Понятие матрицы. Выполнение операций над матрицами. Определители квадратных матриц. Вычисление определителей. Понятие матрицы Матрица – это таблица из m строк и n столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы. Например, матрица содержит 3 строки и 2 столбца; элементами её являются целые числа. Матрица содержит 2 строки и 4 столбца. Размер матрицы Произведение m×n называют размером матрицы. Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера 5×3. Матрица имеет размер 3×2. Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: A, B, C и так далее. Элементы матрицы Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы A обозначаются aij. Двойной индекс ij содержит информацию о положении элемента в матрице. Число i – это номер строки, а число j – номер столбца, на пересечении которых находится элемент aij. Например, на пересечении второй строки и пятого столбца матрицы расположен элемент a25=59: Равные матрицы Две матрицы одинакового размера Am×n=(aij) и Bm×n=(bij) называются равными, если их соответствующие элементы равны. Какая пара матриц является равной: Пример №1 Определите размер матрицы А. Укажите, чему равны элементы a12, a33, a43. Виды матриц в зависимости от их размера. Задана матрица Am×n. Если m=1 (матрица состоит из одной строки), то заданную матрицу называют матрица-строка. Если же n=1 (матрица состоит из одного столбца), то такую матрицу называют матрица-столбец. Например: (−1 −2 0 −9 8) – матрица-строка – матрица-столбец. Виды матриц в зависимости от их размера. Если для матрицы Am×n верно условие m≠n (т.е. количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что A – прямоугольная матрица. Например, матрица Виды матриц в зависимости от их размера. Если для матрицы Am×n верно условие m=n (т.е. количество строк равно количеству столбцов), то говорят, что A – квадратная матрица порядка n. Например, Главная и побочная диагонали матрицы Говорят, что элементы a11, a22, …, ann находятся на главной диагонали матрицы An×n. Эти элементы называются главными диагональными элементами. Элементы a1n, a2n−1, …, an1 находятся на побочной (второстепенной) диагонали; их называют побочными диагональными элементами. Пример Выполнение операций над матрицами. 1. Сложение и вычитание 2. Умножение на число 3. Умножение двух матриц Сложение и вычитание матриц Суммой A+B матриц Am×n=(aij) и Bm×n=(bij) называется матрица Cm×n=(cij), где cij=aij+bij. Аналогичное определение вводят и для разности матриц: Разностью A−B матриц Am×n=(aij) и Bm×n=(bij) называется матрица Cm×n=(cij), где cij=aij−bij. Пример Размеры матриц A и B совпадают, т.е. данные матрицы содержат равное количество строк и столбцов, поэтому к ним применимы операции сложения и вычитания. Вычитание Решите самостоятельно Найти сумму и разность матриц Решение Умножение матрицы на число Произведением матрицы Am×n=(aij) на число α называется матрица Bm×n=(bij), где bij=α⋅aij. Пример Задана матрица: Найти матрицы 3⋅A, −5⋅A и −A. Найдите самостоятельно −A, помните, что это краткая запись -1·А. Произведение двух матриц. Произведением матрицы Am×n=(aij) на матрицу Bn×k=(bij) называется матрица Cm×k=(cij), для которой каждый элемент cij равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A на элементы j-го столбца матрицы B: Пример Если мы хотим умножить матрицу A на матрицу B, то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B (такие матрицы часто называют согласованными). Результатом умножения матриц A5×4 и B4×9 будет матрица C5×9, содержащая 5 строк и 9 столбцов: Для начала сразу определим размер матрицы C. Так как матрица A имеет размер 3×4, а матрица B имеет размер 4×2, то размер матрицы C таков: 3×2: В результате произведения матриц A и B мы должны получить матрицу C, состоящую из трёх строк и двух столбцов: Начнем с элемента c11. Чтобы получить элемент c11 нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы A и первого столбца матрицы B. Начнем с элемента c11: c11=−1⋅(−9)+2⋅6+(−3)⋅7+0⋅12=0. Найдем c12: c12=−1⋅3+2⋅20+(−3)⋅0+0⋅(−4)=37. Найдем c21: Аналогично находим оставшиеся элементы c22=5⋅3+4⋅20+(−2)⋅0+1⋅(−4)=91. c31=−8⋅(−9)+11⋅6+(−10)⋅7+(−5)⋅12=8. c32=−8⋅3+11⋅20+(−10)⋅0+(−5)⋅(−4)=216. Все элементы матрицы C найдены, осталось лишь записать, что Самостоятельно найдите произведение матриц А·В и В·А Решение Определитель матрицы Определение. Определитель матрицы — это алгебраическая сумма n! слагаемых, составленных следующим образом. Каждое слагаемое — это произведение элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, умноженное на (−1) в степени количество инверсий: Варианты обозначения определителя: det A или А или ∆ Определитель квадратных матриц 2-го и 3-го порядка Универсальная формула вычисления определителя для матрицы 2x2 выглядит так: Определитель матрицы второго порядка Вычислите определитель: Решение: Определитель матрицы 3-го порядка Определитель будет считаться по формуле: Правило треугольника Способ Саррюса или способ «параллельных полосок». Пример. Вычислить ∆ матрицы Вычислить ∆ матрицы Решение Спасибо за занятие!