
*/= х In (1 + х ).
y = Y 8 - х 5.
2868. у
X3 '
г\
при Хф О .
v
'
при х = 0.
2860. у = cos2x.
2867. i/ = ;
*
1
‘ J
1 — x'1 '
1 4- x
2869. Разложить в ряд Тейлора функцию у = - - у в окрест­
ности точки х = 0. Воспользовавшись этим разложением, найти
4
п2
сумму ряда 1 4- J + ... + -^гт + ...
2870. Пользуясь разложением функции в ряд Тейлора, найти
значение:
1) седьмой производной ОТ функции у — Tj—7 при х = 0,
~т~
2) пятой производной от функции у = Х2У 14- х при х = 0,
3) десятой производной от функции у = х аех при х = 0,
4) кривизны линии г/= х [i/"( 1 4~ х)4—1] в начале координат.
В задачах 2871 —2877, пользуясь разложением функций в ряд
Тейлора, вычислить пределы:
2871. lim
2872.
Л
2873. 1 1 т 1п(1 + А:+ ^) + 1п(1-^ + ^ ) >
х—0
х Ке ~ 1)
X
-
§ 3. СТЕП ЕН Н Ы Е.РЯД Ы
2874. 1 і т Г х - х а 1п(і + -'Ү |.
X -> OO L
\
2876. lim f i X-+0
177
2875. lim ( - - - ctg2x).
* /J
/
X -+Q
2877. lim
- 3. ).
*-*0' r s m x
*1
* /
Интервал сходимости
В задачах 2878 —2889 найти интервалы сходимости степенных
рядов.
2878. 10*+100je2+ . . . + 10"xn + ...
2879. * —^ + . .. + ( - 1 )л+1^ + ...
2880. х + і * + . . . + г г £ ігг + .. .
2881. 1
2882. 1 + 2*2 + . . . + 2”-1*'2‘»-« + . . .
2883. х -
+ . . . ■+ ( - 1 Г *
^
-
+...
2884. l + 3 j e + - - - + ( « - 1)-3"-1jc"-1+ --2885’ , K 2 + A + - + ,7 ( 5 lT + /py-^2
(tlX)^
2886. * + і ^ + . .. + і ^ - + . . . П р и исследовании сходимости
на правом конце интервала учесть, что факториалы больших чисел
могут быть выражены приближенно формулой Стирлинга:
V 2зш.
n! ^
2887.
+
+
+
2888. ^ - ^ + ^ л : 3+ .. . +
хР*1 +. ■.
2889. 2x + ( ^ x )2+ ... + [ ( ^ ) ' 1x J + ...
2890. Функцию у = \ п ( х - \ - У \ + х г) разложить в ряд Тейлора
в окрестности точки х = 0, исходя из соотношения
b (x+ v r+ ^)= j7 ^ = .
и указать интервал сходимости полученного ряда.
2891. Функцию у== h i j /
~
разложить в ряд Тейлора вок -
17S
ГЛ . IX. Р Я Д Ы
рестности точки х = 0, исходя из соотношения
О
и указать интервал сходимости полученного ряда.
2892. Функцию у = In [(1 -f х)1+ж] + In [{1 —Jf)1--*] разложить в ряд
Тейлора в окрестности точки х = 0 и указать интервал сходимо­
сти полученного ряда.
2893. Функцию у — (1 -\-х)е~х — (1 —х)ех разложить в ряд Тей­
лора в окрестности точки л = 0 и указать интервал сходимости
полученного ряда. Пользуясь разложением, найти сумму ряда
J
4- -
4-
3! ^ 5 ! ^
-J-------- - ---------и
^ (2 п + 1)! ^
.
’
§ 4. Некоторые применения рядов Тейлора
Вычисление приближенных
значений функций
2894. Вычислить приближенное значение У е , взяв три член а
разложения в ряд Маклорена функции f ( x ) — ex, и оценить по­
грешность.
2895. Вычислить приближенное значение sin 18°, взяв три члена
разложения в ряд Маклорена функции / (х) = sin х, и оценить
погрешность.
2896. Вычислить приближенное значение j/"l0 = 2 ^ 1 ,2 5 , взяв
четыре члена разложения в ряд Маклорена функции Д х) = (1+ х)т ,
и оценить погрешность.
В задачах 2897 — 2904, пользуясь формулой разложения в ряд
Маклорена функций ех, s i nx и cosx, вычислить указанные выра­
жения.
2897. е2 с точностью до 0,001.
2898. У е с точностью до 0,001.
2899. ^ с точностью до 0,0001.
29ӨӨ.
с точностью до 0,0001.
>е
2901. sin 1э с точностью до 0,0001.
2902. cos Г с точностью до 0,001.
2903. sin 10° с точностью до 0,00001.
2904. cos 10° с точностью до 0,0001.
В задачах 2905 —2911, пользуясь формулой разложения вр яд
Маклорена функции ( l + * ) m> вычислить указанные корни с точ­
ностью до 0,001.
2905. Ү Ж 2906. 1^70. 2907. ^ 5 0 0 - 2908. V 1,015.
179
§ 4. Н Е К О Т О Р Ы Е П РИМ ЕНЕНИЯ РЯ Д О В Т Е Й Л О Р А
2909. т/2 5 0 - 2910. К І 2 9 . 2911. ‘^ 1 0 2 7 .
В задачах 2912 — 2914, пользуясь формулой разложения в ряд
Маклорена функции 1 п |^ ^ , вычислить выражения.
2912. 1пЗ с точностью до 0,0001.
2913. lge = ү^-jo с точностью до 0,000001.
2914. lg 5 с точностью до 0,0001.
Решение
уравнений
2915. Дано уравнение ху-\-ех — у. Пользуясь методом неопре­
деленных коэффициентов, найти разложение функции у в ряд
Тейлора по степеням х. Решить задачу, находя коэффициенты
ряда Тейлора последовательным дифференцированием.
2916. Дано уравнение у = In (1 + * ) — ху. Пользуясь методом
неопределенных коэффициентов, найти разложение функции у
в ряд Тейлора по степеням х. Решить задачу, находя коэффи­
циенты ряда Тейлора последовательным дифференцированием.
В задачах 2917 — 2919 решить уравнения относительно у (найти
явное выражение для у) с помощью ряда Тейлора двумя спосо­
бами: методом неопределенных коэффициентов и последователь­
ным дифференцированием.
2917. t f - \ - x y = 1 (найти три члена разложения).
2918. 2 sin х + sin у = х — у (найти два члена разложения).
2919. ех — еу = ху (найти три члена разложения).
Интегрирование функций
В задачах 2920 — 2929 выразить в форме ряда интегралы,
используя разложение в ряд подынтегральных функций; указать
области сходимости полученных рядов.
2920
. J — dx.
X
2924. ] e ~ x'dx.
0
2923. J J d * .
x
x
2926. J - 7= = .
о
2921.
*
2927- $ V 1 + x ' d x .
0
2922. j - d x .
2925.
о
X
2928. J
о
2929. j —
— ~ dxо
В задачах 2930 —2934 вычислить приближенные значения опре­
деленных интегралов, взяв указанное число членов разложения
подынтегральной функцни в ряд; указать погрешность.
180
г л . IX. РЯДЫ
я/4
1/4
2930.
\ c~ d x (3 члена).
яУа *
1/2
29-32. С ■T dL = (2 члена).
J /1 + х *
2931. $ e~ xidx (3 члена).
0
I Л
2933. I ~ dx (6 членов).
I *
Y'i/i
$ х3 arctg х dx (2 члена).
о
В задачах 2935 —2933 вычислить с точностью до 0,001 инте­
гралы.
2934.
0, 2
0, 5
2935 . { — dx.
I.l *3
D
2936.
(’ a^ctg
х
^^-dx.
І
x
0 3
2937. < x10 sin xdx.
J
0.5
si V
2938. 1 1+ ** *
2939. Показать, что в интервале (—0,1; Ф,1) функция \ е ~ х‘ dx
о
хь
отличается от функции arct gх — ^ не больше чем на 0,0000001.
2940. Принимая во внимание тождество
= 4 arctg-J— arctg gig,
вычислить я с 10 верными знаками.
X
2941. Разложить в ряд Тейлора функцию у = ех2 $ e~x*dx двумя
о
способами: путем непосредственного вычисления последовательных
производных при х — 0 и путем перемножения рядов.
2942*. Вычислить интеграл
j} x x dhc.
о
0, 5
2943. Вычислить $ esin*dx с точностью до 0,0001.
о
я/6
______
2944. Вычислить jjj/c o s x d x с точностью до 0,001.
о
Разные
задачи
2945.
Вычислить площадь, ограниченную линией г/2= х3-}-1,
осью ординат и прямой лг = 1/2, с точностью до 0,001.
2946*. Вычислить площадь овала х4+ у4 = 1 с точностью до 0,01.
§ 4. Н Е К О Т О РЫ Е П Р И М Е Н Е Н И Я РЯ Д О В Т Е Й Л О Р А
181
2947. Вычислить длину дуги линии 25//2 = 4х5 от острия до
точки пересечения с параболой 5у = х2 с точностью до 0,0001.
2948. Вычислить длину одной полуволны синусоиды г/ = siaJC
с точностью до 0,001.
2949. Фигура, ограниченная линией у = arctg а:, осью абсцисс
и прямой * = 1 / 2 , вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить
объем тела вращения с точностью до 0,001.
2950. Фигура, ограниченная линиями ys —x3 = 1, 4у-\-х3= 0,
прямой у — М2 и осью ординат, вращается вокруг оси ординат.
Вычислить объем тела вращения с точностью до 0,001.
2951. Вычислить с точностью до 0,001 координаты центра масс
дуги гиперболы у = \!х, ограниченной точками с абсциссами Xj = l/4
и х 2 = 1/2.
2952. Вычислить с точностью до 0,01 координаты центра масс
криволинейной трапеции, ограниченной линией
прямыми
я = 1 ,5 и х = 2 и осью абсцисс.
ГЛАВА
X
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Функции нескольких переменных
х
2953. Выразить объем z конуса как функцию его образующей
и высоты у.
2954. Выразить площадь S треугольника как функцию его
трех сторон х, у, г.
2955. Составить таблицу значений функции z = 2x — 3 //+ 1 ,
давая независимым переменным значения от 0 до 5 через единицу
2956. Составить таблицу значений функции г —У х2-{-у2, давая
независимым переменным значения от 0 до 1 через 0,1, Значения
функции вычислять с точностью до 0,01.
2957. Найти значение функции:
/ arctg (* + у)\а
^ 2 “ Ur c t g l x - y ) )
х -1 + У *
ПрИ *
2
„=
’ У
1
= У 1.
2
'
2) z = esia<-x+y) при х = у = ^-,
3) 2 = ух~ *-(-хУг * при х = 2, у = 2; х — 1, у = 2;
х = 2, у = 1.
2958. Дана функция
р іү л ф(дс)г|з(у)-гр(^)ф(у)
Г
У) —
ф (х у ) ^ ( х у )
Найти F (а, На). В частности, положить ср(и) = и3, "ф(и) = и"1 и
подсчитать F (а, 1/а).
2959. Дана функция F (х, у) = у х - ~ 2-ху. Если х н у меняются
с одинаковой скоростью, то какая функция при х = 3, у — 2 растет
быстрее: та, которая получается из F при фиксированном у (ме­
няется только х), или же та, которая получается при фиксиро­
ванном х (меняется только у)?
2960. Дана функция
У+ 2
<р(х, у, Z) = y2 - { y C O S 2 + 2 C O S y ) X + x y - z.
§ к. Ф УНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
183
Переменные у и г сохраняют фиксированные значения у0 и z0,
причем y0 = 3z0. Что представляет собой график функции и =
= ф(*> Уо, г0)? Является ли <р (х, у, z): 1) рациональной функцией
от у , от z; 2) целой функцией от х?
2961*. Функцию z = f(x, у), удовлетворяющую тождественно
соотношению
f (тх, ту) = mkf (х, у)
при
любом т,
называют однородной функцией k-ro порядка. Показать, что одно­
родная функция k-ro порядка z = f(x , у) всегда может быть пред­
ставлена в виде z^=x*F(--^j.
2962. Однородность функции любого числа независимых пере­
менных определяется аналогично функции двух переменных:
например, f (x , у, г) —однородная функция k-ro порядка, если
f (тх, ту, mz) = mkf (х, у, г) при любом т.
Также имеет место свойство
fix, у, z) = x kF ( j ( , - |) ;
доказать его.
2963. Проверить, что функция z — F ( x , y ) = x y удовлетворяет
функциональному уравнению
F(ax + bu, cy + dv) = acF(x, y) + bcF(u, y) + adF(x, v) + bdF(u, v).
2964. Проверить, что функция z = F(x, у) = \ a x \ n y удовле­
творяет функциональному уравнению
F ixy, uv) = F(x, u) + F (х, v) + F (у, u) + F (у, v)
(х, у , и, v положительны).
2965. Из уравнения ~ -f ^
~ — 1 определить г как явную
функцию х и у. Будет ли функция однозначной?
2966. Дана сложная функция z = uv, где и = х + у, v = x —
Найти значение функции: 1) при х = 0, у = 1; 2) при я = 1 , у = 1;
3) при х = 2, г/ = 3; 4) при х = 0, у = 0; 5) при x = — l, у = — 1.
2967. ^ =
и = а/, v = w~*, w = Y x + y, t = 2 (x — y). Выра­
зить z непосредственно в виде функции от х и у. Является ли z
рациональной функцией от и и V, от w и t\ от х и у?
2968. Дана сложная функция г = uw a f +v, где и = х-\-у,
v = x — y, w = xy. Выразить z непосредственно в виде функции от
X и у.
z»o)д_лф
й03—еФ
2969. Ы= (£ + Г1)2 - | 3 -Т 13,
1 = -L y £L.
Л = — а— .
y.
(о =
In (хг - f у г -f 2*),
ф= 2
In (х 4- у -f- г).
Выразить и непосредственно
184
Г Л . X. Ф У Н К Ц И И Н Е С К О Л Ь К И Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х
в виде функции от х, у и г. Является ли и целой рациональной
функцией от | и rj; от о и <р; от х, у , г?
2970. Сложную функцию
представить в виде «цепочки» зависимостей из двух звеньев.
2971. Исследовать методом сечений график функции 2 =
= ~ (х2—у-). Что представляют собой сечения плоскостями x= const;
у = const; г = const?
2972. Исследовать методом сечений график функции z = xy.
Что представляют собой сечения плоскостями .v = const; у — const;
г = const?
2973. Исследовать методом сечений график функции z —у2 —.г3.
2974. Исследовать методом сечений график функции
г3 — ах2-\-by2 ( а > О, Ь > 0).
§ 2. Простейшие свойства функции
Область определения
2975. Область ограничена параллелограммом со сторонами у — 0,
о у — у1 х, у — ^1 х — \\
I граница параллелограмма исключается.
у = 2,
Задать эту область неравенствами.
2976. Областью служит фигура, ограниченная параболами
г/ = х2 и х = у2 (включая границы). Задать эту область неравен­
ствами .
2977. Записать с помощью неравенств открытую область, яв­
ляющуюся правильным треугольником с вершиной в начале коор­
динат, со сторонами, равными а, причем одна из них направлена
по положительной полуоси Ох (треугольник лежит в первом
квадранте).
2978. Область ограничена бесконечным круглым цилиндром
радиуса R (границы исключаются) с осью, параллельной оси Ог
и проходящей через точку (а, Ь, с). Задать эту область с помощью
неравенства.
2979. Записать с помощью неравенства область, ограниченную
сферой радиуса R с центром в точке (а, Ь, с) (включая границу).
2980. Вершины прямоугольного треугольника лежат внутри
круга радиуса R. Площадь S треугольника является функцией
его катетов х и у: S — ц>(х, у). Какова область определения функ­
ции S = ф (х, у).
2981. В шар радиуса R вписана пирамида с прямоугольным
основанием, вершина которой ортогонально проектируется в точку
пересечения диагоналей основания. Объем V пирамиды является
185
§ 2. ПРОСТЕЙШ ИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
функцией сторон х и у ее основания. Будет ли эта функция одно­
значной? Составить для нее аналитическое выражение. Найти
область определения функции.
2982.
Квадратная доска состоит из четырех квадратных клеток;
двух черных и двух белых, как указано на рис. 57; сторона
каждой из них равна единице длины. Рассмотрим прямоугольник,
стороны которого х и у параллельны сторонам доски и один из
углов которого совпадает с черным ее углом. Площадь черной
части этого прямоугольника будет функцией от х и у. Какова
область определения этой функции?
Выразить эту функцию аналити­
чески.
В задачах 2983 — 3002 найти
области определения функций.
2983
2 = ~\[ I —
2984.
2=
У
1
— У~-
О?
1,1-
1п (у2 — 4х + 8).
2985. 2 = Л2_ А., _ г/а.
2986. z = V x + y + V x — ij.
2987. z = -= L = r + -jzL=r.
V х+ у
V x —У
Рис. 57
2988. г = arcsin
2990. z = Y x - V y .
2989. 2 = ln xy.
csin ^ ^ - f a r c s e c (x2+ y2).
2991. 2 = arcsin
У 4x—yt
2992. 2 = In
: (1 — Л*— у'г) ■
2993. 2 = V X- — 2.v + y i
- У х г + 1 / ~ К А.
2994. г = х у У 1
2995. г = ctg я (x -)- у).
2997. z = V x s \ \ \ y .
2999. 2 = In]* ln (tj — *)]-.
3001. u = —7—
Vx
Vy
+
у г
3002. и = У R 2- x 2 - i f - z2Предел.
299G . z = ] / s i п я (x2-|- if) •
2998. 2 = In* — l nsin y.
3000. 2 = arcsin [2y (1+ x 2) — 1].
У*2+г/2+ 22—
( * > ') ■
Непрерывность функции
В задачах 3003 — 3008 вычислить пределы функций, полагая,
что независимые переменные произвольно стремятся к своим пре­
дельным значениям.
186
гл.
X. Ф У Н К Ц И И Н Е С К О Л Ь К И Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х
3003. lim -гг..
---- .
у-»0
9ППЧ 1:m
s*n (х3~
f~У3)
3005.
1 ,т —
2~ у2
3004. lim
у -+Q
onnfi
3006. lim
һт
у -* 0
‘-- 1•
ая (х?+ У*)
у —О
1
3008. lim (1 + х2у2) *2+ *\
о
3007. ii m L _ ^ _ .
*4+ ^ 4
у^О
3009. Показать, что функция и = - ~ - при х->-0, у - > 0 может
стремиться к любому пределу (в зависимости от того, как стре­
мятся к нулю х и у). Привести примеры таких изменений х н у ,
чтобы: a) lim w = 1; б) l i m« = 2.
2
ЗОЮ. Найти точки разрыва функции z = ^ ^ уг- Как ведет себя
функция в окрестности точки разрыва?
ЗОН. Найти точки rразрыва
функции г = —
т-^---- 1—r-z— .
r
sm J л * - } - sin2 я у
3012. Где будет разрывна функция г =
х
^ -?
У
3013. Где будет разрывна функция г = - ^ +
3014. Где будет разрывна функция г = | ^ ~
3015*. Исследовать непрерывность функции при х = 0, у = 0
■2 (,2
?)/(*.*)
•3//)
3)/(*, у ) = з ^ .
5)/(*.
=
/(0.0) = 0
/ (0, 0) = о
4) /(* .
/(0,0) = 0
Хгуг
6) /(* , г/) = г £ й г .
Линин
=
/(° . 0 ) = °
/(0,0)=0.
и поверхности уровня
3016. Дана функция z — fix, у) =- ~хг ^ уг - Построить линии
уровня этой функции для z = 1, 2, 3, 4.
3017. Функция z = f(x, у) задана следующим образом: в точке
Р (х, у) ее значение равно углу, под которым виден из этой точки
данный в плоскости Оху отрезок АВ. Найти линии уровня функ­
ции f(x, у).
В задачах 3018 — 3021 начертить линии уровня данных функ­
ций, придавая z значения от —5 до + 5 через 1.
3018. г = ху.
3019. г = хгу-\-х.
3020. г — у (х г -{-\).
3021. г =
§ 2. ПРОСТЕЙШ ИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
187
3022. Построить линии уровня функции 2=(л:2+г/2)2 — 2(х2 —у2),
придавая z значения от — 1 до 3/2 через 1/2.
3023. Построить линии уровня функции z, неявно заданной
уравнением
[(* - 5)2 + г/2] = ( f ) Z[(* + 5)2 + #2], давая г значе­
ния от — 4 до 4 через единицу.
3024. Построить линии уровня функции г, заданной неявно
уравнением у2 = 2~~ (х — г), давая г значения от —3 до 3 через 1.
3025. Найти линии уровня функции г, заданной неявно урав­
нением z + x l n z - f у = 0.
3026. В пространстве дана точка А. Расстояние переменной
точки М от точки А есть функция координат точки М . Найти
поверхности уровня этой функции, соответствующие расстояниям,
равным 1, 2, 3, 4.
Рис. 58
3027. Функция u = f(x, у, г) задана следующим образом:
в точке Р (х, у, г) ее значение равно сумме расстояний этой точки
от двух данных точек А (хи Уи Zi), В (х2, у2, z2). Указать поверх­
ности уровня функции / (х, у, z).
3028. Найти поверхности уровня функции
и=
,
In
1+
+ t/'^+ z2
,
= .
1- у ^ + г/з+ г2
3029. Найти поверхности уровня функции и = —-— .
3030. Найти поверхности уровня функции:
1) и = 52х+3у-г,
2) u = ig(x2 + y2- 2 z 2).
гл. X. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
188
3031. На рис. 58 изображены'линии уровня функции z = f(x, у).
Построить график функции:
1) z = f(x, 0);
2) z = f(x, 4);
3) z = f ( l , у)]
4) z = / ( —5, у)\
5) z = f(x, Зх);
6) г = /(х , х2).
§ 3. Производные и дифференциалы функций
нескольких переменных
Частные производные
3032. Объем газа v является функцией его температуры и
давления: v = f(p, Т). Средним коэффициентом расширения газа
при постоянном давлении и изменении температуры от Ту до 7\>
называют выражение
, . Что следует назвать коэффициенL'l К1i —>l)
том расширения при постоянном давлении при данной темпера­
туре Г0?
3033. Температура в данной точке А стержня Ох является
функцией абсциссы х точки А и времени (: 8 = f(x, t). Какой
1
дв
д8
физическим смысл имеют частные производные д(- и ^ ?
3034. Площадь S прямоугольника выражается через основа­
ние Ъ и высоту Һ формулой S = bh. Найти
^ и выяснить
геометрический смысл полученных результатов.
3035. Даны две функции: и = У а г — х 2 (а — постоянная) и
z — Y i f — х~. Найти а~- и ~ . Сравнить результаты.
В задачах 3036 — 3084 найти частные произгодные длнных
функций по каждой из независимых переменных (х, у, z, и, v, t,
Ф и і|з — переменные):
3036. 2 = х — у.
3037. 2 = х'у — ifx .
303S. 0 = axe ‘ -\- bt
(а, b — постоянные).
ЗОЗЭ. 2
с1 1 и
.
3040. 2 = 4Х Р £ .
X - У~
3041. 2 = ( o x - y - i f + 7)3.
3042. 2 = .*]/'«/
3043. 2 = In (x + Y x ^ + f ) .
X
3044. 2 = arctg ц
У
у *
3043. 2 = — l— .
агеід
3046. z = x«.
3047. z = In (xn-+ i f ) .
3048. z = \ n \ ^ M ^ L.
> x^ + y-i-x
3049. z = arcsin
3050. 2 = ln tg - .
x
M
! T i/a
у
оиоо. и =
д и о у . f { X , у ) = х - \ - у — у Х “-f-y~ В
х и~.
3070. 2 = \ п [ х - \ - ~ ^ в точке (1, 2).
3072. г — (1 4- logy x f .
точке
10,
3071. z = (2x-\-y)2xi!).
3073. г = xyesin л;су.
3074. 2 = (tf + ^ ) ! z V £ + £ .
* ’ І+ у іч 1?
3075. 2 = arctg V F .
_____ _
3076. г - 2
3077. г = In [ху2 + ух2 + У 1 + (ху2 + ух2)2}.
3078. г = Л/~ 1 —
V
■
\ ХУ 1
/
,
+ arcs i п х ~^-у-.
ху
i
arctg — — 1
3079. 2 = arctg (arctg -у- ) - т -------\ ---------arctg
К
3080. и
х >
(^-Ьг/2 + г2)2-
1 arctg у- + \
Х
х
3081. и = arctg (х — у)1
3082. и = <sinх)У*.
3083. и = In ' у 2 + у 2+. * .
1+ У * + у * + *
tg2 (х2у2 + 22и2 —xyzv) + In cos (x2y2 + z2v2 — xyzv).
3084. w' =
_ cos (ф 2г[>) н й
дЛ
3085. и cos(<p + 2 4 ) '
cty ф = л/4 *
•ф = л
190
ГЛ . X. Ф У Н К Ц И И Н Е С К О Л ЬК И Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х
3089. и = I n (1 + х + уг -\-г%
}. Найти их-\-иу-\-иг при x = y = z = \ .
*1 + й.
3090. f(x , у) = х*у — уах. Найти дх ду
I I . дуд
1
Х=
1
У= 2
3091. Какой угол образует с положительным направлением
х 2 -4оси абсцисс касательная к линии г = —
У= 4 в точке (2, 4, 5)?
3092. Какой угол образует с положительным направлением
дх
оси ординат касательная к линии z = Y 1 + x2- { - f , х = 1 в точке
( 1, 1, / 3 ) ?
3093. Под каким углом пересекаются плоские линии, получающиеся в результате пересечения поверхностей г = о , у2 и
г = * \л ~ плоскостью у = 2?
Дифференциалы.
Приближенные
вычисления
В задачах 3094 — 3097 найти частные дифференциалы данных
функций по каждой из независимых переменных.
3094. z = x t f - 3 x - y 2 + 2y*.
3095. г = V x 2+ у2-
3096. z = - 4 ~ .
3097. и = 1п(х3+ 2у3- г 3).
х у
4 ' J
3098. z — Yx~{- i f . Найти dyz при х = 2, г/ = 5, Ді/ = 0,01.
3099. z = V l n x y . Найти d*z при л: = 1, у = 1,2, Дх = 0,016.
3100. и = р — ~ + V p + q + r. Найти йри при р = 1, q = 3,
г — 5, Ар = 0,01.
В задачах 3101 — 3109 найти полные дифференциалы функций.
3 1 0 1 .^ л Ү - х ^ + х у .
3102. г = ‘ \ п (х 2+ у2).
3103. 2 = ^ ^ .
3104. z = a rc sin --.
3105. z = sin(xt/).
3106. г = arctg
Х— У
ЗЮ7. z = ^ ~ .
X' —у
У
3108. z = arctg (xy).
Применения
3109. и = х^г.
к вычислениям
3110. Найти значение полного дифференциала функции г=>
= х-\-ч — У Х- + У1 при х = 3 , у = 4, Дл-=0,1, Ау = 0,2.
3111. Найти значение полного дифференциала функции z = e xy
при x = l , у = 1, Дх = 0,15, Дг/ = 0,1.
$ 3. П Р О И З В О Д Н Ы Е И Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ы
2=
3112. Найти значение полного дифференциала
при х = 2, у = 1, Ал; = 0,01, Аг/ = 0,03.
191
функции
3113. Вычислить приближенно изменение функции г = *
при изменении х от х х = 2 до х2 = 2,5 и у от у х = 4 до у2 = 3,5.
3114. Вычислить приближенно In ( j / 1,03 + ^ 0 ,9 8 — l).
3115. Подсчитать приближенно 1,042 02.
3116. Найти длину отрезка прямой х = 2, у = 3, заключенного
между поверхностью г — х г -\-уг и ее касательной плоскостью
в точке (1, 1, 2).
3117. Тело взвесили в воздухе (4,1 ± 0 ,1 Н) и в воде (1 ,8 ± 0 ,2 Н).
Найти плотпость тела и указать
погрешность подсчета.
__
__
3118. Радиус основания конуса
^
равен 10,2 ± 0,1 см, образующая
S
n.
раЕна 44,6 ± 0 ,1 см. Найти объем
А 4 - —---------------------------- ^ В
конуса и указать погрешность
4
6
подсчета.
г \
3119. Для вычисления площади
5 треугольника по стороне а и уг>0
лам В, С пользуются формулой
р
1 2 sin В sin С
* — J a sin (В + С) •
P tlc- 59
Найти относительную погрешность б5 при вычислении S, если
относительные погрешности данных элементов равны соответст­
венно 8П, 8В, бс.
3120. Сторона треугольника имеет длину 2,4 м и возрастает
со скоростью 10 см/с; вторая сторона длиной 1,5 м уменьшается
со скоростью 5 см/с. Угол, заключенный между этими сторонами,
равный 60°, возрастает со скоростью 2° в секунду. Как и с какой
скоростью изменяется площадь треугольника?
3121. В усеченном конусе радиусы оснований равны R = 30 см,
г = 2 0 с м ; высота /і = 40см. Как изменится объем конуса, если
увеличить R на 3 мм, г на 4 мм, Һ на 2 мм?
3122. Показать, что при вычислении периода Т колебания
маятника по формуле
(/ —длина маятника, g — ускорение силы тяжести) относительная
погрешность равна полусумме относительных погрешностей, до­
пущенных при определении величин l a g (все погрешности пред­
п ол агаю тся д остаточ н о малы ми).
3123.
Выразить погрешность при вычислении радиуса г дуги А В
(рис. 59) окружности по хорде 2s и стрелке р через погрешности
ds и dp. Вычислить dr при 2s— 19,45см± 0 ,5 мм, р = 3 ,6 2 с м ± 0 ,3 мм.
192
Г Л . X. Ф У Н К Ц И И Н Е С К О Л Ь К И Х П Е Р Е М Е Н Н Ы Х
§ 4. Дифференцирование функций
Сложная функция*)
•3124. и = ех~2У,
x = sintf,
y = t3', ^ - = ?
>3125. ы = 22 + уг + 2у, z = sinf, у = е‘; ^ = ?
3126. 2 = arcsin (х —у ) , х = 31, у = 4/3; ^- = ?
3127. z — х2у — у2х, х = uc o sv , у = и sini>; -Р= ? ди
f- = ?
6«
'3128. z ^ l n y , * = " , у = Зи — 2и; g = ? |
3129. и = In (£•*-(-с»); |"- = ? Найти
3131. « = arcsin * , 2 = ] / р Т Т ;
'
если у = х3.
если у — ех.
3130. 2 = arctg (ху); найти
г
= ?
1
dx
3132. 2 = t g (3 /-f 2л- —у), ж = J , у = у 7 ; * = ?
3133. и = — f r '-у- , y = a s in * , г = с os лг; ^ - = ?
3134. г = 5^1£Ш № + У ) .
х+ У
3135.
£ « ? £ ->
* -?
3136. 2 = К х ‘ ~ у \ е'»к | = ? | = ?
3137. Показать, что функция z = a r c t g где * = « - 1- 0, у —
= и —и, удовлетворяет соотношению
^ = ^qr,723138. Показать, что функция г = ср (хг + у 2), где ф (и) — дис|)фе,
дг
дг
„
ренцируемая функция, удовлетворяет соотношению у ^ — Xj - = 0 .
3139. и = sin л:+ Ғ (sin у — sin л:);
_(_
COs у = cos х cos у,
убедиться,
что
^ -c o sjt-f-
какова бы ни была дифференцируемая
функция F.
3140. 2 = / ( Д ? ) -: убедиться, что
* + ± | = ^ ., какова бы
ни была дифференцируемая функция /.
*) Начиная с этого раздела и до конца главы X нумерация задач в настоя­
щем издании отличается от нумерации 9-го н более ранних изданий.
193
§ 4. Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р О В А Н И Е Ф У Н К Ц И Й
3141. Показать, что однородная дифференцируемая функция
нулевого порядка z = F ^ ~ j (см. задачу 2961) удовлетворяет соотдг .
дг
п
н ош ен и ю х ^ - + у ду = 0.
3142. Показать, что однородная функция k-ro порядка и =
с= х кҒ
где Ғ —дифференцируемая функция, удовлетворяет
ди ,
ди .
ди
,
соотношению х ^ . + у^-у + г дг = ku .
3143. Проверить предложение задачи 3142 для функции и —
г2+ у 2
^ X '5Sin-—
3144. Д ана дифференцируемая функция f (х , у). Доказать, что
если переменные х, у заменить линейными однородными функ­
циями от X , Y , то полученная функция F (X, Y) связана с дан­
ной функцией соотношением
•
.
д? ,
df _ х дҒ
ЗҒ
х д х ^ у д'у~ л д Х ^ 1 дУ'
Неявно и параметрически
заданные
функции
В задачах 3145—3155 найти производную ^ от функций, за­
данных неявно.
3145. х3у — у3х = а \
3146. х2у2 - х* — у* = а \
3147. хеу + уех —ехи = 0.
3148. (х2 -f- у2)2 — а1 (хг — у2) = 0.
3149. sin (ху) —еху — х2у = 0. 3150. х2/3 -)- у2!3 = a2,J.
3151. xy — l n y — a.
3152. arctg
| = 0.
3153. ух2 = еУ.
3154. уех + е“ = 0.
3155. у* = хУ.
3156. F (х, y) = F(y, х). Показать, что производная от у по х
может быть выражена с помощью дроби, числитель которой по­
лучается из знаменателя перестановкой букв у и х.
3157. х2-\-у* — 4 х — 10//-(-4 = 0; найти ^ при х — 6, у — 2 и при
х = 6, у = 8. Дать геометрическое истолкование полученных ре­
зультатов.
3158. x ly -f- ху* —ах2уг = а5; найти ^ при х = у = а.
3159. Доказать, что из х2у2 + х2 + у- — 1 = 0 следует
dx
.
dy
~
/I—
и-
3160. Доказать, что из а-\-Ь(х + у)
dx
а-\-2 Ь х+ схг
7
Г. H. Берман.
cxtj — m ( x — y) следует
dy
a + 2 b y-\-cy -'
194
г л . X. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Ч1Й1 *а
а +1 2Г_
г2_ 11,. Эг_
3161.
_ +| »65^ _ ?; > а г _' э
3162. x2- 2 y 2 + z2- 4 x + 2 z - 5 = 0; | j = ? g = ?
3163. 23+ Зхуг = а 3; ~ = ? | | = ?
3164. ^ - ^ = 0 :
|= г
|= ?
3165. Показать, что, какова бы ни была дифференцируемая
функция <р, из соотношения <p (cx — az, су — Ьг) = 0 следует
дг , , дг
а дх + Ь д ~ у ~ а '
3166. F(x, у, г) = 0. Доказать, что
дх
ду
д у _.
дх
’
ду дг д х __
дг дх ду
.
'
3167. Найти полный дифференциал функции г, определяемой
уравнением cos2 х + cos® у + cos22 = 1.
3168. Функция г задана параметрически: x = u-\-v, y = u — v,
z = uv. Выразить г как явную функцию от х и у.
3169. x = u + v, у — и2-f u 2, 2 = ы3 + у3. Выразить г как явную
функцию от х и у.
3170. х = и cos и, t/ = «s i ny, z — kv. Выразить г как явную
функцию от х и у.
В задачах 3171—3175 выразить dz через х , у, z, dx и dy от
функций, заданных параметрически.
иг гД
и3— v2
3171. Х — - ^ ү —, у = - ~ 2 ^ , Z = U V .
3172. x = V ra (sin « + cos и), y — V a (cosu — sint»),
г — 1 - fs in (u — v).
3173. x — u + v, у — u — v, г = « ¥ .
3174. x = u cosu, y ^ u s i n v , z = ua.
3175. .v = t»cosu —« c o s u + si nu, y = v s i n u — u s m u — cosu,
z — (u —y)a.
3176. * = e“ cosy, y = ea sinu, z = uv. Выразить dz через и, о,
dx и dy.
3177. Соотношения u — f(x, у), v = F(x, у), где / и Ғ —диффе­
ренцируемые функции х н у , определяют х и у как дифференци­
руемые функции от и и v. Доказать, что
j ди dv
\д х д у
ди ди\ [дх ду _ дх д у\ _ .
д у д х )\д и д и
dvdu)
3178.
и п v являются ф ун к ц и я м и х, у, г, удовлетворяющими
соотношениям uu — 3x — 2y-\-z, о3= х2-f-z/2- f г2. Показать, что
ди .
ди . _ди
п
4 S. ПОВТОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
195
3179. Пусть y = f (x , i)t F(x, у, t) = 0. Проверить, что
df_ ағ _ df әғ
d y _дх d t
Tx
df_dF_
dt ду
dt дх
ағ ‘
dt
3180. Пусть f ( х, у, г) = 0, F (х, у, г) = 0. Проверить, что
dy
dx ~
df_dF_ _dF df__
дх дг
дх дг
~ д [д Ғ _ д Ғ d f
ду дг
ду дг
§ 5. Повторное дифференцирование
3181. г = х* + х у * -Ь х у * + у&. Показать, что ^
3182. г = х у. Показать, что ^
№г
д*г
=
3183. z = вх (cos z/ -}- л; sin t/). Показать, что
=
3184. z = a r c t&g —.
Показать,’ что д у -д х
х
дх ду2
S^2 d^z
д^2
В задачах 3185—3192 найти
и ^ от данных функций.
3185. г = ~ V W + W -
3186. z = \n(x + V x 2 +y*).
3187. г = arctg ү ^ .
3188. г = sin2 (ах + by).
3189. г = е**.
3190. z = j = J .
3191. z — yXnx.
3192. г = arcsin (xy).
3193. и = Ух* + у* + г*-2хг-,
3194. г = exu2',
^
= ?
дх2 ду
S&7
3195. г = In (хя + у2); з ^ г = ?
3197. » = «•»;
.
д32
3196. г = і т х у , ^ щ , = 1
-
3198. o = * W
^ 0 ®
= ?
3199. z = \n(ex -\-e,J)\ убедиться, что ^ + f* = l и чт0
a 2z
t
f a - df -
\d x dy)
d*z
\ 2 _
о
.
3200. u = ex ( x c o s y - y s m y ) \ показать, что
.
1
3201‘ и = 1пРъТтГ2;
17х*+У*' ^
7*
____ d 2u
,. d *u
-u
д1и
I d2«
+
n
33^ * что М + Ш = 0 -
n
196
ГЛ. X. Ф УНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМ ЕННЫ Х
пплл
3202‘
1
и=
д'и 1
п° к а з а іь,
что _
+
_
+
д2и
—
л
=0.
3203. г = V х2 + у2 + г2\ показать, что
д-г
дх*
, д'1г . д2г _
' ду2
дг2
2
г *
д2 (In г)
д х2
, <Т- (In г) , д2 (In г) _ 1
ду 3
дгг2 ‘
3204. При каком значении постоянной а функция v = х* -\-ахи*
д^и . &Һ)
удовлетворяет уравнению д-* + ^ = 0?
у
3205. 2 = -у .,- —■a ,2* 2
д‘г
показать, что
, д-г
2 = а 2at/ 2
3206. у = х———
I---- ^— I-----— ; показать, что
у 1 у— г ' г—х
дЧ> . d2v I d2v . „ / д2а
дх-
ду 2
5z2
.
d2z> ,
\<3* Оу * ду дг
_~
дг д х )
3207. z = f(x , у), Ъ= х + у, г\ = х — у, проверить, что
(Р-г _ д 2г _ 4 о-г
дх2
ф 2 —
3208. v = х 1л (х-\-г) — г, где /-2 = д:2 + і/2; показать, что
д-и , d"v __
1
'2 *” ф/а
дТТа
dx2
д:+/■"
d2u
3209. Найти выражение для второй производной ^ от функ­
ции у, заданной неявно уравнением f (х, у) = 0.
3210. y = ( f ( x ~ a t) - \- ^ ( x - \ -a t ). Показать, что ^ =
ка*
ковы бы ни были дважды дифференцируемые функции <р и
3211. и = ф (х) + гр (у) + (х — у) гр' (у) . Проверить, что
,
&и _ д и
(Х ~ У>Ш һ і ~~ ду
(Ф
и
\|5 — дважды
дифференцируемые функции).
3212. z = yq (хг - у 1). Проверить, что ~ % +
ференцируемая функция).
3213. r = xq>(x-\-y)-\-yty(x-\-y). Показать, что
дгг_ _
дх1
9
дгг
дхду
= ^ (Ф “ ДиФ-
дһ _ п
ду2
(Ф и ф - д в а ж д ы д и ф ф е р е н ц и р у е м ы е ф у н к ц и и ).
3214. и = — [ф (ах + у) + ip (ах — у)]у)]. п
Показать, что
*
.
Л.
I
. я ди\
s
5. ПОВТОРНОЕ ДИ Ф Ф Е РЕ Н Ц И РО ВА Н И Е
'
197
3215. ы = ү [ ф (* —f/) + ty(* + y)]- Показать, что
_
дх \Л
у2
az/2*
32/6. и = хеу -\-уе*. Показать, что
Ф и , д3и _
д3и ,
д3и
fid3
^ д
()х
>' гду
)//22 ” 1 У
У д, х 2 д у '
д х3 ^ ду3
3217. и = ехуг. Показать, что
д3и _
д х ду дг
д2и , п . д и ,
^дхд у' Хд х 'и'
3218. и = In - ~ lJ . Показать, что
ху
д3и
,
’
d3u
(Эх? ‘ <
9х 2 с/у
д3и
<?х ду 2
д3« _2 /
дг/3
1
\г/Г|
1
л3
В задачах 3219—3224 найти дифференциалы второго порядка
от данных функций.
3219. z = Xf/2 —х3у.
3220. z = \ n ( x - y ) .
3221.
3223.
3225.
3226.
3227.
3228.
3229.
3222. z = * sin 2 £/.
г = е*У.
3224. м = хг/г.
z = sin (2х + у). Найти d?z в точках (0, л), (— п/2, п/2).
и = sin (х + y + z); d2u = }
v2 /у2 р2
^ + ^ + L .= l; * * = ?
za- 3 x y z = a?\ d2z = ?
Зл2//2 -f- 2z2xy — 2zxK Aztf — 4 = 0. Найти d2z в точке
( 2, 1, 2).
Замена
переменных
3230. Преобразовать дифференциальное выражение
* •£ + * ■ 2 + *
полагая x — 1/t.
3231. Преобразовать дифференциальное выражение
х2у" - 4ху' + у,
полагая х — е*.
3232. Преобразовать дифференциальное выражение
полагая х — sin t.
3233. Преобразовать дифференциальное выражение ^ц-\-у, счи­
тая у независимой переменной, х — функцией от нее.
198
г л . X. Ф УНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМ ЕННЫ Х
3234. Преобразовать выражение у'у”' — 3у"2, принимая за неза­
висимую переменную у.
3235. Преобразовать выражение уу" — 2( у 2+ у ' 2) к новой функ1
ции v, полагая y = v 3236. Преобразовать к полярным координатам уравнение
dy _
dx
х+у
х —у ‘
Полярные координаты связаны с декартовыми формулами х =>
= pcos<p, у = р s i n ф.
3237. Выражение k =
преобразовать к полярным коор­
динатам р, ср.
3238. Функция г зависит от х, у. В выражении
—
сделать замену независимых переменных с помощью формул X =
= и cos и; у = и sin V.
(Ац
(fill
3239. Оператор Лапласа ^
преобразовать к полярным
координатам.
d*z
д22
3240. Выражение
-j преобразовать к полярным коор­
динатам, считая, что 2 = со (р) зависит только от р и не зависит от <р.
плл л
3% , п д*г , дРг
3241. В выражении ^ + 2 ^ —^ +
независимые перемен­
ные х и у заменить переменными и и у, а функцию 2 —перемен­
ной w, полагая, что эти переменные связаны соотношениями х=>
u +
=
v
и—
V
о • У— о- » 2 ~
и 2 — о2
2
Wm
Г Л А В А XI
ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Формула Тейлора.
Экстремумы функций нескольких переменных
Формула Тейлора
3242. /(* , у) = х 3+-2ф — ху, разложить ф ункцию /(х + Л, У + к)
по степеням А и
3243. / ( х, у) = х3+-уг —бху — 39x4- lSy + 4; найти приращение,
которое получает функция при переходе независимых переменных
от значений х = 5, у = 6 к значениям х = 5 -\-h, у = 6 + &.
3244. f(x, у) = ~ - — ух3+ ^ - — 2х-\-Зу — 4-, найти приращение,
которое получает функция при переходе независимых переменных
от значений ' х = 1 , у = 2 к значениям x = \ - \ - h , у = 2-\-k. Огра­
ничиваясь членами до второго порядка включительно, вычислить
/(1,02; 2,03).
3245. / ( х, у , z) = Ах24- В if + Cz2 + Dxy -\-Eyz-\- Fzx\ разложить
f ( x + h, у - \-k, z + l) по степеням h, k и I.
3246. Разложить z = sin x sin у по степеням x — j- и у —
Найти члены первого и второго порядка и R 2 (остаточный член
второго порядка).
3247. Функцию г = ху разложить по степеням х — 1, у — 1,
найдя члены до третьего порядка включительно. Использовать
результат для вычисления (без таблиц!) zx = 1,11■02.
3248. f(x , у) = ех sin у, разложить f ( x + h, y-\-k) по степеням Һ
и k, ограничиваясь членами третьего порядка относительно Һ и k.
Использовать результат для вычисления Zi = e0,1 sin 0,49я.
3249. Найти несколько первых членов разложения функ­
ции ex sin y в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0).
3250. Найти несколько первых членов разложения функции
ех 1п(1 + г/) в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0).
В задачах 3251—3256 разложить в ряд Тейлора при *0 = 0,
уа = 0 данные функции.
3252*. z = arctg
3251. 2 = -=-------Ц — .
1 — JC— y - \ - x y
3253. z = l n( l —x) ln (1 — y).
\ -\~ x y
3254. 2 = 1д
200
г л . XI. П РИМ ЕНЕНИЯ ДИ Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л ЬН О ГО ИСЧИСЛЕНИЯ
3255. z — sin (х2 + у2).
3256. z = ex cosy.
3257. Найти несколько первых членов разложения по степе­
ням х — 1, у — 1 функции z , заданной неявно уравнением
г3+ г/г —x i f — Xs = О
и равной единице при х = 1 , у = 1.
3258. Получить приближенную формулу
COS X
|
1 г П
П\
-----Яы 1 — -2 (хг
— if)
'
J '
cosy
для достаточно малых значений | х| , \у\.
Экстремумы
В задачах 3259—3267 найти стационарные точки функций.
3259. г = 2л:3+ л-г/2+ 5л:2+ £/2.
3260. г = е2л'(л:+ г/2+ 2г/).
3261. z = xy(a — x — y).
3262. z = (2ax — x2)(2by — y2).
3263. г = sin х-\- sin у-\- cos (* + у) (0 = ^ х = ^ я /4 , 0 ^ f / s ^ n / 4 ) .
3264. z = -a± b- + cM=.
3265. z = y V T + x + x V T + y Уі+Х* + уг
J
v
3266. u = 2x2 if-\-2z — xy —xz.
3267. u = 31nx + 21ny + 51nz + l n (22 —x — y — z).
3 2 6 8 . Н а р и с. 60 изображены линии уровня функции г = — f (х, у). Какие особенности имеет функция в точках A , B , C , D
и на линии EF?
3269. Функция z задана неявно: 2х2-\-2у2+ z2+ 8xz — 2 + 8 = 0.
Найтн ее стационарные точки.
§ 1. Ф О РМ У ЛА Т Е Й Л О РА . ЭКСТРЕМ УМ Ы Ф У Н К Ц И Й
201
3270. Ф у н к ц и я 2 з а д а н а н ея вн о : 5л:2 + 5у2+ 5z2 — 2ху — 2хг —
— 2уг — 72 = 0. Н а й т и ее с т а ц и о н а р н ы е т о ч к и .
*3271*. Найти точки экстремума функции г= 2х у — Зх2 —2г2+10.
-3272. Найти точки экстремума функции 2 = 4 (х —у) —х2 —у2.
-3273. Найти точки экстремума функции z = x2 + xy + t f +
-)- х — у -f-1.
а3 а2
3274. Убедиться, что функция г = х2 + ху + У2+ ~ + — имеет
а
минимум в точке х = у = Тг~.
_
_
у3
*3275. Убедиться, что при х = 1 /2 , у = у 2 и при х = — у 2 ,
у = — У 2 функция 2 = х4 + у4 — 2л:2 - Аху- 2if имеет минимум.
3276. Убедиться, что при х = 5, у = 6 функция 2 = х3+ у2 —
— бху —3 9 х + 1 8 у + 20 имеет минимум.
3277. Найти стационарные точки функции 2 = х3у2(12 —х —у),
удовлетворяющие условию х > 0 , у > 0, и исследовать их характер.
3278. Найти стационарные точки функции z = x? + i f — Зху и
исследовать их характер.
Наибольшие
и наименьшие
значения
3279. Найти наибольшее и наименьшее значения функции г =
= х2 — у2 в круге л:2 + у2 < 4.
3280. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z =
е= X1 -f 2ху — 4х + 8ty в прямоугольнике, ограниченном прямыми
х = 0, у — 0, х = 1, у = 2.
3281. Найти наибольшее значение функции 2 = х2у(4 —х —у)
в треугольнике, ограниченном прямыми х = 0, у = 0, х + у = 6.
3282. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2==е- х ‘- и ‘ (2х2+ 3у2)
в круге х2 + у2^ 4 .
3283. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2 = si nx + sin y - f s in (х + у) в прямоугольнике 0 < х < л / 2 , 0 <
^у^я/2 .
3284. Разложить положительное число а на три положитель­
ных слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.
3285. Представить положительное число а в виде произведе­
ния четырех положительных множителей так, чтобы их сумма
была наименьшей.
3286. На плоскости Оху найти точку, сумма квадратов рас­
стояний которой от трех прямых * = 0, у = 0, * + 2//— 16 = 0
была бы наименьшей.
3287. Через точку (а, Ь, с) провести плоскость так, чтобы
объем тетраэдра, отсекаемого ею от координатного трехгранника,
был наименьшим.
202
Г Л . XI. ПРИ М ЕН ЕН И Я ДИ Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л ЬН О ГО ИСЧИ СЛЕНИЯ
3288. Даны п точек: А \ ( х и Уь Zi), . . . , Ап (хп, уя, Zn). На пло­
скости Оху найти точку, сумма квадратов расстояний которой от
всех данных точек была бы наименьшей.
3289. Даны три точки Л (0, 0, 12), В (0, 0, 4) и С (8, 0, 8).
На плоскости Оху найти такую точку D, чтобы сфера, проходя­
щая через Л, В, С и D, имела наименьший радиус.
3290. В данный шар диаметра 2R вписать п р я м оугол ьн ы й
параллелепипед наибольшего объема.
Условные экстремумы
В задачах 3291—3296 исследовать функции на экстремум.
3291. z = x m+ ym ( т > 1) при х + у = 2 (x ^ tO , y ^ s 0).
3292. z = xy при
—2а*.
3293. 2 = 1 + ^ при ^ + ~ = ^г .
3294. z = acos2x + bcos2y при у — х = * .
3295. и = х + у + г при ~ + j - f ~ = 1.
3296. и = ху 2 при: 1) x-\-y-{-z = b, 2) xy-\-xz-\-yz = 8.
3297*. Доказать справедливость соотношения
+
п
/х1+ х і + . . . + х п
п
3298. f(x, у) = х? — Э х у * 1 8 у , причем Зх2*/ —г/3 —6дс = 0. Д ока­
зать, что функция f(x , у) достигает экстремума в точках х = у=я
с= ± }/ 3 .
3299. Найти минимум функции u = axi - \-b tfJrCz2t где а, Ь, с —
положительные постоянные, а х, у, z связаны соотношением
х + у + г = 1.
3300. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
и = у 2+ 4z2 — 4уг — 2хг — 2ху при условии 2хг + Зі/3 + 6z2 = 1.
3301. На плоскости Зх — 2г = 0 найти точку, сумма квадратов
расстояний которой от точек Л (1, 1, 1) и В (2, 3, 4) была бы
наименьшей.
3302. На плоскости x - \ - y ~ 2 z = 0 найти точку, сумма квад­
ратов расстояний которой от плоскостей А"+ Зг = 6 и §/ + Зг = 2
была бы наименьшей.
3303. Даны точки А ( 4, 0, 4), В (4, 4, 4); С (4, 4, О). Н а по­
верхности ш ара х2 + у - z2 = 4 най ти та к у ю точ к у S, чтобы объ ем
пирамиды S A B C был: а) наибольшим, б) наименьшим. Проверить
ответ элементарно-геометрическим путем.
3304. Найти прямоугольный параллелепипед данного объема
V, имеющий наименьшую поверхность.
§ 1. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ
203
3305. Найти прямоугольный параллелепипед данной поверх­
ности 5 , имеющий наибольший объем.
3306. Найти объем наибольшего прямоугольного параллеле*
пипеда, который можно вписать в эллипсоид с полуосями а, b и с.
3307. Палатка имеет форму цилиндра с насаженной на него
конической верхушкой. При каких соотношениях между линей­
ными размерами палатки для ее изготовления потребуется наи­
меньшее количество материала при заданном объеме?
3308. Сечение канала имеет форму равнобочной трапеции дан­
ной площади. Как выбрать его размеры,
чтобы омываемая поверхность канала—v
была наименьшей (рис. 61)?
\
3309. Из всех прямоугольных па- Д
раллелепипедов, имеющих данную ди\
агональ, найти тот, объем которого
\
наибольший.
д
3310. Указать наружные размеры
Рис
открытого (без крышки) ящика формы
прямоугольного параллелепипеда с за­
данной толщиной стенок а и объемом V, чтобы на него пошло
наименьшее количество материала.
3311. Найти наибольший объем параллелепипеда при данной
сумме 12а всех его ребер.
3312. Около данного эллипса описать треугольник с основа­
нием, параллельным большой оси, площадь которого была бы
наименьшей.
j/2
3313. Н а эллипсе
= I наити точки, наименее и наибо­
лее удаленные от прямой Зх + у — 9 = 0.
3314. На параболе х2-\-2ху + tj*+ 4у = 0 найти точку, наименее
удаленную от прямой Зх — 6г/+ 4 = 0.
3315. На параболе 2ха — Аху + 2(/* —х — у = 0 найти точку,
ближайшую к прямой 9* — 7 у + 16 = 0.
3316. Найти наибольшее расстояние точек поверхности 2х* +
+ Зг/2+ 2z2-j-2xz — 6 от плоскости z = 0.
3317. Найти стороны прямоугольного треугольника, имеющего
при данной площади S наименьший периметр.
3318. В прямой эллиптический конус, полуоси основания
которого равны а и Ь, высота Н, вписана призма с прямоуголь­
ным основанием, так, что стороны основания параллельны осям,
а пересечение диагоналей основания лежит в центре эллипса.
Каковы должны быть стороны основания и высота этой призмы,
для того чтобы ее объем был наибольшим? Каков этот наиболь­
ший объем?
3319. Найти правильную треугольную пирамиду заданного
объема, имеющую наименьшую сумму ребер.
3320. Н а эл л и п с е д а н ы д в е точки; н айти н а том ж е эл л и п се
204
г л . X I. ПРИМ ЕНЕНИЯ ДИ ФФ ЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
третью точку так, чтобы треугольник, имеющий вершинами ука­
занные точки, был наибольшим по площади.
fjl
3321. К эллипсу
+ £ 2- = 1 провести нормаль, наиболее уда­
ленную от начала координат.
X2
3322. На эллипсоиде вращения щ-\-f
г2 = \ найти точки,
наименее и наиболее удаленные от плоскости 3 * 4 -4 « /+ 12z = 288.
3323. Даны плоские линии f (х, t/) = 0 и <р (х, у) = 0. Показать,
что экстремум расстояния между точками (а, Р) и ( |, г]), лежа­
щими соответственно на этих линиях, имеет место при выполне­
нии следующего условия:
dL
dx t = a
1/ = 3
dL
dy * = <x
и=3
_
d<p
dx
л=з
n
у=
dtp
by
■
C= l
q
у=
Пользуясь этим, найти кратчайшее расстояние между эллип­
сом л:- Ң- 2агг/ 4- 5уа — 16г/ = 0 и прямой х + у — 8 = 0.
§ 2. Плоские линии
Касательные
и нормали
В задачах 3324—3327 написать уравнения касательной и нор­
мали к линиям в указанных точках.
3324. х3у-\-у3х = 3 — х2у2 в точке (1, 1).
3325. а2 (я1+ у*) — x3f — 9а® в точке (а, 2а).
3328. cos ху = х + 2у в точке (1, 0).
3327. 2х3 — х 2у + За-24- 4ху —5х —Зу 4- 6 = 0 в точке ее пересе­
чения с осью Оу.
Особые точки
В задачах 3328—3340 найти особые точки линий.
3328. i f = х - ( х - \ ) .
3329. а2х2 = (х24- if) if.
3330. i f = axi + bx5.
3331. f = x ( x - a ) 2.
3332. X2'3 4- i f 13 = a2'3.
3333. Jt14- У* ~ 8x2 - Щ - 4-16 = 0.
3334, x4 4- 12x3 - 6(/3+ 36x2 + 21y2 - 81 = 0.
3335. x3+ y3 + 3axy = 0. 3336. х2 + у* = х* + у*.
3337. y ^ x l n x .
3338. j/2 = sin3x.
3339. y2 = (x — a f .
3340. x* = ( y - x 2)2.
§ 2. П Л О С К И Е Л И Н И И
205
Огибающие
3341. Найти уравнение огибающей семейства прямых у =
е= шс + / (а)• В частности, положить f(a) = cosa.
3342. Найти огибающую семейства прямых у = 2тх -f- т 1.
3343. Через точку А (а, 0) проведен пучок прямых. Найти
огибающую семейства нормалей, проведенных к прямым этого
пучка в точках их пересечения с осью Оу.
3344. Найти огибающую семейства парабол у2 = а(х — а).
3345. Найти огибающую семейства парабол ах2-\-а2у = 1.
3346. Найти огибающую семейства парабол у = а2{х — а)2.
3347. Найти огибающую семейства полукубических парабол
(у - а)2 = (х — а)3.
3348. Найти огибающую семейства линий х2+ ау2 = а3.
X2
и2
3349. Найти огибающую семейства эллипсов ^
^ = 1 при
условии, что сумма полуосей каждого эллипса равна d.
3350. Радиусы окружности проектируются на два ее взаимно
перпендикулярных диаметра и на проекциях.как на полуосях, стро­
ятся эллипсы. Найти огибающую полученного семейства эллип­
сов.
3351. Найти огибающую семейства окружностей, имеющих
центры на параболе у = Ьх2 и проходящих через ее вершину.
3352. Прямая движется так, что сумма длин отрезков, отсе­
каемых ею на осях координат, остается постоянной и равной а.
Найти огибающую полученного семейства прямых.
3353. Найти огибающую диаметра круга, катящегося без
скольжения по данной прямой (радиус круга R).
3354. На хордах круга (радиуса R), параллельных заданному
направлению, как на диаметрах, описываются окружности. Найти
огибающую этого семейства окружностей.
3355. Прямая движется так, что произведение отрезков, отсе­
каемых ею на осях координат, равно постоянной величине а.
Найти огибающую этих прямых.
3356. Показать, что всякая линия является огибающей семей­
ства своих касательных.
3357. Показать, что эволюта линии является огибающей се­
мейства ее нормалей. Найти эволюту параболы у2 = 2рх как гео­
метрическое место центров кривизны и как огибающую семейства
нормалей. Сравнить результаты.
3358. Доказать теорему: если линия (Л) есть огибающая се­
мейства прямых x c o s t + y s i n t — f(t) = 0, то эволюта линии (А)
является огибающей семейства прямых —*sin t-\- у cos t —/ ' (/) = 0.
3359. Радиус-вектор ОМ произвольной точки М равносторон­
ней гиперболы х у = 1 проектируется на асимптоты гиперболы.
Найти огибающую эллипсов, построенных на проекциях ОМ, как
на полуосях.
206
ГЛ. XI. ПРИМ ЕНЕНИЯ ДИФФ ЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 3. Векторная функция скалярного аргумента.
Линии в пространстве. Поверхности
Векторная функция скалярного аргумента
3360. Доказать формулы дифференцирования
£ < Ях . ) - « х § + £ х * .
Здесь и и о —векторные функции скалярного аргумента I.
3361. Даио r = r(t ). Найти производные;
\ &t
а)
** t
Ш \
\ d
d t] ’
d t\
ч d / <ird>r\
dt)'
) dt\
d td t* )’
3362. Дано, что при всех значениях t векторы г (t) и ^ колtPr
cPr
d"r
линеарны. Доказать, что и векторы
коллинеарны
вектору r(t).
3363. Доказать, что если модуль ( г | функции /*(/) остается
постоянным для всех значений t, то ^ Л _ г . (Каков геометриче­
ский смысл этого факта?) Имеет ли место обратная теорема?
3364. Дано r = acoso> *4-6sin ®t, где
и 6 —постоянные век­
торы. Доказать, что
а
^ r x —^w a xb
и 2) ^ - + w V = 0.
3365. Доказать, что если « —единичный вектор направления
_
,
E xdE
вектора Е, то ex.de =
■.
3366. Доказать, что если r = oeat-\-be~ae, где а и b — постоянd2r
ные векторы, то
— о 2/* = 0.
3367. и = а (х , у, г,
, у, г, t ) j + 4 (x, у, г, t ) k , где
х, у, г —функции от t. Доказать, что
da _ да
dt
dt
3368. Дано:
. д и dx . д а dy . д а dz
' дх dt ~т~ ду dt + l U d l ’
r = r(u ),
u = <p(x).
Выразить
производные
d r d~r_ d'Jr
d r d2r cPr
d x ’ tf*2 ’ die» ч е р е з d u ’ du?’
3369. Доказать, что если для векторной функции г — г(1)
имеет место соотношение ~ = а г , где а = const, то годографом
функции r ( t ) является луч, выходящий из полюса.
3370. Пусть функция r ( t ) определена, непрерывна и диффе­
ренцируема в интервале (tu /2), причем
=
Применить
теорему Ролля к функции at, где а — произвольный постоянный
вектор. Объяснить результат геометрически.
207
§ 3. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
3371. Дан радиус-вектор движущейся в пространстве точки
г {a sin t, — a cos t, ЬР\ (t — время, а и b —постоянные). Найти
годографы скорости и ускорения.
3372. Найти траекторию движения, для которого радиус-век­
тор движущейся точки удовлетворяет условию
~ а х г , где
а —постоянный вектор.
3373. Материальная точка движется по закону
=
(/■-радиус-вектор этой точки в момент t, ©0 и g — заданные век­
торы). Показать, что: 1) кинетическая энергия материальной
точки есть квадратичная функция времени; 2) v 0 — начальная
скорость (т. е. значение вектора скорости в момент i = 0); 3) дви­
жение происходит с постоянным ускорением, равным вектору g',
4) движение происходит по параболе (если только векторы «а
и g не коллинеарны), ось которой параллельна вектору g.
3374. Закон движения материальной точки задан формулой
г = a cos t - \ - b s i n t + с, где векторы а и Ь взаимно перпендику­
лярны. Определить траекторию движения. В какие моменты ско­
рость движения будет экстремальной? В какие м омеяш ускоре­
ние будет экстремальным?
3375. Формулы преобразования декартовых координат в сфе­
рические имеют вид x = p$in0cos<p, і/ = р s i n6 sin tp, z = p c o s0 ,
где p —расстояние данной точки от полюса, А—широта ее,
<р —азимут или долгота. Найти компоненты скорости движения
материальной точки в направлениях единичных ортогональных
векторов ер, ее,
Пространственные линии
В задачах 3376—3383 составить
мой и нормальной плоскости для
точках:
/ І* І9 І2\
&
3376. т ^ т , - j , -g-J, т. е. х = т ,
ной точке.
3377. x = acoscp,
г/ = a sin ф,
уравнения касательной пря­
данных линий в указанных
/3
/2
у = з - , г = ү , в произволь­
z = ~q> в данной точке
(aV2 aV2 k \ п
I—7j - , — , -g-J. Доказать, что касательная во всех точках линии
составляет с осью Ог один и тот же угол.
3378. x — at, y = ~ at2, z = ^ a t 3 в точке
3379. х = t — sin t,
у = 1 — cos t,
(6а, 18а, 72а).
2 = 4 sin
( я /2 — l , I , 2 V 2 ) .
3380. у2-{-г2 = 25, ха + у2= 1 0 в точке (1, 3, 4).
в
точке
208
ГЛ. XI. П РИМ ЕНЕНИЯ ДИ Ф Ф ЕРЕНЦИАЛ ЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
3381. 2л:2 + Зг/24 - = 47, х 1-\-2у1 = г в точке (—2, 1, 6).
3382. х24-j/2 = 22, х = у в точке (х0, у0, г0).
3383. л:34-z3= a3, у*-\-& = № в произвольной точке.
3384. На линии г {cos/, sin/, ef} найти точку, касательная
в которой параллельна плоскости Ү З х + у — 4 = 0.
В задачах 3385—3387 составить уравнения соприкасающейся
плоскости, главной нормали и бинормали к данным линиям
в указанных точках.
3385. у2 = х, х2 = г в точке (1, 1, 1).
3386. дс2 = 2az, у%= 2Ъг в произвольной точке.
3387. г { е ‘, е~‘, i ] / 2 } в точке (е, er1, Y 2).
3388. Показать, что касательные, главные нормали и бинор­
мали линии г {е1cost, e 's in /, ё \ составляют постоянные углы
с осью Ог.
В задачах 3389 — 3392 составить уравнения касательной пря­
мой, нормальной плоскости, бинормали, соприкасающейся пло­
скости, главной нормали и спрямляющей плоскости к данным
линиям в указанных точках.
3392. г { /3 —/2 —5, 3/24-1, 2/3 — 16} в точке, соответствующей
значению параметра / = 2.
3393. Показать, что линия г {2/ 4-3, 3 / — 1, /2} имеет во всех
точках одну и ту же соприкасающуюся плоскость. Объяснить
этот факт геометрически.
3394. Доказать, что линия
/* {qi/2 4" bjt 4" Ci,
4~ bjt -\-Со,
йзіг 4" b^t 4" Сз}
плоская, и составить уравнение той плоскости, в которой она
расположена.
3395. Найти радиус кручения линии г {cos/, si n/ , ch/}. _
3396. Найти радиус кривизны линии г {in cos /, In sin/, Y 2 t ] ,
0
< л / 2 . Показать, что кручение в любой ее точке равно
кривизне в этой точке.
3397. Показать, что для линии r{e* co s/, e'sin /, ef) (см. за­
дачу 3388) отношение кривизны к кручению остается постоянным
для всех точек кривой.
3398. Как выразится кривизна пространственной линии, задан­
ной уравнениями у = ф(я), г = -ф(л;)?
3399. Выразить векторы ti, vb Pi через производные р а д и у свектора точки на кривой r = r(t).
3400. Выразить каждый из векторов Тх, vb fa через два дру­
гих.
s
3. В Е К Т О РН А Я Ф У Н К Ц И Я С К А Л Я РН О Г О А РГУ М ЕН ТА
209
3401. Найти вектор <o(s) (вектор Дарбу), удовлетворяющий
у сл о в и я м
Длина дуги пространственной
линии
В задачах 3402—3409 найти длину дуги линий.
3402. r{2 t, I n t, t2} от t = l до / = 1 0 .
3403. r { a c o s t , as in i , al nc os t} от точки (a, 0, 0) до точки
3404. r{e*cost, e*sint, ё} от точки (1, 0, 1) до точки, соот­
ветствующей параметру t.
3405. jc2 = 3у, 2xy = 9z от точки (0, 0, 0) до точки (3, 3, 2).
3406. 2®= 2ах, 9у2 = 16хг от точки (0 ,0 ,0 ) до точки (2а, 8а/3, 2а).
3407. 4ax = (y-\-z)'2, 4х2 + 3у2 = 3z2 от начала координат до
точки (х, у, г).
3408. у = У 2ах — x2, z = a In
- от начала координат до точки
(*, Уг г).
z = ^ -a ln ^ i^
ох начала координат до
Поверхности
В задачах 3410—3419 для данных поверхностей найти урав­
нения касательных плоскостей и нормалей в указанных точках.
3410. г = 2х~ — 4у2 в точке (2, 1, 4).
3411. г — ху в точке (1, 1, 1).
3412. 2 =
- У-- в точке (а, а, — а).
3413. г = У x2-\-tf — xy в точке (3, 4, —7).
3414. 2 = arctg — в точке (1, 1, я/4).
3417.
3418.
3419.
3420.
Зх* — 4y'lz + 4z2x y - 4 z ' ix + 1 = 0 в точке (1, 1, 1).
(г2— a:2) x i j z — ;/Гі= 5 в точке (1, 1, 2).
4 + У х 2 + t f + z2 = х + y + z в точке (2, 3, 6).
Показать, что уравнение касательной плоскости к эллип
сойду — 4- ^
= 1 в любой его точке М 0 (х0, уо, гй) имеет ви д
ХоХ , УоУ , Zo2 _ ,
а2 +
+
CS
2 10
ГЛ. XI. ПРИМ ЕНЕНИЯ ДИ Ф Ф ЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
3421. К эллипсоиду х2+ 2у*+ 2а = 1 провести касательную
плоскость, параллельную плоскости x — y + 2z = 0.
3422. К эллипсоиду ^ + р + ^ " = 1 провести касательную пло*
скость, отсекающую на положительных полуосях координат рав­
ные отрезки.
3423. Показать, что поверхности х + 2у — In 2 + 4 = 0 и х 2 —
— ху — 8л: + г + 5 = 0 касаются друг друга (т. е. имеют общую
касательную плоскость) в точке (2, —3, 1).
3424. Доказать, что все плоскости, касательные к поверхности
z = x f { ~ ) , пересекаются в одной точке.
3425. Написать уравнения касательной плоскости и нормали
к шару г {«cos v, u s in и, Y a 2 — u2\ в точке /о(*о, «fo, Zo}.
3426. Написать уравнения касательной плоскости и нормали
к гиперболическому параболоиду г {а (« + v), Ъ (и — и), «о} в про­
извольной точке (х0, у0, г0).
3427. Доказать, что поверхности х2 + у2+ г2 = ах и хг + у* + 2*=э
е= by ортогональны друг к другу.
3428. Показать, что касательная плоскость к поверхности
хуг = а3 в любой ее точке образует с плоскостями координат
тетраэдр постоянного объема. Найти этот объем.
3429. Показать, что касательные плоскости к поверхности
V х - \ - V у + V z = V а отсекают на координатных осях отрезки,
сумма которых равна а.
3430. Д л я поверхности г = ху написать уравнение касатель» х-\-2 у+ 2
2 —1
ной плоскости, перпендикулярной к прямой
3431. Показать, что для поверхности
+ у* + г* = у длина
отрезка нормали между поверхностью и плоскостью хОу равна
расстоянию от начала координат до следа нормали на этой плоскости.
3432. Доказать, что нормаль к поверхности эллипсоида вращения — — ( - = 1 в любой его точке Р(х, у , г) образует рав­
ные углы с прямыми Р А и РВ, если А (0, —4, 0) и В (0, 4, 0).
3433. Доказать, что все нормали к поверхности вращения
2 = / ( V x 2 + у2) пересекают ось вращения.
3434. К поверхности х2 — у2 — Зг — 0 провести касательную пло­
скость, проходящую через точку А (0, 0, — 1), параллельно пря„ х
и
г
мои 2 = т = 2 .
д*2 _ I_ ^2
g»2
3435. На поверхности x* + i/a + 2a —6у + 4 г = 12 найти точки,
в к о т о р ы х касательные плоскости параллельны координатным
плоскостям.
3436. Составить уравнение касательной плоскости к поверх­
ности x = u + v, у = иг -\-гР, 2 = и 3+ у3 в произвольной точке. Вы­
разить коэффициенты этого уравнения:
S 4. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРА ДИ ЕН Т
а) через значения параметров ыв и о«;
б) через координаты x0r tfa, Zo точки касания.
3437. Найти геометрическое место оснований перпендикуля­
ров, опущенных нз начала координат на касательные плоскости
к параболоиду вращения 2рг — хг -\-у2.
3438. Найти геометрическое место оснований перпендикуля­
ров, опущенных из начала координат на касательные плоскости
к поверхности xyz = az.
§ 4. Скалярное поле. Градиент. Производная оо направлению
Градиент
3439. 1) ■»!)(*, у) = х2 — 2ху + Зу — 1. Найти проекции градиента
в точке (I, 2).
2) и = 5х2у — Зхір + д*. Найти проекции градиента в произволь­
ной точке.
3440. 1) 2 = & + t p . Найти grad г в точке (3, 2).
2) г = \ /Г4 + х* -\-у2. Найти gradz в точке (2, 1).
3) 2 = arctg у . Найти g ra d z в точке (дсо, $>).
3441. I) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности
г = In (я2+ 4у*) в точке (6, 4, In 100).
2) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z = x,J
в точке (2, 2, 4).
3442. Каково направление наибольшего изменения функции
ф(х, у, 2) — х sin 2 —у cos 2 в начале координат?
3443. 1) г = arcsin
Найти угол между градиентами этой
___
функции в точках (1, 1) и (3, 4).
2) Даны функции z — Y ^ + y2 и г = х - З у - \ ~ Ү З х у . Найти
угол между градиентами этих функций в точке (3, 4).
3444. 1) Найти точку, в которой градиент функции г =
= ln(jc + y ) равен l — ^ J .
2) Найти точки, в которых модуль градиента функции г =■
(х2 + у2)3/2 равен 2.
3445. Доказать следующие соотношения (ф и ip —дифферен­
цируемые функции, с —постоянная):
grad (ф + ф) = grad ф + grad ф; grad (с + ф) = grad ф;
grad (сф) = с grad ф;
grad (фі|з) = ф grad ijj + ф grad ф;
grad (фя) = пф*-1 grad ф ;
grad [ф (ф)] = ф' (rf>) grad ф.
3446. г = ф(и, v), M= ijj(x, у), v =
у). Показать, что
grad z = ^ grad а + ^ grad v.
3447. 1) u ( x t g, z) = x V z . Найти проекции grad и в точке
(Хо, Уо, Z0).
212
ГЛ. XI. ПРИМ ЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
2) и(х, у, г) = У х 2 + у2+ га . Найти g rad « .
3448. Показать, что функция и = ]п (х 2+ у2 -J-22) удовлетворяет
соотношению и = 2 In 2 — In (grad м)2.
3449. Доказать, что если х, у , г суть функции от Л то
У. г) = g rad /где /* = */■ + yj-\-zk.
3450. Использовать доказанное в предыдущей задаче соотно­
шение для нахождения градиента функции:
1) / = г 2; 2) / = И : 3) / = F (г2); 4) / = (аг) фг)\ 5) / = (,abr);
где а и 6 —постоянные векторы.
П р о и з в о д н а я по н а п р а в л е н и ю
3451. 1) Найти производную функции г — хъ- З х 2у-{-Здг//2-f-1
в точке М (3, 1) в направлении, идущем от этой точки к точке
(6, 5).
2) Найти производную функции 2 = arctg ху в точке (1, 1)
в направлении биссектрисы первого координатного угла.
3) Найти производную функции г = х2у2— ху3 — Зу — 1 в точке
(2, 1) в направлении, идущем от этой точки к началу координат.
4) Найти производную функции г = In (ех -f еу) в начале коор­
динат в направлении луча, образующего угол а с осью абсцисс.
3452. Найти производную функции 2 = ln(x + t/) в точке (1, 2),
принадлежащей параболе у2 — 4х, по направлению этой параболы.
3453. Найти производную функции z = a rc tg -^ в точке ( ~ ,
принадлежащей окружности х2+ у2 —2х = 0, по направлению этой
окружности.
3554. Д оказать, что производная функции г = ^- в любой
точке эллипса 2х2+ у2= 1 по направлению нормали к эллипсу
равна нулю.
3455. 1) Найти производную функции и = хуа + г3 —хуг в точке
M ( l , 1, 2) в направлении, образующем с осями координат углы
соответственно 60°, 45ч, 60я.
2)
Найти производную функции w = xyz в точке А (5, 1, 2)
в направлении, идущем от этой точки к точке В (9, 4, 14).
3456. Найти производную функции и = х 2у2г2 в точке А (1 ,— 1,3)
в направлении, идущем от этой точки к точке 5 ( 0 , 1, 1).
х4
о®
г2
3457. Доказать, что производная функции и = ^ + ^ +
в любой точке М (х, у, г) в направлении, идущем от этой точки
К н ач ал у к о о р д и н а т , равна —
ГДе r = V x 2+ tf + г 2.
3458. Доказать, что производная функции u = f(x , у, г) в на­
правлении ее градиента равна модулю градиента.
3459. Найти производную функции ы = 1/г, где г2 = хг + ф + 2®,
в направлении ее градиента.
ГЛАВА
XII
МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 1. Двойные и тройные интегралы
3460. Тонкая пластинка (ее толщиной пренебрегаем) лежит
в плоскости хОу, занимая область D. Плотность пластинки явля­
ется функцией точки: ү = у (Р) = у (х, у). Найти массу пластинки.
3461. На пластинке задачи 3460 распределен электрический
заряд с поверхностной плотностью t = t ( P ) = t (jc, у). Составить
выражение для полного заряда пластинки.
3462. Пластинка задачи 3460 вращается вокруг оси Ох с угло­
вой скоростью со. Составить выражение для кинетической энер­
гии пластинки.
3463. Удельная теплоемкость пластинки задачи 3460 меняется
по закону с = с(Р) = с(х, у). Найти количество тепла, получен­
ное пластинкой при ее нагревании от температуры
до темпе­
ратуры t-i.
3484.
Тело занимает пространственную область Q; его плот­
ность является функцией точки: ү = ү (Р) = у(х, у, z). Найти
массу тела.
3465. В теле задачи 3464 неравномерно распределен электри­
ческий заряд; плотность заряда является функцией точки: б =
= б (х, у, 2). Найти полный заряд тела.
В задачах 3466—3476 оценить интегралы:
3486. J J (х + у + 10) da, где D —круг
+ у2 sg 4.
D
3467. $ jj (х2 + \ i f -f- 9) da, где D — круг >;2-j-</2^ 4 .
D
3468.
(x + y-\- l)d a , где D — прямоугольник 0 = ^ a : ^ 1 , 0 ^
D
3469. ^ ( x + xy — x2 — y2)da, где D — прямоугольник 0 sSx sS 1,
о
3470. $$ xy (x -f y) da, где D - квадрат 0 < * < 2 ,
O < 0 '< 2 .
D
3471. W ( x . + \)y da, где D -к в а д р а т 0 < * < 2 , 0= = £t/< 2.
о
214
г л . XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3472. $ §(У + У2 — 2 Y x 2+ y2 + 2)da, где D — квадрат
D
Оа^г/==с2.
3473. $ $ (х2+ у2 — 4х — 4у + 10) da, где D — область, ограниченD
ная эллипсом х2 + 4у2 — 2 х — 16у + 13 = 0 (включая границу).
3474. ^ (х2+ у2+ z2) du, где Q —шар х2-\- y 2 + z2^ R 2.
а
3475.
$ (х + у + г ) dv, где Q —куб x ^ s 1, г / ^ 1 , z ^ s 1, д г^ З ,
н
j< :3 , z < 3 .
3476.
( x + y — 2 + 10)<&>, где й —шар х2+ у2+ z2^ 3.
а
§ 2. Кратное интегрирование
Д
войной
интеграл.
Прямоугольная
область
В задачах 3477—3484 вычислить двойные интегралы, взятые
по прямоугольным областям интегрирования D, заданным усло­
виями в скобках:
3477. $$ x y d x d y
( O ^ x s c l , 0 ^ г /^ ;2 ).
D
3478.
\\e x^dxdy
(0
ж
1, 0
=sS 1).
D
347dw J J t'Tv*
(O ^ x ^
34S0- У к т а т т ?
(O ^ e l.O ^ -s l).
1,
1).
3481. f f ---- 1).
V (1 +*2+y*f/2
3482. J J x sin ( x + y ) dxd y
(0 sg x ==Sя , 0 sg;у
л /2).
(0 sg; x
2).
D
3483. 55 x2yexydxdy
1, 0 «с у
D
3484. t f x 2y cos (xy2) dxdy
(0 - s x ^ л/2, 0
у ^ 2).
D
Двойной
интеграл.
Произвольная
область
В задачах 3485—3497 найти пределы двукратного интеграла
$ $ /(* . у ) dx dy при данных (конечных) областях интегрирования D:
D
3485. Параллелограмм со сторонами х — 3, х = 5, Зх — 2у +
+ 4 = 0, 3 * - 2 ^ + 1 = 0 .
3486. Треугольник со сторонами х = 0, jr = 0 , # + $ = 2 .
3487. хг+ «/2< 1 , *2г0, у=г0.
215
$ 2. СТАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3488. jc + t/=s£l, х — у яс 1, х
0.
3489.
у С Л — х2.
3490. у +
3491. (х — 2)2+ (у — З)2s g 4.
3492. D ограничена параболами у = х2 и # = ] / * .
3493. Треугольник со сторонами у = х, у = 2х и х~|-у = 6.
3494. Параллелограмм со сторонами у = х, у = х + 3, у=>
е= — 2 х + 1 , у = — ^ +
3495. у — 2 x ^ 0 , 2у —х^гО, х у < 2 .
3496. у2^ 8 х , y==s2x, у + 4 х —24=^0.
3497. Ь ограничена гиперболой у®—х2 = 1 и окружностью
х2 + у2 = 9 (имеется в виду область, содержащая начало коор­
динат).
В задачах 3498—3503 изменить порядок интегрирования:
1 Үу
1
3498. \dy ^ f (х, у) dx.
3499. J dx J / (x, y) dy.
о
—i
и
a
—-
____________
r
Y 2 r x —x ‘
3500. jj dx
ij
/ (x, y) dy.
2
3502. \ d x ^ f (x, y) dy.
I
4
_
xt
3504. J dx
J
/ (x, y) dy.
- 2 -±,Y T= S
2x
2
у
V2
2
6—*
V2
3503. J dx $ / (x, y) dy.
j:
0
2 jc
3504. Переменив порядок интегрирования, записать данное
выражение в виде одного двукратного интеграла:
\
2
х
2 __ х
1) \ d x \ f ( x , y )d y - \ r \ d x J f (x , y)dy\
0
0
1
I
0
3
(3— jt)/2
2 ) \ d x \ f { x , y)dy + [dx
0
1
0
1
0
2
х г/з
3) $dx ^
$
1— V 4 x — x ‘ — 3
y) d y + \ d x
0
f(x, y)dy\
0
1
\
0
/('•, y)dy.
3505. Представить двойной интеграл ^ \ f ( x , y)dxdy, где D —
D
области, указанные на рис. 62, 63, 64, 65, в виде суммы дву­
кратных интегралов (с наименьшим числом слагаемых). Фигуры,
показанные на рис. 64 и 65, составлены из прямых линий и дуг
окружностей.
В задачах 3506—3512 вычислить данные интегралы:
а
Ух
3506. 1) j dx I dy\
3507.
*
2*
2) ^ dx j | dy;
^ +
2
1л 0
3) j dy J ex dx.
216
Г Л . X II. М Н О Г О М Е Р Н Ы Е
И Н ТЕГРА ЛЫ
И
К РА Т Н О Е
И Н ТЕГРИ РО В А Н И Е
3508. ^ ( x 2 + y)dxdy, D — область, ограниченная параболами
D
у = х2 и t f = x.
3509. ^
d x d y , D —область, ограниченная прямыми х — 2,
'd
у = х и гиперболой х у — 1.
3510. jj $ cos (x + y)dxdy, D — область, ограниченная прямыми
'о
х = 0, у = п и у = х.
3511. §jj]/ 1 —х2 — у2dxdy, D — четверть круга х 2+ у2 eg 1, ле­
жащая в первом квадранте.
3512. J ^ х2У2 V \
— ip dxdy, D —область, ограниченная лиD
нией х3 + у3= 1 и осями координат.
3513. Найти среднее значение функции 2 = 1 2 — 2х — Зу в об­
ласти, ограниченной прямыми 12—2х — 3у = 0 , х — 0 , у — 0.
3514. Найти среднее значение функции 2 = 2х + у в треуголь­
нике, ограниченном осями координат и прямой х-\-у — 3.
3515. Найти среднге значение функции z = x + 6y в треуголь­
нике, ограниченном прямыми у = х, у = 5х и х = 1 . ___________
3516. Найти среднее значение функции г — V R 2 — хг — у2
в круге хг -f уг R 3.
217
§ 3. И Н Т Е Г РА Л Ы В П О Л Я Р Н Ы Х КО ОРДИ Н А ТА Х
Тройной
интеграл
В задачах 3517—3524 вычислить интегралы:
1
2
3
а
3517. ^ d x \ d y ^ dz.
Ь
с
3518. ^ d x \ d y \ ( x - \ - y - \ - z ) d z .
0
0
0
0
0
0
a
x
у
a
x
xy
3519. $ dx $ dy $ xyz dz.
0
0
«— 1
3520. $ dx $ dy $ хъу \ dz,
0
0
e— x — l
3521. j *
j
0
0
0
0
x + y + e
*
I
*•
e
3522. f f ^
4^2 +1 )3’ ^ — к л а с т ь , ограниченная плоскоQ
стями x —0 , y = 0, 2 = 0, x-{-y-\-z = 1.
3523. ^ \ \ x y d x d y d z , Q —область, ограниченная гиперболиче<2
ским параболоидом 2 = ху и плоскостями * + //= 1 И2=0( 2Э=0) .
3524.
ycos(z-\-x)dxdydz, Q —область, ограниченная циLi
_
линдром у = У х и плоскостями у = 0, 2 = 0 И Х+ 2 = Л/2.
§ 3. Интегралы в полярных, цилиндрических
и сферических координатах
Двойной
интеграл
В задачах 3525—3531 перейти в двойном интеграле
$$/(*■ y) d x d y к полярным координатам р и (р (х — р c o s ф, у =
D
= рзі пф) , и расставить пределы интегрирования:
3525. D — круг: 1) x2-\-y2^ R 2\ 2) х2+ у2 =<; ох; 3) х2-|- у2^ Ь у .
3526. D — область, ограниченная окружностями х2+ //2 = 4х,
х2 + г/2 = 8х и прямыми у = х и у = 2х.
3527. D — область, являющаяся общей частью двух кругов
х2 + у2 ^ ах и х2 + У2 by.
3528. D — область, ограниченная прямыми у = х , у = 0 п х = \ .
3529. D — меньший из двух сегментов, на которые прямая
x - f у = 2 рассекает круг х2-\-у2^ 4 .
3530. D — внутренняя часть правой петли лемнискаты Бер­
нулли (х2-\-у2)2 = а2 (х2 — у2).
3531. D — область, определенная неравенствами х ^ 0 , f/5s0,
(х2 + у2)3 ■< 4а2х2у2.
В задачах 3532—3535 двойные интегралы преобразовать к по­
лярным координатам:
R
3532. I dx
0
VR‘-JC‘
J
0
2Н
/ (х, у) dy.
3533. \ dy
Л/2
Y2Ry-y‘
J
0
/ (х, у) dx.
21в
ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Я '/К2- * 2
3534. § dx
$ f ( x 2 + y2)dy.
О
о
Д /У Т + Д *
Д*
Д
VR*~— x*
|
d x j /(-*-) dy +
J dx j
O
0
AV’l+Z?»
О
В задачах 3536—3540 с помощью перехода к полярным коор­
динатам вычислить двойные интегралы:
3535.
н
VR*—**
3536. $ dx
о
3537. J J l /
J
о
ln (1 +
~
d
x
+ У2) dy.
ф , где область D определяется нера-
D
венствами
+
х^ 0 , у^О .
3538. ^ (Һ — 2х — Зг/) dx dy, где D — круг х2+ j/2 =sS R а.
D
3539. J ^ У /?* — х г — i f dx dy, где D — круг я®-f t f sg ft*.
D
3540. J J arctg ~ dx dy, где D — часть кольца
D
x2- fi/2=s 1,
х* + і ? < 9 ,
y ^ x V 3.
3541. Показать, исходя из геометрических соображений, что
если декартовы координаты преобразовать по формулам х =
= apcos<p, ^ = &рвіпф (а и Ь — постоянные), то элементом пло­
щади будет
da = abpdpdcp.
В задачах 3542—3544, используя результат предыдущей за­
дачи и выбрав подходящим образом а и Ь, преобразовать двой­
ные интегралы:
3542. $$/ ( *, У) dxdy, где область D ограничена эллипсом
D
-L У- — 1
4 +
9
3543. ^ $/ (х, у) dx dy, где D — область, ограниченная линией
(к2 + ^ ] а - &у.
35«.
—^ j d x d y , г д е D — ч асть эл л и п т и ч е с к о г о
кольца, ограниченная эллипсами ^ -f- ^ = 1, ^
жащая в перром квадранте.
+ ^р- = 1 и ле­
S 3. ИНТЕГРАЛЫ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
219
3545. Вычислить интеграл ^ x y d x d y , где D — область, ограD
ниченная эллипсом
+ | г = 1 н лежащая в первом квадранте.
3546. Вычислить интеграл $ $ У x y d x d y , где D — область, ограD
п2 \ 4
хЦ
2 + —j =
Тройной
В
и лежащая в первом квадранте.
интеграл
задачах 3547—3551
перейти в тройном интеграле
у, z )d x d y d z к цилиндрическим координатам р, <р, г
а
(;t= p c o s (p , г/ = р sin ф, г — г) или сферическим координатам р, Ө,
Ф to = pcos фБіп 0, r/ = р sin ф sin Ө, z = pcos0) и расставить пре­
делы интегрирования:
3547. Q — область, находящаяся в первом октанте и ограничен­
ная цилиндром x ^ + t f — R ^ и плоскостями 2 = 0 , 2 = 1 , У = Х и
у = х у г3.
3548. Q — область, ограниченная цилиндром х2-\-у* = 2х, пло­
скостью г = 0 и параболоидом z = x2 + y2.
3549. Q — часть шара
лежащая в первом
октанте.
3550. Q —часть шара
-zl ^ R i, лежащая внутри ци­
линдра (х2 + у2)2 = R 2 (х2 — у2) (x^sQ).
3551. G —общая часть двух шаров ла + у*4-2*=</?2 и jc2
+ y* + ( z - R ) 2^ R 2.
В задачах 3552—3558 вычислить интегралы с помощью пере­
хода к цилиндрическим или к сферическим координатам:
1
V l —x*
а
J
dy J dz.
3552. J dx
0
R
_ Y l — Xi
0
V R * — x*
3554. J dx
J
dy
2
V 2 x — X1
3553. § dx
0
J
0
а
________
dy J z У^х2+ f dz.
e
V R * — x 2— y ‘
J
(хъ -f tf) dz.
—R
— Ү ц г — х*
о
1
V l — x*
VI — x* — y*
3555. J d* J dy
J
У x2 -j- i f 22 dz.
о о
о
3556. ^ ^ ( x 2j[-y2) d x d y dz, где область Q определяется нерая
венствами 2 ^ = 0, г ^ д ^ + ^ + г3^ / ? 2.
3557. f f f _ ^ = dxdy dz
где Q _ шар x 2 + t f + z2^ 1.
355s—l < z < l .
й-ш л иид р
+
220
г л . XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 4. Применение двойных и тройных интегралов
Объем тела.
I
В задачах 3559—3596 найти двойным интегрированием объ­
емы тел, ограниченных данными поверхностями (входящие в усло­
вия задач параметры считаются положительными):
3559. Плоскостями координат, плоскостями * = 4 и j = 4 и
параболоидом вращения 2 = л;а + г/2 + 1•
3560. Плоскостями коордннат, плоскостями х = а, у = Ь и
х2 у2
эллиптическим параболоидом 2==2p + 2q ’
3561. Плоскостью
+
+
= 1 и координатными плоско­
стями (пирамида).
3562. Плоскостями у — 0, 2 = 0, 3 x + t/ = 6, Ъх + 2 у = \ 2 и
Х-\-у~\-2 = 6.
3563. Параболоидом вращения г = я2 + у2, координатными пло­
скостями и плоскостью х-\- у = 1.
3564. Параболоидом вращения 2 = х2+ у2 и плоскостями 2 = 0,
у = 1 , у — 2х и у — Ь — х.
3565. Цилиндрами у — У х , у — 2 У х и плоскостями г = 0 и
jc + г = 6.
3566. Координатными плоскостями, плоскостью 2х-\-Зу—12= 0
и цилиндром z = t / 2/2.
3567. Цилиндром 2 = 9 —у2, координатными плоскостями и
плоскостью 3.t-f-4 y = 1 2 (£/5г0).
3568. Цилиндром г = 4 — х2, координатными плоскостями и
плоскостью 2х + г/ = 4 (хз^О).
3569. Цилиндром 2 i f = х, плоскостями х + у + ^
1 и 2 = 0.
3570. Круглым цилиндром радиуса г, осью которого служит
* I У
ось ординат, координатными плоскостями и плоскостью —
+ —= 11•
3571. Эллиптическим цилиндром ^- + у2 = 1, плоскостями г=>
е= 12 — Зх — 4у и 2 = 1.
3572. Цилиндрами x2 + y2 = R 2 и xa - f z a = /?a.
X2
л
3573. Цилиндрами z = 4 — уа, У = у и плоскостью 2 = 0.
3574. Цилиндрами
ха + у2 = Я2,
z= ^
и
плоскостью 2 = 0
(xSsO).
3575. Гиперболическим параболоидом 2 = *2 —|/2 и плоскостями
г = 0, а = 3.
3576. Гиперболическим параболоидом z = xy, цилиндром t/ =
= ] / * и плоскостями х + у = 2, у = 0 и 2 = 0.
§ 4. ПРИМ ЕН ЕН И Е ДВОЙН Ы Х И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
221
3577. Параболоидом г — х2-{-у2, цилиндром у — х2 и плоско­
стями и = 1 и 2 = 0.
X2 22
3578. Эллиптическим цилиндром ^
^ = 1 и плоскостями
У = Ь- х , у = 0 и 2 = 0 (jcS&O).
_
д2_^£іЗ
3579. Параболоидом 2 = ------ -— — и плоскостью 2 = 0.
3580. Цилиндрами у = ех, у = е~х, z — e2 — y2 и плоскостью
2 = 0.
3581. Цилиндрами у — 1пх и у = \ п 2х и плоскостями 2 = 0 и
y + z= \.
3582*. Цилиндрами z — In х и 2 = In у и плоскостями 2 = 0 и
х-\-у = 2е ( x ^ s \ ) .
(XД- и)2
3583. Цилиндрами y = x + s m x t y = x — s\nx и г = —
(параболический цилиндр, образующие которого параллельны пря­
мой х — у = 0, 2 = 0) и плоскостью
2= 0 (0 с х = ^ я , у ^ 0 ) .
3584. Конической поверхностью
2г = ху (рис. 66), цилиндром V x +
+ ] /* / = ! и плоскостью z = 0.
3585. Конической поверхностью 4 у2 = х(2 — г) (параболический
конус, рис. 67) и плоскостями 2 = 0 и x-\-z = 2.
3586. П оверхностью 2 = cosjccos«/ и плоскостями х = 0, у = 0,
2 = 0 и х-\-у = п / 2.
3587. Ц илиндром х2 + у2 = 4, плоскостями г = 0 и z=x-\-y-\-\Q.
3588. Ц илиндром х2+ у2 = 2х, плоскостями 2х — 2 = 0 и 4х —
—
2= 0.
3589. Ц илиндром x2-\-y2 = R 2, параболоидом Rz = 2R2 + х 2-\-у2
и плоскостью 2 = 0 .
3590. Цилиндром х2-\-у2 = 2ах, параболоидом z = х2+ У2 и
пло­
скостью 2 = 0.
3591.
Сферой хг + </2+ 22 = аг и цилиндром х%+ уг = ах. (Задача
Вивиани.)
222
г л . X II, МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ И Н ТЕГРИРОВАНИЕ
3592. Гиперболическим параболоидом 2 = -^, цилиндром хг +
+ у2 — ах и плоскостью г — 0 ( х ^ О , у ^ О ) .
3593. Цилиндрами х2-j-у* — х и
+
— 2х, параболоидом
г — х2-{-у2 и плоскостями х-\-у — 0, X — (/ = О И 2 = 0.
3594. Цилиндрами х24-у2 = 2х, хг -\-у2 = 2у и плоскостями
z = x + 2y и 2 = 0.
3595. Конической поверхностью г2 = ху и цилиндром (х2+г/2)2=
е= 2ху (х5= 0, yS^O, ZS3 0).
3596. Геликоидом («винтовая лестница») г
arct g - j , цилин­
дром х2-f-у2 = Я 2 и плоскостями х = 0 и г = 0 ( х ^ О , у5г=0).
Площадь
плоской фигуры
В задачах 3597—3608 найти
щади указанных областей:
3597. Области, ограниченной
3598. Области, ограниченной
3599. Области, ограниченной
двойным интегрированием пло­
прямыми х = 0, у = 0, х - \ - у — \.
прямыми у = х, у — Ьх, х = 1 .
дв (Л
эллипсом
+
62
3600. Области, заключенной между параболой tf = — x и пряь
мои у = - X.
а
_
_
3601. Области, ограниченной параболами y = \ f x , у = 2 ] / х н
прямой х = 4.
3602*. Области, ограниченной линией (x2-f уг)2= 2ах3.
3603. Области, ограниченной линией (х®-|-у2)3 = х4+ у4.
3604. Области, ограниченной линией (х* + у г)2 = 2а2 (х2 — у2)
(лемниската Бернулли).
3605. Области, ограниченной линией х * у 1,— 2ху, лежащей
в первом квадранте (петля).
3606. Области, ограниченной линией (х + у)3 = ху, лежащей
в первом квадранте (петля).
3607. Области, ограниченной линией (х + у)г = х гу1, лежащей
в первом квадранте (петля).
3608*. Области, ограниченной линией
,, /*2 , г/2\ 2 _ ху.
/х* , </а\2 _ *2+Уа
‘) [ а * + р )
~ 'е?'
9)
~
Объем тела.
25
*
II
В задачах 3609—3625 вычислить тройным интегрированием
объемы тел, ограниченных данными поверхностями (входящие
в условия задач параметры считаются положительными):
3609.
Цилиндрами z = 4 - y ® и 2 = ^ + 2 и плоскостями * =
е = — 1 И Х = 2.
223
§ 4. ПРИМ ЕНЕНИЕ ДВОЙНЫ Х И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
3610. Параболоидами z = x3-|-ys и г = ха + 2у3 и плоскостями
у — х, у = 2х и х = 1.
3611. Параболоидами г = л:2+ г/2 и г = 2х2-\-2у1, цилиндром
у — х2 и плоскостью у = х.
3612. Цилиндрами г = 1п(х + 2) и г = 1п(6 —х) и плоскостями
х = 0, х-\- у — 2 и х — у = 2.
3613*. Параболоидом ( х — 1)2 + у2 = г и плоскостью 2x-j-z = 2.
3614*. Параболоидом г = х2-\-у9 и плоскостью z = x-\-y.
3615*. Сферой х2 + у* + г* = 4 и параболоидом х* + у* = 3г.
3616. Сферой х1 + У* + га ±= R 2 и параболоидом x2+ j/* =а
e = R ( R ~ 2 z ) (г^ О ).
3617. Параболоидом 2 = х* + г/® и конусом г2 = ху.
3618. Сферой х2 + У2 + г2 = 4#z — З/?2 и конусом г2 = 4 (х2 + у2)
(имеется в виду часть шара, лежащая внутри конуса).
3619*. (х2 + у2+ г2)2 = аах.
3620. (х2 + У2 + г2)2 = axyz.
3621. (я2 + 1/2+ г*)3 = а?г*.
3622. (ха + f + г2)3 =
.
3623. (xa + ^ + 2a) 3 = aa (^ + v2)23624. (xa + t/*)a + 24 = a 32.
3625. x* + y* + 2* = l , х* + г/* + 2а = 16, 2* = х* + ^ 1 х = 0, у = 0,
2 = 0 (х^гО ,
2 ^ 0 ).
Площадь поверхности
3626. Вычислить площадь той части плоскости 6x + 3t/ + 2 z =
г= 12, которая заключена в первом октанте.
3627. Вычислить площадь той части поверхности г®= 2ху, ко­
торая находится над прямоугольником, лежащим в плоскости
2 = 0 и ограниченным прямыми х = 0, у — 0, х = 3, у — 6.
3628. Найти площадь части конуса г2 = х2+ у8, лежащую над
плоскостью Оху и отсеченную плоскостью г = 1/^2
+ lj.
В задачах 3629—3639 найти площади указанных частей дан*
ных поверхностей:
3629. Части г2 = х2+ і / 2, вырезанной цилиндром га = 2ру.
3630. Части у* + 2е = х®, лежащей внутри цилиндра ха + у*=7?2.
3631. Части у2-)-22 = х2, вырезанной цилиндром х®—у* = а* я
плоскостями у = b и у — — Ь.
3632. Части г2 = 4х, вырезанной цилиндром у2— 4х и пло*
скостью х = 1.
3633. Части г — ху, вырезанной цилиндром х2-\-у2 — R 3.
3634. Части 2г = х3- f у8, вырезанной цилиндром Xs + t f = 1.
3635. Части х 2 у2 z2 = а2, вырезанной цилиндром
=
s= R 2 ( R ^ a ) .
3636. Части x» + s f + 2* = Ka, вырезанной цилиндром ^ +
= Rx.
=
224
г л . XII, МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ҚРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3637. Части х2 + У2 + za = R 2, вырезанной поверхностью
(х1 + у2)2 = R 2 (х2 —у2).
3638. Части г = -~ ~ , вырезанной поверхностями х 2 + у2 = 1,
x*-f- t/2 = 4 и лежащей в первом октанте.
3639. Части ( x c o s a + у sina)2 - f z2 = a2, лежащей в первом
октанте ( а < л / 2 ) .
3640*. Вычислить площадь части земной поверхности (считая
ее сферической при радиусе Я
6400 км), заключенной между
меридианами <р = 30°, <р= 60° и параллелями 6 = 45е и 0 = 60°.
3641. Вычислить полную поверхность тела, ограниченного
сферой х2 + у2+ г2 — За2 и параболоидом x2-{-t? = 2az ( z s * 0).
3642. Оси двух одинаковых цилиндров радиуса R пересека­
ются под прямым углом. Найти площадь части поверхности одного
из цилиндров, лежащей в другом.
Мо ме н т ы и це нт р масс
В задачах 3643—3646 найти двойным интегрированием стати­
ческие моменты однородных плоских фигур (плотность ү = 1 ) :
3643. Прямоугольника со сторонами а и b относительно сто­
роны а.
3644. Полукруга радиуса R относительно диаметра.
3645. Круга радиуса R относительно касательной.
3646. Правильного шестиугольника со стороной а относи­
тельно стороны.
3647. Доказать, что статический момент треугольника с осно­
ванием а относительно этого основания зависит только от вы­
соты треугольника.
В задачах 3648—3652 найти двойным интегрированием центры
масс однородных плоских фигур:
3648. Фигуры, ограниченной верхней половиной эллипса, опи­
рающейся на большую ось.
3649. Фигуры, ограниченной синусоидой y — sinx, осью Ох и
прямой х — п /4.
3650. Кругового сектора, соответствующего центральному
углу а (радиус круга R).
3651. Кругового сегмента, соответствующего центральному
углу а (радиус круга R).
3652. Фигуры, ограниченной замкнутой линией у2 = хъ — х*
(*5=0).
В задачах 3653—3659 найти моменты инерции однородных
плоских фигур (плотность у = 1):
3653. Круга радиуса R относительно касательной.
3654. К в адр ата с о с т о р о н о й а о тн о си т ел ь н о верш ины .
3655. Э л л и п са с п о л у о ся м и а и
о тн о си т ел ь н о ц ен тр а.
b
§ 4, ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
22 5
3656. Прямоугольника со сторонами а и b относительно точки
пересечения диагоналей.
3657. Равнобедренного треугольника с основанием а и высо­
той Һ относительно вершины.
3858.
Круга радиуса R относительно точки, лежащей на
окружности.
3659. Сегмента параболы с хордой, перпендикулярной к оси,
относительно вершины параболы (длина хорды а, «стрелка» Һ).
3660. Доказать, что момент инерции кругового кольца отно­
сительно центра в два раза больше момента инерции относи­
тельно любой оси, проходящей через центр кольца и лежащей
в его плоскости.
3661. Доказать, что сумма моментов инерции плоской фигу­
ры Ғ относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей,
лежащих в одной плоскости с этой фигурой и проходящих через
неподвижную точку О, есть величина постоянная.
3662*. Доказать, что момент инерции плоской фигуры отно­
сительно какой-нибудь оси равен M d ? + I c, где М — масса, рас­
пределенная на фигуре, d — расстояние от оси до центра масс
фигуры, а / с — момент инерции относительно оси, параллельной
данной и проходящей через центр масс фигуры (теорема Штей­
нера).
В задачах 3663—3665 найти статические моменты однородных
тел (плотность ү = 1 ) :
3663. Прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, & и с
относительно его граней.
3664. Прямого круглого конуса (радиус основания R, высо­
та Н) относительно плоскости, проходящей через вершину па­
раллельно основанию.
х1 Ф
г2
3665. Тела, ограниченного эллипсоидом
2 - f ь-, + с>- = 1 и
плоскостью Оху, относительно этой плоскости.
В задачах 3666—3672 найти центры масс однородных тел,
ограниченных данными поверхностями:
3666. Плоскостями х = 0, у== 0, 2 = 0, х = 2, г/ = 4 и х-\-у-{- f z = 8 (усеченный параллелепипед).
*2
2а
3667. Эллипсоидом
+ -2 = 1 и координатными плоско­
стями (имеется в виду тело, расположенное в первом октанте).
ф
3668. Цилиндром г — ү и плоскостями * = 0, у — 0, г = 0 и
2х + З у - 1 2 = 0.
3669. Цилиндрами y = V х , y = 2 V x и плоскостями г — 0 и
х + г = 6.
8
Г. H. Берман
226
ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3670. Параболоидом 2 =
и сферой х2+ у2
г2 = За2 (г^О).
3671. Сферой x2-f y2-\-z2 — R 2 и конусом z t g a = V x 2Jr ^ (ша­
ровой сектор).
3672. (хг + г/2+ г2)2 = а32.
В задачах 3673—3674 найти центры масс однородных поверх­
ностей :
3673. Части сферы, заключенной в первом октанте.
3674. Части параболоида x2 + y2 = 2z, отсеченной плоскостью
г = 1.
В задачах 3675—3680 найти моменты инерции однородных
тел с массой, равной М .
3675. Прямоугольного параллелепипеда с ребрами а, Ъ и с
относительно каждого из ребер и относительно центра масс.
3676. Шара радиуса R относительно касательной прямой.
3677. Эллипсоида ^
+
~ = 1 относительно каждой из
трех его осей.
3678. Прямого круглого цилиндра (радиус основания R, вы­
сота Н ) относительно диаметра основания и относительно диа­
метра его среднего сечения.
3679. Полого шара внешнего радиуса R, внутреннего г отно­
сительно диаметра.
3680. Параболоида вращения (радиус основания R, высота Н)
относительно оси, проходящей через его центр масс перпенди­
кулярно к оси вращения (экваториальный момент).
В задачах 3681—3683 вычислить моменты инерции указанных
частей однородных поверхностей (масса каждой части равна М ):
3681. Боковой поверхности цилиндра (радиус основания R,
высота Н) относительно оси, проходящей через его центр масс
и перпендикулярной к оси цилиндра.
3682. Части параболоида х 2 + у2 = 2сг, отсеченной плоскостью
2 = с, относительно оси Ог.
3683. Боковой поверхности усеченного конуса (радиусы осно­
ваний R и г, высота Я) относительно его оси.
Р а з н ы е -з_адач и
3684. Найти массу квадратной пластинки со стороной 2а,
если плотность материала пластинки пропорциональна квадрату
расстояния от точки пересечения диагоналей и на углах квад­
рата равна единице.
3685- Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими
окружностями, радиусы которых равны R и г (/?>/■). Звая, что
* 4. ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
227
плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от
центра окружностей, найти массу кольца. Плотность на окруж­
ности внутреннего круга равна единице.
3686. Н а фигуре, ограниченной эллипсом с полуосями а и Ь,
распределена масса так, что плотность ее пропорциональна рас­
стоянию от большой оси, причем на единице расстояния от этой
оси она равна у. Найти всю массу.
3887.
Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми
поверхностями, радиусы которых равны г и R ( R > г). Зная, что
плотность материала обратно пропорциональна расстоянию от
центра сфер и на расстоянии, равном единице, равна у, найти
всю массу тела.
3688. Вычислить массу тела, ограниченного прямым круглым
цилиндром радиуса R и высоты Н , если его плотность в любой
точке численно равна квадрату расстояния этой точки от центра
основания цилиндра.
3689*. Вычислить массу тела, ограниченного круглым кону­
сом, высота которого равна Һ, а угол между осью и образующей
равен а , если плотность пропорциональна п-й степени расстоя­
ния от плоскости, проведенной через вершину конуса парал­
лельно основанию, причем на единице расстояния она равна у
( п > 0).
3690. Найти массу шара радиуса R, если плотность пропор­
циональна кубу расстояния от центра и на единице расстояния
равна у.
3691. Вычислить массу тела, ограниченного параболоидом
х2 + у2 = 2аг и сферой х2 + у2 + г2 = За2 ( z > 0 ) , если плотность
в каждой точке равна сумме квадратов координат.
3692*. Плотность шара х 2+ У? + za ^ 2Rz в любой его точке
численно равна квадрату расстояния этой точки от начала коор­
динат. Найти координаты центра масс шара.
3693*. Найти статический момент общей части шаров х2 +
4- у2+ z2 sS R 2 и x2-\-y2+ z2< ,2 Rz относительно плоскости Оху.
Плотность в любой точке тела численно равна расстоянию этой
точки от плоскости хОу.
3694*. Доказать, что момент инерции тела относительно ка­
кой-либо оси равен M d 2-{-Ic, г Де Л !—масса тела, d —расстояние
от оси до центра масс тела, а 1С— момент инерции относительно
оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела
(теорема Штейнера; ср. с задачей 3662).
Основываясь на законе всемирного тяготения НыОтона (см.
указание перед задачей 2670), решить задачи 3695— 3698.
3695. Д ан однородный ш ар,радиуса R с плотностью у. Вы­
числить силу, с которой он притягивает материальную точку
массы т, находящуюся на расстоянии a ( a > R ) от его центра.
8*
228
г л . X II. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
И КРАТНОЕ И Н ТЕГРИРОВАНИЕ
Убедиться, что сила взаимодействия такова, как если бы вся
масса шара была сосредоточена в его центре.
3696*. Доказать, что ньютонова сила взаимодействия между
двумя однородными шарами такова, как если бы массы шаров
были сосредоточены в их центрах.
3697. Дан неоднородный сплошной шар хг + у- + г2 ^ R 2
с плотностью, меняющейся по закону у — Хг2. Вычислить силу,
с которой он притягивает материальную точку с массой т, если
она находится на оси z на расстоянии 2R от центра шара.
3698. Дано однородное тело, ограниченное двумя концентри­
ческими сферами (шаровой слой). Доказать, что сила притяже­
ния этим слоем точки, находящейся во внутренней полости тела,
равна нулю.
Центром давления называется точка приложения равнодейст­
вующей всех сил давления на данную плоскую фигуру (все силы
давления перпендикулярны к плоскости фигуры). При определе­
нии координат центра давления исходят из того, что статиче­
ский момент результирующей силы (т. е. давления на всю пло­
щадку) относительно любой оси равен сумме статических момен­
тов отдельных сил относительно той же оси. Опираясь на это,
решить задачи 3699—3701.
3699. Найти центр давления прямоугольника со сторонами а
и b (а > Ь ), у которого большая сторона расположена вдоль сво­
бодной поверхности жидкости, а плоскость прямоугольника перпендикулярқа к этой поверхности. Показать, что положение
центра давления относительно прямоугольника не изменится,
если плоскость прямоугольника будет наклонена к поверхности
жидкости под углом а (афО). Как изменятся предыдущие ре­
зультаты, если большая сторона а расположена не на поверхно­
сти жидкости, а на глубине Һ (оставаясь параллельной поверх­
ности)?
3700. Треугольник с высотой Һ расположен в плоскости, на­
клоненной под углом а к свободной поверхности жидкости. На
какой глубине лежит центр давления этого треугольника, если:
а) Основание треугольника лежит на поверхности жидкости?
б) Вершина лежит на поверхности, а основание параллель­
но ей?
3701. Найти центр давления фигуры, ограниченной эллипсом
с полуосями а и b (ia > b ), при условии, что большая из осей
перпендикулярна к поверхности жидкости и верхний конец этой
осн находится на расстоянии Һ от поверхности.
3702*. Доказать, что давление жидкости на плоскую пло­
щадку, произвольным образом погруженную в жидкость, равно
весу цилиндрического столба этой жидкости, находящегося над
площадкой, при условии, что она лежит горизонтально на глу­
бине своего центра масс.
§ S. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
22 9
§ 5. Несобственные интегралы. Интегралы, зависящие
от параметра
Несобственные двойные
и тройные
интегралы
В задачах 3703—3711 вычислить несобственные интеграЛы или
установить их расходимость:
4 - О О +О О
3703.
+ t t >+00
і Г І -- І І 2 -
f
1+ Х
Ао -L
Г
3704.
+ 00 + 00
3705. $
+СО +СО
j
о
370в' *
о
I
5
+ CO + CO
(x + y)e~(x+y) d x d y .
jj xye~x*-ij:d x d y .
3708.
o o
+ 00 + <»
\
3709*.
\
0
3710*.
S
—00 —со
+ 00 + 00
3707.
-- - - - - - - .
f
л і А , (* + * + У'-)т
+У
o o
e-W + zw ^ a+ y^ dxdy.
0
+ oo + oo
I dx jj (r*dy.
O
3711*.
+oo "^"o0
\ dx i x e ^ ^ d t j .
©
x
2x
^
В задачах 3712—3715 выяснить, какие из несобственных ин­
тегралов, взятых по кругу радиуса R с центром в начале коор­
динат, являются сходящимися:
3712. $$ InУ ^ Т ? d x d y .
3713 . ^
^
e ^ d xd y .
3714. f [ ^ J ^ ± ^ d x d y .
3715. С f ^
^
f i d xd y .
Л У(хЧ-у^
JDJ 1(2+ У2
3716. Можно ли так выбрать число т, чтобы несобственный
интеграл ^ J у = = = , распространенный на всю плоскость, был
сходящимся?
В задачах 3717—3719 вычислить несобственные интегралы:
37 1 7
+ 00 + 00 + о о
С
t*
Г
dxdydz
\ ПоS IГо\ V
'г к + х + у-уг)1.
„
Л
О
-
/ (
{
+00 +00 +00
071о
г
Г
Г
XI / d x d y d z
7 8‘ J J J (1+Г-+^ + г2)з*
О О О
+ оо 4 - о о + 0 0
3719*.
$ S
$ е-*2- * 2- * 1dxdydz.
— оо — оо — ОО
В задачах 3720—3722 выяснить, сходятся ли несобственные
интегралы, взятые по шару £2 радиуса R с центром в начале
координат:
230
г л . X II . М Н О Г О М Е Р Н Ы Е
3720.
ИНТЕГРАЛЫ И
f С JС Y- {x '1+ y,^A
xdydz
l + 2‘* Y In Y JJ2 +
J J
3721.
t/s +
КРАТНОЕ
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
-Za.
ixiyiz.
3722. J
13
3723. Вычислить интеграл J
In (x^ + y^ + z ^ d x d y d z , где обq
ласть Q —шар радиуса R с центром в начале координат.
3724*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью
г — (x2-\-y'2) e ~ (xi+^'> и плоскостью 2 = 0.
3725. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью
2 — х2if ё—и ‘+н*) и плоскостью z = 0.
3726. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью г = 0
и частью поверхности г = хе—<*‘+&‘>, лежащей над этой пло­
скостью.
3727. Дано однородное тело, ограниченное прямым круглым
цилиндром (радиус основания R, высота Н, плотность ү). Найти
силу, действующую на точку с массстй т, находящуюся в центре
основания цилиндра.
3728. Дано однородное тело, ограниченное прямым круглым
конусом (радиус основания R, высота Н, плотность ү). Вычис­
лить силу, с которой тело притягивает точку массы т, помещен­
ную в вершине конуса.
3729. Дан неоднородный сплошной шар радиуса R, плотность
которого у связана с расстоянием от центра г соотношением у —
— a — br ( а > 0 , Ь > 0 ) .
а) Найти константы а и Ь, если известно, что средняя плот­
ность шара равна
а плотность на поверхности шара равна Тоб) Вычислить силу притяжения шаром точечной массы т,
расположенной на поверхности шара.
И н т е г р а л ы , з а в и с я щ и е от п а р а м е т р а .
Правило Лейбница
dz
3730. Найти область определения функции / ( * ) = ^
0 |/х*+г*
2л
3731. Найти кривизну линии i / = J ^ ^ - d a
в точке с абс-
Л
циссой х = 1.
ь
3732. Используя равенство | Г-f a x ~ ~а 1п ^ + °^)« получить
§ 6.
231
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
путем дифференцирования по параметру следующую формулу:
J ( 1 -j-д*)-
о
4in(i+flb)—
а-
v
3733. Исходя из равенства
ь
интеграл J (;t.2 + -2)3- .
о
1
7
я (1 4 -я £ )
ь
f
J Д - “j - л “
о
Q.
arctg -и , вычислить
+ оо
+ 00
3734. Исходя из равенства ^
^ , вычислить j
(п — целое положительное число).
fo + Py»
+00
3735. Вычислить значение интеграла
J e - ^ x ^ d x (« — целое
о
+СО
положительное число) при а>>0, найдя предварительно ^ e~axdx.
о
3736*. Исходя из равенства (см. задачу 2318)
я/2
dx
a2cos2 х +
b2 sin2х
2 j ab
| ’
найти
Я /2
(д2
6J
COS2
dx
* 4- b 2 sin2 x) 2 '
В задачах 3737—3749 вычислить интегралы с помощью диф­
ференцирования по параметру:
-4-00
(*
4 оо
1 __ р - а х
3737. j
(*
dx ( а > — 1).
1
3739. f -arc—
J хУТ^х*
3741. С
dx.
J *((+*■*)
о
8743. f ] ,,(, + асжх>f a
J
COS X
о
&
= l) = I
__ р ~ а х
3738. j
3740.
,
— dx ( а > — I).
I
( (a2 < 1).
J
)/1
—
3742. f 1,l(- ^ g— dx (a2< 1).
J |Л - * *
0
(a2 < l ) .
v
Я/2
'" « ■ W
0
1
«*<»•
r
'
7
232
ГЛ. X II. М НОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
+00
3745'
(q > 0 )
_-j-оо
__
^ 1~~1ё— dx (а > 0 )' зная- что
задачу 2439).
(см .
ах1
3746*.
( e - M ' d x = y j / " ”'
р — Ькг
\ -------- / ----- dx
0
( а > 0, * > 0 ) .
+ со
о-? 4
3747*.
(
ЛУ sin Ь*— sin с* ,
\
«/
о
/ ^
--------------- ах
*
ач
(az> 0).
-f- 00
3748.
f e- a , ^ b x - c o ScXdx
(а> 0 )_
О
Л /2
3749*. Jj In (a2cos2x-}-b2 sin2x) dx.
6
я /2
л /2
3750. Вычислив интеграл ^
о
1
(*
3751. Используя равенство ^ x ndx
о
1
найти j t i J ^ x .
о
1
вычислить интеграл
-(-00
3752. Используя равенство 2а jj е” а***гіх = "|/"я (см. задачу
о
4 - оо
2439), вычислить интеграл
jj (е~и^ х2 — е~ ЬЧх1) dx.
о
+ 00
г*
VЯ
3753. Из соотношения 1 e~2*dz = -ү - (интеграл Пуассона) вы*0
+ со
вести равенство у
1
2
Р
J е~^х dLz (х > 0)
и использовать его
для вычисления интегралов (интегралы дифракции или Френеля):
-J со
-|- 00
.
[• cos
а> J
,ч
х dx
:
С sin
х dx
б> j —
Разные
•
задачи
3754. Пусть функция /(jt) непрерывна при
и при х -*>
-> + оо /(x j стремится к конечному пределу / ( + о о ) . Доказать
$ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
233
+ оо
при этих условиях, что если а > 0 и b > 0, то J —— ~ ^ <bx^dx =
и
= [/ ( + со) — / (0)] In .
В задачах 3755—3756 вычислить интегралы, пользуясь резуль­
татом задачи 3754:
+ 00
+00
3755. | arc.t° ах~ arctgj^y ^
3756> | e^ * 1-e-b*"dx (n>Q)
+00
3757*. Пусть функция f(x) непрерывна при х ^ О и
^
А
сходится при любом А > 0 . Доказать при этих условиях, что
+ О0
если а > 0 и 6 > 0 , то І
^
dx = f (0) In --. (Ср. с задаJ
X
CL
чей 3754.)
В задачах 3758—3762 вычислить интегралы, пользуясь ре­
зультатом задачи 3757 ( а > 0 , 6 > 0 ) :
-f-oo
+оо
/•
p - a x __ p - b x
r*
3758.. \І' e'
aX-j ^('—- ddx.
x.
3759. jС ™^
™ .bx. dx.
----+ 00
3760. j Sin a s sin bx d x
+00
3761_ I
b j m a x - с ш Ьх ^
+ oo
+
oo
*
С sin3
3762*.• J(* ^ X» dx.
о
i* Функция Лапласа Ф (x) определяется так: Ф(х) =
3763*.
X
2 Г
= —— \ е~‘2dt (эта функция играет большую роль в теории вероI/ Л J
0о
ятностей). Доказать соотношения:
+
1) f 0 ( a z ) d z = e~ax
•J
аул
1 + * Ф (ах);
2)
СЮ
\ [1-Ф(х)]4х = -}-.
.J
'
у л
3764*. Функции si (х) и ci (х) обычно определяются так:
+ СО
^ 1-а
si (х) = — ^ ^ ү - d t («интегральный синус») н сі(х) = —
c- ^ - d t
у
*
(«интегральный косинус»). Доказать, что
х
234
ГЛ. X II, М Н О Г О М Е Р Н Ы Е
ИНТЕГРАЛЫ
И
КРАТНОЕ
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3765*. Функция Jo(x), определяемая равенством
л /2
Jo (х) — — j* cos (х sin в) dQ,
ь
называется функцией Бесселя нулевого порядка. Доказать, что:
+
СО
1) f e~axJo(x) dx =
(a > 0);
j}
yl+a»
-1-0 0
л/2,
если a 5= I;
arcsin
a,
если | a | ^ 1;
2) J 2 ^ J 0 {x)dx =
— я /2 , если a
— 1.
+00
P
е~хг
3766. Доказать, что функция f /= \
удовлетворяет
Q
дифференциальному уравнению у"-\-у = \/х.
1
3767*. Доказать, что функция у = ^ (г2— l)n~l exzdz удовлет—1
воряет дифференциальному уравнению ху"-\-2ny'— ху = 0.
+?°
С
е~хг
j
3768*. Доказать, что функция у — 4 ^ ^ ^ n + i ^2 удовлетво­
ряет дифференциальному уравнению xy" — 2пу' - f xy = 1.
3769*. Доказать, что функция Бесселя нулевого порядка
2 V2
/„(*) = — \ cos (.v sin Ө) dO удовлетворяет дифференциальному ураво
нению Jo (д:) + ^ - ^ + ^о М = 0
ГЛАВА
X III
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
ПО ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. Криволинейные интегралы по длине
Вычисление интегралов
В задачах 3770—3775 вычислить криволинейные интегралы:
3770. ^ 2^1 у > гДе £ —отрезок прямой у = ^- х — 2, заключен­
ный между точками А (0, — 2) и В ( 4, 0).
3771. $xy ds , где L —контур прямоугольника с вершинами
А (0 ,0 ), В (4, 0), С (4, 2) и D(0, 2).
3772. $ у ds, где L — дуга параболы у 2 = 2рх, отсеченная параL
болой я* - 2ру.
3773. ^(x2 + y2)n ds, где L — окружность x = a c o s t , у = a sin /.
L
3774.
1
xy ds, где L — четверть эллипса
+ -р = 1, лежащая
в первом квадранте.
3775. \ V 2 y d s , где L —первая арка циклоиды x = a ( t — sin/),
L
y = a ( l — cost).
3776.. Вывести формулу для вычисления интеграла J F (х, y)ds
L
в полярных координатах, если линия L задана уравнением
р = р(ф) (ф1< ф ^ ф 2).
3777*. Вычислить §(x — y)d s, где L —окружность хъ-\-у2 = ах.
L _____
3778. Вычислить J х V х2 — у2 ds, где L —линия, заданная уравL
нением (х2
у2)2 = а2 (х2 — у2) (х ^
0)
(половина лемнискаты).
3779. Вычислить J arctg -j ds, где L — часть спирали Архимеда
L
р = 2ф, заключенная внутри круга радиуса R с центром в начале
координат (в полюсе).
236
ГЛ. X III, КРИВО ЛИ НЕЙ НЫ Е ИНТЕГРАЛЫ
3780. Вычислить интеграл ^
где ^ ~ первый виток вин*
товой линии х=- a cost, y = a s ia t , г = а
3 7 8 1 . Вычислить J хуг ds, где L — четверть окружности х 2-(-у2
L
Ч г2 = R2, x2-\-y2 = R2/ 4, лежащая в первом октанте.
3782. Вычислить $(2г — ] / х г + у2) ds, г д е /. — первый виток коL
нической винтовой линии x = t c o s t , y = t si nt , z = t.
3783. Вычислить J (х-{-у) ds,
где
L — четверть
окружности
L
+ */а + z2 = R 2, у = х, лежащая в первом октанте.
Применения
интегралов
3784. Найти массу участка линии у — 1пх между точками
с абсциссами х х и х2, если плотность линии в каждой точке равна
квадрату абсциссы точки.
3785. Найти массу участка цепной линии у = а ch — между
а
точками с абсциссами Xi = 0 и х2 — а, если плотность линии
в каждой ее точке обратно пропорциональна ординате точки,
причем плотность в точке (0, а) равна б.
3786. 'Найти массу четверти эллипса x = a c o s t, y — bs ia t , рас­
положенной в первом квадранте, если плотность в каждой точке
равна ординате этой точки.
3787. Найти массу первого витка винтовой линии x = a c o s t,
y = as in t , z = bt, плотность которой в каждой точке равна квад­
рату полярного радиуса этой точки.
3788. Найти массу дуги линии x = e?cost, у = е‘ sin£, z = e' от
точки, соответствующей t = 0, до произвольной точки, если плот­
ность дуги обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса
и в точке (1, 0, 1) равна единице.
3789. Найти координаты центра масс первого полувитка винто­
вой линии * = a c o s /, y = as in t, z = bt, считая плотность постоян­
ной.
3790. Вычислить статический момент первого витка кониче­
ской винтовой линии x = tc os t, y = t s i n t , z — t относительно пло­
скости Оху, считая плотность пропорциональной квадрату рас­
стояния от этой плоскости: p = kz2.
3 7 9 1 . Вычислить моменты и н е р ц и и п е р в о г о в и тк а ВИНТОВОЙ ЛИ­
НИИ
осей.
x = ac os f , y = as in t, z = - ^ t
относительно
координатных
5 1. КРИВОЛИНЕПНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО ДЛИНЕ
237
В задачах 3792—3797 вычислить площади частей цилиндри­
ческих поверхностей, заключенных между плоскостью Оху и ука­
занными поверхностями:
3792. x2+ y 2 = R 2, z = R + ~ .
3793. у2 = 2рх,
z ~ V 2рх —4х2.
3794. у2 = ~ ( х — I)3; 2 = 2 - У х .
3 7 9 5 . * 2 - f */2 = R 2, 2Rz = xy.
3796. ^2 + І 2 = 1> 2 — kx и 2 = 0 ( г ^ О ) («цилиндрическая
подкова»),
3797. у = ] / 2 р х , г = у и х = ^ р .
3798. Вычислить площадь поверхности, которую вырезает из
круглого цилиндра радиуса R такой же цилиндр, если оси этих
цилиндров пересекаются под прямым углом (ср. с решением за­
дачи 3642).
3799. Найти площадь части поверхности цилиндра х2 -)-у2 = Rx,
заключенной внутри сферы х2 + у2+ 22 = R2.
Согласно закону Био —Савара элемент тока действует на
магнитную массу т с силой, равной по величине m/ Sl”2a —, где
/ — ток, d s—элемент длины проводника, г —расстояние от эле­
мента тока до магнитной массы, а —угол между направлением
прямой, соединяющей магнитную массу и элемент тока, и напра­
влением самого элемента тока. Эта сила направлена по нормали
к плоскости, содержащей элемент тока и точку, в которую поме­
щена магнитная масса; направление силы устанавливается прави­
лом «буравчика». Опираясь на этот закон, решить задачи
3800—3805.
3800. Найти силу, с которой ток I в бесконечном прямоли­
нейном проводнике действует на точечную магнитную массу т,
находящуюся на расстоянии а от проводника.
3801. По контуру, имеющему форму квадрата со стороной а,
течет ток / . С какой силой этот ток действует на точечную маг­
нитную массу т , находящуюся в центре квадрата?
3802. Показать, что ток / , текущий по дуге линии, уравнение
которой в полярных координатах имеет вид р = р(<р), действует
на точечную магнитную массу, находящуюся в полюсе, с силой
Фі
3803.
С какой силой ток I, текущий по замкнутому эллипти­
ческому контуру, действует на точечную магнитную массу т ,
находящуюся в фокусе эллипса?
238
ГЛ. Х Ш , КРИВОЛИНЕЙНЫ Е ИНТЕГРАЛЫ
3804. С какой силой ток / , текущий по бесконечному парабо­
лическому контуру, действует на точечную магнитную массу т,
помещенную в фокусе параболы? Расстояние от вершины до фо­
куса равно р/2.
3805. С какой силой ток / , текущий по круговому контуру
радиуса R, действует на точечную магнитную массу т, помещен­
ную в точку Р , лежащую на перпендикуляре, восставленном
в центре круга, на расстоянии Һ от плоскости круга? При каком
значении R эта сила будет наибольшей при заданном Һ?
§ 2. Криволинейные интегралы по координатам
Вычисление интегралов
В задачах 3806—3821 вычислить криволинейные интегралы:
3806. §х dy, где L — контур треугольника, образованного осями
L
координат и прямой
в положительном направлении
(т. е. против движения часовой стрелки).
3807. J x d y , где L — отрезок прямой ^ + у ~ 1 °т точки пе­
ресечения ее с осью абсцисс до точки пересечения ее с осью
ординат.
3808. $ (х2 — у2) dx, где L —дуга параболы у = х%от точки (0, 0)
L
до точки (2, 4).
3809. l ( x 2-i~y2)dy, где L — контур четырехугольника с верши£,
нами (указанными в порядке обхода) в точках А (0, 0), В (2, 0),)
С (4, 4) и D ( 0, 4).
<л. 2я)
3810.
§ — х cos у dx-{- у sin x d y вдоль
(0. 0)
щего точки (0, 0) и (я, 2л).
1)
3811. ^ xy dx + (y — x)dy вдоль линии
(0. 0)
3) t f = x, 4) у = х3.
отрезка,
соединяю-
1) у = х, 2) у — хг%
(1. О
3812.
$ 2ху dx -f- х г dy вдоль линии 1) у = х, 2) y = x*f
(0. 0)
3) у = х 3, 4) у %= х.
3813. ^ y d x + xdy, где L —четверть окружности x = R c o s t ,
L
y = R s i n t от ti = 0 до t2 = л/2.
3814. ^ y d x — xdy, где L — эллипс x = a c o s t , y ^ b s i n t , пробеi.
гаемый в положительном направлении.
§ 2. КРИ ВО ЛИ НЕЙ НЫ Е ИНТЕГРАЛЫ
ПО КООРДИНАТАМ
239
р y^dx—x^dtf
3815 * J — х2-\-у*— ’ где ^ — полуокружность x = ac o s t, у =
= asintf от = 0 до ti = л.
3816. J (2a — y)dx — (a — y)dy, где L — первая (от начала коорL
динат) арка циклоиды x = a(t — sinf), y = a ( l — cost).
3817. J
’ где ^ —четверть
астроиды
x = R co&t,
y = R s i v? t от точки (R , 0) до точки (0, R).
3818. ^x d x - \ - y d y + ( x- \-y — l)dz, где L — отрезок прямой от
L
точки (1, 1, 1) д® точки (2, 3, 4).
3819. ^ yz dx + zx dy + ху dz, где
L — дуга
винтовой
линии
L
x = R c o s t , y = R s i n t , z = 2^- от точки пересечения линии с пло­
скостью z = 0 до точки ее пересечения с плоскостью z = a.
(4 . 4. 4)
x d x A- u d u A- z d a ,
вдоль прямой линии.
(1. г. 1) У х 2+ у 2+ ^ — * — г / + 2г
3821. J yi dx + zi dy + x2dz, где L —линия пересечения сферы
L
х* + ?/* + г* = R 2 и цилиндра x* + y2 = Rx ( i ? > 0 , г^зО ), обходимая
при интегрировании против часовой стрелки, если смотреть из
начала координат.
Формула
Грина
В задачах 3822—3823 криволинейные интегралы по замкнутым
контурам L, взятые в положительном направлении, преобразо­
вать в двойные интегралы по областям, ограниченным этими
контурами.
3822. $ ( 1 — х2) у dx + х ( 1 + У2) dy.
L
3823. 5 (ехУ+ 2jc c o s у) dx + (е*у — хг sin у) dy.
L
3824. Вычислить двумя способами интеграл задачи 3822, если
контуром интегрирования L служит окружность х* + і/г = /?2:
1) непосредственно, 2) с помощью формулы Грина.
3825. Вычислить $ {ху + х + у) dx + {xy + x — y)dy, где L: 1) элL
липе ^ - f -^ = 1; 2) окружность x3 + t f = ax. Интегрирование
ведется в положительном направлении. (Вычисление провести
двумя способами: 1) непосредственно, 2) с помощью формулы
Грина.)
240
ГЛ. X III, КРИВО ЛИ Н ЕЙ Н Ы Е ИНТЕГРАЛЫ
3826. Доказать, что интеграл
$ (У*3 + еУ) dx + (ху3+ Xе3' ~ 2у) ЛУ
L
равен нулю, если L — замкнутая линия, симметричная относи­
тельно начала координат.
3827. С помощью формулы Грина вычислить разность между
интегралами
A=
J ( х + y f d x — (* — y f d y
АтВ
И
/а =
$ (x + y)2dx — (x — y)2dy,
АпВ
где АтВ — отрезок прямой, соединяющей точки А (0, 0) и f i ( l , I),
а А п В — дуга параболы у — х 2.
3828. Показать, что интеграл
J {х с os (N, х)
у sin (N, *)} ds,
L
где ( N , x) — угол между внешней нормалью к линии и положи­
тельным направлением оси абсцисс, взятый по замкнутому кон­
туру L в положительном направлении, равен удвоенной площади
фигуры, ограниченной контуром L.
3829. Доказать, что величина интеграла $ (2xy — y/d x -\- x 2dy,
L
где L —замкнутый контур, равна площади области, ограниченной
этим контуром.
3830. Доказать, что интеграл $ ф (у) dx + [х<р' (у) + дс3] dy равен
L
утроенному моменту инерции однородной плоской фигуры, огра­
ниченной контуром L, относительно оси ординат.
Н е з а в и с и м о с т ь и н т е г р а л а от к о н т у р а
и н т е г р и р о в а н и я . .Отыскание п е р в о о б р а з н о й
В задачах 3831—3835 проверить, что интегралы, взятые по
замкнутым контурам, равны нулю независимо от вида функций,
входящих в подынтегральное выражение.
3831. $ф(л:)dx + y ( y ) d y .
3832. \ f(xy) (ydx + xdy).
L
3834. \ [ f ( x + y ) + f ( x - y ) \ d x + [f(x + y ) - f ( x - y ) ] d y .
L
§ 2. К РИВО ЛИ НЕЙ НЫ Е ИНТЕГРАЛЫ ПО КООРДИНАТАМ.
241
3835. \ [ ( х г + уг + 2я) (х dx + y d y + z d z ) .
L
3836*. Доказать,
что
интеграл ^
,
езятый
в
положи*
тельном направлении по любому замкнутому контуру, заключаю­
щему внутри себя начало координат, равен 2я.
3837. Вычислить J
вдоль окружности х* + у г = 1
в положительном направлении.
В задачах 3838—3844 вычислить криволинейные интегралы
от полных дифференциалов:
(2, 3)
3838.
(2, 1)
J y d x + xdy.
(-1. 2)
3839.
§ 2xydx + x2dy.
(0, 0)
(5. 12)
3840.
С Xdxt + y f y (начало координат не лежит на контуре
(3 , -)
интегрирования).
р.
3841. f xdx+y<*y( где точки
и Я2 расположены на концен^ У ^ + (/2
трических окружностях с центрами в начале координат и ра­
диусами, равными соответственно R i и
(начало координат не
лежит на контуре интегрирования).
( 2 .1 ,3 )
3842.
( 3 .2 ,1 )
$
x d x — y2dy + zdz. 3843.
<1, — 1,2)
(5, 3 , 1)
3844.
^
§
yzdx + z xd y + xydz.
( 1 .2 ,3 )
2Хd
y
уг — ^контур интегрирования не пере-
(7, 2 , 3)
X\
секает поверхности г = --1.
tS /
В задачах 3845—3852 найти функции по данным полным
дифференциалам:
3845. da = х2 dx + у1dy.
3846. du = A {х1 — у2) (х dx — у dy).
3847. & =
3848. d u =
*
- d x - ( ^ ± V ^ ± J L \ ду.
y V x * + y*
\
y 2 ] f Л2 + І/2 j
3849- d^ ~ [ ^ k + ^
+
- A d'J 3850. du = (2x cos у — у* sin *) dx -j- (2у cos x — x2 sin y) dy.
3851. * , = 2- i ^ * + ( T| y + l )dy.
3852.
242
г л . X III, КРИВО ЛИ НЕЙ НЫ Е ИНТЕГРАЛЫ
3853. Подобрать
(x — y ) d x - \ - [ x + u ) d q
-----:—
число
п
так,
чтобы
,
Выражение
■
--------было полным дифференциалом; наити соответ­
ствующую функцию.
3854. Подобрать постоянные а и b так, чтобы выражение
(y* + 2 x y + a x * ) d x — (x* + 2 x y + b y 2 ) d y
_
_
_
----------------- _j_yip-------------------- было полным дифференциалом;
найти соответствующую функцию.
В задачах 3855—3860 найти функции по данным полным
дифференциалам:
3855. du = -dx-± dt< P 2 .
х+У + г
3856. da = — x + udy+zd*'
у ^ + у 2+г* •
3857. du = * dxt1?+ -$
+ Xydt.
X -yW
3858. du = 2 ^
y + ^ ~ yzdx).
3859. du = -dx~ 3dy + ^ ~ x+23dz.
z
ZJ
3860. d u =
= eu/1dx - f (-— ^x~ - ^ -f ze?*J d y + f —
Применения
У_(- ye?z -j- e~*j dz.
интегралов
В задачах 3861—3868 вычислить при помощи криволинейного
интеграла площади фигур, ограниченных замкнутыми линиями.
3861. Эллипсом x = a c o s t, y = b s m t .
3862. Астроидой x = acos3t, у — a sin31.
3863. Кардиоидой х = 2а cos t — a cos 21, у = 2а sin t — a sin 21.
3864*. Петлей декартова листа *3+ у3— Заху = 0.
3865. Петлей линии (x + y f = xy .
3866. Петлей линии ( х у ) * = хгу.
3867*. Лемнискатой Бернулли (х2 + t/2)2 = 2аг (х2 - tf).
3868*. Петлей линии ( V x + V y ) 12 — xy.
Работа
3869. В каждой точке плоскости на материальную точку
действует сила, имеющая постоянную величину F и направление
положительной оси абсцисс. Найти работу, совершаемую этой
силой, при движении точки по дуге окружности xs +y* = R'\
лежащей в первом квадранте.
3870. В каждой точке плоскости на материальную точку дей­
ствует сила F, проекции которой на ося координат равны
Х = ху, Y = x + y. Вычислить работу силы Ғ при перемещении
точки из начала координат в точку (1, 1): 1) по прямой у = х\
343
§ 3. ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ
2) по параболе у = хг\ 3) по двузвенной ломаной, стороны кото­
рой параллельны осям координат (два случая).
3871. В каждой точке М эллипса x = a c o s t, y = b s i n t при­
ложена сила F, равная по величине расстоянию от точки М до
центра эллипса и направленная к центру эллипса, а) Вычислить
работу силы F при перемещении точки вдоль дуги эллипса,
лежащей в первом квадранте, б) Найти работу, если точка
обходит весь эллипс.
3872. Проекции силы на оси координат задаются формулами
X = 2ху и: Y = х%. Показать, что работа силы при перемещении
точки зависит только от начального и конечного ее положения
и не зависит от формы пути. Вычислить величину работы при
перемещении из точки (1, 0) в точку (0, 3).
3873. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию
точки ее приложения от плоскости хОу и направлена к началу
координат. Вычислить работу при движении точки под дей­
ствием этой силы по прямой x = at, y = bt, z — ct от точки
М (а, Ь, с) до точки N (2а, 2Ь, 2с).
3874. Сила по величине обратно пропорциональна расстоя­
нию точки ее приложения от оси Oz, перпендикулярна к этой
оси и направлена к ней. Найти работу силы при движении
точки под действием этой силы по окружности x = cost, у = 1,
z = si n/ от точки М ( 1, 1, 0) до точки jV(0, 1, 1).
3875. Доказать, что работа силы тяготения двух точечных
масс, совершаемая при перемещении одной из них, не зависит
от формы пути. Величина силы тяготения F определяется зако­
ном Ньютона: F =
где г —расстояние между точками,
mi и т2 — массы, сосредоточенные в этих точках, k — гравита­
ционная постоянная.
§ 3. Интегралы по поверхности
Интегралы
по п л о щ а д и
поверхности
В задачах 3876—3884 вычислить интегралы:
~3 yj dq, где S — часть плоскости £ + g +
-f
лежащая в первом октанте.
3877. ^ x y z d q ,
где S —часть плоскости x-\-y + z = \ , лежа-
щая в первом октанте.
3878. ^ x dq , где S — часть сферы х2 -f у 1
s
в первом октанте.
z2= R 2, лежащая
244
г л . Х111 , КРИВОЛИНЕЙНЫ Е ИНТЕГРАЛЫ
3879. \ \ y d q , где 5 —полусфера г = V R 2 — х 2 — уъ.
s
R 2 — х 2 — У1dq, где S — полусфера z = V R 2 — х 1 — у 2-
3880. \
s
3881. JiJjc2!i2dq, где S —полусфера z = V R"1 — х1 — у2.
\s
3882. ^
7 !-.
где
S —цилиндр
x 1+ y2 = R2t
ограниченный
плоскостями 2 = 0 и 2 = Н, а г — расстояние от точки поверх­
ности до начала координат.
3883. ( J
где 5 —сфера х24 -y2+ z 2 = R 2, а г —расстояние
от точки сферы до фиксированной точки Р (0, 0, с) ( c > R ) .
3884. f f
где 5 —часть
поверхности
гиперболического
параболоида г = ху, отсеченная цилиндром x2 + y2 = R i, а г —рас­
стояние от точки поверхности до оси Ог.
3885*. Найти массу сферы, если поверхностная плотность
в каждой точке равна расстоянию этой точки от некоторого
фиксированного диаметра сферы.
3886. Найти массу сферы, если поверхностная плотность
в каждой точке равна квадрату расстояния этой точки от неко­
торого фиксированного диаметра сферы.
Поверхностные
интегралы
по к о о р д и н а т а м
В задачах 3887—3893 вычислить поверхностные интегралы.
3887. ^ x d y d z + y d x d z + zdx dy, где S — положительная сторона кубч, составленного плоскостями * = 0, у — 0, 2 = 0, х = \ ,
у = 1, 2 = 1.
3888. \ [ x 2y2zd x dy , где 5 — положительная сторона нижней
■S
половины сферы х2+ у2 + z2 = R 2.
3889. j ^ zd x dy , где 5 —внешняя сторона эллипсоида ~ +
'
с1
3890. (' \ z2dxdtj, где 5 — внешняя сторона эллипсоида — 4*5
Л.УІ
+
+ 6* + сг = 1
§ 3. ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ
245
3891. \ \ x z d x d y - \ - x y d y d z - \ - y z d x d 2 , где S —внешняя сторона
's
пираміды, составленной плоскостями л: = 0, у = 0, г = 0 и •*+</ +
-J- г — 1.
3892. 55 yz dx dy -f- xz dy dz -f xy dx dz, где S — внешняя сторона
s
поверхности, расположенной в первом октанте и составленной
из цилиндра x2 + y2 = R 2 и плоскостей х = 0, у = 0, г — 0 и z = H.
3893. H y 2z d x d y Jr xzdydz-\-xiydx dz, где S — внешняя сторона
s
поверхности, расположенной в первом октанте и составленной
аз параболоида вращения z = *2- f г/2, ци­
линдра х2-\-у2— \ и координатных плос­
костей (рис. 68).
Формула Стокса
3894. Интеграл 5 (У2 + г2) dx + (х2 +
L
z2) dy-\-(х2 у2) dz, взятый по некоторо­
му замкнутому контуру, преобразовать с
помощью формулы Стокса в интеграл по
Рис' 68
поверхности, «натянутой» на этот контур.
3895. Вычислить интеграл \ x 2jfdx-\-dy-\-zdz, где контур
L
/- — окружность
х2-j- у2 = R 2, z = 0: а) непосредственно и
б) используя формулу Стокса, взяв в качестве поверхности полу­
сферу z = + У R- — x i — yl . Интегрирование по окружности в пло­
скости хОу ведется в положительном направлении.
Формула Остроградского
3896. Поверхностный интеграл по замкнутой поверхности
преобразовать с помощью формулы Остроградского в тройной
интеграл по объему тела, ограниченного этой поверхностью:
H x ‘1dydz-\-y2dxdz-\-z2dxdy. Интегрирование ведется по внешней
\
стороне поверхности S.
3897. Поверхностный интеграл по замкнутой поверхности
греобразовать с помощью формулы Остроградского в тройной по
объему тела, ограниченного этой поверхностью:
5 J Y x14- у- + г2' {cos (N, х) 4- cos ( N , у) + cos (N, z)} da,
s
где N — внешняя нормаль к поверхности S.
246
tvKSttll.
КРИ ВО ЛИ НЕЙ НЫ Е И І ^ Г Р А ^ Ы
3898. В ы ч и с л и т ь ^ ің т е г р О ^ ^ ^ ^ ^ ^ у , £сли S — сфера ра­
диуса R с центром в начйлв-ощординат.
3899. Вычис$Й*і_интеграл
$ J [xs <$s ( ^ C ) - = h ^ f c ( ^ ^ ^ c o s (N, г)} da.
где S —сфера
внешняя норма
3900. Вычисл
формулу Odfj^rpa
"<Гцеі»рбм в начале координат, а N —
интрГтййвЗгв-чя*шь;р 3891—3893, применяя
Г Л А В А XIV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§
1.
Уравнения первого порядка
Уравнения с разделяющимися
переменными
В задачах 3901—3910 найти общие решения дифференциаль­
ных уравнении:
''ЗЭОІ. (xy2+ x)dx + (y — x2y)dy = 0.
~ 3902. хуУ = 1 - х 2..
3903. уу' =
3904. y ' i g x - y = a.
.
3905. xy' + y = tf.
3906. 0' + l / j - = g = O.
3907. V \ ^ f d x + y V \ ^ J 2dy = 0.
3908. е~* (1 + J ) = 1.
3910.
-j- sin —^ — — sin
^
3909. y' = 10*+*.
•
3911. Зависимость между скоростью v снаряда и пройденным
путем I в канале орудия устанавливается в баллистике следуюatn
dl
^
„
щим уравнением:
ь+1я * где u = dF и
Наити зависимость между временем t движения снаряда и пройденным рас­
стоянием I по каналу.
3912. Если х — количество иодистоводородной кислоты H J,
разложившееся к моменту времени t, то скорость разложения
определяется дифференциальным уравнением
—
j —
3^ - j 2, где ki, ki и у — постоянные. Проинтегрировать это
уравнение.
В задачах 3913—^ 9 \ 0 ^ й т и частные решения дифференциаль­
ных уравнений, у^юЬлбтввшиоцие-лданным начальным условиям:
3913. t f
^3914.
3915. sin у cos4c^ly = c o s y sin ап»; у |*_* = я/4.
3ftl6. у - x t / = b ( l + & y ' ) ; y |* u i= l.
У\х-о= 1.
248
ГЛ. XIV. ДИ Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л ЬН Ы Е УРАВН ЕНИЯ
3917. Найти линию, проходящую через точку (2, 3) и обла­
дающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, за­
ключенный между координатными осями, делится пополам
в точке касания.
3918. Найти линию, проходящую через точку (2, 0) и обла­
дающую тем свойством, что отрезок касательной между точкой
касания и осью ординат имеет постоянную длину, равную двум.
3919. Найти все линии, у которых отрезок касательной между
точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересе­
чения с осью ординат.
3920. Найти все линии, у которых подкасательная пропор­
циональна абсциссе точки касания (коэффициент пропорцио­
нальности равен k).
3921. Найти линию, проходящую через точку (а, 1) и имею­
щую подкасательную постоянной длины а.
3922. Найти линию, у которой длина нормали (отрезок ее от
точки линии до оси абсцисс) есть постоянная величина а.
3923. Найти линию, у которой сумма длин касательной и
подкасательной в любой ее точке пропорциональна произведению
координат точки касания (коэффициент пропорциональности
равен k).
3924. Найти линию y = f ( x ) ( f ( x ) ^ 0 , /(0 ) = 0), ограничиваю­
щую криволинейную трапецию с основанием [0, х], площадь ко­
торой пропорциональна (п + 1 )-й степени Ңх). Известно, что
/(!)=!•
3925. Материальная точка массой 1 г движется прямолинейно
под действием силы, прямо пропорциональной времени, отсчи­
тываемому от момента t = 0, и обратно пропорциональной ско­
рости движения точкич В момент / = 1 0 с скорость равнялась
0,5 м/с, а сила — 4 ■10-® Н. Какова будет скорость спустя минуту
после начала движения?
3926. Материальная точка движется прямолинейно, причем
так, что ее кинетическая энергия в момент t прямо пропорцио­
нальна средней скорости движения в интервале времени от нуля
до t. Известно, что при t — 0 путь s = 0. Показать, что движе­
ние равномерно.
3927. Моторная лодка движется в спокойной воде со ско­
ростью v = 1 0 км/ч. На полном ходу ее мотор был выключен,
н через / = 20 с скорость лодки уменьшилась до vL= & км/ч.
Считая, что сила сопротивления воды движению лодки пропор­
циональна ее скорости, найти скорость лодки через 2 мин после
остановки мотора; найти также расстояние, пройденное лодкой
в
течение одной минуты после остановки мотора.
3928. В дне цилиндрического сосуда с поперечным сечением S
и вертикальной осью имеется малое круглое отверстие пло­
щадью q, закрытое диафрагмой (как у объектива фотоаппарата).
В сосуд налита жидкость до высоты А. В момент t = 0 диафрагма
$ 1. У Р А В Н Е Н И Я П Е Р В О Г О П О Р Я Д К А
249
начинает открываться, причем площадь отверстия пропорцио­
нальна времени и полностью отверстие открывается за Т с. Ко­
кова будет высота Н жидкости в сосуде через Т с после начала
опыта? (См. задачи 2701—2706.)
3929.
Скорость охлаждения тела пропорциональна разности
между температурами тела и среды. В задачах 2710—2711 мы
считали коэффициент пропорциональности постоянным. При не­
которых расчетах считают, что он линейно зависит от времени:
k = ko(\ + а / ) . Найти при этом предположении зависимость между
температурой тела Ө и временем t, полагая, что 6 = Ө0 при t = О,
а температура окружающей среды
3930*. Скорость роста площади молодого листа викторни-регии, имеющего, как известно, форму круга, пропорциональна
окружности листа и количеству солнечного света, падающего на
лист. Последнее в свою очередь пропорционально площади листа
и косинусу угла между направлением лучей и вертикалью. Найти
зависимость между площадью S листа и временем t, если
известно, что в 6 часов утра эта площадь равнялась 1600 см2,
а в 6 часов вечера того же дня 2500 см2. (Полагать, что наблю­
дение производилось на экваторе в день равноденствия, ксгда
угол между направлением лучей солнца и вертикалью можно
считать равным 90° в 6 часов утра и в 6 часов вечера и 0 ’
в полдень.)
В задачах 3931—3933 при помощи замены искомой функции
привести данные уравнения к уравнениям с разделяющимися
переменными и решить их:
3931. у' = cos (х — у) (положить и = х — у).
3932. у' = Зх — 2г/ + 5.
3933. у' j / l + х + у = х + у - 1.
Однородные уравнения
В задачах 3934—3944 найти общие решения уравнений:
3934. у' = •£- - 2.
х
3935. у ' =
3936. x d y — y d x = ydy.
3937. у' =
3938. у ‘ = -х- + -J-.
3939. х у ' - у =
3940. У2 + х2у' = хуу'.
3941. у ’ = е « / х + У
х.
3942. ху' = у \ п У
х .
3944.
J
=
х
+
X—у
3943. (3 ^ + Зху + хг) dx = (х1+ 2xy) dy.
ф {у/х)
В задачах 3945 3948 найти частные решения дифференциаль­
ных уравнений, удовлетворяюц^ле данным начальным условиям:
250
ГЛ. XIV. ДИ Ф Ф ЕРЕН Ц И А Л ЬН Ы Е УРАВН ЕНИЯ
3945. (ху' —у) arctg ~ = х\
у \х. i = 0.
3946. (г/2 — 3xi)dy + 2xydx = 0;
3947.
у \х. 0 = 1.
У \ * - ^ ~ 1-
3948. у (-^ -)2+ 2дс - % - у = 0\
y \ x-Q = V b .
3949. Привести уравнение у' — ~ + <р(~^ к квадратуре. Ка­
кова должна быть функция ф( у) > чтобы общим решением дан­
ного уравнения было У= 1п *gx j?
3950. Найти линию, у которой квадрат длины отрезка, отсе­
каемого любой касательной от оси ординат, равен произведению
координат точки касания.
3951. Найти линию, у которой начальная ордината любой ка­
сательной равна соответствующей поднормали.
3952. Найти линию, у которой длина полярного радиуса лю­
бой ее точки М равняется расстоянию между точкой пересече­
ния касательной в точке М с осью Оу и началом координат.
3953*. Какой поверхностью вращения является зеркало про­
жектора, если лучи света, исходящие из точечного источника,
отразившись, направляются параллельным пучком?
Линейные уравнения
В задачах 3954—3964 найти общие решения уравнений:
3954. у' + 2у = 4х.
3955. у' -\-2ху = хв~х\
3956. У’ + ^ = ^ У = 1.
3957. (1 + * •) у’ - 2ху = (1+**)■.
3958. у' + у = cos х.
3959. у ’ -{-ау = етх.
3960. 2у dx + (у 2 — 6*) dy = 0.
3961. ✓ =
3962.
,
3963. х( у' - у ) = ( 1 + х г)е*.
3964. у' + уФ' (х) — Ф (х) Ф' (я) = 0, где Ф (*) — заданная функ­
ция.
В задачах 3965—3968 найти частные решения уравнений,
удовлетворяющие указанным начальным условиям:
3965. у ' — у tg x = sec.r, у \ х- о = 0.
3966. ху' + у — ех = 0;
у\ х- а = Ь.
3967. х у ' - ^ ^ х - ,
у U -i = 0.
3968. K l + t ^ d x ^ i x + x t 2 -
х |,_i = - n/4.
§ I. У РАВН ЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
251
3969. Пусть у і и у 2 — два различных решения уравнения
y' + P ( x ) y = Q(x).
а) Доказать, что у = у х + С (у2 — у х) является общим решением
того же уравнения (С —константа).
б) При каком соотношении между постоянными а и Р линей­
ная комбинация cu/x + pi/a будет решением данного уравнения?
в) Доказать, что если уа — третье частное решение, отличное
У2--- У\
от Ui и у2* Т О отношение —
—— постоянно.
°
*
Уа — У\
х
3970. Доказать тождество (см. задачу 2345) ^e2x~ 2idz =
о
X
X
= е*1/* $ e-rf* dz, составив для функции / (х) =
диффе0
о
ренциальное уравнение и решив его.
3971. Найти линию, у которой начальная ордината любой
касательной на две единицы масштаба меньше абсциссы точки
касания.
3972*. Найти линию, у которой площадь прямоугольника,
построенного на абсциссе любой точки и начальной ординате
касательной в этой точке, есть величина постоянная ( = а®).
3973*. Найти линию, для которой площадь треугольника,
образованного осью абсцисс, касательной и радиус-вектором
точки касания, постоянна ( = а2).
3974. Точка массой, равной т, движется прямолинейно; на
нее действует сила, пропорциональная времени (коэффициент
пропорциональности равен ki), протекшему от момента, когда
скорость равнялась нулю. Кроме того, на точку действует сила
сопротивления среды, пропорциональная скорости (коэффициент
пропорциональности равен k). Найти зависимость скорости от
времени.
3975. Точка массой, равной т, движется прямолинейно; на
нее действует сила, пропорциональная кубу времени, протекшего
с момента, когда скорость была v0 (коэффициент пропорциональ­
ности равен k). Кроме того, точка испытывает противодействие
среды, пропорциональное произведению скорости и времени
(коэффициент пропорциональности равен ki). Найти зависимость
скорости от времени.
3976. Начальная температура тела Ө0 °С равна температуре
окружающей среды.. Тело получает тепло от нагревательного
прибора (скорость подачи тепла является заданной функцией
времени: c<p(t), где с —постоянная теплоемкость тела). Кроме
того, тело отдает тепло окружающей среде (скорость охлаждения
пропорциональна разности между температурами тела и среды).
Найти зависимость температуры тела от времени, отсчитываемого
от начала опыта.
^52
ГЛ. XIV. ДИ ФФ ЕРЕНЦИАЛЬНЫ Е УРАВНЕНИЯ
Решить задачи 3977—3978, учитывая, что если переменный
электрический ток 1 = 1 (t) течет по проводнику с коэффициентом
индуктивности L и сопротивлением /?, то падение напряжения
вдоль проводника будет равно L ^ - + R / .
3977. Разность потенциалов на зажимах катушки равномерно
падает от Е 0 = 2 В до Ех = 1 В в течение 10 с. Каков будет ток
2
в конце десятой секунды, если в начале опыта он был 16 у А?
Сопротивление катушки 0,12 Ом, коэффициент индуктивно­
сти 0,1 Гн.
3978. Найти ток в катушке в момент t, если сопротивление
ее R, коэффициент индуктивности L, начальный ток / 0 = 0,
электродвижущая сила меняется по закону E — E0sin<£>t.
Разные задачи
(уравнения е ра з деляющимис я переменными,
однородные и линейные)
В задачах 3979—3997 найти общие решения уравнений:
3979. у'
3980. x2dy + (3 - 2 х у ) dx = 0.
3981. х (х2+ \ ) у ' + у = х ( \ + х * ) \
3S82.
3983. у' = • 1+уа
х у ( 1 + х 2) •
3984. ( 8 y + l 0 x ) d x + (5y + 7x)dy = 0.
3985. х3у' = ti(y* + x2).
3987.
[х —
3986.
у cos •—j dx + x cos
3988. Jy ' = e 2x- e * yv .
3990. ^
dx
x cos у -)- sm 2y
y-
=
dy = 0 .
3989. Xх
-- — dx
-- , = —
■— .
,ку + у2
2yi —xy
.
3991. (x - 2xy - if)dy + y2dx=0.
v
v
v ' 3
J
3992. t/'4-«/cosjc = sinjecosx.
3993. ( * + \ )y ' — ny = ex (x-\- l)"+i.
3994. у dx = { if — x) dy.
3995.
- ( x + y ) £ + x y = 0.
3996*. yy' sin x = cos л: (sin a; —y1).
3997. у' = {х + у)г.
3998. Убедиться в том, что интегральными кривыми уравне­
ния (1 — х2) у’ + ху = ах являются эллипсы и гиперболы С цент­
рами В Т0ЧК6 (0, й) И осями, параллельными координатным осям,
причем каждая кривая имеет одну постоянную ось, длина кото­
рой равна 2 .
В задачах 3999—4002 найти частные р еш ен и я у р а в н ен и й , у д о в ­
летворяющие указанным начальным условиям:
§ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
»
' Й
= 2-
253
*U=1.
4000. у' — ү ~ - 2 = 1 + *;
у U _o= l.
4001. (1 + е*)уу' = еУ,
у U_0^ 0 .
4002. у' = 3х2у + хй + х2; у |*_0 = 1.
4003. Доказать, что только прямые у = kx и гиперболы ху = т
обладают следующим свойством: длина полярного радиуса любой
их точки равна длине касательной, проведенной в этой точке.
4004. Найти линию, у которой длина нормали пропорцио­
нальна квадрату ординаты. Коэффициент пропорциональности
равен k.
4005. Найти линию, у которой любая касательная пересе­
кается с осью ординат в точке, одинаково удаленной от точки
касания и от начала координат.
4006. Найти уравнение линии, пересекающей ось абсцисс
в точке jc= 1 и обладающей таким свойством: длина поднормали
в каждой точке линии равна среднему арифметическому коорди­
нат этой точки.
4007. Найти линию, у которой площадь трапеции, образо­
ванной осями координат, ординатой произвольной точки и каса­
тельной в этой точке, равна половине квадрата абсциссы.
4008. Найти линию, для которой площадь, заключенная между
осью абсцисс, лиіЯі&йк.и двумя ординатами, одна из которых
постоянная, а д р у га я — переменная, равна отношению куба пере­
менной ординаты к переменной абсциссе.
4009. Найти линию, для которой площадь фигуры, ограни­
ченной осью абсцисс, двумя орданатами и дугой М М ' этой линии,
пропорциональна дуге М М ' ппи любом выборе точек М и М ' .
4010. Найти линию, для кот<у)£Й-'абс1ГИтеа^ центра масс кри­
волинейной трапеции, образованной осями координат, прямой
х = а и линией, была бы равна За/4 при любом а.
4011*. Найти линию, все касательные к которой проходят
через данную точку (х0, i/o)4012. Найти линию, проходящую через начало координат,
все нормали к которой проходят через данную точку (лс0, г/о)4013. Какая линия обладает следующим свойством: угол, со­
ставляемый с осью Ох касательной к линии в любой ее точке,
вдвое больше угла, который составляет с той же осью полярный
радиус точки касания.
4014. На тело массы т = 1 действует сила, пропорциональ­
ная времени (коэффициент пропорциональности равен ki). Кроме
того, тело испытывает противодействие среды, пропорциональное
скорости тела (коэффициент пропорциональности равен Ы.
Н ай ти за к о н д в и ж е н и я тел а (зав и си м о сть п у т и о т в р ем ен и ).
4015. Частица падает в среде, сопротивление которой про­
порционально квадрату скорости частицы. Показать, что урав­
254
ГЛ. XIV. Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
нение движения будет ^ = g —fey*, где k — постоянная, g —уско­
рение силы тяжести. Проинтегрировать это уравнение и пока»
зать, что v стремится к У g/k при
+
4016. Сила трения, замедляющая движение диска, вращаю­
щегося в жидкости, пропорциональна угловой скорости враще­
ния.
1) Диск, начавший вращаться с угловой скоростью 3 оборота
в секунду, через 1 мин вращается с угловой скоростью 2 обо­
рота в секунду. Какова будет его угловая скорость через 3 мин
после начала вращения?
2) Диск, начавший вращаться с угловой скоростью 5 оборо­
тов в секунду, через 2 мин вращается с угловой скоростью 3 обо­
рота в секунду. Через сколько времени после начала вращения
он будет обладать угловой скоростью, равной 1 обороту в се­
кунду?
4017. Пуля входит в доску толщиной Һ = 0,1 м со скоростью
t>o—-200 м/с, а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью Vi =
= 80 м/с. Принимая, что сила сопротивления доски движению
пули пропорциональна квадрату скорости движения, найти,
сколько времени продолжалось движение пули через доску.
4018*. Капля воды, имеющая начальную массу М а г и равно­
мерно испаряющаяся со скоростью т г/с, движется по инерции
с начальной скоростью v0 см/с. Сила сопротивления среды про­
порциональна скорости движения капли и ее радиусу. В началь­
ный момент (/ = 0) она равна / 0Н. Найти зависимость скорости
капли от времени.
4019*. Капля воды, имеющая начальную массу М 0 г, равно­
мерно испаряющаяся со скоростью т г/с, свободно падает в воз­
духе. Сила сопротивления пропорциональна скорости движения
капли (коэффициент пропорциональности равен k).
Найти зависимость скорости движения капли от времени,
протекшего с начала падения капли, если в начальный момент
времени скорость капли равнялась нулю. Считать, что к ф 2 т .
4020*. Решить предыдущую задачу для капли сферической
формы, предполагая, что сила сопротивления воздуха пропорцио­
нальна произведению скорости капли и площади ее поверхности.
Плотность жидкости ү. (Привести к квадратурам.)
4021*. Если в каком-либо процессе одно вещество превра­
щается в другое, причем скорость образования продукта пропор­
циональна наличному количеству превращающегося вещества, то
такое явление называют процессом (или реакцией) первого
порядка.
Некоторое вещество, начальное количество которого т 0, пре­
вращается в другое вещество, а из образовавшегося продукта
немедленно начинает получаться второй продукт. Оба превраще­
ния происходят как процессы первого порядка; коэффициенты
255
$ 1. У Р А В Н Е Н И Я П Е Р В О Г О П О Р Я Д К А
пропорциональности известны: ki — в первом процессе и Иг — во
втором.
Какое количество второго продукта образуется через t еди­
ниц времени после начала процесса?
4022. В резервуаре, объем которого 100 л, находится рассол,
содержащий 10 кг растворенной соли. В резервуар втекает вода
со скоростью 3 л/мин, а смесь с такой же скоростью перекачи­
вается во второй резервуар емкостью также 100 л, первоначально
наполненный чистой водой, из которого избыток жидкости выли­
вается. Сколько соли будет содержать
второй резервуар по прошествии часа?
Каково максимальное количество соли о
во втором резервуаре? Когда это мак­
симальное
количество достигается?
С D
(Концентрация соли в каждом из ре­
в
зервуаров поддерживается равномерной
dX
X
посредством перемешивания.)
4023. Напряжение и сопротивление
цепи равномерно меняются в течение
минуты соответственно от нуля до 120 В
и от нуля до 120 Ом (см. задачи
Рис. 69
3977—3978). Индуктивность цепи по­
стоянна (1 Гн). Начальный ток / 0. Найти зависимость между
током и временем в течение первой минуты опыта.
4024*. В узкой горизонтальной цилиндрической трубке АВ,
герметически закрытой, заключен газ. Трубка равномерно вра­
щается вокруг вертикальной оси OOl (рис. 69), проходящей че­
рез один из ее концов с угловой скоростью со. Длина трубки I см,
поперечное сечение 5 см2, масса заключенного в ней газа М г,
давление в покоящейся трубке (постоянное вдоль всей трубки) р0.
Найти распределение давления вдоль трубки при ее вращении,
т. е. выразить р как функцию от х.
Др угие примеры уравнений
первого
порядка
В задачах 4025—4037 найти общие решения уравнений, при­
ведя их с помощью замены переменных к уравнениям линейным
или однородным:
2 у — * —5
'2 х -у + Г
лпоа
, _ 2 х — у+1
4026. у ’ - x - 2 y + l •
4027. (x + y + l ) d x = (2x + 2 y - \ ) d y .
Ч-— Х
2 ({/+ 2)S
4029. у ’
........» ~ 2у (х+ ү у
4028. у
4025. у'
4°30. У' = 2(ху?~ х*у
4032.
(х2*/8 — ! ) £ / ' +
4031. { \ - x y + x Y ) d x = x>dt,.
0.
256
ГЛ. XIV. ДИ Ф Ф ЕРЕНЦИАЛ ЬНЫ Е УРАВНЕНИЯ
4 0 3 3 . уу' + * = | (f!± K !J 2 .
4 0 3 4 . ху' + 1 = 0 .
4035. (*г + */2+ l )d y- \-x yd x = Q.
4036. x d x + y d y + x l x d y —ydx) — 0.
4037. (*2 + Уг + У) dx = * dy.
В задачах 4038— 4047 решить уравнения Бернулли:
4038. у ' + 2ху = 2х3у \
4039. у' + ^
4040. у*-1 (ау' + у) = х.
4041. х dx =
4042. ху' + у = у2 In л:.
+ у* = 0.
•а
У*} dy-
4043. у' —у tg х + у2 co sх = 0.
4044. у' + Ц - - ^ L .
4045. ху' — 4г/—jc2
-= 0.
4046. y d y - ^ ~ d x = ~ .
4047. у' =
■ где
Ф W — заданная функция.
4048. Найти линию, у которой отрезок, отсекаемый на оси
ординат касательной в произвольной точке:
1) пропорционален квадрату ординаты точки касания,
2) пропорционален кубу ординаты точки касания.
4049. Найти линии, заданные уравнениями видар = /(ф ), для
которых площадь секторов, ограниченных линией и полярным
радиусом постоянной точки (р0, ф0) и текущей точки (р, ф) ли­
нии, пропорциональна произведению полярных координат р и ф
этой текущей точки. Коэффициент пропорциональности равен к.
Уравнения
в полных дифференциалах
В задачах 4050—4057 найти общие решения уравнений:
4050. (2*3 —ху2) dx -f (2у3 — х2у) dy == 0.
4051.
( ^ - 1)dx. 4052. e y d x + { x e y - 2 y ) d y = Q.
4053. yx'J-1 dx + xn In xdy = 0.
4 0 5 5
. j / + s i n x ^ [xy)_ d
cos2 (xy)
4054. xdx-+ll dy. = У ^ г х \
у *2-fya
хг
х
d
1 cos2 (x y ) я
in y d y = = 0
J
4056. ( l + x V ~ x 2 + yi)dx + (— 1 + V x 2+ y2) y d y = 0.
4057. ( j sin f - £ cos f - + 1) dx + ( 1 cos f - £ sin f + L ) d y = 0.
Интегрирующий
множитель
В задачах 4058—4062 найти интегрирующий множитель и
общие решения уравнений:
4058. (хг + y)dx — x d y = 0.
405Ө*. у (I + ху) dx — х dy = 0.
§ 1. У Р А В Н Е Н И Я П Е Р В О Г О П О Р Я Д К А
4060.
40614G62.
4063.
257
(х2 + у- + 2х) dx + 2ydy = 0.
~ d x - \ - ( y 3— \n x) dy = 0.
(jc cos у — у sin y) dy-\- (л: sin y + y c os y) dx = 0.
Убедиться, что интегрирующим множителем линейного
уравнения jf. + Р (х) y = Q(x) служит функция e f PM<tx.
4064. Найти интегрирующий множитель уравнения Бернулли
у ' + Р (x)y = y”Q(x).
4065. Найти условия, при которых уравнение
X (дг, y)dx + Y ( x , y)dy = 0
допускает интегрирующий множитель вида М = F (х~\-у).
4066. Найти условия, при которых уравнение
X (х, y)dx + Y{x, y)dy = 0
допускает интегрирующий множитель вида M = F(xy).
Разные задачи
В задачах 4067—4088 найти общие решения уравнений!
4067. tj' = а х + Ьу+о.
4068. ay' + by + су'п = 0.
4069. у ' = х + у ~ \ .
4070. у' = у2+ху~ х\
4071.
4072. у' (у 2 - х ) = у . ]
J
4073. - ^
у —х —4
J
+ —~ 3 -d</ = 0.
4074. (2y + xy3) d x + ( x + x2y2)dy — 0.
4075. (2xy + x2y + ^ d x - \ - ( x ‘2+ y2)dy = 0.
4076. і/ =
...
х ( у + \ ) — х*
4077. x dy -\ -y dx -\ - y 2(xdy — ydx) = 0.
4079. у' = х Ү у +
*У
_ t- .
4081. yv ' - yу + y*cosx
= 0.
*
4083. ху'
У cos —
X — Jу cos —
X— х.
4080. у sin л: + у' COS х = 1.
4082. *у' = ?°*хsm X cos у
4084. ^ c o s - ^ + t / s i n ~ j y d x + (xcos
4085. у' = - £ ж у ~ ^ У '
9
Г. H. Бгрман
- t/sin ^ j x d y = 0.
У ~У ' cos j: = «/2cosjc(1 — sin*).
258
ГЛ . XIV. Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
4087. 2 у у ' = е
*
-2
у2 I ,,2
-f^ -± JL _ 2 * .
4088. (1 + ext«) dx + е*т (1 - -*-) dy = 0.
4089. Найти линию, у которой поднормаль в любой точке так
относится к сумме абсциссы и ординаты, как ордината этой
точки к ее абсциссе.
4090. Найти линию, обладающую тем свойством, что отрезок
касательной в любой ее точке, заключенный между осью Ох и
прямой у — ах-\-Ь, делится точкой касания пополам.
4091. Найти линию, для которой отношение расстояния от
нормали в любой ее точке до начала координат к расстоянию от
той же нормали до точки (а, Ь) равно постоянной k.
4092. Найти линию, д л я которой расстояние от начала коор­
динат до касательной в произвольной ее точке равно расстоянию
от начала координат до нормали в той же точке.
4093*. Найти линию, обладающую следующим свойством:
ордината любой ее точки есть средняя пропорциональная между
абсциссой и суммой абсциссы и поднормали, проведенной к линии
в той же точке.
4094. В электрическую цепь с сопротивлением £1 = 3/2 Ом
в течение двух минут равномерно вводится напряжение (от нуля
до 120 В). Кроме того, автоматически вводится индуктивность,
так что число, выражающее индуктивность цепи в генри, равно
числу, выражающему ток в амперах. Найти зависимость тока от
времени в течение первых двух минут опыта.
§ 2. Уравнения первого порядка (продолжение)
Поле направлений. Изоклины
4095. Дано дифференциальное уравнение у' = —
а) По­
строить поле направлений, устанавливаемое данным уравнением,
б) Выяснить расположение вектора поля относительно полярного
радиуса любой точки поля, в) Выяснить вид интегральных кри­
вых уравнения, исходя из поля направлений, г) Найти инте­
гральные кривые, решая данное уравнение обычным методом
(разделяя переменные), д) Указать семейство изоклин данного
уравнения.
4096. Написать дифференциальное уравнение, изоклинами ко­
торого служат: 1) равнобочные гиперболы ху = а; 2) параболы
у2 = 2рх; 3) окружности х2+ 1/2 = /?2.
4097. Найти изоклины дифференциального уравнения семей­
ства парабол у = ах2. Сделать чертеж. Истолковать результат
геометрически.
4098. Убедиться, что изоклинами однородного уравнения (и
только однородного уравнения) служат прямые, про.ходящие че­
рез начало координат.
§ 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (П РО Д О Л Ж ЕН И Е)
259
4099. У казать линейные уравнения, изоклинами которых
являются прямые.
4100. Пусть уи уъ у3 — ординаты трех любых изоклин неко*
торого линейного уравнения, соответствующие одной абсциссе.
Убедиться, что отношение
сохраняет одно и то же значе­
ние, какова бы ни была эта абсцисса.
Приближенное интегрирование
дифференциальных уравнений
х 2 _[_ ф
4101. Дано уравнение у' = ■■— -. Построить приближенно
интегральную кривую, соответствующую отрезку l=s^x=sS5, про­
ходящую через точку М ( \ , 1).
4102. "Дано уравнение </' = ■ * i . Построить приближенно
X “t- у~
интегральную кривую, соответствующую отрезку 0 , 5 ^ х ^ 3 , 5 и
проходящую через точку (0,5; 0,5).
4103. Дано уравнение у' = хул + х2. Применяя способ Эйлера,
вычислить у при х = 1, если «/ — частное решение, удовлетворяю­
щее начальному условию у |.v_0 = 0. Вычислить у с двумя деся­
тичными знаками.
4104. Дано уравнение г /'= ] /х • г/2+ 1. Применяя способ Эйлера,
вычислить у при х = 2, если у — частное решение, удовлетворяю­
щее начальному условию г/|л._1 = 0. Вычислить у с двумя деся­
тичными знаками.
4105. Дано: уравнение у' = х~ и начальное условие у |* _ o = l.
Решить это уравнение точно и найти значение у при х = 0,9.
Далее, найти это значение при помощи приближенного метода,
разбивая отрезок [0; 0,9] на 9 частей. Указать относительную
погрешность последнего результата.
4106. Дано:
Зх2
уравнение у' = -^ jr y jr [
и начальное
условие
у\х- 1 = 0- Решить уравнение точно и, пользуясь каким-либо из
приближенных методов интегрирования уравнений, вычислить
значение х при у = 1 (сравнить со значением х, получаемым при
точном решении).
4107. у' = у2+ ху-\-х‘г. Найти по методу последовательных
приближений второе приближение для решения, удовлетворяю­
щего начальному условию у |*_0= 1 .
4108. у' = х у 1— 1. Найти при х = 1 значение того решения
данного уравнения, которое удовлетворяет начальному условию
у \ х_о = 0. Ограничиться третьим приближением по методу после­
довательных приближений. Вычисления вести с двумя десятич­
ными знаками.
9*
260
ГЛ. XIV. ДИ Ф Ф ЕРЕНЦИАЛЬН Ы Е УРАВНЕНИЯ
В задачах 4109—4116 найти несколько первых членов разло­
жения в степенной ряд решений уравнений при указанных на­
чальных условиях:
4109. у' = у 3 — х; у |*_0 = 1.
4110. у' = х Ч / - \ - , у\ х^ = \ .
4111. у ' = х * - у \ у \х. о = 0.
4112. у' = ~ ~ ~ Ч~ 1! У |.v-o — 1•
У
4113- У' = Т + * х + у '
0 = 0 - 4114, ^' = еУ+л-«/; у U-o = 0.
4115. у' = sin у — sin X) у Jje_o = 0.
4116. у' = \ + x + x i - 2 t f \ у\х- 1 = \ .
Особые решения. У р а в н е н и я Кл е р о и Л а г р а н ж а
/
В задачах 4117—4130 найти общие и особые решения урав­
нений Клеро и уравнений Лагранжа:
4117. у = ху' + у ' г.
4118. у = х у ' — 3у'3.
4119. у = ху' + ~,.
4120. у = ху' + У Т + ! П .
4121.
4123.
4125.
4127.
у = xy' -f- sin у'.
у = у ’2 ( х + \ ) .
у = уу'2 + 2ху'.
у' = In (ху’ у).
4129. у = у'х-\-а j/" 1 —у'л-
4122.
4124.
4126.
4128.
ху’ — у = \пу'.
2уу' = х (у'2+ 4).
у = х ( І + у ' ) + у '2.
у = у ' ( х + 1 ) + у'К
1
1
4130. х = у
\У У
у'
В задачах 4131—4133 найти особые решения уравнений, при­
меняя тот же прием, какой используется в случае уравнений
Лагранжа и Клеро:
4131. у'2- у у ' - Ь е х = 0. 4132. * у !г- 2 ( х у - 2 ) у ’ + i f = 0.
4133. у' (у' — 2х) = 2 ( у ~ х г).
4134. Д оказать теорему: если линейное дифференциальное
уравнение является уравнением Клеро, то семейство его инте­
гральных кривых представляет собой пучок прямых.
4135. Площадь треугольника, образованного касательнойк искомой линии и осями координат, есть величина постоянная.
Найти линию.
413S. Найти линию, касательные к которой отсекают на осях
координат отрезки, сумма которых равна 2а.
4137. Найти линию, для которой произведение расстояний
любой касательной до двух данных точек постоянно.
4138. Найти линию, для которой площадь прямоугольника,
имеющего сторонами касательную и нормаль в любой точке, равна
площади прямоугольника со сторонами, равными по длине
абсциссе и ординате этой точки.
4139. Найти линию, для которой сумма нормали и поднор­
мали пропорциональна абсциссе.
§ 3. У Р А В Н Е Н И Я В Т О Р О Г О И В Ы С Ш И Х П О Р Я Д К О В
26Г
4140*. Найти линию, для которой отрезок нормали, заклю­
ченный между координатными осями, имеет постоянную длину а.
4141. Скорость материальной точки в произвольный момент
времени отличается от средней скорости (от начала движения до
этого момента) на величину, пропорциональную кинетической
энергии точки и обратно пропорциональную времени, считая от
начала движения. Найти зависимость пути от времени.
Ортогональные
и изогональные траектории
и эвольвенты
В задачах 4142—4147 найти траектории, ортогональные данным:
4142. Эллипсам, имеющим общую большую ось, равную 2а.
4143. Параболам у2 = 4 (х — а ) .
4144. Окружностям х2 у2 = 2ах.
4145. Циссоидам (2а — х) у2 = х3.
4146. Равным параболам, касающимся данной прямой, причем
для каждой параболы точкой касания служит ее вершина.
4147. Кругам одного радиуса, центры которых лежат и зд ан ­
ной прямой линии.
4148. Найти семейство траекторий, пересекающих под углом
сг = 60° линии х2 = 2а(у — х Ү З ) .
4149. Найти изогональные траектории семейства парабол
i f = Aax\ угол пересечения а = 45°.
4150*. Найти линии распространения звука по плоскости от
неподвижного источника звука, лежащего в тон же плоскости,
если вдоль какого-либо направления дует ветер с постоянной
скоростью а.
В задачах 4151—4154 найти эвольвенты линий:
4151. Окружности х2-\- у2= R 2.
4152. Цепной линии y — a c h - .
4153. Эвольвенты
окружности
х = a (cos t -f- t sin t),
= a (sin t — t cos t).
4154. Полу кубической параболы y = 3t2, x = —2P.
y=>
§ 3. Уравнения второго и высших порядков
Частные случаи
уравнений
второго
порядка
В задачах 4155—4182 найти общие решения уравнений:
4155. </' = je + sinA:.
4156. t f = arctg*.
4157. у" = lnx.
4158. x t f = y'.
4159. tf = y' + x.
4160. y " = ^ - + x.
4161. (1 + * * ) / +(«/')* + 1 = 0 .
4162. x i f = y' \ n y~ .
4163. («/")* = «/'•
262
ГЛ. XIV. Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
4164. 2ху'у" = (у')2+ I.
4166. 1 + (УУ = 2уу".
4165. у" — 2 ctg x -t/' = sin3 я.
4167. ( у У + 2уу" = 0.
4168. а * у " - у = 0.
4169. у"
4170. г/"+-Г|^ (г /') 2 = 0.
4171. ytf + W ) * = 1.
1
4VV
4172. до" = 0 / 7 4173. 2yif — 3 (у ') 2 = 4(Д
4174. г/(1 -1 п г/)у '' + (1+1п(/)((/')а = 0.
4175. у" = 2уу'.
4176. c o s y - 0 + sin г / ^ ) 2 = ^ .
4177. y i f ~ { у ' ? = угу ' . ____
4178.
4179. у" = у'
— 2 | / " у — 4j •
4180. (х + а)у" + х(г/')2 = г/'.
4182.
4181*. ^ / ' / = (*/')3+ №
- / , ' = ().
В задачах 4183—4]88 решить уравнения при помощи подхо­
дящей подстановки уу' = р, (y’f = p , ху’ = р, ^- = р и т. п.:
4183. хуу”+ х ( у У = Зуу'.
4184. x i f = у' {е»— \).
4185. yt/' + ( y T = x.
4 1 8 7 -
х*у Ш
4186. ^ + ± « / '- - £ = 0.
- { 4 х ~ у)2= 0-
4 1 8 8 -
yy" = y’ ^ V W - y ' ) ‘
В задачах 4189—4199 найти частные решения уравнений при
указанных начальных условиях:
4189. у" (хг + I) = 2xi/';
4190. ху" + х (у')2 - у ' = 0;
у \х ~ 0 = = 1,
У ' U -0 =
3.
У
У' U-г =
1.
4191.
У \х-2
=
0,
У U —- 2
+
^
X 1у ’
4192. 2у" = Зг/2;
4193.« г/у" = (г/')г — (у')3;
4194. t / y = - l ;
4195. ^ - J / Y = l ;
4196. / = е*»;
4197. 2 (г/')2 = у" (у — 1);
4198*. х*у" = (у - ху')3;
4199. у" = ху’ -{-у+ 1;
U -2 = =2 ,
У'
U -2 =
4.
=
1,
у ' LК— 3 =
—
1.
У \* -1 =
1,
У ' 1*-1 =
—
1.
у
1,
У'
\х-1 =
0.
U -i =
V 2
У U -0
=
1 Л2 ,
У ' U -0 —
2
у \х - 0 =
0,
У ' I-V—0 :=
1.
у
2,
У' U - i =
:
—
У ІЛ-1 =
1,
у '\ х-1
У \х-о =
1,
У ' 1' х - 0 :- 0 .
U -i =
•
1.
= 1.
4200*. Какая линия обладает тем свойством, что радиус кри­
визны в любой ее точке пропорционален длине нормали? При­
нять коэффициент пропорциональности k = — ], -j-l, —2, -f2.
§ 3. У Р А В Н Е Н И Я В Т О Р О Г О И В Ы С Ш И Х П О Р Я Д К О В
263
4201. Найти линию, для которой проекция радиуса кривизны
на ось Оу есть величина постоянная, равная а.
4202. Найти линию, проходящую через начало координат,
у которой отношение площади треугольника М Т Р (рис. 70),
образованного касательной в какой-нибудь точке М линии, орди­
натой этой точки М Р и осью абсцисс, к площади криволиней­
ного треугольника ОМР равно постоянному числу k (k > 1/2).
4203. Найти линию, длина дуги которой, отсчитываемая от
некоторой точки, пропорциональна угловому коэффициенту ка­
сательной в конечной точке дуги.
4204. Точка массы m верти­
кально брошена вверх с начальной
скоростью v0. Сила сопротивле­
ния воздуха равна kvа. Поэтому,
если принять вертикаль за ось
Оу, то при движении вверх имеем
t n■
dM- = — m g - k v 2,
dt2
а при падении
m, d-y = — mg + kv2,
где v =
Найти скорость, которую будет иметь тело в тот мо­
мент, когда оно падает на землю.
4205. Тонкая гибкая и нерастяжимая нить подвешена за оба
конца. Какую форму в равновесии примет нить под действием
нагрузки, равномерно распределяющейся по проекции нити на
горизонтальную плоскость? (Весом нити пренебрегаем.)
4206. Найти закон прямолинейного движения материальной
точки массы пг, если известно, что работа силы, действующей
в направлении движения и зависящей от пути, пропорциональна
времени, протекшему с момента начала движения. Коэффициент
пропорциональности равен k.
4207*. Луч света из воздуха (показатель преломления т0) па­
дает под углом а 0 с вертикалью в жидкость с переменным показате­
лем преломления. Последний линейно зависит от глубины и по­
стоянен в плоскости, параллельной горизонту; на поверхности
жидкости он равен ти а на глубине Һ он равен ш2. Найти форму
светового луча в жидкости. (Показатель преломления среды
обратно пропорционален скорости распространения света.)
Частные случаи уравнений
более высоких порядков
В задачах 4208—4217 найти общие решения уравнений:
4208.
4209. у ’" = c o s2*.
261
ГЛ . XIV. Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
4210. у* = еах.
4212. ху* = у™.
4214. y'y"’ = 3 ( i / T .
4211. хгу"' = (у")г.
4213. i f = ( i0 34215. y y m- y ' y ”= 0.
4216. у ’" [1 + ( у 'П = Зу' (у*)».
4217. W f - У 'У " =- ( ~ ) 2-
Приближенные
решения
4218. При исследовании колебания материальной системы
с одной степенью свободы встречается дифференциальное уравне­
ние вида у”= fi(x) + f i ( y ) + f 3(y')- Решить это уравнение графи­
чески, если:
1) ы * ) = о,
2) f i ( x ) = — x,
h(y) = — V y ,
fa(y')= S> ’ 5y' и У U-o — У' !-v о = 0;
f t ( y ) = 0, fa (y ') = — 0 , 1у ' - 0 , 1г/'а и y\x ~0 =
= У’ U = i .
4219. y" = y y ' — x2; y \ x. 0= 1 , у’ |* -o = l1) Решить данное уравнение графически.
2) Найти несколько первых членов разложения решения
в степенной ряд.
4220. Найти шесть первых членов разложения в ряд решения
дифференциального уравнения У" = ^т— 7 . удовлетворяющего
У
*
начальным условиям у\х- і = \ , у ' \х-1 = 0 .
4221. Найти в форме степенного ряда частное решение урав­
нения г/" = л: sin у', удовлетворяющее начальным условиям у \х.i = 0,
у' ]^_i =
. (Ограничиться шестью первыми членами.)
4222. Найти в форме степенного ряда частное решение у — Ң х)
уравнения у”— хуу', удовлетворяющее начальным условиям /(0) = 1,
/ ' (0) = 1. Если ограничиться пятью первыми членами разложения,
то будет ли этого достаточно для вычисления / ( — 0,5) с точно­
стью до 0,001?
4223. Найти семь первых членов разложения в ряд решения
дифференциального уравнения уу" + у' + у = 0, удовлетворяющего
начальным условиям у\х-а— \, у'\х=ц — 0. Какого порядка малости
будет при .*-*-0 разность у — (2 —х —е~х)?
4224. Найти 12 первых членов разложения в ряд решения
дифференциального уравнения у" + уу' — 2 = 0, удовлетворяющего
начальным условиям £/ U-o = 0, у'|*ч> = 0. Вычислить интеграл
I
\ y d x с точностью до 0,001. Вычислить t / \х-о,ъ с точностью до
0,00001.
4225*. Электрическая цепь состоит из последовательно соеди­
ненных индуктивности L = 0,4 Гн и электрической ванны. В ванне
находится литр воды, подкисленной небольшим количеством сер­
§ 4. Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
26 5
ной кислоты. Вода разлагается током, при этом меняются кон­
центрация, а следовательно и сопротивление раствора в ванне.
Напряжение на клеммах поддерживается постоянным (20 В).
Количество вещества, выделяющееся при электролизе, пропорцио­
нально току, времени и электрохимическому эквиваленту вещества
(закон Фарадея). Электрохимический эквивалент воды равен
0,000187 г/Кл. Сопротивление раствора в начале опыта Я0 = 2 Ом,
начальный ток 10 А. Найти зависимость (в форме степенного
ряда) объема воды в сосуде от времени.
4226*. Электрическая цепь состоит из последовательно соеди­
ненных индуктивности L = 0,4 Гн и электрической ванны, перво­
начальное сопротивление которой 2 Ом. В ванне в литре воды
растворено 10 г хлористого водорода. Кислота разлагается током,
при этом меняется концентрация раствора (ср. с предыдущей
задачей, где количество растворенного вещества не менялось,
а менялся объем растворителя). Напряжение на клеммах цепи
20 В, электрохимический эквивалент k хлористого водорода равен
0,000381 г/Кл, начальный ток 10 А. Найти зависимость (в форме
степенного ряда) между количеством соляной кислоты в растворе
и временем.
§ 4. Линейные уравнения
4227. Функции х3 и хА удовлетворяют некоторому однород­
ному линейному дифференциальному уравнению второго порядка.
Убедиться, что они образуют фундаментальную систему, и соста­
вить уравнение.
4228. То же для функций ех и х 2ех .
4229. Функции х, х3, ех образуют фундаментальную систему
решений линейного однородного уравнения третьего порядка.
Составить это уравнение.
4230. Функции х 2 и х3 образуют фундаментальную систему
решений линейного однородного уравнения второго порядка.
Найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным
условиям у U-i = 1, у ' \ х-л = 0.
4231. Функции cos*л: и sin2* удовлетворяют некоторому линей­
ному однородному уравнению второго порядка:
а) проверить, что они составляют фундаментальную систему
решений;
б) составить уравнение;
в) показать, что другой фундаментальной системой этого
уравнения являются функции 1 и cos2x.
4232*. Если у! есть частное решение уравнения
то
f+y'P(x)+yQ(x)=o,
Уг = Cyi j £ 1 Р W dx ~j|
(С — постоянная)
тоже является решением. Показать это тремя способами:
266
ГЛ. XIV. Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
1) непосредственной проверкой, 2) заменой y = yiZ, 3) из фор­
мулы Остроградского.
4233. Пользуясь формулой задачи 4232, найти общее решение
уравнения (1 —хг) у “— 2ху' -\-2у = 0, зная его частное решение
уі = х.
2
4234. Решить уравнение у" + —у' + У = 0, зная его частное
решение ух =
sin X
.
4235. Уравнение (2х — х2) у”+ (х2 — 2) у' + 2 (1 — х) у = 0 имеет
решение у — ех . Найти решение уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям у'\х_1 = 0, і/'|,_ і = 1.
4236*. Найти необходимое и достаточное условие для того,
чтобы уравнение у " у ' Р (jc) —yQ (х) = 0 имело два линейно неза­
висимых решения yi и у2, удовлетворяющих условию уіу2 = 1.
4237*. Найти общее решение уравнения (1 — хг) у" — ху’-\-9у=0,
если его частное решение есть многочлен третьей степени.
В задачах 4238 — 4240 легко подобрать одно частное решение
(не считая тривиального у = 0) для данного уравнения. Найти
общие решения этих уравнений:
4238. у" - t g x -і/ + 2 у = 0.
4239. у " - у ' + ^ = 0.
4240. a- - - * L s + - g T = 0.
4241. Найти общее решение уравнения r ’y"' — Зх2і/' + 6ху’ —
— 6у = 0, зная частные решения у^ = х и у2= х2.
В задачах 4242 — 4244 найти общие решения неоднородных
уравнений:
4242. х 2у" ~ х у ' + у = Ахя.
4243. у - - ± 1у' + т1 1у = х - 1 .
4244. (Зх + 2х3) у п- 6 ( 1 + х ) у ’ + 6у = 6.
4245. Уравнение (1 + х2) t f + 2ху' - 2у = 4л:2 + 2 допускает част­
ное решение у = хг. Найти решение этого уравнения, удовлетво­
ряющее УСЛОВИЯМ у Jjc__х = 0 , у'\х —1 = 0 .
4246. Найти шесть первых членов разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения у" — (1 + **)у = 0,
удовлетворяющего начальным условиям у |л-_о = — 2, у' \х-о = 2.
4247. Найти девять первых членов разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения у" = х2у — у \ удовлет­
воряющего начальным условиям у]х-о=1, у' U - o = 0 .
4248. Записать в виде степенного ряда частное решение урав­
нения ( / ' - * * / ' + у - 1 = 0 ; у |*-о = 0» у' U-0 =
4249. Записать в виде степенного ряда общее решение урав­
нения tf' = ye*. (Ограничиться шестью первыми членами.)
4250. Записать в виде степенного ряда общее решение уравне­
ния i/' + xy' — х * у = 0. (Ограничиться шестью первыми членами.)
§ 4. Л ИНЕЙНЫ Е У РАВН ЕНИЯ
Уравнения
с постоянными
2 67
коэффициентами
В задачах 4251—4261 найти общие решения уравнений:
4251. у" + у' — 2у = 0.
4252. у " - 9 у = 0.
4253. у" — 4у' = 0.
4254. у " - 2 у ' - у = 0.
4255. Зу“— 2у' — 8г/ = 0.
4256. у" + г/ = 0.
4257. / + 6г/ + 13г/ = 0.
4258. 4у" - 8у ’ + 5г/ = 0.
4259. у" — 2у’ у = 0.
4260. 4 ~ - - 2 0 J + 25.v = 0.
4261. 2 / + г/ + 2 sin2 15°cos2 1 5 °-у = 0 .
В задачах 4262 — 4264 найти решения уравнений, удовлетво­
ряющие указанным начальным условиям:
4262. г/"-4 г/' + Зг/ = 0;
у \х. 0 = 6,
у '|* -0= Ю.
4263. у" + 4у' -f 29г/ = 0;
у\х^ = 0,
t/' U-o = 15.
4264. 4y" + 4г/' - f г/ = 0;
і/ fjr-o = 2,
i/' |л:—
о = 0.
4265. Дано частное решение некоторого линейного однородного
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
у1 = етх. Дискриминант соответствующего характеристического
уравнения равен нулю. Найти частное решение этого дифферен­
циального уравнения, обращающееся вместе со своей производной
в 1 при х = 0.
4266. Найти интегральную кривую уравнения у" + 9г/ = 0, про­
ходящую через точку М (л, — 1) и касающуюся в этой точке
прямой у + 1 = * —л.
4267. Найти интегральную кривую уравнения t/' + ky = 0,
проходящую через точку М (х0> Уо) и касающуюся в этой точке
прямой у — у0 = а(х — х 0).
В задачах 4268 —4282 составить общие решения неоднородных
уравнений, находя их частные решения либо подбором, либо
методом вариации произвольных постоянных:
4268. 2у" + у' - у = 2ех.
4269. у" + а2у = ех.
4270. у" — 7i/' + 6г/ = sin дг.
4271. у" -\-2у’ -\-Ъу = — ^ c o s2 x .
4272. у " - 6 у ' + 9 у = 2х2- х + 3.
4273. у" — 2у' + 2у — 2х.
4274. t / + 4y’ - 5 у = I.
4275. у'1— Зу' 4-2г/ = /(х), если f (х) равна:
1) Юе *; 2) 3e2t; 3) 2 sin x; 4) 2хя — 30; 5) 2e*cos*-;
6) х — е~2х+ ] \ 7) ех {3 — 4х)\ 8) Зя + 5 sin 2я; 9) 2ех — е~2х;
10) sin х sin 2.v; 11) sh*.
4276. 2у" + 5у' = f(x), если f(x) равна:
1) 5.v2 — 2 x — 1; 2) ex\ 3) 29 cos л:; 4) cos2*;
5) 0, l e ~ 2'5x — 25 sin 2,5x, 6) 29* sin x; 7) 100xe-*cos*;
8) 3 c h - |* .
4277. y" — 4y' + 4t/= /(* ), если f(x) равна:
1) 1; 2) e~x] 3) 3e2*; 4) 2 (sin 2 x + jc ); 5) sin x c o s2 x ; 6) sin3*;
268
ГЛ. XIV. ДИФФ ЕРЕНЦИАЛЬНЫ Е УРАВНЕНИЯ
7) 8(x2 + c2t + sin 2х); 8) sh2;e; 9) shx + sin.t;
10) ех —sh (л: — 1).
4278. у" + */ = /(*). если f(x) равна:
1) 2х3 — л:+ 2; 2) —8cos3a:; 3) cosx; 4) sin .к —2<r*;
5) c o sх cos 2х; 6) 24 sin4х; 7) chx.
4279. 5у" — 6у' + 5у = / (x), если f(x) равна:
1) 5e3t/5; 2) sin ^ -x ; 3) e2x + 2x3 — x - f 2; 4) e3-1' 3cosx;
5) e3<:/3sin g
6) 13 e*ch;e.
4280. у" + у + с № х = 0.
4281. / - 2 ^ ' + ^ = ^ — -.
4282. у" — у' = f (x), если f{x) равна:
1)
2) е2лг 1 —e2JC; 3) e^co se* .
В задачах 4283 — 4287 найти частные решения уравнений,
удовлетворяющие указанным начальным условиям:
4283. 4у" + 16у' + 15у = 4 < г ^ ; у \х^ = 3; у' |*_0 - - 5,5.
4284. у" —2 у '-|-Ю у = 10*2+18л: + 6;
у |,_ 0= 1 ;
у '1 ,.0 = 3,2.
4285. i f — у' = 2 ( 1 - х ) \ у U_o=l , у '|* -о = 1 .
4286. у" —2у' = ех (хг + л: —3); yU-0 = 2, у '| , , 0 = 2.
4287. y" + y + sin 2л: = 0;
у\х- я = у’ \х-я = 14288*. Показать, что частное решение у уравнения а(,у”-\-a\if -f-\-агу = АеРх (а0, аи аг — постоянные коэффициенты, р и А — дейД
ствительные или комплексные числа) имеет вид fi = —r-,spx, если
'
J ф( р)
р не является корнем характеристического уравнения <р (г) =
= a0r2 + air + сіг = 0; у ~ ^ ~ ^ ерху если р — простой корень характеристического уравнения; У = ^ щ е рх, если р — двойной корень
характеристического уравнения.
В задачах 4289—4292 найти общие решения уравнений Эйлера:
4289. х2у" — 9ху' + 21 у = 0.
4290. х-у" + ху' + у = х.
4291. у" + jr =
4292. х 2у" - 2ху' + 2у + х - 2х* = 0.
4293. Если ось вала турбины расположена горизонтально и
если центр масс диска, насаженного на вал, не лежит на оси, то
прогиб у оси вала (рис. 71) при его вращении удовлетворяет
уравнению
ГДе т — масса диска, а — постоянное число, зависящее от рода
закрепления концов А и В; со —угловая скорость вращения,
с —эксцентриситет центра масс диска. Найти общий интеграл
этого уравнения.
4294. Материальная точка массы 1 г отталкивается вдоль
прямой от некоторого центра с силон, пропорциональной ее
§ 4. Л И Н Е Й Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
269
расстоянию от этого центра (коэффициент пропорциональности
равен 4). Сопротивление среды пропорционально скорости дви­
жения (коэффициент пропорциональности равен 3). В начале
движения расстояние от центра равно 1 см, а скорость —нулю.
Найти закон движения.
4295. Частица массы 1 г движется по прямой к точке А под
действием некоторой силы притяжения, пропорциональной рас­
стоянию ее от точки А. На расстоянии 1 см действует сила 1(УбН.
Сопротивление среды пропорционально скорости движения и рав­
но 4-10~в Н при скорости 1 см/с. В момент ^ = 0 частица распо­
ложена на расстоянии 10 см от точки А и скорость ее равна
нулю. Найти зависимость расстояния от времени и вычислить
это расстояние для ( = 3 с (с точ­
ностью до 0,01 см).
--------------f ------------4296. Материальная точка мае&■>'
сы т {движется по прямой из А
в В ПОД действием ПОСТОЯННОЙ Центр масс дисна•-------- Cj-jсилы F. Сопротивление среды
I
пропорционально расстоянию тела
„
от В и в начальный момент (в
ис ‘
точке А) равно f ( f < . F ) . Началь­
ная скорость точки равна нулю. Сколько времени точка будет
двигаться из Л в В (А В = а)?
4297. Тело массы 200 г подвешено на пружине и выведено из
состояния покоя вытягиванием пружины на 2 см, после чего
отпущено (без начальной скорости). Найти уравнение движения
тела, считая, что сопротивление среды пропорционально скорости
движения. Если тело движется со скоростью 1 см/с, то среда
оказывает сопротивление 10-3 Н; сила напряжения пружины при
растяжении ее на 2 см равна 100 Н. Весом пружины пренебрегаем.
4298. Деревянный цилиндрический чурбанчик (S = 100 см2,
Л = 20 см, Y = 0,5 г/см3) полностью погружен в воду и отпущен
без начальной скорости. Считая, что сила трения пропорциональна
высоте погруженной части, выяснить, каков должен быть коэф­
фициент пропорциональности k, чтобы в результате первого
подъема над поверхностью воды показалась ровно половина
чурбанчика.
Сколько времени (<х) будет продолжаться первый подъем?
Каково будет уравнение движения при первом подъеме?
4299*. У зкая длинная трубка вращается с постоянной угловой
скоростью со вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси.
В начальный момент на расстоянии а0 от оси внутри трубки
находился шарик массы т. Считая, что в начальный момент
скорость шарика относительно трубки была равна нулю, найтн
закон движения шарика относительно трубки.
4300.
Решить предыдущую задачу в предположении, что шарик
прикреплен к точке О пружиной. Сила действия пружины на
270
г л . XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
шарик пропорциональна деформации пружины, сила k • 1(И Н вы­
зывает изменение длины пружины на 1 см. Длина пружины в сво­
бодном состоянии равна а0.
Уравнения
высших
порядков
В задачах 4301 —4311 найти общие решения уравнений:
4301. ут+ 9</' = 0.
4302. ylv - ІЗу" + Щ = 0.
4303. yiv — 8у" — IQy.
4 3 04. yIV= 1 6 y .
4 3 0 5 . f - 1Зу' - 12y = 0 .
4 3 0 6 . у'" - 3у" + t y - у = 0.
4307. y lv + 2 t f + yr = 0.
4308. «/(») = y(n~V.
4309. yIV+ y= 0.
4310. 64^VUI 4-48//vi 4- 12yIV -f y" = 0.
4311 .
y in ) +
»
y ( n - 1) +
+
.,. +
_* y > +
у =
0,
4312. y'" = — y'; t/U-0= 2, y'U-o = 0, */" U-o = — 1И313. yv = y ' ;
у U-o = 0, г/' U-o = 1, у " U-o = 0,
y " 'U -o = l, I/IV U-o = 2.
В задачах 4314 — 4320 составить общие решения неоднородных
уравнений, находя их частные решения либо подбором, либо
методом вариации произвольных постоянных:
4314. у ’" — 4 / + 5у' —2у = 2* + 3.
4315.
+ 2«/= е-* (4x2 + 4 * — 10).
4316. ylv + 8t/’-{- 16у = cos*.
4317. wiv 2a2u" -J- rfy = cos a*.
4318. yv + £Г = *а - 1 .
4319. */lv —у = *£*-)-cos*.
4320. yIV — 2y" -f у = 8 (e* + е-Л) + 4 (sin * + cos *).
4321. t/" + 2y" + y' + 2<r2* = 0; y\x. 0 = 2,
y ' U- o = l , */* U-o — 1■
4322. y* - y' = 3 (2 - *2); у |Л-о = У' U-o =
U-o = 1•
4323. Решить уравнение Эйлера x3y'" + ху' — y = 0.
§ 5. Системы дифференциальных уравнений
.
4324.1. I
ж
=
у
- 7х’
- f + 2* + 5у = 0.
1
= 2x + y,
#
= 3* + 4 у.
4324.2.
dx
271
§ 5. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
dx
I f
4324.5.
dx
= x — 2y - z ,
dt = — x +
dz
r = X — 2.
I dt
£
y + z,
4324.6.
= 2x + y,
dz
dt
dx
dt - = y .
4325.
dy
d f = x + et + e-‘-
= 2y -f- 3z — x
(корни характеристического урав­
нения ri = 2, r 2,8 = 3 ± t ) ~ - = 2 у - 5 х + еі,
4326.
4327.
dy
-dj f = x - e y+e~2t.
4328.
У
z
У
...
4330.
угу’ -х(У' = -%)>
dz
х+ У
4329. {
[ XZZ + X 2 + Уг =
x-У
У
*2
, _
0.
2xy
— у г — £і '
4331
2хг
Х2—уЪ—2а'
{г2 = 1У’/ { Z - y ) \
' \У= г' ( г
d*y
dta
4 Ж - ~ П - + 3* = sin/,
4332.
4333.
^ L + * l j L X = et
4334.
dt
dz
w = 4 x - y + 4z
(корни характеристического урав­
нения / і = 1 , /-2 = 2, /-3 = 5).
W = x-{-3 y - z ,
4324.7.
!т = 3 х - У + г '
dy
dt2 ' d t '
dx_ ,
a* -V
'
4335.
,
- і /)*•
= x.
d?x
dt 2 — У'
dx
dy
dz
г— У
x—z
У—Х
dt2 b
В задачах 4336—4339 найти частные решения систем диффе­
ренциальных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным
условиям:
(
= Уг~У2 и \ = 1■
J dx
х2— у г ’ У\х~°
’
4336.
4337.
I dz_ _
г ( х + у)
\ dx
х2—уг '
dx _..
~ d f~ l
dy
,
_
.
2х
Г ’
,
Д--Х+
, , 2 дс
0 — I + - 7 -,
у !/-i
= -
t3
*
2 72
ГЛ . XIV. Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
dx
,
l f =z+ y-x,
4338.
x [/_o — 1;
dy
.
w = = z + x -y> y\t-o = z\i-Q= 0.
-d*- = x + y + z ,
dx
,
ч г - У + г'
4339.
dy
dt = Z + X,
dz
x |<-o = — I;
у !<-o = i ;
~df = x + y, z |^_o = 0.
4340. Найти пару линий, обладающих следующими свойствами:
а) касательные, проведенные в точках с одинаковыми абсциссами,
пересекаются на оси ординат; б) нормали, проведенные в точках
с одинаковыми абсциссами, пересекаются на оси абсцисс; в) одна
из линий проходит через точку (1, 1), д р у га я —через точку (1, 2).
4341. Даны две линии: y = f(x), проходящая через точку (0, 1),
X
и У—
проходящая через точку (0, 1/2). Касательные,
— СО
проведенные к обеим линиям в точках с одинаковыми абсциссами,
пересекаются на оси абсцисс. Найти линию у = /(х).
4342. Найти линию в пространстве, проходящую через точку
(0, 1, 1) и обладающую следующими свойствами: а) след каса­
тельной на плоскости Оху при перемещении точки касания вдоль
линии описывает биссектрису угла между положительными
направлениями осей Ох и Оу, б) расстояние этого следа от на­
чала координат равно координате г точки касания.
4343. Два шарика, масса каждого из которых т, соединены
очень легкой пружиной (удлинение ее пропорционально растяги­
вающей силе). Длина нерастянутой пружины 10. Пружина растя­
нута до длины 1и а затем в момент t = Q оба шарика, располо­
женные вертикально один над другим, начинают падать (сопро­
тивлением среды пренебрегаем). Через время Т длина нити
сокращается до 1а. Найти закон движения каждого из шариков.
4344. Горизонтальная трубка вращается вокруг вертикальной
оси с угловой скоростью 2 радиана в секунду. В трубке нахо­
дятся два шарика с массами 300 и 200 г, соединенные невесомой
упругой нерастянутой пружиной длиной 10 см, причем более
тяжелый шарик дальше от оси вращения. Сила 0,24 Н растяги­
вает пружину на 1 см, а центр масс системы шариков удален
ОТ о с и вращения на 10 см. Шарики удерживаются в указанном
положении некоторым механизмом. В момент, который считаем
началом отсчета времени, действие механизма прекращается, и
шарики приходят в движение. Найти закон движения каждого
шарика относительно трубки. (Трением пренебрегаем.)
§ 6. В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н Ы Е З А Д А Ч И
273
4345.
Скорость роста культуры микроорганизмов пропорцио­
нальна их количеству и количеству питательных веществ (коэф­
фициент пропорциональности равен k). Скорость убывания пита­
тельных веществ пропорциональна наличному количеству микро­
организмов (коэффициент пропорциональности равен fa). В начале
опыта в сосуде имелось А 0 микроорганизмов и В 0 питательных
веществ. Найти зависимость количества А микроорганизмов
и количества В питательных веществ от времени ( k > 0 , & i> 0 ).
4346*. Допустим, что бактерии размножаются со скоростью,
пропорциональной их наличному количеству (коэффициент про­
порциональности равен а), но в то же время вырабатывают яд,
истребляющий их со скоростью, пропорциональной количеству
яда и количеству бактерий (коэффициент пропорциональности
равен Ь). Далее, допустим, что скорость выработки яда пропор­
циональна наличному количеству бактерий (коэффициент пропор­
циональности равен с). Число бактерий сначала возрастает до
некоторого наибольшего значения, а затем убывает, стремясь
к нулю. Показать, что для любого момента t число N бактерий
дается формулой
N= -JM — ,
( p k t _|_ e - k t y i
где M — наибольшее число бактерий и время t измеряется от
того момента, когда N = M, А —некоторая постоянная.
4347. Два цилиндра, основания которых лежат в одной пло­
скости, соединенные внизу капиллярной трубкой, наполнены
жидкостью до разной высоты (Яі и Я 2). Через трубку в единицу
времени протекает объем жидкости, пропорциональный разности
высот, т. е. равный a (/tt —/г2), где а — коэффициент пропорцио­
нальности. Найтн закон изменения высоты жидкости в сосудах
над капиллярной трубкой. Поперечное сечение сосудов S i и S 2§ 6. Вычислительные задачи
4348. 1 кг воды, теплоемкость которой считается постоянной,
а начальная температура равна Ө0, нагревается погруженным
в воду электрическим прибором, сопротивление которого R зави­
сит от температуры Ө линейно: R = R 0(1 + 0,0046), где R0 — со­
противление при 0°С (закон, справедливый для большинства
чистых металлов). Термоизоляция сосуда настолько хороша, что
теплоотдачей пренебрегаем.
Найти зависимость между температурой 9 и временем t при
0 іС г Т, если:
1)
Напряжение Е вводится равномерно от Е = 0 до E = E Y
в течение Т с. Вычислить с точностью до 1 °С, на сколько граду­
сов повысится температура воды к концу 10-й минуты, если60 = 0°С, £ ! = 110 В, R o = Ю Ом и Т = 1 0 мин.
2 74
ГЛ . XIV. Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
2)
Напряжение изменяется по закону £ = £0 sin ЮОяг1. Вычис­
лить с точностью до 1 °С, на сколько градусов повысится темпе­
ратура воды к концу 10-й минуты, если 60 = 0°С, £ 0 = 1 1 0 В и
Ro = 1 0 Ом.
4349. Литр воды нагревается спиралью, сопротивление кото­
рой 24 Ом. При этом вода отдает тепло окружающей среде,
имеющей температуру 20 °С (скорость охлаждения пропорцио­
нальна разности между температурами тела и среды). Известно
также, что если ток выключить, то температура воды понизится
с 40 °С до 30 °С за 10 мин. Начальная температура воды 20 °С. До
какой температуры нагреется вода за 10 мин, если:
1) Напряжение вводится равномерно от £ 0 = 0 до £ х = 1 2 0 В
в течение 10 мин? Погрешность 0,1 СС.
2) Ток переменный, и напряжение изменяется по формуле
£ = 110 sin ЮОя/? Погрешность 0,1 СС.
4350. Дано уравнение у' = х~ — х2. Составить таблицу значений
решения, удовлетворяющего начальному условию ^[х_ ! = 1, давая х
значения от 1 до 1,5 через 0,05. Вычисления вести до третьего
десятичного знака.
4351. Вычислить при х = 1 значение частного решения диф­
ференциального уравнения у' = у + х, удовлетворяющего началь­
ному условию у |*_о=1. Вычислить затем первые пять прибли­
жений у ъ у 2, у3, у4, у5 (до четвертого десятичного знака) по
методу последовательных приближений. Сравнить результаты.
4352. Известно, что интеграл J e ~ x?dx не берется в конечном
виде в элементарных функциях. Пользуясь тем, что функция
X
у — ех‘ ^ e ~ ‘‘dt является решением уравнения у '= 2 х ( /+ 1, вычислить
о
0,5
^ e~x*dx. Воспользоваться методом последовательных приближео
ний, ограничиваясь пятым приближением. Сравнить результат
с приближенным значением, вычисленным по правилу Симпсона.
4353. Функция у — f (х) является решением дифференциального
уравнения у ’ = у 2 — х при начальном условии у U_o=l . Найти по
методу последовательных приближений четвертое приближение (г/4),
ограничиваясь таким количеством слагаемых, которое необходимо,
чтобы вычислить у4 (0,3) с тремя десятичными знаками. Найти
затем несколько первых членов разложения / (х) в степенной ряд;
вычислить /(0,3) также с тремя знаками после запятой и, считая
/(0,3) более точным результатом, оценить погрешность значе­
ния Уь (0,3).
4354. Функция y = f(x) является решением дифференциально­
го уравнения
= у — ү ПРИ начальных условиях
у' !*_(, = 0. Найти /(1,6) с точностью до 0,001.
у |х-о = 1,
§ 6. В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н Ы Е З А Д А Ч И
275
4355*. Функция У — f (х) является решением дифференциаль­
ного уравнения у" = у' —у-\-х при начальных условиях у \x-i = 1 ,
у' |.r_ i= 0 . Найти /(1,21) с точностью до 0,000001.
4356*. Функция y = f (x) является решением дифференциаль­
ного уравнения у" = ху' —у-\-ех при начальных условиях у\х-ъ— 1,
у ' \ х_0=0 . Найти / ( у ) с точностью до 0,0001.
4357.
Линия задана уравнением y = f (x). Найти разложение
функции f{x) в ряд, зная, что она удовлетворяет дифференциаль­
ному уравнению у" = ху и начальным условиям у \х~о=0, у' U -o=lВычислить с точностью до 0,0001 кривизну линии в точке с абс­
циссой 1.
ГЛАВА
XV
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ Р Я Д Ы
§ 1. Тригонометрические многочлены
е ІХ Л- £ - ІХ
4358. П ользуясь формулами Эйлера cos дг = — ^— и s in * =
fix_g-ІХ
.
= — ^ — • доказать, что функции sin ” * и cos" л: могут быть пред­
ставлены в виде тригонометрических многочленов n-го порядка.
4359. Д оказать соотнош ения
2л
2п
2я
^ sin" х co s mxdx = § sin" х sin mxdx = § cos" я cos mxdx =
0
0
0
2л
= J cosnxsinmxdx = 0, если m > n
(m и n — целые числа),
о
4360. П оказать, что всякий тригонометрический многочлен
n -го порядка, составленный из одних косинусов, мож но пред­
ставить в виде Р (cos ф), где Р (х) — многочлен п -й степени отно­
сительно X.
4361. С помощью ф ормул Эйлера (см. задачу 4358) доказать
соотнош ение
.
Пф
(п -I- 1 ) ф
sm -J- cos-----ь
cos ф + cos 2ф + . . . + cos пф = ------------ --------- .
sin 2
4362. Д оказать соотношения:
1 ) co s ф + co s Зф + •. • + cos (2 n -
1) ф =
;
sin
sin
2 ) sin ф + sin 2 ф + . . . + sin «Ф = -----------------------.
“ ПТ
4363. Найти корни тригонометрических многочленов
sin <р—
j—sin 2ф —
f-. • • - sin ri(p
и
co s ф - f co s 2 ф + . . . + cos яф
на отрезке [ 0 , 2 л].
277
§ 2. Р Я Д Ы Ф У РЬ Е
4384. Показать, что тригонометрический многочлен
на отрезке
[ 0 , л]
.
имеет
максимумы в точках
я
2л
Я
п 2л
я
. , 2 л
•••> ( 2 (7 - 1 ) я + т и минимумы в точках - „ - , 2 - — , . . . . ( д - 1 )
где <7 = у . если п четное, и 17 = —
. если п нечетное.
4365*. Д оказать, что тригонометрический многочлен без сво­
бодного члена
Ф п (ф) = ai co s ф + bi sin ф + . . . + «л cos пер -J- bn sin n<p,
не равный тождественно нулю, не может сохранять для всех ф
постоянного знака.
§ 2. Ряды Фурье
4366. У бедиться, что функция у = х3 sin 1
- при х = £ 0 и у = О
при х = 0 на отрезке [— я , л] непрерывна вместе со своей первой
производной, но не удовлетворяет условиям теоремы Д и рихле.
М ожно ли ее разлож ить в ряд Ф урье на отрезке [— л, л]?
Решить задачи 4367 — 4371 в предположении, что /( x j — не­
прерывная функция.
4367. Ф ункция / (х) удовлетворяет условию
f(x + n ) = — f{x).
Д оказать, что
все ее четные коэффициенты Фурье расны нулю
{ao= a1= bi = ai = bi = ... = 0).
4368. Ф ункция f (х) удовлетворяет условию
f(x + n ) = f ( x ) .
Д оказать, что все ее нечетные коэффициенты Фурье рағнід
нулю.
4369. Ф ункция f(x) удовлетворяет условиям f ( —x ) —f(x) и
/ ( х + я) = — /(*).
Д оказать, что Ь\ = Ьо_= Ьа= . . . = 0 п а0 = сь = аг = . . . = 0.
4370. Ф ункция f (х) удовлетворяет условиям
/ ( _ * ) = _ / ( * ) и / ( * + л) = — }(х).
Д ок азать, что a 0 = tfi ~ й 2 = ■■- = 0 и Ь2 = Ь4 = Ьс>= . . . = 0.
4371. Ф ункция f (х) удовлетворяет условиям:
а) f (— * ) = / ( * ) и / ( * + л) = / ( * ) ;
б) f ( — x) = — f ( x ) и / ( * + л) = / (*).
Какие из ее коэффициентов Фурье обращаются в нуль?
278
Г Л . XV. Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Е Р Я Д Ы
4372. Разлож ить в ряд Ф урье функцию, р ав н ую — 1 в интер­
вале (— я , 0 ) и 1 в интервале (0 , л).
4373. Разлож ить в ряд по синусам функцию у = "—
в ‘интер­
вале (0 , л ).
4374. И спользуя результаты задач 4372 и 4373, получить раз­
лож ения для функций у = х и у =
Указать интервалы, в ко­
торых полученные формулы будут справедливы.
4375. Разлож ить функцию у =
~ в интервале (0, л) в ряд
по косинусам.
4376. Разлож ить функцию у = х2 в ряд Фурье: 1 ) в интервале
(— л , л ), 2) в интервале (0, 2л) (рис. 72 и 73).
При помощи полученных разлож ений вычислить суммы рядов
S i — 1 + 22 ~1~ ;уг + • • - + ,;2 + ■ • • .
S «= l —і
+ ^ - — . . . + (— 1 )» -1 ~ + . . . ,
S 3 = l + i + i + - - - + (2„ ^ l j 3 + -- -
В задачах 4377 — 4390 разлож ить в ряд Фурье данные функ­
ции в указанных интервалах:
4377. Функцию у = хг в интервале (0, л) в ряд синусов.
4378. Функцию у = х3 в интервале (— л, л).
4379. Ф ункцию f(x), равную 1 п р и — л < х < 0 и равную 3
при 0 < л : < л .
4380. Функцию f(x), равную 1 в интервале (0, Һ) и равную 0
в интервале (А, л ), в ряд косинусов ( 0 < / і < л ) .
4381. Непрерывную функцию f (х), равную 1 при я = 0, рав­
ную 0 в интервале (2 Һ, я) и линейную в интервале (0 , 2 Һ), в ряд
косинусов (0 < Я < я / 2 ).
4382. Функцию у=\х\ в интервале (— I, I).
4383. Функцию у —ех — 1 в интервале (0, 2я).
4384. Ф ункцию у —ех в интервале (— /, I).
§ 2. Р Я Д Ы Ф У РЬЕ
4385. Функцию у = cos ах в интервале (— я, л) (а — не
число).
4386. Ф ункцию у = sin ах в интервале (— л, я) (а — не
число).
4387. Функцию y = sinax (а —целое число) в интервале
в ряд косинусов.
4388. Функцию у = cos ах (а — целое число) в интервале
в ряд синусов.
4389. Функцию y = shax в интервале (— л, я ).
4390. Функцию у = chx в
интервале (0 , я) в ряд коси­
нусов и ряд синусов.
4391. Разлож ить в ряд
Фурье функцию, график ко­
торой изображ ен на рис. 74.
4392*. Разлож ить в ряд
Ф урье функцию, график ко­
торой изображ ен на рис. 75.
4393*. Разлож ить в ряды
Фурье функции, графики ко­
торых приведены на рис. 76
и 77.
4394.
Разлож ить функцию
у = х(л —х) в р я д синусов в
интервале (0, я). И спользо­
вать полученный результат для нахож дения суммы ряда
279
целое
целое
(0, л)
(0, л)
1 (2/1 - ■1Я
4395. Д ана функция ср(х) = (л 2 ■X2)2.
Рис. 74
а) Убедиться, что имеют место равенства
Ф(— я) = ф (л ), ф ' ( — л) = ф '(л ) и ф"(— л) = ф"(л)
[но ф"' (— л) Ф ф'" (л)].
б) И спользуя полученные равенства, р а з л о ж и т ь функцию ф (х)
в р я д Фурье в интервале (— я , л).
Г Л . XV. Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Е Р Я Д Ы
280
в) Вычислить сумму ряда
1_
1 + ' _ 1 о.
4 -Ы 1 П +
•
24 т 3 ‘
44 т • ■■Т
П1 - Г . . .
§ 3. Метод Крылова. Гармонический анализ
В задачах 4396 — 4399 улучшить сходимость тригонометриче­
ских рядов, доведя коэффициенты до указанного в скобках по­
рядка k:
СО
4 3 96*.
У - ^ - r s i пшс
Z j nJ -j- 1
П—I
(А = 4).
4
'
СО
4397*.
^
(ft = 2).
281
§ 3. М Е Т О Д К РЫ Л О В А . Г А Р М О Н И Ч Е С К И !! А Н А ЛИ З
/2=0
. пл
п sm
-ni _ i cosnx
4 3 99*. ^
Ф = 5).
п= 2
4400.
Функции fi (х) (i = 1, 2, 3) заданы в полуинтервале [0, 2л)
следующей таблицей:
я
л
я
2я
5я
"6
т
~2
Т
тг
32
35
30
26
20
Һ (X) 0,43 0,87
0,64
0,57
0,28
0
2,3
2,1
1,6
X
0
/іМ
27
/э М
3,2
л
18
7я
4я
Зя
5я
т
Т
Т
т
0
22
26
30
32
36
— 0,30 — 0,64 — 0,25 0,04
— 0,4 — 0,2 — 0,4
0,3
0,7
0,9
Пэт
0,42 0,84
1,2
1,6
Найти приближ енное выражение этих функций в виде триго­
нометрического многочлена второго порядка.
ГЛАВА
XVI
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ *)
Векторное
4401. Найти
поле,
векторные
дивергенция
линии
и ротор
однородного
= аі -\-bj-\- ck, где а, b и с — п о с т о я н н ы е .
поля
,Д (Р )= ;
4402. Найти векторные линии плоского поля А ( Р ) = — (ayi+
+ гаxj, где га — постоянная.
4403. Найти векторные линии поля А (Р) = — ыуі -{- wxj+hk,
где ю и Һ — постоянные.
4404. Найти векторные линии поля:
1) A(P)-=(y + z)i — x j — хк ;
2) A(P) = ( z - y ) i + (x — z ) j + ( y - x ) k \
3) A ( P ) - = x ( t f - 22) i - y ( z 2 + x2) j + z ( x 2 + y2)k.
В задачах 4405 — 4408 вычислить дивергенцию (расходимость)
и ротор (вихрь) заданных векторных полей:
4405. А (Р) = x i y j z k .
4406. А (Р) = (у2 + z2) І + (г2 + х2) / + (*2 + У2)
4407. А (Р) = x2yzi + xy2zj - f xyz-k.
4408. А (Р) = grad (х2 -\-у2-\- z2).
4409. Векторное поле образовано силой, имеющей постоян­
ную величину F и направление положительной оси абсцисс.
Вычислить дивергенцию и ротор этого поля.
4410. П лоское векторное поле образовано силой, обратно
пропорциональной квадрату расстояния от точки ее приложения
до начала координат и направленной к началу координат. (Н а­
пример, плоское электрическое поле, образованное точечным
зарядом.) Найти дивергенцию и ротор этого поля.
4411. Найти дивергенцию и ротор пространственного поля,
если силы поля подчинены тем ж е условиям, что и в задаче 4410.
4412. Векторное поле образовано силой, обратно пропорцио­
нальной расстоянию от точки ее приложения до оси Oz, перпен­
дикулярной к эгой оси и направленной к ней. Вычислить дивер­
генцию и ротор этого поля.
*) Задачи на свойства скалярного поля и его градиента помещены в § 4
главы X I.
ГЛ. XVI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ п о л я
283
4413. Векторное поле образовано силой, обратно пропорцио­
нальной расстоянию от точки ее приложения до плоскости хОу
и направленной к началу координат. Вычислить дивергенцию
этого поля.
В задаче 4414 и дальше г — радиус-вектор, г = \ г \ — его модуль.
4414. Вычислить d iv(az'), где а — постоянный скаляр.
4415. Д оказать соотнош ение
d iv (<р.4) = ф div А + A grad
ф,
где (р = ср(х, у, 2) — скалярная функция.
4416. Вычислить div b (га) и d iv г (г а ), где а и Ь — постоян­
ные векторы.
4417. Вычислить d i v ( a x r ) , где а — постоянный вектор.
4418. Н е переходя к координатам, вычислить дивергенцию
векторного поля:
1) А(Р) = г ( а г ) - 2 а г * .
2) А(Р) =
3) ё тг6ү7^
[.
4419. Вычислить дивергенцию векторного поля
л ( Р ) = / ( И ) г;т .
Д оказать, что дивергенция поля равна нулю только тогда, когда
с
с
/ (IГ j) = — , если поле пространственное, и f (| г |) = j y j , если поле
плоское, где С — произвольное постоянное число.
4420. Д ок азать, что
rot [А 1 (Р) + А2 (Р)] = rot Ах (Р) + rot Аг {Р).
4421. Вычислить rot [ф 4 (Р )], где ф = ф(л:, у, г) — скалярная
функция.
4422. Вычислить rot га, где а — постоянный вектор.
4423. Вычислить r o t ( a x r ) , где а — постоянный вектор.
4424. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью <а
вокруг оси. Найти дивергенцию и ротор поля лннейных скоростей.
4425. Д оказать соотнош ение
п (grad (Ап) — rot (А X п)) = div А,
если я — единичный постоянный вектор.
Дифференциальные операции векторного анализа (grad, div, rot) удобно
представлять с помощью символического вектора V («пабла» — оператор Гамиль­
тона):
2 84
ГЛ. XVI. Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И П О Л Я
Применение этого оператора к той или иной (скалярной или векторной)
величине нужно понимать таи: следует проделать по правилам векторной ал­
гебры операцию умножения этого вектора на данную величину, а затем умножеииг символа
д
„
и т. п. на величину S рассматривать как нахождение соот­
ветствующей производной. Тогда gradu = Vu; di v A = VA\ r o t .A = V x . 4 .
При помощи оператора Гамильтона можно записывать и дифференциальные
операции второго порядка:
VVr< = div grad и; Vx V u = rot grad u\ V (V 4) = grad div A;
V (V x A) = div rot A\
V x (V x A) = rot rot A.
4426. Д оказать, что r - V r n = tirn, где г — радиус-вектор.
4427. Доказать соотношения:
1 ) rot grad u = 0 ;
2 ) div rot Л = 0 .
4 428. Д о к а з а т ь , что
,
д2и , дга , д2и
div grad и = д72+ ^
+ ш .
(Это выражение называется оператором Лапласа и обычно обо­
значается Д;г. При помощи оператора Гамильтона его можно
записать в виде Д« = (VV) и = \ги.)
4429. Д оказать, что
rot rot А ( Р) = grad d iv А (Р) — Ді4 (Р ),
где А А (Р ) = A A J + A A J + A A2k.
Потенциал
4430. Векторное поле образовано постоянным вектором А.
Убедиться, что это поле имеет потенциал, и найти его.
4431. Векторное поле образовано силой, пропорциональной
расстоянию от точки приложения до начала координат и направ­
ленной к началу координат. Показать, что это поле консерватив­
ное, и найти потенциал.
4432. Силы поля обратно пропорциональны расстоянию точек
их приложения от плоскости Оху и направлены к началу коор­
динат. Будет ли поле консервативным?
4433. Силы поля пропорциональны квадрату расстояния точек
их приложения от оси аппликат и направлены к началу коор­
динат. Будет ли поле консервативным?
4434. Векторное поле образовано силой, обратно пропорцио­
нальной расстоянию точки ее приложения от оси Ог, перпенди­
кулярной к этой оси и направленной к ней. Показать, что эго
поле консервативно, и найти его потенциал.
4435. Векторное поле образовано линейными скоростями точек
твердого тела, вращающегося вокруг своей осн. Имеет ли это
поле потенциал?
285
ГЛ. XVI. Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И П О Л Я
4436. Силы поля задаются так: А (Р) = /(/•) у (так называемое
центрированное поле). Показать, что потенциал поля равен
и (х , у, г) = ( / (г)
(г = У х 2+ у2 + г2).
а
Получить отсюда как частный случай потенциал поля сил
притяжения точечной массы и потенциал поля задачи 4431.
4437. Найти работу сил поля А (р) = xyi-\- yzj+xzk при пере­
мещении точки массы т по замкнутой линии, состоящей из
отрезка прямой х + г = 1 , у — 0 , четверти окружности х2-\-у2= 1 ,
2 = 0 и отрезка прямой y-\-z— l, х — 0 (рис. 78) по направлению,
указанному на чертеже. Как изменится работа, если дуга ВА
будет заменена ломаной ВОА или отрезком ВА ?
Потенциал
силы
притяжения*)
4438. Д ан в плоскости 0 |г] однородный стержень АВ длины 21
с линейной плотностью 6 , расположенный на оси 0 £ симметрично
относительно начала координат (рис. 79).
а) Найти потенциал и(х, у) стерж ня.
б) Показать, что проекции X и У силы притяж ения, дейст­
вующей на точку Р массы т с координатами != = * , ц = у, равны
v
( 1
1 \
Х = тк6[р А -р в )>
v
m k 8 [СВ
, АС\
Y = ----- T V P B + PA}'
а результирующ ая сила R по величине равна R =
(а + Р ),
где k — постоянная тяготения (С — проекция точки Р на ось 01,
а — угол АРС, Р — угол ВРС).
*) Здесь (в задачах 4438— 4449) везде имеется в виду сила тяжести, дей­
ствующая по закону Ньютона. Вместо выражения «потенциал массы, распо­
ложенной на (или в) данном геометрическом объекте», для краткости мы гово­
рим «потенциал данного объекта».
286
ГЛ. XVI. Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И П О Л Я
4439. Найти потенциал окружности х2-\-у2 = R2, г = 0 в точке
( R , 0 , 2 R), если плотность в каждой точке равна абсолютной
величине синуса угла между радиус-вектором точки и осью абсцисс.
4440. Найти потенциал первого витка однородной (плотность б)
винтовой линии x = acost, y = asint, z = bt в начале координат.
4441. Найти потенциал однородного квадрата со стороной а
(поверхностная плотность б) в одной из его вершин.
4442. Н а плоскости Оху распределена масса с плотностью б,
убывающей с расстоянием р от начала координат по закону
б = і ^ рз-
Найти потенциал в точке (0, 0, Һ). (Рассмотреть три
случая: / і < 1 , һ — 1 и А > 1 . )
44 43*. Вычислить потенциал однородной боковой поверхности
круглого цилиндра:
1 ) в центре его основания,
2) в середине его оси (радиус цилиндра R, высота Н, поверх­
ностная плотность б).
4444. Вычислить потенциал однородной боковой поверхности
прямого круглого конуса (радиус основания R, высота Н ) в его
вершине.
4445. Д ан прямой круглый однородный цилиндр (радиус осно­
вания R, высота Н , плотность б).
1 ) Найти потенциал в центре его основания.
2) Найти потенциал в середине его оси.
4446. Д ан прямой круглый однородный конус (радиус осн о­
вания R, высота Н, плотность б). Найти потенциал конуса в его
вершине.
4447. Найти потенциал однородного п олуш арах 2 + у2 + z2 ^ R ' 2
( z s s 0 ) с плотностью б в точке А (0, 0, а). (Рассмотреть два сл у ­
чая: a ^ R и a ^ R . )
4 448*. Найти потенциал однородного тела, ограниченного
двумя концентрическими сферами с радиусом R и r ( R > r ) и плот­
ностью б, в точке, удаленной от центра шара на расстояние а.
(Рассмотреть три случая: a ^ R , a-s^r и r ^ a ^ R . ) Показать,
что если точка находится во внутренней полости тела, то сила
притяж ения, действующая на эту точку, равна нулю.
4449. Найти потенциал неоднородного сплош ного шара
* 2 + У2 + z* ^ R
в точке Л (0, 0, а) { a > R ) , если плотность б = Xz2, т. е. пропор­
циональна квадрату расстояния точки от плоскости Оху.
Поток
и циркуляция
(плоский
случай)
4450. Вычислить поток и циркуляцию постоянного вектора А
вдоль произвольной замкнутой кривой L.
ГЛ. XVI. Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И П О Л Я
287
4451. Вычислить поток и циркуляцию вектора А(Р) — аг,
где а — постоянный скаляр, а г — радиус-вектор точки Р, вдоль
произвольной замкнутой кривой L.
4452. Вычислить поток и циркуляцию вектора A ( P ) = x i —yj
вдоль произвольной замкнутой кривой L.
4453. Вычислить поток и циркуляцию вектора A (P) = (jc3— y)i-\+ ( y 3 + x )j вдоль окружности радиуса R с центром в начале
координат.
4454. Потенциал поля скоростей частиц текущей жидкости
равен и = In г, где г = Y х1 + у2- Определить количество ж идкости,
вытекающей из замкнутого контура L, окружаю щ его начало
координат, в единицу времени (поток) и количество ж идкости,
протекающей в единицу времени вдоль этого контура (циркуля­
ция). Как изменится результат, если начало координат лежит
вне контура?
4455. П отенциал поля скоростей частиц текущей ж идкости
равен и — ф, где ф = a r c tg -j.
Определить
поток
и циркуляцию
вектора вдоль замкнутого контура L.
4456. Потенциал поля скоростей частиц текущей ж идкости
равен и (х, у) = х (х2 — Зу2) . Вычислить количество ж идкости,
протекающей за единицу времени через отрезок прямой линии,
соединяющ ей начало координат с точкой ( 1 , 1).
Поток
и циркуляция
(пространственный случай)
4457. Д ок азать, что поток радиус-вектора г через любую
замкнутую поверхность равен утроенному объему тела, ограни­
ченного этой поверхностью.
4458. Вычислить поток радиус-вектора через боковую поверх­
ность круглого цилиндра (радиус основания R, высота Н), если
ось цилиндра проходит через начало координат.
4459. П ользуясь результатами задач 4457 и 4458, установить,
чему равен поток радиус-вектора через оба основания цилиндра
предыдущей задачи.
4460. Вычислить поток радиус-вектора через боковую поверх­
ность круглого конуса, основание которого находится на пло­
скости хОу, а ось совпадает с осью Oz. (Высота конуса 1, радиус
основания 2 .)
4461. Найти поток вектора А (Р) = xyi + yzj-\-xzk через гра­
ницу части шара х2 у2-\-z2 = 1 , заключенной в первом ок­
танте.
4 4 6 2 * . Найти поток вектора А (Р) = yzi + xzj + xyk через бок о­
вую поверхность пирамиды с вершиной в точке 5 (0 , 0 , 2 ), осно­
ванием которой служ ит треугольник с вершинами О (0 , 0 , 0 ),
А (2, 0, 0) и В ( 0 , 1, 0).
288
ГЛ . XVI. Э Л Е М Е Н Т Ы Т Е О Р И И П О Л Я
4463. Вычислить циркуляцию радиус-вектора вдоль одного
витка АВ винтовой линии х —a cost, y = as'mt, z = bt, где
А и В —точки, соответствующ ие значению параметра 0 и 2я.
4464. Твердое тело вращается с постоянной угловой ск оро­
стью <й вокруг оси Ог. Вычислить циркуляцию поля линейных
скоростей вдоль окруж ности радиуса R, центр которой лежит
на оси вращ ения, а плоскость окруж ности перпендикулярна
к оси вращения в направлении вращения.
4465*. Вычислить поток ротора поля векторов А (Р) — yi 4 + zj-\-xk через поверхность параболоида вращения z = 2 (1 — х2 —
— у2), отсеченную плоскостью z = 0 .
ОТВЕТЫ
К главе I
I. Все числа п натурального ряда, кроме п — 1 и п = 2. Если сумма
углов S, а числа с горой п, то S = п ( п — 2). 4. а) При х = —2, х = 1 , а- = 6
функция обращается а нуль; б) при х < — 2, —2 < х < I, х > 6 функция поло­
жительна;
в) при
1 < * < 6
функция
отрицательна.
6. г =
___7. 5 =»
\ пһ
= cL ^ l t S a. 8. 6 = ] / 2 5 - f t a. 9. / (0) ------2; / f l ) = —0,5; / (2) = 0; / (— 2) = 4;
4
f (— 1/2)=-----5; f(V%) = —0,242
| / (1/2) / = 1;
ф (0) = 2;
< p ( l ) = 0 ,5 ;
m ( 2 ) = 0 ; ф (—2) = —4; ф (4) = 0,4; / ( — 1) не существует; ф ( — 1) не сущ е­
ствует. 10 . / ( 1) = 0 ; I (а) = а'>— 1 ; f ( а + 1) = я:| + 3а'- + 3а; / (а— 1) = а 3 —
— 3в 2 + 3 а — 2; 2 / ( 2 о ) = !6а 3— 2. 11. Ғ ( 0 ) = 1 /4 ; Ғ ( 2 ) = 1 ; Ғ (3 ) = 2; Ғ (— 1) =
= 1/8; Ғ (2,5) = |^ 2 ; Ғ (— 1 ,5 ) = 1 / / 1 2 8 ; Ф (0) = 1/4; ф (2) = 1; ф (— 1 ) = 1/2;
Ф (х) = 2Х~- при х > 0 и ф (*) = 2~х~2 при х < 0 ; ф (— 1 ) -\-Ғ ( 1 ) = 1 . 12 . ^ (0) = 0;
ij:(l) = a; i f ( — 1) = — 1 /e; 4 (1 /а) = а ,1_п)/а;
(а) = а аП ;
if (— а) = — а1~“4
13. ф ( / 2) = ^в+ 1 ; [ф (Z)]2 = /'>-(-2t'-{- 1. 2 0 . ^ ^ —
равно тангенсу угла между
секущей, проходящей через точки (a, j (а)) и (Ь, / (6)), н положительным
направлением оси Ох. 22. а) ^ = 0, х 2 = 2; б) *, = — 1, *> = 3. 23. xL= —2,
Xj — 5, a-д = — 1/2. 24. Одним корнем всегда будет х = а. 25. 4 и —2; — 2, 2, 4,
10. 20. а\ = — 3, а*2= —2, * з = 2 , а'4 = 3. 27.
— 1 и а ^ 2 . 28. а = 4, b = — 1,
29. о = — —
£< s i n U, J
^ — 1,04 (полагая sin 0,5
0,48); 6 = 1 ; г = — ^ + 2 А я
Z
° = 2~Sin 0,5 ^ 1,04; Л = _ | ; ' = 2
1 + р ь + 1)я (* = °.
= ( х + 1 ) г. 31. у =
—
j COS ДГ J
или
± 2 ,...) .
30. ,/ =
. 32. г /= v ' ( a / + l ) 2 . 23. (/ = / 1 -(-(lg sin А')2.
34. с =.
= sin (1 -f- д г). 35. 1) y = v \ r = s i n * ; 2) y = l r i\ v — u'1, и = х-\-\\ 3) у = \gv,
f = tgjc; 4) у = и \ и — sin V, v = 2 x + 1; 5) i/ = 5", u = v \ l' = 3 x + 1 . 36. а) — 3/8;
б) 0; в) sin 12; г) — sin 2
‘ х cos2 2х\ д) х u— За 7 -}-Заг’ — 2а:| + а; е) 0; ж) sin (2 sin 2 ,i).
______
г
38. 1) < /= j - У \ — а-; 2) « /=
= _1о^_о; 6) ^ = 10_С00 — 1 ;
= A rc c o S j—p—! 39*.
_t
s>
|/лс 2 — а2; 3) у = J•' иА— *:i; 4) ( / = — ; 5) у =■
^ =
|о& (x.t
Пусть , r > 0 и ( /> - 0 ,
7 ) _ . | og2
_ 2) — А-;
8)
у=
тогда y-\-y — x — * = 0; y = x (гра­
первого координатного угла). Пусть * > 0 и у < 0, тогда
у — у — х — х = 0; х = 0 (граф и к —отрицательная полуось Оу). Пусть а- < 0 и
у > 0, тогда у-\-у — - V д ; = 0; (/ = 0 (граф ик— отрицательная полуось Ох).
Пусть д г < 0 и у < 0, тогда у — у — jc jc = 0 — тождество (график — множество
ф и к — биссектриса
всех внутренних точек третьего координатного угла).
Г. Н. Б е р м л к
290
ОТВ ЕТЫ
X
1
2
3
4
5
6
У
1
1/2
1/6
1/24
1/120
1/720
41.
я
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14 15 16 17 18 19
и
0
1
2
2
3
3
4
4
4
4
5
5
6
6
6
7
6
7
8
20
8
42.
л
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14 15 16 17 18 19
и
0
0
0
1
0
2
0
2
1
2
0
4
0
2
2
3
4
0
0
20
4
43. Если / (х) — масса отрезка AM, то f(x) = 2x при О ^ д г ^ І , f (х) =*
3
■= 2 + у ( х — 1) при 1 < * г с З , f(x) = x-f-2 при 3 < * s £ 4 . Функция опреде­
лена
при
44. При O ^ S x ^ R S = n ( 2 R — x)2; при R z S ^ x ^ Z R
х ^ 4 R S = 4( 6R x — x2— 8R2). Вне интервала [0, 4R] функ­
0 s£ * ^ 4 .
S = n R 2; при 3R
ция S = [ ( x )
не определена.
45. V = n х i^R2 —
0< x
С
2R,
= ~ Y 4 R 2~ x 2; 0 < д : < 2 R . 47. 1) * > 0 ; 2) * > - 3 ; 3) * s s | ;
46.
S =
4) — с о <
< л :г ~ ;0 ; 5) вся числовая ось, кроме точек x — d t l ; 6) вся числовая ось;
7) не определена только при х = 0, # = *—1, х = 1 ; 8) вся числовая ось, кроме
точек х = \
и х = 2; 9)
ls £ x = s ;l;
10) — со < л-< 0 и 4
со;
11) — о о с я ^ І и 3 s 5 х < -f-схэ; в интервале (1, 3) функция не определена;
12) — с о < * < 1 и 2 < л : < + оо; на отрезке [1, 2] функция не определена;
13) — b . ; . v ^
4; 14) l £ S x s c 3 ; 15) 0 ==сдг ==< 1; 16) —
; 18) — l ^ J t s g l ;
А ; 17) 0 = < х ^
19) — со < х < 0; 20) не имеет смысла; 21) 1
хг£4;
22) 2кл < х < (2k-\- 1) я, где k — целое число; 23) 2/,’л ;g л; ^ (2й- f 1) я , где
k — целое число; 24) 0 < х < 1 и 1 < х < + со. 48. 1) — 2 г = :х < с 0 и 0 < д : < 1 ;
2) — 1 < * = = 5 3; 3) 1
< 4; 4) 3/2 < х С 2 и 2 < х < + оо;
область опре­
деления состоит только из одноіі точки х — 1;
— 1 С х < 0 п 1 с д- с 2;
2 С х < + в Й 7) 3 — 2л < * < 3 — я и 3 < д : ^ . 4 ; 8 7 —4 ^ х - е ^ — л и 0 g ; jts c n ;
9) 2 h < х < (2k-\- 1) я, где k — целое число; 10) 4 < х < 5 и 6 < х < + со;
11) нигде не определена; 12) — 1 < х ^ 1 и 2
х < 3; 13) вся числовая ось;
14) 4 зй Х 5 £ ;6 ; 15) 2 < : х < 3 . 49. 1) Д а; 2) тождественны па любом ш пернале,
не содержащем точку д: = 0; 3) тождественны на полуинтервале [0, -j- оо);
4) тождественны
на
интервале
1
2) например, У = - у | - = г
(0, - f со).
50.
1) Н апример,
у — \ г 1 — х 2\
1
1
1
3) например, у = - — g + - — 3 + - — 4 - 5 ‘ - 0 ' С
291
О ТВ ЕТЫ
= 3; 3) ( / > 0 в интервале (— оо, + со), функция корней не имеет; 4 ) ( / > 0
в интервалах (0 , 1 ), (2 , + со); у <; 0 в интервалах (— оо, 0 ) и ( 1 , 2 ); у = 0
при * 1 = 0, * 2 = 1 , *з = 2; 5) I/ > 0 при х ф 0; у = 0 при х = 0. 54. 1), 3), 8 ),
10), 11), 15) четные, 5), 6 ), 9), 12), 14), 17) нечетные; 2), 4), 7), 13), 16) ни
четные, ни нечетные. 55. 1) ( / = ( * 2 -j-2) -f-Злг; 2) // = (1 — jc4) -f- (— л:3 — 2jc6)j
ax + a~
ax — a x
3) y = ( s in 2* + tg x ) + cos
57. 1 ) y =
+1
2) У ■
2'
2
2
( 1 + * )“ “+ (!■ -*)1Q0 | (l+ y)io°- (1 —a:)100
59. Функции 1), 5), 6 ), 8 ),
*2
60. Графики см. на рис. 80 и 81, 61. 1) В интервале (— оо, 0) убывает,
в интервале (0 , + оо) возрас­
тает; 2 ) в интервале (— оо, 0 )
убывает, в интервале (0 , + оо)
сохраняет постоянное значе­
н и е - н у л ь . 62. 1) Н аибольш ее
1 , наименьшее 0 ; 2 ) наиболь­
шее 1 , наименьшее — 1 ; 3) на­
ибольшее 2, наименьшее 0; 4)
наибольшего значения не имеет,
наименьшее
p = 72,7/t;
1
6 5 ./ = ~ . 66. а)
б)
1,05 • Ю3 Па; в)
36,4 см.67. F = f . w.
45
68. 1)
у=
= | - * + 4; 2) у = 1 ,1 9 5 * + 1,910;
) у = — 0,57* + 8,63. 69. а)
К = 100 + 0,35/; б) 100 смз. 70.
S = 16,6 + 1,34*. 71. У = 1 2 —
—0,7/. 72. Д(/ = 6 . 73. Дг/ = — 6 .
74. Д* = 4. 75. Конечное значе­
ние аргумента * 2 = 2а. 76. * = 3;
при
графическом
решении
ищется точка пересечения графика функции (/ = (р (*) и прямой у = 2* — 4,
78*. Следует обратить внимание на то, что из всегда справедливого соотноше­
ния | / (*) + ф (*) | sg | / (*) | + 1 ф (*) | в условии задачи исключен знак равенства.
Строгое неравенство будет иметь место при * < 3 и * > 4. Можно решить
задачу путем построения графиков функций Ф (*) = | / (*) + ф (*) | и ■ф (x) =j
■=
1+ 1
!•
* < 2 , См, указание к решению задачи 78,
3
1/М
фМ
на интервале (— оо, —3),
0
§2 . у =
— д- * 2 + 5 на отрезке [—3, 3J,
2
— * —2
на отрезке [3,
6 ].
83. 1) (/ = — 7/8 при * = 1 / 4 ; 2) у = 1 7 / 4 при * = — 3/2; 3) у = 5 при * = 0;
4)
у = — 7а2/8 при х = а/4; 5) У = ^
при х = ~ .
84. 1) у = —
6
при * = —2;
2) (/ = 0,31875 при х = 3/8; 3) (/ = 5/8 при * = 1 / 4 ; 4) t / = а 4 при * = 0; 5) у =■
= — -Н-&2 при
85.
а—
у + т р 86. а = у + у * 8 7 .4 м. 88. П о 50 см,
89. Тот, у которого осевое сечение — квадрат. 90. Чем меньше высота конуса,
тем больше его боковая поверхность; функция достигает наибольшего значения
Р
при радиусе основания! равном
т. е. тогда, когда конус вырождается в пло.
10 *
29 2
ОТВЕТЫ
скин диск. 91. 12,5 см. 92. Высота прямоугольника должна быть равна поло­
вине высоты треугольника. 93. Радиус цилиндра должен быть равен половине
RH
радиуса конуса. 94. При Н > 2 R радиус цилиндра должен быть равен — j — — ;
2 (Н —R)
при Н sc; 2R полная поверхность вписанного цилнндра будет тем больше, чем
Р
Р
4
больше радиус его основания. 95. vr. 96. а = ------- —. 97. — —т. 98. Сторона
'
J
2
6— / 3
л+ 4
должна быть равна 10 см. 99. Сторона основания и боковые ребра должны
иметь по 10 см.
100. Сторона треугольника должна быть равна — —— т .
9+ 4 /3
101. Искомая точка (Ь/6, Ь/6). 102. Искомая точка (15/11, 37/11). 104.
<=— 1,1, лг2 «=2,1; 2) * 1 = — 1, лг2 = 5/2; 3) ^ я а О Д х 2 я = 4 , 1 ; 4)
= дг2 = 3/2;
5) не имеет вещественных корней. 105. ^ = —3, дг2 = 8 . При графическом ре­
шении ищется точка пересечения графика функции у = ср(х) и параболы у 2 =
е=7ж + 25. 106. Если
— 4 а с > 0 и а > 0. то функция определена на всей
числовой оси, кроме интервала
х 2, где xi и х2 — корни трехчлена.
При Ь" — 4 а с > 0 н а с 0 функция определена только при Х[ С х ■< х 2. Если
Ь-— 4 а с < 0 и а > 0, то функция определена на всей числовой оси. Если
Ьг — 4 й с < 0 и а С 0, то функция нигде не определена. Наконец, при Ь2 — 4 а с = 0
функция будет определена на всей числовой осп, кроме одной ее точки х =
= —
если а > 0 , н іп где не определена, если а < 0. 107. / ( * + ]) — 2 х 2 +
+ o.v + 3.
х~ -4- %х -f- с
—— ;— —— — т, где т — произвольное действительное числ- + 4 л + 3 с
ло; тогда (m — 1) *-’+ 2 (2 т — 1) х + с ( 3 т — 1) = 0. Аргумент х должен быть
действительным числом, следовательно, ( 2 т— I ) 2 — (m — 1 ) (3/пс — с) 3 =0 , или
(4 — Зс) т 2 + 4 (с— 1) т — (с— 1) 5 ; 0; но так как т — действительное число, то
это неравенство в свою очередь справедливо лишь при условии, что 4 — З с > 0,
4 (с— 1)2+ (4 — Зс) (с — 1) sgO; отсюда 0 s g c s £ l , но по условию с ф 0, следо­
вательно, O c c s S . l . 109. pu = 2,3 • 10\ 110. Переменная х обратно пропорцио­
нальна V. 111. Переменная х прямо пропорциональна v. 112. Количество
выделяющегося вещества обратно пропорционально объему растворителя.
114. 1) При * = 1 у = 4 — наибольшее значение; при * = 5 у = 4 / Ъ — наименьшее
аначенне; 2) при х = — 1 у = 1/7 — наибольшее значение; при х = 2 у = —2 —
наименьшее значение; 3) при дс= 0 у = 1 — наибольшее значение; при дс= 4
х
1— X
у = — 3/5 — наименьшее значение. 117. 1) у = х; 2) у = - ^ \ 3) у — —^—; 4) у =
108*. Пусть
5)
-= 18
=
1
у = ’ ; 6 ) У= ^
Ю) і / = - 2 +
arcsin
у
2
10
^ і;
11
) у = 2 1/Л;
12)
\
7) у = 1 ± У Т + 1 \ 8) r / = ± V ^ T - 9) у=ш
j M o g . у ^ ; 13}
2
I 15) i/ = ---------------х _| 'i 16) </ = i t cos
1 — a r c s in —2—
х
(0 ;g x ^ 2л), 119. d=»
■=— a. 122. 1 < * <£ '3; y = l + 2 l —
123. t/ = arcsin
— x 2 — 2. 125. ха «=
си —0,5, x 2 = l, jf3 «=54,5. 126*. 1)
остальные корни мнимые; Xl —
абсцисса точки пересечения графиков кубической и линейной функций: # = х 3
и у = ~ х + 4; 2) xi = 1, х 2 = — 1. л:3 = 3; целесообразно применить замену
переменной х = х' + а и выбрать а так, чтобы коэффициент при х ’2 обратился
в нуль; далее, как в 1); 3) х { = 4, х 2 = х 3 = 1 ; см. указание к 2); 4) дс, = — 1,
остальные корни мнимые; см. указание к 2), 127. 1) 1 ,4 6 5 ...; 2) к» 14,26 см;
3) почти
6 ,8
см.
128. Если
г/, = * 4. Уг = У х ,
то при я > 1
для0<дс<1
293
О ТВ ЕТЫ
ffL <Уг- а для 1 С * < + о о Уі > У і , при 0 < п < 1 д л я 0 < л: < I і / і > у г,
а для 1 < х < - ! - о э уі < у г\ при — 1 < я < 0 для 0 < * < 1 < / і< і /2, а для
1 < а < + оо Уі > У і , при « < — 1 для 0 < * < 1 i / i > 1/ 2 , а для 1 < ж
+ оз
У і < У і - 133. л'і = 1, а'2 = 2. 134. Точки пересечения (1, 2); (3, 8 ); (3, 4/3);
(— 1,5; 0,3). 135. я = 15. 136. Исходя из определения гиперболических функ­
ции, можно доказать, что sh (— *) = — sh дс, t h ( — х ) = — th лг, ch (— *) = сһл.-.
Периодическими эти функции не являются. 140. у и„ ш == 0,8 при х ^ 0 , 4 .
141. График функции симметричен относительно начала координат, так как
функция нечетная. (/ =
ах —а х
2
143. 1) Л = 1, Т =
°
п;
2)
А = 5,
Т = я;
16
=2, Т -- 4л; 5) А , 1 , 7 = 8/3; 6 ) A = 3, Г
Зя1
^ ~<
1 1 1, - - J ; 4) 1, ‘ бл*.
114.
2
3 г.’ 1.
V ’ ТГ'
= • 21 ' ■4” 4л
1
, - - - . 146. Область определения (0 , л). Площадь будет наибольшей при
6 л2л
vt , л ,
a
—*0 /(arcsin ^ j.—■
148.
х = л /2 . 147. х = R sin
3) А = 4, Т = 2; 4)
R + 2 + aTCC0SR
2jt (fj —/q)
11 a rc sin //,)- - / 0 arcsin ^ t
фиач —
arcsin
— arcsin i/o’
—
*
(1 — cos ф) + а — Y a 2 — R 2 sin 2 ф, где ф = 2лnt. 151. 1) *i = 0,
2) x = 0; ± 4 , 5 ; ± 7 ,7 2 ; далее со значительной точностью можно
— arcsin tjd) -L arcsin y0j;
149. * =
« = ± 1 ,9 ;
считать х
±
(л >
3
); 3) *«==0,74; 4) ^ = 0,9, ^ = 2,85, лг3 = 5,8}
5) корней— бесчисленное множество; Xi = 0, х 2 немного меньше я/2, х3 немного
больше Зл/2 н т. д. 152. 1) 2я; 2) 2я; 3) 24; 4) 2. 153.
2
) f/ = K 5 +
2
1)
^ 3 sin (х + фо), где ф0 = arcsin
y — J r2 sin { х +
155*
1) Период л /2 .
]/5+2/3
На отрезке [0, 2л] функция может быть представлена так: у = sin х + cos х на
отрезке f0 , л , 2 |, у = sin jc — cosjc на отрезке [л/ 2 , л), У = — sin х — cos х
на отрезке [л, Зл./2|, (/ = — sin х ]-cos х па отрезке [3л /2 , 2л]. 2) Период 2 л ,
Н а .отрезка^* 0;, 2л] функция
может быть представлена так:
у — tg х на полуинтервале [0 ,
л / 2 ), у = 0 на полуинтернале
(л/ 2 , л |, // = —tg дг на полуин­
тервале [л, Зл/2), у = 0 на по­
луинтервале (Зл/2, 2л]. 156. 1)
y=arcstn(sinx)
Область определения состоит из
бесчисленного множестна интер­
валов вида (2/ІЛ, (2 л + 1 ) л),
где / г - 0 , : t l , ± 2 . . . ; ни
Рис.
четная н ни нечетная; периоди­
ческая, период 2 л. В интервале
(0 , л / 2 ) синус возрастает от 0
до I, следонате.н.но, lg sin х, оставаясь отрицательным^ возрастает до 0 ,
В интервале (л/2, л) еннус убывает от 1 до 0 , следовательно, убывает и
lg sin х. В интервале (л, 2л) синус имеет отрицательные значения, следовательно, функция lg sin а' не определена. 2 ) Область определения состоит из
л
отдельных точек вида * = 2~ + 2лга,
где п =
</ = 0. График состоит из отдельных точек
на всей числовой оси, кроме точек
а
159. v = arctg
158. (о = 2 arcsin
t>2+
2л '
0,
± I, ±
2
,
В этих точках
оси абсцисс. 3) ф ункция определена
* = я / 1 , где « = 0 , ± 1 , ± 2 , . . ,
a (I cos ф + Ь sin ф)
160. а
12 + я (t>cos ф — I sin ф)‘
294
О ТВ ЕТЫ
- ■ ' “ “ [ ‘ - ш ё т г ^ т ] - 16'- ‘>
S )0 « » < i;3 )0 a « < i;
4) — l s £ x = s O ; 5) 0 < л : < + оо; 6 ) — о з < л; < 0; 7) 0 s = ; * < + oo; 8 ) — оо <
< х
0 ; 9 ) — сю < х < 1 ; 1 0 ) 1 < л: < + со. 162. 1 ) — 1 ==сл:е£1 ; 2 ) 0 =g х sg 1 ;
3 ) __ со < х < + оо; 4) определена всюду, кроме х = 0. 163*. Период 2л. Г р а­
фик см. на рис. 82. Указание. Н а интервале — п/2 sc х s s я /2 имеем і/ =
с= arcsin (sin х) = х по определению функции arcsin дг. Д л я получения графика
функции на интервале п/2 sg л: Зп/2 полагаем г = х — п, тогда * = л + 2 ,
— я /2
г
п / 2 , { /= arcsin (sin х) = arcsin sin ( г + я ) = — arcsin (sin 2 ) = — г;
г/ = jr. — х и т. д. 167. (у„аиб
15, {/наим«=5,5; функция переходит от возраста­
ния к убыванию при * = —2. Корень функции: х ^ = — 3,6. 169. у =
= — (2 6 7 — 10*— а:2), или
г/ = 0,0312л2 — 0 ,3 1 2 5 л -j-8 ,344; корни ф ункции: х \ <=>=>
62
«а — 22,09, х2 = 12,09. Чтобы получить корни с точностью до 0,01, надо коэф­
фициенты взять с точностью до 0,0001. 170. X j«=2,60 см, хг *=а7,87 см.
171.
— 2,3, Х г ^ З ; остальные корпи мнимые. 172*. Выбрать а так, чтобы
коэффициент при х ,3 обратился в нуль;
— 3,6, х 2 ^ — 2,9, * 3 = 0,6,
лг4 «=4,8. 173. ^ = » 0 ,5 9 , * 2 ^ 3 , 1 0 , .*, = 6,29, * 4 r= 9,43; вообще х к= пп (гс> 2).
174. * ,« = — 0,57, г/!«=— 1,26; *2 « = - 0 ,4 2 , y2 ^ l , 1 9 ; х 3 = 0,46,
0,74;
Аі ^=0,54, Уі =^ — 0,68.
К главе II
176.
lim ип — 1, пЭ= 4.
177.
Ііш ип — 0, п > —
178. я = 19 999.
Я —Гоо
я —*со
J/ £,
lim г„ = 0, и ^ Ю О О . Величина vn бывает то больше своего предела, то
179.
п—
*•СО
меньше,
180.
л=
183.
то
равна
ему
lim u „ = l ; n ^ l 4 ;
п —* со
0
(последнее
n
5
при п — 2 / z + l ,
=log2 — . 181.
“ в
где ft =
»3 г
,
е
0
,
1
если
,
2
, ...).
е ^ 5 /6 ;
, если е > 5 / 6 . 182. п
—-----• последовательность
убывающая.
/ в ( 2 + е)
'*
ак как
достигает своего предела при я — m-j- 1, так
как, начиная
lim u„ = 0;
л —ю о
с этого значения л, ул = 0. 185. 0. 186. 1) Нет. 2) Д а, 189. ГЩк
ГЩг (а = 0%гот
предел может равняться любому числу или не существовать. 190. 6 <
< ] / 4 + ^ _ 2;
191. б < 2 - / 3 .
б < 0,00025.
< у — arcsin 0,99
_____
0,133. 194. N 2= |
-.Г 4
195. N ^ y —— 3,
если e=s:4/3;
/
~
192. 6 <2/13.
если
N — 0, если
1 9 3 .1 * — -"
,
2
<
Л' = 0, если е > 1.
4
196.
Л/ — 1
я > — -— .
197. ип — положительная бесконечно большая величина, если разность про­
грессии d > 0, и отрицательная, если d < 0. Д л я геометрической прогрессии
утверждение справедливо только тогда, когда знаменатель прогрессии по абсо­
лютной
величине
больше
1
.
198. — у ^ — ^
^ < _ _ L — . 199. 5252 <; х <
С 5222. 200. 6 < - 4 — = 0,01. 201. log., 0,99 < л: < log 2 1,01. 202. Л4 2 -* 10w =
999
| / дг
’
°
>= 10100. 203. sin л, cos* и все обратные тригонометрические функции. 20S. Нет.
л
Д а, 206. Нет, 207. 1) Например, *л = - - + 2 л п и лг„ = 2яп. 2) Нет. 209. Если
а > 1 , то функция при х -» - + о о не ограничена (но не бесконечно большая);
при х-*- — со она стремится к нулю. Если 0 < а < 1, то функция при х - > — со
не ограничена (но не бесконечно большая); при х -> -)-о э она стремится к нулю.
При а = 1 функция ограничена на всей числовой оси. 210. 1), 3) и 5) нет;
293
О ТВ ЕТЫ
2) и 4) да. 213.
2)
Jy
10 0 0 1
< * < gggg • 214- Л^2 5 ( 2е
j
1
«
) ‘ 2 ,5 ‘ ^ У
х3— 1 '
2
I I)
3) У— — t + t ,
^
a- 216*- Сравнить
с суммой членов
^
геометрической прогрессии 1/3, 1/9, 1/27, . . . . 1/Зя . 220. 3. 221. Д а. 222. / (х)=■
= 9 я при
/ ( х) = 4 я при 5 < x s £ l 0 ; /(х ) = я при 1 0 < x s S l 5 .
Функция разрывна при х — 5 и при х = 10, 223. а = 1. 224. Л = — 1, В = 1.
225. х = 2; х = —2. 226. 2/3. 227. Функция у =
нимый разрыв, у =
имеет в точке х = 0 устра­
— разрыв второго рода (бесконечный). 228. Функция
разрывна при х = 0 .^229. Функция имеет три точки разрыва. При х = 0 раз­
рыв устранимый, при x = : t l разрыв второго рода (бесконечный). 230. Нет.
Если х-> -0 справа, то / (х)
я /2 , если х -* -0 слева, то / (х)
— я/2.
231. Функция разрывна при х = 0. 232. 0. 234. Нет. Если х -*■ 1 справа, то
если х->-1 слева, то у-»-0. 235. Если х - > 0 справа, то у - * \ \ если
х -* -0 слева, то у - ) — 1. 236. Функция разрывна при х = 0 (разрыв первого
рода).
237. Функция
имеет
разрывы первого
рода в точках х = ^ (2/г + 1 ) .
238. При х = 0 функция непрерывна, при х ф О функция разрывна. 239. Все
три функции разрывны, когда х равен целому числу (положительному или отри­
цательному) или нулю. 241*. Записать многочлен в виде хл
+
и
исследовать его поведение при х -»- _н оо. 244*. Построить схематично график
а-2;— ]-------'
.
а, у - , исследовав ее поведение в окрестности
функции у = ----йі^— .|-------=
точек ки к 2 и А,-,."^ 4 5 . 1. 2246. 1/2, %І7. 3. 248. оо. 249. 0 . 250. 0 . 251. 15/17.
252. 1, 253. 0, 254. 4. 255. 1. 256. 0. 257. 0. 258. 0, 259. 1. 260. 4/3. 261. 1/2.
262. — 1 / 2 . 263. — 1 . 264*.
. Заметить, что ------L — = —L . — -1- . 265.
(п— 1) и
ft — 1
п
266. 1. 267. 0. 268. 9. 269. 3/4. 270. оо. 271. 0. 272. 0. 273. —2/5. 274.
275. 6 . 276. со. 277. — 1. 278. оо. 279. 0. 2S0. т/п. 281. 0. 282. оо. 283.
284. — 1. 885. 0. 286. 1/4. 287. — 1/2. 288. 100. 289. — 1. 290. 1. 291.
1
292. 0. 293. 0. 294. со. 295. 4. 296. 1/4. 297, 3, 298.
,
2
если
1 /2
.
1/2,
1/2.
оо.
* > 0; оо,
/х
если х = 0 . 299. 1/3, 300. 2/3. 301. ----- 1 — , 302. т/п. 303*. 1 / 2 . К числи4а у а — Ь
телю прибавить и отнять единицу. 304. — 1/4. 305. Один корень стремится
к — с/b, другой — к со. 306. 0. 307. 0. 308. 0, если х-*- + оэ; оо, ссли х-э— оа.
309. 1/2, если х-» --|-со ; — оо, если х->- — со. 310. —
если
318.
322.
330.
,
если
х-»--}~оо; со,
х -*■ — оо. 311. ± 5/2. 312. 0. 313. 1. 314. 3. 315. к. 316. а /р . 317. 2/5.
0, если п > т\ 1, если п = т\ оо, если п С т . 319. 2/3. 320. 1/3, 321. 1/2.
3/4. 323. со. 324. — 1. 325. 1/2. 326. со. 327. 0. 328. 1/2. 329. со.
—3/2. 331. 1. 332. я /2 . 333. 2 /я . 334. — а /я . 335. / 2 / 2 . 336. 2. 337. / 2 / 2 .
338. —2. 339. —2 sin а. 340. (Р2 - с с 2 )/2. 341. cos3 а . 342.
344.
ЛОЖИТЬ
345. / 2 / 8 . 346. 1. 347.
arccos
6
343. — sin а.
. 348. 3/2. 349. — 1. 350*. 1 / / 2 я .
ПО­
х = у. 351. 1/е. 352. 1/е. 353. 1. 354. етк. 355. ев. 356. е~2/3.
357. е2. 358. 0, если х - ь + оо; оо. если x -s— со. 359. со, если х-»- + оэ; 0,
если х - * — со. 360. 1. 361. со, если х-*- + со; 0, если х - > — оо. 362. е2. 363. е.
364. / 7 ,
365.
к.
366.
1/а.
367.
а.
368.
1/е.
369.
In а .
3 7 0 .2 /3 .
371. е .
372*. 3/2; к числителю прибавить и отнять единицу. 373. 2. 374. 1. 375. a —ft.’
296
О ТВ ЕТЫ
376. 1. 377. О, если л'-v -j-c c ; со, если *->■ — со. 378. 1, если х ->--'г оо; — 1,
если х —+■ со. 379. 1 ) а"; 2) 0, если А ф О, ап, если А = 0 и а = ^ 0 , и ос, если
/1 = а = 0; 3) -■
380. О,
если
я - ^ + со; — со, если *-*■— со. 381. При
а > 1 предел равен 1, если x-»--f-co, и 0, еслт дг-> — со. При а с 1 предел
равен 0, если х -»■-(-с о , и 1 , если jc —>-----эо. При а = 1 предел равен 1/2.
382. При а > 1 предел равен 1, если * - * - |-о о , и — 1, если х -»■ — со. При
а < 1 — наоборот. При а = 1 предел равен 0. 383. 0. 384. 0. 385. 1. 386. 0.
387. — cosa. 388. 1/12. 389. 1/8. 390*. £ІП_£ Умножить и разделить на sin * .
х
г
2п
393*. — 1/2. Воспользоваться формулой arctg Л — a r c t g а =
391. 1/2. 392. 0.
Ь — Cl
v
«= arctg — — - . 394. 1 / 2 . 395*. 1 / 2 . Заменить arcsin х на arctg — —---- и вос1 +0.0
|, J—Х1
пользоваться указанием к задаче 393. 396. со, если п < 1 ; с, если п — 1; 1,
если / г > 1. 397*. 1. Взять вместо co s* выражение 1 — (1 — cos л). 398. — 1/2.
399. 1/е. 400. е. 401. е',ь. 402. vn высшего порядка малости. 403. и п и vn — экви­
валентные бесконечно малые. 405. Одного порядка. 406. При х = 0 порядок
малости различен. При .<= ± У"3/3 величины Ау и Ах эквивалентны. 407. Нет.
408. Третьего
порядка.
409.
1) 2; 2) 1/2; 3)
1; 4) 10.
410. * = ^
411. a = k . 412. Нет. 414. 1) 1/3; 2) 1/2; 3) 1/2; 4) эквивалентная бесконечно
малая; 5) эквивалентная бесконечно малая; 6 ) 1; 7) эквивалентная бесконечно
малая; 8 ) 2; 9) 2; 10) 1; 11) 2/3; 12) 2. 415. азу ^ З . 416. 2 л Я 2; 4 RK 418. Из
того, что ломаная стремится к прямой (в смысле сближения их точек), не сле­
дует,
что длина
ломаной
стремится к длине
отрезка.
419. а. 420. а,
421. 2л. ( / ? + г ) . 422. И отрезок и угол имеют порядок 1/2. 425. 1 ) 10,25;
2) 30,2; 3) 16,125; 4) 40,4; 5) 0,558; 6 ) 0,145. 426. 1) 10,16; 2) 20,12; 3) 1,02;
4) 4,04. 427. In 1,01 «= 0.01; In 1,02 = 0,02; ln 1,1 = 0 , 1 ; ln 1,2 = 0,2.
К г л а в е III
428. а) 5; б) 5. 429. а) £,'=0,25 м/с; б) у = 0 ,5 5 м/с; в)
60,85; 49,03; 48,05. 431. 53,9 м/с; 49,49 м/с; 49,25 м/с; 49,005 м/с; ^ = 49,0 м/с;
Ujo = 98,0 м/с; и = 9,8/ м/с. 432. а) 4 г/см; б) 40 г/см; в) 4/ г/см, где / — длина
отрезка A M .
433. 1) 95 г/см; 2) а) 35 г/см; б) 5 г/см; в) 185 г/см.
434. 1) 4195 Д ж /к г -К ; 2) 4241 Д ж /кг ■К. 435*. Ввести среднюю угловую ско­
рость, затем путем перехода к пределу получить искомую величину. 438. k =
==Ш
і
где
k
— коэффициент
линейного
расширения.
439.
k
= S —
W ( n 56; 2) 19; 3) 7,625; 4) 1,261. 44]. 1 )4 ,5 2 ; 2) —0,249; 3) 0,245.
442. а 6,5; б) 6,1; в) 6,01; г) 6,001. 443. / ' (5) = 10; / ' ( - 2 ) = - 4 ; / '( - 3 / 2 ) =
—3 444. 3; 0; 6 ; 1/3. 445. ^ = 0, д£.2 = 2. 446. Д л я функции /(.*) = *•* не
будет 447. 1. 448. 0,4343. 449. 2,303. 454. 1) 0; 2) 6 ; 3) —4; 4) ^ = 2, £ 2 = 4.
455. (1, 1); (— 1, — 1). 456. 1) (0, 0); 2) (1/2, 1/4). 457. Не может. 458. а , =
с= arctg у , а 2 = a r c t g - - .
459. оһ = ~ ,
a 2 = a r c t g |.
460. arctg 3.
461. ij =
,= 19Л_ 1 6 - x -J- 12ry—98 = 0; подкасательная равна 2/3, поднормаль равна 96.
462." При ’* = 0 и при * = 2/3. 463. 1) (2, 4); 2) ( - 3 / 2 , 9/4); 3) ( - 1 , 1) и
(1/4,
1/16).
1
466.
1
Б) Ғ і + ? : 6)
1)
6*
— 5;
0.2
,
V7
4
2)
0,4
Г
4 * 3 — * 2 + 5х — 0,3;
1
п
2х
+
3) 2ах + Ь; 4)
2т-
а
3
г-
} 2 т+ х +
ОТВЕТЫ
,7
у - , 1
’
.
9)
+ 6 n V x + 2 PY * '
11
) 2x — 1 ;
12)
3, b x ~ Y x —
1
tmi+JL-
( c + d 'x -
I ' ( 2 ) = 19/16;
_
’ /- s /3 + 7,
10
l Vt
O/vy
2 l'— 1 ; 14) 6 (a — x); 15) ^ - u * +
PJ
/(fl-) = 3a 2 — 2 |a ',
r= 2,5;
10)
1Р+ Ч
+ ^
; 13) 3 j- +
З т <пш+ п) \ ш467. / ( 1 ) = 1, /' (1) = 2; /(4 ) = 8. /'(4 ) =
+ __fe________ £------ ; 16)
^ а + Ь
237
/' (a2) = 3 — y ^ -. 468.
/' (I/a) = 3<i4+ 10a3— a 2.
469.
/ (— 1) = —5;
13.
/ ' ( — 1) = — 8;
1) 4xJ — Зл 2 — 8 x + 9 ;
471.
2) 7x ~‘— 10.v, + 8x J— 12x- +- 4дг + 3;
1
/
1 \
, 1 / 60
5
3 ) -------- — [ 1 4 — 11 4) — f —r-----------и r
2 ^ ж \
X /
9 \ _ V
*
,x ^
xi
5 ) 1 + ]2x ] 9 V х" + 10'Y. , ^ + Ш - ’V
1
г-.'трғ^\.
V 27л- : I
X V X
)
; 0) 2x (3.v4— 28л--+ 43)j
+ V ~ 2 + Y 3 + 2 Ү І х + 2 Ү З х + 2 Ү 6 .Y+ 3.r Y 6
*
2 Yx
I- * 2
2
4/476.
Y 3
"Ь
“ й = ір -
_ad-b^
(сл + d)2
473-
W -& -\
t ^ + ^ + 1)2
— r —"n; + 1 + 2x — Зл2.
4 ?7
H + 2 :^ + 5 ^ - 2
'
478.
(*J+l)a‘
(X<- 1)4- .
— 2 |-
a2—J
W ( 2 b 2- x 2)
3 -2 /
•
—
3 (-V-— 1)
4 7 9 .------ Д ^ т - . 4 8 0 . -------481.
йал
лпг
oTW -'
(,'2+f+l)-
482.
үл
je „
1 + 2 л + Зл2 — 2 .*3 — ж4
----------- ---------------------- •
484,
487.
483.
Ғ = з7 + б г
4 8 jф '- x W
86‘
П + 3.r — 5л3)
a + 2bx
( 1 — -*2) 2 ( 1 — 2 л3) - ‘
‘ m(a-\-bm)’
489.
a2b'c8
<x — П - г ( х - г ) (x - (?) + (* - д) (.y - b)| 49Q_
C1 = 0
(х — ауЦх — Ь)*(х — су'
/ (l) = 6 . 491. F '( 0 ) = 1 1 , F ' (1) = 2, f '( 2 ) = — 1. 492. F '(0 ) = — 1/4, Ғ ' (— ]) =
■=1/2.
493. s ' (0) = 3/25, s ' (2 ) = 17/15.
495.
p ' (2) = 5/9,
p ' (0) = ).
494. « /'(1 )= 1 6 ,
4g6.
ф ' (1) = —
y' ( a ) = 15a2+ | 3- 1.
.
497.
г' (0) = 1.
438. 1) 4л 3
Зл 2 (а + Ь + с + ^ ) + 2л (ab + a c + a d + b c + a b +crf) — (abc-\-abd +
-\ acd+bcd)\ 2) 8x (л 2 + l)3; 3) — 2 0 ( 1 — л)і"; 4) 6 0 ( 1 + 2 л р ; 5) — 20л (1 — лс)2;
6)
5 (15л2 + 2л) (5л 3 + л 2 — 4)4;
■
•>
439.
6
(Зл 2 - 1 ) (х<- x f \
♦ ( « * + £ )М ( ' " М 1 ’
5 ( л 2 + 2 л — 1 ) ( 1 + л 2)4
-------------( Г + і ^ ------------;
И>
7)
so».
12>
Щ
ix
х + 1 >
{Х
>
■
____
2 у х (1 + / 2 л-)2 ‘
“ 2■ - T 3W
S - - 503.
/ 4 д^ сT- (T1 T+ W
/ 2I дг)“
|/ 1 - л
т с " 1' 1
4 (2 * — 1 )
5051 (1 -,,уп+1- ^
~ P - V + |U • 5°7. 11
«»
б ( і 4 х + ~4, ) х
\
-*3 1
24 (л2 + л + 1 ) (2 л3 + Зл- + 6л' + 1 )а.
501. —
— г>-
+ ^
8)
504.
2
у
V (а2—
х 2) а
-
1/
,
„
5 0 8 . ------- Л
2 ---з у T T f ^ j i ’
298
О ТВ ЕТЫ
509. _ W
i f 7_ .
/ ( 1 — х* — х8)з
510. — І - Л
2 / ( 1 —
511. ^ ! ± 2 2 ! L . 512.
/ ( л ; 2 + а 2)3
а2 / а
2+
и4
6 1 3 . ------ . - 2
------ - .514. и' (1) = 9. 515. у ' (2) = — У 3/3. 516. 0.
3 » А (2 * -1 )*
2 { / ( х *-Һ2)1
1
— COS X —х sin X
... X —sin
------------------. 519. ------ ------------- . 520. (pcosffl.
517. cos * — sin x. 518.
(1 — cos* ) 2
a:2 cos-a:
521. (a cos a — sin a)
----- Д г ~ 'j ■ 522.
*
a2
siria a ) '
1 -J- cos t '
523 sin * + 9 5 s x-\ -x(sin x — cos х)
1 + sin 2x
( 1 + tg дг) (sin x + x cos x) — x sin x sec2 x
524.
(1 + t g x ) 2
525. — sin 2x.
526. tg 3 x sec 3 x.
527. — sin3 x.
... , .
.„n n sin x
16cos2x
529. tg 1 x. 530. 2x — ^— . 531. — ■
— r —r;— .
cosJ X
sinJ J x
(J
528.
sin 2x (2 — sin x).
„
n
a . x
532. 3 cos Зя, 5 3 3 . ---- sm -5 - .
d o
1
1
634. 9 cos (3* + 5). 535. ------------ —■. 536.
2 cos 2 —
538.
cos (sin x) cos x.
539.
t
.
> 1
+ 2
— 12 cos2 4x sin 4x.
cos —
-----------. 5 3 7 . --------tg a: ■cos2 x
**
540.
' / * ? ■
541.
542.
/ 1+ * 2
------------ ------ 2*
---------. 543. 4 (1 + sin2 x f sin 2 k .
3 s in 2 / і + л ^ у ^ І + А:2)2
sin
544. ---------------------- - J - . 545.
2 * 2 cos2 (* + i ) | A + t g ( * + - ] - )
X sin (2 cos 3 a).
546. - 3 s i n 3 x x
V x{l+ V x)
X
arc sin x + - -- — .
/ 1 — л2
548.
2
JT
---------------------, - — ■.
2 (arccos л: ) 2 / 1 — a-3
549.
ЯВА. 2 arc s l n 551. arcsin jt. 5 5 2 . -----------------— -------- : . 553. sin a: arctg jc +
/ 1 — *2
(arc sin л: ) 2 / 1 — x 2
, x sin x . . .
x + arcco sx / l — x 2
a rc tg * , / *
+ x cos x arctg x + T—;— 2 . 5 5 4 . ------- !---------- -!■ ------ . 555. ------ ---- + —----- .
1+ * 3
ж2 / П ^ 7 3
2 V x
1+ x 2
„„„ ' „
1
cro
2 a:2
/ 1 — x 2 + x arcsin x
=»■ »• “ »•
-jT jH rr
5M - - n w
559- —
l O r S f " "
560.
—^ ------- ,
arctg x
,,f
(1
.— s .
2 а:
2
ив.
564.
561.
+ X2) (arctg x)2 '
- ^ У ^ -
ccr
*
1
у
2
л: — л2 '
cos л:
562.
сси
/
1
2
1
— — ------------- 5 6 8 . --------- -----------------------— xa | / 1 — (arccos x)2
( 1 + .v) \ 2 x ( 1 — a:)
________*4~ i______________
56 ‘ 8 / ( a r c s i n У
+ 2 x jJ /
-
/ і +
| / ->
2
л — 2 ** ‘
arct 8 ^ —,
[S K T • * • — Т + Ғ --
arccos jc
667.
-
*
( 1 — 2 x — a;2) ( * * + 2 x ) ’
X COS X
,„n
299
ОТВЕТЫ
™- т& Л , - 572' г т г Ь ч - * я - 2' | 0« > * + г а -
ио574. Л
2
і.
575. І Е І + І . 576. — '
. 577. £ І £ І ^ ± І ln 2 .
ІП І°
2 л :]/Ъ л :
xln^x
*
5 7 9 . ------ Д т - *
л In 2 x
578. sin л: ln лг + a: cos лг ln л: + sin л:.
m 584.
- H h W
'
s in 2
5 9 0 . ---------------- ?
592‘ (ах + Ъ)[ 1+І пЦах + Ь) У
594.
595.
696.
587.
'■
c tg * . 588.
2*
^ лC * » -J)In 3 ‘
591. 4 In 3 sin л ctg x .
arcco s 2л:
jc
^тгг— .
x n+l
'~+ И [ Г + ^ ‘ -
“ j-
' П* = . 585. - - r - Д - . 586.
J t/l+ ln * * '
* -2 * '
jc2 — 4jc'
689. ■. -
580.
« d + ln sin j c j - i c t g * .
x logs * log 3 (logr, x) ln 2 In 3 In 5 '
_____________ x ______________
arctg У 1 + x 2 ( 2 + x2) У 1 + X*'
6x2 arcsin [In (a 3 + x 3)]
(a? + x3) Y 1 — In 2 (a 3 + д:а)
, x -f- 3
Ctg --- Г—
Б97.
—
5-----
0
598.
2-v ln 2.
599.
10* ln 10.
6 0 0 . ------
1 2 | / . n = si n '- + 3
3
4
601.
4~x (1 — x ln 4).
602.
1 0 * ( l + * l n 10).
603.
ex ( [ + x ) .
604
1 —x
ex *
635. - - - - ln 2 — ^ + 3 *Г— — . 606. ex (cos x — sin x).
607. - ** (sin x — cos x).
ex
sin2 x '
6 0 S. _ ? i n . t + cos * eo9> ( І п / - Щ п _2 2Х/\пХ' 610_ Зд;2 _ з * 1 п з_ 6 | , .
e*
ex
In 2 x
'
'
2 У 1+ех ’
9p*
2 . 1 0 л 1п10
e*(x — П 2
612. e-v(, 2 + 1 ) . 613. _ j £ _ .
614.
6,5.
eV x + l
616. ex (cos x-\- sin x - \ - 2x cos л:). 617. — e~x . 618. 2 • 102 t _ 3 In 10. 619. — — .
2 ү jc+ 1
620.
2 * In 2 • cos (2*)..
621.
3sin x cos x In 3. _ 622.
3 sin2 x cos x asin' * In a.
o „ a rc s in 2 i
„ Ү lu x
В9Я. — ------------ 624. 23* ■3* In 2 ln 3. 625,
У 1 — 4*-“ ’
2x У ] n x
626. cos (ex2 + 3x “ 2) ex*+ 3x ~ 2 (2x + 3).
627. — 12 • 10l - sin,3,c ln 10 • sin3 3a;cos3jc.'
62g_
(2M + b ) / lntMi + to + c>
2 (ax2 + bx + c) У In (ax2 + bx + c)
ctg -{/'arctg
^ a r c t g (e*x j) езх
e*x
629.
(1
632.
^
_ 2a&2jcg- b^ . 631.
+ eeax)
uc) у [arctg (e«)J 2 ‘
A e ~ k‘x [<d cos (<ojc + a ) — k 2 sin (юх + a)].
633.
axx a ( ~ + ln a J .
300
ответы
634. 3 s h * * c h * . 635. th * . 636.
_ L j.
637.
638.
2sh2*
639. sh (sh лг) ch x. 640. - h-* ■■. 641. ec h 2 x sh 2x. 642. — - Д ------. 643. x c h *
2 У ch л'
лг ch* (In дг>
- л "л л 6 4 4 .--------- 3 th *
2 ch- x у 1 -f- th- x
64S
(4
645. ---- !-----. 646.
4 ch 4 —
+ / ^ sh 2 .v +
2 {2x- Y x — \) ch 4x
2x-
649.
[(3x + 2 ) s h x - x e h x l - 650. x 1' +
65!.
^ l n - x - f - l n x - f - j . 652. (sin -t)co’ x
« . (
l
n
1
(2 In x + 1>.
* — sin x In sin x j .
«4.
655. > V ; sin 2 r (3 + 2л;'-+ 2^ ctg
657. 2*«—
- . 647.
1 — sli* je
1
}/ c h x — sii л:
2
. 656. -
2
(* ~ 2) У .+ -1 и + 11
3 ( x - 5 ) * £ 'u + l ) -
I n , . 658.
20 (x — 2) (л' — 3)
Y ( x —3/1
0v \
sin x И - e* (■- + C tg * - T • T- i j ) .
I . /■_______ ______ / I
659.
22 -
6Ө0.
-----!-----------------1 / -— arc-s-n * . 661. X х
—
У 1 —~x- [(arcsin x)- — 1 ] f
l+ a rc s in x
v
X
t
664. к
66&
668.
<2 -b ln дг). 665. (* » + !)* " *
е і ^ ! + 1 і / # ± 5 .
С.Х{1-Х*) V
(•* — I)"
---------- . 669.
/Vcos-f ^ + ^ j
2
V
*
* + c o s х In (х- + 1) j .
667. < і ± £ *
ух1
-\У'2рх V i p x
673. ------- ' Һ - Л --------. 671. ------672.
I - Н * ” — 3 x - r 2 j-
-(I-ln x f.
sin 2л: (cos х — 2J.
(x — c o sx > ln 10
‘+ 2 / *
2
1
301
ОТВЕТЫ
687.
. 6 8 8 . a rc tg V x + TT. y ?
Y x 2-\-a2 (1 + * )
689. ------І Ц О + З ^ * ) - _ _ 690_ co ^
COS2 X
У
1 +
tg 2 X +
tg 4 X
_
s.n 2x ,n
2
x
691. I ± 4 692.
WC0S*
693.
1 + ■**
Y 1 — n 2 sin 2 x
2 У sin x — sin 2 x
c„ .
. .,
, 0
- n„ x arcsin x . . .
1
. arcsin x
1
694. sin5 3* cos3 3*. 69o.
. 6 9 6 . -------smV l-x*
2
2
> 4 -* *
697.
1 + 2 V ^ + 4 ^ V T ^
69g_ . .
&VxV x+ YxV x + V x+ Y x
699.
sin
A'2
3
2 ^ 3x
9x2
( Ц ^ ) ] • 700.
2* ~ C0S *
L \
*
IУ
(jc 2 -S in x )ln 3 ’
[2
7 0 1 . -------- -X -------. 7 0 2 . --------- ---------------------7 = = r .
2 V \ —x*
x Y l —x^ix + Y l
1
703. arcsin (In x) + y = =
iO a .-----.
Y
2
sin 3
1 +
jc
-
—
X*)
2ex
704.
/ 1 _c * \
.
s ill2 X
706. —0.8 ^cos
' — sin 0,8* j fsin
707. I 0 ^ ( l + 1 ^ 1 »
10) .
- + 0,8 cos 0 ,8 jtj.
708. - , s 2 J te, a > .
7 0 9 . ------------------^-1------------ ;— . 710.
1
'
(x2 + 2 x + 2 ) arctg
1 +JC
, i i . ________ . , » + *
1
Y x2 - Г
712. d 5 ± £ £ i .
2 У х + З У (І+ хУ х+ З}*
t V l + Yx
sin 2л:
„
. , , 3* 5
7 1 3 . ---- —■-----. 714. 3 * 2 arctg *3+ — —r.
2 Y (1 + sin 2 J t ) a
l + x *
c tg z l n c o s A i + t g x ln sin *
c -ш Г\— х
7 ,s- ------------ щ гщ ц ----------- • m
4
/ _ Г I __ 4 x
717. л ' л- іі 1 / T T ^ T ~l~arcsin
(1 — 4лг) 2 \ r
1 + 4*
V r+7\
gVln x
) • 7 1 8 . ------- =-^— . 719.
J
x l n 2x
720. 10x t s * ln l o ( tg j e + - 4 - V
\
721. 2 sin x (x sin
2
729.
732.
2 sin x
x 2 + cos x sin x2). 722. -------------
cos 2x у cos 2x
2 — 3x — x3
(1 - * ) ( ! + * * )
723.
726.
jc c o s
C O S2 X I
lI ' /
r
1
X 724. ~r~ ~ — 7 * 725. 2x/]nx ■ln, JC..l + x 2‘
1 — x4 '
In -*
2 (2
—
• 727.
x - b ‘
a+ x
A'2
730.
cos2 x +
sirl- 2*
Vx*+1
-
- . --------733.
r--------------
Y ( x * - l ) 3-
.
,
1)
72g
‘
1
1
/
(1 - j - x) Y 1 — x l
731. — cos 2x.
v ilU
74 J
J
—..........................
— COS .V ,
(1
-I-* sin дг).
'
In 2.
Ы
зоа
О ТВЕТЫ
2 е -2 *
735- (і л-е-і х) (arctg'Ү - * х ) і ‘ 736-
1 0 e* « n 3 * .
р __Ү • х*
70
Q
у
70
_____________ __________ ;____________
■
737. 9 jc2 arcsin я.
4 ^ V ( l+e- ^ r '
Л
___________z __________
'У 2 + ъ = *'
740
(cos х
sin х)(е* + е~*)
?4J
arctg л:
ех cos х + е х sin х
'
У ( { ^ - х 2^ '
sin (х — cos х) ( 1 + sin дг)
„ .
„
742- --------cos2 (л- - cosTj--------• 743sm х с
744.
.7 4 5 .
55 У (9■+ 6 ' / і
» ) 10
,, , .
+ ctg дс— 3 tg х).
(1
1
--V е 2х + 4е* + 1
ga rc tg 1^1 + In (2* + 3)
746.
(2х + 3) [2 + In (2 * + 3 )] V T + ln (2* + 3} ‘
747‘ Т Г І ■Xyr[^x(fix + e ' x) - ( e x - e - x )].
748. i ” .( 1 ± -sln-f l
(ех + е х )2
'
1
п
sin 2 х
п*п
40
yS j_ 1
x'L
2 x — З У 1 — 4л:2 ‘ 750‘ x 4 (*a + 1 ) • 751‘ У 1 -^'2x — J "
752. ± _
*
+ c tg * . 7 5 3 . (l + 2 * 2 ) s i n * + * ( l + * 2 )c o s«
*
_ ут+^
s
(* » -3 2 x -7 3 )(3 -* P
755>
Эе*'* (2 + / І )
2 (* + l)“ / * + 2
^
10 V ^ ( l+ * / * ) *
J-2 —arctgjf-f^- In -t+ l
756. ( 2 * - — L J f ---------------------------- .
\
1 + X2 j
у x
758
eX агс^ х Г] I
J5g
Шх
I
X
( 1 + *2) arctg x
(1 - *2)
cos х ГЗ - 2 х - 3x2
(arccos x)3
|_ 1 — x 2
760. 4 У (x*+a*)3.
ctg тг I
-I________ - _____________5
761. (arcsin л:)2.
763. ---------!--------——
-------: .
aemx + be~mx '
757. — I — .
cosS J#
764. —
- Л5—- r ..
x :i -|- 1
4
1
3
|
— x'1 arccos x J
762. e
e*
е~х + л х '
765. — ~ \ F •!—r — •
x V 1+J
ln tg 2 ;e
2
y4
ОиуЛ"1
7
J*
У
2 sin2 T /
3x 2 4- 10x + 20
■=
= - 768.
767. ---------------Л
15 (x2 + 4) \ У (x — 5 ) 2 У x 2-\-4
769- - ^ Я +
~|
ln x
. (
,
+
1
,2
,- r •
+
/. и л
- если « - ч е т н о е число, и -
лл ПП Я -
• если
нечет*
0
24х3
ное число. 770. ^ ^ 8j.3y •
и
д
а)
о
п
а
#
л _ Йа
,
*
) уя- 1 + 9. Гп2 — п х п — п [ п — 1 ) «"
б) ---------------------- (1 — JC)»
вовать значение суммы х + x2 + ••■ + *"•
1
уызанж
исполы
803
ОТВЕТЫ
77в. ү \ ~ у г е~ і г Ы п у и
779.
— 1 ■— .
г /З Г ^ ё 5'
777.
3
^
^
780. а ' (х) =
1
’
ле[1 + 1 п а (* )]'
781. (Arsh Jc)' = p r = = = ; (Arch , ) ' =
«'
,«0
784-
3^
790. — 1/a.
,„ г
a*»
4
.
; (Arth * )' = ^
’
785. - \ —
791. - 1 / 4 .
2
Г(1 - ^
4 1
792. - ~ j .
- / 2 .^
793. -
у
804.
m2. , - ' ,
(l+ ln //)
^ ІПУ. 805. x 2~ x y In x
807. — л / — . 808.
^
p ^ J .
y - ~ 2x3
2^ = ^ _ у cos2 (x + У) (cos (xy) - sin (ay)) — 1
’
x cos2 (х-'гУ) (cos (xy) — sin (xy)) — 1
_ 3x 2 + 2axj/ + fet/!!
дл: 2 + 2йл:г/+ 3 (/2 '
2
794.
2a
3a 2 cos 3x + y2 sin x
— 2 -t
+ ^ '
Y Y = ^ t
79S- ------- 2 ^ T x -------- ■ 796,
1
.
- d + ^ ) * . __________ 1
-
1 3 7
.
x
797, F ^ '
воз.
1
— jc2 (l —
, ■« ": <* +* L .. 806. + sin (x + y)
1
1
7
1
—y2)
+ -У.8І^ > - .
x sm (xy)
еУ
2- У '
809. — — ---- -------------------- . 810.
2 sin 2 y — sin y — x cos у '
' 1 + й а и л :'
8I1> y c q s jr + s in ( x - y )
812> l + £ _ 814_
sm (x — y) — sm x
y816. г/ + 4л: + 4~=0; 8 y — 2 * + 1 5 = 0; подкасательная равна 1/2; поднор
ш л ь р а в н а — 8 . 819. а) іг = 0, t2 = 8; б) ^ = 0, t2 = i , / 3 = 8 . 820. 0,01815 Дж
821. оэ = 13 рад/с. 822. а> = 2 я рад/с. 823. с о = (2 at — b) рад/с; скорость обра
тится в нуль при * = < ^с. 824. 23 А. 825. (0, 0); ( 1 , 1); (2, 0). 827. (1, 0);
(— 1, —4 ). 82 8 . у = 2х — 2; </ = 2 х + 2. 829. 3* + i/ + 6 = 0. 830. Касательная
у — Уо = (х — х 0) cos х 0; нормаль I/— г/ 0 = — (х — л:0) sec х0.
831. Касательная
Хо (У — Уо) = х — х 0; нормаль (у — Уо ) +х а (х — х 0) = 0. 832. К асательная х + 2 і / =
«= 4 а; нормаль у — 2х — 3а. 833. Касательная у — уа
(jc — Jf0); нор*
i/o (2 a — х о)
(л: — х й). 835. Подкасательмые равны соответствен*
маль у — уа = —
Хй \^а — Хо)
но */3, 2дс/3 и — 2х; поднормали равны соответственно — З.г5, — Злс3/2 и х2/2.
836. у = ? ° ( х — *0- ) ; у - у 0 = - 2- ( х - х 0). 837. 2л:- < / + 1 = 0 . 838. 27х —
1а\
1 /
хп
— 3// — 79 = 0. 839. 2л;— (/— 1 = 0 . 840. 4л: — 4/у— 21 = 0 . 842. 3,75. 844. * +
+ 25{/ = 0; х + у = 0. 845. (0, 1). 846. у = х. 848. л: — г/ — Зе 2 = 0. 849. 2 / ^ 5 .
850. ( l + j- ^ 3 /2 , l) . ^57. 2л — / / ± 1 = 0 . 858. Если у — } (х) — уравнение дан­
ной кривой, то уравнением искомого геометрического места будет y = x f (х).
б) П арабола у ^ = ^ р х ; б) прям ая, параллельная оси Ox, у =
Каппа
1/
У а 2— л:2 + я 2 = 0;
18
«= arctg g j ;
2) arctg
8
г) окружность
860.
х 2-\-у2 = а.
1) arctg 3; 2 ) 4 5 ’.
859.
861. 90е.
в) кривая
1) ф х = 0 ,
ш2 =
862.45° и 90*.
304
ОТВЕТЫ
863. arctg 3. 884. arctg (2 У 2) . 865. При нечетном п касательная
х
~ = 2,
и
нормаль ах — Ьу — аг — Ь‘! . При четном я касательные — ± ~ - = 2, нормали
о . 1ах ± Ьу = а2 — Ь-. 879. Ау = 1,461; d y = 1,4. 880. Ду = 0,1012; dy == 0,1;
=0,9880. 881. 4. 882. —2. 883. A f/= 1,91; d i / = l , 9 ; Де/—dt/ = 0,01;
: 0,0052. 884. Д(/ = 0,1; dy = 0,1025; A y - d y = — 0,0025; ^
885.
886.
Д х=1.
А^/ = 1 8 ,
dy= 11,
A y — dy = 7,
б==Дy p d y ^ Q z y
Ay
^
Ду
J L
d
Ду
Ay — dy
ДU
= - 0 ,0 2 5 .
0 ,0 1
0 ,1
1,161
0,110601
1,1
0 ,11
0,061
0,000601
0,0526
0,0055
Д (/=»1,3; dy =» 1,1; A < /-d i/« = 0,2; б = ^ ^ = а 0 , 1 5 . 887. а ) Л / = 1 6 ,
^ ^ %
= 5,88% ;
= 0,62% .
б) df/ =
8
, f c ^ ° / o = 3,03% ;
в) Л /= 1 ,6 ,
888.
a) tfy = 4,8 см3; б) d^ = 6 , 0 см2; в) ^ —9,6 см2.
5 dx
„
4dx
dx _
d.t
889. 1) ° ’^ d x , 2)
; 3) -% A:r- ; 4)
5> XI
4х \ х
|/ х
3 | х-
plnq
0) - ^ Ц - ; 7)
djc
=; 8)
Зпх Ү х ’ ' 2 (а + Ь ) У х ’
9) _ 0 , 2 ± t n - n ) dx; 10) _ (m + n)d_L '
х ■
11
2
dx;
хVх
) |@ * + 4) ( х * - У $ + ( х * + 4х + I) і 2 х - - L J J dx;
12> - ( 5 = ^ : 13>( Г ^ :
7
dr
18) - ■
І4)
іб) б Ь іг д г З Д п б ^
17) - 2 - ' / COSJrl n 2 i ^ d x j
7
e tn V
rn < 5 “ V
sin
2 ixr
(x2 — 1 ) sin x + 2 x cos x
dx;
19)
(1 _**)*
2 sin 2
1
\z К arcsin x Y
22
) f 3_
\
, / 't2
1
—x2
. 2 arctg
4 ----------~
1 +x*
x\ ,
)dx;
J
...
2 1
)
I
{) ’ l - x -
\ dx
l-j-A
2
■ v, • In 3 + 9.v2— 2 - \ dx.
A'J
v xj
890. 1) —0,0059; 2) —0,0075; 3) 0,0086; 4) 0; 5) 0,00287 . 891. Д р яа
= 0,00025; sin 3 0 4 ' я=, 0,50025.
892. 0.005S2. 893. —0,0693. 894. dp =»
= _ A i E j 2 ; rfm. 895. 0,3466. 896. sin 60°03' = 0 ,8 6 6 5 ;
sin 60°18' = 0 ,8 6 3 6 .
J 7 co« 2 (p
899. 0,995. 900. arctg 1,02 =» 0,795; arctg 0,97 = 0,770. 901. 0,355. 902. 0,52164.
gf
803. а) Изменение длины нити: 2 ds = ~^df;
б) изменение стрелки
провеса:
31
df= ^jds.
904. Погрешность при определении угла по его синусу: Дх5 =•
= tg х Ay;
погрешность
при
определении
угла
по его тангенсу:
А х т =*
305
ОТВЕТЫ
= -i- sin 2х Дг (где Ку, Д г— погрешности, с которыми даны величины у и z);
A*s
1
Д-с7
COS2 X '
точность определения угла по логарифму его тангенса выше,
чем при определении по логарифму его синуса. 905. 0,3% .
<2f i + 4 t + 7 ) < P + * > d t
.
_ / sjn f l - i dt.
906. 1 ) dy-.
З І / [ ( Я + 2 < + 1 ) ( ^ + 2 / + 6)]а
1
г
2 In 3
ds
3 1 /ln tg s | n 2 tg s sin 2 s ’
2 ds
(4 a — 3) da
5) ds = 6 ) dy = " 2 / 2 «* — 3 a + I ’
c o s2s '
906. Непрерывна и дифференцируема. 909. f (x) непрерывна всюду, кроме
точек а = 0 и х = 2 ; / ' (х) существует и непрерывна всюду, кроме точек х = 0 ,
1, 2, где она не существует. 910. При х = к я , где к — произвольное целое
число. 911. Непрерывна, но недифференцируема. 912. / ' (0) = 0. 913. Непрерывна, но недифференцируема. 914. Ду и Д х— величины различных порядков
малости. 915. Н епрерывна, но недифференцируема. 916. Д а ; нет. 917. а.
918. а ш а(Р. 919. Абсцисса изменяется со скоростью vx = — 2 т sin 2<р; орди­
ната изменяется со скоростью vy — — 2 г а соз 2ф. 920. Скорость изменения
абсциссы ^ = y ( l + c o s < p ) ; скорость изменения ординаты vy = и sin ф (ф— угол
3) dz = — ds; 4) dv =
между осью ординат и полярным радиусом точки). 921. —
0, 000125р.
922. 2 ед./с в точке (3, 6 ) и — 2 ед./с в точке (3, —6 ). 923. 2 см/с в точке
(3, 4) и —2 см/с в точке (—3, 4). 924. В точках (3, 16/3) и (—3, — 16/3).
925. 4 у и 2av. 926. 2 л и и 2лги, 927. 4 л r2v и
и при х
934.
=
2т;
2
929. При x = 2 n k .
1) х2— 18x-f 9 ^ = 0 ;
.ч / 4 +
л*; 4) ^ = 1 ,
<2
2 (1
928. При х = 2 к к ± ~
930. В 1/я 2 раз. 932. а) Д а; б) нет.
2) у 2 = 4 х 2 (1 - х 2);
= Arccos(1 — у) + V 2 y - t f - ; 5) у =
3) / =
8 .xrv.
3) у 3 = ( х - 1)2;
4) х =.
935. J ) / = (2А + 1) л; 2) 1 = 1;
1 -{-х-
= — 1. 936. —
c t g ? . 937.
1§ф. 938. c t g ^ - ,
312— 1
. __ t
__
costp — ф s in ф
1 + /939.
943.
940. — 1. 941.
942.
2t
•
1 — sin ф — ф соэф ‘
t( 2-{-2t — tJ) "
t- te <
944.
9455- ^т~— гтт. 946. — 4/3. 947. 0 и 1/3. 948 He существует.
1 + tg* •
1 — 2іЛ
949. / 3 / 6 . 950. 1) t = n / 2 + a ; 2) <= л - а ; 3) t = л / 6 + a /3 , где a — угол,
образованный касательной с осью Ох. 956. 1) Кривь;е пересекаются в двух
41
точках под углами ct1 = a . , = arctg ■ я=87°12' 2 ) кривые пересекаются в трех
точках
под
t)
■3<
углами
длина
= a , = 3Q
нормали
N =
cos
sm 2 1
</ctg-|<
и as= 0°
длнна
поднормали
3,
2
S„ =
958. Длина касательной Т =>
длина
подкасательной
S T =>
t
У tg o-<
959.
4
I-JL.
sin ^
У
У
I J/ ctg < 1 H y i g t \ . 963. x-\ -2y —
sin t
cos I
— 4 = 0; 2x —(/ —3 = 0 . 964. 4x + 2 ( /- 3 = 0; 2 x - 4 j r + l = 0 . 965. i/ = 2, x - 1 .
|i / t g < |
COS t
и \ y c i g t |. 961.
966. 1) 4x+3</ — 12a = 0; 3 x -4 ( /+ 6 a = 0 ; 2)
K2/16; j / - x = n / 2 / 2 ;
306
О ТВ ЕТЫ
3) у = \ - \ - х \ п а .
969. p = 2 a c o s t .
2) 0; V"3; — У з . 977. ^
II (г)
^
970. Ө = ф , а = 2ф. 974. 3; —3. 975. 1) 0;
= t g 8 . 978. arctg \ Ы* = arctg ~ ф. 979. р а
О
о
= Y a2 cos2 t- \-b- sin 2 1 ; ф = arctg (- - tg / ); тангенс угла между касательной и
,а
2 ab
полярным радиусом равен
_
_
. 980. Полярная подкасательная 5 Г =
= й р ’ поляРная поднормаль S N = e~ . 983. р / 1 п а. 984. р In а. 985. Y
V l+ ~dx
986. г / У г* — х 2 = г/у. 987. У b*x2 + a*y2/ b 2x. 988.
989. | /
1
+ а2.
или —У ''г р dx >
у
990. У 1 + c o s 2 x d x . 991. £ l ± £ _ l = y . 992. r . 993. 2a sin y .
І+ д ^ .
994. 3a cost sin t d t . 995. a Y \ + l 2 dt.
996. 4a sin - ^ d t .
997. a c i g t d t .
998. at.
999. a Y c i i W d t . 1 0 0 0 . 3/2 м/мин; вектор скорости направлен вертикально
вниз. 1 0 0 1 . Ю уТ ^бям бІ км/ч; вектор скорости параллелен гипотенузе прямо­
угольного треугольника, один катет которого горизонтален и равен 50 км,
а другой вертикален и равен 10 км.
1002. 14,63 км/ч. 1003. 40 км/ч.
1004. Дш ( sin а -\------ S'n 2 а ■- ' j . 1005. 9,43 м/с. 1006. 2. 1007.
2 / / 2 — R 2 sin '2 а j
1008. 207 360. 1009. 360. 1010. 6 ( 5 ^ + 6 ^ + 1 ) . 1011. 4 sin 2х.
1013. — 1/2. 1014. 51/(1— ,)®. 1015. 6 / , . 1016. а л (я + 1 )/,л + 2 . 1017.
1018. 2 • (— \ )п n!/(l + , ) л+1. 1019. 2е*2 ( 3 , + 2 , 3).
Ю20. 6 , (2 ,31021.
+ 2 a rc tg , .
1024.
1022.
— а 2 / ] / ( а * - * 2)3.
.. 1025.
(а + > ^ ,) _____
Ю23.
— 24*.
1012. 4/е.
16а sin 2ф.
1) /( . * 3 + I)3.
— , / / ( 1 + , 2)3.
4.v *[/ л:
1026. — arcsm
. 1027. a [cP — 1 ) sin x J Y ( \ — a2 sin2 ,)? .
K (1 - , T
1028. ,•* [(In л :+ 1)2+ 1/,]. 1029. a"e«*. 1030. (— l)« e -* .
1031. a" sin (ax-\ -rm/2) -\- bn cos (bx + nn/2).
1032. 2n~1 sin [2 , + (ft— 1) я/2]. 1033. ex ( x + n ) .
1034. (— 1)" (ft — 2)\/xn~1 (ft2 s2 ).
1035. (— 1)« л " /і!/(а ,+ &)'•«.
1036. (— l) " - i a" ( n - 1) ! /( « ,+
v
/
1038. ( - 1 ) »
6 )".
1037. (— l)n-i l l Z - D L ,
'
x n I 11 a
n\
2
1039. (— !)««!
(JC_j_ 1)«+i
1
1 (*_1)Я+1
1
( , — l )ra+1
d-x
d2y / [ d y \ 3
1056.
1057. — 2r3x/y*. 1058. — 2 (3yi +
a2//3
1059. ( 3 - s ) e 2 s/ ( 2 - 5 ) 3- 1060- — 2 a 4 y / ( y 2- a x f .
8 y2
1061. — M l — co s(, + y)]3. 1062.
і^з ^
1063.
= ^ / ( g ) 3 . Ю64. 1/A
Ю65.
+ 5)/y9.
‘
307
О ТВ ЕТЫ
,069.
* ‘
%ЬЧХ
,070.
* « -------- 1071.
tfi
a sin3 1
1 0 7 2 . ------ n— ------- - .
a ( l — coscp) 2
36cOS<
'
a3 sin? t ‘
г пч 2 f __ 4 c in 2 f
1
1073. 1) Q ,
3- -; 2) 0, так как x + y = a.
9aa cos7 1 sm3 1
’
1074. 1) 4 / 2 ; 2) ’
1075. — —
1080. 16 м/с*. 1081. v =.
'
’
l — /2
a (c o s /— / sin 0
- 2 i - 4 , a = 2. 1082. — я 2/18 см/с2. 1084. — 0,0015 м/с2. 1085. — 1/8 м/с3.
П
1088. 1) (x2 — 379) sin x — 40* cos x\ 2) ex ^
Ckn sin (* + fct/2);
3) a"a :3 sin (a x + лл/2) + З я а ^ х 2 sin [ax + (n — 1) я/2] +
-j- 3/г (n — 1 ) a n~2x sin [ax + (я — 2 ) л / 2 ] +
+ rt ( я — 1 ) (n — 2) a n^ sin [a x - j-( « — 3) л / 2 ].
1093. f/(2rl! (0) = 0;
(0) = [ 1 - 3 - 5 - . . . - (2n — l)]2.
1095. у 1*»-» (0) = 0; y l2n>(0) = 2 • [2 • 4 . 6 - ... • (2n — 2 ) ] \
1096
2dr2
.
. 1097. m (m — 1) ( m — 2) x ^ " 3 d x3.
9JC j / X
1098. 4 ( x + l ) ( 5 x 2 — 2 x — 1) d x 2. 1099.
■2 ln 4 • (2x 3 ln 4 — 1) dx3.
4 |n jc_4 __І
x
1 1 0 0 . ab (a2— b-) sin 2x dx-/(a- cos2 x + b 2 sin 2 x)2. 1 1 0 1 . ----- _ .
-------- - dx2.
x 2 У (In 2 x — 4 ) 3
a 2 / 3 dx 2
1102 . — 4 sin 2 x d x 3 . 1103. + 3 Qf ^ ! p ( l - |- 5 t g 2 (pO d ( f . 1104.
—
Зх3 / ү / 2 *
1105.
1106.
1) d2y = - i £ — d’i x - V
’
x*~ 1
l + ^ dx2; 2) d2y = —4 sec 2 2/ dt2.
(x4 — l ) 3
1)
d2*/ = cos z d 22 — sin 2 dz2;
) d 2 i/ = a* cos (a*) ln a d2x — ax In 2 a (ax sin a* — cos a-*) dx2j
3} d 2 i/ — a/rl ln a [cos a‘‘ (6 / + 9/ 4 1n a) — ap sin a1* • 9 / 4 ln a] tW2.
2
К главе IV
1110. 1) Точка максимума; 2) убывает; 3) возрастает; 4) точка минимума!
5) точка максимума; 6 ) точка минимума; 7) точка минимума; 8 ) точка макси­
мума; 9) точка минимума. 1112. В точке xj = 0 возрастает, вточкелг2= 1 убы­
вает, в точке дс3 = — л/2 возрастает и в точке х4 = 2 убывает. 1113. Убывает
в точке Xi = l/ 2 , возрастает в точках ха = 2 и х3 = е; х4 = 1 — точка минимума.
1114. Возрастает в точке * i = l , убывает в точке х 2 = — 1; ха = 0 — точка мини­
мума. 1115. Убывает в точке X j = l / 2 , возрастает в точке х 2 = — 1/2; х 3 = 0 —
точка максимума. 1125. Три корня, принадлежащих соответственно интервалам
(1 ,2 ), (2 ,3 ) и (3 ,4 ). 1127. sin Зха— sin 3xx = 3 (x2 — x{j cos 3£, где х і < £ < х а.
1128. a ( l — In a) — b (1 — ln b) = (b — a) ln g, где a < S , C b . 1129. arcsin [2 (xa Ң+ Дх)] — arcsin 2xe = 2 Дх/>^1— 4£2, где x 0 < £ < *o + Д*- 1135. При х - ь -Q
£ стремится к нулю, принимая не все промежуточные значения, но лишь такую
их последовательность, при которой c o s~|~ стремится к
1137. 0,57. 1138. 1,0414. 1139. 0,1990.
нулю.
1136.
0,833.
1140. 0,8449. 1141. 1,7853. 1149*. Тре­
буемое неравенство вытекает из возрастания функции y = ^ t
в интервале
(0, п / 2 ) . 1150. (— со, — 1) возрастает, (— 1, 3) убывает, (3, + с о ) возрастает.
1151. (— со, — 1) убывает, (— 1, 0) возрастает, (0, 1) убывает, (1, -fo o ) воз­
растает. 1152. (— со, — 1/2) возрастает, (— 1/2, 11/18) убывает, (11/18, + о о )
возрастает. 1153. (— со, 2а/3) возрастает, (2а/3, а) убывает, (а, + о о ) возрастает.
1154. (— о о , — 1)
возрастает,
(— 1, 1)
убывает,
(1, + с ю )
возрастает.
U 55. (— 0 0 , 0) убывает, (0,1/2) убывает, (1/2, 1) возрастает, (1, -fo o ) убывает.
308
О ТВ ЕТЫ
1156. (— оо, 0) возрастает, (0, + о о ) убывает. 1157. (— оо, 0) убывает, (0 ,2 )
возрастает, (2,
со) убывает. 1158. (0, 1) убывает, (1, е) убывает, (е, + о о )
возрастает. 115Р. (О, 1/2) убывает, (1/2, + о о ) возрастает. 1160. (0, я/3) убы­
вает, (л/3, 5я/3) возрастает, (5я/3, 2я) убывает. 1161. (0, я / 6 ) возрастает,
(я / 6 , я/2) убывает, (я/2, 5я/6) возрастает, (5я/6, Зя/2) убывает, (Зл/2, 2я) воз­
растает. 1162. Монотонно возрастает. 1163. Монотонно возрастает. 1164. (0, За/4)
возрастает, (За/4, а) убывает. 1165. у т К с = 0 ПРИ * = 0, (/мин = — 1 при * = 1 .
1166. f/макс = 17 при х = — 1,
—47 при х = 3 . 1167. !/макс = 4 при JC= 0,
«мин = 8/3 при х — — 2 . 1168. г/м,„ с = 2 при х — 0, у ят = Ү А при х = 2 .
1169. 1/ма„с = 1 / 1 п З при х = —3. 1170. г/иакс = 0 при х = 0. 1171. Умакс = ° ПРИ
* = 0, і/мнн = — 2/3 при х = \ . J J 7 2 . (/„„н = 2 при х = 2 / 3 . 1173. (/„акс = 1^205/10
при х = 12/5. 1174. (/ыакс = Ү а* при х = 0, у т н = 0 при х = ± а. 1175. у и1т = 0
__
gJ
при
*=0.
1176. Монотонно возрастает.
1177. y„SKC= -5 - / 1 8
при х = 1 / 2 ,
О
</мин = 0 при * = — 1 и при * = 5. 1178. (/макс = 2,5 при х = 1 , у та — е (4 — е)/2
к=1,76 при х = е. 1179. і/макс = 1 / 2 при х = 0, у шн = я / 8 при лс=1. 1180. f/MaKc = 0
при * =
0
3 /3 -2 я
1Ю 1 1 0 1
6 л / 3 — я 2 + 18
.
, у шш = — —^ ------ при х = 1 / 2 . 1181. унаКо = -----------gg-----------« s i , 13
при х = ± л / 3 , ffuml= 1 при д: = 0. 1182. 1/иакс = sin у +
—
36 У 3 — 12 я У з + 72 — я 2 -f- 6 я
i----144
Умин = — 1/я при х = 3.
а >
0,
то «/тн =
2
при
х = л /6 .
1184. Если a b ^ O ,
/ о й при дг=
2 ^ - 1п
при х =
1183. у Макс==*/л
экстремумов нет.
е с л и аЬ >
0
и а <
0
у ш:п =
при
,
ж = 1»
Гели ab > 0 и
, то г/макс = —2 / о б
при x =
I n - . 1185. 13 и 4. 1186. 8 и 0. 1187. 2 и - 1 0 . 1188. 2 и — 12.
г
2р
а
1189. 10 и 6 . 1190. 1 и 3/5. 1191. 3/5 и — 1. 1192. Наименьшее значение равно
( а + й ) 2, наибольшего нет. 1193. я /2 и — я /2 . 1194. Наибольшее значение
равно 1, наименьшего нет. 1195. Наименьшее значение равно (1/е)1^ , наиболь­
шего нет. 1196. У 9 и 0. 1197. я /4 и 0. 1208. 4 и^4. 1209. 1. 1210. 6 и 6 .
1211. 3, 6 и 4 см. 1212. З с м . 1213. 1 см. 1214. / 4 у . 1215. Радиус основания
и высота равны У и /я . 1216. H = 2 R . 1217. 2 0 / 3 / 3 см. 1218. 2 я /2 / 3 « s 2 9 3 ° 5 6 '.
1219. Боковая сторона равна Зр/4, основание равно р/2. 1220. Боковая сторона
0 »м
равна Зр/5, основание равно 4р/5. 1221. 2 / ? / 3 / 3 . 1222. 4R/3. 1223.
,
1224. У 2 а Р / к .
1225. 20 км/ч,
720 руб.
1226.
Ч ерез
1^
часа
1 час 38 мин. 1227. Расстояние хорды от точки А должно равняться 3/4
диаметра окружности. 1228. 4 / ? / 5 / 5 и R / 5 / 5 . 1229. Высота прямоугольника
Y
8 R 2+ h 1— 3h
равна ----------—---------- , где Һ— расстояние от центра хорды, стягивающей дугу
сегмента, a R — радиус круга. 1230. Радиус основания конуса должен быть
в полтора раза больше радиуса цилиндра. 1231. 47?. 1232. <=я49°. 1233. 60°.
1234. R У 3. 1235. 4Я/3. 1237. */3 + г //6 = 1 . 1238. а / 2 и Ь / 2 . 1239. Площадь
2
прямоугольника = — х площадь
эллипса.
1240.
Через
точку
(2, 3).
1241. С ( — / 6 , — / б). 1242. х = а — р, если а > р; х = 0, если a s g p .
1243. Сечение желоба имеет форму полукруга. 1244. Д лина балки равна
13 - м , сторона поперечного сечения равна 2 / 2 / 3 м. 1245. Искомое значение
30 9
ОТВЕТЫ
равно среднему арифметическому результатов измерении: х = ---------------------- .
1246. В 3 км от лагеря. 1247. На высоте R Ү 2 / 2 .
1248. Расстояние от источ-
I VI
I
——^
—3——;
иными словами, расстояние I, делится искоV 11 + У ^ 2 _
_____
мой точкой р. отношении V ^ i ' Ү і 2 - 1249. 2,4 м. 1250. F„s[m = k P / y 1 + /г 2 при
ннка силы 11 равно
_____
______
Dff[
«р = arctg /г. 1251. ^ 4 . 5 . 1252. 2b + Y S b / a и 2a + Y Sa/b. 1253*. ( L _ R ) ( L J^ 2R ) ’
где L — образующая конуса. Принять во внимание, что разность между рас­
стоянием от центра шара до вершины конуса и радиусом шара равна разности
между высотой конуса и высотой погруженного сегмента. 1254. І?/4. 1255. R/2.
1256. Р (р, ± р У ‘2). 1263*. 3/4. Так как функция есть константа (у1= 0), то
значение этой константы равно значению данной функции при любом значе­
нии х, например при л -= 0 . 1264. я . 1265. 0. 1267. у яакс = 4а3/27 при х = а/3,
</мия = 0 при х = а. 1268. г/Макс = й4/16 при х = а/2, </м„ н = 0 ПРИ * = 0 и при
х — а. 1209. умакс = —2а при х = — а, у шв = 2а при х — а. 1270. (/Макс = 5/4
при .* = 3/4. 1271. J/Mjitc = l ПРИ * = ! ■ Умин = — 1 ПРИ * = — 1- 1272. у тт = 1
при х — 0. 1273. у я, кс = 4/е 2 при х = 2, у тн = 0 при х = 0. 1274. у тт = е при
х = е. 1275. уЯЯКІ = \ ' е ПРИ * = е. 1276. П ри а = 2 максимум. 1277. а = —2/3,
Ь = — 1/6. 1278. Выпукла в окрестности точки (I, 11), вогнута в окрестности
точки (3, 3). 1279. Выпукла в окрестности точки (1, я/4), вогнута в окрестно­
сти точки (— 1, — л/4). 1280. Выпукла в окрестности точки (1/е2, —2/е4), во­
гнута d окрестности точки ( 1 , 0). 1287. Точка перегиба (5/3, — 250/27). Интер­
валы; вы пуклости— (— оо, 5/3), вогнутости — (5/3, + о а ) . 1288. Точек перегиба
нет, график вогнутый. 1289. Точки перегиба (2, 62) и (4, 206). Интервалы:
вогнутости — ( — о о , 2), выпуклости — (2, 4), вогнутости — (4, -f-oo). 1290. Точки
перегиба (—3, 294) и (2, 114). Интервалы: выпуклости — (— оо, —3), вогнуто­
ст и — (—3 ,2 ), выпуклости — (2, + с о ) . 1291. Точка перегиба (1, — 1). Интервалы:
выпуклости — (— оо, 1), вогнутости— (1, + с о ) . 1292. Точек перегиба нет, график
вогнутый. 1293. Точки перегиба (—За, —9а/4), (0, 0), (За, 9а/4). Интервалы:
вогнутости — (— о о , — За), выпуклости — (— За, 0), вогнутости — (0, За), выпукло­
с т и — (За, + сю ). 1294. Точка перегиба (Ь, а). Интервалы: выпуклости — (—оо, Ь),
вогнутостн — (Ь,
-{ -со ).
валы: вогнутости —
1295. Точка перегиба ^arcsin
—~ > е^ 5 ~
Интер-
л
У$ — 1 \
(
. У5 — 1
я
^ , arcsm -— ^— )< выпуклости — ^ a rc s in — ^-----• 2
1296. Точки перегиба (^ ;1 , In 2). Интервалы: выпуклости — (— со, — 1), вогнуто
сти — (— 1, 1), выпуклости — (1,-[-со). 1297. Точка перегиба ^ае3/2, ~-e~ 3 / 2 j. Ин­
тервалы: выпуклости — (0, ае3/г), вогнутости — (ае3/2, + со). 1298. Точек перегиба
нет, график вогнутый. 1299. Точка перегиба (1/2, earctS*/2) Интервалы: вогнутости — (— оо, 1/2), выпуклости — (1/2, + о о ) . 1300. Точка перегиба (1, — 7).
Интервалы: вы пуклости— (0, 1), вогнутости — (1, + о о ) . 1305. а — — 3/2, Ь = 9/2.
1306. а = — 20/3, р = 4/3. Точками перегиба будут такж е точки (— 2; — 2,5)
и (0, 0). 1307. При а ^ с —е/ 6 и при а > 0 . 1316. Точки перегиба (1, 4) и (1, —4).
1317. Точки перегиба при f = 3jx/4 : t fax (k = 0, 1, 2, ...). 1318. .sln. . - ~ sin g =
In*
a
«= I cos £,
1325.
0
.
где [ a < £ <
1326. 1.
6.
1319. е*>+еа = 2 ^ ,
1327. a /? .
1328.
1/3.
где a < £ <
1329. a / Y b .
6.
1324. —
3у a
1330. — 1/2. 1331. 2
310
ОТВЕТЫ
1332. —-дм -л. 1333. ----- — .
п
,
с
1334. —2.
1 3 3 5 .2 .
1336. In ~ .
о
1337.
cos а.
~d
1338. 2. 1339. 1. 1340. 1. 1341. 1/128. 1342. 16. 1343. 1. 1344. 1. 1345. —2.
1346. 0. 1347. 0. 1348. а. 1349. 1/2. 1350. 4а 2 /л. 1351. — 1. 1352. 0. 1353. оо.
1354
. P + f t + f . 1355. 1. 1356. оо. 1357. 1. 1358. 1. 1359. е. 1360. 1. 1361. е2.
О
1362. еп . 1363. 1. 1364. 1/2. 1366. Значения хх больше, чем значения ахх а .
1367. Значения } (х) больше, чем значения \ п [ ( х ) . 1374. /(115) == 1 520990;
f (120) я» 1 728 120;
6
|*_ioo ^ 0,03 (абсолютная погрешность). 1375. у = ± - - х .
1376. х = 0, д = 0.
1377. у = 0.
1378. х = Ь, у = с.
1379. jc = — 1, ' у = 1 - х — 1.
1380. * + £/ = 0. 1381. у = * + 2. 1382. г / = ± х. 1383. х = 0, у = 0, * + г/ = 0.
1384. х = Ь, х = 2 Ь , у = х-\ -3(Ь — а). 1385. r / + l = 0 , 2 х - \ - у - \ - \ = 0 . 1386. л: =■
= — \/е, у = * + 1/е. 1387. х = 0, у = х . 1388. лг= 0, у = х-\-3. 1389. У = -^ х — 1.
1390. у — 2 х ± л / 2 . 1391. у — х,
1392.
Если
lim ф(^) = оо, a
/ /0
Jim \f)(/)= o o , a lim ф (t) = a,
если f (х) не есть тождественная постоянная.
lim г|з(<) = й,
то
у = Ь — асимптота;
если
t —*Іц
то x = a — асимптота.
1393. x = — 1, у = 0.
t —* 10
1394. У = ^ x-f-e. 1395. y = ± - L X — І- . 1396. x + y + a = 0. 1397. * = 2, 2jc +
-}- 8 i/ + l = 0 , 6x — 40i/ + 9 = 0. 1398. Определена везде. График симметричен
относительно начала координат. у мгкс= 1 / 2 при х = 1 , у мин = — 1 / 2 при х = — 1 .
Точки перегиба графика (— У~3, — ]^3 /4 ), (0 ,0 ) и ( У 3, УЗ/ А). Асимптота
у = 0. 1399. Определена везде, кроме значений х = ± \ . График симметричен
относительно оси ординат. Максимумов нет. у шИн = 1 при -*= 0. Точек пере­
гиба нет. Асимптоты х = ± 1, г/ = 0. 1400. Определена везде, кроме значений
* = ± 1 . График симметричен относительно начала координат. Экстремумов
нет. Точка перегиба (0, 0). Асимптоты х = — 1, х = 1 , у = 0. 1401. Определена
везде, кроме, значений х = 1 , х = 2 и х = 3. у мя к с ^ — 2,60 при х ^ 2 , 5 8 ,
утт «а 2,60 при х «= 1,42. Точек перегиба нет. Асимптоты х = \ , х — 2, х = 3,
у = 0. 1402. Не определена при х = ± 1 . График симметричен относительно
оси ординат. і/иакс = 0 при х = 0. Минимумов нет. При х < — 1 возрастает,
при * > 1 убывает. График не имеет точек перегиба. Асимптоты x = z L h
у = 1. 1403. Определена везде, график симметричен относительно оси ординат.
Уят = — 1 ПРИ х = 0 ‘, (1, 0) и (— 1, 0) — точки перегиба графика с горизонталь­
ной касательной; ( ± 1^5/5, — 64/125)— точки перегиба. Асимптот нет. 1404. Оп­
ределена везде; график симметричен относительно оси ординат. і/макс = 0 при
я = 0, у№Ш= —27/8 при х — ± 1/2. Точки перегиба графика с горизонтальной
касательной ( ± 1, 0). При
0,7 и х
± 0,26 — еще четыре точки пере­
гиба графика. Асимптот нет. 1405. Определена везде, кроме х = 0. у т н = 3
при лс= 1/2. Максимумов нет. Точка перегиба графика (— >/2/2, 0). Асимптота
к = 0. 1406. Определена везде, .кроме х = 0. График симметричен относительно
оси ординат. у кин = 2 при х = ± 1. Максимумов нет. График не имеет точек
перегиба. Асимптота * = 0 . 1407. Определена везде, кроме х = 1 . (/мин = — 1
при х = 0. Максимумов нет. Точка перегиба графика (— 1/2, — 8/9). Асимптоты
х = 1 и у = 0. 1408. Определена везде, кроме х = ± У З . График симметричен
относительно начала координат. і/макс = — 4,5 при х = 3 , у тт = А,Ъ п р и х = —3.
Точка перегиба графика (0, 0). Асимптоты х = ± У З и х - \ - у = 0. 1409. Опре-
3
делена везде, кроме х = — 1. Минимумов нет. умакс = —.3
при х = — 3. Точка
О
311
ОТВЕТЫ
перегиба графика (0, 0). Асимптоты х = — 1 и у — ~ х — \.
1410.
Определена
везде, кроме х--=\. Максимумов нет. і/Мин = 27/4 при лг= 3/2. Точка перегиба
графика (0, 0). Асимптота х = 1 . 1411. Определена везде, кроме j e = l . умаКс = 0
при х = 0, t/ннн = - j
Асимптоты
при х = 5,
Асимптоты
при х = 1 ,
при х.— Ү \ . Точка перегиба графика ^— ) / 2 , — 3 "
•
х = 1 и у = х. 1412. Определена везде, кроме х — — 1. у ткс = 2/27
у та = 0 при ' * = 1. Абсциссы точек перегиба графика 5 ± 2 / 3 .
л: = — 1 и t/ = 0. 1413. Определена везде, кроме * = 0. у „акс = 7/2
і/макс = — 11/6 ..при х = —3, ft/мин = 27/8 при х = 2. Абсцисса точки
перегиба графика 9/7, Асимптоты х = 0 и у = - ~ х - \ -1 . 1414. Определена везде,
кроме д.- = 0. Максимумов нет.
— 0,28 при х «= 1,46. Абсцисса точки
перегиба графика — j / 2 . Асимптота х = 0. 1415. Определена везде, кроме .t= 0 .
(/м„кс = — 2,5 при х = —2; минимумов нет. График не имеет точек перегиба.
Асимптоты х = 0 и у — х. 1416. Определена везде. уиакс= 1/е при je = 1. Мини­
мумов нет. Точка перегиба графика (2, 2/е2). Асимптота i/ = 0. 1417. Опреде­
лена везде. 1/макс = 4/е 2 при х = 2, у ыан = 0 при я = 0. Абсциссы точек перегиба
графика 2 ± / 2 . Асимптота у = 0 . 1418. Определена везде, кроме * = 0.
£/мШ1 = е при д: = 1. Максимумов нет. График не имеет точек перегиба. Асимп­
тоты х = 0, у = 0. 1419. Определена при х > — \. у нин = 0 при х = 0. Макси­
мумов нет. График не имеет точек перегиба. Асимптота х = — 1. 1420. О пре­
делена везде. График симметричен относительно оси ординат. у мин = 0 при х = 0 .
Максимумов нет. Точки перегиба графика (_t 1, In 2). Асимптот нет. 1421. Оп­
ределена везде. График симметричен относительно оси ординат. у„акс= Ч е при
х — ± 1, </мі,н = 0 при х = 0. Абсциссы точек перегиба графика ± |А > : £ / 1 7 / 2 .
Асимптота у = 0. 1422. Определена везде. 1/Макс = 27/еЗ при д: = 3. Минимумов
нет. Абсциссы точек перегиба 0 и 3 ± / 3 . Асимптота у = 0. 1423. Определена
везде. График симметричен относительно начала координат. у иак(. = = 1 / / ё при
х — \, г/„„„ = — 1 / / е при X — — 1. Точки перегиба графика (0 ,0 ), ( / 3 , / З в _3/2)
и ( — У 3, — / 3 е~3'г)- Асимптота у = 0. 1424. Определена везде, кроме лг= 0.
Экстремумов нет. График не имеет точек перегиба. Асимптоты х = 0, у = 0 и
(/ = — 1. 1425. Определена при j c > 0 . Экстремумов нет. Точка перегиба графика
(е3/2, еэ/2-Ь J - e~3 / 2 j . Асимптоты х = 0 и у = х. 1426. Функция определена при
— сю < л е с — I и при О - С Ж + о о . В интервале (— оо, — 1) возрастает от в
до + с о ; в интервале (0, + о о ) возрастает от 1 до е. График состоит из дву»
отдельных ветвей. Асимптоты у = е и х = — 1. 1427. Определена везде. Экстре­
мумов нет. При х = іі:А я ( £ = ] , 3, 5, ...) стационарна. График симметричен
относительно начала координат, не имеет асимптот; точки перегиба (kit, кя)
(A = 0 , ± 1 , ± 2 , ...); в точках перегиба график пересекает прямую у = х .
1428. Определена везде. График симметричен относительно оси ординат. Точки
экстремума удовлетворяют уравнению tg jc = —- jc. Абсциссы точек перегиба
удовлетворяют уравнению x t g x = 2. Асимптот нет. 1429. Определена в интер­
валах (— л/2-}-2кл, я/2 + 2&л), где к = 0, ± 1 , ± 2 , ... Период 2я. График
симметричен относительно оси ординат. у ШКС = 0 при x = 2kn. График не имеет
точек перегиба. Асимптоты х = л/2 + йя. 1430. Определена в интервала»
(— я /2 + 2kn, л/2 + 2кл), где й = 0, i t 1, ± 2 . Период 2я. График симметри­
чен относительно оси ординат. у т а = \ при х = 2йя. График не имеет точек
перегиба. Асимптоты * = л/2 + /гя. 1431. Определена везде. График симметри­
чен относительно начала координат. у т а х = я / 2 — 1 при х = — 1 , у„и„ = 1 — я / 2
при х — \. Точка перегиба (0, 0). Асимптоты у = х ± я . 1432. Определена везде,
кроме jc = 1 и х = 3. Уткс= 11е ПРИ х = 2 . Минимумов нет. Асимптоты х = 1 ,
х = 3 и у=1.
1433. Определена везде. Период 2я. */шш= 1 при x=kn, гд^
3 12
О ТВ ЕТЫ
* = 0, ; t I, Л: 2,
{/яакс — е — 1 при * = я/2 + 2£я и у м1 кс = 1 ]/<? при
* = Зд/2 + 2 £л. Асимптот нет. 1434. Определена везде. i/M:)Itc = 4/27 при ж = 8/27,
Умип = 0 при , = 0. График не имеет ни точек перегиба, ни асимптот. 1435. Оп­
ределена везде. График симметричен относительно оси ординат. г/маКс = 0 ПРИ
* = 0, ?/м1ш = — 3 при х — ± 1. График не имеет ни точек перегиба, ни асимп­
тот. 1436. Определена везде. График симметричен относительно начала коор­
динат. f/макс = 2/3 при а: = 1, у т]и = — 2/3 при х = — 1. Точка перегиба графика
(0 , 0 ). Асимптот нет. 1437. Определена везде. у„„кс — 2 при * = 0 , у нии = 0
при х = — 1. Точка перегиба графика (— 1/2, 1). Асимптота у = \ . 1438. О пре­
делена везде. //макс == 2,2 при * = 7/11, !/м,ш = 0 при х = 1 . Абсциссы точек
7 -|_ з i / o
------. Асимптот нет. 1439. Определена везде.
перегиба графика — 1 и —
Ум!кг = 2 у / 4 при х = 4, і/„ІШ= 0 при х = 0. Точка перегиба графика (6 ,0 ).
Асимптота х - \ - у = 2. 1440. Функция определена при x ^ z Q , двузначна. Ф унк­
ция у = х + \ / х & (верхняя ветвь графика) монотонно возрастает. Функция
у—х—V
(нижняя вегвь графика) имеет максимум при х = \ г ЩЬ . График
не имеет ни точек перегиба, ни асимптот. 1441. Определена при х ^ 0 , дву­
значна. Ф ункция у — х 2-\- VхЧ (верхняя ветвь графика) монотонно возрастает.
Ф ункция у = х 2 — УX* (нижняя ветвь графика) имеет максимум при х — 16/25.
Абсцисса точки перегиба нижней ветви графика 64/225. Асимптот нет.
1442. Определена при х
1, двузначна. Экстремумов нег. График симметри­
чен относительно оси абсцисс, имеет точки перегиба (0, 1 ) и (0, — 1 ). Асимптот
нет. 1443. Определена на отрезке [— 1, 0] и в интервале (1, + оо), двузначна.
График симметричен относительно оси абсцисс. !.(/|макс = V 1 2 / 3 при х = — ]ЛЗ/3.
Абсцисса точек перегиба графика V ^ l-J -f/1 2 /З. Асимптот нет. 1444. Опреде­
лена при * 2 г 0 , двузначна. График симметричен относительно оси абсцисс.
IУ !макс = }^12/9 при дс=1/3. График не имеет точек перегиба. Асимптот нет.
1445. Определена при л- = 0 и при * : > 1 . Начало координат — изолированная
точка. График симметричен относительно осп абсцисс. Экстремумов нет. Точки
перегиба графика (4/3, ± 4 |^ 3 / 9 ) . Асимптот нет. 1446. Определена при jc С 0
и при
двузначна. График симметричен относительно оси абсцисс.
|у !м ак с= 1 при х = — 1. График не имеет точек перегиба. Асимптоты х — 0 и
у = ± х УЗ / З . 1447. Определена при jrsg — 2 и при х > 0, двузначна. График
симметричен относительно прямой у = х. (/МПкс = — 2 при * = 1 . График не
имеет точек перегиба. Асимптоты * = 0, у — 0 и х + у = 0. 1448. Определена
при — а ^ х е а , двузначна. График симметричен относительно оси абсцисс.
I У !м-.кс = а
5
^
—— при х — — ^ -(1^5 — 1). Точек перегиба нет. Асимп­
тота х — а. 1449. Определена при 0 ? g * = g i4 , двузначна. График симметричен
относительно оси абсцисс. I у !ипи. = |^ 3 при * = 3. Абсцисса точек перегиба
графика 3 — ^ 3. Асимптот нет. 1450. Определена при — 2= £дг= £2, двузначна.
График симметричен относительно осей координат. | </!МЗКс = 3 у 3/5 при дс= z!z I.
Точки перегиба графика (0, 0) и ( i t У 3, іЬ І^ З /б ). Асимптот нет. 1451. О пре­
делена при — I= g je s = :l, двузначна. График симметричен относительно осей
координат. I у 'Мя к с= 1/2 при х = ± У 2 / 2 . Точка перегиба графика (0 ,0 ).
Асимптот нет. 1452. Определена при х 2 г 1 , двузначна. График симметричен
относительно осп абсцисс. ! £/ ;Макс = 1 при х = 2. Абсцисса точек перегиба
6 ' з ^ 3'~ ^С1|МПТОТа
|453‘ О пРеДелена
при
0 < ; ,v < 2 a ,
двузначна.
График симметричен относительно оси абсцисс. Экстремумов нет. Точек пере­
гиба нет. Асимптота х = 2а. 1454. Определена при д : < 0 , при 0 < д: ==S I и
при х ^ 2 , двузначна. График симметричен относительно осп абсцисс, имеет
О ТВЕТЫ
313
асимптоты .* = 0 н у = ± 1 н две точки перегиба. Экстремумов нет. 1455. Опре­
делена при — а * ё л с < 0 и при 0 < дг ^ в, двузначна. График симметричен
относительно осп .абсцисс. Экстремумов не г. Точки перегиба графика
[ а ( |^ 3 — 1), ± а t 27/4]. Асимптота х = 0. 1458. Определена при — 1
х і<; I
и при л с = ± 2, двузначна. График симметричен относительно осей координат
и имеет две изолированные точки: ( ± 2 , 0)
!и5Кс = • при х = 0. Точек пере­
гиба и асимптот нет. 1457. Определена при —
двузначна. График
симметричен относительно осей коордннат. |г /!МЛКе = 1 при * = 0. Точки пере­
гиба графика ( ± ] А2/2, ± \ r i!4). Асимптот нет. 1458. Определена при
—I
и при х 5 = 1 , двузначна. График симметричен относительно осей координат.
Экстремумов нет. Точки перегиба графина ( л _ ) ^ 2 , ± 1/2). Асимптоты и = ± . х .
1-159. Определена при д ^ 0, двузначна. График симметричен относительно
1 -4-1/2
осн абсцисс. | / / і„ак с= 1 при * = 1 / 2 . Абсцисса точек перегиба графика
—.
Асимптота (/ = 0. 1460. Определена везде, кроме х = 0 . Экстремумов нет. Точка
перегиба графика (— 1/2, f '- + l / 2 ) . Асимптоты * = 0 и
1 . 1461. Опре­
делена везде, кроме х = л/2-)-/;я, где k = 0, ±. I, ± 2 , ... Период я . Экстре­
мумов нет. График не имеет точек перегиба. Асимптоты х = л / 2 + к л .
1 462. Определена везде. График симметричен относительно оси ординат. Точки
экстремумов удовлетворяют уравнению * = tg * . Асимптота у = 0. 1463. Опре­
делена везде. Экстремумов нет. График не имеет точек перегиба. При д г ^ О
функция тождественно равна линейной функции-у — 1 — дг. Асимптота х + у =3 .
(0, I) — угловая точка графика с двумя различными касательными. 1464. Опре­
делена везде. График симметричен относительно оси ординат. у нгкс = 3 при
х — 0,
, = — 1 при д г = ± 2 . График не имеет нн точек перегиба, ни асимптот,
и правая его часть представляет собой часть паработы у = х- — 4х -+-3, леж а­
щую правее оси ординат. (0 , 3) — угловая точка графика с двумя различными
касательными. 1465. x(t) и у (!) определены при всех г, а у (г) — при всех х.
(— 3, 3) — максимум, (5, — 1) — минимум, (1, 1)—точка перегиба. Асимптот нет.
При х -+-\гсо угол наклона линии к оси ибсиисс стремится к 45°. 1466. х (I)
и у (t) определены при всех i, a tyix) — при всех х. Асимптоты у = .г и у=х-\ -f-бл; (— I, —Зл, — 1+ З я /2 ) — максимум, (1 — Зл, 1—Зя/2) — минимум, (—Зл, 0)—
точка перегиба. 1467. х (t) и у (/) определены при всех t, кроме І — — 1.
Асимптота x - j - y - j - l = 0 . (0 ,0 ) — точка самопересечения, касательными в этой
точке служат оси координат. Точек перегиба нет. В первом квадранте — замк­
нутая пет ля. 1468. х(1 ) и у (!) определены при всех t. Функция у (х) при
л < — 1 /е не определена, при — 1 /ь < х С 0 эта функция двузначна, при х > 0 —
однозначна. Линии симметрична относительно прямой х + у = 0 . Максимум —
(<?, I/<?). Имеются две точки перегиба. Координатные оси служат асимптотами.
14В9. Замкнутая линчя, симметричная относительно оси абсцисс, с точкой
возврата (а, 0). 1470. Замкнутая трех лепестковая роза. Функция определена
на отреаках [0, я /3 |, |2л/3, я], (4л/3, 5л,/3|. Экстремумы при <р — л /6 , <р= 5я/6
н <j- = Зл/2. І47І. Функция определена в полуинтервалах [0, я /2). [т, Зл/2).
График фуикиии симметричен относительно полюса. Пря ;ые х — а и .v = — а
являются асимптотами *). К 72. Функция определена в полуинтервалах [0, л/2),
|З л /4 , Зл/2) и на отрезке [7л/4, 2л|. График функции симметричен относительно
полюса. Асимптоты х - - а и х — — а. В полюсе кривая касается прямой q--—Зл/4.
1473. Суіиествуеі прп всех значениях ф . При ф = 0 максимум равен 2а, при
Ф==д минимум равен 0. Линия замкнута, симметрична относительно полярноіі
оси. Полюс —точка возврг.га. 1474. Функция определена на отрезках [0, л /2 +
-J-arccos 1/й], [З л /2 — агееоз 1/Ь, 2л). В точке <р= 0 функция нчееі максимум,
равный а ( 1 + й ) , в точках ф = л /2 -(-arccos l /Ь и <р= Зл/2 — arc co s\ / Ь— минимум,
*) В этой и следующих задачах асимптоты даны в декартовой системе
координат, у которой осью абсцисс служит полярная ось, а осью ординат —
перпендикуляр к полярной оси, проходящей через полюс.
314
О ТВ ЕТЫ
равный 0. График функции симметричен относительно полярной оси. 1475. Су«
шествует при ф > 0. Точка перегиба ( / 2 я ; 0,5). Полярная ось является асимп­
тотой. Линия спирально завивается вокруг полюса, асимптотически прибли.
жаясь к нему. 1476. Существует при ф ЗгО . График — спираль, исходящая из
полюса и асимптотически приближающаяся к окружности р = 1 . 1477. Сущест­
вует при —
расположена целиком правее оси ординат. Замкнутая
линия. Максимум при / = 0 (<р= 1 радиану, р = 1 ) . Точек перегиба нет. При
f = ± : l касается оси ординат. 1478. Четырехлепестковая роза. Н ачало коор­
ди н ат— двойная точка самоприкосновения. 1479. Линия целиком лежит в полосе
— а / 2 / 2 «S * ей а V 2
‘ /2. Симметрична относительно начала. Асимптота * = 0.
(0, 0) —точка перегиба с осью абсцисс в качестве касательной. Имеются еще
две точки перегиба. 1480. Симметричная относительно четырех осей х = 0, у = 0,
у = х, у = — х замкнутая линия с четырьмя точками возврата: (а, 0 ), (0 , а),
(— а, 0) и ( 0 , — а). Начало координат — изолированная точка. 1481. Симмет­
ричная относительно осей координат и биссектрис координатных углов линия.
Асимптоты ( x _ t y ) 2 = - j - . Начало координат— четырехкратная точка самопере­
сечения; в ней ветви линии касаются координатных осей. Линия имеет форму
«мельницы». 1485. Остальные корни простые. 1486. 0,1 < * < 0 , 2 . 1487. —0,7 <
< * ! < — 0,6 и 0,8 < * 2 < 0 , 9 . 1488. 0,32 < х < 0 ,3 3 . 1489. — 3,11 < * ! < — 3,10,
0,22 < х 2 < 0,23 и 2,88 < * 3 < 2,89. 1490. 0,38 < *! < 0,39 и 1,24 < * 2 < 1,25.
1491. — 0,20 < л; < — 0,19.
1492. 0,84 < * < 0,85.
1493. 1,63 < х < 1,64.
1494. 1,537 < л: < 1,538. 1495. 0,826 < х < 0,827. 1496. 1,096 < х < 1,097.
1497. 0,64 < х < 0,65, При 0 < а < 1 существует единственное действительное
число, равное своему логарифму, притом меньшее 1. При 1 < а < е1/* сущест­
вуют два различных числа, разных своим логарифмам; одно из интервала (I, е),
другое из интервала (е, + оэ). При а = е 1!е единственным числом, равным
своему логарифму, будет число е (оно является двукратным корнем уравнения
log* * = х). При е1/е С а С + со не существует действительных чисел, равны»
своим логарифмам.
1498. ( * - 4 )1 + 1 1 ( * _ 4 )з + з 7 (д ;_ 4 )5-+21 (Л-— 4) — 56.
1499. ( * + I)3 — 5 ( x - j - 1) + 8 .
i:0 0 . (* — 1 )Ю + 10 (* — 1)в + 45 (* — 1)8+ 1 2 0 (х — 1)’ + 210 (х — 1)<>+
+ 249 (.V— 1)»+ 195 (* -1 )4 + 90 ( * - 1)з + 15 ( * - 1)=— 5 ( * - 1 ) — I.
1501. хв — 9* 5 + 30*4 — 45*з + зо*2 _ 9 * + 1
1502. / (— 1) = 143; / ' (0) = — 60; Г О ) = 26.
1503. _ 1 _ ( * + 1 ) - ( * + 1 ) z _ . . . _ ( * + i y z +
+ (— 1 ) п - н ____ ( * + 1 )'^ -----^
1
[— l + f l ( * + l ) J « + 2 '
0
Д
1504. * + ^ + J r + . . . + _ ^ _ _ + _ f L L (0^ + r t + 1 ) е и* где 0 <
1505. 9 + І И І - ( ^ И ! . ,
4
64
< 0< 1
^
< 1 ‘
6
< 1.
4 >3
, , п « - (2 я -2 )!(* -4 Г
512
'
'
я! (га— \ ) \ - ‘2 1п 2
(— 1)«(2я)! ( * - 4 ) « + і
„
„
.
ч-------------------------- - - , где 0 < Ө< 1.
2 2 ,1 +1 п! ( г а + 1)! j / [ 4 + e ( * — 4 )p'<+L
^
-- « г »
.
1506. 1
, х1
2!
ХЛ
4! т
>
~
х 2п
р У х __ р - 0 х
----------- 1----------------------------- где 0 <т А<т 1
(2 /г)! ^ (2 /г + 1 )!
2
, где и с в С 1 .
1507. ( * - 1 ) + | - ( х - І ) = + і | ( * - 1 ^ + б
( I ;'- 6 ( *
I)'1
(п-3)(п
2) (п — 1) п
{ х _ 1}
___________( 1)^+ 16(*— 1)^+1_________
( я —2) (я — 1) п ( я + 1) [1 + Ө (* — \)\п~і '
где 0 < 0 < I,
815
ОТВЕТЫ
9д-2
1508. ^
23,-4
_
^
9 '| V-9
+ ^
97v8
-
^
92И -1у2а
+ ... + ( - , ) - 2_ ^ £ - +
(_1\Л , П2Пу2ГС+1
+ ----- ( 2 п + \ у . -----sin 2вХ'
1509. 2 — (х — 2) + (jc— 2 У— ( х - 2)3 + [- + (* ~
I
*3 1 + 2
Ш0-*+У
sin3 Өл:
а# Тх
л
о
^
*
5
О <0< L
ГД6
■ где О <
0
<
1
.
1
гда°<0< 1-
,5 П . Х + Х1 + Х1 %Х + Щ
, где 0 < Ө < 1.
6
4! (1 — Ө2* 2) ^
1512. 1 _ ^ ( * _ 1 ) + ^ | ( * _ 1 ) » _ ^ 5 (л _ 1 )3 +
+ Ь
3 ^ 7 _ ^ = =
где 0 < Ө < I.
24 • 4!
У [1 4-Ө (л: — 1)]е
1513*. В силу существования третьей производной имеем / (a-\-h) — j (a)-fft2
" Ла
+ /і/' (a) + qj- /" (a) -f- /"' ( a +бі/г). Сравнивая с выражением в тексте, получаем
" г с + п - г ш - ^ г а + е м
, er
j
M
= t! > W
( i ) a
= J - /'" (a + Sift). Остается совершить предельный переход при /j-v O .
1514. Ф ункция убывает. (О, 3) — точка перегиба графика. 1515. Функция
имеет минимум, равный 1.
1516. Функция имеет минимум, равный 2.
1517. Ф ункция имеет максимум, равный — 11. 1518. Функция возрастает.
(О, 0 )— точка перегиба графика. 1519. Функцня возрастает. (О, 4 )— точка пере­
гиба графика.
1520. /( * ) = ! — 6 ( х — 1) + ( х — 1)2 + . . . ; /(1 ,0 3 ) «= 0 ,8 2 .
1521. /( х ) = 3 2 1 + 1087 ( л :- 2 ) + 1 6 4 8 (л :-2 у 2 + . . . ; /(2 ,0 2 )^ = 3 4 3 ,4 ;
/ ( 1 ,9 7 ) ^ 2 8 9 , 9 .
1522. / ( х ) = 1 + 6 0 ( л г - 1 ) + 2 5 7 0 (л :-1 )2 + . . . ; / (1,005) = 1,364.
1523. /(* ) = — 6 + 21 (* — 2) + 5 0 ( х - 2 ) 2 + . . . ;
/(2 ,1 )« = — 3,4; /( 2 ,1 ) = .
«=— 3,36399; 6 = 0,036; 6 ' е » 0,011 = 1,1 %. 1524. 1,65. 1525. 0,78, б < 0,01.
1526. 0,342020. 1527. 0,985. 1528. 0,40, б < 0 ,0 1 . 1529. / 2 / 4 . 1530. a/b2; b j a \
1531. 36.
1532.
0,128.
1533.
/2 /4 .
1534, 0.
1535. 1.
1537. 6 1л: 1/(1 + 9х*у3/2.
1538. a'bi/(b*xZ + a W f /2. 1539. | cos дг j. 1540.
3 У a j xy I
1541. _ !(т — , ) ( ‘>Ь)“т Ш т -° I ^ , 542_ ----- 1------_ 1543_ ]/6>
фгтх йт-2 + а:тугт-2у'/2
q^
х_
а
1544. ------ Дтгг^т.
За | sin 2/х Г
1547.
1
/ 1
+ 1п2а ‘
1545. — . 1546.
ла1548.
2 + ф2,„ .
а ( 1 + ф 2)а /а '
8а
3
|s i n |'
1549. _ 4 > * + k 2 + k
w
15Я 1555. (х — 2 ) 2 + (р — 2)®= 2. 1556. (* + 2 ) 2 + ( г / - 3 ) 2 =
8.
1536. - 8 ] — .
оо
316
О ТВ ЕТЫ
'
л -І0 \2
Vе ------- Н
/
7 \2
1558. [ * + з o j
/
9
у
+ (« -4 -)
/
+ ( ^
8
- 3
1F60. ( К г , - v* In 2 j.
125
6 *
\°
" j = - ' l а 2- >559. (a/i, а/4).
1561.
= Т
І1 п 2 ,
1562. При / = foi. 1563. ~ а .
1566. о ~ 3 . Ь = — 3, с — 1.
1367.
— лг’— 0, о* 1 4- 4 , 5 ^ + О, I лг5.
.
|l + n V « 1 1 л:
„ , 1 - f / l V '» -11
I0 6 8 . i = J C — ----- ------------ j------'---- , Т| = л " - ! 11 — 1
‘ 1 /і (и — I) х>' - ‘
1569. £ = (a--f-b~) .r'/a4, tj = — (a2+!>*) if-/b*; (a*»2; J —
= (a3 -f- brf**»
1570. t = * + 3.v!/V ' a, = +
(? + 1 l)2 / 4 ( = - V /;i= 2 a 2/3.
4 1 Г I/ „
9 if- -j- ?aif
1571.
»= “ 3 7
a (% + a )'
1572. 5 = — -3^ fj
P,
V,—
rr- =
3 3 , tУ2 =_ ^J U_^/v,_L
+ 32 ; .
1573. ( З п /в ^ + б а 2 (31)/8)2+ Зй=| = 0. 1574.
1576. Да, можно. І579. 2р J
| г/3
+ т)2 / 3 = (2 а)г/а.
)'*—1j- ,580-
1581. 6a,
1582*. 16й. Получив параметрические уравнения эволюты, преобразовать их
к н'-’рым координатам н параметру, положив х = — a'i, и — — уі, <= / | + я .
1583*. Воспользоваться зависимостью между длиной эволюты и приращеннем
радиуса кривизны. 1584. 0,785. 1585. 0,073. 158(5. (3,00; 2,46). 1587. (—0,773;
—0,841). 1588. (1,38; 4,99). 1589. (0,57; -3 ,6 2 ) . 1590. 0,78. 1591. (2,327; 0,845).
К главе V
Т
Ь
1592. 1) if
0
*2
4)
J
(8
л"
1)dx; 2) j (e* -f- 2) dx\ 3) sin jcdx;
a
0
\
*
- 2.t2) dx; 5) \ ( \ r x — x-) dx\ 6 ) ^ (In jc — In 2 x) dx.
— 2
0
I
1593. 20—4/я 11 20-'-4/л; a = 4/«; a =■5} n. 1594. a = 149/600 ;==0,248, fi«»
«=0,039. 1595. 31,5. 1595. 10 ^ . 1S97. ^ a/( = 40 cm-.
S
1600.21
1605. 625
I
7
1601. 2 - .
Д;;;.
160G. 4
n —i
1607. а ) / п „ =
1602.
1598.
o
140 см.
1603. =s 122,6 м.
1609. Qn =
1603.
5
20 g-
='(;<■) < 'г + і- 'г ) . '0 = 7-0. f„ = 7Y. 6) m = \ v ( t ) d l .
2
J
У] 4j:(?г)(С;+1 - ^ ) . ^ = 7 " « . Лі = 7 \: 6) £ == | t (
i __ ,j
f0
V
i=
1 5 9 9 .8 .
°
cm .
1-0
1606. a) r-n =
10
/ ( z ; ) { / , n - / ; ) , <o= 0. tn = T\ Q = \ I (t)dt.
0
/J — I
1610. а) и л = S
/= о
0
— ^ ) ’ <о = 7'°’ (n = T L’
0
^.
c m.
317
О ТВ ЕТЫ
б)
ф (/)ф (/)Л .
1611. 1500 К л. 1612. »= 67600 Д ж . 1613. 2880 Д ж .
л -1
ь
1614. а) Р п = ^ а |; (а-,-+1 — я,), л0 = 0, *„ = *; б) Р = \ ах dx.
i= o
о
1615. a) ab-j2 = 1 8 7 ,5 Н; б) прямая должна быть проведена на расстоянии
ЛҺҺ+1_д^+1
Л/К 2 яа 17,7 см от поверхности. 1616. е — 1. 1617. — уГР!— '
^
2) 4а; 3) ^
; 4)
об*; 5) й ( fl* _ J + l ) : 6)
т; 7) 31,5; 8) ^ = Д 3 ; 9) J ;
Ю) а ( ° о ~ 3° 6.1~,ЗЙ2) ; П ) 4; 12) 16 % ; 13) 0. 1619*. — Ц ; « = 1 ,6
О (д — О) “
1э
к -р 1
7
- 10и.
За-
писать выражение, предел которого ищется, в виде п -й интегральной суммы
некоторой функции. 1620. 1л 2* 1621. In 2. 1622*. In а> In 3 % 1,1. См. задачи 1620 и 1621. 1623*. 1) аея -е<* + 1; 2) a l n a - a + І ; 3) (І£ &)2- .(1п ° )2 #
Выражение q-\-2q2-j -...-\-nqn находится при помощи дифференцирования суммы
членов геометрической прогрессии.
2л
я
1624. Ij | &i nx\ dx = 2 Ij sin*cte. 1625. 1/2. 1626. 64/3. 1627. 8/5. 1630. 8 <
о
о
< / < 9 , 8 . 1631. 3 < / < 5. 1632. Ж / < 2 я . 1633. 20/29 < / < 1. 1634. я / 9 <
< / < 2 я/3 .
1637.
1635.
1) Первый;
1636. 1) Первый; 2) второй.
— — < / < - ------ .
—1
е2
2) второй; 3) первый; 4) второй. 1640. 0,85 < 1 < 0,90.
е
1 | 1/ ‘2
1641. а) 1 < / < у 2 = « 1,414; б) 1 < / <
«==1,095.
1642. У'Р= к ( х , ^ Хі) + Ь; f l + i ^
__
1,207; в) 1 < / < у 6/5 «э
1643. у ср = “ ■(*? + *і*г + *2). Если
х , х 2 >:0, то в одной точке; если Xi < 0 и ^ > 0 , то при соблюдении нера­
венств — Хх/2
*.2 —2*i в двух точках, в противном случае — в о д к о й .
1644. 24,5. 1645. яо/4. 1646. 0. 1647. ~ h = 1 м. 1648. 11 А. 1649. ~ 1558 Вт.
1650.
1)
2)
.
3)
1KS4
II
сч __
UJ С
1 1
UJ
1656. dS = 1.
1657. Ax
1
0,1
0,01
1658.
1/3.
1651. s = | Г\
л_ 1
/з
1
j , a
1654. <2= C0* + J
AS
92,25
6,644
0,6424
dS
64
6,4
0,64
1
1652.
. йаЛ
А = 100s-f 25s2 Д ж ,
___ в _____________
1655. dS
8
0,442
0,0382
0,00376
a
28,25
0,244
0,0024
1659. 0; / 2 / 2 ; 1. 1660. - * - ^ f ( x ) d x = — f(x). 1661. — 1 - 5 / 4 .
X
стп 9 1C
1662. ‘
1663. 1) х; 2) —4 -vlni'. 1664*. 2 In2 2* — In2 х. Представить іште*
2х
а
2х
грал Ij In2 j(dx в в иле суммы интегралов J ln 2* d * + lj In-xdx,
где а > 0 .
318
О ТВЕТЫ
1665. t / '= —
1666. 1)
ctg t\ 2) ^ = — /2. 1667. —2. 1668. Минимум
при * = 0. /( 0 ) = 0. 1669. 1. 1670. і/макс = 5/6 при x = l , f/M1Ш= 2/3 при х = 2.
Томка
перегиба графика
5 )4 5 -1 ;
—
(3/2, 3/4).
1672. 1)
2) —
3) 52;
6) ^ 0 , 0 8 ; 7) 2 - / 2 ; 8) 6 | ; 9 ) 3 ^ - ^ ;
3 ’ '
У /а
УЪ]'
( / z j — / z ^ ) + 2 t — г0.
Ю)
’
4) 4 - ^ ;
2
1673. 1) 2;
І 2) 0; 3) ез _ 1; 4) 1; 5) я/4; 6) я /6 .
1674. 0. 1675. 1 - / 3 ; — 1.
К главе VI
2
1676. | - / * з + с .
1677.
mjcri/',l + 1
-----1-С. 1678. С — 1/х.
1679. яв 0,4343. 1 0 * + С. 1680.
— }-С. 1681. У х + С .
1 + In а
1682. Ү Щ І + С- 1683. « = 4 ,Ь » -За + С. 1684. u - i f l + C.
1685. ~ х : ° - У х + х + С. 1686. С ------- К - - е * + 1 п \ х \ .
0
3х У х
1687. С — 10лг°’=+ 15х°'2— 3,62л1"18. 1688. г — 2 1 п | г | — ' + 0 .
1689. - x2~ l 2 x ^ L + C .
3Ух
1690. 1 У х * + у х У х + | - * У * + ®3 х* у~х +
1691. % - У — 4 - / * з + С .
<
3
1693. З х - ^
’^ + С.
с.
1692. - - arcsin х + С.
/ 3
1694. i ( t g x + *) + C. 1695. C - c t g x -
1696. tg x — х + С . 1697. С — ctg х — х. 1698. x - s i n x + C.
1699. a rc tg x — 1 + C. 1700. In | x | + 2 a rc tg x + C. 1701. tg x + <
1702. ү х + c j f 1703. sin2 x / 2 -(-C. 1704. tg4 x/4 + C.
1705. 2 / 1 + Xi + C. 1706. (x + l)le/16 + C. 1707. С
1708.
4
8 (2 * — 3)**
о (1 — c) + C - ,709< C - 433( 8 - 3 x) 11/5.
1710. C — / ( 8 - 2x)3/3. 1711.
1712. - y ^ f l + W + C .
1715. / І 2 + Т + С .
^ / а + йх + С.
1713. C - - ‘- / ( l - x > ) * . 1714. Y g y V + 2 )« + Q j
1716. | - / 4 + T 5 + C. 1717.
1718. / З х а — 5 jc+ 6 + C.
/ ( ^ + 1)2 + C .
1719. j s i n 4 x + C. 1720. se c x + C.
1721. З / і І п х + С. 1722. С — -jj- cos5 x. 1723. ^ у (In x f + O.
819
ОТВЕТЫ
1724. ( a r c l g ^ / 3 + C. 1725. С - ^
1
—
1726. 2 / l + tg х + G .
1727. sin З х + С. 1728. tg (1 + !n x) + C. 1729. -|- s in 3 * + C .
1730. * c o s a — ~ sin2x + C.
1731. С — ү cos (2x — 3).
1732. C — i - s i n ( l — 2x).
1733. y t g ^ 2 л: — ~ ^ + C или ~ (tg 4jt — s e c 4 x ) + C .
1734. С — cos (£■*)■ 1735« In (1 -J-x 2) -j-C. 1736. ln | arcsin * | + C.
1737. In (x2 — 3x + 8) + C. 1738. ~ l n \ 2 x - l \ + C. 1739. - - ln | cx + m\ + 0 .
1740. 4 - 'n (*2+ l ) + C.
Z
1741. - L ln |jc 3 + 1 i + C. 1742. l n ( e * + l ) + C.
о
1743. ~ In (е2л + а2)_|_с. 1744. С — In | cos x '. 1745. In | sin je | + C.
1746. C —
In I cos З х |. 1 7 4 7 .-* -ln | sin ( 2 . t + l ) j + C .
1748. С — ln (1 + c o s 2 *)■ 1749. In | ln jc | + C .
InW+l x
1750. -— —j- + C, если т ф — 1, и ln | ln дс I + С, если m = — 1.
fft - p 1
'
1751. esin* + C. 1752. esin* + C. 1753. ^ ~ + C. 1754. C - ~ .
1
1
3 In a
In a
1755. C - ^ - .
1759.
D
1756. 0,5e*s + C. 1757r C - j e ~ x\
arcsin 5jc + C. 1760.
o
1758. a rc s in - * - + 0 .
arctg Зх + C. 1761. arcsin ~ - { - C .
2,
1762.- V arctg X ^ x + C. 1763. 4 arcsin v f + C.
3 /2
3
3
2 1
1764.
1767.
arctg x2 + C. 1765.
4
arcsin+C.
arcsin ** + C. 1768. -1 arctg % + C.
2
2 1
1766. -i. arctg y + O .
1769. _ cslS j - + C.
ln 2
1770. -1- arctg ^ H ^ . + C. 1771. e-‘ + e-* + C.
a
* a
1
1772.
e3* + | e 2* + 3e* + x + C. 1773. arcsin x - У I - x ~ + C.
1774. | - l n ( x 2 + 9) — - - a r c tg | - + C .
1775. arcsin a- + / 1 ^ 5 + C.
1776. 4 arctg x2 — *- ln (x4 + l) + C.
2
4
1777. arcsin x +
у
1778. I [x3 - > V 2 - 1 ) 3] - a + C. 1779. С - 2 / П ^ І 2
1780. C — g [ / l — 9x2 + (arccos ЗхУ1].
1782.
U x
— ^ ln |2дг+1 l] + C.
1
-- x i
+ C.
/(arcsin x f .
1781. дг— 4 1 n l x + 4[ + C.
1783. Л
[ * _ - ? - In i ftjr + a |] + C.
1784. С — л: — 6 In j 3 — jc |. 17S5. 2 x + 3 in | x - 2 | + C.
1786. y ^ + -^-ln J 2 л: — J l + C. 1787. * + ln (*2 + l) + C.
3 20
О ТВ ЕТЫ
1788. x — 2 arctg л:
С. 1789. С —
1790. Vj — x + arctg x + C.
1 . |2 * —3
+ C.
1793.
ln
5
x+\
X — 1
1795. JC-f-ln
x
+ C.
-\-1
1791. ln
1
1794.
1797.
X
1
arctg :
o +C.
1
2x 4 -1
1803. - j a rc tg —^----- - C.
+ C. 1792. 1п 1 г ғ т | + С .
a:
+ C.
х —2
2 л :- 3
4 -C .
2x + 3
7 1пІ 5 І | + с ' ' ш - в 1"
1
Y 2 + х \r3
1799. — — In
+ C. 1800.
У 2—x y 3
2 V6
ISO!.
A
arctg - ^
1802. -g arctg
1
1804.
2
- x — ln | 1 — jc[.
b —x
ln
+ C.
a —x
1
‘ In
1796.
л? _ J -
*4—
— 2x
3
+ C.
+ C.
arcsin (2.v-)-3j-{-C.
1805. arcsin (x — 2 ) -f C.
1
. 3jc— 1 , r
1806.
arcsin — s~ - + C.
3
3
1
З .у + 1
1S07.
arcsin
13
1809. * . _ s | n 2 * + c >
, 810> C - c t g | . 1811. t g ( * — J ) + C.
1SI 2. 2 tg j — jc+ C. 1813. 2 t g ( | + - J ) — J c + C .
1814. -A- tg 3 x-\-C. 1815. In (2 -[- sin 2x) -\-C.
1316. С —
1818.
1819.
^со^ л'
cos 2 x j . 1817. ^ sin 5.V+ -A- sin a -J-C.
l . o
\ . . . r
o
14
c - Sin *>X — , ; Sin t X - \ - L .
g- ^2jc-(- sm 2 .1' -|-
2
sin 4* + -3 - sin 6 x \ + C.
1820. ln w ; + 1*
-1-C . 1821. lri ( 1 + sin x)-\-C.
1
1
cos- X
In ! cos x . -}-C. 1823.
.
1322.
2
sin -c
3 sinJ x
1824. 2 / < ^ [ 5 ^ - l ] + C .
1 v?
sirr*
182«. sin a: ---- ^
1828. L ■
X
1830.
tg 2 x
1825. tgA -+ ~ tg * * + 0 .
1
+ c . 1827.
t g :i
3
1
'
3
. 2
„
1
+
„ COSJ X - r COS5 X .
и
О
3
1829.
x — I sin 2x -)8
1
2
c.
A — tg X +
X
+ C.
sin 4jc + C.
2
1
In j cos .v і + C. 1831. C — c tg x — - 3 ctg 3 * — -g -ctg lji.
1832. у sin 2.v —
2
x cos 2jc + С. 1833. x sin x -f- cos x -J- C.
1834. C — e~x ( v + 1). 1835. j L ( * i n 3 - l ) + C.
321
О ТВЕТЫ
1830. i J L ( , n X_ _ ^ ) + C.
1837. * ± ± K ^
x-% + C .
18С8. л- arccos к — V 1 — л:- + С. 1839. * arctg )Л і — / х + arctg Y x + C.
1840. 2 Y x -\-1 arcsin * + 4 | / 1 — * + C .
1841. A'tgA- — * + І П |C O S * ;+ C .
1842. X~-
x sin 2.x -f- g cos 2x-\-C. 1843. C — ~
lg (x Y e ) .
1811. У 1 H- x- arc t j л: — In { x + Y 1+ * - ) + С .
184е*. 2 (У х — Y l — x arcsin Y at) + C.
Ш 6 . jc ln (.i2+ l ) — 2 * -|-2 arctg x + C. 1S47. C —
+ ү arct=
1848. x- / Г + Ғ - 1- Ү й + * Ғ + С.
1819. (*3+ I) In (l -)-л-')/3 — x ' / 9 + a - / 6 - Л-/3-J C.
1350. C — e~x {2-<r 2x + x-). 1851. ex (*:і- 3 х 2 + 6 л :- 6 ) - f C .
1852. a x ( x- / \ n a — 2 a/1 n2 a + 2/1 ivJ o) + C.
1853. C — A'3cos>r + 3x': sin .v -fG -tc o s* — 6 sin x.
1854. - i x:i -[- I x 2 sin 2x~\~ ^ л: cos 2 x — -g sin 2 x Jr C.
1855. at (In2 jr — 2 In .v-f 2) -f-C. 1856. С - -1- (1n3 jl- + 3 In2 * f 6 tn j c + 6 ) ,
x
1857. С -------- 7—
27 | V
- 1n2 jc -b 3 In дг+ 2 .
\ 4
______ )
1858. x (arcsin x)--\-2 arcsin x • У 1 — X- — 2X-1-C.
183Э. *
*■(arctg x)~ — x arctg л -f-
I860. еЛ b in o r-c o s x)
1862.
In (1 Ң- a-e) -J-C.
Ig6L ®.“ (sin 2 ^ - 5 cos 2jt) + C.
(n sin nx + a cos nx) + C. 1883. -^ - ( s m ln x — cos In j t ) + G
18G4. * (cos Iи x + sin 1n x) + C.
1865*. C — f Y T ^ 7 - + v; arcsin x.
°
’
Y l — x - d x преобразовать к виду
f Положить г1л = - x ^ x —.
\
У і-х-
и
далее
^ . \ .~. . x. . - dx
V
1836*. —■Y a - + x - <
~ \ п ( х + У ' а * + x 2) + С. (Положить и — У а- + *-.)
1837.
, ^
+ С. 1868.
[(a 2 — I) sin а- — (л — l )2 cos x\ c - + C.
1859. 2 І К Т + Т - І П ( l + y T + T ) ] + C.
1870. 2 1
~ 1 (5л:" + 6a- - f 8x + 16) + C.
uO
Y 7 + 1 -1
187b C - ^
2F - ^ 2- 1872- ln
V x+ l+ l
+ C.
1873. 2 Y x - 2 + Y 2 arctg j / ^ ү ^ + С .
1874. 2 [> Лх - 1 п ( 1 + К * ) ] + С- 1875. 2arctg Y x +
11
Г. H. Бермаи
C.
3 22
О ТВ ЕТ Ы
1876. 2 ( ] / * - a r c t g V x ) + c .
1877. | - ( * + 1 ) 2/3- 3 ( * + 1 ) 1/3+ 3 1 п | l + | / 7 + 7 | + C.
1878.
[ / а л : + й — /я In | Y a x - \ - b - j - m |] + С.
1879.
+ Ц
^ + 2 / і + 3 V * + 6 V * + 6 In I
1 1+ 0 .
1880. 3 / * + 3 1 п { / і - 1 I+ C.
1881. 2 ^ — 4 у \к + 4 In (l + -(/*) + C.
1882.
[Уз А + 2 'у/ l f i + 2 In Iiyr x i — 1 |] + C.
1883. i ( 3 e * - 4 ) W
+ l )3 + C. 1884. In
_____
1885. 2 / l + l n я — In | In jc | + 2 In
J
+ е* ~ 1 + f l .
/ l+g*+l
1 + In л: — 1 | + C.
1886. 0,4 Y (1 + cos2 x f ( 3 - 2 cos2 x) + C.
1887. y l n 2 tg x + C.
1888. С - | - / ^ = Р ( 2 о » + д » ) . 1889.
,890‘ C - - f a 2t a2" - ,8 9 L f
a rc s in l-A /^ -^ + c .
1892. С — - a r c s i n ^ , . 1893. C —
a
j jc I
1894. C —
1896.
+ p ^ + 4 In | * 2- 4 | + C.
3*3
#
— — arc sin лс. 1895. ------x
+ П.
_ f _____
______ a 2 / j e 2 + a z
1897.^ ^ 2~ - + C. 1898. In -
45л6-
9*
1899. С --------- *
aa j / > _ 0 a
xY
‘
' ~'
і + у > + і
1900. 4 ( ^ - 2 ) l / 4 = ^ + 2 a r c s in - £ + C.
4
15 + 2 ”|/Чл:2 + 1
1901. — i — In
л;/ 1 5 — 2 / 4 л 2 + 1
4 / 15
+ С.
1 /*
х2
г—
_ 1
1
/
11
У
1902*. arccoSj-^-j — 1— -------- Һ ^ .1 Можно применить подстановку x —
1
-V
1903*. 2 arcsin Y x - j - C . (Можно применить подстановку * = s i n 2 2 .)
XgX
1904*. In ^ — - + С. (Умножить числитель и знаменатель на ех и по1 + хех
ложить хех = г.)
1905. 2eV * ( Y x - l ) + C . 1906. 3 [ ( 2 - ^ ) c o s ^ i + 2 \П с sin V x ] + C .
1907. * arcsm x + _1_ ln (1_ х2) + Сш
Y l-x*
2
1908. д: arctg x
1909. ln
J
—
* ^—
l/T + ^ 2
у ln (1 + *2) — ү (arctg x f + C.
— —
arctg x
— —
x
1910. — У (xz + 2x)a + C.
(arctg x)- + C.'
2
1911.
(1 + e 3*)3+ C , 1912. 2 е ^ - ү О .
1913. e ~ c0SX + C. 1914. C - ~ ( l - e * ) 3/2. 1915. - i - s i n ^ + C .
323
О ТВ ЕТЫ
1916. С — ^ ( 2 — 3*4/ З)6/5. 1917. С — ~ In | 1 + 3 * S - * « |.
1918. - | l n ( l + * 3/2) + C. 1919. С — 1п (3 + е-л ).
1920. С — arcsm е~х . 1921. 2 | Л + *2+ 3 1 п (x +
V 1 + д :2) + С.
1922. 1 [ 2 У 9 а ; 2 _ 4 - 3 1 п | З л : + 1 /Л9л:‘! - 4 | ] + С. 1923. 2 sin Y x + C.
1924. a r c s i n ^ + C. 1925. С — ~ In I 1 — In2 л; I.
YZ
2
и
1926. — =^ = + \ п { х + У х * + Т) + С. 1927. (arc t§-^)n+1 + c
Y x 2+1
Я+1
In 1 arctg jc |,
если
n = — 1.
1928. C — 2ctg2cp. 1929.
если я # — 1,
2x — tg x
1930. y tg S - x + C.
1931. ~ V T g ^ ( 5 \ . g 2 x + 9 ) + C. 1932.
,m
*
- *
(tg Зл + ln cos2 3*) + C.
+ 1 , _ 1 „ 1 , + 1 ! + С . 1934.
1935. L i ± i ^ £ n i l + C. 1936. x Y T + 2 i - ~ Y ( l + 2 x ) 3 + C.
1937. ^ (3x — 2a) / ( a + l p + C.
v
1
4
-----------
nm xhnx
1938. ТГ + А- sin 2 x - ^ - - ^ Y sin3 x + cos jc-f C. 1939.
■ ° , - -+ C .
2
4
3
m In a + я In i 1
1940. C — l n [ l — x + K 5 — 2* + x2].
1941. i - l n (Зл: - 1 + У г9 Ғ ^ 6 7 + 2 ) + С.
3
1943. C - 8 Y 5 + 2 x - x ° - - 3 a r c s i n
1942. — a r c s i n ^ ^ + C .
3
У 2
/6
1944. -*-ln(A;a + 2^ + 2) + a r c tg ( je + ] ) + C.
1945. С — j / 3 — 2 x — x- — 4 arcsin * + 1
1946. Aj^in (4л:2 — 4.* -j- 17) -f-
arctg H f p lj + C.
1947. 3 y V + 2 x -j-2 — 4 In ( * + 1 + / x2 + 2‘ x + 2) + C.
1948. l n ^ ~ ^ 2, + C.
I
3 I
1949. - |- / 9 л : 2 + 6х + 2 + ід-1 п ( 3 * + 1 + / 9 * 2 + 6л; + 2) + 0 .
1950. С — In I 2.v2 — 3 .v + 1 |.
1951.
arctg
_
3. ln (5X2 + бл: + 18) + C.
1952.
Jn I 8a: + 9 + 4 K 4 x2 + 9 * + 1 | — ~ / 4 * 2 + 9х + 1 + C .
1953. \ j / 3 x 2— 1 U + 2 4— Ц г-Іп
3 , . --------------- ' “ ' 6 у 3 -
+
1954. | l ^ 5 T f S - ^ p = l n ( * 4 - | - 4 - | ^ * ® . + y ) + C.
\Y 2
11*
4-G.
324
ОТВЕТЫ
1955. V ( a — х) { x — b) — (a — b) arctg " j / "
1956. * arctg л: -
У ln (1 + x z) + C.
1957.
У sin 2 x - ~ x cos '2 x+ C .
1958. - 3- 1(co-.t-— 2) sin a x + 2(o.t cos co.v] + C.
1959. ^ 4 1 *3
_ 3 \
8,
1960. tg * ln c o s .* + tg * — x-\-C. 1961. In ; ln sin x | + C.
1962. -> [ l n ( l + ^ ) + _ L _ ] + C.
,2
3
2+ 3
4
4
1963. у (in I tg - ^ + cos3*) + C.
1965. C - ~
6
1964.
* g ( j + 32") + C.
ln ^-+C0S I х , 1966. I n — ^ - r + C.
2 — cos 2x
ел - И
1967. 2 In ( е ^ + й- xl))-\-C. 1938. c*x
1970- ^
-3
C. 1969. -^-е?л‘5+ С.
[ з і п ( * + / r + F ) + I ( ^ - 2) /Г Т 7 -
1971. x — / П —
arcsin
+ C.
1972. C - ^ - ^ ^ + c t g ^ .
1973. ^ ( l _ 2 sin ?Jr + c o s ^ j + c
ie?4> .* .(tg x + I n | tg jei) + C.
1975. In] sin jc + cos* | + C. 1976. J ln t g ( - | + g -j 4-C .
1977. sec*:— tg * + J t+ C . 1978. sin jc — arctg sin x -f C .
1979. / 2 In t g - | | + C. 1880. In лг In In * — ln * -|-C .
1981.
1983.
+ C. 1982. С - У ё - х 2(х* + 2х* + 2).
6
■(хі — \ ) Ү Т + 2 х і + С . 1984. С — * (*
3). '
2/ 1 - &
1985. у V (л 2 - а 2) 3 — \
О
198«. *
198s
--a rc s in e
2
У (хг — а2)а - f а* У х - — а а + а 5 arc sin
1^1
+ С.
+ * * - " + С. ІШ . Й ^ = 5 І І + С.
v T T + g y -a
+с
1990. g [{ -'is - In ( K i 3 +
1)1
lm
£ E |g £ ± 2 L + e .
H C.
1991. jt + 4 ^ Ғ П + 4 І п ( | / Г + І ' — 1 )4 С- 1992. 2 a rc tg / і +дс + С.
1993. I n —---- ------ + С. 1994. ^
+ 2 A : + l n U + i + '|/ ^ + ^ i + C .
(»■'■*- И )
1995*.
:------ — -j-C\ (Удобна подстановка л- = sin и.)
Й(1 - х - ) 4
1996.
Y
b
У aab
arctg л / ~ - Х ~\-С. 1997. С
к У
г
1998. ----- - ------- \-С.
2 | / 1 — л:*
Һ
Ь
(1 + ^ ) 3/-
12*la
1999. * л:2 / Ғ + 1 - In (** + У х * + 4) + С.
4
О ТВ ЕТЫ
У х - I
2000. In
2002. С —
г
2
Г\ -* э
2
.
+ С. 2001 • с — з у —-т -------- з arcsin V Л*.
З.Е
4 ( 1 + *-)-
2003. (л_ !
. 3 arcfg
.с
8 (1 + Х-)
). - с ?- £ - 2 ^ + С. 2004. arcsin г * - ) Л - e ™ + С .
1ХА'
___
2005. 2 j V — 1 — 2 arctg }ле* — 1 + С.
2008*. С -
- ~l n2 ^ t + y j ^подстановка и = 1 + ? -j.
2007. arctg дс+ - — g - j + С .
2008. л агссоз
2009. л: In (x + V 1 + A'2") - У I + A’2 + C.
2010. ^ i A l ^ ( 5 t g ^ + H ) + C .
2011.
V-2
f jr + I
(tg2 x + 5) V t g x + C . 2012. In
2013. - ! - ln [ U — 2 ) = K 2 .v + l] + C. 2014. In
+ C.
(x + 2)-
О
г С.
2015. - І п | 3 д г + 1 | + ^ 1 п | 2 х - 3 | — j In J x I + C.
*-3
A--
A-2 ( . v - 2 )5
+ C.
(a + 2)л
9
2017.
jc + іп ! x
In 2k — 1 !•
In J 2x + 1 ! + C.
16
16
1‘
2018. In I 2 у— 1 1— 6 In j 2x — 3 j + 5 In | 2 x - 5 [ + C.
2016. -_ + - - + 4 j c + l n
2019,, i„
ү
+ c.
2020. — - I n i ' - — ^
2 У 2 |л- + / 2
2021. | ' + In
2022. !n
x2
;-YZ
In
2 Уз
x (x — 2) V ( л - - 1 ) ( * + I)3
+ C.
x+ 2
+
6
-c.
x + V3
1С
A" + 1 + ^ м " г С -
2 0 2 3 . 4 In j X [ — 3 la i A'— 1 | ------- ^ - r + C .
1
a: —
2 0 2 І. — i ^ + l n j x + l
x “p 2,
I
l + C. 2025. * + — + ln **~~ — -С.
x
jx j
202S. C - w. ■ ■■^ 5 + я 7 7 Г Г 9 » + 1 п | * - 2 | .
3 ( x — 2 ):l ‘ 2 (A-— 2)
2027.
I
+ - * - ln |£ = - } | + C. 2028. 2 l n ^ + 4 l
x+ 2 j
л- ■ 2
\x+ l
* 9' 2 ( ^
+ l ni ' - S | + C -
am ,
+ i l _ ^ 3| x ^
2031.
(А- + 2Г2
1
'4(x-l)a
f g + c.
9
,3 1
4 (jc— 1) r 8
5л: + 12
x'“ + b x + 8
'
In Ix —1 l+'g' 'п I * + l 1+0«
326
ОТВЕТЫ
2032. _ l - + l n ^ —
х—1
:0 3 3 . 1
3 ),+ с .
\ х\
— A l n | * | + 2 0 1 n | j e — 3 | - ^ 1 п | * — 2 | + С.
»34.
( 1+2i « ) - 2 l 7 = 5 i + C- ”
£036. ІП — Ш = Г + С .
2 037. 1 I n - ^ Ш
Yx*+l
x2- x + l
6
5- € - r ^ h f
+ - 1 a rc tg £ £ z i + c<
Уз
У3
2038. l l n - -1^ ^ ' -L + ^ a r c t g g ^ l + c .
3
»
.
y V + x+ l
*
f
£
^
/3
/3
+ ^ „ c lg £ = l + c .
» 1 0 . < £ + U l+ i „ i ^ L _ , r c lg I + c .
2041. i l n
4
_l11-^—~ Xx
---- ~ arctg * + C.
2
2042. — ln ^ + 1 ) 2 (X2 + i) ~ 2' 3rCtg А’ ^ С'
2043. 1 ln I де+ 1 1 - 1 ln (*2+ 1 ) - - J _ - - + C.
»«■ т [ ' » т і Ә т + ‘' " « « - < ^ і ғ ] + с 2045. ^ — 2 х — ү + 2 ln (х2 + 2л; + 2) — 2 arctg (x + 1) + C .
ОП/.С i
*2 + 4 , 3
. x
ЗУ2
t xV2 , „
7 ^ T t + ^ arC g 2 ------ 2 - arc‘S - | - + C.
2047*. — ^ г - l n f . + * V^2 + 1 + — arctg
+ C . (В знаменателе подын4
У2
х 2 - х У 2+1
4
l-* 2
тегрального выражения прибавить и вычесть 2л2.)
2048. _ 2 ^ _ + М * 2 + 2) ------- 1 arct * + с .
4 ( д;2+ 2)
2
4 (/ 2
J /2
2 0 4 9 . - l l n | * | - l l n ( * * + l ) + ~ l n ( * * + 4 ).
1
16 “ч ~ і
18
v I v I 288
'
' '
24 (л:2 + 41
.
13л:— 159
53
, х —3
„
205°- 8 ( * * - 6 * + 1 3 ) + 16 3rCtg
+ Сrnr 1 3
. ,
5 *3 + 15х2 + 18л;-|--8 г
-8~ arctg (Д.+ 1)------- 8{х2 + 2х + 2 -; - + С.
2052‘ 216 (х* + 9) +
2053. з ^ Г Д у -
2054‘
І
'
36 ( ^ + Э)2 + 648 arctg 3"+ С’
І п Ц Ч -1 1+ {
15дг^ + 4 (к 3 + 33*;
15
,
Ш ( 1 + ,* ) + С.
„
481Г+^з
- + Г8 a r c t g , + С.
1 /2л:6 — Зл:3 , 3
+с.
2055* Т І 1 Г Г Г + 2 1п *2+ 1
205в- w t j + i + у % arctg Т Г
ак т. (, _ 3^
4 т ) + 1п іЙ
- 2 1 п { х 2 + х + 1 ) + т - ¥ + г + 2 jc+ G *
т + з г с іе х + с -
327
ОТВЕТЫ
12х2 — 5х — 1
2 ( х “— х 2) ‘
2058. С — 6 ln
1
In / х 2-{-1 + С.
*2 (*2+ 1 ) ‘
1
\ + Х
* —2 , 1
,
, „
2060.
f X arctg*+C .
2
( 1 + * 2)2 + 4
д:2+ 1
2059.
2061. - | і п | ^ І І
3
*3
x-f-1
2062.
6 i s [ arctg
^
-С.
3 (л * + 1 )
,
з (J C + 1)
18(х+1)
(x2 + 2 * + 1 0 ) 2
*2 + 2 л :+ 1 0 ^
]+с.
2063. g-arctg ( * + l ) + -g- ■x i + 2 x + 2 + 4 (*2 + 2* + 2)2 + C
2х + Ъ
'1
X
•y6 arctg - j — arctg ( * + 2 ) .
8 (л;2 -J- 4)
2 (л:2+ 4 * + 5)
^
5 7 ^ + 1 0 3 * 2 -1 32
57
.
8 x'
2065- C --------8* (*2+ I)2-------- ¥
3 — 7x — 2x2
\x -l'
2066.
- + ln
C.
2 (x3 — x2 — •*+ 1) '
(x + 1 )2
/ З + л г /2
«67.
+ C.
ln
8 /6
/ З —x / 2
2064. C-
10
2068. ln
10
5
С.
(1 + / * Г
' Y i
V i ‘ 3 Yx*
2069. 2 } a ' — 3 Y x — 8 j rx + б V * + 48 ly ' x + 3 ln (l + Y ' x ) +
I 3 3 . /g ,— 12/— . 0\
171
, 2 гү х — 1
+ y l n ( y x — у * + 2) — — a r c t g -----/7
/7
2070. 6 [ j - ( * + l ) 3/ 2- l ( x - + l) 4/3 + I (j, + 1/ e _
-C.
~ g- (Л:+ 1 ) + - д (■*+ 1)5/6 — "J- (* + l) a/3j + G ,
/ l + л ; - / 1 -*
2071. In
y i + x + V l - x + 2 arCtg/ l +
2072. ( / * — 2) ] / 1 — x — arcsin Y x - \ - C ■
2073 . 6 / ( 1 + x)* p ! +[(^
2074. In
^ +C
— l + X -L
+ *
5
' " T - _ г т ] + С'
____
I «2— 1 I
/ и * + и Ң - і ' ' '^
4 4 Г x —1
2075*. -3 - j /
+
a rc tg
“ T у зT
Умножить
+ c ’ где “ “ l / " п Ң -
числитель
и знаменатель
дроби на
■(/ х — 1 и вынести множители за знак радикала.
2076. ~ х У х + ^
“ *2 V * + 1
13’
5
11
2077. 3 In
l+ V x
2078.
+
2 /* + 3 ]
*2
V * ■+ f 7 *а
+ С.
+c.
2 (1 + V * ) 2 J
In ( / * 2+ ! _ ! ) _ * ln [ / (Л2 + 1j* + «/*» + ! + !] +
, /3
. 27 ^+ 1 + 1
+ ^2“ arctS
КЗ
+0.
328
О ТВ ЕТЫ
1
2079.
ft Г
у ( ! + * * ) • — -5- V (!+ * » )* + с .
и * + н 1
1
, 2и -}- 1 , _
V x a+ 1
2080. >1 ,1п —
;------ ------------- т~ arctg — +----- ^ С, где и = - ----- —
6
{ и - 1)2
j/ з
s ]/3
х
2081.
1 ,
УТ+х*+х
2082.
' ,п ^
4
1
‘± 1 _
х2
.
1
/Т + Т *
, „
l-U + i+ c .
4
х4
2083. у (4 У х + у х — 3) У 1 + V х + С2084. бы + 2 1п г - ; ”- ' 1 Г ~ 2 К З arctg
У иJ -|- и -j- 1
уз
2085.
іа ІП Vу и3
!'^ +
4 и~ ~+ !1т +
0 arctg
+ С, где и = У \ + У х .
у 3 + С' где и = Ү і + з А .
2086.
у 3
х у 3
VT+f + x
| / у ( 1 + х3)1 + х V 1 -р г 1+ х2
2087.
2088.
I + **
c - i * v1 . m и +
w m1 -■ w
l
+ 1
2« — 1
2 ( к 3 + 1)
6
.
In --------------------------— a rc tg — ------ |-С ,
j / tt2 _ M + i
2 /3
КЗ
3
где « = | /
2089.
rv ^ 3
З Г,7Го ,
12 Ң
з -------- Щ - +
2090.
* cos3 х (3 cos2 х — 5) + С. 2091. - —!—----------- ------ [- С.
15
3 cos3 х
cos х
3 ' V ^ _ "у « 41 , „
7~
2092. 1п . tg -V ----- 2 si‘i|2 х— I- С.
2094.
2098.
' 4 _ J + C’ где “ = 1+ V х-
2093. tg х +
sin 2х —
х + С.
(tg2 х — ctg2 * ) - f 2 In j tg x l + C.
2095. (tg2 ж - 1) (t^4 * 4 ; IQ.tq2 * + 1)
■i iff1x
2097.
1— л:»
I Cl§ 2 “
i^x
c
2096,
1
+ a
cos x — 1
6 "J®" 2 + C 5
/ , sin 2* ( « * * * + -4- « * * •* + g ) + C.
2099. * — -Jj ctg3* + ctg x + C. 2100. ^ tg4 .V— ^ tg2 X— In I C06 X I+ C.
2101 .
* ctg’ * + ' ctg6 x — .* ctg3 Л'~j-ctgx + C .
1
_
COS X
и
О
1 .
2 sm*~x + 2
1 - r t2 X
+
2103. i m
1— tg*
2102.
,
2
sin x cos * + C.
329
ОТВЕТЫ
»< « • С - Г П Р -
Ж
2118. ln
1 / Я , лг
tg ( ‘8 + 2
fC .
x + a r c tg -
]
2106.
К - '"
-
‘g -
I C sin x I
у 1— 4 sin- x
+ C
2
С sin x I
У cos 2x
2107. in
2109. J - [x + ln ■sin лг+ cos x |] + C.
5 tg |+ 4
-C .
2110. ~ a r d g f c tg -2' ) + C ‘ 2 , I , ‘ ■§ arctS
2112. ln (2 + cosx) + ^ = a r c t g ^ t g | - j + C.
2113.
COS X
(COS X — s in x )
1
In I cos x — sin x I C .
2
2114. 2'j-* 2 5 1п ^ е * + 2 ^ 5 ^ * + 2)
25 In j cosxj-j-C.
. 4 sm 2 x + 1 ,
cos2x — 15
arcsm -г——г—t;— f-C.
2115.
4 + s in 2x
15 (4 + sin 2x)
15 | / 15
2116. ------ 2117. ~ arctg (3 tg * ) + C.
2 — tg
2118.
arctg ( y 2 t g x ) + C .
2119. -J - t g x + ^ y - arctg ( / 2 t g * )
J ctg i + "
2121. C —
V
t g - Л' +
tg x
212f). jL arctg ^ + 0 .
arctg (
#)]•
Iv t g * — 1
2122. In .
+ C.
. ^
1
a « , g 2 f c ± i + C.
/3
cos ^ - j + C для значении x, удовлетворяющих неравенству
2123. 2 ^sin * —
X
«... 2 -f-cos I 5= 0, и — 2 (sin I — cos ^ j + C для значений л-, удовлетворяющих
неравенству sin ^ -|-cos ^ ==S 0.
2124. 2 ] / t g * + C. 2125*. C2126. 4 { / t g x + C .
4 /2
j/ctg^X . (Положить и = ctg ДС.)
2127. - ^ l n ( / 2 t g x + / l + 2 t g 1 x) + C.
у 2
2128. 2 arcsin / і і п л + С. 2129. С — -* tg a- (2 + tg2 x) / 4 - t i g 2 a.
2130.
2131.
------Г
1 + 1 / ^ cos 2
= + 2 arctg у cos 2— ln......... .......-Қ .
1I /f
COS -j
^
[i n
’
(s in х +
i-jA o efсо в*—
Y
s in
2 a) - ( - a r c s i n
(s in
x—
co s*)] +
C.
ОТВ ЕТЫ
2132. sh t + C. 2133. c h x + C.
2136. i s h 2 ax + C.
2134. i h x + C .
2135. * + C.
2137. sh X - ^ x ~ x + C. 2128. * - t h x + < 3 .
1CL
2.
2139. x — сШлг + С. 2140.
ch3 * — ch x - j - C .
2141. s h * + 4 - s h a A:+ C. 2142. х — і һ х — - У і һ 3 х + С.
«J
*J
I s h 3* +r 45"S h 5 * + C. 2144. 1n ! sh A-1 —
2143.. -3----------
cth2 x —
cth 4 X+ G .
2145. ln I t h * j + C. 2146. ln t h - I + C.
2117. |
lh| _
^
, W i . + c.
2 148. ^ І п ^
і +
^
- a r c l g / t h « + С.
2149. x t h x — I n c h x-\-C.
2150. C 3 shJ x ’
I cx I
_______ = . (Можно применить подстановку, например,
2151*. ln
2 +
* +
2 / л 2+
* + 1
V
2152.
arccos - —^ + С . 2153. arc sin X
I')
x /2
/ 2 + лг— *2 + у 2
2154. C — ~ ln
2 /2
/2
2155. ln I лг+ 1 + | / 2* + л:2 | —
2156. С ----- -- In
/3
2157. С —
In
JC+ / 2 * + *2
3 + З л г + 2 / 3 ( л : 2+ * + 1 )
л— 1
* -С .
-С .
х + Ь + У 60* — 15л:2
2* — 3
2158. - I ( x _ l ) / x 2_ 2 * - l - l n | * — 1 + / * г — 2л:— l | + C .
2159. j [ x — j ) V За2— 3 * + 1 +
+ « 7 з In | ^ - 3 , + 1
2160. І ^
+ 2) / 1 - 4* - л2 + 5 arcsin
(2 * -1 ) [ + С.
+ С.
2161. С
1п | 2лг— 1 — 2 / * 2— * + l | +
2 ( 2 л: - 1
- 2
/
а'2 -
л
+ 1 )
2
+ 2 In I х — / я 2— х - \- 1 (•
2162. In
2163
,г_1_/А2 4-1
/1+*-
+ С,
1 / а Ч - 2а + 2 + |п (х + 1+ у ^ + 2дс+ 2) + а
2164. 1 ( 3 - л ) / 1 — 2л:— х2 + 2 arcsin
С.
2165. a / л2— 2 л :+ 5 — 5 In (* — 1 тЫ 7 *2 — 2л + 5) + 02166. С — 4 - (3jc— 19) / З — 2л:— х2 + 14 arcsin
.
ОТВЕТЫ
331
2167. (*2— 5 * + 2 0 ) / * 2 + 4* + 5 — 15 In ( * + 2 + / * 2 + 4 * + 5 ) + С .
2168. ( у * * - | - * + 1 ) у * « + 2* + 2 + |- 1 п (д: + 1 + У л:3 + 2 а + 2 ) + С .
2169. (Jt2 + 5лг + 36) У х 2 — 4 х — 7 + 1 1 2 In | * — 2 + /л :2 — 4л: — 7 J + C.
2170. ( х *?- ^ * 2+ й * - ' і т ) ^ * 2+ 4 * + 5 +
+ 1 - 1п (а + 2 + / Ғ + 4 І + 5 ) + С.
/ х 2+ 2 х - 3 , 1
2
_
8 (л:+ 1)а + 16 arCC0SA :+ l +
2172. - ^ 7 = In ¥ — t 2x2~ X. + ! п (* + / Ғ + 1 ) + Г .
2 /2
/ 2 + 2*2 + л:
2173. / 2х2~ 2 х + 1 + С .
2174. in
_
/ л : 2 + 2л: + 4 + 1
1 arctg / 2 ( * 2 + 2* + 4)
/ 2
*+ 1
с>
о, 75 с _____ !_________ !_________ 3__________ 1___
8 (дс— 1)в
3 (л:— I)9
10 ( х — l)lu
2176. 1 [ Х3 + У ( х 2- 1 ) 3] + С. 2177. —
11 (* — 1)ч *
3 28^ ^ + * " + ° '
! m W S « * « (* “ / т ) + с 2179. - і arcsin л:— І І ^ / 1 — ^ 2 + С .
2180 — _2* I ^ In ^*
2
+ б
2181. -4! - 1 п'
1 I (Х~Ь2)32 ■ ,,
|л+1 |Ч
+
*
I 1 + Х + 'у arctg х + С .
1
3
х
3
2182. ¥ a r c t g A - TT^ — n - - I B ln
* “j-- 1n I +
X
c.
2183. 2 / jc+ 1 [ln I ДГ+1 1— 2] + C.
2184. ^ i - x + - |- j c o s 2 j c + ^ - i x 2 + | - x + ^
sin 2 x + C.
2185. x2 c h x — 2<sh дс+ 2 ch л '+ С .
2186. x arctg ( ! + / * ) — У x-\- ln | д с + 2 / л : + 2 | + C.
2187. ln
1—y i —x*
2188. 3eV * ( У І Р — 2 У х + 2 ) + С.
2189. З е ^ ( f / x l -— 5 / Ғ
+ 2 0 л :-6 0 f / " ^ + 120/ л — 120) + C .
2190. e * * ( ^ j x 3- x * + J - * + l j ? J + C.
2192. / * - H 3 * + 2)_ + 3 a r d g ^ ^
2193. |
+ |/ i ^ T - i l n U
2191. 2 (sin / ж - / х cos / 5 ) + C .
7
+Ct
+ / ^ T |+ C
.
332
ОТВЕТЫ
2194. In (* + ] ' I + Х-) —
2195
f ^ 3-
У (\+ хіү>
]/(!+ * +
3x‘
У l + x*
+ С-
I *) V X - + 1 + 1- In (x + y ' x - + l) + c .
2196. 3 [in I и | — In (l -j- У I — u?) — arcsin1u]
ц] +
+ С, где u = yrx2197. 15^ + i ^ Z 2 + 1 5 ln
4х2У \ + х
2198. С —
2190.
V 'ix + \
8
220Э.
tg a
4
-\-C.
V 2‘ x + 1 - 1
+ ln
I^[i ln? b ^
L
X
С—
In
/> + * -1
У i+*+i
У2х+ 1+ 1
_ K 3 arctgT F ) +c’ где г = А
+
^ arctEF F + c -
8sm=|.
sin (a — x)
In
+ C, где a = a r c c o s
fc- sin 2 a
sin (a + jt)
tg x
J
■arctg
+ C, где a = a rc c o s --. если a° > b1.
a- sm a
sin a
a ’
2202.
2203. ^ j f - l n ( l + * » ) - - | - * 2 + - j In (я2— ДГ+1)—
если
а 2 < 6J|
In (jc + 1) -f-
2
, /3
. 2x— \
-f- — arctg — ;------
2
|3
2204. - J L + C. 2203. arctg у гҒ = Т - - - Д 4 = + С.
In x
V Х-- 1
1
2206.
2
c-v [(x- — 1) cos * + ( x — l) 2 sin .vj + C.
■V-f
2207.
‘
220?.
2 ta2 j-_3
+ C. 2208. : ь
+ C.
d У tg *
(tg4 x — ctg4 x) + 2 (tg: x — ctg2 x) + 6 In j tg x | + C.
2210. arctg (tg2 *) + £". 2211. In
2212. arctg
tg x
1 + tg 0
+£•
■In ( ^ 2 + tg J я + tg x) + C .
y u + tg*x
m 3 . Іпі ! ± 1 ± й 1 ± 5 і 1 ± 1 + С.
2214. С -
■In
лг+ 6 + УобҒ—Пб^
2х — 3
У 15
2216. 2* У 1 + еЛ— 4 У 1 + ел' — 2 In
2217. і
6
In
2215.
/ і + е л —і
|/ [ + ел + i
ех
1+л
+ C.
arctg де
хarctg л:
2(1+ хЦ
2219. . 1 In
4
У * 2+ 1
6 ^ +C‘
3-vJ
arctg *
4
+1 -4 (1
arctg x
2 (( + Jf)
+ **)
1
■4(дг+І)
2220 . JC— loe2 ! 1~ 2* і + Һ Г 2 І П І ;2х
+ C .
2 (1 -2 * )-
+ (3(1- һ ^ ] + с '
333
О ТВ ЕТЫ
a rc tg
2223.
л :------- ^ - _ a r c t g . 1 + 2 . .-g- -
2224.
-
/3
ос
2х
- j - s in
+
4 - * * + - ! In 0 +
2 2 2 fi
______ 8 ________________ 2 7
2
(х —
49
С-
2227.
при м ени ть
'
49
(х +
a rc tg
(V
2 c tg 2 * ) .
arcco s
2)
j_ с .
п одстановку
х
+
т
1
1—ех +Ү і-і-ех -\-е*х
4х
1
+
^
2228.
2.)
— =
s in 8 л +
С.
~ьс.
* tg | - +
(Р а з д е л и т ь
1
2х +
s in 3
(1 + 1 х2)а 1 •
'х— 5
30
+ 343
х+ 2
5)
^
2229*.
s in
1 */ 2)1
------------- К
In —
-f С.
^
2225.
2
2222.
]/3
7
1
х—
-1- ех — V 1 4 - ех 4 - е^
1
(ех — е~х) + С.
2221.
С.
чи сли тел ь
и зн ам ен атель
2 2 3 0 . e s in j£ ( я — s e c * ) +
на
х2
и
С.
К главе VII
2231.
2 ( / 8 - 1 ) / 3 .
2235.
^ - c o s c p 0.
2240.
я /2 .
2246.
In ~
2251.
2.
2236.
2241.
2232.
12.
2247.
2252.
2 /7 .
+ c tg ^ a _ d g a
0 ,2 In
0 , 2 ( е — 1 )5.
2242.
е— / е .
2253.
2257.
.
2248.
4 /3 .
1.
2254.
2258.
~
.
2238.
2255.
— /2 /3 .
.
2244.
2249.
у
— 0 ,0 8 3 ...
2259.
2234.
3 1 п ^ - ^ .
2243.
a rc tg у
2со
-5 (/1 б -1 ).
2233.
2237.
1 + y l g e .
.
7 /7 2 .
2.
In |
.
2256.
А
3
1 -2 /е .
7 ~ .
О
2239.
1 /4 .
2245.
4 /3 .
2250.
л /6 .
+ Л _ а
4
2260.
+
л/2 — 1.
О
2261.
" ( 9 ~ 4 У І І) +
2265. 1411 ^
20
2269
22ъ а . а)
а)
2270.
. 2266.
In |
4
. 2262.
2267.
л 3- 6 л .
5
2263.
2 - ^ у .
2268. 6 - 2 е .
• б) 87 56 - 43 , 12 . -я2 ~ 0 ’ 429-’ в)* '1 ^1 - 89 -. 76 -' 54 -' 32 =
1 5 , OJ
=
=
6 9 3 ’
Если л нечетное, то
( л — 1 ) ( л — 3 ) ■ . . . - 4 •2
т' п
( /л +
л)
(т + п — 2
) . . . (от +
3 ) (о т +
1) ’
если /я нечетное, то
j
—
(m — 1) (от — 3) • ... • 4 • 2
#
п,,п — (m + n) (m + л — 2 ) . . . (л + 3) (л + 1 )'
если т четное, л четное, то
(л — 1) (я — 3) ■ 3 ■1 •(m — 1) (ш — 3) ■... •3 ■1
( т + л) (m -f я — 2) ( т + л — 4) ■ ■ 4 - 2
2271. (
1)» л і[і
е (nl + (n_ j J| + - + U + 1)]*
л
2 ’
2264.
1.
334
О ТВЕТЫ
2272. 11/48 + 5я/64. 2274*. p\q\/(p-\-q-\-\)\. Положить jc = sin2 г и испольч
вовать результат задачи 2270. 2275. 7 + 2 In 2. 2276. 2 — я /2 . 2277. 32/3.
2278. 5 / 3 - 2 In 2. 2279. In е + К і ± el ,
1 + /2
2280. 8 + ^ і ^ я .
2
2281*. ~ п .
16
Полан
я /2
гая x = 2 z , преобразуем данный интеграл в 2 J sin0 zdz. 2282*. 8/35. Поло»
о
шить x = z / 2 . 2283. я/32.
2284. / 2 -----^ +
/3
2287. ^ я
In 2 + ^ ~ . 2285. 8/15. 2286. / З - я / З .
Н -/2
+
- 8j . 2288. Зя/16. 2289. я/16.
2290. ^ + 1 п ( 2 - / 3 ) . 2291. я/4. 2292. / 3 / 2 4 . 2293. я /3 .
2294. arctg i .
2295. / б / 2 7 + я / 2 / 4 8 . 2296. 20/9.
2297. 2 1 п |-« = 0 ,3 6 5 . 2298. 2/я; 1/2. 2299. 2 + l n ^ j - j - . 2300. При а = е .
2301 . y l n | - .
2302. 2/45. 2303. 8 In 3 - 15 In 2 + ^ .
2304. А ( 5 + 7 / І 2 5 ) .
2305. я /6 . 2306. а2 [ / 2 — In ( / 2 + l ) ] . 2307. / 3 - - i ln ( 2 + / 3 ) .
2308. 848/105. 2309. 4 — л . 2310. In -7 -+ 2 ^
J
2312. ^ § агс^
‘ 2313- t V
-. 2311. - J — -І-.
1
A
' 2 3 ,4 / Й - 3я2 + 24-
t
‘
a
2315. l | i _ 2 / 3 . 2316.
2317. т Ц а In
2319. jc= 2.
3
27
б /б
a 2 — 02
2320. x = ln 4 . 2322*. Использовать соотношения 4 — x2 3 = 4 — x2— x32 ; 4 — 2x2,
справедливые при О ^ д г ^ І , 2323*. Воспользоваться неравенствами / 1 —
= = s /l — х2пй £ 1 , где — 1 s= x = < 1 и и 3= 1. 2324. 1,098 < / < 1,110. 2325*. Вос­
пользоваться для оценки снизу неравенством 1 + х 4 < (1 + х2)2, а для оценки
сверху — неравенством Коши — Буняковского. 2326. / (1)
1,66 — наибольшее
значение, / ( — 1 /2 )= = —0,11 — наименьшее значение. 2327. Минимум при х = 1
((/ = — 17/12), точки перегиба (2, —4/3) и (4/3, — 112/81). 2332*. а) Заменить
переменную интегрирования по формуле / = — х, разбить отрезок [— а, — х]
на два отрезка: [— а, а] и [а, — х], и учесть, что интеграл от нечетной ф унк­
ции на отрезке [— а, а\ равен нулю, б) Нет, если а ф 0; да, если а = 0.
2333*. Положить t = \ /z. 2338. Каждый из интегралов равен я /4 . 2339*. По­
ложить х = я — z. Интеграл равен ах2/4. 2340*. Разбить отрезок [а, а + Т \ на
отрезки [а, 0], [0, Т] и [Г , а + Т], затем, пользуясь свойством /( * ) = / (х + Г ),
a
показать, что ^ f ( x ) d x —
о
a-f Т
С / (х) dx,
Г
равенство эквивалентно равенству
2341*.
Требуемое для
доказательства
х+Т
jj
X
/ (z) d2 — 0, Убедиться, что интеграл
т
в левой части этого равенства не зависит от х, и затем положить х = — ^ .
2342. — 2 - 4 - 6
1 - 3 -5 — • (2 я + 1 )
2343. Подстановка г = tg {х/2) незаконна, потому что
335
ОТВЕТЫ
функция tg (лг/2) при х = к разрывна. 2344*. Д л я оценки /„ использовать, что
1п убывает при увеличении я . 2345*. Заменить переменную интегрирования
x4-t
по формуле 2 = —2 — и учесть свойство интеграла от четной функции,
2346*. Заменить переменную интегрирования по формуле г=к<а2х2 и приме­
нить затем правило Л опиталя. 2347. По правилу прямоугольников л «а 2,904
(с недостатком) и я «=: 3,305 (с избытком). По формуле трапеций л к эЗ ,1 0 4 .
По формуле Симпсона я « s 3,127. 2348. По правилу прямоугольников я*»3,04
(с недостатком) и я<=»3,24 (с избытком), По формуле трапеций л «а 3,140. По
формуле Симпсона я « а З ,1 4 1 6
(верны все знаки), 2349. In 1 0 2 , 3 1 ,
М «=
= r- iT7 ; «sO ,433. 2350. Р«0,84. 2351. <^ 1,09. 2352. ss 2 ,5 9 . 2353. «*=0,950.
In 1 0
2354. я» 1,53. 2355. «а 0,985. 2356. »=»0,957. 2357. «а 239 м2 (по формуле Сим<
пеона). 2358. к» 5,7 ма (по формуле Симпсона). 2359. =»1950 мм2. 2360. «»10,9.
2361. «=»36,2. 2362. я » 98,2. 2363. е » 9 ,2 . 2364. =»569 мм2. 2365. е» 138 мм2.
2366. 1/3. 2367. Расходится, 2368. 1/а. 2369. Расходится. 2370. я . 2371. Рас*
хол и тся.
2372.
1 — In 2 . 2 3 7 3 .
1 /2 .
2374.
л /4 .
2375.
In
,
2376.
2377. 1/2. 2378. Расходится, 2379. 2. 2380. 1/2, 2381. ао^_у г , если
jr
1
1 /2 ,
a>0j
2л
расходится, если a s g O . 2382. -^- + - = - ^ 2 , 2383. —
2384. я /2 . 2385. 1/2 +
4
2
з /з
- f я /4 . 2386. Сходится. 2387. Расходится. 2388. Сходится. 2389. Расходится,
2390. Сходится. 2391. Расходится. 2392. Расходится. 2393. Сходится. 2394. я/2,
2395. Расходится. 2396. 8/3. 2397. — 1/4. 2398. 1, 2399. Расходится. 2400. 2,
2401. я , 2402. п ( а + Ь)/2, 2403. ЗЗя/2, 2404.
2405. я / / 3 . 2406. 1 4 - І .
9
2407. 10/7. 2408. Расходится. 2409.
6
— ^
2410. —2/е. 2411. Расходится,
2412. Сходится. 2413. Расходится. 2414. Сходится. 2415- Сходится, 2416. Рас­
ходится. 2417. Сходится, 2418. Нет, 2419. При £ < — 1 сходится, при k 3 =— 1
расходится.
2420. 1) При й > 1 сходится, при k ^ l расходится.
2
) / =
д | [п у ь -і. I если * > !; расходится, если £ s £ l ,
2421. При k d
сходится, при й э = 1 расходится. 2422. Расходится при
любом k. 2423. Сходится при совместном выполнении неравенств k > — 1 и
< > £ + 1 , 2424. При т < 3 сходится, при т ^ З расходится. 2425. При А •< 1
сходится, при f e ^ l расходится, 2426. я . 2427*. 5я/3 , Положить х = совф и
проинтегрировать по частям,
2428. ~ +
4
я ---- In 2,
2
2429-
2430- я1* 2431 • w,/2- 24327
жить
m (т — 2) ■ . . . - 4 - 2
2 ’ 7
m ( m — 2) • . . . • 3 • 1
„
2я (2я — 2) ■... • 4 • 2
у-.
л = sm ф.
2434*. 2 (2/t-f-1) (2д— 1) ■— Г3 Т Т '
Положить x = s m 2 <p,
2435. л ~ а (/ —1 при а = я ) ,
sina '
1
336
О ТВ ЕТЫ
2436*. Д л я доказательства равенства интегралов положить в одном из
них * = 1 / г , Затем вычислить их сумму, воспользовавшись тождеством
_____ 1
I -j-x- _ 1 (
1
l+ .v1 2 \ l + x 2 + jey 2 ^ l+jfi—x V z } "
2437*. Представить
интеграл в виде суммы двух
1+00
= ^+
+ 00
интегралов:
I
\
I
\ ; во втором интеграле положить х = - ~ . 2438. О,
2439. у
=
Й
г—
у
—.
2440. \-гп - 2441*. \ г п /4. И нтегрировать по частям.
2442. -5—^ ^ ~2 я
~
• 2443. я /2 . 2444. п/2, если а > 0; 0, если
а = 0; — л/2, если а < 0. 2445. я /2 , если а >■ 6; п/4, если а = &; 0, если
a c b . 2446*. я /2 . Интегрировать по частям. 2447*. л /4 . Представить числи­
тель в виде разнос™ синусов кратных дуг. 2448*. я /4 . Воспользоваться ме­
тодами решения задач 2446 и 2447.
я / 2 —л:
2449*. П олагая у = ~ — z, приводим ф (х) к виду ф(х-) =
f
In sin г с/г.
Я /2
г
г
В соответствен с формулой sin г = 2 sin у cos у
разбиваем интеграл на три,
из которых один находим непосредственно. Д ва других интеграла при помощи
замены переменной сводятся к интегралам типа первоначального; ф
=
j =
In 2. 2430. — -J In 2. 2451. — у In 2. 2452*. y i n 2. Интегрировать па
2
частям. 2453*.
2454. -
л
In 2. Заменой переменной сводится к предыдущей задаче,
j- I n 2.
К главе VIII
2455.
2461-
2153. 9/4. 2457.
16/3.
2л + g- I! 6л -
2464.
*
2458.
(4л+
1/3.
о0
2459. - - / б .
I
2480.
2 -.
/3 ) и у (8 я -/3 ).
- ~ — ab \ n ^ ~ = b [eft — a In (е + / е а— 1 )], где е — эксцентриситет.
2465.
«"[о —
« .[ £ + ! '*
2466.
2462.
ІбрУЗ.
In
In0"34
a ^ J - ^ l n (/З + | 2)j
н
(/3 + /2) .
5 ( =5л =
л— у“ In3—2 arcsin |/^|-яз0,46;
S 2=
2 (л — SJ.
2467. л / 2 - 1 / 3 . 2468. 1/12. 2469. 1/12.
2470.
п оба
tit — п
111 -j- п
нечетны
*4
т —п
т -\-п
_ I m —п ,
, если т и п оба четны; 2 — ;
, если
’
m + п 1’
т и
, если т и п разной четности.
2471. а) 3/14; б) 73 -А-. 2472. 1 (фигура состоит из двух частей, площади
которых равны между собой), 2473. 8/15. 2474. Зл /4 , 2475. 4/3. 2476. л а 2/8
337
О ТВ ЕТЫ
2477.
2480.
8 ^ J / Л
+
3 (e 3 — 4)/<?.
1
/ 3
2481.
— a rc tg j / " l +
а ) ft ( l n ft — 1 ) — a ( l n a — 1 ) ;
2484.
3 ~
2488.
/ 2
- ІП і2 .
lb
— 1. 2 4 8 9 .
я /4 .
1) £ | : ( « + l ) ( / t +
2494.
1)
2496.
я а 2/ 4 .
2501.
/ 3 ;
51 / 1 / 1 6 .
рассм атр и вать
2)
e+
l/e - 2 .
2479.
4.
2495.
а 2.
2505*.
и зм ен ен и е
ф
1 ) 4 я 3а 2/ 3 ;
4я.
ln
2492.
2487.
б
о
б л а 2.
2 ) 7 6 а 2л ' 7 3 .
1 8 л а 2. 2 4 3 9 .J I 2 ( 4 — я ) / 3 . 2 5 0 0 . 3 7 я / 6 — 5
а2
^
от
2509.
З л о 2. 2 5 1 5 .
( « _
+
о
l> ( « _ 2 ) .
2502.
2.
3 — г.
~
2) ^
л а 2/ 4 . 2 4 9 8 .
2513.
2483.
З л а 2/ 8 .
2497.
а 2 (I -Ь я /6 — / 3 / 2 ) .
a.
6 ) ft —
З л а2. 2 4 9 1 .
2 );
8 /1 5 .
2508.
2514.
2478.
2485. 2 - / 2 .2 4 8 6 .
2490.
2493.
О
/ з ) .
1 8 /e 2 — 2 .
2482.
2 ІП 2 ~
1
0
(a 2 +
2516*.
Д л я п остр оен и я ли ни и сл ед у ет
до
ft2) .
/ 1
Зя.
2510.
1) / п / 2 ;
2506.
a 2.
2)
2511.
/ л .
я /4 .
2507.
я / 2 ,
а 2.
2512.
В о сп ол ьзо ваться
я.
тем ,
СО
что ^ e ~ * 2d x = У л / 2 (интеграл Пуассона). 2517. я а 2/2, 2518. 2 — л/2 и 2 + л /2 ,
о
2519. a sh
a
_____
2520.
Ур У У + р і + Р и ^ - ± Ц ± £ 1 .
2522.
In 3 —
2525.
4
2528.
I
' .
2E 2?.
2526.
4‘
6
4« / 3 .
J - In 3 .
4
2529.
2531.
При
/ =
2 л /3
2532.
При
t—
л /6
2 ;3 3 * .
2534.
2538.
4
5a
4 / 3 .
2543.
па
2524.
2527. ~
+
2.
а
+
/? /8 ,
2547.
чи сло.
2535.
+
я In
s in 1 /,
2536.
л 2К / 2 .
2537.
2551.
In
и м еть
вид
In ^
j2 .
"- 'У т Ь - 1
2Л
или
».^
2/V — 1
~ .
элли п са
м ож ет б ы ть
зап и сана
в
ви де
________________
при м ени ть теор ем у о б
оценке
я 3/ 3 .
С
+
L = 4 jj ( / a2 cos2 С-\-Ь* sin2 1+ / a 2 sin3 1+ b- cos2 1) dt%
и
l).
З с /2 ].
/ і + 4 я 2) . 2 5 4 5 .
2550 . 4.
длина
In ( / 2
л
1 1 п (2 я +
что
</ =
1 ).
fe д о л ж н о
л/4
+ 2
V
25^9.
2554*. Д о к азать,
"
x = a c o s 3 t, y = b
яа.
2
. ( |
| / = Л /8 ).
- ^ - In ( 2 + / 3 ) 1 .
2 К 3
I
1 + 4 я 2+
}іп -® -.
2 In t g ^
(2 л /3 — / 3 / 2 ) ,
( ,t = 3 / 3
2 {е‘ —
»
1+
2530. 8.
a+ b
1 1
L
у
[л : =
£ = ^ .
^ в Ь ~ Н > ■. П о л о ж и т ь
2541.
2546. 8а.
/V — ц е л о е
°
І п
2521.
и н тегр ал а,
гд е
338
ОТВ ЕТЫ
4
4
8
ntfi
2555. 2я. 2556. 1) у я aft2; 2) у л а 2й. 2557. jg nh?a. 2558. — (За + ft],
2559. ^ ( Й2 - 1 ) .
rr ГрчЬ_о-2Ь
2560. ~
(Ла_р-ъа
т
^ -------~ ~ Т ------- Һ2 (й — fl)J. 2561. З я /1 0 .
2562. ~ (15— 16 In 2). 2563. я
2^. 2564. 8л/3, 2565. 2 я 2,
2566. ^ ^ / 2 1 n ( l + / 2 ) — | j . 2567. 1) - |я а З ;
2)
л 2/ 16.
2568.
5яЗД1.
2569. па?
— - I V 2570. ~ па?. 2571.
2572. я 2/2. 2573. пе/2,
\ 2
3/
105
ЮоаЬг
2574*. 1) л; 2) я | / л / 2 . См. указание к задаче 2516. 2575*. Зя ^ 2 л /32. См.
оо
указание к задаче 2516. 2576*. я 2. В оспользоваться тем, что
|
dx = ~
о
(интеграл Д ирихле). 2577*. 2л 2а3. Целесообразно перейти к параметрическому
sin ^ ^
2
4
заданию, положив х — 2а sin2/, у = ------- г— . 2578.
па 3. 2579*. -=-яойс. При-;
COS t
•*2
менить формулу V = ^ 5 (х) dx,
где
Ij
о
S (х) — площадь
поперечного
сечения.
2580. 1) я К 2 ; 2) 36л. 2581. Vl = n / 5 (2 / б - 11/3), ч2 = л / 2 (2 / б + 11/3).
2582. v1 = v3 = 4 n ( y 6 + V 3 — 4), у2 = 8 я ( 4 — / з ) . 2583. в я ^ б / З . 2584. 8я.
2
2585*. -д- І?2/ / = 400 см3. Принять за ось абсцисс ось симметрии основания,
2586. - i ahH = 128 см3. 2587. ~ а Ь Н = 133 \ см1.
15
3
3
2
2588*. g n R 2H. Площадь симметричного параболического сегмента равна
ah, где а — основание сегмента, а Л— «стрглка»,
2589*.
2590.
8а3/3.
2595. ~
^я + ~ j и
2591.
— '!')■
8яН /3,
( / ( і + а4 ) з _ і ) .
, лЬ3 1+ е
и 2ла2 + — In | —1
(См,
16
2592. - R \
О
2596.
указание
2593.
д
- f - (е2— е-2 + 4),
к
задаче
2588,)
4
-Z R -H ,
2594.
„ па2.
О
2597. 2лй2+ ^ Н ^ arcsin е
Ь
где е — эксцентриситет эллипса,
2598. 2 я [ / 2 + 1 п ( 1 + / 2 ) ] . 2599. л f / 5 — / 2 + In 2 ^ + 2 ~| .
L
К 5+1 )
2600. Зла2. 2601. т £ V 2 ^2 —
2604 .
8 я а2 ^я —
.
2605.
.
| 2 я а 2,
2602.
2606.
(ея - 2 ) , 2603.
4 л 2Л
2607.
л а 2.
2.тш2 (2 — У~й).
2608. л [ / 2 + 1 п ( 1 + ] /'2 ) ] . 2609. 4 л а2, 2610. a!f-/2. 2611. а3/6, а3/6, а 2/ 2 / 1 2 ,
2
2613. Центр масс лежит на оси симметрии сегмента на расстоянии — Һ от
о
о сн о ван и я,
2614.
Д ля
Si-
£ =
3
-g -
а,
т ]=
3
-^ 6 ;
для
S a: g =
з
jg
а,
о
ц= ~
Ь,
33 9
О ТВ ЕТЫ
2615. | = 0 , i \ = 2 r l n . 2616. $ = 0 t т |= 4 г /3 я . 2617. Центр масс лежит на биса
сектрисе
центрального
угла,
стягивающего
дугу,
на
расстоянии 2г
от центра, 2618. | = я/5, г) = <2/5. 2619. £ = 4я/(3л), г| = 46/(3л). 2620.
+ ^ a rc sin e ,
2622.
где
я /2 + 4/5,
е — эксцентриситет
2623.
Я /1 2 + /3 /8 .
эллипса,
2624.
2621.
3/20.
£ = я /2 ,
2625.
2626. £ = 0, т) = а С4 ~^ йТ _ ~|у ■ 2628, £ = я а > 41= 40/3.
slnT
———
у +
т] = я /8 .
| = 5а/8,
2629. £ = я а ,
т) = 0,
ті = 5а/6.
2630.
1 = 2а/5,
т) = 2 а/5.
2631.
| = 256а/(315я),
т| = 256а/(315я).
2633. g = :6 a (4 — Л2)/.тЛ т] = 2 а (л6 — 6)/я2. 2634. Центр масс лежит на оси
2 г sin а
симметрии сектора иа расстоянии „-------- - от центра круга.
о
сс
2635. £ = 5 а /6 ,
оооо *
а
ц ■11 _
5
2639. £ = 4а/5,
т] = 0, 2636. £ = у г2 я а /8 , i| = 0,
2е2П + ел
а е2Я — 2еп
|
*] р
,. •
ея — е ^
5 еп — е ^
т| = 4а/5, 2640. 3R /8 . 2641. Центр масс находится на оси
// іЛ /^2 I //а
симметрии на расстоянии R/2 от центра, 2642. Я /3 , 3 (д
/
it 0.1
02
2643. /і/ 3. 2644. g- (a2+ a f e + 6 2), 2645. - у - = ЛІ — (/И — масса полуокружности).
2646. ^ (Х+- е)і-
-
2647. /* = ~ я 3; / ;/= 1 6 a :*
2648. ab3/3 ,
2649. 1) Л 3/ 12; 2) а/г3/4; 3) а/г:'/36. 2650. я # ‘/8. 2651. я /? 4/2. 2652. паЬЩ и
яЬа3/4. 2653. я £ 4Я /2 . 2654. nR*H/10. 2655. 8 л Я 6/15. 2656. 8яй*4/15, где 2а —
величина оси, вокруг которой
происходит вращ ение. 2657. nR*H/Q,
2658. 56я/15. 2659. 1) /* = я (е* — 1)/8; 2) / у = 4 л (3 —е). 2660. М Я 2, где М —
масса боковой поверхности цилиндра, 2661.
M R 2/ 2. 2662.
2 M R 2/3,
2663. 9 яо а/2, 2664. Ьп2аЬ2, 2665. Объем 3 У 2 я 2а3/8, поверхность 6 У 2 я д 2.
2666. Объем 12я3а3, поверхность 32я2а 2. 2667. Ось вращения должна быть
перпендикулярна к диагонали квадрата; ось вращения должна быть перпенди­
кулярна
к
2lttl '
медиане,
2670.
2668.
«= 23,7 м,
______ ' а(о + 0 ’
a
2S69.
’
<
дг2 =
*1
+ sin
^ + ^
M 'i + O"
+.ф оj —
2671
’
пг2 '
2672. & т/И а/У (і?- + а-)^ = &тА1 cos3 tp/a2, где ф — угол между прямыми, соеди­
няющими точку С с центром кольца и с любой из точек кольца; k m M /R ,
2673. ‘2кп.іЛ1 f 1 -----— g----- V 2674. 2лк/па.
R2 \
Y a 2 + R 2j
2675*. 2 n k m \h
— ^ = = = = = = г |= 2 я / г / п ү / і ( 1 — cos а ), где a — угол между
образующей
конуса и его осью. Воспользоваться решением задачи 2673,
кМ2
4
2676. 2kmy. 2678*. - ^ - l n - g - . Сначала подсчитать силу взаимодействия элемен­
та ds первого стержня со вторым стержнем (воспользоваться результатом
задачи 2670), а затем найти всю силу взаимодействия. 2679. g 2M 3/(6m2).
2680.
(R 2+ 2 R r + Зг*). 2681. « а 1,63 ■10« Д ж .
2682,
3,5325 • 10« Д ж .
340
О ТВ ЕТЫ
2683. n g d R 2H 2/ 12, n g d R 2H 2/ 4. Величина работы в ответах к задачам 2683— 2686
получится в джоулях, если брать расстояние в метрах, а плотность— в кг/м3,
2684. n g d R ' / i ^ 101,3 Д ж . 2685. n g d R 2H 2/6 = 2,68 • 101 Дж .
2686.
= 2,4 • 103 Дж . 2687. S P a - y / 6 ^ 4 , 2 Д ж .
2688. а Ь Ч у и 2/б я а
<=wll, 6 Дж .
2689. а/і3До2ү/24 я» 0,5 Дж .
2690. ha3d<x>2\/60 =» 0,15 Дж .
2691. n R ’Hof-у/4. 2692. AW'.rt-n2/3600; Л № (Зл — 8) лп73600. 2693. a) а/і2/6;
б) в два
раза.
2697. abgd
2694. а ул2/2.
Һ+
sin
in «V
2
2696. 2 gda2b.
2699. a) gd2H 2S /2 — 320 Дж; б)
= 20 Д ж . 2700. -g gnR>.
2703. » 5 1 ч
2695. 2,22 • 105 Н.
2701. ^=0,205 см2.
g S H 2 {1 -
2702. а) к=33,2 с;
d)2 =
б) ^ 6 4 , 6 с.
мин
6
53 с.
2Ш - Д ^ 2а ( 2 / 2 - 1 ) .
_
3S у g
2705. —
[ ( / / + / і ) 3 / 2 - Я 3/ 2]; при Я = 0: 2Ь.^
О
_
/i3 / 2 = ^ ^ S
«5
0
где 5 — площадь щели. 2706. а) «=2,4 с; б) « = 6 ,3 с; в) в= 5 3 с; г) при t - + со.
2707. ««34 Д ж . 2708. 1) а) еь :7 1 ,6 Д ж ; б) кв 166 Д ж ; в) е » 2 3 8 Д ж ; 2) при
неограниченном расширении
газа
работа
неограниченно увеличивается.
2709.
1,6-Ю * Д ж .
2710. = 82 мин. 2711. Немного больше 5°. 2712.
°
2але0
.
2713. а) 4 • 10 е Д ж ; б) 6 • 10^ Д ж . 2714. 5 см. 2715. «=946 Кл. 2716. «=1092 Кл.
2717. «=5110 Кл. 2718. ЕЦ2. Эффективное напряжение переменного тока
равно £ 0 / / 2 . 2719.
а) Ну — И ^
Т cos ф0.
” = 15 см;
б)
2720.
«в7мии.
0,125 %.
2721. « :2 ,9 1 5 л.
2722.
2723. 1/1024 от первоначального
количества. 2724. =» 2,49 г. 2725. 8/9 г. 2726.
37,3 мин.
К главе IX
2727*. S n — 1 —
, 5 = 1. П редставить каждый член ряда в виде суммы
двух слагаемых.
2728. S„ =
2
( l — 2 Т Г ^ т)’ S = 2 ’
2729' S/i= 3 (1—ЗЙ + т)’ s = 3 •
2730. $ п = 3 (1 + 2 + з ~ л7+1 ~ й + 2 ~ / Г + з ) ’ 5 ^
2731. S „ = g ( l + з +
2732. S„ --= j [
2
-
5-
-
2^
(n + D jn +
13*
p i - 2 ^ + Ъ ~ 2 ІГ + 5 ) ' S = 9 0 ‘
2
)}
^ = 4 •
2733. -5/1=1 + у — p i — 2 ■3"' S ~ 2 '
2734. 5 „ = 1 - ^ р у ^ , 5 = 1 . 273J. S„ = g [ J
( 2 « + І)2] ’ 5 =
8
*
2736. S n — afctg ———r, 5 = ~ . 2737. Сходится. 2738. Сходится. 2739. Рас-
й *г 1-
'4
ходится. 2740. Сходится. 2741. Расходится.
2742. Расходится. 2743. Сходится.
341
О ТВЕТЫ
2744. Расходится. 2745. Расходится. 2746. Сходится. 2747. Сходится. 2748. Ра
сходится. 2749. Сходится. 2750. Расходится. 2751. Сходится. 2752. Сходится
2753. Расходится. 2767. Сходится. 27G8. Расходится. 2769. Сходится. 2770. Схо
дится. 2771. Сходится. 2772. Расходится. 2773. Расходится. 2774. Сходится
2775. Расходится. 2776. Расходится. 2777. Расходится. 2778. Сходится
2779. Сходится. 2780. Расходится. 2781. Сходится. 2782. Расходится. 2783. Схо
дится.
2784*. Расходится. Воспользоваться формулой
а s;n ү а
sin a -J- sin 2 а
+ sin k a =
или неравенством sin х > 2х/л, если 0 <с jt < л/2.
2700. Сходится, но не абсолютно. 2791. Сходится абсолютно. 2792. Схо­
дится, но не абсолютно. 2793. Сходится абсолютно. 27S4. Сходится абсолютно.
2795. Расходится. 2796. Сходится, но не абсолютно. 2797. Сходится абсолютно.
2798. Сходится, но не абсолютно. 2799. Расходится. 2802. — 1 < х < I .
2803. -* < л: < г. 2804. — I < х < 1. 2805. — 1
л: sc 1. 2806. — 1 s? х < 1.
е
2807. * < — 1 и х > \ . 2808. — 1 < * < 1 . 2809. — l s g x d . 2810. х ф ± . \ .
2SI1. -При любом х . 2812. —2 < х < 2. 2813. При любом х. 2814. a
0.
2815. х > 0 . 2816. х 5 : 0 . 2822. 11 членов. 2823*. Воспользоваться неравен­
ством In ( 1 - [ - а ) й ? а . 2825. / ( 0 ) = 1/9; f (л/2) = — 1/101; f (л/3) = 44/1001;
/(1 ) = 0 ,0 4 9 ; / ( - 0 , 2 ) = 0,108.
2827. — In - J - t f _ J . arctg *. 2828. ~ arctg x + j In
4
2
1— x
2
4
1 — Л'
2829. ( x + I) In (a-+ 1) — at. 2830. 1/2. 2831. 0,2. 2832*. In
x
x
соотношение cos ^ cos
ОО
2836. 2 — 1^2
ком интервале.
x
cos^
sin X
—— •
2833*.
я'->/12.
.
Использовать
Воспользоваться
2837. Данный ряд нельзя почленно дифференцировать ни в каДействительно,
общий
член
ряда
производных
имеет вид
я cos (2 ял а ). Сколь бы мал ни был интервал (а, (1) и где бы на числовой оси
он ни леж ал, всегда внутри него найдутся числа вида 1г/2ы , где k — целое,
я N — достаточно большое целое положительное число. Но при x — kf2N ряд
производных расходится, так как для всех п > N члены его становятся равными л. 2838
(х~ п)п
2841. ( а- - ! ) - -
+ ( - 1 ) 'т
п
1 (х— 1)а
22
31
■у.
... + (-1)"
х —2
9
(х-З р
27
1 -3 • •
(2/г — 5) ( х — 1)я
2«-‘
( * - 3 ) ”~1
О
3
и1
„
-г—
342
О ТВ ЕТЫ
v2
r 2/z - 2
■*«
284 5 .1 + 2T+ - + (2^=2j] + уЭ у4
y/l+1
2846. д«+ * +?! + ...
1! ' 2! 1 " ' 1 (п — 1)! 1
у2 v4
у2«~2
1
1 - 2т + 4 Т + - + ( - 1^ 1( И ) Г + - ] -
[
2848. , +
, 2 +
4ү4
2849. , _ ^
| !
. _
А2у9
+
_
+
2850. Ш 2 + | - + |
^
+
sin a [* - | г + * у + . . . ■+ ( - 1 )я+1 (-2* _ ,у, + . . • ] .
...+ ^
sin- . J +
1Я-1у4(Я-1)
. . . + ( _
1 )« + 1 _
^
_
+
...
. . .
- J J + ... 285«.
2852. 1 - ^ 2 + ^ ! _ Z ^ x4 + ... 2853. * + * + . . .
2854. 1 + * 2 - * 3 +
^
+ ... 2855. 1 + 2 * + < § £ + ... + M J 2 . + ..J
у4
y2m-ii
2856.
у
у-2
ув
у12
уЛ-1
2857. ! + * + * - + ... + £ _ + . . .
2858. ! + £ + * + . . .
31 ^ 51 п
v0(/l~l>
(2я — 1)1
2859- 1 - ^ | + - + н г ^
28a0.
1_ -,),- + . . :
у2
у2ГЛ-1)
* ' • 1- з г + - + < - і Г * е ^ + 2862.
3!
1 51
"'
уЗ
2" “ *‘ •
> (2я + 1)1
уЯ+1
2864. * * -£ + ...+ (-1)«£_.
2865
2867. l - l ^ - * 3
> -[4 -
За1
2868. ^ + Ід ^ + і
2869.
1 + 2 г* + . . . + л 2* '!- 1 + . . . , 5 = 1 2 . 2870. 1) - 7 ! ; 2) 105/16; 3) 101/41;
4) 8/3 . 2871. 1/6. 2872. 1/4 . 2873. 1. 2874. 1/2. 2875. 2/3. 2876. 1/3. 2877. 1/60.
2878. — 1/10 < к < 1/10. 2879. — l < * = s c l . 2880. — 1 0 s £ x < 10. 2881. х = 0.
2882. — / 2 / 2 < * < ] / 2 / 2 . 2883. — аэ < х < + ею. 28S4. — 1/3 < x < 1/3.
2885. — l s c x s s l . 2886. — l / e s S * < l / e . 2887. * = 0. 2888. — 1 = < * < 1,
2889. — 1/e < je < 1/e.
ofiqfl ..
1 *3 , 1 •3 xb
2890. х
2 3 + 2 -4 5
j(
у2П"Ьі
•■•-hi
v3
2891. , + T + ... + _
28g2.
2893
343
1
О ТВ ЕТЫ
y4
+
2™-i (rt — 1)!
1 I
/_ i<Je<n
2n— 1+
1
1 — * — )•
r + ...( _ l< x < l> .
y2rt
+
. (хЪ
1 ‘3 ' •••' (2” ~ 3)
^
2хй
п х 2пП
} .
.
(зГ + _5Г + " ' + (2п+1)І + “ 7 (
. .
00<А г< + с°)’ {!2е-
2894. 1,39, погрешность 0,01. 2895. 0,3090, погрешность 0,0001. 2896. 2,154,
погрешность 0,001. 2897. 7,389. 2898. 1,649. 2899. 0,3679. 2900. 0,7788.
2901. 0,0175 . 2902. 1,000, 2903. 0,17365 . 2904. 0,9848 . 2905. 3,107. 2906. 4,121.
2907. 7,937. 2908. 1,005 . 2909. 3,017. 2910. 5,053. 2911. 2,001. 2912. 1,0986.
2913. 0,434294 . 2914 . 0,6990.
2815. l + 2 « + | -* .+ . . . + [2 + i +
2916.
l + ... + j^
] , . - . + ...
J x 2 + i 1- x 3 _ . . . + {_ i r + i ^ + i . + ^ + ... + i j ;cn + >, :
2917.
J + ~ +
2918. -
291Э. x — x2 + 2*3 + ...
x3
2920. C + x - _ +
*2/2-1
. . , + (_ i ) ^ _
(_ o o < * < + o o ) .
2921. C + l n \ X \ - J ^ - + ^ - . . .
ү2П
^ ~ c o < x < 0 H ° < ^ < + “ ).
2922. £ + 4 * 1 + * + ^
+ ... + ^
+ ...
(— o o < * < 0 и 0 < л г < + с о ) ,
J4 1
2924.
2925. , _
nmp
д.г3
3- +
1 1 1 2 1 2-31
я (п + 1 )Г
(— o o < x < 0 и 0 < x < + oo).
.
yZi. _
5 Т 2 Г — •• + ( - 1 ) я+1(2„ _ 1 ) (я — 1)! + " • ( ~ ° o < * < + ° ° ) .
ү*і
y5
- + _ _ . . . + ( _ l , « * ?_
,1
л;5
1 • 3 л:9
2 4
у10
2928. , + _
3
vl9
+ _
2929. i . ^ _
4
2 -4 7
+
+
p
+ ... ( - 1 ^ 1 ) .
, 1 - 3 - . . . - ( 2 я — 3)
2926. x + - j ■ -5- + 2 4 g + • • • +
2927. t + ' J
y2/l~1
+
y-Ott—
8
2« -i ( « — 1)!
x*n~3
.
.
4я — 3
2 n~l (г г -1 )!
З я—2 '
(—1 =s£*s£ 1).
(-K x c l).
3 ^ + ... + (_ 1Г+13-7-. .. - (4 ,- 5 )
4 -8 7
4я • яі
4я — 1 1
(-1<*<І).
2930.
0,3230, погрешность 0,0001. 2931. 0,24488, погрешность 0,00001.
2932. 0,4971, погрешность 0,0001. 2933. 3,518, погрешность 0,001. 2934. 0,012,
погрешность 0,001. 2935. 32,831. 2936. 0,487. 2937. 0,006. 2938. 0,494.
2940. 3,141592654.
344
ОТВЕТЫ
2941
х 4-.
2___________________ 2 i-ч -1__ —
__ v5 I j ___ :_____ _________ 2я-1
г i -3
‘ 1-3-5
r
h l - 3 - 5 -...-(2 /1 -1 )
‘+
-
............. 1
1 .1
2942*. 1 — 2 ^ + 33 “ —
Представить x x в форме е * 1лх,
разложить в ряд по степеням х \ п х и проинтегрировать выражения вида
х п 1пп х. 2943. 0,6449. 2944. 0,511. 2945. 1,015. 2946*. 3,71. Вычислить пло-
I
шадь посредством формулы S = 4 ^ у 1 — х* dx неудобно, потому что соответ-
о
ствующий ряд при х = 1 сходится медленно. Следует вычислить площадь
сектора, ограниченного линией, осью ординат и биссектрисой первого коорди­
натного угла. Это дает ряд, быстро сходящийся. 2947. 0,2505. 2948. 3,821.
2949. 0,119. 2950. 1,225. 2951. (0,347; 2,996). 2952. (1,71; 0,94).
К главе X
2953.
2
= g-
2954.
V { x + y + z) (x + y - z ) (x — y + z) (у + г — x).
2955.
X
0
0,1
0
0,1
0,2
0,00
0,10
0,20
0,14
0,22
0,3
0,4
0,5
0,30
0,40
0,50
0,60
0,32
0,41
0,51
0,61
07
0,70
0,8
0,9
1
0,6
0,8
0,9
1
0,70
0,71
о,ез 0,73
0,67
0,76
0,81
0,72
0,78
0,86
0,85 0,92
0,80
0,81
0,82
0,85
0,89
0,94
1,00
1,00
1,01
1,00
0,90
0,90
0,92
0,95
0,98
1,03
1,08
0,92
0,99
1,06
1.14
1,22
1,00
1,06
1,14
1,13
1,20
1,20
1,22
1/28
1,27
1.34
1,28
1,34
1,41
o;J
0 ,3
0.4
0 .5
0,6
0,20
0,22
0,40
0,41
0.15
0,50
0,57
0,64
0,72
0,50
0,51
0,54
0,58
0,64
0,71
0,78
0,60
0,61
0,28
0,36
0,45
0,54
0,63
0,30
0,32
0,36
0,42
0,50
0,58
0,67
0,71
0,73
0,76
0,81
0,86
0,80
0,90
0,81
0,91
0,82
<1,92
1,00
1,02
0..S9
0.98
1,08
0,94
1.03
1,00
0,85
0,95
1,04
0,10
1,12
1,08
1,16
.
0 ,7
1,04
1,08
1,12
1,16
345
О ТВ ЕТЫ
2957. 1) 9/16; 2) 1; 3) 16; 2; 2.
2958. Ф (а) t ( 1/Д)
Ч-fc ) ф П / а ) ------1_
ф(1)Чэ<1)
а
2959. Вторая функция изменяется быстрее. 2960. П арабола второго порядка;
1) нет; 2) нет. 2961*. Положить т = Х/х.. 2965. Функция не будет однозначной.’
2966. I) I; 2) 1; 3) 1/5; 4) не определена; 5) 1. 2967. г = (х - f у)л' ~ У ( х + у ) У ~ *
(jc + i / > 0 ) ; 2 будет рациональной функцией от и н v, н о н е от ш, I, х и у,
2968. г = (х + У)х у - т Ш 2хх9- + у* + 0
[(*2 + У2 + гг)2+ 3 (Jt + i/-i- 2 )4]; и явля2969. и = (х- + у- -У
—
ется целой рациональной функцией относительно с, и т|
сителыю ш u f
(и -4- v\^
2 9 7 0 . z = f - -----
+и;
и = х 2-\-у2;
v= xy.
2971.
у и
2,
но не отно-
х = const — парабола,
t/ = const-—парабола, г = const ф 0 — гипербола, 2 = 0 — пара прямых. 2972. * =
= const, у = const — прямые, г = const Ф 0 — гипербола, г = 0 — пара прямых.
2973. х = const — парабола, у = const —к у ­
бическая парабола, z = c o n st= ? t0 — кривая
третьего порядка, z = 0 — полукубическая
парабола. 2974. 2 = const > 0 — эллипс, а- =
= const и у = const — кривые третьего по­
рядка (при х = 0 и у = 0 — полу кубические
параболы). 2975. 0 < i / < 2 ;
—1С у —
— х/2 < 0. 2976. х й г£ у
У х . 2977. 0 <
< 1 / < - « > А3; у < (а — х ) У з .
2978. ( x - a ) * + ( y - b ) * < R 2; — оа <
< г < + оо.
2979.
( x - a ^ + i y - b f + iz-cy-^R -.
2980. x* + y " -< ; 4 R \
2981. v = ~
ху (2R i / 4 Я 2~А-а - « / 2);
функция не однозначна. Область опреде­
ления функции jc2 + i/3 ^ 4 # 2; jt > 0, у > 0 .
O c y s g l ; S = x при
£1, 1 ssy;
S = х у - х — у-]-2 при 1 :
12, I s у ^ 2;
S —y
при
2
х,
1 S ■у^
S =2
2982. S = л-j/ при 0 < X s ; 1«
при 1 ' £ V, 0 ^ у = : 1;
S = jc при 1 S*s=S2, 2 - ;</;
х
: у. 2983. ', + У2 = 1.
при 2йС.*,
э
с2 Ь2
s=y
2984. г/2 > 4.v — 8 . 2985. Вся плоскость, за исключением точек окружности
я- + і/2 = # 3. 2986. Внутренняя часть правого вертикального угла, образован­
ного биссектрисами координатных углов, вклю чая сами биссектрисы x - j - y ^ O ,
х — у ^ 0. 2987. То же, что в задаче 2986, но без границ. 2988. Внутренняя
часіь правого н левого вертикальных углов, образованных прямыми у — 1+ д :
и у — 1— х, включая эти прямые, но без точки их пересечения: 1 — х ? ё у ^
= s ; l + j r ( j c > 0 ) , 1 -1-х ^ у
1 — х ( х < 0 ) (при х = 0 функция не определена).
2989. Часть плоскости, лежащ ая внутри первого и третьего координатных
углов (без границ). 2990. Замкнутая область, лежащая между положительной
полуосыо абсцисс н параболой у — х- (включая границу); л:
0, у ■ - 0; х- -й у.
2991. Кольцо между окружностями х2 Jr у2 =■-1 и х2-\-у" = А, включая сами
окружности: 1
х 2-\-у2 4 . 2992. Часть плоскости, лежащ ая внутри пара­
болы у 2 = 4х, между параболой н окружностью x'z + y 2= l , вклю чая дугу
параболы, кроме ее вершины, и исключая дугу окружности. 2993. Часть пло­
скости, лежащ ая вне окружностей радиусов, равных единнце, с центрами
в точках (— 1, 0) и (1, 0). Точки первой окружности принадлежат о б л а с т и ,
точки б торой не принадлежат, 2994. Только точки окружности х2 \- y‘1 — R 2.
2995. Вся плоскость, за исключением прямых х - \ - у — п (п — произвольное
целое число, положительное, отрицательное или нуль). 2996. Внутренность
круга x,ZJr у 2 = 1 и колец 2п ^ х'1 -+■у 1 sS 2п
1 (п — целое число/, в к л ю ч а я
346
О ТВ ЕТЫ
границы. 2997. Если * 3 = 0 , то 2/іл ^ у ^ (2я + 1) я ;
если х < 0 , то
( 2 / t + 1) я = ё £ /г £ (2/1 + 2) я (л — целое число). 2998. лг> 0; 2/ія < у < 2 ( « - И ) я
(п — целое число). 2999. Открытая область, заш трихованная на рис. 83.
j r > x + l при х > 0 ; дс < I/ < jc + 1 при * < 0 . 3000. Часть плоскости,
заклю ченная между линией У = т ~ , \ и ее асимптотой, вклю чая границу,
1 -р х
3001. д: > 0, у > 0, 2 > 0. 3002. Часть пространства, заключенная между сфе­
рами jс2+ г /2+ 2 2 = г2 и *2 + г/2+ 2 2 = ./?2, вклю чая поверхность внешней
и исключая поверхность внутренней сферы. 3003. 2. 3004. 0. 3005. 0.
3006. Функция не имеет предела при х - у 0, у~*-0, 3007. 0. 3008. 1, 3009. а)
у — 0 или у = х а ( а > 1 ) , х -*-0 по произвольному закону; б) у = х / 3 , х -* - 0
по произвольному закону. ЗОЮ. Точка (0, 0); вблизи этой точки функция
может принимать сколь угодно большие положительные значения. ЗОН. Все
точки с целочисленными координатами. 3012. Н а прямой у = х . 3013. Н а пря­
мых х = т, у = п (т и п — целые числа), 3014. Н а параболе і/2 = 2лг. 3015. 1J
Непрерывна; 2) разрывна; непрерывна по х и у в отдельности; 3) непрерывна;
4) разрывна; 5) разрывна; 6) разры вна, Перейти к полярным координатам,
3016. Окружности с центром в начале координат радиусов соответственно 1,
У 2/2, У 3/3, 1/2. 3017. Окружности, проходящие через точки А и В,
3025. Прямые линии у = ах-\-Ь, где я = In ft, 3026. Концентрические сферы
о центром в точке А и радиусами, равными 1, 2, 3, 4,
3027. Эллипсоиды вращения с фокусами в точках А и Bi
у {х — Л.'!)2 + (у — 1Лу- — {г — Zj)2 + Y ( x — x2f + {у — у гу- + (г — z2f = const.
3028. Сферы д:2 + г/2+
2 г=
( с __1 \ 2
( ^ - р у ) , где с = е “. 3029. Параболоиды враще-
иия jc2 + i/2 = c z, 3030. 1) Плоскости 2 х - \ - З у — г = С; 2) гиперболоиды вращения
или конус x2 + i/2 — 2z2 = C. 3032. - і - ~ п р и Т = Г 0. 3033. ^ — скорость изменения температуры в данной точке;
аө
— скорость
изменения
температуры
в данный момент времени по длине (вдоль стержня). 3034. ~ = Ь — скорость
изменения площади в зависимости от высоты прямоугольника;
dS
.
= Һ — ско<
рость изменения площади в зависимости от основания прямоугольника,
2« - £ - ' • % —
3038. f 6 = ае~‘ ,
OX
Л дг
ot
'■ “
7-
= — а х е ‘ + Ь.
303
v дг
и . 1
да = ~v ~ и'1 ’ д и ~
й2' + ТГ ‘
дг
х* + Зх"у2 — 2ху3 дг
у*-\-ЗхЬ/- — 2х*у
3040'
дх ~
3041. |
1
( х 1 + У-)'2
’
(*2 + У2)2
дУ
= 3 0 х г /( 5 .^ - г /3 + 7)2, | = 3 ( 5 ^ - ^ + 7)2 ( 5 ^ - 3 ^ .
дг
^*42' S “
3 0 « .* -
,г-
Ч
dz
х
1
~~ з |Л ? '
V‘
1
0 г ------------- у-------------
дх
Y х- + у- ’ ду
дг
у
дг
дх = ж3 + £/2 ’ д у ~
xi + t / - \ - x Y x i + yi
х
*2 + У* ‘
'8 4 7
ответы
3045. ! ? = --------- — 1 ------------Х
?1 = _________ *_________ '
(Х- + У-) ( ai'ctg - ~ J 2
ду
(л- + у 2) ( a r c t g *
3046. ~ = ухУ-!, ~ = хУ 1 п х. 3047. ~ = — *
* 2У
дх
ду
дх
х 2+ у 2 ' д у ~ х* + и » '
3048. — = ----- — J L = , — = — j ^ L = ? .
«Эл:
] / л:2 + г/2 ду
у \ х 2+ у 2
3049. — =
ХУ ^
а*
(х2 + у 2) V х 2— у 2 ' ду
3050 дг
дх ~
2
дг
. 2х ’ ду ~
!/ sin —
^ У~2
(х2 + у 2) y x i — i j i '
2х
, . 2х ‘
I/2 sm — -
3051. ~ = - 1 e - v/y, J = 4
дл:
г/
ду
г/2
3052 132
1
&
1
‘ дх
Jt + ln у ' ду
у(х + \п у)'
3053 dU
w
ди
v
dll
t)2_J_jj)2 > g w
y2_|_j£|2
дг
1
x
У , У ■ x . g
3054.
= — cos— cos — +
sin — sm —
дк
у
у
x
x2
у
x
dz
x
x
у
1 . x
g
з - = ----- 5- cos — cos —---------sm — sm — .
ду
3055.
у2
4
dx
x2
у
3~y / x In 3,
3 0 5 6 . f - = y 2 (1 + » / ) » - ! ,
x
x
~ = -
oy
у
x
— 2Ty >x In 3 .
x
~ = x y ( \ + х у)У-1 + ( \ + Х у)и ІП (1 + x y ) .
3057. t ~ = g 'п ( x + y ) H
, x~ = x In (x + y) + - ^ ~ .
dx
x + y ' dy
x+ y
3058. д-х = х ^ х У - 1 (г /In x + 1 ) ,
ди
3059. ъ- = д г ,
ди.
т Г хг,
du
д г=ху.
„
du
,
2OB0.-d- ^ y + 2 ,
du
,
Ъу = х + г,
ЧПВ1 du
x
’ dx
3063.
du
,
dz= x+ y.
du-
Y x 2 + y 2 - r z'! ’ dy
3 06 2. | “ = 3 * 2 + 3 г / - 1 ,
did ч "
'
= 4 /z + v z + v y ,
y
| j = z2 + 3 * ,
day
da
Y x 2 + y2 + z2 ’ <Эг
,
^
= 2</г + 1 .
.
= x z + z v + vx ,
= (Эл? + y 2 + г2) ex (*г + y * + z2 ),
OX
du _ о viirx <*г + Уг + 2’>.
дг/
= 2л:ге*
+ 2’’ .
2xcos(jc2
+ у>
(/2 +
+ 2‘),
22), ^үу = 2г/ cos ( х 2 + у 2 + г2),
3065.I. J^ =
= 2л:
cos (х2 +
=
flz
2z cos
(л:2 + У2 +
г 2 )«
2
~
/ * 2 + j/2 + z*
d- ^ = xy + yv + vxt ~ = yz + xz + xy.
3064. ^
..J
— = хУххУ In 2 x ,
348
О ТВ ЕТЫ
зюе. ? - = > = > = ■ 1
дх
ду
дг
х -\-y-\- г '
да
и
д'і
I ц/г
да
= * л -'-1 , ™ - 1 х у'* \п х , аи = - Я - х т 1п
дх
х
* ду
2
ог
2*
Ш 1. ^
3068.
= ytx-j2 ~1,
= z y z - lx!!7 In .г, ^ = у~хуг In х In у.
3069. 2/5, 1/5 . 3070. 0, 1/4.
3071.
fx=
2 (2* + «)--vi * [ I + In (2jc + у)I.
^ = Р * + ЗГҒ^(І+Іп(2* + у)1.
і.0'
-
I
(\
3
"6.V
ЛІП(у\
ln X Y
111
y j
дг —
’
3074. * = 2a; ----- ——
!n y (i ■l n
f/ln -f/\
(1 -I-ЯА-у cos л xy),
3073. ^ = (/es‘n
<?.«
3
|Э(/
—
(I
"П
x \3
n y )
= *в*іп
ог = ov 1 ~ x~
’ Л/
“
cos nxy^
([ +
(1
~
~ rV
~
+ u>
X - -[■ l j - ) i
5г _
у У х ‘>
dz _ Y x ' : In x
dx ~ ‘/ x (1 — a ;/) ’ d t j ~ 2 (1 4-a--')
З Э 7 з /‘’ .= -
dx
"
dz
( 1 + Y xtj) Y x y — хйу-
2077 д г = .
ох
) 1+ (ху- + ух-)-
ду
307Я. J = _ \ Y ^ = J L ,
<?.t
а-
Э079. * =
&Л
ду
(1 + У xy) У х у — х гу3
дг _
\
x ij +
+ 2.vy
И + U V'i + yx‘Y
J.._
x + у ' ду
у-
V
ху + х-гУ
4 ( ‘ + " ^ ) , + 2" « * Т І
^
(*- + </-) |l + a r c t g 2 ” ) ( l + a r c tg ^ ^
A-ffl + a rc tg 2 -Oj + 2 arctg3
02
du
(.f3 + y-) f l + arctg 2 yx j f l + a r c t g
da
4ku
’ dy ~
(Х- + У- + І-)*
Akx
du
dx
4/«
da
dz
du
dx
30S2.
dx
2 (У — !/|s~l
1 + (-'• — Vi'1* '
da
z ( x - v ) -’ - 1
да _ ( у - ( / ) г In ( х - а )
dy
І + І.А- У / 1- '
дг —
= yz (sin ajv- - 1 cos x,
Л
“ = lj (sin А-)У‘ In sin A’.
02
OU
du
d:t
^ = г (sin x)'^' In :
иУ
l + (-v— £/)іг
349
О ТВ ЕТЫ
3084' Ш = (2лг/2 — Угг}) *83 “ •
= (2л'2у — xzv) tg3 а ,
~ = (2гуз _ Xyv) tg3 а , ^ = (2?2у - едг) tg3 а ,
где а = х ’у~ -j- 2 2l'2 — Jri/zy,
ди
_3 6 1 /
об
ди
За -j [
3085. 4 . 3086. ,
dz г - Ь ~ Т У Ь'- — а- ' » ^ " " ' 2 7
/-и
_
ао
- а2
/-Я
3087. 1 и — J. 3088. / 2 / 2 . 3089. 3/2. 3090. — 13/22, 3081. 45°. 3092. 30*.
3093. arctg І - .
3094. dx z = (у 3 — блгг/2) Лг, dyz = (Зла/2 — 6л-г/ - f 8г/3) J//.
3095.
V x 2+ y 2
d ,,z = ^ L = .
+
олас J • . 1,1
-*2)
j „ x (■*“ .V') dy
3096- ^ 2-----— W + W ~ оП0_
. ,,
3*2 dx
,
6y2 dtf
,
x ~ x 3 + 2y3- z 3 ' yU~
x? + 2y3- z 3 ' zU~
3098. 1/270. 3099. ^ 0 ,0 1 8 7 . 3100. 97/600.
3101. xy [(2//3 — 3xy2-\-4x2y) dx + (4y'lx — 3t/x- -f- 2л:3) dy],
3102. X d \ + y (j y .
*2 + У2
3103. 2 W
= ^ .
(x-y)2
3105. ( x d y + y d x ) cos (*(/).
3104.
3 1 0 6 .- ^ + - ^
Зг2 dz
x 3-J-2yJ — г-*"
y V y 2— x 1
.
3107> 4 x y ( x d y ~ y d x ) 3J08_ x d y + y d x
(x- — y-)“
'
‘ 1 + x-y3109. х *у~1 ( y z d x + z x In x d y - \ - x y in x dz). 3110. 0,08. 3111. 0,25?. 3112. 1/36.
3113. « = 7,5.
3114. «=0,005.
3115. «=1,08.
3116. 5.
3117. 1,8 + 0,2.
fi„B sin С
6r C sin В
3118. 4730 ± 100. 3119. 26a + .■
. -тъ , / . r + ■ n ■
, j r - - 3120. Boapa.
a
sin В sin (B -f- C)
s m C s m ( ti -fC )
стает со скоростью 444 см2/с. 3121. На ка 2575 см3.
3123. dr = - ^ d s + ( ~ — ~ ^ j d p = 0 ,\6 см, т. е. около 1 %.
3124. esin< — 2<> (cosf — 6/2). 3125. sin 2 f + 2e2/ + <2'(sin* + c o s 9 .
3— 12<2
3126. ■■.
—:
.
V l - ( 3 t - 4 t 3f
3127. ч - = 3 и3 sin v cos v (cos о — sin v ),% = u 3 (sin i'+ c o s t') (1 — 3 sin у соек).
ди
vv
3 ,2 8 ‘ d u ^ ' v- ' n (3“ — 2y) + y 2 (3u — 2v) ’
dz
2 a2 . . .
0 .
2u 2
(
3
чічп dz
3131
3130- d x ~ \ T № '
3134.
]
v2 (3и - 2и) *
du
e*
d u _ e x + Ъе^х2
а д : ~ е ^ + е У : dx
ex + e *J '
dz=
du=
dx
1 -
‘+**‘
H°-dx + x 2 dy _
,
. . . x y \{ y + \)d x ~ 'r (x -r\)d y ]
■a r c t 8 (xy + x + y ) + (x -\-y)]\ + ( х у + х + у ) Ц
*
35 0
О ТВЕТЫ
е(*2+ </’)/(*</)
3135.
^
----- [(J/4 - х* + 2ху3) x d y + ( x * — у * + 2 х 3у) у dx].
3136. ^ = 2 а - | + і / ^ | ,
3145
3148
= - 2 і/| + ^
|
(« =
*2-<А
3146 * ^ 2- 2*2)
,<47 уех « - у е - ' - е У
З ху^-х3 •
у ( 2 у 2- х * ) •
лег/+ ^ _ хел!/_
2 (*2 + t/2) — a2 3|.g y_ 2x + е*У— cos xy
у ’ 2 (x 2 + //2) + a 2 ‘
л: ' cos х у — ех У— х
3150. - л
3 154.
|
r
/ У
~ .
*
3151. -JO— .
1— xy
3152. - f
(x + y ) 2
3153. ~
y
* ( 0 — 1)
. 3 155. У* i n x ~ 1
y — 1‘
‘ JCa In 0— 1
3157. ^
dx jt = 6
У—2
ЧШ1 ??._
' dx
_ 1.
^
3 'd x
X = t
у=
Әг _
b2z
*г
XIJ + Z2
? £ = _ ? ____
х ( г — 1 )’ дг/
3167. d z = -
‘
= _
X y + Z 1 ' ду
3164. — = ___ —___
дх
2 + 1
уг
■ <?Jt
3158. - 1 .
c2^
a h ’ dy
3162. ^ = 2 - *
d*
2 + 1 ’ ду
3163. — = —
= - y .
-
t/(z — 1) '
™ 2xdx+ Sm
' 2 y d y . 3168. Z= t
sin 22
3t69. 2= 3 ^ = i ! .
3170.
3172. d 2 = ^ + ^
.
2
2
= fe arctg — .
&*
4
3171. * =
г
- £*£.
г
3173. d 2 = ] / 7 ( .v d * - ( / d i / ) .
3174. 2 (jjd x + t/d i/) , 3175. 2 ( x d x + y dy),
3176. d z = e ~ u [(v cos v — и sin v) dx + (u cos w + u sin v) dy],
3185 6 4 - 2x2+ ^2 a2z _ *® +2У2
д'2г _
xy
dx2
Y x ~ + y 2 ’ dyY x 2 + y 2 ' dx dy
Y x 2+ y 2
3186
&L = _
‘ дх2
d22
dx dy
11Я7 д'2
3 ,й 7 - дл:2 ~
x
_
x^ + ( x 2 - y 2) V x 2 + y 2
(x2+ y2f / 2 ' ф 2
(j^ + ^ ^ U
и
+ y ^ + p )1
(x2 + y 2f / 2 ’
2X
d"Z -
( 1 + * 2)2 ’ дг/2
— =0
2У
^
(1 + « /2)2 ’ d x d y
3188. d~ = 2a"-cos 2 (ax + by), ~ = 26a cos 2 (ax + ty ) ,
д.с2
oy- ^ 4 - = 2ab cos 2 (ox + by).
OX o y
a
й - « о + » « ) ^ + '.
rj-z
Ay
d-г _
319°- йх®= _ ( x T W ' W
д2г
4x
(■*+г/)3’ ^ ^
In у (In у + 1) яіп x \n у
319,-йл'2 = ------ ^ ------ 6
<Зг2
’
д'-г _ In х In у + 1 gin х In g ^
дх ду
xy
№
<| + « , >х + ' -
= 2 (x-y)
(*+^ ‘
Іп х О п ж -І)^ ^ ,
У*
851
О ТВЕТЫ
3192.
&Z
ху3
д 2г
дх2
V ( l - x 2y 2)3
( х - 2) у
ду2
3193.
V (х2+ у 2+ г2- 2 хг)3
&2
х 3у
Y (I — х 2у 2)3 ' д х д у
Ү о - х ү р
‘
3194. 2у3 (2 + х у 2) е х^ .
3196. — x ( 2 s i n x y + x y c o s x y ) .
3195. 4* У - А
(х 2+ у 2)3
3197. ( х 2у 2г 2 + 3хуг + \ ) е ^ .
3198. тп ( п - 1 ) ( я - 2 ) р ( р - 1 ) x n - i y ^ z P - K 3204. а = ~ 3 «
(д1 У _ о J ! L д± д
± + ? ± (д
± \*
3209.
d x2
=
дх2 \д у)
дхду дхду
ду2 [д х/ _
5/
(I
У
ву
dfif
d
l
\a dx
дхду
dx2
)
<?w
№f
fflf
df
dy дхду ду2
dyfl(x - у ) 2.
0
3219.
3221.
(ЗЛ?
?L
dx
у 2) dx2 + 8xy dx dy + (3 у2 — х 2) dy2
~ W + ffi
’
3222. 2 sin 2г/ dx d y-\-2x co s2y dy2. 3223.
[(y d x -\-x d y )2+ 2 d xdy],
3224. 2 (z dx d y -\-y dx d z-\-x dy dz).
3 22 5 . — cos (2x-j-y) (2 dx-}-dy)3; (2 dx + dy)3; 0.
3226. — sin ( x + y + z ) (d x + d y + dz)a,
3227.
3228.
с*
Г / *2
22 \ d .<2 , 2 x
y
,
,
W —xyf
3229. — 31,5 ^лг2 _[_ 206 dx dy — 306 dy2.
3232. ^
dti
3237.
( y l
#
\
d y
2'I
J
z3 [ \ a 3 + c2 j a2 + a2b2
y + ( b2 + c2 ) b2 *
2z [xy3 (ix2-}-(x2(/a -}-2xyz2 — z4) dx d y-\-x 3y d y 2\
dy,
3233« // — x?t
2p'a — pp" + Pa
3234.
3238. —
(p ,2+ p 2)3/2
д2и
3239.
др2
x£
d2y
3235,
3231. //*—
у4
3236. ^ = р .
dig
dy
_1_ д)2и _ ___1 ди
р2 д у 2
р ЙР
3240. й '( Р ) + р М' (Р )+ * ш (Р).
3241. - 4 ^ + 2 .
ди2
К главе XI
3242. дс3 + 2у3 — x y + h (Зх2 — у) + k (6у2 — х) + Зх/i2 — hk-\- 6y k 2 -\-h3 -\- 2№,
3243. А г = 15Һ2— 6 h k -\-k 2-{-/is.
3244. Дг = — 2Һ+ 7 k — 4Һ2 + 4 Aft+ 2k2 - 2h? — h?k +
Лг ^ һ к і + ~ В - Һ 3к + ^ Һ Ч 2 + ~ Ш - ,
/(1 ,0 2 ; 2 ,0 3 )«в2,172в.
3245. A x2+ B y 2 -|- Cz2+ D xy - \ E y z - \ - F z x +
•b (2A x-\-D y-^-F t) h -J-{2By-f-D x + £г) k-\-(2C z-\-E y-\-F x) / -f+ Ah2 + B k 2-\-C l2+ D h k + E k l+ F b l.
352
О ТВ ЕТ Ы
- Н Ы М * - Ш '- $ Ы '- ¥ ) 'Һ
I [cos 5 соз Г! U - ^ - ) 3 + 3 Sin I cos т) ( * - ^ ) 2 ( * - £ ) +
-
+ 3 cos | sin ч
^ - - J ) 2 + s i n |c o s i i
3247. * = 4 - ( * - l ) + ( * - l ) ( j r - l ) + - 2 - ( * - I ) * ( y - l ) + " -;
2 ^ 1 ,1 0 2 1 .
3248. e* [sin у + h sin tj -J- k cos у + j - {Ifi sin у -f- 2hk cos y - k - sin y) f
J
+ g W sin у - f 3!i"-k cos у - 3hk* sin у - k? cos y) + . . 1 , 1 0 5 1 .
3249.
y + xy j- 2 x-y —
i f - f ...
- yt) + A ( № y - 3xy* + 2if) -f-...
3250. у -1- i (2xy
325/. l - j-( x + y)-L . . . л x ’: Н — Уп^
,
x -У
3232*. x - y -
з (xt-y-i) f - _
° ar dS
CO
\
=
/
CO
(* 8_ 0* ) _ . . . + - L - y i ( j e W i - | , 2 / » + i ) +
arctg x — arctg ij.
.
CO
00
32И- '\n2= I ? / (\ n2* l S / - _2=_ l m—
2 I —n tn ___
3254. V
*М
п==2
.
>г
3255.
У
(-1 )»
^ '
ч=0
'
(2п + ()!
оо
2 5 2 < - ' > " < S = 2 2 < -'> " в д m—0
/і=-=Э
7?i= 0 /г= О
3257. z = l- f-
(х—1)+
|
(у—1) — j ( *
— !)(</ — 1)
(</— *)2+ -”
3259. (О, 0), (—5/3, 0), ( - 1 , 2), ( - 1 , —2). 3260. (1/2, — 1). 3261. (О, 0),
(О, а), (а, 0), (а/3, а/3). 3202. (О, 0) (0, 2Ь), (а, Ь), (2а, 0), (2а, 26). 3203. (л/0,
п/6). 3264. (Ь/а, с/а). 3283. ( - 2 / 3 , - 2 / 3 ) . 3266. (2, 1, 7). 3267. (6, 4, 10).
3268. А и С — максимумы, В — минимум; в окрестности D поверхность и нее с
вид седла, вдоль EF функция сохраняет постоянное значение. 3269. (—2, 0),
(16/7, 0), каждая точка будет стационарной для одной из ветвей функции.
3270. (1, 1). ( — 1, — I). 3271*. (О, 0). Чтобы убедиться, что найденная точка
есть точил максимума, достаточно представить функцию в виде г = 1 0 —
_
2 * 2 — у?. 3272. (2', —2). 3273. (— 1, 1). 3277. В точке (6, 4 ) — мак­
симум. ” 3278. В точке ( 0 ,0 ) нет экстремума. В точке (1, 1) — минимум.
3279. Наибольшие и наименьшие значения лежат на границе области; наи­
большее значение г = 4 а точках ( 2 , 0 ) и ( — 2 , 0 ) ; н а и м е н ь ш е е з н а ч е н и е г= — 4
в точках ( 0 , 2 ) и ( 0 , — 2 ) . Стационарная точка ( 0 , 0 ) не дает экстремума,
3280. Наибольшее значение 2 = 1 7 в точке (1, 2); наименьшее значение z = — 3
в точке (1, 0); стационарная точка (—4, 6) лежит вне заданной области,
3281. Наибольшее значение 2 = 4 в стационарной точке (2, 1) (эта точка
333
ОТВЕТЫ
является, таким образом, точкой максимума). Наименьшее значение z = —64
в точке (4, 2) — на граница. 3282. Наименьшее значение функции 2 = 0
в точке (0, 0). Наибольшее значение z = 3/e в точках (0, ± 1). 3283. 2 Н0Иг, =
= 3 / 3 / 2 в точке (я/3, я/3) (максимум), гнанм= 0 в точке (0, 0) (на границе).
3284. Все слагаемые равны между собой. 3285. Все множители равны между
П
собой,
3286.
I й.
= — ~
(8/5, 16/5).
3287. - 4 - ^ + - - = 3.
3288.
х=
У=
3289. (3, / 3 9 , 0); (3, — ^ 39 , 0). 3290. Куб. 3291. В точке (I, 1)
минимум, z = 2. 3292. (а, а) или (— a, — a), z = a'J (максимум), (а, — а) или
(— а, а), г = — а2 (минимум), 3293. (— < з / 2 , — а / 2 ) , г — — Уг2/а (минимум),
( а / 2, а / 2 ) ,
г = / 2 /а (максимум). 3294. Стационарные точки х =
= —у A r c tg у=
Arctg у . 3295. (3, 3, 3), и = 9
(минимум).
3296. Две
из переменных равны каждая 2, третья равна 1 (минимум, равный 4); две из
переменных равны каждая 4/3, третья равна 7/3 (максимум, равный 112/27).
•*1+ *54" •••+ *п
3297*. Исследовать на минимум функцию ----------------------- при ж, + х , -f-...
5 V
■/ У \ х л к
... + х „ = А , Вообще справедливо соотношение — ■ ‘ ^ 1 j , если k ~ ^ \ и
хі
■0.
3299.
abc
«вин = _ _ _ _ _
й с + с а + ай
при
х=
Ьс
■■ ■,
fcc-j- ш + а* ’
</ = -
ас
йс+ас+аб ’
330°‘ “н“'б= 1, "■««»= ~ 1/2‘ 330Ь <21/13, 2’ 63/26>*
3302. (3, — 1, 1). 3303. а) (—2, 0, 0); б) (2 , 0, 0 ).
3306.
3304. Куб.
3305. Куб.
3307. Если R — радиус основания палатки, Я — высота цилинд-
3у 3
рическон части, Һ—высота конической верхушки, то должны
иметь место
следующие соотношения: £ = /1 / 5 / 2 , Я = ft/2. 3308. Если / — боковая сторона
трапеции, Ь — основание и а — угол наклона боковой стороны, то должны
иметь место следующие соотношения: / = й = 2 / . 4 / / 3 3, а = я / 3 , где А— дан­
ная площадь сечения. При этом омываемая поверхность и = 2 >/3 • / . Д
« г 2,632 УЛ. 3309. Куб. 3310. Стороны основания равны каждая 2 a + / 2 t i i
высота вдвое меньше: а + у \ f 2 v . 3311. а3 (куб). 3312. Наименьшая площадь
равна 3 / 3 ab. 3313. ( 4 / / 5 , 3 / / 5 ) и (— 4 / / 5 , —3 / / 5 ) . 3314. (—5/9, — 1/9).
3315. (3, 5). 3316. гиа„(; = 2. 3317. Стороны треугольника / 2 S , / 2 S и 2 / S .
3318. Высота Я /3 , стороны основания 2а / 2 / 3 и 2 6 / 2 / 3 , объем V = ВаЬН/27.
3319. Тетраэдр. 3320. Нормаль к эллипсу в искомой точке должна быть пер­
пендикулярна к линии, соединяющей данные точки. 3321. Нормаль провести
в точке с координатами. ( ± а / а / ( а + 6), ± Ь У bj(a-{-b)). 3322. (9, 1/8, 3/8);
( - 9 . — 1/8, - 3 / 8 ) . 3 3 2 3 . 2 / 2 . 3324. х + у = 2 ; у = х . 3 325. х - у + а = 0;
х + у — 3а = 0. 3326. х + 2 у — 1 = 0 ; 2 х - у - 2 = 0. 3 327. х ~ у + 2 = 0; х + у — 2 = 0 . 3 3 2 8 . (0, 0 ). 3329. (0 , 0 ). 3 330. (0, 0 ). 3331. ( а , 0). 3 332. (0 , а) , (0,
- в ) , (а, 0), ( - а , 0 ) . 3 3 33. (2 , 0), ( - 2 , 0). 3 334. (0. 3 ), ( - 3 , 0 ), ( - 6 , 3).
3 3 3 5 . (0 , 0) — двойная т о ч к а . 3 336. (0, 0) — и з о л и р о в а н н а я т о ч к а . 3 337. (0, 0 ) —
12
Г. Н. Берман
3 54
ОТВЕТЫ
точка
точка
■ \-V
3345.
прекращения. 3338. к л , к — О, 1, 2,
— точки возврата. 3339. (а, 0) —
возврата. 3340. (0, 0). 3341. x = — f'(a), y = f (a) — a f (а)\ у = х arcsin х +
\ - х 2. 3342. 16f/;, + 27x4 = 0. 3343. у2 = 4ах. 3344. £/ = дг/2 и у = — х/2.
у = — дг4/4. 3346. у = 0 и 16у = х*. 3347. у = х и у = х — 4/27. Первая —
2
геометрическое место особых точек, вторая — огибающая. 3348. х2-)------ — у2 = 0
2
3 /3
г
і/3 _ о .
3349. х2/3 + г/2/3 = с/2/3. 3350. Четыре прямые д с ± (/ = ± Я .
3351. 2/>//(х2 + (/2) + л'2 = 0. 3352. Парабола ] / * + V У = V a . 3353. Циклоида
x = ~ ( t — sin /), У — ^2 ^ — cos /). 3354. Эллипс х- +
бола ;«/ = -? .
= R*.
3357. Эволюта параболы у2 — - ^ - ( х — р)3.
х у = 1/2 и ху = Г) K
1/2. 3361. а) 2 г ^ - = 2 | г | ^ - ;
/
4 S )-
3362- Из
3355.
3359.
б)
Гиперболы
+
Равенства ^ - = а ( 0 г
Гипер­
в) г х
Х Ж
:
= ~
г + а ( - ^ у - + а 2) г = Р (/) г и т. д. 3363. Дифференцируя равенство
r 2= c o n s t (см. задачу 3361), получаем г
= 0.
следует
=
Касательная к сферической
линии (т. е. к линии, расположенной на сфере) перпендикулярна к радиусу
сферы, проведенному в точку касания. О братная теорема также имеет место.
ччкя
dr
dr
<■
dx
d:lr
du
d3r
’
d *r — d 2 r „ ’•> I d r
"■
dxdu2 ^
du ^ ’
d*r , „ . d r
3370. Из равенства я —
—= 0, где
< t < / 2, следует, что на замкну­
той (в силу равенства r ( / i ) = r ( / 2)) линии найдется точка, в которой каса­
тельная перпендикулярна
к любому наперед заданному направлению.
3371. Годограф скорости ® { a c o s/, a sin /, 2bt} — винтовая линия; годограф
ускорения w {— a sin /, a cos г, 26} — окружность. 3372. Скалярное умножение
на а и на г дает а ~ ^ = 0 ,
Отсюда
ar = const — уравнение
пло-
скости и /-2 = const — уравнение шара. Искомая траектория — окружность, пло­
скость которой перпендикулярна вектору а. 3374. Эллипс. Скорость будет
максимальной в момент, когда материальная точка будет в конце малой полу­
оси, и минимальной, когда точка будет в конце большой полуоси. Ускорение
будет максимальным (минимальным) в момент, когда скорость будет мини­
мальной (максимальной). 3375. Компоненты скорости
р
,,
„
dr
dr
Указание. Наити скалярные произведения -■- е9;
dr
(і
/з
/2
; p s in c p -^ -.
eg.
333
О ТВ ЕТЫ
а=
■ а « я .л--_6—
3379.
У
6
=
J 2a ; * + 6у + 36г = 2706о .
- 2ж
= JL zl =
1
1
3380.
=
3381. J ^
=
i
12х — 4*/ + Зг — 12 = 0 .
= iL l-!. = £ zi® ; 27* + 28(/ + 4г + 2 = 0.
3382. * — *» = у ~ у° =
2о
g - ^ - • х + у + - —— 2.
2о
- _ У — Уп
3383
уЩ
дг§гЗ
</0 + *0
* 0 + 1 /о
г —г0
X— лг0
— х$уУ
х%
3 3 8 4 . г 0 {|/~ 3 /2 , 1/2. е я/С} .
2 — 1 АГ— 1
-1 ’ 31
ооо*
; ,+ , + /& = * f4 .
У2
Zo
у — У»
у]
3385. 6 х — 8 у —
2+
ч
л Г ~
U^-Uo
2—2o
V 26г„
— (a+ 6)
ч
,
Л.
*0
'/ — I/O
3287.
l- X - e y - V 2 2 + 2 = 0 ;
=
e
— 1/e
e
У— l / e _ г—У 2
1
— V 2‘ sh 1 '
X— 1
(/ _ 2 — 1
2 * - ( / + ? z - 5 = 0;
3389.
-1
3
* —I
3* + 3 ( / - 2 — 2 = 0;
x—l
x—1
;
=
3391.
8
^
-
(/
Z— 1
—1
0
— = —-— ;
2 -1
0
Z — 2(1 .
* — -*0 __
=
/2
X—1
I
’
у
2
3~
2—1
—1
—I
= z f j- j- = — э~; 8 jc — ll y — 9 г + 1 = 0 .
(/— 1
1
t>— \
'
3 = 0;
(/— 1 _ г — 1
26
—22 •
л Г и ,
3390.
-v
г — г0
if,
n
* — I/ = 0;
JC— 1
у — 1
2— 1
f
— - = * - - = _ —;
z = Ij
; x + y - 2 = 0.
X -V 2/2
у - У 2/ 2
V 2
— j/ 2
2 -1
>а2 л-— V7 2г/ + 4г = 4;
.* ~ ^ 2/2 = у ~ ~ ■= — L ; / 2 л ; + 3 / 2 і / + г - 5 = 0 ,
|/2
3 /2
!
X — V 2 / 2 __ у — У 2/2
г— 1
; — 13ж + 3(/ + 4 / 2 г + / 2 = 0.
1»
3392.
—3
f + L = J L _ ^ = Jl ;
6л: + 2г/ — Зг = 20;
2лг + 3(/ + 6г = 37;
£ ± 1 = ^ 1 ? . = ^ -;
Л+ L =
=
.
3 * - 6 ( / + 2г = - 8 1 .
3393. Д л я любой точки линии уравнение соприкасающейся плоскости
Зх — 2 у — 1 1 = 0 , т. е. линия целиком лежит в этой плоскости.
3394. Соприкасающаяся плоскость одна и га же для всех точек линии.
X и 2
ai a2 03
Ее уравнение % <h Os = bi bt 63
bt bt
Cl сг c*
12»
3 56
ОТВЕТЫ
3385. ch2 ^ s h / .
^no
3396. R —- Y ‘2 cosec2/.
_ 1 / V z " ~ 2'y")2 + !/"2 + z"2
„„„„ _
г"
0
г ' X r"
3398; 7 К ,— ( Т + 7 ч ^ ¥ — • 3399- ^ = — ’ P l = 7
vi - v ;X| r ^ o • 3400, Ti= vi x Pb vi.= pixTii p i = t 1xvI.
i o
'
3401. Искомый вектор ш (если он существует) можно представить в виде
© = (ffltj) t! + (o)va) v x + (й>Рі) Pi.
(1)
Из условия задачи следует (принимая во внимание формулы Френе), что
w x t ^ fc v ,,
< o x P i= — Tvt-
o> xvi= —йті + гРі,
(2)
Умножая эти равенства скалярио на Vi, Pi, t t соответственно, наіідем, что
сот, = Т, o)V! = 0, fi»Pi = fe и, следовательно, <й = 7'т1+ й р 1. П одстановка в фор­
мулы (2) показывает, что этот вектор удовлетворяет условию
задачи.
3402. 99 + ln 1 0 ^ 101,43.
3405. 5. 3406. 4а. 3407.
3410. 8 х - 8 у - г = 4;
3403. а In (1 + / 2 ) = а In tg
2
У 2. 3408. a In У 2 а + У х
У 2a - V x
=
о
=
3412.
2
3«04. К З И - І ) .
3409.
— (\+
2
\
3411. x + y - z - 1 = 0 ;
— 1
—о
.
+ а = 0, х = а, у = а .
1 1 п з \.
j
2
]
=
3413. 17* + 11«/ + 52 = 60;
'т г - т г - 4 - 7. * « • * -» + * -* = *
3 4 ,, Д + І + 4 - У *
3416. х + 1li/ + 5 z— 18 = 0;
1
3417. Зд: — 2 у — 2 z + l = 0 ;
■£=! = i t l = £Z_L.
3 418. 2 * + г/ + 11 z — 25 = 0;
х — 1_
2
х —2
3419. 5дс + 4 ( / + г — 28 = 0;
у—1
3422.
лг +
г/ +
г =
и
2
—2
1
у —3
11
z—б
4
1
_
3421. х — у~Һ2г = ^ / Г
== i ± L .
о
11
х - у + 2г= - | / " у •
у Га 2 + 6 а + с а .
3424. Все плоскости проходят через начало координат.
3425. х пх + уоу + ZoZ = а 2;
- , 7Г
ХХ„
ууп
M 26-
-
3428.
а2.
~ = у
*о
п
l ^ r = 2 <*+ *»>•
Уо
=
20
■
а ( х — х а)
Ьх0
3430. 2 * + i / — z = 2.
Ь ( у — Уо)___ Z— 2р_
~
ауо
-
-2 я & *
3434. 4дг— 2у — 3г = 3.
3435. П араллельна плоскости хОу в точках (0, 3, 3) и (0,*3, —7); парал­
лельна плоскости yOz в точках (5, 3, —2) и (—5, 3, —2); параллельна пло­
скости хОг в точках (0, —2, —2) н (0, 8, —2).
3436. а) 6u0v0x — 3 (u0 + fo) У + 2г + (“ о + ио) (ио ~ 4«о^о+ vl) = 0;
б) 3 (jtg — уо) х — Здго (У + Уо) + 2z + 4z0 = 0.
3437. 2 г ( х 2 + у 2 + г2) + Р (х 2-і-У2) = 0- 3 4 3 8 1 (х2+ у 2+ г 2)3= 2 7 а 3хуг.
3439. 1) {—2, 1}; 2) { \ 0 x y - 3 y 3, 5х2 — 9*//a + 4jf*}.
357
О ТВ ЕТЫ
3440. 1) 61 + 4J;
2)
‘ (2 /+ У );
°
3441. I) tg 9 « s 0 ,3 4 2 ,
3442. О трицательная
3443. 1) cosa= s30,99,
3444. 1) (— 1/3, 3/4),
*» + !,* = 2/3.
3)
*<) I */<)
ф
18^52'; 2) tg ф == 4,87, ф = « 7 8 г,2 4 '.
полуось у.
a = 83; 2) c o sa = » — 0,199, a=s* 10P 30'.
(7/3, —3/4); 2) точки, лежащие на
3447. 1) {Зл-5 (/0!2 0і 2.і'(’ _[/иг0,
2)
окружности
Xi + y j + z k
\/
.1
—I —
= -----, где г — радиус—
О
1 -1
I
...»
iг І
V X 2 + У* + г*
вектор.
3450. 1) 2г; 2)
3) 2 Ғ ' (г -)г \ 4) а (Ьг)-\-Ь (аг)\ 5) аУ .Ь .
3451. 1) 0; 2) / 2 / 2 ; 3) — / 5 ; 4) (cos a + sin a )/2 .
3455. 1) 5; 2j 98/13 . 345S. —22. 3459. l/r - \
2452. / 2 / 3 .
3453. 1/2.
К главе XH
3480.
M = \ $ v ( *■' У) d a‘d
2482.
Г = ^ - со"-j j
3461 ■ E = $ S т (Л- У)r/ff‘d
(•*•'. !/) d(J-
D
3483.
<? = (/2 — tL) \ j с (x, у) у (x, y) da.
3464.
Л/ = ^ { ү ( * , у, z)dv.
D
3465. Z? = ^ ^ 6 ( . t , у , г) du.
s>
if
3466. 8л ( 5 - / 2 ' ) < / < 8 л ( 5 + / 2 ) . 3467. 36л < / < 100л.
3468. 2 < / < 8 . 3469. —8 < / < 2/3. 3470. 0 < / < 64.
3471. 4 < / < 36. 3472. 4 < / < 8 ( 5 - 2 / 2 ) . 3473. 4л < 1 < 22л.
3474. 0 < / <
л R4.
3475. 24 < / < 72.
3476. 28л / 3 < / < 5 2 л / 3 .
3 4 7 7 .1 .
3478, (е — 1)-.
3480. In 1 . 3481. 1п2 + - 2 -. 3482. я - 2 .
3
1+13
5
(Зл + 4 )/2
3485. jjdje
3
'j
2
f (х, у) dy.
u
1 V' i —x3487. J dx
j
/ (x, (/) dy.
3489.
b
4 — X’
{
dx
—V i
/ ( x, y ) d y .
x. — 1
2
/(.v, y) dy.
3490.
**
З У 4 -Ғ /2
\ dx
- 3
t
З + У^л:—jc*
h
(
f(x, y\dy.
t — Уіх—х‘
2
2i
2491.
3493.
\
$
о
I
1—A
C
3488. jj d* $ / (x, y) dy,
o
l" 2
3484. — л / 16.
2 —*
2486. ^ dx
(3 л : + І ) / 2
b
3483. 2 .
3479. л/12.
f
f (x, y ) d y .
—3 vT = j?yi
1
3
3492. jrfx J f(x, y)dy,
0
6—x
I dx ^ f (x, y) dy + jj dx J / (*, y) dy.
**
358
ответы
1/3
3494.
х+ З
2/3
дг + 3
( dx \ / (х, у) dy + \ dx
- 's /З
1 - 2*
1/3
1
2495.
2
2х
Ь — 2х
5 /3
( l(x ,y )d y + \d x
i
2/3
\
л
j(x ,y )d y .
2/.с
d* \ / (л-, у) dy + \ d x f / (дс, у) dy.
х/2
(I
2
)
х/2
2‘ х
3496. \ dx
2 Y 'ix
9 /2
\
f (х, у) dy +
\ dx
—чҮйх
(j
/ (дг, у) dy +
— 2 /2 І"
2
8
+
j
a/3
____
—2
21—4x
J dx
/ (x, y) dy.
—2/2*
/ я — x*
3497. Ij dx
\
—3
f ( x , y)d y-j-
_ |/ y _ xi
2
V \ -i- x 2
Y
3
d— x1
+ \d x
!
If
I (x, y) dy + ^ d x
J
j(x ,y )d y .
—2
_— /Y Ii +
4- Jf1
J"
l/o _ X
»22
2
_ j/y
I
v' i —//2
3499. ( dy
\
f (x, y) dx.
*
3498. ( dx Ij / (jc, y) dy.
0
x‘
0
г
_ YTTTgi
У
3500. J dy
0
а
Y'i
j
f( x , y) dx.
3501.
Ij dy
—V i
r — Y r ‘ — tj‘
I/
4
V i — 2уи
f (x, ij) dx.
— Y b — ‘l y *
2
3502. j dy j / (jc, !/) rf* + ^ dy J /(дс, y) dx.
у/2
4
6
6 -г/
3\dyI
j
3503.
3504. \) \ d y
I
0
/ (*, y) dx;
2) \ d y
у
0
2
2у
4
(|/+6)/I
II
f
j (x, y)dx\
2 i/-3
( 9 — ij)/2
2) \ dy
T
f (x, y) dx;
f{ x , y) dx.
3 /2
2505. 1) § dy § f ( x , y ) d x + \ d y
О
yft
2
3
\
0
1 2~Y2u—ij‘
3) \ dy
y)dx-
I + / 3 + 2.1— x 1
3
/ (x, y) dx\
<y + l ) / 2
3)
\ dx
f
3 + V l - ^
4) \ d y
^
0
1— Y I — y 2
2
2 + /2 1 /-1 /2
f(x, y ) d x + { d y
Һ
/ (a:, y) dy,
d
J i
} (x , y) dx.
2— Y l y — y2
3506. l ) - | a 3/2; 2) 9; 3) 1/2. 3507. 0. 3508. 33/140, 3509. 9/4 . 3510. —2.
3511. л /6.
3518.
3512. 4/135.
abc(a + b + c)/2.
3522. y ( l n 2 - y ] >
3513. 4 . 3514 . 3.
3519.
a"/48.
3515. 1 2 1 . 3516. 2Д/3.
3520.
3523. 1/180. 3524. n 1/IQ — 1/2,
ail/110.
3521.
3 5 1 7 .6 .
2e-5.
359
О H it ш
2it
Я
dipf /(рсовф, рвтф)рЛр;
3525. 1) f
я/3.
2)
ясоэф
^
/ (p cos ф, p sin ф) p dpi
dtp
-к/2
о
4sin<p
n
dcp
3)
f (p cos ф, p sin ф) P dp.
a rc t £ 2
вС 05ф
d<f
^
3526.
я/l
.
a
a rc tg -r-
, .
b
s
3527.
f (p cos ф, p sin ф) p dp.
j)
4 cos ф
j
6 si n ф
rf<p
/ (p cos Ф, p sin ф) p dp - f
j
nf'l
+
a cos ф
dq>
j
^
/( р с о в ф , p d n
arctg y
п/l
3528.
sec ф
\ d<p i / fp cos ф, p sin ф) p dp.
0
a
я/а
3529.
2
^ с(ф
Ь
л /4
3530.
dy
(j
l[
— Л /4
][
о
6
/ (p cos ф,
p sin ф) p
R
о
/ {p cos ф, p sin ф) p dp,
о
‘2Rsin Ф
\ йф
n/6
\
} (p cos ф, p sin ф) p
dp.
R
2 sin ф
R
a rc tg R
3534. 2 f / (P-) P
о
3535. ^
j
о
3536. ” [(1 -f- R-) In (1 -I- R 1) - R-\.
3539.
R :i
dp.
\ dq>\ f ( p c os ф , p sin ф) p dp,
TX/2
3533.
dp.
ii
j dy
л /2
3532.
(p cos ф, p sin ф) p
a s i n 2ф
л /2
3531.
/
J
V2 sec (ф — л/4)
a Y cos j<p
п — -д ).
/ (tg ф) dq,.
3537.
я (л — 2)/8.
3538.
3540. л2/6.
•J
2л
I
3542. х — 2 р c o sф, </ = Зр s in ф; / = 6 j Л р |/( 2 р с о в ф , Зр s in ф ) р d p .
3543. jc= р cos ф,
л
/=
{/ = К З р 8 іп ф ;
V i cos2ф s in ф
У з j dtp
^
f (р COS ф, / з р sin ф) р d p .
яR4,
3G0
О ТВ ЕТЫ
3544. х = а р е о 8 ф , у = 6 р б і п ф ;
I — ab
(j d<p
11
3545. a W / 8 .
I
/
( j^ 4 — p-) p dp.
i
3546. 1/j 6.
я/3
R
3547. ^ d z \ dq>\ f (p cos <p, p sin <p, 2) p d p .
о
Л/ 1 о
Л/2
3548.
2co^rp
\
dф
(|"
— л /2
О
л/2
л/2
3549.
p-
p dp
/ (p cos ((i, p sin ф, г) dz .
n
/?
sin 9 d 6 ^ d(p \ / (р cos ф sin S, р sin <р sin 9, р cos 9) р2 dp.
о
о
о
^
R 1 c o s 2ф
л /1
3550.
\
а'<р
V
jj
р dp
—зі/i
о
2л Я 1(3/2
3551. у гіф
0
j
pdp
®
2л
\
/ (р cos ф, р sin ф, г) dz.
—v'/г* —jр\
f (р COS ф, р sill ф, г) dz
Я - V'/i3- Рг
R
я /3
или ( d(| f sin Өdfl f / (р cos ф sin 6, p sin ф sin 0, p c o s6 )p 2 do +
6
0
2л
о
л /2
2R cos 0
+ \ dф \ sin6dS
0
3552. na/2.
3557. 2л/3.
Л/3
3553. 8a2/9.
/ (p cos ф sin 9, p sin ф sin 0, p cos Ө) p2 dp.
3554. 4л/?5/ 15.
3555. л/8.
3558. л I 3 / 1 0 + In - - 2 ~ 1 - / 2 - 8 I
[
\ 10 — 3
|‘
3569. “ -Л Н І + -І Л
6 \ р
q /
3565.
\
6
3561. аЬс/6.
3562. 12.
3571.22л.
3 5 7 7 .8 8 /1 0 5 .
3578. abc/3.
4
3573. 12 . , .
21
3579. лк3/4.
4R b
3574. - 4 V lou2
3580. 2
3559. 186 | .
3
3563. 1/6.
g8 К б . 3566. 16. 3567. 45. 3563. 13 У . 3569. 16
16
3572. ’ R \
3
3556. 4л (/?5 — /-5)/15.
/
3561. 78 ' v .
,
. 3570. иг- ■* -
3 575.27.
Оё1-I- 1\
------- ~
j .
^
3576. 3/8.
3581. 3« — 8.
3582*.
4е — е- — 1. Тело симметрично
относительно
плоскости
у = х.
3583. 2 (л2 — 35/9). 3584. 1/45. 3585. 16/9. 3586. л/4. 3587. 40л. 3588. 2л.
Э589. 5лЯ 3/2. 3590. Зла3/2.
3591. - t W
3594.
3 5 9 2 .^ /2 4 .
3 ^ 2
ЗГ
' '
3
!
л
Л
,,«г
_
-,ло
ү ( ^ 2 — ' ] • 3595- я у 2/24.
3593.
'/■-3£- + I
8 \ 8
3596. п2й 2Л/16.
3597. 1/2.
3598. 2.
3599. л ab. 3600. аЬ/6. 3601. 16/3. 3602*. 5 л а г/8. Перейти к полярным
координатам. 3603. Зя/4.
3604. 2а2. 3605. 2/3- 3606. 1/60. 3607. 1/1260.
3608*.
1) - ^ 4 - : 2) 4 ^ - . Воспользоваться результатом задачи 3541. 3609. 8.
7 2са
25
3 6 1 0 .7 /1 2 . 3 6 1 1 .3 /3 5 . 3612. 4 -(4 — 3 In 3). 3613*. л /2 . Проекция тела на
плоскость Оху есть круг. 3614. л /8 . Перенести начало координат в точку
(1/2, 1/2, 0). 3615*. 19я/6 и 15я/2. Перейти к цилиндрическим координатам.
3616. 5л/?3/ 12. 3617. я/9 6 . 3618. 9 2 л Я 3/75. 3619*. л а 3/3. Перейти к сфериче­
ским координатам, 3620. а3/360, 3621. 4 яа3/12. 3622. 4 я а3/3. 3623. 64яа3/105.
Sol
ОТВЕТЫ
3624. я% 3/6.
2625. 21 ( 2 - V 2 ) д/4.
3626. 14.
3627. 36.
3628. 8л.
3629. 2 ]'/ 2лр3. 3630*. 2л/?2. Проектировать поверхность на плоскость Оуг,
3631. » У 2‘ аЬ. 3632.
— 1).
3633. ~ { ( 1 + Л2)3/2- 1 } 3635. 4л<2 ( а — У а2— R - )•
3637. 2 R 2 (л + 4 — 4 / 2 ) .
3624. ^ - ( / 8 - 1 ) .
3636. 2 R 2 (л — 2).
3638. ^ | з / 2 - / 3 - ^ - 1 п 2 + / 2
3640*.
1 п (/3 + / 2 ) } .
3639. 2a"-/sin 2 а .
( У $ — У 2) «= 3,42 • 108 км2. Перейти к сферическим коорди­
натам.
3641. 16ла2/3.
3642. 8Я 2.
3643. ab*/2.
3644. 2 R 3/3. 3645. л R 3.
3646. 9а3/4. 3647. Статический момент равен ah-/6. 3648. Центр масс лежит
на малой оси на расстоянии 46 от большой оси (6 — малая полуось).
3649. £ = ^ 1 — 4 j ( F 2 + 1), т ] =
| ^2
—
1j (2 + У 2 ) .
.
26~0.
Центр
масс
a
4
sm 2
лежит на биссектрисе угла а на расстоянии ■ - / ? — ——
от
центра
круга.
. .. a
4
81П" 2
3651. Центр масс лежит на биссектрисе угла а на расстоянии - R ——
от центра кр\'га.
3652. | = 3л/16, г] = 0.
3653. 5 n R t/4.
3654. 2а4/3.
3655. дай (а2 + И /4 . 2656. a b (a 2+ b 2)/12. £657. a/i (а2+ 12Л3)/48.
3658. З л /?'/2 . 3659. ah (2ft2/7 + a 2/30). 3662*. Выбрать систему координат
так, чтобы начало координат совпало с центром масс фигуры и одна из
координатных осей была параллельной оси, относительно которой ищется
момент инерции. 3663. а2Ьс/2, аЬ'2с/2 и abc2/2. 3664. n R 2f ! 2f i . 3665. я abc2/4.
3666. £ = 1 4 /1 5 , г| = 26/15, £ = 8/3.
3667. £ = За/8, т] = 36/8, £ = Зг/8.
3688. | = 6/5, n = 12/5, £ = 8/5.
2669. £ = 1 8 /7 , т )= 15 ^ 6 /1 6 , £ = 12/7.
3670. £ = 0, г) = 0, £ = 5 а ( б / 3 + 5)/83. 3671. £ = 0 , i] = 0, £ = 3 t f ( l + c o s а)/3 .
3672. ‘1 = 0, т] = 0, £ = 9а/20.
3673. % = R /2, i \ = R/2, £ = Я /2 . 3674. £ = 0 ,
t) = 0, ? = (55 + 9 / 3 ) / 1 3 0 .
367?.. M (b2 -f- c2)/3, M (c2 + a2)/3, M ( a 2+ b 2)/3 и M (a2- f й2 + с2)/12.
3 6 7 6 . 7 Л 1 Я 2/ 5 . 3 6 7 7 . M ( b 2 + c‘2)/ 5 , M ( c 2 + a 2) / 5 , /W ( a - + f t - ) / 5 .
3678. M (R i/4 + № /3 ) и M (H2 + 3 R 2)/12.
3679. \
M Rn ' ~ ' l .
3680. 3*g л Я 2Я (3R ' - + H 2).
+ -I
. 3682. 55
3683. M ( R 2 + r2)/2.
3686. 4үаі>2/3.
3689*.
ди н ат—его
7іуҺп^
3681. 1 Л1 ^
3684. 4a2/3.
Me2.
3685. 2n r ( R - r ) .
3687. 2яү ( R i — г2).
3688.
(ЗД- + 2Я 2),
Ct
‘ n _|_g— . Если за ось Ог принять ось конуса, а за начало коор­
вершину,
то
уравнение конуса
будет
х2 - f у2— 2 2 tg2 a = 0.
3690. - |л ү Я « . 3691. ^ ^ 1 8 / 3 - ^ j . 3692*. £ = 0 , rj = 0, ? = | - Я . Перейти
59
к
ц и л и ндр и чески м
задач е,
3694*.
коорди натам .
В ы брать
си стем у
3693.
координат
См.
так,
указани е
чтобы
к
начало
п реды дущ ей
координат
362
ОТВ ЕТЫ
совпало с центром масс тела и одна из координатных осей была параллельна
оси, относительно которой ищется момент инерции. 3695. к М т /а г, где
М — масса ш ара, а * — гравитационная постоянная. 3696*. Воспользоваться
17 k M
результатом предыдущей задачи. 3697. gg
, k — гравитационная постоянная.
3699. Центр давления лежит на оси симметрии прямоугольника, перпенднкулярной к стороне а, на расстоянии 2Й/3 от стороны, лежащей на поверхности.
Во втором случае (сторона а расположена на глубине А) расстояние центра
давления от верхней стороны будет равно ^
ц е н т р ' давления
3700. а) — sin
а;
б)
почти
h sin а .
совпадает
,
с
где
/ = A/sin а.
центром
(При
прямоугольника.)
3701. Центр давления лежит на большой оси
а2
эллипса на расстоянии а + ^ (д -f-ft) от 66 веРхнег0 конца. 3702*. Выбрать си­
стему координат так, чтобы одна из координатных плоскостей совпала с пло­
скостью пластинки и одна из осей— с линией пересечения поверхности жидкости
с плоскостью пластинки.
3703. Расходится. 3704. 2 л .
сс
3707. 2. 3708. 1/4 . 3709*.
sjn
3705. -Д г.
3706.
4.
. Перейти к полярным координатам. 3710*. 1/2.
Переменить порядок интегрирования. 3711*. 1/16. См. указание к предыдущей
задаче. 3712. Сходится. 3713. Расходится. 3714. Сходится. 3715. Расходится.
3716. Нет. 3717. 8/15. 3718. я/16. 3719*. л | / я ; воспользоваться интегралом
СО
Пуассона j е~*~ d x = У л / 2 .
0
дится. 3723.
8
3720. Расходится. 3721. Сходится. 3722. Расхо1\
/
-д- л/?3 Мп R —
J.
3724*.
я.
(См. указание
к
задаче
3719.)
3725. п/4. 3726. У л /2. 3727. 2 a k m y ( R - { - H — У R ’-^-H2). Сила направлена по
оси
цилиндра,
k — гравитационная
постоянная.
3728.
—'
(/ — //),
где
/ —образующая конуса. Сила направлена по оси конуса. 3729. а) а = 4ус — Зү0<
4
4
kM m
* = £ (Ve — Vq); б)
n k R y c = - ^ ~ . 3730. Определена всюду, кроме x = Q.
3731. Зл.
‘
'
b (5а* + ЗЬ* , 3
t b\
8a4 {(a2 + b2)2 ab ЭГС ® a } *
( я — 1 )!
„ о ы п(сР + Ы)
~ * Г - 3736 ‘ ~ 4 Ш
по а и по b и результаты сложить. 3737. In (1 -f-a)
ч -k m
1 - 3 - 5 - ....( 2 я - 3 )
3734-
2~
Продифференцировать
3738.
я
4 .6 - ...- ( ? Я - 2 ) 2 а ^
-A In (1 + а).
37?9.
1Ч
(п >
0 , 0C
1 )- 3 7 3 5 ‘
~ In (а + у Т + о ^ ) .
3740.
л ( /Г ^ - 1 )
3741. - ^2I n (v.
l + a, )„„
, е с л и а ^ О ; — ^ 21п(1— а), если ---.
а ^ О . .3742.
...
3743. л arcsin а. 3744. л a resin а. 3745. У л а .
цировать по а пли по Ь.
3747*.
3748.
2
a rc tg — — a rc tg
1п й ^ ^ 2 -
а "*"С
3749*-
--
— a rc tg
л 1 п “ 5“ '
.
2
°
3746*. У л (j/ft — У а ). Дифферен
. Д и ф ф ер ен ц и р овать по
Д иф ф еренц ировать
по
а
b
или по с
или
по
b
я/2
3.750. ~ 1 п ( 1 + а ) , если а > 0 ; — ~ In (1 — а), если а < 0 ; і
dx = ~ \ a 2
'Ш
ОТВЕТЫ
3751*. In ]—
Интегрировать
1-f- а
3752.
по
параметру п
в
пределах от а до (I,
i / я
I / — . 3755.
я , a
1 . Ь
^ І п - ^ . 3756. — In — .
У л ф — а).
+ ОО
___
+ со
Г cos х dx
1 — т— =
3753.
J
о
\
.)o
Vx
s
f
sin ЛГdx
— 7— =
Vx
'
У
2
2
b
n
a
-I- CO
3757*. / =
lim
£ч»
/ (ax) — / (**)
X
r + 00
-
be
4- oo
=
lim
e—
*0 1
lim
I' L W
e -O J
*
e
Оцениваем последний интеграл, заменяя / (л-) ее наибольшим и наименьшим
значениями в интервале (ае, fee), и переходим к пределу.
..................Л
3758. I n - . 3759.
I n — . 3760. -!-1п1а + Й . 3761. a b l n — . 3762*. 4 -1 п З .
а
а
2
|а —о
а
4
Представляя sin3 jc в виде разности синусов кратных дуг, сводим задачу к пре­
дыдущей (при соответствующем выборе а н Ъ). 3763*. Д л я доказательства
можно использовать два метода: 1) интегрирование по частям; 2) изменение
порядка интегрирования в двойном интеграле, получающемся после подста­
новки интеграла вместо Ф (аг). 3764*. См. указание к задаче 3763. 8765*. Вос­
пользоваться вторым методом решения задачи 3763. При доказательстве вто-
+ оо
рого
соотношения неооходимо исследовать интеграл
С
I
sin ах cos (х sin fl) .
------------- --------- - d x
о
при | а ! > 1 и | а | sg 1. Д ля этого преобразовать выражение, стоящее в чис-I- со
лителе, и учесть, что ^
dx =
(интеграл Дирихле). 3767*. Подставить
о
в левую часть проверяемого равенства выражения для у ' и i f , получаемые
дифференцированием интеграла у по параметру. Одно из полученных слагае­
мых проинтегрировать по частям. 3768*. См. указание к задаче 3767.
3769*. См. указание к задаче 3767.
К главе XIII
3 7 7 0 . / 5 In 2.
3771. 24. 3772. ^ (5 / 5 - 1 ) . 3773. 2па*п* \
3774. а— a*+-°!?-+ b2) . 3775. 4 л а / 5 .
Ф<
3776.
3 (а + о)
f
r _____
j F (p cos ф, p sin <p) ] / p2 + p '2 dqp. 3777*. я а 2/2. Перейти к полярным
ф.
координатам. 3778. 2а° / 2 / 3 .
3779. ! ^ [ ( Я 2+ 4 ) 3/2- 8 ] . 3780. 8ал3 / 2 / 3 . 3781. R 1 / 3 / 3 2 .
3782. 1 ^ [ ( 1 + 2 я 2 ) 3 /2 - ) ] . 3783. £ * / 2 .
ЗТМ- - j { ( * i + l ) 3 /2 е—
эксц ен тр и си тет элли п са.
3785. 6a. 3786.
^ агсйя g,
r js
ОТВЕТЫ
3787. ^ 2 n a 2 + 5 ^ : j / H q r p .
3790.
3788.
j/3 .
3789. (0, 2а'n, Ьл/2).
[(Зл2 - 1 ) (2л2 + 1 )3/2 + 1].
3791. / л. = / = (а2/2 + Л2/3) / 4 л 2а2 + №,
3793. лр2/4. 3794. 11/3. 3795. R*.
3796.
— і
п
j ,
где
/ г = а 2 / 4 я 2а а + /і2.
с = }/"а-— 62;
3792. Зл/?2.
S = 2 te 2
при
a = b.
3797. 98р2/81 •
3798. 8 tf2.
3799. 4Я 2.
3800. 2 //я /а .
3801. 8тГ / 2 / а .
3803.
2n m fa /b 2,
где
а
и
6 — полуоси
эллипса.
3804.
2л m l/p .
3805. 2 nm IR -/(h ‘l + R 2)3*2. При Д = А У 2 . 3806. 3. 3807. аЬ/2, 3808. —56/15.
3809.
37-*- . S8I0. 4 я . 3811. 1) 1/3; 2) 1/12; 3) 17/30; 4) — 1/20. 3812. Во всея
четырех случаях интеграл равен 1.
3813. 0.
3814. —2 л ab,
3815. —4а/3,
3816. л а 2. 3817. ЗлЯ J/R /1 6 . 3818. 13 . 3819. 0. 3820. 3 / 3 , 3821. —л /?’/4.
3822. № ( * + y * )d x d y .
3823. \ \ { y - x ) # » d x d y . 3824. яЯ«/2. 3825. 1) 0;
D
Л
2) — я а 3/8. 3827. 1/3. 3836*. Применить формулу Грина к двусвязной области,
ограниченной контуром L и какой-либо окружностью с центром в начале
координат и не пересекающейся с контуром L, 3837. л , 3838. 8. 3839. 4.
3840.
\п £ .
3841. R 2- R t ,
•’
= ll± E L + с .
3 8 4 2 .1 0 /3 ,
3843. 0 . 3844.
3846. и = («2 - ( / 2)2 + С.
— ~ .
2
3 8 4 5 .« = .
___ _
3847. “ = l n j x +т- и
« I| -----%---х+
у ҺС. о 3848.
« = Ь - ^ 1У± ^ ± 1 + с .
3849. и = \ п \ х - у \ + -У — + ^ — 14 - + С .
* '
х —у
2
3
2850. a = x - c o s r /+ ^ 2 cos* + C.
3852. и =
-+
еУ—1
+1/ +
іт^"
3851. и = т ~ і "
^*
3853. п = 1 , u = * -In (*2+ i / 2) + arctg *L + C.
О*Л~у)
2
х
х—ч
--{-С, 3855. и — I n \x-\-y -\-z | + С.
хг + у :
3856. и = }Лг2 + [/2 + гг + С. 3857. arctg х у г + С ,
3854. а = Ь — — 1 , о =
3858. о = ——-----1-С.
jc—
i/г
3859. и =
г
^
+ С.
3860. и = е ^ 2 ( л т + 1 ) + е уг— е- г .
3861. яоЬ.
3862. Зл а2/8.
3863. бл а2.
3864*. За2/2. Перейти к параметрическому заданию, положив y = ix. 3865. 1/60,
3866. 1/210. 3867*. 2а2. Положить y = x i g t , 3868*. 1/30, Положить у = хР.
3869. F R . 3870. 1) 4/3; 2) 17/12; 3) 3/2 и 1, 3871. а) (аа — Ь2)/2; б) 0 . 3872. 0.
3873.
k У<# + Ь* + с* 1п 0
где
k _ коэффициент
пропорциональности.
3874. 0,5й In 2. где k — коэффициент пропорциональности.
3876. 4 / б Т .
1877. /3 / 1 2 0 .
3878. я /? 3/4 .
3879. 0.
3880. я R 3.
3881. 2 n R e/ l 5 .
Ң
3882. 2л arctg
.
ш л
2nR Г
1
ПР Н Я = І 2 ;
1)1-
3885*.
1_____________ !_____
3883, с ( п - 2 ) 1 ( с - Л ) » ^
(с+ Я )',“2]
п= 2
<ММ4 я Г я і / р г а Т + І п ( Р + / Я ‘г +
сферическими координатами.
3886.
^
* * - 1п - £ ± £ .
с
C-R
при
л 2/?3. Воспользоваться
эдад?*8 ’/»
3889. 4ла6с/3, 3890, 0. 3891. 1/8, 3892. Я2Я (2Я/3 + ЯЯ/8). 3893. л/8.
365
ОТВ ЕТЫ
3894.
2 ^ С (x — у) dx dy + (у — г) dy dz + (г — х) dx dz.
3895. — л R 6/8.
'S
3896.
2 i ( \ (x •- j/ ~f г) dx dy dz. i
3897.
a
3898.
0.
3899.
f С Г
* h '1— 2 - dx dy dz,
• •’ J Үх- ГУ--г2г
]2 л № /5 .
К главе XIV
3901. 1 + ( / 2 = С (1 — х2). 3902. х2 + г/2 = 1п Сх2.
3903. у = \ / С + Зх — Зх*. 3904. у = С sin х — а. 3905. Сх = (г/ — 1)/у.
3906. х / 1 — y ' + y V l — х 2= С. 3907. \ г \ - у - = arcsin х-\- С.
3908. е‘ = С ( 1— e~s). 3909. 1 0 * + 1 0 У = С. 3910. In
3911. * = -a \
3912. t = — ^ = l n
2 /* ,* ,
1- ■
»/
tg —
3913. y — e
3916. ’y =
2‘
1 Г
-Ь Л —
( / * , ( ! _ * ) _ * У k2
^__
I j£
2 .
= С — 2 sin
tg
3914. y = \ ~ ~ • 3915. cos x = \ 2 cos y.
ft + JC
.
l+ij
3917. Гипербола xy — 6.
3918. Трактриса r/ = / 4 — x2 + 2 In
2 -У Т ^ х 5
3919.
Параболы
y* = Cx. 3920. yk = Cx. 3921. y = e{x~ a)/a. 3922. (x — C)1-+ i f = &. 3923. r/ =
= |
| n I С (k?x2~ I) |. 3924. x = i/«. 3925. = 2 , 7 м/с. 3927. 0,467 км/ч; 85,2 м.
3928. # = | / Л
— 1 ^ £ - 9r J .
3929. In
6o—Ө( = 2°- (2/ +'0/2).
3930*. Если t — время, отсчитанное от полуночи и выраженное в часах,
dS
я(^-12)
- k cos
«то дифференциальное уравнение задачи имеет вид
S V 'S
12
160000
. Функция S (t) определена при 6 s £ f s £ l 8 .
отсюда |S =
L
• я( /-1 2) Т
L9 — п — т т - J
3931. x + ctg ^ y ^ = C.
3932. 4f/ — 6x — 7 = Ce~2x.
3933. x + C = 2 u + g In ; u — 1 ; — 3 In (u + 2), где u = Y \ -\- x + y.
3934. y — 2x = Cx3 (y + x).
3935. arctg
= In C \ x- + i
3936. In : у ! + xiy = C. 3937. x'2+ y2=-Cy. 3938. v = j ' x / 2 І П
3939. x3 = C2 + 2C!/. 3940. e«ix = Cy. 3941. \ n \ C x \ = - e ~ v < K.
Cx |.
3942. y = xei + Cx. 3943. ( х + у ) 2 = СхЗе~х П х + у ) . 3944. Cx = ф
" arctg
3945. V x 2-\-y2 = e
■Ь
Д
С
3946,
^ = ^ -* 3 .
3947.
j 3 = 5 + 2 / 5 x . 3949. Если ^ = u , то l n | x | = j
3948.
■и л и
X
Ф
.
3950.
x = Ce±<lV,J/x.
3951.
дс =
і/ l n | Cy |.
£ = -* .
; cp (u )= --L
3952.
0 =
366
О ТВЕТЫ
■=2Су + С2. 3953*. Форму параболоида вращения. Пусть плоскость О х у - ^ ш *
ридианкая плоскость поверхности зеркала; в этой плоскости лежит искомая
линия, дифференциальное уравнение получится, если приравняем тангенсы
углов падения и отражения, выраженные через х, у, у'.
3954. ус= С е ~ 2х - f 2* — 1. 3955. у = е ~ х2 ( С + х Щ .
3956. у = Схп-еих + *2. 3957. у = (х + С) (1 + х 2).
|
3958. у = С е~ х + у (cos jc + sin х).
етх
4 --------—
1н
а
3960.
3962.
3964.
3959.
Если т ф — а^ то 0 = Се-Л* +
■ если т = — а. то у = (С + х) етх.
у* — 2х = Суа. 3961. х = С е*у+уУ2 + у/2 + 1/4.
х = у \ п у + С/у. 3963. у = е х (In | х | + х2/2) + Се*.
у — С е ~ + Ф (дс) — 1. 3965. у = х/со$ х.
3966. у = eXJCa b ~ f - .
J
3967. у = —^-} (дс — 1 + 1п | jc |).
X
ЛГ- f 1
1 1
3968. x = - * a r c t g / . 3969. б) а + Р = 1. 3971. у = С х - х In | х | - 2 .
а2
3972*. у = С х ±
• Дифференциальное уравнение задачи | ху — х-у' | = а*.
3973*. х = Су ± сР/у. Дифференциальное уравнение задачи
J xy —
— 2а2.
»7«.
3975. v = ( v v + b ) e - el’ + Ь (ai‘ — 1), где а = ^
, 0 = -^ р ■
І
‘
3976. e — e0 = <rk i j < t ( t ) e k l dt.
F
3978- ' =
3977. 9,03 А.
•
Г
~\
a rc tg —
10)Le~ R!/L + R uno>t — &L cos Ы 1. 3979, i = Ce
8980. у = Cx2 + 1Jx.
3981. j! = - - | / F + ~ i +
•
3983. (1 +лс2) (1 -\-y-) = Cx".
3985. x ^ C e - xlK2yl).
3982. y = C x - \ .
3984. (x + y f (2x + y f = C .
3986. sin У = Cx.
X
3987. sin y~ + \ n \ x \ = C.
1
X
'
3988. y — Ce~eX-\-ex — 1. 3989. у ( y - 2 x ) 3 = C (y — x f .
3990. y = Cesin !/ — 2 (I + sin y). 3991. x = y2 (l + C e 4y).
3992. (/ = Ce_ s i n * + s in * — 1. 3993. у = (C + ex ) (t + * ) » .
3994. y l = 4xy-\-C. 3M5. y = Cex и у = С + хУ2.
2
г
3996*. z/2 = — sin jc 4--------- .
J
3
sm2 х
телыю z — y-.
3997. arctg (x + y) = x + C.
4000. У = ү
Привести к уравнению
линейному относи*
3999. arctg | + l n (x2 + (/2) = ~ + ln 2.
[2 + x / l — x* + arcsin *].
4001. ( 1 + y ) e-* = l n i ± ^ + l - * .
4002.
^
— 3 (2 + x3).
4004. у = - ^ [ е к х + с + в - 1кх + с )1
4005. х * + у * = С х .
367
ОТВЕТЫ
4006. (у — х)г (х-\-2у) = 1. 4007. Параболы у = х + Сх2. 4008. (2у2 — х2)2 =
«= Сх2. 4009. Цепная линия. 4010. у = С х 2. 4011*. Пучок прямых у — у0 =
■= С (х — х0). Дифференциальное уравнение у — уо = у' (х — ха). 4012. О круж­
ность с центром в точке (х0, у0): х2-\-у2 — 2 ( х х 6 -\-ууо)- 4013. Любая окруж ­
ность с центром на оси Оу, касающаяся оси Ох. 4014. Если путь S , а время t,
то S = S 0 + C e ~ ki‘ —
t+
t2, где S 0 — начальный путь, а
фициенты пропорциональности.
6 мин 18 с. 4017. 0,00082 с.
,
т w
4018*. и = v,\ 1 1 --------/]
\
равна —
Mq j
4016.
1) 8/9 оборота
З-loW ,
е
и ^ — коэф­
в секунду;
2)
через
т
mv“ '
Ma > . Действующая
сила F
Дл я решения этой задачи и следующих двух надо учесть, что
масса т является переменной величиной, зависящей от времени t\ скорость
V— искомая функция.
о
Г/
ttl \kffn —2
1
4019*. v = 2 m ~ k ^ ° ~ т^ \ \ ~ Ж
/
~ М ' СМ' указанІіе к Реше*
нию задачи 4018.
4020*. v = S е*1^ 3 Г ^ e ~ k,tl^/3dt, где |і = /И0 — mt, й1== - ^ ~ \ f
|x
J
m у
Jy
Cm.
указание к решению задачи 4018.
4021*. у = щ + . ^ £
— k i e ~ klt),
«1—«2
где t — время,
у — количество
второго продукта. Если * — количество первого продукта, образовавшееся че-
dx
рез t единиц времени, то — —
рость
(тл — х).
Отсюда
находим
х = х (/).
Ско*
образования второго продукта пропорциональна величине х —д.
4022. 2,97 кг соли. Максимум достигается при / = 33 ~
4023. / = 1 + (>о— 1>е
п*1рк<лгх‘
. 4024*. р — —^ ------------,
где
мин и равен 3,68 кг.
М
* = j T T j ■ Практи-
“ ek“v - dx
чески важен случай, когда <о очень велико (центрифуги). Вместо того, чтобы
вычислять интеграл в знаменателе при данном со (он не выражается в элемен­
тарных функциях), вычисляют
tirn р (см. задачу 2439). Дифференциальное
со —►со
уравнение задачи имеет вид S d p = (o2x d m , где dm — масса элемента CD. Д а­
лее, v = 2kp (одна из форм закона Б о й ля— Мариотта; коэффициент пропор­
циональности обозначен через 2й для упрощения записи в дальнейшем); dm=>
y S dx = 2kpS dx. В результате получится уравнение с разделяющимися пе­
ременными dp/p = 2k<j}'-x dx. Интегрирование его дает р = О*-" 3*2. Далее,
^
,'V3^
■
М = ^ d m = C - 2 k S ^ е ко>гх‘ dx, откуда находится С. И меет р = -------j-
ио
7в =
..
2яр0=
М
7 с -,
„
М
k = 2~rs
и
окои чательн о
*
4025. ( x + f f - l f = C ( x - y + 3 l
А/е*®4 ’*
р = - ~ ----------------
J
Ш » . х * - х у + у г + з с - д = С.
363
ОТВ ЕТЫ
—2 arctg
4027.
4029.
4031.
[jt + y[ = C.
jt - 2 i/ - b ln
z/2 = л;-Ь(лг-{-1) ln —
1
y = —
X
tg ln
4028.
.
*
(С *!.
e
и 4 -2
¥ —
?■
*~3
= C ( y + 2 ).
г/2е ~ " 5/jc = C.
4030.
x *Иff *- Г+ l= C ffу . 4033. —
C x= 1
4032.
*
Jt2 + y * '
4034. (1 + C*) e-v = 1. 4035. i/4 + 2x2i/2 + 2i/2 = С.
4036. * 2 + y 2 = c ( y — 1 )2 . 4037. y = x t g ( x + C).
j X2 . . . . . .
----
4038. 1,y 2 = Ce“ + * * + 1 /2 .
1
4039. У -
+ Щ Ү+ хЦ ’
4040. n y n = C e ~ nxla+ n x — a. 4041. jc2 = i/2 (C —y2).
4042. j / ( l + l n * + C * ) = l . 4043. у (x + C) = sec a:.
4044. </ = ( — t - !n | cos;c| 4-tgA r)2 .
4046. if- = Се 2a/* - — .
э
a
4048.
1 )^ + 1 = !;
x
у
4047. у = - ^ 4 4 r ■
*
x+C
2) — - + - r = lx2
у1
4050. x * - x 2y- + y* = C.
4052. atsV- i f - = C .
4045. y = - ^ - l n 2 \ C x \ .
4049. £ z j = > o ~ fe) Ф,
p
р0ф„
4051. x + arctg
4053.
= C.
4055. tg (xy) — cos л- — cos у = С.
= C.
4054. / л : 2+ у2 - f
4056.
u
x
1
4057. s i n — cos — + x — — = C.
Y ( x - + у 2)3 + x ---- ~ y 2 — 0 .
4058. x — y jx — C. Интегрирующий мно­
житель |x (ж) = I/*2. 4059*. x2 + 2x!у = С. Искать
в виде функции ц (у).
4060. (х2 + у2) ех = С.
4061.
+
4062. (х sin у + yco s у — sin у) ех = С.
4065. Выражение
у* - х и
— ^— ~ ~
А —Y
= С.
интегрирующий
множитель
=
4064. (i = у~пе <я
11 ^ Р ^* *я.
должно быть функцией от ( х + у ) .
Ү 'х - К
4066. Выражение ^
— у р должно быть функцией от ху.
4067. аЬх + Ь2у + а + Ь с = Се?>*.
4068.
y= ^
m ~ ^ b^ a - ~
4069. х2 + 2 х у - у 2— 4х + 8у = С.
4070- - ^ г
+ \п \х + у \+ 2 > \п \у -х \= С .
4071. х + у = а і £ ( С + у / а ) . 4072. у 3 — Зху = С.^
4073. х2 — у'і = С у>. 4074. 3х2у + х * у * = С.
4075.
у2^ = Сегх.
4077. у2 - 1 + Сху = 0.
4076. In | 1 + у | —
4078. ~ Г у + ^ | f
4079. ъ У у = С У х 2 — І + х 2— 1.
| - 1С.
4080. £ /= s i n jc + C c o s j l
4081. u = ------------ 2еХ- -— г . 4082. tg ж— 2 £ І . = С.
4 U O I. у
с + е * (сов x + s m x )
s in х
4083. х е ^ - С .
4084.
xycos~=C. 4085. № д = х -1 + Се~*.
369
ОТВЕТЫ
4086. g = - 4 f ^ Sec* . 4087. In ;с д г ;=
*
C + sm x
1 1
4089. у = х In I C x I. 4090. уг — Ьу— а х у = С .
2k
4091. О кружность jt2+ y ® — -^ -j-j(a jc + 6 (/)= :C
2k
х 2+ У 2— £— j ( a x - \- b y ) = G
(kjb l)i
если
+
4088. х + уех/!/ = С.
у
( k ^ £ — l)
k= — l
или
или
окружность
k — i,
то
прямая
ax+ by=C .
_______
± arctg—
4092. Логарифмические спирали у x- + y2 = Ce
x.
x*-i-C 4
4093*. уг = — 2 ^ 2— * Дифференциальное уравнение задачи у- = х (x — t/y').
4094. 1 = (/2. 4095. Вектор поля в каждой точке перпендикулярен к поляр­
ному радиусу точки. Интегральные кривы е— семейство концентрических
окружностей с центром в начале координат. Уравнение семейства х2 у2 = С.
Изоклины — семейство
прямых,
проходящих
через
начало координат.
4096.
1 ) y '= f ( x y ) - , 2 ) y ' = f W x ) \
3 ) y ' = f ( x * + t ? ) . 4 0 9 7 . П р я м ы е у = Сх.
Результат может быть высказан в форме следующей геометрической теоремы:
если семейство парабол, имеющих общую ось и общую вершину, пересечь
прямой, проходящей через вершину, то касательные к различным параболам
в точках пересечения их о прямой будут между собой параллельны .
4099. у ' = а у^ Л + С\
t / = a y + b x + C.
4103.
^ * » 0 ,3 1
при
Д* = 0,05.
4104. / / ^ s l ,6 8 при А х = 0,05. 4105. Точное решение: д = е х'1^ = / (,v); /(0 ,9 ) =
= 1,2244. Приближенное решение: f (0,9) = 1,1942. Относительная погрешность
равна ~ 2 , 5 % . 4106. При точном решении * = $ / 3 ( е — 1) =» 1,727; численное
интегрирование при делении интервала на 4 части дает х =»1,72.
4107. у2= 1 + * + ~ # + ~ х* + - ^ ** + \ х А + ~ *« + ~
4108. — 1,28.
4110.
4109. у = 1 + х + х* + 2х3+
*4 4 . . . .
у4
*£
4
+ f + -
=
4 Ш . , = :vAe _ _ , 7 _ _ £ _ * n _ . . .
4112.
у = 1 + 2 х — * а+
4113.
у — 0.
ап я
у
— у
х*
2х3
Их*
у = х + ^ + ^ + ^ ! £ т+ ...
4114.
*2
21
1
. /
31
п
6!
( * - П
а
■
2 ( * - ! ) *
4116. у = \ + ( х — 1)------- gj------ 1--------1-
.
4)
4 ( х — 1 )*
6 0 (* -!)< >
51
■
+ •••
4117. у = Сх-\- С2; о с о б ы й и н т е г р а л х1+ 4 у = 0 . 4118. у —С х — ЗС3', о с о б ы й
9</± 2 * / * = 0 .
4119. у = С х + 1 / С ;
о со бы й
и н тегр ал
г/2 = 4 * .
4120.
у = С ж + / 1 + С 2 ; о со бы й
и нтегр а л х г + у г = 1 .
4121. j / = C x + s i n C ;
о с о б о е р е ш е н и е у — х ( л — a r c c o s x ) + / l — х2. 4122. х = С х — 1 п С ; о с о б о е р е ­
ш ение в = 1 п * + 1 .
4123. у = ( У х + Т + С ) 2 ; о с о б о е р е ш е н и е у = 0 . 4124. у =
= Сх--\-УС-, о с о б ы й и н т е г р а л г/3 — 4 . ^ = 0 . 4125. 2 С х = С > — у 2; о с о б о г о инте­
г р а л а н е т . 4126. * = С е - Р + 2 ( 1 — р), д = х ( 1 + р ) + р Н особого и н т е г р а л а н е т .
4127. у —Сх —(Р-, о с о б о е р е ш е н и е у = ж (In jc— 1). 4128. у — С х + С + С 2-, о с о ­
бое
р еш ен и е
— (*+ 1 )*/4 .
4129. у = С х + а 1 — С3; о с о б ы й и н т е г р а л
У у Э —Ү & = Ү Ж .
4130.
(С — х ) у = с а;
особое
решение
у =4*.
и н тегр ал
370
О ТВ ЕТЫ
4131. у2 — 4е-с = 0. 4132. х у = \ . 4133. 2// — х2 — 0. 4135. Равнобочная гипербола
2x y = j z a 2, где а2— площадь треугольника; тривиальное решение — любая пря­
мая семейства у = - t С2х/2-\-аС. 4136. (у — х — 2а)2 = 8ах. 4137. Эллипсы и ги*
перболы.
_ 1
___ 1_
Се 2p3 ,0 +-■P 2)■, у — -----------Се 2рг или
4138. х — -----------Р2
Р
(Р2+ 1 ) С
- с У р
У Р У (Р* + 2 ) ^ ’
y V + 2)a
4139. ^ =
+
4,4о*. у = cos а ( с
X ^а— С —
siii2 a j .
j = ana X
+ 2
В полученном дифференциальном уравнении положить
- ^ - = t g a , а затем выразить * через у и параметр а ,
найти dx,
заменить dx
через dy!tg а и решить получившееся дифференциальное уравнение, считая у
функцией а.
4141. S = atг, где а — некоторая определенная константа.
4142.
х* + у г = 2 а * 1 п \С х \ .
4143.
у ^ С е ~ * 12.
4144.
у^= С (x^-f-yi).
4145. (jc2 -f- 1/2)2 = С (у- -f-2jts). 4146. Если параметр парабол равен 2р и прямая
взята в качестве оси ординат, то уравнения траекторий будут у — С +
2
А 2х'л
-f- -g- I / — . 4147. Трактрисы. 4148. Отсчитывая угол а в одном из двух
возможных направлений, получим уравнение семейства х у —
Уд
(х2 + у 2) = С.
4149. Отсчитывая угол а в одном из двух возможных направлений, получим
уравнение семейства 1п (2хг
х у у 2) —pU - arctg
= С.
4150*.
Можно
принять, например, что ветер дует вдоль оси Ох. Линин распространения
звука по плоскости Оху будут ортогональными траекториями семейства окруж ­
ностей (л: — at)2 + у2 = (t'oO2, где / — время, прошедшее после выхода звуковой
волны из источника звука, a v0 — скорость звука в неподвижном воздухе.
Д ля любого фиксированного t дифференциальное уравнение искомых ортого­
нальных траекторий у' =
у
- совместно с уравнением семейства окружно­
стей. Исключая t, получим некоторое уравнение Л агранж а. Его общее реше-
/
ф\1/6
ние л; = С (cos ф + 6) ^tg ~ J
/
, у = С sin <p ^tg
ф\1/6
J
Q,
, гдe 6 = ± ~ ,
раметр.
4151. х = С s in / + /? (cos t + t sin t), у — — C cos^ + Л ( s in /— tc o s t) .
4152. * = C/ch / -f-a ( t — th t), у = С th t -|-cz/ch t.
4153. x = a (cos t- \- t sin f) — cost (ai2/2-\-C),
y = a (sin t + 1 cos t) — sin t (at2/2 + C).
4154. x = C s in / + 2 t g / , y = t ^ t — C c o s t — 2.
4 1 5 5 . y = xa/ 6 — sin х-\-С ^х-\-С г.
4
156. у =
(x2 - 1)- j
ln (1 + x2) + C * + C f
4157. y = X^ n x — I J + C ^ + C , .
4158. у = С іХ* + С *
4159. y = Cle* + C1— x — x»/2. 4160. У = х3/3+ С іх*-1 -С 2.
4161. f / = ( l + C J ) In I x + C t ) _ C i J t + C 2.
4Ш. y = ( C ^ - C f ) ^ c‘ + 4 C 2- 4193. і, = ~ - ( * + Сі)*-Ка.
<p— па,
371
О ТВ ЕТЫ
4164- y = ~ ^ V ( C lK~ \ ) » + С2.
4105. у =
+
4166.
4167. (/= С г( х + С 2)-/3.
4168.jv=Ciejr/a+ C ae— c/a.
(і/^-ЧС,) V y l/3+Ci
4169. х = *; |
(х + С2)* = 4С1 (у — Су).
+ С 2. 4170.
=
4171. (,v + C2)2 — ^ = Ct . 4172. у = СхеС‘х .
4173. ycos2 ^ - J - £ i) — Сг. 4174. (жгЬСг) 1° {/ = * + А 4175.
Если произвольная постоянная, вводимая первым интегрированием,
положительна ( + Cjf), го */ = С, tg (Cjjc + C2); если же она отрицательна (— С;).
\л
\ Х С г)
] _рДСі* t- £'г)
J
то y = C t 1т е— г .— г _. = - Ct cth (C.x + Q ;
г/-Һ^а
4176. xr^ C y -fco sC a In I tg
4178.
если Сі = 0, то у = - — ^ .
4177. C i*-f-C 2= :ln
4179. In | Cji/ ] == 2tg(J
2 tg (2* + Ca)
= С, arctg (С, In ^), С, > 0.
4 ISO. у = ln
j x~~{-C i I
0/7
V Cl
In ; *■■*-(-Ct I + . r
-f-
arctg
—
1
■In * — / — c t
x+ V -C ,
V
V
}/Ci
+ C2, если Ci < 0, и у
■■■—-- ]-C a, если Cj. > 0.
4181*. После подстановки y ' = p уравнение распадается на два, из кото­
рых одно — типа Клеро. Его общее решение у = С 1- \ - С ^ ' к , а особые решения
4
у= р—
Другое уравнение у ' = 0. 4182. у — Сух (х — Q ) + С2 и особые реше
С —jr
ния у — x2f i + С.
4183. у " - = С ^ + Сг.
4184. * = 1п
4185. ; / = | / " д
«з + С ^ + Са .
4187. у = С 1хес >/х .
X ' '
4186. y = Ci* + - ^ - .
4188. In ) у + Сх | + - % ^ = х + С 2,
4189. у = х * ± Я х + 1 .
4MI.
Сі*с '
Са —
____________________
4190. у = 2 + \ п "
4 ‘
и = 1 * № - ' * . «т . v - j ^ -
4193. у —jp = 2 In I </ !. 4194. // = j / 2 * — д^.
4195.
|/ '1
4196. (/ = - I n | 1 - x I. 4197. y = ( x + l ) / x .
4198*. tj — x. Сделать подстановку y = ux. 4199. у = 2ex2>2 — 1.
4200*. Дифференциальное уравнение линии H r = ——
^
— , где ft —
V ( c lV)2/k- y
коэффициент
пропорциональности.
_(~е—(C.-c f С;)] __ cl?.(Cix + Ci) .
(д:-\-С2)г -\-у2 = С1;
э т о — цепная
это — окружность.
это — парабола. Если k = — 2, то
ное уравнение циклоиды.
Если
dx
ft= l,
те
линия.
у = -2£~[.еС'х ^ Сг~1~
Если
k — — 1,
то
Если
ft = 2, то
(* + С2)2 = 4С (*/—Ci)J
1f
СіУ dy;
это — диффереициаль-
У 1 -с 1£
372
О ТВ ЕТЫ
4201. e'J'a = Cn sec (д г/а+ С,). <202. Cx = t f k - \ 4203. Цепная линия.
4204.
4205. Парабола.
4206. 5 = ~
( ““
^ + с ) ' — / С1 | .
4207*.
Пусть
ось абсцисс
на-
правлена
вертикально вниз, начало координат — на поверхности жидкости,
, , . ,.
,
sin a
m -\-dm
уравнение луча y = f( x ) . На глубине х имеем — — ;■■■■;■-- -- --------------. где
sin (a + d a )
т
’
т — показатель преломления на глубине х, а a — угол между вертикалью и
касательной к световому лучу. Очевидно, t g a равняется у 1. И з уравнения
т sin a = (m + dm) (sin a cos d a - f cos a sin da), раскрыв скобки и отбросив бес­
конечно малые порядка выше первого, получим m d a = — d m t e a , откуда
dm
ёц'
—— - - — —, ([
Интегрируя это уравнение, найдем у
как функцию т.
Подставляя вместо т его выражение через х и интегрируя вторично, получим
решемиг у = т^ г я ,п *Z()ln | т + |Л п 2— Щ sm2 a 0 | + C, где т = (т 2 — т і ) х + тіһ
т-2— т
һ
4208. у - - In У х + C lx 2+ C 2x + Cv
4209. у = — g- sin 2 х + СіХ2 + Сгх + С3. 4210. у = —^ —+ р я
(Р9— полином
9-м г епени относительно х с произвольными коэффициентами).
4211. у
Ci - 2 - + C 2 JC+ C3 — Cj (x-j-Ci) In I дс+Сх |.
4212. у = C 1x * + C ix3+ C 3x* + Cix + C s.
4213. y = J - f C j - a r J ^ + CaJt+C*. 4214. Х = С 1У* + С 2У + С3.
4215. Решения можно записать в трех формах; y — Cl sin (С2х -\-С 3), или
y = Cx sh (С2х + С 3), или y = C l c h ( C « x + C 3).
4216. (х + Сг)г + { у + С эГ = С\. 4217. у = Сг (х е с 'х - - L ес >х ) + Сэ.
4219. 2) ^ = 1 + Л + - | 1 + ^ І + ^ І + І І ^ + ...
4220
U -D 2
[ 3 (* -!)»
у- 1
2!
41
+
5!
+>"
я ,
„ , ( * - 1 ) 2 , (* -П ®
(* -!)*
4 (дс— 1)4 ,
4221. у = 2 (JC— 1)4----- 5І------ 1------ 31------------- 4!---------------5І------ + v3
Оүі
3 v5
х:<
2х*
4222. г / = 1 + * + -зГ + - 4 Г + - 5 Г + -” Если f (*)**! + * + ■
~3Т + — ’
то при jc = — 0,5 получается знакочередующийся числовой ряд и значение
первого из отброшенных членов меньше 0,001.
х 2 , х3
х4 , 4л:5
14дсв
ПЯТОГО.
4223. у — 1 — 2] - г 3!
4) , 5 |
6,
4224.
1 ..
7 п+...;
у = х* - ^ 1х * +. .^дв___я
0,318; 0,96951.
4225*. Дифференциальное уравнение задачи
„
Е= L
, dQ
-г
V n- k Q
^— •
где Q — количество электричества, протекшее через цепь за промежуток вре­
мени от начала опыта до момента t. Выразив Q через V (V — наличное коли­
чество воды в сосуде в момент t) и определив из условий задачи коэффи­
циенты,
—М
.
придем
= 0,00935.
к
уравнению
И нтегрируя
V"-\-aVV' -\-Ь = 0,
его
при
начальны х
где a = -^-£- = 0,005, b =
условиях
У0= Ю 0 0 с м 3,
373
О ТВ ЕТЫ
I' ' — — k f ( , = — 0,00187 см3/с,
получим
ряд
V — 1000 — 0,00187/ — 10"® X
X [2,91/3 — 3,64/ЛҢ -3,64/5 — 3,04/®-)-2,17/7 — ...J. Ряд знакочередующийся, коэф­
фициенты, начиная с шестого, убывают, стремясь к нулю, что удобно для
<PQ
вычислений. 4226*. Дифференциальное уравнение задачи имеет вид L - ~ f -
стого водорода, не разложившегося к моменту t, приведем уравнение к виду
y t f - \ - а у '- \ - Ь у = 0, где a = k1fL = 50, b — kE /L = 0,0191. Интегрируя это уравне­
ние при начальных условиях у0= М 0= 10, у'0= — к ! 0 = — 0,00381, получим
ряд у = 10 — 0,00381/ + 10-1°/» . ( 1 ,2 1 - 1 ,5 2 / + ...).
4227. х Ү — 6 х у ' + 1 2 у = 0. 4228. x i f — (2* + 1) у ' + ( х + 1) у = 0.
4229. (*з _ 3*2 + Зх) у - (х3- 3* + 3) <Л- 3* (1 - *) у ' + 3 (1 - *) у = 0.
4230. у = Зх2— 2х3. 4231. a) sin2 A:/cos2 x ^ i c o n s t; б) у “ sin 2 х — 2у' соз 2х =
■= 0.
4232*. 3) По формуле Остроградского
соотношение.
“ Л‘ \Уі I
4233. y = Ctx In
^
УІ
=Се
l p ^ dx> или,
J
' . Делим обе части
рас-
откуда и следует искомое
------2СХ+ C2x.
4236*. Функции Р и Q должны быть связаны соотношением Q' + 2PQ = 0.
Подставить у i — 1/у 2 в формулу (вытекающую из формулы Остроградского)
задачи 4232, полученное соотношение продифференцировать дважды и у'.., y l
подставить в данное уравнение. _____
4237*. г/ = Сі (4дт3 — Здг) + С г ] Л — х'1 (4*2— 1). Полагаем согласно условию
1.\ = А х л -\-В х 2-\-Сх + 0 . Подставляя у г в данное уравнение, получим 6 = 0 ,
Ь = 0 , А/С = 4/—3, или А = 4ft, С — —3k. Следовательно, частное решение
будет уі = к ( і х 3 — Зх). В соответствии со свойством линейного уравнения
можно принять к — 1, тогда //1 = 4*3— Зх. Зная одно частное решение, обыч­
ным путем находим второе и составляем общее решение.
4233. y = CL sin x -l-C -2 [1 — sin х ln J tg (л/4 + X /2 ) , j.
4239.
У = СІХ+ С 2Х
. 4240. y = CiX + C . A x - - i ) .
4241. у = Cix + C2x” С3дс3. 4242. у = jc3+ x (Cx + C2 11 1 ! лг j).
4243. у = Сіех + Сгх — х ? - 1 . 4244. у = СіХ? + Сг (* + 1 ) - * .
4245. y = 2 + 3* + * ^
+ 2 arctg * j + *2.
4246. (/ =
4247.
4248.
4249. у =
4250. y = Ci [1 + ,-2 + - j + C2 ^ — 6 + ‘а д +■ •
4251 y = C 1e* + C2e'-2*. 4252. y s C je ^ + C jr to .
374
О ТВ ЕТЫ
4253. y = Cte** + C2. 4254. у = С ^ ' + ^ Х + Сге ^ ~ ^ 2> *.
4255. у = С1е^ + С 2е ~ 4х/3. 4256. у = С1 co s* + C2 sin *.
4257. (/ = е~3лг(СіССй2л: + Са зіп2л:).
4258. i/ = eJc^C1 c o s | - f C 3 s i n | j . 4259. у = ех (С\ + 6 » .
4260. л := (С 1 + С20 е 3'5/. 4261. у = ( С 1-'г С,х) е ~ хі%.
4262. (/ = 4ех + 2езх. 4263. у = 3е--х sin 5х. 4264. у = е ~ х/2 (2 + х).
4265. < / = [ 1 + ( 1 — т ) х ] е тх. 4266. у = cos З.у—
sin З.г.
4267. Если А > 0, то у — -^= sin [y 'ft (дг — *0)] + Уа cos
yk
ft <
0,
1/ =
то
— ^—
2 у kI
[ (у,,
V ih
+
(л — *0)]‘> если
^
a) eV kl {х ~
Аз) +
(Уа Y h — а) е ~ ^ кх и ~~ Хо) |,
гд е
ki = — k.
4268. y = C1e~x + C tfx/2-{-eJc. 4269. y = C t cos a x + C2 sin ax 4-
a 2+ l
ЛО-7П .. n er I П
I 5 sin * + 7 cos *
4270. y = C 1eex + C2ex H----------- ------------- •
4271. y = e~x (Cx cos 2x: + C2 sin 2лг) — i- cos 2 x — 2 sin 2x.
4272. t/ = (Ci + С,*) ез-v+ А л ' - + | ? х + H .
4273. y — ex (Ci cos * + C2 sin *) + * + 1. 4274. y = Ciex + C g ~ i x — 0,2.
4275. у = Сгех + C2e2x + у, где у равно:
1)
e~x ; 2) 3xe2x; 3) -j?- cos x + ~ sin x\
4 ) *3 + |~ x*+^ x—'45 ; 5) —
e*[cos
~ + 2 sin | J ;
6) ]2 х + т ~ Г 2 е~2х' 7) **<2*®+*);
8)
* + -jp (9 + 3 cos 2x — sin 2x); 9) —2xex — ~ e - 2x\
1
3
7
9
^ ^ 2 0 * 20
^ 2 6 0 2 6 0
4276. */ = Ci + C2<?"5x/2 + £, где £ равно:
J) -g-*3 — у
*■
4) jjj x + щ
sin 2.v —
6)
^^
1
1
1 2 e * ~~~5T
у- ex ; 3) 5 sin x — 2 cos x\
cos 2л:; 5) cos 2,5* + sin 2,5* — 0.02*e—2,a* :
5* — ^ j c o s j c — І2 х —
sin jc;
7) ygg <r* [(650a- + 2650) sin * - (3250* - 400) cos *]; 8) ^
4277 ц = е 2х (Ci + C2*) + i/, где у равно:
1) 1 , 2) -і-е *; 3)
Ь) J 9 ^
6)
Л **
4) i
cos 2х + ~ х +
sin 3* | 6 cos Зх) - ^ ( 3 sin * + 4 cos x) ;
(3 sin * + 1 cos * 1 + 0 2 0 (5 sin 3* — 12 ros 3*),
;
eix/2 - «*_Sx/2j .
,375
ОТВЕТЫ
7) 2*°- + 4 , + 3 + 4 х ^ х + c o s2х; 8) 19) ~2 ( eJC— -g~
^ (3 sin лс+ 4 cos *); 10) e* — -1 е*'*- + ~ е1~*.
4278. y = Cl cos х + С2 sin х - \ - у , где д равно:
1) 2 , 3— 13, + 2; 2) cos3*; 3) ~ х sin х\
4) — ^ х cos х
е~х \ 5) - j - s i n х — j C o s 3 , j ;
6) 9 + 4 c o s2 * — 0,2сов4*;
7) 0,5 ch jc; 8) 0 , 5 + 0,1 сһ 2х.
4279. у = е3х^5
cos ^ * + C2 sin ~ x'j -j-g,
I) ^ e3* '5; 2) ~ g sin j x + ~
g равно:
гд е
cos ~ , ;
3, ‘ , - + 1 ( 2 , 3 + 3 6 , 2 +
13
5 \
5
25
4) _
125 У’ 7
5
9
3*/5.
5) — g xe3x/5 cos ^ X' 6) 0,5e2JC+ 1 ,3 .
4280. г/ = 2 + Сі cos jc + C3 sin , + cos x In
4 -
4281. y = ex (Ci + C2x — In V x * + 1 + x arctg *).
4282. 1) y = e* ( , + Ci) — (eA+ 1) In (e* + 1) + C2;
2) / / - l2 ex [arcsin ex + e x У 1 _ е ^ + Сі] +
Iу
(1 _ e^):t + C2;
3) у -- ( V е — cos ex + C2.
4283. {/ = ( ! + x) е- 3х/--\-2е~ 5х-/2.
4284. x — ex (0,16 cos 3* + 0,28 sin 3x) + , 2 + 2 , 2 , + 0,84.
4285. y = ex + x2. 4286. i/ = e* {ex — x* — x + 1).
4287. у =
О
sin 2x —
о
sin jc — cos
4288*. Дифференцировать
ви ть
указанные
выражения для у дважды;
подста­
у , у ' и іД в данное уравнение; во всех трех случаях получится тождество,
4289. у — х3 (Сі~\-С2х*). 4290. г/ = -*^ + С Хcos in j , | + C 2 sin In | x |.
4291. y = x [Сх + С2 In I * ] + In2 I x I].
4292. y = x In j x \ + C i X + C2x2-i-x3,
4293. Если
fea= 1 -----о)2.
та
1
0
— > (о2, to ;/ = C\ cos ki + C2 sin kt + —
5 cos Ы +
- , гдө
met
— (а*
к-
Если
—- < w2, to y = Clekt + C g - kt —
/па
— - cos a t —
л--|-іо*
-,
к*
где
t 2= (О"----т а
4294. s = ^ ( 4 ^ + e - J/).
4295. s = e ~ Q,2< [ 10cos0,245<+ 8,16 sin 0,245<]; s[/_ a« a 7 ,0 7
4296. t ^ Y ^ f \ n F + Y^
cm.
F - f )- .
4297. s = e - ° ' 245' [2 cos 156,6^ + 0,00313 sin 156,6f].
4298*. ft = 33 ^ r/CM = 3 3 ~ - g - 10~ii H/см; t = 0 ,3 8 с; высота погруженной
3
о
части
чурбанчика
ж= 5 [ 3 + c o s 8 ,1 6 ^ ].
При
составлени и
уравнения с ч и т а т ь
g = 1 0 0 0 с м / с 2.
3 76
О ТВ ЕТЫ
4299*. r = a^ (ем -
В
с
е
происходит так, как будто трубка непод­
вижна, но на шарик действует сила, равная itua-r (г — расстояние от оси вращения
до шарика).
если
4300. Если k > mffl2, то г = — а °т ш 2 1 k — ты2 cos
ft = /пси3, то г = <з0 f l + Д -
\
2т у
;
если
к ОтшУ1,
то
'j / ' ~
j;
/• = ------ X
mafi —k
X j /иы2ch "J/^"(о2—^ j —fej .
430).
4302.
4303.
4304.
4305.
4307.
4308.
i/ = C Lcos 3jc + C> sin 3* + C3.
y = C,e2x +
+ Сдй3* + C4e '3jr.
у = (С, C2*)
+ (С3 + С4х) <г2-«.
у = С te'lx -|- C2e~ix + С3 cos 2х + С4 sin 2х.
v = C 1e-* + C ,e-3* + C3e4J‘\ 4306. у = Cte 4 - С,хех + С^х^е*.
// = СІ + С2х + Сз« -Л + С4і'й -1'.
у = С і в х ■ C7f ’~x j C;fXn ^ j- C±xn 1 : ... -(- Сn tx -|- Cn.
4309. у = <?!V2 IC i cos * : + C2 sin --%) + e ~ X/V'2 ( C3 cos ■*_ + C4 sin — '
W
j/~2/
4310. y = (Ci + C 2 jc + С 3 ДС2) cos
2
\ 3- ] / 2 ^
+ (C4 + СГ)* + CeA'2) sin ^
4
/2 Г
C-x -J- C8.
4311. y = e~x (Ci~}~ C2x + Сзхг
Cnx n _1). 4312. (/ = 1 + cos jr.
4313. (/ = e v + cos x — 2. 4314. t / = ( C i+ C2 x) е -'+ С зе 2* — * — 4.
4 3 1 5 . ^ ( C j + e . ^ f i K - i - c v 2 * -|_(x 2 :|_ * _ ])< > -*
4316. ( / = (Ci + C2*) cos 2x-\- (C3-j-C4x) s in 2 ;t+ --c o s* .
4317. </ = (Cj + C2x) cos ал + (C3 -f- C4 x) sin a.v — x
4318. у =
x5 —
2
.
л3 - f С,л2 - f C2x + C3 + C4 cos х + Съ sin x.
4319. y = Ciex -\-C tf~x + C3 sin x + Ct cos x + X
^ ex — * x sin x.
o
4
4320. у = (Ci -j- C2x -(- x2) ex -\- (C3 + C4jt + x 2) e~x -{- sin дс+ cos x.
4321. i/ = 4 — 3e x -\-e~2x. 4322. y = ex + x \
4323. (/ = .v (C| + C 2 ln I д: 1 + С 3 In2 I j: |).
4324.1. x = e
(С, cos / + C2 sin t), y = e~il [(C2 + C!) cos t-\- (C 2 — Ci) sin t],
4324.2. x = Cle‘ + C ^ !, y = — C ^ + 3C 2e5!.
4324.3. x — e‘ (Cj cos 3/ + C 2 sin 3t), у = е' (Ct sin 3 t —C 2 cos3/).
4324.4. x = C,e‘ + C2e-‘ -{ - C ^ -1, y = Cte‘ - З С ^ , 2 = С 1е' + С / 2 ' - 5 С 3е Ч
4324.5. л = С 1 + ЗС 2е2', y = - 2 C . 2e2!-'r C[f - ‘, 2 = Ct + C2e2' - 2Сзв'.
4324.6. л: = С ,с' + С . ^ + С ^ , у = С ^ - 2 С . ^ ‘ + С ^ / .
2 = — Cxot - 3C2e2‘ + 3C 3 e“ .
4324.7. x = Cxen + e3' (C2 cos / + C3 sin t),
у = ^ f(C^ Cg) cos i -!' (C3 — C2) sin /],
2 = C,e2' +
[(2C 3 - C3) cos / + (C 2 + 2C3) sin /].
4325. x = Сів-' + C2e_/ + / sh /, y = Cve‘ — C # - ‘ + s b t + t c h /.
7Vet 4+ - i5e - 2(,
4326. x = C .e -^ + C2? - '' + f(j
1
1
3
^ = 2 C^ 4' - C^ + 4 l e / + 10£
4327. г = С!.у, 2 y 2 - | л2= С2.
г- / г Г Ғ 1 І |п І + ^ + с , | -
377
О ТВ ЕТЫ
4329.
4330.
4331.
4332.
4333.
у / х = С и х * + у * + г * = Сг.
х2 + у ‘2+ 22= Сіу, г = С,у.
y 2 — 22 = Clt у г — у 2 — х — С2.
jс= С1е - ' + С:е -зг, у = С 1е - ‘ + ЗСгг зі+ с о а і ,
х—
-1- С2е~*
cos І -f- С х sin t\
у = С і в ‘ + C2e~‘ — C3 cos t — Cx sin t.
4334. x — C i~ \-C J-\-C 3t 2— g Р-\-е!,
y = C 1- ( C l + 2 C , ) t - } 2 (C2- l ) / » — J C3P + f*4 - e i .
4335. х - \ - у -\-2 — Сх, х ‘' - + у 2+ гг = Сг.
4336. г = х — у, y ( y — 2 x f = { x — yT~.
4337. x = t/3,
y — — i/3.
4338.
j
*=
+ ^ ez i - V e-г/, 2 = - j e' !+ l «-'•
4339.
C ,x -— C>
C ,x2 -f C.
ни» Уі = - 2----- - и t/2= ------~ 2 ^—
„
лучаются гиперболы r/j = —
ния х — г/Ч-г — 0,
4344.
х — путь
te M .
2*i
-е~‘ + ^ e2‘ + — e- * , y = -g er* +
x = — e~‘, r/=2~', 2 = 0. 4340.
Ли-
Ри заданных начальных условиях по— • 4341. у = е 2х, 4342. П лоская ли-
г In і г |
х — ± — 7— .
/2
4343. * = 1 Гё « + (\ - 10) (1 -
0=2
.
з I хг
3_xi
„
,
cos Щ j ,
+ (^і —/о) cos ~ j .
gtz+
4
. 203
,г = 1 0 с һ 2 < — 4 g cos Ч - +
более тяжелого
/ 1 -Р < л « \П
_
[ (і + ре“*г/ J'
у = Ю сһ 2/ +
ш арика, а
1 -Р ^ * '
1+Р^*"
у — более
ГДе “ У
6
cos
300
1 4 / — -^д-.
легкого.
, 2 *, .
Здесь
А =
.
а -В 0
Р “ а + В 0-
4345.
к °’
Если Г — количество яда. то ~ r — aN — b N T , ~ = і.Ы и ^ = 0 в « о at
at
at
?.;ент, когда N — М.
4346*.
4347
ь
SiW, + S ,tf, ,
^
+
5 ,//, + S ,//2
—
5,
_
5
. ( t f l - f f a )e
i
•
■sl+ sl
4348.
1) Ө— Ө0 + 0,002 (02 — Ө -)= 0 , 0 0 0 0 8 на 53°;
HqI f
2) 6 - e 0 + 0,002 (82 — eg) = —Д,4346. 1) 4 4,5е; 2) 46,2°.
r .|
■- • (200л/ — sin 200л/); на 76*.
Я °
4350.
X
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
У
1,000
1,000
0,997
0,992
0,984
0,973
378
О ТВ ЕТЫ
К
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
У
0,959
0,942
0,923
0,901
0,876
436J. у U_! = 3,43656...
Уі
Уі
Уз
Уа
Уь
2,5
3,16667
3,37500
3,42500
3,43472
t/ь дает относительную погрешность порядка 0,1 %.
4 3 6 2 . 0,46128; то ж г дает формула Симпсона
при
2л=10.
Все
знаки
верные.
4353.
уi
, ,
. х 2 , 2хч , 7х*
5*5
1 + * + -д - - [ - - д — + ^ 2 “ " Ь 7 2 "
=
у2
9*3
7yl
11у5
1 6*в
”7 5 —
/л о ,
И Т'
Д ‘
^
1
сю
99ув
/ < * ) = 1 + л г + 2 ' + - з - + і 2- + - 2 о :- + Т Ё Г + и т - д>: /(0 -3 ) я» 1,545. Погреш­
ность менее 0 ,2 % . 4354. 0,808. 4355*. 1,001624. Результат получается всего
быстрее, если искомую функцию искать сразу в виде степенного ряда.
4 3 6 6 * . 1,0244. См. указание к предыдущей задаче.
4357. у = х + * # + У
* ? + ■.. + 2 ■5-1~
~
ж»»**
А = 0,2297.
К главе XV
4358.
sin2* * = ^
[cos
~
cos
—2) * +
+ С \к cos (2fe— 4) Jt —
dn**+i * = i - _ i - £ s m (2ft + 1 ) x — C^k + ] s i n ( 2 f t - l ) * +
+ ( - 1)*-1 C% ~ 1 cos 2*];
+ ( 4 + 1 sin (2ft — 3) x — ••• + (— 1)* C\k + I sin *]:
CL
cos*4 * = 2'2fe- +
1
[cos 2kx + C^k cos (2ft
2) x +
+
coe2*+1 x = 2 *^ [cos (2ft + I) * + C \k + , cos (2ft -
cos (2ft — 4) x + ... + Ck2li 'c o s 2*];
1) * +
+ C |t4 - 1 cos (2ft — 3) x-f-. . . + С ^ + j cos * ].
4360. cos n* = cos™ x — C® cos” ' 2 x sin2 * +
cos'1' 4 x sin4 x ... Т ак как sin x
входит только в четных степенях, то cos я* можно рационально выразить
Од
2л
через cos*. 4363. 1) T = v _ ^ _ и Ф= v п _ j_ j> г^ е v = ®' 1> 2, . . . , я; 2) <р =•
<=v —
ft ’
где v = 1, 2......... « — 1 при п нечетном и v = l , 2 ............п при п чет-
ном, и < p = ( 2 v - l ) —р - ,
2я
\
Ф „ ( ф ) £ іф =
0.
4366. Д а.
где v = 1> 2........... га + 1.
4365* . Заметить,
что
О ТВ ЕТЫ
4371. а) Ь1= й2 = 63 = ... = 0 и а 1= а 3 = ай= . . . = 0;
б) aa = a l = ai = .. . = 0 и Ь1 = Ь3 — Ья = ... = 0.
4372.
4
л 2d
sin (?я r f - 1) x Л0^ 0 V sin 2 n x
2rt + l
• 37 ■ Z i
2ft ‘
rt= I
oo
4374. x = 2л
/
iv« t
(— 1)
ttX
,
— — (— л < я < л);
n = 1
со
Jl — *
VI
Sin Я* /Л
л v
—j - = 2 “ TP* (0 < д;< 2n).
/1=1
4375.
4376.
¥
( 2 n + l) 3
/1=0
л- , . v
,
‘
.%» cos fix
1) -3+4 2 ( - » n —
n I
—
с _ я2
с" ,
с _ я2
IQ ,
O l
^2
4 л 2 , . VI cosftx
„ 4n2
.
—
с _ 5 о?
-J 3
үі
: 2) ^ - + 4 2 — *-----471 Z
n I
n 1
srnn*
—
•
4377.
4378.
. rt=l
СО
Г
00
„
4 Y sin (2я + 1 ) х
2/1 1
ү
4379.
2 + ¥ L
2/І + 1
■ 438°- л 2 + 2
п=0
L
п= 1
оо
2А 1 . V /Sin nh \ 2
4381.
COS /2Я
я
Л— 1
f"(2rt+ 1) лх~\
00
1
41 4382.
2
е.2Я -1
4383.
Л
я3
nh
' COS /IX
2 " t(2пr+ z1)2 l
п =0
1 ,
\!
fc o s n x
r ts in n jf \
2~*~Zd ІГ + я * n= I
- 1.
1-М2 /
плд:
4384.
Л= I
+ я (^ —
2
n= 1
, . . . , n sm
. плх
(—I)/!-1
__12 -f- п 2л'2
,
ЯЯЛ
.
ПЛХ
I c tx —------Tin sin - y -
i".
= sh I
n=
I
1
P+ nW
1
380
О ТВ ЕТЫ
2 sin па / 1
a cos х
a cos 2* ,
\
!- — dL +
' І,2а ‘ 1 — а2
2 sin л а / sin *
2 sin 2x
3 sin 3*
\
4386.
n
\ 1 — a22— а 2 + 3 - — a- ~
•
/ 4a I cos x . cos3* , cos 5a1
4383.
4387. sin a*
I 4a Г 1 , cos 2* , cos 4* ,
1 ,
.
1 n |_ 2 ^ + H ^ + «
- + - | (“ «е^ ног>*
4 Г sin яг . 3 sin 3* , 5 sin 5* ,
1 .
+
4388. cos аде =
4390.
У
л
/1 = t
sh я
+
+
( _ l ) n - i - ^ _ sjn „* .
1
a 2 + л-5
2 w I —(—1)псһя
1+2 У
*—i '
n =1
7 1 -f-n"
1+ ti~
я
J
n =1
Г . 2nn
sin ——
1
,3» | - ' w = i + l 2
„/,
2яя\
3 (1 — cos —g—J
8я*
cos - g —
r
,
„
•
nn
4
2я*
J 9 _ [ COS-3~
‘2я2
4лг
cos ■
2*
8.tJB
cos -
4-*
sin —
4392*. f (x) = £ + -|л 2 l —
( C0S T Sin 2nX ~ S'n T C0S 2"* )
/1—1
3 ^ 3 /sin 2 jc
6 + "8ІГ
n ssn пя.
2nnx
cos-
2яit2
4я*
cos —
Я
.
(а ч е т н 0 е )»
6 sin 6.t , 1 .
^ = Ғ + - І (a НеЧеТНОе)'
4 r 2 s in 2 * . 4 sin 4* ,
я [ ^ = 2Г + ^ = Р - +
4389.
,
sin 4*
2n
sin 8*
sin 10*
44
5*
1-
T
9 /cos '2* , cos 4* , cos 8* . cos 10*
— T
5*
8л \ 1*
Воспользоваться результатом задачи 4368.
sin a sin * , sin 3 a sin 3*
4393*. 1) /( * ) = - ( 12
32
2) fix)-
a (n—a)
1 —cos 2/ia
П= I
а (я — a )
2 /sin 2 a cos 2« , sin2 2 « cos 4* ,
=----- я ---------n [
Воспользоваться результатом задачи 4371.
4394.
12
n=l
sin (2n — 1) * _ я 3
(2n - 1 ) 4
' 32’
cos 2/i*=
І3
+
381
ответы
4395. ^ « - 4 8
V
в) ^ „ 4 .
П= \
71 — У
V I
4396*. l i — 1 -
>
2
^ІП ft V
, ' *
яші я(ял+1)
(см. задачу 4374).
п —I
СО
4397*. 2 +
^ sin пх (см. задачу 4374).
(— 1)” 1
2
/I = 1
СО
4 3 9 8 * .^ ^
л2
VI
п2_I
— Я
, п3 +■ V
7 ——
п* —
~' — cosnx.
12
^
п =- I
Продифференцировать
/і2(я4-}-1)
ряд и
00
\
^
п= 1
дачу 4376).
п
ЛА'1
4------- 8—
Л3 , Я
4399. 3 2 +
“пп
-
20 » * + 2
п =2
п
S1•T1 П Tf2
.
/ я
м cos пх ( -
;(«2—1)
1 Я2
П2 = Ъ ^СМ' 33"
\
.
я\
0- < * С - ^ -);
2
2
вос-
ЛЛ
Sin - = г
пользоваться рядом
^
— j ^ - c o s n x ^см. задачу 4380 при / г = ^ j и тем,
что 'У -— ^ — = ^2 (см- задачу 4394).
4400.
/ 1 (л) «= 27,8 + 6,5 cos х — 0 ,1 sin х — 3,2 cos 2х + 0 ,1 sin 2х;
f2 (х )
<=^0,24 + 0,55 cos л:+ 0,25 sin х — 0,08cos2* — 0,13 sin 2х\ / 3(*)«=0,]2 + l,32cosx +
+ 0,28 sin х — 0,07 cos 2х + 0,46 sin 2х .
К главе XVI
4401. Прямые, параллельные вектору А {а, Ь, с}: х
— —^ ^
= 2
2(1 •
4402. Окружности с центром в начале координат: х2 у2 = R 2. 4403. Винтовые
линии с шагом 2лh/ш, расположенные на цилиндрах, осн которых совпадают
с осью z: x = R cos (atf + a), y = R sin (<itf + a), г = һі-\-га, где R , а и z0 — про­
извольные постоянные. 4404. 1) Окружности, образованные пересечением сфер
с центром в начале координат и плоскостей, параллельных бнссекторной пло­
скости у — 2 = 0 : *2 + 1/2 + 2 2= R 2, у — г + С = 0, где R и С — произвольные по­
стоянные. 2) Окружности, образованные пересечением сфер с центром в начале
координат и плоскостей, отсекающих на осях координат отрезки, равные по
величине н по знаку: x 2-\-y2-sr z2 = R 2, я + ( / + г = С . 3) Линии пересечения
сфер х2 + 1/2+ 2 2 = й 2 и гиперболических параболоидов zy = Cx. 4405. div А =
= 3, rot А = 0.
4406. div /1 = 0, rot A = 2 l ( y - z ) i + ( z - x ) j + ( x - y ) k ) .
4407. div Л = 6*«/г, rot А = х ( г 2— y2) i + y ( x 2 — z2) j ~ j - z ( y 2 — x 2) k ,
4408. div 4 = 6, rot 4 = 0. 4409. div 4 = 0, rot 4 = 0.
4410. div A = k/r3, где k — коэффициент пропорциональности, /- — расстоя­
ние от точки приложения силы до начала координат, rot .4 = 0.
4411. div.A = 0, rot .4 = 0. 4412. div А = 0, ro t 4 = 0. В точках оси Ог
поле не определено.
3 82
О ТВЕТЫ
&
4413.
div Л = —
= > где ft — коэффициент пропорциональности*
2у *2- | - -f-?2
В точках плоскости Оху поле не определено. 4414. За. 4416. div Ь (га) = ab,
div г (га) = 4га. 4417. 0. 4418. 1) 0; 2) 0; 3) 0. 4419. div А = 2 / ( r ) / r + f (г),
если поле пространственное, div A = f ( r ) / r + / ' (/■), если поле плоское.
4421. <р rot A + grad <рх А. 4422. ~ ~ у • 4423. 2а. 4424. 2шп°, где п° — единич­
ный вектор, параллельный оси вращения. 4430. и = А г + С.
4431. u = — - ^ k (хп- -f у 1+ z2) + С. 4432. Нет. 4433. Нет.
4434. и = — у In (*2 + #2) + С. 4435. Нет. 4437. 2/3, 1/3, 1/2,
4438. б) kf> l n ^ ( ; ~ Х¥ ± у’\ + 1~ х
4439* 4ft ( / 2 - 1 ) * ) .
Y(l + xy + y * - l - x
....
*б Vai+b*
, ,,
™
2я6 + | / а 2+ 4 я 263
а
-------- ■ 4441- 2йба1п ( 1 + ] / 2 ) .
— I n------
4440. —
О т т fc
4442. - - I Z 1 =■ arccos/i, если /і <С 1; 2яй, если Л = 1; —
. ln (/i-4 -l/h a — | ) .
если Л > 1,
4443*. 1) 2£л/?6 In ±
! ± У _ Н_г± R- ^ 2)
In - + 1 ^
+ 4/?2 . Разделить
цилиндр пополам сечением, параллельным основанию, и вычислить потенциал
боковой поверхности цилиндра как сумму потенциалов боковых поверхностей
обеих его половин, применяя результат 1). 4444. 2knR8.
4445*. 1) fc tfij Я Y R 2 +
2)
h
*— H* + R s Id / / + ] - ^
*55. Я
+ //:ij |
4/?2 -t- H 2 — H --\-4 R 2 In tf + K 4 R a+ f f a j .
ш
к задаче 4443. 4446. nkSH (I — Я), где I — образующая конуса.
«47.
= t 2 | 5 | ( | + “J ) M _ ( A ) ' _ | l + i] „рИ . г » j
— §■*— [ ( ■ + 5 Г я - { 4 - Г + - 2 - ( 4 ) ’ - * ] — —
R.
ti = * £ ^ -5 (4 | / 2 — 3) при a =
4448*. и =
АЬпһ
ЬЛА
(R'J — г3) — - - - (М — масса тела) при а З г /? і
u = 2knb (/?2 —-л2) при a s g f ;
d.b'TTiS
«=
- (a3 — r 3) + 2fai6 (R2— а2) при r ^ a ^ R ,
OdL
Провести концентрическую сферу радиуса а и применить результаты пер*
вы х
двух случаев.
4449.
1+
~
(-^ -)
J.
где М
—
масса шара.
4450.
ток и циркуляция равны 0. 4451. Поток равен 2aS, где S — площ адь г
ограниченной контуром L. Ц иркуляция равна 0. 4452. И поток и ц\.;>і
*)
В
ответах
к
задачам
4439— 4449
к — гр ави тац и он н ая
п остоянна
И
указанив
ОТВЕТЫ
383
равны 0. 4453. Поток S n R '/i , циркуляция 2л/?2. 4454. В случае, когда начало
координат лежит внутри контура, поток равен 2л, в противном случае поток
равен 0. Циркуляция в обоих случаях равна 0. 4455. Циркуляция равна 2л,
если начало координат лежит внутри контура, и равна 0, если вне контура.
Поток в обоих случаях равен 0. 4456. 2. 4458. 2 л R'2H. 4459. я /?2Я. 4460. 4я,
Вычислить поток через основание конуса п воспользоваться результатом за­
дачи 4457. 4461. Зл/16. 4462*. 1/6. Воспользоваться формулой Остроградского
и вычислить поток через основание пирамиды. 4463. 2лай2. 4464. 2я<о/?а.
4465. — л. Применить теорему Стокса, взяв в качестве контура L линию пе­
ресечении параболоида с плоскостью Оху,
Ге ор г ий Н и к о л а е в и ч Б е рман
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Р е д а к т о р В. В. Д о н ч е н к о
Х удож ествен ны й р ед ак то р Г. М. Коровина
Техн. р ед ак то р Л. В. Л и х а ч е в а
К орректор И. Я. Кришталь
И Б Кз 12690
С дано в н абор 16.10.84. П одп исано к печати 15.03.85. Ф орм ат 60X007««.
Буліага тин. ЛГ» 2. Г ар н и ту р а л и т е р а ту р н а я . В ы сокая печать. Уел.
печ. л. 24. Уел. кр.-отт. 24,125. У ч.-изд. л. 31.16. Т и р а ж 250 000 ъкз.
З а к а з № 1721, Ц ена I р. 20 к.
О р д ен а Т руд ового К расн ого З н ам ен и и зд ател ьство «Н аука*
Г л а в н а я р е д а к ц и я ф и зи ко -м атем ати ч еско й л и тер ату р ы
П7071 М осква В-71, Л ени н ски й проспект, 15
О р д е н а О к тяб р ьско й Револю ции, о р д е н а Трудового К расного Зп.»Mt-HH Л ен и н гр ад ск и е производственн о-техни ческое о бъеди нен ие <.Н-:чзтны й Д вор» имени А. М. Горького С ою зп ол играф п ром а при Го<удап ствен н о м ко м и тете С С С Р по д е л ам и зд а т ел ьс т в, п олиграф ии it
кн и ж н о й торговли , 197136, Л ен и н гр ад , П-136, Ч к ал озски н пр., 15