ЭЭА

Вводная (первая) лекция по курсу «Электрические и электронные аппараты
Значение предмета «Электрические и Электронные аппараты» для будущих
инженеров электриков и электромехаников
Инженер, по определению, работает с техническими устройствами, он их создает,
использует при создании или эксплуатации других, более сложных устройств или систем.
Инженер-электрик или инженер-электромеханик повседневно работает с устройствами,
которые называются электрические и электронные аппараты. Из этих устройств, как из
кирпичей, он строит новые электрические устройства или системы; каждый день он
занимается проблемами, связанными с созданием или эксплуатацией электрических
аппаратов.
Знание электрических, электронных аппаратов, их устройства и принципа действия,
основных закономерностей, определяющих их работу, а также особенностей их правильного
использования, является необходимым условием профессионализма инженера электрика,
условием его полезности на месте работы. Это определяет важность для будущих
специалистов предмета «Электрические и Электронные Аппараты».
Особенностью предмета «Электрические и электронные аппараты» является
изучение и использование в нем большого набора физических принципов и идей
следующих областей науки:
• Механика: Привод и механические системы электрических аппаратов,
обеспечивающие требуемое движение составных частей аппаратов и контактных систем.
Пружинный привод и пр.
• Электродинамика. Взаимодействие электромагнитного поля с проводниками; силовое
действие электромагнитного поля, теория электромагнитов. Преобразование электрической
энергии в энергию механического движения и обратно
• Теплотехника. Тепловые режимы компонентов электрических аппаратов, особенно в
аппаратах тепловой и токовой защиты.
• Физика плазмы. Процессы образования и гашения электрической дуги в контактах
электрических аппаратов.
• Аэро-газодинамика. Имеются аппараты с пневматическим приводом, аппараты с
пневматическими замедлителями, имеются аппараты для управления потоками газов и
жидкостей.
• Оптика, радиационная физика и пр.
Электрические и электронные аппараты – это интересная и важная область
техники
Технический прогресс определяется прежде всего развитием новых материалов и
компонентов, новой элементной базы. Для электриков и электромехаников элементной базой
является электрические и электронные аппараты; из них, как из кирпичей строятся
электрические установки и системы.
Разработка новых принципов работы и создание новых конструкций электрических и
электронных аппаратов определяет во многом будущий технический прогресс в области
электротехники, энергетики, электромеханики.
Определение: Электрические аппараты – это электротехнические устройства управления
потоками энергии и информации.
Примеры:
• 1. Потоком механической энергии от двигателя к технологической машине управляет
электромагнитная муфта.
• 2. Потоком тепловой энергии можно управлять с помощью электромагнитных
клапанов и заслонок.
• 3. Управление потоком информации осуществляет электромагнитное реле в системах
управления, раньше и в телефонии. (Одни из первых систем обработки информации, в том
числе первые вычислительные машины, были реализованы на электромагнитных реле).
• 5. Наибольшее распространение электрических аппаратов - для управления потоками
электрической энергии, для изменения режимов работы, регулирования параметров, контроля
и защиты электрических систем и их составных частей.
Классификация электрических аппаратов
По величине коммутируемого напряжения.
• Аппараты низкого напряжения (до 1000 В).
• Аппараты высокого напряжения (свыше 1000 В)..
По величине коммутируемого тока.
• Слаботочные (до 10 А).
• Сильноточные (свыше 10 А).
По назначению.
• Аппараты управления и защиты – автоматические выключатели, контакторы, реле,
пускатели электродвигателей, переключатели, рубильники, предохранители, кнопки
управления, другие аппараты, управляющие режимом работы электрооборудования и его
защитой.
• Аппараты автоматического регулирования – стабилизаторы и регуляторы напряжения,
тока, мощности и других параметров электрической цепи.
• Аппараты автоматики – реле, датчики, преобразователи и другие аппараты,
осуществляющие функции контроля и преобразования электрических сигналов.
По наличию электрических контактов и привода контактов для замыкания и
размыкания электрической цепи.
• Электромеханические аппараты.
• Статические (электронные) электрические аппараты.
• Гибридные электрические аппараты (включающие в себя электромеханические и
электронные аппараты).
Преимущества
Недостатки
Электромеханические аппараты
1. Малое падение напряжения на
контактах в замкнутом состоянии.
2. Полный разрыв электрической
цепи в разомкнутом состоянии
контактов.
Большое время включения и
выключения (десятки
миллисекунд)
Статические
(электронные)
аппараты
Малое время включения и
выключения (единицы и доли
микросекунды), малые
коммутационные потери и, как
следствие, возможность работы с
высокой частотой переключения.
1. Большое падение напряжение
в замкнутом состоянии (1 - 4-В).
2. Заметный ток утечки в
разомкнутом состоянии (доли
миллиампера)
В гибридных электрических аппаратах сочетание контактов и электронных ключей
позволяет объединить преимущества и исключить недостатки электромеханических и
статических аппаратов
Список литературы
1. Под ред. Ю.К.Розанова. Электрические и электронные аппараты. М.:, Информэлектро,
2001.
2. А.А.Чунихин. Электрические аппараты. М.:, Атомиздат, 1988.
3. Л.А.Родштейн. Электрические аппараты. Л.:, Энергоиздат, 1981. (Учебник для
техникумов).
4. Г.В.Буткевич, В.Г.Дегтярь, А.Г.Сливинская. Задачник по электрическим аппаратам.
М.:, «Высшая школа», 1987.
5. К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. Теоретические основы
электротехники. В трех томах. СПб, Питер, 2003.
Дополнительная литература
6. Б.Э. Фридман. Электромагнитное поле в проводниках. Текст лекций. СПб, изд. ГУАП,
2010.
7. Б.Э. Фридман. Электродинамические силы. Текст лекций. СПб, изд. ГУАП, 2011.
Первая тема курса: Электромагнитное поле в проводниках.
Изучить материал лекции [6]:
[6] Б.Э. Фридман. Электромагнитное поле в проводниках. Текст лекций. СПб, изд. ГУАП,
2010.
Брошюра с текстом лекции имеется в библиотеке ГУАП.
Лекция 2.
Тепловые процессы в электрических аппаратах.
Электрические аппараты являются сложными электротехническими устройствами,
содержащими много элементов, одни из которых являются проводниками электрических
токов, другие проводниками магнитных потоков, а третьи служат для электрической
изоляции. Часть элементов может перемещаться в пространстве, передавая усилия другим
узлам и блокам. Работа большей части аппаратов связана с преобразованием одних видов
энергии в другие. При этом неизбежны потери энергии и превращение ее в теплоту.
Источники теплоты в электрических аппаратах.
Мощность тепловых потерь при протекании постоянного тока по проводнику
P  I 2R
где R – активное сопротивление проводника, которое в случае однородного проводника
длиной l и сечением S
l
R .
S
Удельное электрическое сопротивление проводника  зависит от температуры
проводника и других факторов (давления и пр.). В диапазоне температур до 150200оС
   0 1   
где  0 - удельное электрическое сопротивление материала проводника при 0оС,  температурный коэффициент сопротивления  - температура оС.
В случае переменного или импульсного тока имеет место скин-эффект, или
поверхностный эффект и эффект близости.
Рис.1. Распределение плотности переменного тока в круглом медном проводнике
диаметром  20 мм.
Неравномерность распределения тока приводит к возникновению дополнительных
потерь мощности по сравнению с постоянным током. Это учитывается коэффициентом
поверхностного эффекта
kп  P~ P  1,
где P~ - мощность потерь при переменном (импульсном токе), P - мощность потерь при
постоянном токе.
Коэффициент поверхностного эффекта для немагнитных проводников зависит от
формы, геометрических размеров проводников, а также от отношения характерного
2
размера сечения проводника r к эквивалентной глубине скин-слоя  
, то есть от
 0
 0 r 2
r
параметра 
.

2
Для меди   1,72 10 8 ом  м , и на промышленной частоте f  50 Гц ,   314 c -1 ,  =
9,35 мм. Для электротехнического алюминия   2,82 10 8 ом  м , при f  50 Гц   8,5 мм
.
В случае провода круглого сечения радиусом r
r
2f  4 10 7 r 2
f
f


 4 10 5  0,01121
,

2
R100
R100
100
- сопротивление провода длиной 100 м.
r 2
Значения коэффициента поверхностного эффекта для провода круглого сечения
выведены и приведены в учебнике Л.Р.Неймана и К.С.Демирчяна ТОЭ, часть 2, как
где R100  
функция от безразмерного параметра
𝑟
𝜔𝜇0 𝑟 2
=√
∆
как функция от безразмерного параметра
2𝜌
, а также в задачнике Г.В.Буткевича и др.
f
.
R100
Коэффициент близости k б зависит от относительной величины глубины скин-слоя или
f
, геометрических размеров и формы проводников, а
R100
также от расстояния между ними. Однако этот коэффициент может быть больше или
меньше единицы.
Таким образом в электрических цепях переменного тока
P~  k п k б I 2 R .
В проводниках из ферромагнитного материалов явления поверхностного эффекта и
эффекта близости проявляются значительно сильнее и эти два коэффициента существенно
больше, чем в неферромагнитных проводниках. Так для стального провода 16
коэффициент добавочных потерь (k п k б ) в линейном приближении k п k б  4  8 , и потери
мощности значительно больше. При резко выраженном поверхностном эффекте (   r )
S
,
kп 
П
где S – площадь поперечного сечения провода, П – периметр сечения провода, – глубина
проникновения электромагнитной волны (скин-слоя) в металле, которая в силу
нелинейности кривой намагничивания материала приближенно определяется так:


если H  H m ,

  0

 2  если H  H ,
m

  0
 - относительная магнитная проницаемость материала проводника, H m - амплитуда
от безразмерного параметра
первой гармоники напряженности магнитного поля, соответствующая максимуму  m на
кривой намагничивания материала.
Имеется эмпирическая формула для вычисления потерь мощности при протекании
переменного тока по проводам из ферромагнитного материала
5
 I 3
P  (2,9  3,25) 10   S б f ,
П
где Sб – боковая поверхность, П – периметр сечения провода.
4
(*)
Другие источники тепла в электрических аппаратах.
А). Магнитопроводы.
Магнитные цепи электрических устройств переменного тока, как правило,
представляют собой шихтованные магнитопроводы, изготовленные из листовой
электротехнической (трансформаторной) стали. Источником тепла в таких устройствах
является шихтованный магнитопровод.
Рис. 2. Примеры шихтованных магнитнопроводов (стержневого и броневого)
однофазных трансформаторов.
Потери мощности в шихтованном магнитопроводе определяются на основании
приведенных в технических условиях или справочной литературе зависимостей удельных
потерь от марки трансформаторной стали, толщины листа, частоты тока и величины
амплитуды индукции переменного магнитного поля в магнитопроводе Bm.
Для замкнутого магнитопровода, выполненного из сплошного ферромагнитного
металла (стали), возможно применение формулы, аналогичной (*)
5
 NI  3
 S f ,
P  (2,9  3,25) 10 4 
l  б
ср


где N - число витков катушки, l ср – средняя длина магнитной линии в магнитопроводе, Sб –
боковая поверхность магнитопровода..
Б). Нагрев ферромагнитных нетоковедущих частей электрического аппарата,
находящихся в переменном или импульсном магнитном поле. Обусловлен вихревыми
токами в металле. Трудно поддается вычислению. Обычно такой нагрев выявляется при
испытаниях аппарата.
В). Электрическая дуга, возникающая при размыкании контактов в цепях сильного тока.
Г). Потери на трение или нагрев при ударной деформации механических частей
аппарата.
Д). Гидравлические потери в электрических аппаратах, в которых циркулируют потоки
жидкости или газов.
Е). Потери в диэлектриках высокочастотных электрических аппаратах.
и др.
Распространение теплоты в электрических аппаратах
Существуют три способа распространения теплоты: теплопроводность, конвекция,
тепловое излучение
Теплопроводность – распространение тепловой энергии при непосредственном
соприкосновении отдельных частиц или тел, имеющих разную температуру.
Рис. 3. Тело I с неоднородным распределением температуры    ( x, y, z, t ) . S –
элементарная площадка поверхности, n - единичный вектор нормали в направлении
движения тепла.
Гипотеза Фурье: Вектор плотности теплового потока, проходящего через
изотермическую поверхность, пропорционален градиенту температуры.
𝒒 = −𝜆 ∙ 𝒈𝒓𝒂𝒅𝜐.
Δ𝑄
Здесь 𝑞 =
- плотность теплового потока (плотность тепловой мощности,
Δ𝑆∙∆𝑡
переходящей через изотермическую поверхность S), ∆𝑄 – количество тепловой энергии,
проходящей через элементарную площадку изотермической поверхности ∆𝑆 за время ∆𝑡,
𝜆 – коэффициент теплопроводности.
Другая, эквивалентная формулировка гипотезы Фурье: количества тепла Δ𝑄,
проходящего через элементарную площадку Δ𝑆 изотермической поверхности за время Δ𝑡,
пропорционально нормальной производной температуры 𝜐.

Q  n 
St .
n
Коэффициент теплопроводности 𝜆 равен тепловому потоку, передаваемому через
единичную изотермическую поверхность при единичном значении градиента температуры.
Δ𝑄
𝜆 = Δ𝑆∙𝑔𝑟𝑎𝑑𝜐∙∆𝑡 .
Для большинства веществ в определенном диапазоне температур   0 1      0  ,
где 0 - теплопроводность при температуре  0 ,  - температурный коэффициент
теплопроводности.
Гипотеза Фурье приводит к дифференциальным уравнениям в частных производных
второго порядка параболического типа. Решение таких задач – это большой раздел
математической физики – области математики, которая занимается исследованием и
поиском решений дифференциальных уравнений в частных производных.
Конвекция – распространение тепла при перемещении объемов жидкостей или газов в
пространстве из области с одной температурой в область другой температуры.
Бывает естественная конвекция и вынужденная конвекция. При естественной
конвекции движение происходит за счет выталкивающих (Архимедовых) сил из-за
различия плотностей холодных и нагретых частиц жидкости или газа.
Математическое описание процесса конвекции включает в себя уравнения
теплопроводности с учетом массообмена (уравнение энергии), уравнение движение
(уравнение Навье-Стокса), уравнения неразрывности, а также начальные и граничные
условия. Это сложная задача математической физики.
Упрощенная формула Ньютона:
Тепловой поток (количество теплоты в единицу времени)
𝑃𝑘 ≈ 𝑘𝑘 𝑆охл (𝜐 − 𝜐0 ),
где kk- коэффициент конвективной теплоотдачи, 𝑆охл .- площадь охлаждаемой поверхности,
𝜐0 - температура окружающей среды.
Тепловое излучение – это распространение внутренней энергии тела путем
электромагнитных волн. Совокупность процессов взаимного излучения, поглощения,
отражения и испускания энергии в системе различных тел называют теплообмен
излучением.
Закон Стефана-Больцмана.
4
𝑇
𝑇
4
0
Плотность теплового потока, 𝑞 = 5,67𝜀 [(100) − (100
) ],
где  - коэффициент излучения тела, степень черноты поверхности 0    1 ,   1 для
абсолютно черного тела, T - абсолютная температура нагретого тела (в градусах Кельвина),
T0 – абсолютная температура окружающей среды.
Для задач электротехники диапазон, температур, как правило, относительно мал в
шкале абсолютных температур Кельвина. Это позволяет использовать более простые
зависимости для плотности теплового потока.
𝑇
4
𝑇
4
𝑇
2
𝑇
2
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
0
0
0
0
𝑞 = 5,67𝜀 [(100) − (100
) ] = 5,67𝜀 [(100) + (100
) ] (100 + 100
) (100 − 100
).
Полный тепловой поток, излучаемый нагретой поверхностью площадью S,
5,67
𝑇
2
𝑇
2
𝑇
𝑇
0
0
𝑃изл = 𝑞𝑆 = { 100 𝜀 [(100) + (100
) ] (100 + 100
)} 𝑆(𝑇 − 𝑇0 ).
Выражение в фигурных скобках можно считать примерно постоянным в диапазоне
температур, при которых, как правило, работают электротехнические устройства [-30 150C]. Таким образом, для приближенных оценок излучаемой мощности можно принять
приближенную формулу Ньютона
𝑃изл ≈ 𝑘изл 𝑆(𝜐 − 𝜐0 ),
где коэффициент теплоотдачи излучением
5,67
𝑇 2
𝑇0 2
𝑇
𝑇0
𝑘изл ≈
𝜀 [(
) +(
) ](
+
)
100
100
100
100 100
На практике часто при оценках теплоотдачи с нагретой поверхности явления конвекции
и теплового излучения учитывают вместе. При этом мощность, отдаваемая нагретой
поверхностью,
𝑃 = 𝑃𝑘 + 𝑃изл ≈ (𝑘𝑘 + 𝑘изл )𝑆(𝜐 − 𝜐0 ) = 𝑘𝑇 𝑆(𝜐 − 𝜐0 ),
где 𝑘𝑇 = 𝑘𝑘 + 𝑘изл – коэффициент теплоотдачи, учитывающий как конвекцию, так и
тепловое излучение.
Проблемы тепловых режимов электрических аппаратов (ЭА)
Источники теплоты образуют температурное поле в ЭА  ( x, y, z, t ) .
Максимальное значение температуры не должно превышать значений, зависящих от
используемых материалов и устанавливаемых стандартами. Стандарты также
устанавливают температуру окружающей среды, которая для большинства аппаратов
принимается 35оС. Эта температура принимается при расчете длительных режимов, при
этой температуре проводят испытания нагрева ЭА.
Пути уменьшения мощности источников теплоты:
 Применение проводниковых материалов с малым  .
 При резко выраженном скин-эффекте и больших токах применят трубчатые
проводники. (иногда внутри трубчатых проводников циркулирует охлаждающая
жидкость).
 Составные шины располагают таким образом, чтобы поверхностный эффект и
эффект близости не увеличивали мощность тепловыделения в проводниках.
 В конструкциях нетоковедущих частей применяют неферромагнитные материалы
(неферромагнитные стали, латунь, бронза и т.п.
 В ферромагнитных материалах выполняют прорези на пути магнитного потока; при
этом полученный воздушный промежуток заполняют немагнитным материалом.
 Применяют коротко-замкнутые витки на пути магнитного потока в ферромагнитные
детали.
Уменьшение температуры в ЭА путем интенсификации охлаждения (Увеличение
мощности теплоотвода P  kT S охл    0  ).
А) Увеличение коэффициента теплоотдачи kT :
 Окраска нагреваемых частей специальной краской, у которой коэффициент
излучения   1 .
 Вынужденная конвекция (вентиляция).
 Жидкостное охлаждение и т.п.
Б) Увеличение площади охлаждаемой поверхности (применение радиаторов).
Лекция 3
Установившийся процесс нагрева.
В установившемся режиме имеет место тепловое равновесие, т.е. все выделяющееся
тепло отдается в окружающее пространство. Анализ теплового состояния нагретого тела
производится на основе применения уравнения теплового равновесия:
𝑃выд. = 𝑃ушедшее ,
(1)
где 𝑃выд. – мощность источников теплоты, выделяющихся в нагретом теле, 𝑃ушедшее –
тепловая мощность, уходящая в результате действия процессов теплопередачи.
Источниками теплоты в нагретом теле может быть:
 мощность, выделяющаяся в проводниках при прохождении электрического тока;
 мощность тепловых потерь при перемагничивании магнитопроводов;
 плазменные каналы электрической дуги на контактах электрического аппарата, и т.д.
Некоторые типовые задачи установившегося процесса нагрева:
1. Выбор сечения провода для длительного режима работы.
Нагрев провода вызван выделением тепла при прохождении по проводу электрического
тока. Тепловая мощность, выделяющаяся в проводе при протекании переменного тока,
𝑃выд. = 𝑘доб. 𝑅𝐼 2 ,
(2)
где
 I – действующее значение тока в проводе [А],
 𝑘доб. = 𝑘п 𝑘б – коэффициент добавочных потерь (для постоянного тока 𝑘доб. = 1),
 𝑘п – коэффициент поверхностного эффекта (𝑘п ≥ 1),
 𝑘б – коэффициент близости, учитывающий влияние электромагнитного поля одного
провода с током на распределение тока в другом проводе,
 𝑅 – сопротивление постоянному току провода [Ом]
 1   l
,
(3)
R 0
q
 𝜌0 − удельное сопротивление металла провода при температуре 0℃ [Омм],
  - температура нагретого провода в ℃ [K], ([K] – обозначение размерности
относительных температур по шкале Цельсия или Кельвина),
  - температурный коэффициент сопротивления [K-1],
 q – площадь сечения провода [м2] (для круглого провода диаметром d площадь
сечения провода q  d 2 4 ),
 l – длина провода.
Тепловая мощность уходит с поверхности провода посредством конвекции и
излучения. Мощность отвода тепла приближенно определяется упрощенной формулой
Ньютона
𝑃ушедшее = 𝑘𝑇 𝑆(𝜐 − 𝜐0 ) ,
(4)
где
Вт
 𝑘𝑇 – коэффициент теплоотдачи [м2 К],
 𝑆 – площадь охлаждаемой поверхности [м2] (для круглого провода диаметром d
площадь охлаждения 𝑆 = 𝜋𝑑𝑙),
 𝜐0 – температура окружающей среды [К].
Подставляя (2), (3), (4) в уравнение теплового равновесия (1), получим
4𝑘доб 𝜌0 (1+𝛼𝜐) 2
𝐼 = 𝑘𝑇 𝜋𝑑(𝜐 − 𝜐0 ).
(5)
𝜋𝑑2
Решая уравнение (5) получим диаметр круглого провода d, у которого установится
температура  при длительном протекании тока I.
3
4𝑘доб 𝜌0 (1+𝛼𝜐) 2
𝐼 .
𝜋 2 𝑘𝑇 (𝜐−𝜐0 )
𝑑=√
(6)
Аналогично можно выбрать размеры поперечного сечения токоведущей шины
прямоугольного сечения.
Проблема правильного выбора сечения поводов имеет важное значение для
безопасности электроустановок. История знает многочисленные примеры, когда из-за
ошибок в выборе сечения проводов происходили пожары, приводящие к значительным
материальным потерям и гибели людей. В наше время выбор проводов в зданиях строго
регламентируется нормативными документами («Правила устройства электроустановок» и
др.).
2. Распределение температуры в стенке, разделяющей две среды с разной
температурой 1 и 2.
Два тела с различной температурой
1 и 2 разделены перегородкой
толщиной  (рис. 1). площадь контакта
тел с перегородкой S одинакова.
В этой задаче температура внутри
перегородки изменяется только в
направлении координаты x (рис. 1) и
мощность P при передаче тепла уходит
от тела с более высокой температурой
Рис. 1. Перегородка (стенка) толщиной 1 к менее нагретому телу с
, разделяющая два тела с различной температурой 2.
температурой 1 и 2.
В соответствии с гипотезой Фурье плотность теплового потока
𝐪 = −𝜆 ∙ 𝐠𝐫𝐚𝐝𝜐,
(7)
где 𝜆 - коэффициент теплопроводности материала перегородки.
Вектор плотности теплового потока 𝐪 = 𝑞𝐢 направлен параллельно оси x и вектор
𝜕𝜐
𝐠𝐫𝐚𝐝𝜐 = 𝜕𝑥 𝐢 также направлен параллельно и навстречу оси x (здесь i - единичный вектор в
направлении оси x). В проекциях на ось x гипотеза Фурье
𝑃
𝑑𝜐
𝑞 = 𝑆 = −𝜆 𝑑𝑥,
(8)
В перегородке отсутствуют источники теплоты. Мощность P, проходящая через
плоскость сечения перегородки с координатой x постоянна, эта мощность не зависит от x.
Следовательно,
𝑃
𝑑𝜐
𝑞 = = −𝜆 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 .
(9)
𝑆
𝑑𝑥
Интегрируя по x уравнение (9), получим
𝑞
𝑞
𝜐(𝑥) = − 𝜆 𝑥 + 𝜐(0) = − 𝜆 𝑥 + 𝜐1 .
(10)
Температура на поверхности перегородки, примыкающей ко второму, менее нагретому
телу, при 𝑥 = 𝛿
𝑞
𝜐(𝛿) = 𝜐2 = − 𝜆 𝛿 + 𝜐1 .
(11)
На рис. 1 показано распределение температуры в перегородке; имеет место линейное
убывание температуры. Разница температур между поверхностями перегородки
𝑞
𝛿
Δ𝜐 = 𝜐1 − 𝜐2 = 𝜆 𝛿 = 𝜆𝑆 𝑃 .
(12)
𝛿
Обозначим 𝑅𝑇 = 𝜆𝑆 – тепловое сопротивление перегородки. Тогда соотношение (12)
можно записать в следующем виде:
Δ𝜐 = 𝑅𝑇 𝑃 .
(13)
Соотношение (13) напоминает закон Ома для электрических цепей (Δ𝑈 = 𝑅𝐼). По
аналогии, равенство (13) называется тепловым законом Ома, а коэффициент 𝑅𝑇 называется
тепловым сопротивлением
Тепловой закон Ома: P   RT - количество тепла, отводимое в 1 с от тела (или
тепловая мощность) за счет теплопроводности прямо пропорционально перепаду
температуры  и обратно пропорционально тепловому сопротивлению RT того тела,
через которое передается тепло.
Пусть перегородка составлена из нескольких (n) слоев материала различной толщины
𝛿𝑘 и с различными коэффициентами теплопроводности 𝜆𝑘 , 𝑘 = 1, 2, … 𝑛. В этом случае
тепловая мощность P, проходящая через все слои перегородки от тела с высокой
температурой к телу с низкой температурой будет одна и та же для всех слоев. При этом
перепады температуры в каждом слое
Δ𝜐𝑘 = 𝑅𝑇,𝑘 𝑃,
(14)
𝛿
где 𝑅𝑇,𝑘 = 𝜆 𝑘𝑆 – тепловое сопротивление одного слоя.
𝑘
Полный перепад температуры во всей перегородке определяется суммой
Δ𝜐 = ∑𝑛𝑘=1 Δ𝜐𝑘 = ∑𝑛𝑘=1 𝑃𝑅𝑇,𝑘 = 𝑃𝑅𝑇,Σ ,
(15)
где 𝑅𝑇,Σ = ∑𝑛𝑘=1 𝑅𝑇,𝑘 – тепловое сопротивление всей перегородки.
Таким образом мы показали, что тепловые сопротивления при их последовательном
соединении можно складывать аналогично тому, как это делается с последовательно
соединенными электрическими сопротивлениями.
Тепловой закон Ома и понятия о тепловых сопротивлениях широко используются при
анализе тепловых режимов элементов электрической цепи: резисторов, мощных
полупроводниковых приборов и др. Как правило, расчетная тепловая цепь содержит
источник теплоты (например, мощный полупроводниковый прибор) и тепловые
сопротивления компонентов, по которым передается тепловая мощность в окружающую
среду (электроды, прилегающие к полупроводниковому ЧИПу, → корпус
полупроводникового прибора → воздушный или жидкостный охладитель → поверхность,
с которой происходит конвекция и/или излучение). Для всех этих элементов можно найти
в каталогах изготовителя значения теплового сопротивления. Значения тепловой
мощности, выделяющейся в полупроводниковом ЧИПе, можно измерить или посчитать,
зная режим работы полупроводникового прибора. Применяя тепловой закон Ома к
тепловой цепи можно определить температуру ЧИПа и сделать вывод о допустимости
выбранного режима работы полупроводникового прибора.
3. Нагрев изолированных токоведущих частей.
Исследуем тепловой режим одножильного кабеля, который представляет собой
круглый металлический проводник, покрытый слоем изоляции.
Перепад
температуры
между
поверхностью изоляции и внешней
средой Δ𝜐п = 𝜐п − 𝜐0 .
Перепад температуры в изоляции
Δ𝜐и = 𝜐м − 𝜐п .
Температура на поверхности металла
𝜐м = 𝜐0 + Δ𝜐п + Δ𝜐и .
Здесь 0 – температура окружающей
среды,
п
–
температура
на
поверхности
изоляции,
м
–
температура на поверхности металла.
В проводе выделяется тепловая мощность P, которая в условиях теплового равновесия
вся уходит с поверхности изоляции. При этом в соответствии с формулой Ньютона для
теплоотдачи с поверхности
𝑃 = 𝑘𝑇 𝑆п (𝜐п − 𝜐0 ) = 𝑘𝑇 𝜋𝐷𝑙Δ𝜐п ,
(16)
где 𝑆п = 𝜋𝐷𝑙 – площадь цилиндрической наружной поверхности изоляции, с которой
происходит конвективный теплообмен с окружающей средой.
Из (16) следует, что тепловое сопротивление этого конвективного теплообмена
Δ𝜐
1
𝑅𝑇,п = 𝑃 п = 𝑘 𝜋𝐷𝑙 .
(17)
𝑇
Рассмотрим поле температур в изоляции. Выделим в изоляции цилиндрическую
поверхность радиусом r. Через эту поверхность проходит вся тепловая мощность,
выделяющаяся в проводе. Плотность потока этой мощности
𝑃
𝑃 1
𝑞(𝑟) = 𝑆(𝑟) = 2𝜋𝑙 ∙ 𝑟 ,
(18)
где 𝑆(𝑟) = 2𝜋𝑟𝑙 – площадь выделенной цилиндрической поверхности радиусом r,
𝑑 𝐷
𝑟 ∈ [ 2 , 2 ].
В соответствии с гипотезой Фурье плотность потока мощности, пересекающей
выделенную цилиндрическую поверхность
𝑑𝜐
𝑞(𝑟) = −𝜆|𝐠𝐫𝐚𝐝𝜐| = −𝜆 𝑑𝑟 .
(19)
Объединяя (18) и (19) получим дифференциальное уравнение, описывающее
распределение температуры 𝜐(𝑟) в изоляции.
𝑑𝜐
𝑃
1
= − 2𝜋𝜆𝑙 ∙ 𝑟 .
(20)
𝑑𝑟
Дифференциальное уравнение (20) решается методом разделения переменных.
𝑃
𝑑𝑟
𝑑𝜐 = − 2𝜋𝜆𝑙 ∙ 𝑟 .
(21)
Интегрируя обе части равенства (21) получим функцию 𝜐(𝑟), описывающую
распределение температуры в изоляции.
𝜐
𝑟 𝑃
𝑑𝑟
𝑃
2𝑟
(22)
∫𝜐 𝑑𝜐 = 𝜐(𝑟) − 𝜐м = − ∫𝑑 2𝜋𝜆𝑙 ∙ 𝑟 = − 2𝜋𝜆𝑙 ln ( 𝑑 )
м
2
Перепад температуры в изоляции
𝐷
𝑃
𝐷
Δ𝜐и = 𝜐м − 𝜐п = 𝜐м − 𝜐 ( 2 ) = 2𝜋𝜆𝑙 ln (𝑑 ).
(23)
Рассматривая (23) как тепловой закон Ома, получаем формулу, определяющую
тепловое сопротивление изоляции круглого провода
1
𝐷
𝑅𝑇,и = 2𝜋𝜆𝑙 ln (𝑑 )
(24)
Температура на металлической поверхности провода
1
1
𝐷
𝜐м = 𝜐0 + Δ𝜐п + Δ𝜐и = 𝜐0 + 𝑃(𝑅𝑇,п + 𝑅𝑇,и ) = 𝜐0 + 𝑃 [𝑘 𝜋𝐷𝑙 + 2𝜋𝜆𝑙 ln (𝑑 )]. (25)
𝑇
Нормальная, безопасная работа провода возможна при условии 𝜐м < 𝜐и,доп , где 𝜐и,доп −
допутимая предельная температура, при которой не происходит разрушение изоляции
(для полимерной изоляции эта температура плавления и обугливания).
Лекция 5
Нагрев электрических аппаратов в переходных режимах
Если принять формулу Ньютона для расчета тепла, отдаваемого во внешнее
пространство, то баланс энергии при нагреве тела
𝑃𝑑𝑡 = 𝑘𝑇 𝑆𝜐𝑑𝑡 + 𝐶𝑑𝜐,
(1)
где P мощность тепловых потерь в теле, 𝑘𝑇 𝑆𝜐 - мощность, которая уходит с поверхности
тела конвекцией и излучением,  - превышение температуры тела, относительно
температуры окружающей среды, S – площадь охлаждаемой поверхности тела, kT –
коэффициент теплоотдачи с поверхности, 𝐶𝑑𝜐 – изменение внутренней энергии тела, C –
теплоемкость тела (Для однородного тела C  c  M , M – масса, c – удельная теплоемкость
Вт
тела, [𝑐] = К∙кГ).
Разделим обе части равенства (1) на 𝐶 ∙ 𝑑𝑡
d 1
P
(2)
 
dt T
C
C
где T 
- постоянная, которая называется постоянная времени нагрева.
kT S
Начальное условие для дифференциального уравнения (2)
𝜐|𝑡=0 = 𝜐0
(3)
где 𝜐0 – начальная температура нагреваемого тела.
Уравнение (2) это обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение первого
порядка с постоянными коэффициентами, которое описывает режим неустановившегося
нагрева. Общее решение (2) находится как сумма 𝜐1 + 𝜐2 , где 𝜐1 - общее решения
однородного уравнения
𝑑𝜐1
1
+ 𝑇 𝜐1 = 0 ,
(4)
𝑑𝑡
𝜐2 - частное решения (2). Подстановкой в (2) можно показать, что
𝑃𝑇
𝑃
𝜐2 = =
= 𝜐у
(5)
𝑃
где 𝜐у = 𝑘
𝑇𝑆
𝐶
𝑘𝑇 𝑆
– установившаяся температура при длительном нагреве тела (при 𝑡 → ∞).
Однородное дифференциальное уравнение (4) решается методом разделения
переменных.
𝑑𝜐1
1
= − 𝑇 𝑑𝑡.
(6)
𝜐
1
Интегрируем обе части равенства (6)
𝑡
ln(𝜐1 ) = − 𝑇 + 𝐴 ,
(7)
где A – постоянная интегрирования. Вычислим экспоненту от левой и правой части
равенства (7).
𝑡
𝑡
𝜐1 = 𝑒 −𝑇+𝐴 = 𝐵𝑒 −𝑇 ,
(8)
𝐴
где 𝐵 = 𝑒 – также постоянная интегрирования. Равенство (8) определяет общее решение
однородного дифференциального уравнения (4).
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (2)
𝑡
𝜐 = 𝜐1 + 𝜐2 = 𝐵𝑒 −𝑇 + 𝜐у
Постоянная B определяется из начального условия (3).
𝜐|𝑡=0 = 𝜐0 = 𝐵 + 𝜐у .
𝐵 = 𝜐0 − 𝜐у .
(9)
(10)
Подставим (10) в (9) и получим решение дифференциального уравнения (2),
удовлетворяющее начальному условию (3). Это решение описывает изменение
температуры тела в переходном режиме нагрева.
t
t

 

T
T 

 (t )  0e   y 1  e  .
(11)


P
Здесь  y 
- установившееся превышение температуры тела, когда все
kT S
выделяемое тепло отдается в окружающую среду.
Частные случаи неустановившегося нагрева:
1. Нагрев без теплоотдачи (𝑘𝑇 = 0). Считаем, что начальная температура 𝜐0 = 0.
В этом случае баланс энергии при нагреве
𝑃𝑑𝑡 = 𝐶𝑑𝜐.
(12)
Решение дифференциального уравнения (12) дает линейный рост температуры
𝑑𝜐
𝑃
𝑃
= 𝐶,
𝜐(𝑡) = 𝐶 𝑡 .
(13)
𝑑𝑡
Нагрев до установившейся температуры произойдет за время
𝐶
𝐶
𝑡 = 𝜐у 𝑃 = 𝑘 𝑆 = 𝑇.
(14)
𝑇
Таким образом, тепловая постоянная времени T есть время, в течении которого тело
нагрелось бы до установившейся температуры при условии отсутствия отдачи тепла в
окружающее пространство.
Определение. Нагрев без теплоотдачи, при отсутствии каких-либо процессов
передачи тепла, называется адиабатическим процессом нагрева.
Рис. 1. Изменение температуры во времени.
1 – нагрев с теплоотдачей, 2 – нагрев без теплоотдачи (адиабатический)
2. Нагрев за относительно малое время t << T.
𝑡
Разложим решение (11) в ряд по степеням (𝑇) . При 0  0 имеем
t
 t 1  t  2 1  t 3

 

T
 (t )   y 1  e    y         ... .
 T 2!  T  3!  T 



(15)
t
t
 0,1 с погрешностью не превышающей 5% можно оценивать  (t )   y . То
T
T
есть, при относительно малом времени нагрева изменение температуры тела происходит
примерно также, как при отсутствии теплоотдачи, как при адиабатическом процессе
нагрева.
При
Это явление является основанием целого направления электротехники – мощной
импульсной техники. В этой области занимаются генерацией и использованием импульсов
тока амплитудой 105 - 108 ампер, имеют дело с мощностями уровня 109 - 1012 ватт. В силу
малой длительности импульсов (от долей микросекунды до сотен микросекунд) нагрев
элементов электрических контуров, по которым протекают сверхбольшие импульсные
токи, ограничен; установки мощной импульсной техники достаточно компактны, что
позволяет их использовать на производстве и в лабораториях.
3. Охлаждение нагретого тела.
После отключения источника тепловой мощности (при P = 0) энергетический баланс
определяется только процессом теплоотдачи с поверхности тела
𝐶𝑑𝜐 + 𝑘𝑇 𝑆𝜐𝑑𝑡 = 0,
{
.
(16)
𝜐|𝑡=0 = 𝜐0 .
Дифференциальное уравнение, описывающее изменение температуры при
охлаждении, получается делением (16) на 𝐶 ∙ 𝑑𝑡 или из (2)
𝑑𝜐
1
+ 𝑇 𝑑𝑡 = 0,
𝑑𝑡
{
(17)
𝜐|𝑡=0 = 𝜐0 .
Решение задачи Коши, дифференциального уравнения с начальным условием (17)
 (t )  0e

t
T
(18)
описывает процесс охлаждения тела. Такая же зависимость температуры от времени
𝑃
получается из общего решения (11) при 𝜐у = 𝑘 𝑆 = 0, где первое слагаемое соответствует
𝑇
процессу охлаждения тела.
4. Кратковременный режим работы
Считаем, что начальная температура нагреваемого тела 0  0 .
При кратковременном режиме возможна работа аппарата при увеличенной мощности
тепловых потерь Pкр. Допустимое время кратковременного включения tдоп определяется из
условия
𝜐доп = 𝜐у (1 − 𝑒 −
𝑡доп
𝑇
)
(19)
После преобразования (19) получим
𝑡доп = −𝑇ln (1 −
где
𝜐доп
𝜐у
𝑃
𝜐доп = 𝑘 дл𝑆
),
(20)
(21)
𝑇
- допустимая для электротехнического устройства температура, которая, например,
определяется термической стойкостью электрической изоляции, 𝑃дл – тепловая мощность
в длительном режиме нагрева, при которой достигается допустимая установившаяся
температура 𝜐доп ,
𝑃кр
𝜐у = 𝑘
(22)
𝑇𝑆
- установившаяся температура, которая могла бы быть достигнута в установившемся
режиме нагрева при длительном воздействии увеличенной кратковременной тепловой
мощности Pкр. Подставляя (21) и (22) в (19) после преобразования получим, что при
кратковременном режиме нагрева допускается превышение мощности тепловыделения
𝑃кр
𝜐у
1
𝑘𝑃 = 𝑃 = 𝜐 =
(23)
𝑡доп .
дл
доп
1−𝑒
−
𝑇
Определение. Коэффициент 𝑘𝑃 =
𝑃кр
𝑃дл
> 1 называется коэффициентом перегрузки по
мощности для кратковременного режима работы.
Если тепловая мощность выделяется в результате протекания электрического тока по
проводникам 𝑃 = 𝑅𝐼 2 , то определяют также коэффициент перегрузки по току для
кратковременного режима работы
𝐼кр
𝑃кр
дл
дл
𝑘𝐼 = 𝐼 = √𝑃 = √𝑘𝑝 =
1
𝑡доп
√
−
1−𝑒 𝑇
.
(24)
При неизменном времени включения 𝑡доп аппарата величина допустимого тока
кратковременного режима Iкр и коэффициента перегрузки 𝑘𝐼 растут при увеличении
постоянной времени T. Величина T может быть увеличена в основном за счет увеличения
массы материала, участвующего в нагреве. (Пример – защита от перегрева при сварке за
счет присоединения массивных деталей).
При t  4T превышение температуры   0,98 y и режим можно считать режимом
длительного включения.
5. Повторно кратковременный режим работы.
Определение. Повторно-кратковременный режим – это режим, при котором аппарат
нагружается источниками теплоты постоянной мощности в течении времени tр (рабочий
период) и охлаждается за время tп (время паузы) таким образом, что рабочие периоды и
периоды пауз бесконечно повторяются.
Рис. 2. Повторно-кратковременный режим.
Верхний график – мощность P, нижний график – температура  устройства.
В повторно-кратковременном режиме электрическое устройство нагревается в
течении рабочего периода tр и охлаждается во время паузы tп (рис. 2). Через некоторое
время после включения достигается повторяющийся тепловой режим, при котором
максимумы и минимумы температуры повторяются с периодом (𝑡р + 𝑡п ).
В этом повторяющимся режиме температура в рабочем периоде определяется в
соответствии с (11)
𝑡
𝑡
𝜐(𝑡) = 𝜐𝑚𝑖𝑛 𝑒 −𝑇 + 𝜐у (1 − 𝑒 −𝑇 ) ,
(25)
где 𝑡 ∈ [0, 𝑡р ] , 𝜐𝑚𝑖𝑛 – минимальная температура, которая имеет место в начале рабочего
периода. Максимальная температура в конце рабочего периода
𝑡р
𝑡р
𝜐𝑚𝑎𝑥 = 𝜐(𝑡р ) = 𝜐𝑚𝑖𝑛 𝑒 − 𝑇 + 𝜐у (1 − 𝑒 − 𝑇 ) .
(26)
Во время паузы температура устройства определяется в соответствии с (18).
𝑡
𝜐(𝑡) = 𝜐𝑚𝑎𝑥 𝑒 −𝑇 ,
(27)
где 𝑡 ∈ [0, 𝑡п ]. Минимальная температура достигается в конце паузы
𝑡п
𝜐𝑚𝑖𝑛 = 𝜐(𝑡п ) = 𝜐𝑚𝑎𝑥 𝑒 − 𝑇 .
(28)
Подставим (28) в (26) и получим соотношение, которое позволяет вычислить 𝜐𝑚𝑎𝑥 в
повторяющимся режиме
𝑡р
𝑡п
𝑡р
𝜐𝑚𝑎𝑥 = 𝜐𝑚𝑎𝑥 𝑒 − 𝑇 𝑒 − 𝑇 + 𝜐у (1 − 𝑒 − 𝑇 ) .
𝑡р
𝜐𝑚𝑎𝑥 = 𝜐у
−
1−𝑒 𝑇
1−𝑒
.
𝑡р +𝑡п
−
𝑇
(29)
В допустимых режимах эксплуатации 𝜐𝑚𝑎𝑥 не может превышать допустимую
температуру, при которой сохраняется работоспособность устройства (обычно это
допустимая температура для изоляции). В длительном непрерывном режиме предельная
температура 𝜐𝑚𝑎𝑥 достигается при мощности
𝑃дл = 𝑘𝑇 𝑆𝜐𝑚𝑎𝑥 .
(30)
Мощность при повторно-кратковременном режиме 𝑃пк может превышать 𝑃дл , и эта
мощность определяет установившуюся температуру 𝜐у в (29), которая достигается при
длительном нагреве мощностью 𝑃пк .
𝑃пк = 𝑘𝑇 𝑆𝜐у
(31)
Определение. Коэффициентом перегрузки по мощности при повторнократковременном режиме называется отношение допустимой мощности при повторнократковременном режиме Pпк к допустимой мощности при длительном режиме работы Pдл
Из (30), (31) и (29) получим формулу для коэффициента перегрузки по мощности при
повторно-кратковременном режиме работы
𝑃пк
𝑘𝑃 = 𝑃 = 𝜐
дл
𝜐у
𝑚𝑎𝑥
=
𝑡р +𝑡п
−
𝑇
𝑡р
−
1−𝑒 𝑇
1−𝑒
.
(32)
Если тепловая мощность выделяется в результате протекания электрического тока по
проводникам 𝑃 = 𝑅𝐼 2 , то можно определить коэффициент перегрузки по току при
повторно-кратковременном режиме работы
𝐼пк
𝑃пк
дл
дл
𝑘𝐼 = 𝐼 = √𝑃
𝑡р +𝑡п
−
𝑇
𝑡р
−
1−𝑒 𝑇
1−𝑒
= √𝑘𝑃 = √
.
(33)
Определение. Коэффициент повторно-кратковременного режима ПВ или ПВ%
устанавливает относительную продолжительность рабочего периода
𝑡р
ПВ% = ПВ ∙ 100% = 𝑡 +𝑡 ∙ 100%.
(34)
р
п
Коэффициент перегрузки по мощности повторно-кратковременного режима зависит
от продолжительности рабочего периода 𝑡р и ПВ% следующим образом.
𝑃пк
𝑘𝑃 = 𝑃 =
дл
𝑡р 100%
− ∙
1−𝑒 𝑇 ПВ%
𝑡р
−
1−𝑒 𝑇
.
(35)
Формула (35) обычно приводится в справочниках.
В качестве иллюстрации теоретического материала рассмотрим следующую задачу.
Задача. Вычислить время, через которое медная труба с поперечными размерами dве =
25 мм, dнар = 30 мм нагреется до температуры  = 90С в результате протекания тока I =
9400 А. С целью охлаждения по трубу протекает вода, средняя температура которой ср
=40С. Коэффициент теплоотдачи с внутренней поверхности трубы kТ = 1500 Вт/(м2К).
Удельное сопротивление меди   1,75 10 8 Омм.
Решение.
1. Определим мощность, выделяющуюся в виде тепла в трубе.
1.1. Электрическое сопротивление трубы
𝑙
𝑙∙4
4∙𝑙
𝑅 = 𝜌 𝑞 = 𝜌 𝜋(𝑑2 −𝑑2 ) = 1,75 ∙ 10−8 ∙ 𝜋(0,032 −0,0252 ) = 81 ∙ 10−6 ∙ 𝑙 Ом.
𝜋
нар
вн
2
(𝑑нар
4
2
где l – длина трубы, 𝑞 =
− 𝑑вн
) – площадь сечения трубы.
1.2. Мощность выделения тепла 𝑃 = 𝑅𝐼 2 = 81 ∙ 10−6 ∙ 𝑙 ∙ 94002 = 7157 ∙ 𝑙 Вт.
2. Площадь поверхности охлаждения трубы 𝑆 = 𝜋𝑑вн 𝑙.=𝜋 ∙ 0,025 ∙ 𝑙 = 0,0785 ∙ 𝑙 м2.
3. Относительная установившаяся температура трубы при длительном протекании
тока I = 9400 А (приращение температуры относительно температуры воды).
𝑃
7157∙𝑙
𝜐у =
=
= 60,8 К
𝑘𝑇 𝑆
1500∙0,0785∙𝑙
4. Заданная относительная температура трубы в конце цикла нагрева
𝜐з = 90 − 40 = 50 K.
С
5. Вычисление тепловой постоянной времени трубы 𝑇 = 𝑘 𝑆.
𝑇
5.1. Удельная теплоемкость меди с = 390 Дж/(кГК), плотность  = 8900 кГ/м3.
5.2. Масса меди в трубе
𝜋
𝜋
2
2
𝑀 = 𝛾 4 (𝑑нар
− 𝑑вн
) ∙ 𝑙 = 8900 ∙ 4 ∙ (0,032 − 0,0252 ) ∙ 𝑙 = 1,92 ∙ 𝑙 кГ.
5.3. Теплоемкость трубы
𝐶 = 𝑀𝑐 = 1,92 ∙ 𝑙 ∙ 390 = 748,8 ∙ 𝑙 Дж/K.
5.4. Тепловая постоянная времени трубы
С
748,8∙𝑙
𝑇 = 𝑘 𝑆 = 1500∙0,0785∙𝑙 = 6,36 c.
𝑇
6. Рост температуры при нагреве трубы определяется соотношением (11)
𝑡
𝜐(𝑡) = 𝜐у (1 − 𝑒 −𝑇 ).
Из этого соотношения вычисляем время нагрева трубы до заданной температуры
𝜐
50
𝑡з = −𝑇 ∙ ln (1 − 𝜐з ) = −6,36 ∙ ln (1 − 60,8) = 11 c
у
Задача решена.
Лекция 6.
Термическая стойкость электрических аппаратов
Определение. Термической стойкостью ЭА называется способность их выдерживать
без повреждений термическое воздействие протекающих по токоведущим частям
электрических токов заданной длительностью. Количественной характеристикой
термической стойкости является ток термической стойкости, протекающий в течении
определенного промежутка времени.
Наиболее напряженным для ЭА является режим короткого замыкания, когда токи по
величине превышают в десятки и сотни раз номинальный ток ЭА. Для большинства ЭА
допустимые значения тока и времени короткого замыкания нормируются, они не должны
превышать определенных в паспортах (ТУ) значений.
В режиме КЗ температура токоведущих частей может превышать допустимую
температуру в продолжительном режиме работы. Для медных проводников с изоляцией
класса А эта температура не должна превышать 250 оС.
Определение. Режим нагрева называется адиабатическим при отсутствии любых
видов теплообмена между частицами нагреваемого вещества.
Строго говоря теплообмен имеет место всегда. Однако при определенных условиях
можно явление теплообмена не учитывать. Это имеет место при быстрых процессах
нагрева токоведущих частей большими токами, в том числе при коротком замыкании.
Рассмотрим проводник, по которому протекает электрический ток. Выделим в
металле проводника достаточно малый элемент с объемом
, где
– длина
элемента в направлении протекания тока,
– площадь поперечного сечения элемента.
Электрическое сопротивление выбранного элемента
,
(1)
где – удельное сопротивление металла при температуре 0С,  - температурный
коэффициент сопротивления,  - температура проводящего элемента.
За элементарное время
в проводящем элементе выделяется энергия
,
(2)
где
– ток в проводящем элементе,  - плотность тока.
В условиях адиабатического нагрева вся выделившаяся энергия расходуется на
увеличение внутренней энергии элемента, на его нагрев.
,
(3)
где
– теплоемкость выделенного элемента,
– удельная теплоемкость
Дж
металла при температуре 0С ( c0   3
),  - температурный коэффициент
м K
теплоемкости (    K 1 ).
Приравняем правые части равенств (2), (3) и с учетом (1) получим
.
(4)
Выполним разделение переменных в (4) и проинтегрируем полученное.
.
(5)
Дробь под интегралом в правой части равенства (5) можно разложить на простые
дроби
.
(6)
Используя (6) при вычислении интеграла в правой части (5), получим
.
(7)
Формула (7) дает неявную зависимость температуры металла от интеграла
.
tp
Определение.   2 dt - называется интеграл действия от плотности тока.
0
tp
Определение.
 i dt
2
- называется интеграл действия импульса тока.
0
При равномерном распределении тока i по сечению проводника
, (8)
где
– длительность импульса тока, S – площадь сечения проводника.
Функция в фигурных скобках в (8) приводится в справочниках для разных
проводниковых материалов – это так называемые кривые адиабатического нагрева (рис.
1).
Рис. 1. Кривые адиабатического нагрева.
1 – жедезо. 2 – сталь, 3- латунь, 4 – алюминий, 5 – серебро, 6 – медь.
Кривые адиабатического нагрева можно посчитать по формуле (8) для небольших
температур, не превышающих температуру фазового перехода металла, либо измерить.
Экспериментальные кривые адиабатического нагрева получают в опытах электрического
взрыва металлических проволочек, при которых импульс сильного тока пропускают
через проволочку, В этих опытах измеряют осциллограммы импульсов тока и падения
напряжения на проволочке, а также температуры на поверхности проводника
(пирометром). Математическая обработка осциллограмм дает кривые адиабатического
нагрева в широком диапазоне температур, включая температуры, при которых металл
плавится, испаряется и переходит в состояние плазмы.
Как правило, при коротком замыкании (КЗ) имеет место некий переходной
импульсный процесс, при котором ток изменяется во времени сложным образом. Для
инженерных расчетов вводят понятие фиктивного времени.
Определение. Фиктивное время короткого замыкания – это время, при котором
количество тепла, выделяющегося при прохождении установившегося значения тока КЗ
равно количеству тепла, выделяющегося при прохождении реального тока за
действительное время его протекания.
Допустимая температура различных частей ЭА. Термическая стойкость.
В соответствии со стандартами начальная температура при тепловых расчетах и
испытаниях принимается 40оС.
Допустимые температуры при КЗ в 24 раза выше, чем при длительном режиме. Эти
температуры определяются условием, чтобы не происходили необратимые изменения в
металле и изоляции. Для неизолированных проводников – это условия отсутствия
рекристаллизации металла. По Российским стандартам для медных проводников,
соприкасающихся с органической изоляцией или маслом предельная температура 250 оС,
для неизолированных медных проводников - 300 оС, для алюминиевых проводников –
200 оС.
Определение. Способность электрического аппарата выдерживать кратковременное
тепловое действие тока КЗ без повреждений, препятствующих дальнейшей его
исправной работе, называется термической стойкостью электрического аппарата.
Ток термической стойкости обычно относят к фиктивному времени 1 с, 3 с, 5 с или
10 с. Действующие значения тока для каждого значения фиктивного времени соотносятся
между собой в соответствии с условием равенства значения интеграла действия импульса
2
2
2
2
тока I1 1  I 3  3  I 5  5  I10 10 . Данные по термической стойкости, которые
приводятся для электрического аппарата в каталогах, следует использовать для
определения допустимого значения интеграла действия тока
и интерпретировать
следующим образом:
,
(9)
где
- ток термической стойкости,
– фиктивное время,
– ток в режиме КЗ,
–
длительность импульса тока КЗ.
Новая тема.
Электродинамические действия токов.
Материал этой темы следует начать изучать по брошюре:
Б.Э. Фридман. Электродинамические силы. Текст лекций. Издательство ГУАП,
Санкт-Петербург, 2011 г.
Брошюра имеется в библиотеке ГУАП. Электронная версия этой брошюры имеется
на сайте ГУАП в разделе «Материалы для группы 3823».
Лекция 7
Тема лекции – Электродинамические действия токов
Раздел – Применение закона Био-Саварра-Лапласа при расчете электродинамических сил,
действующих на тонкие проводники с током
Величина и направление электродинамической силы, действующей на элементарный
отрезок тонкого провода (см. Б.Э. Фридман «Электродинамические силы. Текст лекций»,
изд. ГУАП, Санкт-Петербург, 2011, стр. 5, (4)).
,
(1)
где I – величина тока в проводе,
– вектор длины элементарного отрезка, направленный
в сторону протекания тока, B – вектор индукции магнитного поля в окрестности отрезка
провода.
При использовании (1) для вычисления силы, действующей на тонкие проводники с
током, необходимо знать величину и направление вектора индукции магнитного поля B.
Закон Био-Саварра-Лапласа позволяет определить вектор напряженности (и индукции)
магнитного поля, создаваемого тонкими проводниками с током, в любой точке
пространства, окружающего эти проводники.
Закон Био-Саварра-Лапласа. Напряженность магнитного поля, создаваемого
контуром  с током I,
,
(2)
где
– вектор элементарного отрезка с током I, направление которого совпадает с
направлением тока I, r – радиус-вектор, соединяющий элементарный отрезок
с точкой
наблюдения (то есть с точкой, в которой определяется напряженность магнитного поля),
– единичный вектор в направлении .
Электрический ток всегда протекает по замкнутым в контур проводникам; не
замкнутых контуров c током не бывает. Тем не менее, для анализа некоторых типовых
ситуаций можно интерпретировать закон Био-Саварра-Лапласа для незамкнутых отрезков
проводов с током следующим образом: Напряженность магнитного поля в точке
наблюдения H, создаваемая элементарным отрезком dl с током I ,
.
(3)
Закон Био-Саварра-Лапласа оперирует с теми же величинами, что и закон полного
тока
,
(4)
и можно доказать соответствие закона Био-Саварра-Лапласа (2) закону полного тока (4).
Примеры применения закона Био-Саварра-Лапласа к расчету усилий,
возникающих между тонкими проводами с током.
Пример 1. Усилия между параллельными бесконечно тонкими проводниками
конечной длины (рис. 1).
Магнитное поле от элементарного отрезка dy c
током
в окрестности расположения элемента dx
вычислим в соответствии с (3), учитывая, что в
схеме рис. 1
.
.
(5)
Полная
индукция
магнитного
поля,
создаваемого током
в проводнике l1 в месте
расположения элемента dx.
l
Рис. 1. Отрезки проводников с током.
 0 1 sin 
(6)
B
i1
dy
4 0 r 2
При вычислении интеграла в (6) следует учитывать соотношения
a
a
a
y
, r
, dy   2 d .
tg
sin 
sin 
Подставляя эти соотношения в (6) определяем выражение для индукции магнитного
поля в месте расположения элемента dx/
1
0
 cos1  cos 2
sin 
.
(7)
B
i1  
d  i1 0
4   2
a
4
a
Вектор индукции B направлен перпендикулярно направлению тока i2. Согласно (1)
сила, действующая на элемент dx провода l2
 cos1  cos 2
(8)
dFx  Bi2 dx  0
i1i2 dx .
4
a
Из геометрических построений на рис. 1 следует
l2  x
x
.
cos1 
, cos 2 
x2  a2
l2  x 2  a 2
Подставим эти соотношения в (8) и проинтегрируем полученное по x.
l2 

0
l2  x
x

dx .
F
i1i2

2
2
4a 0  l  x 2  a 2
x  a 
 2

1
2
2
2
(9)
F  0 i1i2  l2  a 2  l2  l1   a 2  l1  a 2  a  10 7 ki1i2 ,



4
a
1
2
2
2
где k   l2  a 2  l2  l1   a 2  l1  a 2  a  - коэффициент контура.

a 
2
2l 
a
a

При одинаковой длине отрезков провода l1 = l2 имеем k 
1      . Если
a
l
l


a<<l (случай длинных проводов) k  2l a . Погрешность приближенной формулы k  2l a
при a < 0,1l не более 5%.
Определим направление электродинамической силы, действующей на отрезок
провода длиной . В окрестности второго проводника силовая линия магнитного поля B,
создаваемого первым проводником, перпендикулярна плоскости рисунка и направлена на
зрителя (рис. 1). Если ток i2 направлен вниз, как показано на рис 1, то по правилам
векторного произведения (1) сила F будет в направлении притяжения второго проводника
к первому. Если же направление тока i2 будет вверх, то проводники отталкиваются.
Для двух параллельных проводников с током имеет место общее правило, которое
нужно помнить:
Токи одного направления притягиваются, а токи противоположного
направления отталкиваются.
Пример 2. Усилия и вращающие моменты, действующие на взаимноперпендикулярные проводники.
Определим усилие, действующее на горизонтальный
проводник с током (рис. 2). Для этого следует рассчитать
магнитное поле в окрестности элемента dx горизонтального
проводника. В соответствии с (3) элемент вертикального
проводника dy с током i создает в окрестности элемента
горизонтального проводника dx магнитное поле
,
(10)
где  - угол между направлением тока в вертикальном проводе и
Рис. 2. Взаимно- вектором, соединяющим элементарные отрезки dy и dx. Далее, для
перпендикулярные
вычисления поля в окрестности горизонтального проводника
проводники с током. следует вычислять интеграл, аналогично, как в примере 1.
В частном случае бесконечно длинного вертикального проводника можно определить
магнитное поле в окрестности горизонтального провода более простым способом.
Магнитное поле бесконечно длинного вертикального повода, который простирается
до бесконечности вверх и вниз, не меняется в вертикальном направлении и определяется
соотношением
,
(11)
где x - расстояние между проводом и точкой наблюдения (рис. 3).
Рис. 3. Поле бесконечно
длинного провода
Разделим провод и пространство вокруг него на две части
горизонтальной плоскостью с координатой
. Магнитное поле в
плоскости разреза создается верхней частью и нижней частью
провода. В силу симметрии, каждая часть провода вносит одинаковый
вклад в напряженность магнитного поля в плоскости разреза. Отсюда
следует, что верхняя часть провода (полубесконечный вертикальный
провод) создает в плоскости разреза магнитное поле, напряженность
которого вдвое меньше, чем то, которое определяется (11). Таким
образом,
напряженность
магнитного
поля,
создаваемая
полубесконечным проводом в окрестности горизонтального провода
при
(рис. 2)
(12)
Усилие, действующее в магнитном поле (12) на элемент перемычки dx,
 i2
dF  iBx dx  i0 H x dx  0 dx .
(13)
4 x
Направление вектора dF определяется векторным произведение (1), то есть вектор dF
направлен вниз (рис. 2).Усилие, действующее на всю горизонтальную перемычку на
участке от r до a
a
 i 2 dx
a
F 0 
 10  7 i 2 ln  10  7 ki2 ,
(14)
4 r x
r
где
- коэффициент контура для этой задачи.
На горизонтальный проводник (рис. 2) действует вращающий момент, который
стремится повернуть этот проводник в направлении часовой стрелки. При этом
вращающий момент, действующий на элемент горизонтального проводника dx
 0i 2
dx .
4
(15)
Полный вращающий момент, действующий на весь проводник


M   dM  0 i 2  dxx  0 i 2a  10 7 kM i 2 ,
4 0
4
0
a
где
a
(16)
- коэффициент контура вращающего момента в задаче примера 2.
Пример 3. Усилие, действующее на траверсу (рис. 4).
На горизонтальный проводник (рис. 4) действует сила,
создаваемая магнитным полем от правого и левого вертикальных
проводников. В соответствии с законом Био-Саварра-Лапласа (2), (3)
векторы напряженности магнитного поля H, создаваемые в
окрестности горизонтального проводника левым и правым
вертикальными
проводниками,
направлены
перпендикулярно
плоскости рисункаот зрителя, как показано значком
на рис. 4. То
есть напряженность магнитного поля от каждого проводника
складывается, и, соответствующие силы, создаваемые полем каждого
Рис. 4. Подвод
вертикального проводника, складываются. В силу симметрии
тока к траверсе
(горизонтальному расположения проводников суммарная сила, действующая на
траверсу (на горизонтальный проводник) будет вдвое больше, чем
проводнику)
сила в системе с одним проводником, то есть чем сила в примере 2.
Если вертикальные проводники достаточно длинные (можно считать их
полубесконечными), то сила, действующая на траверсу,
 i 2 a dx
a
F 2 0 
 2  10  7 i 2 ln  10  7 ki2 ,
(17)
4 r x
r
где
- коэффициент контура. Направление силы, действующей на траверсу
(рис. 4) - вниз.
Задачу в примере 3 можно также решить энергетическим методом.
Индуктивность токовой петли на рис. 4 при l >> a
  a

L  0 l  ln  0,25  .
(18)
  r

Энергия магнитного поля, создаваемого токовой петлей
.
(19)
За обобщенную координату, соответствующей обобщенной силе F, действующей на
траверсу, примем длину вертикальных проводников l. Сила F определяется как частная
производная от энергии магнитного поля W по обобщенной координате l.
W 1 2 L 0i 2  a

F
 i

(20)
 ln  0,25  .
l
2 l
2  r

Коэффициент 0,25 в (18), (20) учитывает усилие, возникающее в месте перехода из
одного проводника в другой.
Пример 4. Усилия в соленоиде.
Соленоидом называется цилиндрическая катушка, намотанная тонким проводом в
один слой (рис. 5). В соленоиде пренебрегают полем между витками и, как правило,
пренебрегают краевыми эффектами поля, т.е. считают поле внутри однородным (рис. 6).
Рис. 5. Соленоид
Рис. 6. Магнитное поле (силовые линии) в
соленоиде
Индукция магнитного поля внутри достаточно длинного соленоида
,
(21)
где n - число витков, l - длина катушки. Формула (21) следует из закона полного тока при
допущении об однородности магнитного поля внутри соленоида и при пренебрежении
малого поля снаружи катушки. Индуктивность длинного соленоида
,
(22)
где
- площадь, охватываемая катушкой, r - внутренний радиус витка соленоида.
Магнитное поле внутри соленоида создает давление на витки, которое численно равно
плотности энергии магнитного поля
,
(23)
где
- объем внутренней полости соленоида, - число витков, приходящихся на
единицу длины соленоида.
С другой стороны, усилия в соленоиде можно определить энергетическим методом.
Для этого в качестве обобщенной координаты примем внутренний радиус витка r.
Обобщенная сила, стремящаяся увеличить радиус соленоида r ,
. (24)
Таким образом, обобщенная сила F равна произведению давления магнитного поля p
на площадь внутренней поверхности соленоида
, что подтверждает равенство
электродинамических усилий в соленоиде, определенных двумя разными методами.
Пример 5. Усилие в месте изменения сечения цилиндрического проводника
Рис. 7. Цилиндрический
проводник с изменением сечения.
Эта задача имеет практическое значение для оценки
электродинамических сил, действующих на проводники при
коротких замыканиях.
Рассмотрим цилиндрический проводник, у которого
изменяется сечение (рис. 7). По проводнику протекает
импульсный ток i и имеет место резко выраженный
поверхностный эффект (линии вектора плотности тока 
показаны красным цветом). Вокруг цилиндрического
проводника возникает магнитное поле
,
(25)
где r - радиальная координата точки наблюдения.
В условиях резко выраженного скин эффекта на
поверхность
металлического
проводника
действует
импульсное давление
(26)
Давление импульсного магнитного поля p приложено ко всем наружным поверхностям
проводника. Давление, которое действует на цилиндрические поверхности,
уравновешивается прочностью металла. То давление. которое действует на торцевую
поверхность в месте изменения сечения проводника, создает продольную
электродинамическую силу F, которая может вызвать движение проводника и разрушение
электрического аппарата.
Продольная сила F определяется суммированием давления, действующего на
торцевую поверхность
,
(27)
где
- площадь торцевой поверхности,
- элемент торцевой площадки,
который мы представляем в виде кольца радиуса r и шириной dr.
.
(28)
Лекция 8
Контактные явления в электрических аппаратах
Определение. Электрическим контактом называется соединение двух проводников,
позволяющее проводить электрический ток между ними. Соприкасающиеся проводники при
этом называются контактами.
Виды электрических контактов:
 Взаимонеподвижные:
o Разъемные (например, болтовые соединения токоведущих шин).
o Неразъемные (сварные, паяные, клепанные, напыленные и пр.).
 Взаимоподвижные:
o Неразмыкающиеся (щеточные скользящие, жидкометаллические, роликовые и пр.)
o Размыкающиеся, то есть расходящиеся в процессе работы (мостиковые контакты,
розеточные, щеточные, пальцевые, ножевые и пр.)
Взаимоподвижные неразмыкающиеся контакты
Щеточный скользящий контакт
Роликовый контакт
Жидкометаллический контакт
Взаимоподвижные размыкающиеся контакты
Мостиковый контакт
Пальцевый контакт
Контакт с плоскими пружинами
Термины для размыкающихся контактов:
Определение. Расстояние между неподвижными и подвижными контактами в полностью
отключенном положении аппарата называется раствором контактов.
Определение. Провал контакта (вжим) называется расстояние, на которое переместится
при замыкании подвижный контакт, если убрать неподвижный контакт.
Рис. 1. Раствор и провал мостикового контакта
Достаточный для контакта провал является свидетельством наличия контактного
давления в замкнутом состоянии
Рис.2. Элементы профилограммы
контактирующих поверхностей
Контактные явления
Механический контакт двух тел происходит не по всей
видимой поверхности тел, а лишь в отдельных точках; при
сжатии их силой – по отдельным площадкам (рис. 2).
Определение. Общая поверхность тел, с которой
производится контакт, называется кажущейся контактной
поверхностью.
Определение.
Часть
кажущейся
контактной
поверхности, образованная в результате деформации
микровыступов,
называется
поверхностью,
воспринимающей усилие.
Поверхность, воспринимающая усилие, состоит из:
 поверхности, покрытой пленками оксидов (удельное сопротивление оксида меди
Омм; у закиси меди
Омм),
 поверхности, покрытой адгезионными или хемосорбированными слоями атомов
кислорода (ток протекает за счет тунельного эффекта; имеет место квазиметаллический
характер проводимости),
 поверхности чисто металлического контакта (свободно протекает электрический ток).
Определение. Квазиметаллические и металлические поверхности контакта называются пятнами.
Пусть имеется два металлических образца одинаковой геометрической формы. Один
образец сплошной (рис. 3а), второй составлен из двух контактирующих деталей (рис. 3б).
Через эти образцы пропускаем электрический ток I. Подключим вольтметры к двум
подобным точкам на поверхности образцов, как показано на рис. 3а и 3б, достаточно далеко
от контактирующей поверхности на рис. 3б. В силу того, что соприкосновение двух частей
образца рис. 3б происходит по микровыступам (как на рис. 2), в окрестности -пятен
происходит искривление линий плотности тока (эффект стягивания линий плотности тока) и
показание вольтметра (падение напряжение) на образце с контактом будет больше, чем
показания на сплошном образце.
.
Рис. 3. К определению переходного контактного сопротивления
Сопротивление сплошного образца R1  U 1 I . Для образца с контактом R2  U 2 I .
.
Определение. Разность сопротивлений Rk  R2  R1 называется переходным контактным
сопротивлением.
Определение. Область электрического контакта, где линии тока искривляются,
стягиваясь к -пятну, называется областью стягивания.
Математическая модель электрического контакта
Допущения.
Контакт имеет только одну площадку касания.
Эта площадка имеет форму круга с радиусом a.
3.
Сферическая модель контакта. Эквипотенциальные
поверхности – сферы. Линии плотности тока направлены по
радиусу к центру сфер эквипотенциальной поверхности. (На
самом деле все сложнее. Ряд авторов принимает без
доказательства
допущение
об
эквипотенциальных
поверхностях в виде эллипсоидов вращения и о линиях тока
вида гипербол).
1.
2.
Рис. 4. К расчету сферической
модели контакта
При пластической деформации под действием сжимающих контакт сил площадь
площадки
a 2  F  ,
(1)
где F – сила нажатия контактов,  - временное сопротивление смятия материала контакта.
Рассмотрим часть области стягивания на верхнем контакте рис. 4, ограниченную
полусферами c радиусами r и
. Элементарное электрическое сопротивление этой
части области, заключенной между полусферами
,
(2)
где  - удельное сопротивление металла,
- площадь полусферы.
Электрическое сопротивление верхней части области стягивания (рис. 4)
.
В силу симметрии полное электрическое сопротивление областей стягивания
.
(3)
Более аккуратный расчет, в том числе при допущении об эквипотенциальных
поверхностях в виде эллипсоидов, дает формулу Хольма для сопротивления стягивания
одноточечного контакта.
Rc 

.
2a
(4)
Для многоточечного контакта с n круглыми контактными пятнами радиуса a площадь
контактных пятен
. Следовательно, для многоточечного контакта
электрическое сопротивление областей стягивания, то есть переходное контактное
сопротивление
.
(5)
Имеется и используется на практике эмпирическая формула для сильноточных контактов
K0
Rc 
,
(6)
0,102  F n
где n  0,5 для точечного контакта (рис. 5а), n  0,5  0,8 для линейного контакта (рис 5б),
n  1 для плоскостного контакта (рис. 5в), K 0 зависит от материала (таблица 1).
Таблица 1. Значения эмпирического коэффициента K0
для контактных материалов
Рис. 5. Точечный (а), линейный
(б) и плоскостной (в) контакты
Нагрев контактного пятна
Существует и доказана Терема Кольрауша – Диссельхорста. В симметричной области
стягивания все эквипотенциальные поверхности являются изотермическими поверхностями.
Рис. 6. Зона стягивания
сферической модели
контакта
Рассмотрим сферическую модель контакта (рис. 6) и трубку
тока в зоне стягивания, ограниченную изотермической
(эквипотенциальной) поверхностью радиусом r (рис. 6). Эта
эквипотенциальная поверхность имеет электрический потенциал
.
Тепловая мощность, выделяемая в трубке
,
(7)
где
- потенциал контактного пятна,  - плотность тока, dS площадь части сферической поверхности радиуса r, заключенной
внутри трубки тока.
В соответствии с законом Ома
.
(8)
С другой стороны теорема Кольрауша-Диссельхорста утверждает, что поверхности
равного электрического потенциала являются изотермическими поверхностями.
Следовательно, тепловая мощность, проходящая через поверхность dS, определяется в
соответствии с гипотезой Фурье
.
(9)
где  - коэффициент теплопроводности,  - температура, n - нормаль к поверхности dS,
совпадающая по направлению с вектором r.
Объединяя соотношения (7), (8), (9), получим
1
   0 d  d ,

или с учетом
получим уравнение Хольма-Кольрауна
(9)
 d  d .
В интегральной форме уравнение Хольма-Кольрауна.
Uk
2
a
 d   d ,
0
k
(10)
где
- падение напряжения на переходном сопротивлении контакта (
- на рис. 3),
k - температура контактного пятна, 0 - температур окружающей среды (или "холодной"
части контакта).
Интегрируем последнее равенства и используем теорему о среднем и усредненные
значения ср и ср.
(11)
Таким образом, мы установили, что приращение температуры в контактном пятне
(альфа-пятне) зависит от падения напряжения в области стягивания
и
характеристик контактного материала ()
2
U
  k .
(12)
8
Как правило, мы не можем измерить температуру контактного пятна. Соотношение (12)
дает возможность в простом опыте при измерении контактного падения напряжения оценить
температуру контактного пятна.
При прохождении электрического тока происходит нагрев металла контакта и
увеличивается переходное контактное сопротивление. Зависимость контактного
сопротивления от температуры может быть приближенно определена следующей
зависимостью.
 2

R a   R k   1     a   k 
 3

При нарастании тока в контакте температура контактного пятна может достигать
высоких значений, при которых происходят фазовые превращения металла (размягчение,
плавление, кипение) в окрестности контактного пятна.
Следствие. Для каждого контактного материала существуют определенные, характерные
для него падения напряжения, при которых температура контактного пятна достигает
значений температуры фазовых переходов.
Таблица 2. Значения напряжений размягчения, плавления и кипения
Фазовые превращения металла в области контактного пятна приводят к уменьшению
временного сопротивления смятию материала контакта  и к увеличению размера
контактного пятна (1), (5). Это, в свою очередь приводит к ступенчатому уменьшению
контактного переходного сопротивления при фазовых превращениях металла по мере
увеличения тока в контакте и, соответственно, по мере увеличения падения напряжения на
контакте (рис. 7). Если после достижения фазового перехода ток и, соответственно, нагрев
контактного пятна будут уменьшаться, то, очевидно, площадь контактного пятна не
изменится и контактное сопротивление будет меньше, чем до фазового перехода (рис. 7).
Рис. 7. Зависимость сопротивления контактов от падения напряжения на них.
Сваривание электрических контактов
Ток в контактах должен быть таким, чтобы не достигалась высокая температура
контактного пятна, при котором происходит фазовый переход металла в жидкое состояние
(плавление), то есть должно выполняться условие U k  U пл .Однако, на практике это условие
не всегда выполняется и возможно сваривание контактов.
Определение. Минимальный ток плавления – это ток, при котором происходит
плавление площадки касания контактов.
Минимальный ток плавления
можно оценить, используя (11) и формулу Хольма (4).
,
(13)
где  и  соответствуют температуре плавления, а радиус a выбирается в 1,5 раза больше
радиуса, рассчитанного при температуре 0 с учетом размягчения, предшествующего
плавлению.
При больших токах можно считать , что a ~ F , и можно использовать оценку
I св  k F . Для медных и латунных контактов коэффициент k  1000 2000 А/Н1/2.
В действительности сваривание может наступить при меньших токах, при которых
появляются микроплощадки сваривания. Обычно привод контактов электрического аппарата
способен разъединить контакты в случае сваривания по микроплощадкам. При сваривании в
условиях формулы I св  k F имеет место выход из строя ЭА.
Электродинамические силы в контактах
1. Электродинамические силы стягивающего эффекта (отталкивающие силы).
Рассмотрим модель одноточечного контакта (рис. 7) в идеализированном случае одного
круглого контактного пятна в середине цилиндрического контакта. Рассматриваются силы,
возникающие в импульсном процессе короткого замыкания, в условиях резко выраженного
скин-эффекта.
При резко выраженном поверхностном эффекте в тонком
слое у поверхности проводника действуют объемные
электродинамические силы. Эти силы можно привести к
эквивалентному давлению импульсного магнитного поля,
действующему на поверхность металла.
B2
 i2
p
 02 2 ,
(14)
2  0 8 r
где в случае цилиндрических проводников индукция внешнего
магнитного поля
i
(15)
B 0 .
2r
Давление магнитного поля действуют на все поверхности
проводников контактов. Давление на цилиндрические
поверхности уравновешивается механической прочностью
металла контактов. Давление в торцевом зазоре между
контактами (рис. 8) суммируется и создает силы отталкивания
контактов (см. пример 5 в лекции № 7).
Рис. 8. К расчету
,
(16)
электродинамической
где
- площадь торцевой поверхности,
силы отталкивания в
одноточечном контакте элемент торцевой площадки, который мы представляем в виде
кольца радиуса r и шириной dr.
Таким образом, в одноточечном контакте действуют силы отталкивания
.
(17)
Отталкивающие силы в контактах, вызванные стягивающим эффектом, называются
силами Двайта. На практике, эффект отталкивания контактов имеет место в сильноточных
аппаратах при коротких замыканиях и может повредить аппараты.
2. Силы, действующие на подводящие ток проводники (контурные силы).
Контурные силы - это силы, действующие на проводники, подводящие ток к контактам.
В зависимости от геометрии проводников контурные силы могут отталкивать контакты или
притягивать их. Геометрию проводников, подводящих ток к контактам, можно выбрать так,
что контурные силы будут притягивать контакты и компенсировать отталкивающие силы
Двайта. Примеры такого выбора геометрии подводящих ток проводников (компенсаторов)
приведены на рис. 9. В этих компенсаторах используется явление притяжения параллельных
проводников, у которых направление токов совпадает, и явление отталкивания параллельных
проводников со встречным направлением токов (см. лекцию 7).
Рис. 9. Компенсаторы электродинамических сил в контактах
Режимы работы контактов.
А) Включение цепи.
Включение мощных силовых контактов происходит в следующей последовательности:
 Сближение контактов. Расстояние между контактами уменьшается, напряжение
электрического поля в зазоре между контактами увеличивается. При достаточно малом
расстоянии между контактами происходит электрический пробой воздушного промежутка
между контактами и зажигается электрическая дуга.
 Горение дуги между контактами. Горение дуги прекращается при соприкосновении
(ударе) контактов.
 Дребезг контактов. По действием упругих элементов контактной системы происходит
отскок контактов друг от друга; при повтороном размыкании опять зажигается электрическая
дуга между контактами, которая гасится при повторном столкновении контактных
поверхностей.
Электрическая дуга между контактами перед замыканием, и особенно во время дребезга,
приводит к эрозии контактов и сокращает срок эксплуатации электрического аппарата.
Пути уменьшения последствий дребезга:
o предварительный натяг контактной пружины при разомкнутых контактах,
o минимальная масса контактов.
.
Б) Отключение цепи.
Процесс размыкания силовой электрической цепи происходит в следующей
последовательности:
 Движение привода контактов приводит к уменьшению сил контактного нажатия.
Площадь контактных пятен уменьшается, температура точек касания растет. В определенный
момент контакты нагреваются до температуры плавления металла, далее возникает мостик из
жидкого металла, который тянется за подвижным контактом и вызывает ионизацию
окружающего воздушного пространства.
 При достаточном расстоянии между контактами мостик жидкого металла обрывается
и в ионизированном воздушном окружении контактов возникает дуговой разряд.
Электрическая дуга между расходящимися контактами может через некоторое время
погаснуть или гореть бесконечно долго, в зависимости от внешних условий и параметров
электрической цепи.
Последствия в последнем случае - это выход из строя элементов электрической цепи
(источника и приемника электрической энергии), а также разрушение электрического
аппарата.
Таблица 3. Минимальные значения напряжения и тока, необходимые для поддержания
дугового разряда
Материал контакта
U0, V
I0, A
Платина
17
0,9
Золото
15
0,38
Серебро
12
0,4
Вольфрам
17
0,9
Медь
12,3
0,43
Уголь
18 - 22
0,03
Количественной характеристикой электрической эрозии является объемный износ за
одно отключение
зависит от количества электричества q (заряда), протекающего через
контакты за одно отключение.
Vэр  k эр q ,
где k эр - коэффициент эрозии равный объему материалу, испаряемого при протекании одного
кулона заряда.
Методы борьбы с эрозией:
 сокращать длительность горения дуги с помощью дугогасительных устройств,
 устранять вибрации (дребезг) контактов,
 применять дугостойкие контактные материалы (с высокой температурой плавления),
такие как вольфрам, киррит.
Киррит - это композиция меди и вольфрама, получаемая методами порошковой
металлургии. При нагревании киррит переходит из твердой фазы в газообразную, минуя
плавление. Поэтому сваривание контактов из киррита не происходит.
Схемные методы гашения дуги и уменьшения эрозии:
 шунтирование нагрузки сопротивлением (недостаток – потери энергии и
дополнительная нагрузка на контакты при включении),
 в цепи постоянного тока шунтирование нагрузки встречно включенным диодом,
 шунтирование контактного промежутка резистором,
 шунтирование контактного промежутка R-C цепью.
Более сложные и совершенные методы реализованы в гибридных электрических
аппаратах, состоящих из силовых бесконтактных (полупроводниковых) ключей и контактных
устройств. В гибридных электрических аппаратах осуществляется бездуговая коммутация
силовых электрических цепей и, при нормальной эксплуатации, эрозия отсутствует.
Работа и дребезг контактного датчика
Несмотря на прогресс в развитии бесконтактных датчиков различного назначения,
традиционно контактные датчики широко используются в системах управления (датчики
положения, датчики уровня жидкости, в контактных манометрах и прочее). Замыкание
контактов в контактном датчике всегда сопровождается дребезгом контактов, и с этим
приходится мириться.
Рис. 10. Дребезг замыкающихся контактов.
Верхний график (t) - зазор между подвижным и неподвижным контактами;
нижний график Uk(t) - напряжение между контактами.
Процесс дребезга контактов иллюстрирует рис. 10. В начале процесса контакты
разомкнуты и напряжение между контактами Uk = E равно э.д.с., действующей в
электрической цепи. При включении аппарата контакты сближаются и зазор между ними 
уменьшается. После удара подвижного контакта по неподвижному оба контакта двигаются
вместе (на верхнем графике рис. 10 зазор
) и напряжение между контактами
.
Далее имеет место совместное движение контактов (условно говоря, вниз) а затем в силу
упругости контактной системы вверх и отскок подвижного контакта. После отскока
. Далее движение вверх подвижного контакта останавливается и контакт повторно
ударяет по неподвижному контакту (
). И так далее.
При замыкании возможно более десяти ударов подвижного контакта по неподвижному,
длительность дребезга иногда доходит до 100 мс. В современных микропроцессорных
системах управления дребезг контактов может нарушить запрограммированные процессы
управления.
Существуют аппаратные и программные методы борьбы с дребезгом контактов.
1. Аппаратные методы подавления дребезга.
 По возможности, полезный сигнал контактного датчика считывать при его
размыкании. Как правило, процесс размыкания не сопровождается дребезгом, хотя иногда
встречаются контакты, у которых наблюдается дребезг при размыкании.
 Применение R-S триггера для считывания сигнала контактного датчика.
На рис. 11 показана схема считывания сигнала с контактов S1
применением R-S триггера, реализованного на двух логических
элементах 2И-НЕ. В верхнем положении подвижного контакта
S1 сигнал на выходе логического элемента D1 будет высокого
уровня (1), на выходе D2 - низкого уровня (0). При нижнем
положении подвижного контакта S1 сигнал на выходе D1 будет
низкого уровня (0), а сигнал на выходе D2 - высокого уровня (1).
При дребезге, например при переключении в нижнее положение
контакта S1, низкий уровень выходного сигнала D1 (0) и
высокий уровень сигнала на выходе D2 (1) будут сохраняться.
Выходной сигнал логического элемента D1 или D2 можно
Рис. 11. Считывание
напрямую подавать на вход микроконтроллера.
сигнала контактного
датчика R-S триггером
2. Программные методы подавления дребезга.
 При считывании сигнала контактного датчика цифровым входом микроконтроллера с
аппаратным прерыванием. Считывание сигнала следует производить с задержкой (примерно
100 мс) после поступления сигнала прерывания, когда дребезг контактов гарантировано
закончится.
 При считывании сигнала контактного датчика цифровым входом микроконтроллера,
не имеющим аппаратного прерывания. Следует запрограммировать периодическое
считывание сигнала контактного датчика в течении периода времени, превышающего
длительность дребезга. В силу высокого быстродействия современных микроконтроллеров,
таких считываний может быть несколько сотен или тысяч. Логический сигнал (срабатывание
контактного датчика или нет) выбирается по значению большинства отсчетов
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ПРОВОДНИКАХ
Лекционный материал по курсу
«Электрические и электронные аппараты»
Санкт-Петербург
2010
Составитель: доктор технических наук Б.Э. Фридман
Рецензенты:
Заведующий кафедрой № 30 ГУАП, доктор технических наук, профессор
А.А. Ефимов.
Начальник лаборатории ФГУП «НИИЭФА им. Д.В. Ефремова», доктор
физико-математических наук Н.В. Калинин.
Приведены краткие сведения из теории электромагнитного поля, необходимые для
усвоения теоретических разделов курса «Электрические и электронные аппараты».
Рассмотрены
особенности
распространения
переменного
и
импульсного
электромагнитного поля в металле. Дано теоретическое обоснование явления
поверхностного эффекта в проводниках. Предназначены для студентов третьего курса,
обучающихся по специальностям «Электромеханика» и «Техническая физика
термоядерных реакторов и плазменных установок.
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Значительная часть курса «Электрические и электронные аппараты» посвящена
изучению явлений, связанных с распространением переменного или импульсного
электромагнитного поля в массивных проводниках Изложение и объяснение этих явлений
на современном уровне возможно только на основе соответствующих разделов теории
электромагнитного поля. Однако, в настоящее время объем изучения теории
электромагнитного поля в дисциплине «Теоретические основы электротехники»
сокращен, и знания теории электромагнитного поля у студентов, обучающихся по
специальностям «Электромеханика», недостаточны для понимания электродинамических
процессов в электротехнических устройствах. Кроме того, необходимые сведения из
теории электромагнитного поля отсутствуют в учебниках по курсу «Электрические и
электронные аппараты», которые в своем большинстве были написаны во времена, когда
«Теория электромагнитного поля» преподавалась в должном объеме всем студентам
электрических специальностей. Поэтому преподаватель курса «Электрические и
электронные аппараты» вынужден значительную часть лекционного времени уделять
разъяснению явления скин-эффекта и основам действия электромагнитного поля на
элементы электротехнических устройств. С другой стороны у студентов нет учебного
пособия, которое бы в необходимом объеме описывало теоретические основы указанных
явлений.
Настоящее пособие призвано устранить этот пробел в учебных материалах по курсу
«Электрические и электронные аппараты», а также помочь студентам в усвоении теории
явлений, связанных с распространением электромагнитного поля в металле.
При подготовке настоящего пособия использовались материалы из учебников [1, 3, 4]
и справочника [2]. Часть изложенных в пособии материалов, в частности понятие
скинового параметра массивных проводников, разработаны автором [5, 6] и впервые
представлены в учебной литературе.
3
1. Краткие сведения из математической теории поля
Выделим область G (конечную или бесконечную) в трехмерном пространстве. Пусть в
каждой точке PG задана функция точки u=f(P).
Совокупность значений функции u=f(P), заданных в области G, называется полем u.
1.1. Скалярное поле.
Если значение функции u=f(P) – скаляр (то есть вещественное или комплексное
число), значение которого не зависит от выбора системы координат, то поле называется
скалярным.
Примеры скалярных полей:
 поле температур,
 поле электрического потенциала в окрестности заряженного тела в электростатике,
 поле магнитного потенциала в магнитостатике, и др.
В скалярном поле определены операции сложения и умножения на постоянное число.
То есть, если f1(P) и f2(P) являются элементами скалярного поля u, определенного в
области пространства G (PG), ,  - вещественные или комплексные числа, то
f(P)=f1(P)+f2(P) также является элементом поля u.
Равенство f(P)=const определяет в скалярном поле поверхность уровня скалярного
поля.
Примеры поверхностей уровня поля:
 изотермические поверхности в поле температур,
 эквипотенциальные поверхности в электростатическом поле и др.
1.2. Векторное поле
Векторы в трехмерном пространстве могут быть представлены в виде направленных
отрезков. Если значение функции v = f(P) – вектор (с вещественными или комплексными
компонентами), величина и направление которого не зависят от выбора системы
координат, то поле называется векторным.
Примеры векторных полей:
 поле скоростей частиц в потоке жидкости или газа,
 поле векторов напряженности или индукции магнитного поля (магнитное поле),
 поле векторов плотности электрического тока в проводящем теле, и др.
В декартовой (прямоугольной) системе координат вектор v = f(P) может быть
представлен в виде разложения на проекции по осям координат x, y, z.
v = f(P) = vxi + vyj + vzk,
где i, j, k – единичные векторы, направление которых совпадает с направлением
координатных осей x, y, z; vx, vy, vz – проекции вектора v на соответствующие оси
координат.
Пусть = f(P) = vxi + vyj + vzk, f1(P) = v1xi + v1yj + v1zk и f2(P) = v2xi + v2yj + v2zk
являются элементами векторного поля v,  - вещественное или комплексное число.
Тогда в векторном поле v определены алгебраические операции, представленные в
таблице 1.
4
Таблица 1. Алгебраические операции над элементами векторного поля
Операции
векторной алгебры
Умножение
вектора v на
вещественное или
комплексное число
.
Сложение
векторов с
вещественными
или комплексными
компонентами
Скалярное
произведение
векторов с
вещественными
компонентами
Векторное
произведение
векторов c
вещественными
компонентами
Определение операции
v - есть вектор, направление
которого совпадает с
направлением вектора v, величина
(длина отрезка) которого v=
v
v1 + v2 есть вектор, длина и
направление которого
определяются по правилу
параллелограмма;
v1 v2 =v1∙v2∙ cos() есть
скаляр (вещественное число),  угол между векторами v1 и v2.
v1 × v2 есть вектор, величина
(длина отрезка) которого равна
v1 × v2 = v1 ∙ v2 ∙ sin(), и
который направлен
перпендикулярно векторам v1 и v2
так, чтобы с вершины
результирующего вектора v1 × v2
направление вращения от v1 до v2
было бы против часовой стрелки
Представление
в
декартовых координатах
v = vxi + vyj + vzk
v1 + v2 = (v1x + v2x)i +
+ (v1y + v2y)j +
+ (v1z + v2z)k
v1 ∙ v2 = v1x ∙v2x +
+ v1y ∙ v2y + v1z ∙ v2z
i
j
k
v1  v 2  v1x
v1 y
v1z
v2 x
v2 y
v2 z
1.3. Дифференциальные операции в скалярном поле.
Градиентом скалярного поля u является вектор gradu, направленный по нормали к
поверхности уровня в сторону возрастания функции u = f(P) и численно равный скорости
изменения функции u по этому направлению. Градиент образует векторное поле в
скалярном поле u.
В декартовой системе координат
u
u
u
grad u 
i
j  k.
x
y
z
Скорость изменения функции u = f(P) по направлению, заданному единичным
вектором τ , равна скалярному произведению градиента на вектор τ
du
 grad u  τ,
ds
где s – расстояние, отсчитываемое в направлении вектора τ .
Максимальная скорость изменения скалярной функции u = f(P) достигается в
направлении вектора gradu.
1.4. Дифференциальные операторы в векторном поле v = f(P).
5
Пусть V1 - область, содержащая точку P, S1 - замкнутая поверхность, ограничивающая
область V1, - наибольшее расстояние от точки P до точек на поверхности P1  S1, dS вектор элемента площади поверхности S1, направление которого совпадает с
направлением внешней нормали в точке P1.
Таблица 2. Дифференциальные операторы в векторном поле
Дифференциальный
оператор
Дивергенция вектора
Определение
 dS  vP 
1
div v ( P )  lim
S1
 0
 dV
Представление в декартовых
координатах
v
v
v
div v  x  y  z
x
y
z
V1
Вихрь вектора
rot vP   lim
 0
 dS  vP 
1
S1
 dV
V1
i

rot v 
x
vx
j

y
vy
k

z
vz
Дивергенция вектора v образует скалярное поле в векторном поле v. Вихрь вектора v
образует векторное поле.
1.5. Интегральные теоремы
Пусть V  G - односвязная область, S - замкнутая поверхность, ограничивающая
область V, S1 - поверхность в области G, dS - вектор элемента площади поверхности S или
S1, 1 - замкнутый контур на поверхности S1, dl - вектор элементарного бесконечно
малого отрезка контура 1, который совпадает с касательной в точке контура 1 в
направлении обхода по этому контуру.
Таблица 3. Важнейшие интегральные теоремы для векторного поля
Наименование
теоремы
Теорема Гаусса
Формула
 div v  dV   v  dS
V
Теорема Стокса
S
 rot v  dS   v  dl
S1
6
1
2. Уравнения электромагнитного поля Максвелла
2.1. Основные электрические величины, характеризующие электромагнитное поле,
приведены в таблице 4. В таблице 5 представлены уравнения электромагнитного поля
Максвелле для характерного для электротехники случая, когда можно не учитывать
электростатическое поле электрических зарядов и можно пренебречь токами смещения и
волновыми проявлениями поля в диэлектрике.
Таблица 4. Обозначения электрических величин
Наименование
Обозначение
и
простейшие Размерность
соотношения
системе СИ
Вектор
напряженности
В/м
E
электрического поля
Электрический ток
i
А
Вектор
плотности
А/м2

электрического тока
Электрическое
u
В
напряжение
Электрическое
Ом
u
R

сопротивление
i
Удельное электрическое
Омм

сопротивление
Удельная электрическая
1
(Омм)-1


проводимость

Вектор
напряженности
А/м
H
магнитного поля
Вектор
индукции
Тл
B = H*)
магнитного поля
Абсолютная
магнитная
Гн/м
 = r0*)
проницаемость
Относительная магнитная
r*)
проницаемость
Магнитная постоянная
Гн/м
0 = 4 ∙∙10∙-7
Магнитный поток
Вб

Потокосцепление
Вб

*)
Примечание. –для однородной изотропной среды.
в
В теории электромагнитного поля постулируются уравнения Максвелла в
дифференциальной форме. Интегральная форма этих уравнений выводится из
дифференциальной формы с помощью интегральных теорем, приведенных в таблице 3.
7
Таблица 5. Уравнения электромагнитного поля Максвелла в однородной изотропной
физической среде, для которой можно пренебречь токами смещения и волновыми
проявлениями поля в диэлектрике.
№
Наименование уравнения
1
Закон полного тока
Дифференциальная
форма уравнения
rotH = 
(1)
Интегральная
форма уравнения
*)
 H  dl   ik

Закон
электромагнитной
индукции
2
rot E  
B
t
(2)
Принцип
непрерывности
divB = 0
(3)
магнитного потока
4
Закон Ома
 = E)
5
Связь между индукцией и
B = H
напряженностью магнитного
поля
Примечания:.
*)
 ik - сумма токов, охватываемая замкнутым контуром .
3
k
u   E  dl  

d
dt
 B  dS  0
S
u = Ri
k
2.2. Интегральная форма закона полного тока выводится из дифференциальной формы
этого закона посредством применения интегральной теоремы Стокса.
Действительно, пусть в пространстве G,
присутствуют электрический ток с плотностью 
и магнитной поле напряженностью H. Выделим
на произвольной поверхности в области G
односвязную
область
S,
ограниченную
замкнутой линией (контуром)  (рис. 1). Для
каждой точки P  S выполняется закон полного
тока в дифференциальной форме (1). Возьмем
интеграл по поверхности S от левой и правой
Рис. 1. К выводу интегральной
части соотношения (1).
формы закона полного тока
(4)
 rot H  dS   δ  dS.
S
.Согласно теореме Стокса
S
 rot H  dS   H  dl . С другой стороны интеграл в правой
S

части (4) по существу представляет собой сумму токов, охватываемых контуром ,
 δ  dS   ik .
S
k
Таким образом доказана справедливость интегральной формы закона полного тока,
которая утверждает:
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля H по замкнутому контуру
 равна сумме токов, которая охватывается этим контуром.
8
2.3. Аналогичным образом интегральная форма закона электромагнитной индукции
выводится из дифференциальной формы этого закона. Пусть в пространстве G
существует переменное или импульсное электромагнитное магнитное поле B(t). Выделим
на произвольной поверхности в области G односвязную область S, ограниченную
замкнутой линией (контуром) . Для точек P  S выполняется закон электромагнитной
индукции в дифференциальной форме (2) и
B
(5)
S rot E  dS  S t  dS .
Применим теорему Стокса к левой части равенства (5),  rot E  dS   E  dl.
S

Циркуляция электрического вектора E по замкнутому контуру  равна электродвижущей
силе, наведенной магнитным полем в контуре ,  E  dl  u.

С другой стороны, можно вывести производную

за пределы интеграла в правой части
t
(5).

B

d
 dS     B  dS   
,
t
t  S
dt
S


так как интеграл
 B  dS
по существу представляет собой магнитный поток ,
S
пересекающий поверхность S, ограниченную контуром .
Таким образом, доказана справедливость интегральной формы закона
электромагнитной индукции:
ЭДС, наводимая магнитным полем в контуре, равна скорости изменения
магнитного потока, охватываемого этим контуром.
2.4. Интегральная форма принципа непрерывности магнитного потока выводится издифференциальной формы этого закона с помощью интегральной теоремы Гаусса.
Действительно, пусть в некоторой
области пространства G существует
магнитное поле и проходят силовые
линии этого поля, то есть линии вектора
индукции B. Выделим односвязную
область V  G, ограниченную замкнутой
поверхностью S (рис. 2). .В каждой
точке P  V действует соотношение (3).
Рассмотрим интеграл по области V от
левой и правой части равенства (3).
Рис. 2. К выводу интегральной
формы
закона
непрерывности
 divB dV  0.
V
магнитного потока.
Согласно интегральной теореме Гаусса
(6)
 div B dV   B  dS  0.
V
S
9
Интеграл
 B  dS
определяет магнитный поток  или количество силовых линий,
S
пересекающих замкнутую поверхность S. Полученное соотношение (6) доказывает
непрерывность магнитного потока , или утверждение:
Количество силовых линий (линий вектора B), входящих в замкнутый объем V,
всегда равно количеству выходящих из этого объема силовых линий.
3. Проникновение электромагнитного поля в металл
3.1. Постановка задачи.
Рассмотрим цилиндрический провод большого сечения, по которому протекает
переменный или импульсный ток (рис. 3).
Подключим вольтметр к двум точкам на
образующей цилиндрической поверхности
проводника, которые расположены на
расстоянии l друг от друга. На поверхности
проводника
действует
вектор
напряженности
электрического
поля,
u
величиной E0  , где u – показания
l
вольтметра. Направление вектора E0
совпадает с направлением линий тока. На
поверхности проводника действует также
вектор напряженности магнитного поля,
значения которого должны соответствовать
Рис. 3. Провод с током
закону полного тока  H 0  dl  i , где 

замкнутый контур на поверхности провода,
охватывающий этот провод.
Рассмотрим малую область пространства около поверхности проводника, размеры
которой существенно меньше радиусов кривизны поверхности провода. Малые размеры
выбранной области позволяют считать плоской границу, разделяющую металл и
окружающее пространство. Для этой области пространственное распределение поля
примерно будет соответствовать решению одномерной задачи о проникновения
электромагнитного поля в проводящее полупространство (рис. 4).
10
Введем
прямоугольную
систему
координат x, y, z таким образом, чтобы на
поверхности проводника ось x совпадала бы с
направлением вектора E, ось y совпадала бы с
направлением вектора H, а ось z была бы
направлена по нормали к поверхности вглубь
металла (рис. 4). В этих координатах
H = Hyj, E = Exi.
Уравнения Максвелла (закон полного
тока, закон электромагнитной индукции,
закон Ома и связь между индукцией и
Рис.
4.
Проникновение напряженностью магнитного поля) дают
одномерного электромагнитного следующие соотношения для векторов
поля
в
проводящее электромагнитного поля в проводящей
полупространство.
области i.
rot H  δ  E,

(7)

B
H
rot
E





.

t
t
Представим векторные уравнения (7) в декартовых координатах (таблица 2, строка 2).
При этом следует учесть, что в задаче о проникновении электромагнитного поля в
проводящее полупространство (рис. 4) векторы электромагнитного поля зависят только
от координаты z и не изменяются в направлениях x и y, то есть частные производные
H
E
 0,
 0.
x
x

i
j
k
i j k

H y


 E, rot E  0 0
 
j,
rot H  0 0

z

z

t

0 Hy 0
Ex 0 0

Вычисление определителей в последних выражениях дает уравнения для отличных от
нуля проекций векторов электромагнитного поля.
 H y
 z i  E x i,

 E x j    H y j.
 z
t
Следовательно, в проводящей среде i уравнения Максвелла вырождаются в два
скалярных дифференциальных соотношения для проекций вектором электромагнитного
поля:
 H y
 z  E x ,
.
(8)

 E x    H y .
 z
t
11
Учитывая, что в выбранной системе координат векторы электромагнитного поля E и
H имеют только по одной отличной от нуля компоненте, в последующих
преобразованиях будем использовать обозначения Hy = H, Ex = E. Возьмем частную

производную
от первого уравнения из (8) и подставим в правую часть полученного
z
соотношения второе уравнение из (8).
2H
E
H
(9)
 
 
.
2
z
z
t
Для уравнения (9) имеют место следующие граничные условия:
 условие на поверхности металла.Hz=0 =H0,
 условие затухания поля в глубине металла Hz = 0.
Таким образом, распределение напряженности магнитного поля в металле
удовлетворяет следующим соотношениям
2H
H
 z 2   t ,

(10)
 H z 0  H 0 ,

 H z  0.

Аналогичным образом, дифференцируя по z второе уравнение из (8), с учетом первого
уравнения из (8) и граничных условий на поверхности и в глубине металла получим.
2E
E
 z 2   t ,

(11)
 E z  0  E0 ,

 E z    0.

Проникновение переменного или импульсного электромагнитного поля в металл
описывается одинаковыми уравнениями для напряженности магнитного поля H,
напряженности электрического поля E и плотности тока  (последнее следует из
дифференциальной формы закона Ома, п. 4 таблицы 5).
3.2. Переменное электромагнитное поле в металле
Используем символический метод, при котором проекции векторов переменного
магнитного и электрического поля H(t) = Im{Hmejt}, E(t) = Im{Emej(t+)} представлены
представлены
комплексными
числами
и
то
есть
H
E ,
H  H m , arg H  0, E  Em , arg E   . При этом дифференциальные уравнения с
 
 
частными производными (10) и (11) переходят
дифференциальные уравнения второго порядка
12
в
обыкновенные
линейные
 d 2 H

 dz 2  j H  0,

(12)
 H z  0  H 0 ,

 H z    0,

 d 2 E

 dz 2  j E  0,

(13)
 E z  0  E 0 ,

 E z    0.

Общее решение дифференциального уравнения (12)
H z   A1ez  A2ez ,
где, A1 и A2 постоянные, которые определяются граничными условиями,
1 j
1 j
для
  j  
 . В последнем соотношении из двух значений j  
2
2
определенности выбрано значение с положительной вещественной частью, хотя тот же
результат может быть получен при выборе значения j с отрицательной вещественной
частью.
Граничное условие убывания поля в бесконечности H
 0 требует A2 = 0. Из
z 
граничного условия на поверхности металла H
z 0
 H 0 следует A1  H 0 . Таким образом,
задача (12) имеет решение
H z   H 0e z  H 0e  1 j kz  H 0e  kz  e  jkz ,

(14)

1
,   – удельное сопротивление металла.
2
2

Аналогично находится решение дифференциального уравнения (13).
E z   E 0e z  E 0e  kz  e  jkz .
(15)
В каждой точке проводящей среды векторы электромагнитного поля связаны между
собой соотношением, которое следует из (8)

 
E  z   H  z   1  j 
H  z   ZH  z .
(16)

2
где k 



Определение. Параметр, Z 


 1  j 
называется волновым сопротивлением

2
проводящей среды.

Из (16) следует, что в каждой точке проводящей среды arg E  arg H  , то есть в
4

металле фаза электрического вектора E опережает фазу вектора напряженности
 
13
 
магнитного поля H на угол /4. В том числе, если на поверхности проводника

arg H 0   0 , то   arg E 0  .
4
Определение. Параметр, характеризующий убывание напряженностей переменных
1
2
2

электромагнитного поля и плотности тока в глубине металла,   
k


называется глубиной проникновения переменного электромагнитного поля в металл или
глубиной скин-слоя переменного электромагнитного поля в металле.
На глубине z =  амплитуды напряженностей электромагнитного поля и плотности
H 0
E

тока уменьшаются в e = 2,718 раз H ( ) 
, E ()  0 . Если мы проведем
e
e



касательную к любой из кривых H z  , E z  или  z  в точке с координатой z = 0, о эта


 
касательная пересечет ось z в точке z = ..
Рис. 5. Затухание векторов
переменного электромагнитного поля и
вектора Пойтинга в металле
Рис. 6. Изменение фазы векторов
переменного электромагнитного поля в
металле.
Определение. Явление неравномерного распространения переменного или
импульсного электромагнитного поля в проводниках называется поверхностным
эффектом или «скин-эффектом».
3.3. Поток мощности переменного электромагнитного поля в металле
Плотность потока мощности электромагнитного поля определяется вектором
Пойнтинга.
S = E  H.
(17)
Для одномерного электромагнитного поля (рис. 4), у которого векторы E и H
перпендикулярны, величина вектора Пойнтинга S определяется произведением S(t) =
E(t)H(t), а направление вектора S совпадает с направлением оси z, то есть вектор S
направлен перпендикулярно к поверхности и в глубину металла. Для переменного
электромагнитного поля в каждой точке металла H(t) = Hmsin(t), E(t) = Emsin(t + /4).
S(t) = Emsin(t + /4) Hmsin(t) = Z Hm2 sin(t+ /4) sin(t) =
= 0,5Z Hm2[cos(/4)-cos(2t + /4)}.
14
Таким образом, в каждой точке внутри металла величина вектора Пойнтинга
представляет собой осциллирующую с двойной частотой 2 функцию, у которой среднее
значение равно
2z
1  0
 2 
2




S ср z 
Hm z  H0 e ,
(18)
2 2

1
где H 0 
H m 0 - действующее значение напряженности магнитного поля на
2
поверхности металла (при z = 0).
Среднее значение величины вектора Пойнтинга соответствует средней за период
колебаний мощности, которая передается через площадку 1 м2 в направлении оси z.
График зависимости Sср(z) приведен на рис. 5. Если на этом графике мы проведем
касательную к кривой Sср(z) в точке с координатой z = 0, то эта касательная пересечет ось
z в точке z = /2. То есть эквивалентная глубина проникновения для мощности,
передаваемой в глубь металла, в два раза меньше глубины скин-слоя.
Убывание вектора Пойнтинга в глубине металла свидетельствует о том, что часть
мощности, переносимой электромагнитным полем, теряется в металле, то есть выделяется
в виде тепла. Удельная мощность тепловыделения (мощность в единице объема,
усредненная за период колебаний) равна
2z
2z
S
2 2 
2 
p   ch  2 H 0 e    0 H 0 e   E 2 z .
z

3.4. Линейная плотность тока

Определение. Линейной плотностью тока называется δ л   δz dz.
0
Линейная плотность тока л представляет собой вектор, заданный на поверхности
проводника, полученный в результате суммирования векторов плотности тока (z) по
координате z. Размерность линейной плотности тока [л} = А/м.
Утверждение. Для однородного импульсного или переменного электромагнитного
поля в проводящем полупространстве величина линейной плотности тока равна величине
напряженности магнитного поля на поверхности металла
л = H0.
(19)
Действительно из закона полного тока (8)
H

 E  
z
следует


H
 л    z dz  
dz  H0 .
z
0
0
По существу величины линейной плотности тока л и напряженности магнитного поля
на поверхности проводника H0 выражают одну характеристику электромагнитного поля в
металле и на практике их не различают.
15
4. Поверхностный эффект в проводниках сложной формы.
4.1. Общие сведения. Резко выраженный поверхностный эффект и идеальный
поверхностный эффект.
Распределение электромагнитного поля и тока в проводниках сложной формы и в
окружающих их пространстве определяется дифференциальными уравнениями в частных
производных, которые выводятся из уравнений электромагнитного поля Максвелла.
Методы решения таких уравнений и методы вычисления пространственного
распределения поля изучаются в специальных математических дисциплинах:
Математическая физика, Численные методы решения дифференциальных уравнений в
частных производных и др. В настоящее время эти методы реализованы в программных
продуктах Elcut, Comsol, Ansis и др., предназначенных для решения пространственных
полевых задач. Ниже представлено качественное описание некоторых проявлений
поверхностного эффекта в проводниках сложной формы, сделанное без привлечения
математических методов, выходящих за пределы стандартного математического
образования инженеров электромехаников.
Определение. Резко-выраженный скин-эффект (поверхностный эффект) – это скин
эффект в проводниках, характерные размеры которых существенно превышают глубину
проникновения электромагнитного поля.
Для переменного поля условие резко-выраженного скин-эффекта a >> , где a
характерный размер проводника (радиус сечения круглого провода, минимальный
поперечный размер провода прямоугольного сечения, радиус закругления проводника
сложной формы). Условия резко-выраженного поверхностного эффекта не выполняются
на острых кромках проводников.
В случае резко-выраженного поверхностного эффекта математическое описание
проникновения в полупространство однородного электромагнитного поля (рис.4,
уравнения (10) и (11)) приближенно выполняется в области у поверхности проводника с
характерными размерами порядка глубины проникновения поля. Для резко-выраженного
поверхностного эффекта ориентировочно справедливо соотношение (19), то есть л  H0..
Определение. Идеальный поверхностный эффект – это математическая абстракция,
облегчающая определение распределение магнитного поля и тока в проводниках сложной
формы при малой глубине проникновения поля. При идеальном поверхностном эффекте
считают проводимость  = , и весь ток протекает в бесконечно-тонком слое у
поверхности проводника   0. В этом слое  = , и распределение тока
характеризуется только линейной плотностью тока л = H0, которое численно равно
напряженности магнитного поля на поверхности идеального проводника. Внутри
идеального проводника магнитное поле отсутствует Hz > 0 = 0.
На поверхности идеального проводника выполняются следующие условия для
векторов электромагнитного поля: нормальная составляющая магнитного вектора и
касательная составляющая электрического вектора равны нулю - H = 0 и E = 0.
В частном случае проводящего полупространство с идеальной (бесконечно большой)
проводимостью эти условия позволяют использовать метод зеркальных отражений для
расчета линейной плотности тока л и магнитного поля H в окружающем проводники
пространстве.
16
4.2. Поле линейного провода с током около идеально проводящей плоскости.
Рис. 7.
Рассматриваем бесконечно длинный и бесконечно тонкий провод, расположенный
параллельно плоскости, ограничивающей полупространство с идеальной проводимостью
(рис. 7). В проводе идет ток I. Обратный ток –I протекает по плоскости z = 0.
Условия на границе идеального проводника (на плоскости), а именно H = 0 и E = 0
позволяют применить метод зеркальных отображений для расчета магнитного поля.
Заменяем идеально проводящее полупространство непроводящей средой, в которой
размещен провод с зеркальным током противоположного направления –I.
Напряженность магнитного поля одного из проводов просто определяется из закона
I
полного тока H1 
, где r – длина радиус-вектора r, расстояние точки пространства от
2r
провода. В точках на плоскости z = 0 проекция H1 на направление оси y
a
Ia
Ia
H1, y  H1Cos  H1 

.
2
r 2r
2 y 2  a 2 
Выполняя сложение векторов напряженности магнитного поля основного тока и
зеркально отраженного тока, получим значения напряженности поля на плоскости z = 0.
Ia
(20)
H z  0  H1  H 2 
.
2
 ( y  a2 )
Из построения (рис. 7) следует, что нормальная составляющая напряженности
магнитного поля на границе – плоскости z = 0 равна нулю
Hnz=-0 = 0.
(21)
Решения уравнений электромагнитного поля (уравнений Максвелла) для однородной
среды единственным образом определяются начальными и граничными условиями. В
случае провода, проходящего над идеально-проводящей поверхностью, и в случае двух
параллельных проводников со встречными токами граничные условия на плоскости z = 0
совпадают и определяются (21). Следовательно, конфигурация магнитного поля слева от
границы (при z < 0) в обоих случаях совпадает. Это позволяет утверждать, что
касательная составляющая напряженности магнитного поля на сверхпроводящей
поверхности определяется соотношением (20).
В соответствии с (19) получаем, что линейная плотность тока в сверхроводящей
поверхности определяется соотношением
17
Ia
(22)
.
 ( y  a2 )
График распределения линейной плотности тока  л в сверхпроводящей поверхности
показан в правой части рис. 7.
В случае переменного тока и резко выраженного поверхностного эффекта (    ),
когда глубина проникновения поля в проводник   a , линейная плотность тока
принимает близкие к найденным значения
Ia
(23)
л 
,
2
 ( y  a2 )
а распределение тока в поверхностном слое в направлении координаты z примерно
соответствует распределению тока в задаче о проникновении однородного
электромагнитного поля в проводящее полупространство (рис. 5, (14), (15)).
л  
2
Соотношение (23) и рис.7 иллюстрирует один из эффектов, свойственных
распределению переменного или импульсного электромагнитного поля в проводниках,
который называется эффектом близости.
Определение. Эффект близости – это явление, наблюдаемое в системе из нескольких
проводников (двух и более), заключающееся во взаимном влиянии проводников с током
на распределение тока в этих проводниках.
5. Массивные проводники как элементы электрических цепей.
Определение. Массивным проводником называется проводник, характерные размеры
которого существенно превосходят глубину проникновения электромагнитного поля в
металл этого проводника.
Из этого определения следует, что массивнее проводники работают в условиях резко
выраженного поверхностного эффекта. В настоящем разделе рассматриваются свойства
массивных проводников, как элементов электрических цепей.
Классическая теория электрических цепей оперирует элементами с сосредоточенными
параметрами четырех видов:
 активное сопротивление – R,
 индуктивность – L,
 емкость – С,
 взаимная индуктивность – M.
Целесообразность применения этих параметров определяется тем, что каждый из этих
параметров, и только он один, определяет соотношение между током i(t) и падением
напряжения u(t) на этом элементе электрической цепи.
Например, для активного сопротивления R это соотношение называется закон Ома
(первая строка таблицы 6), для индуктивности L - закон электромагнитной индукции
(вторая строка таблицы 6) и т.д.
В новейших исследованиях [5, 6] показано, что существует параметр S, который
определяет соотношения между током i(t) и падением напряжения u(t) на массивном
проводнике. Этот параметр называется скиновый параметр массивного проводника S.
В электрических цепях переменного тока частотой  соотношение между током I 
и падением напряжения U   для массивного проводника следующее
18


U    jLe  j  S  I ,
(24)
где Le - внешняя индуктивность массивного проводника, связанная с внешним магнитным
полем, создаваемом током в массивном проводнике, S - скиновый параметр, который
учитывает вклад электромагнитного поля внутри металла в падение напряжения на
массивном проводнике.
В импульсных процессах при нулевых начальных условиях (u(0) = 0, i(0) = 0) падение
напряжения u(t) на массивном проводнике определяется так.
t
di
i( )
(25)
u (t )  Le  S 
d .
dt
t 
0
На практике параметры массивных проводников Le и S определяют для элементов
электрических цепях мощных импульсных установок, для индукторов (реакторов) с
массивными витками и для других устройств, работающих при больших импульсных
токах.
Параметры массивных проводников можно измерить стандартными приборами (L-CR meter), измеряющими индуктивности и сопротивления на переменном токе в диапазоне
частот от 1 кГц до 1 МГц При этих измерениях следует в рабочем диапазоне частот
измерить активную и реактивную часть импеданса массивного проводника
Z S    jLe  j  S , то есть


 S,
Re Z   

2

(26)
 1 ImZ    L  1 S .
e

2
.
Далее по результатам измерений находят два числа Le и S, которые обеспечивают
наилучшее приближение к аппроксимации (26).
19
Таблица 6. Соотношения между током it  и напряжением u t  для элементов
электрической цепи.
№ Наименование Обозн.
параметра
1 Сопротивление
R
Размерность
Ом
2
Индуктивность
L
Гн  Ом  с
3
Емкость
C
Ф  с Ом
4
Скиновый
параметр
S
Ом  с
Падение напряжения
Ток
u=Ri
u
R
t
1
i(t )  i(0)   u ( )d
L0
uL
i
di
dt
t
u (t )  u (0) 
t
u (t )  S 
0
1
i( )d
C 0
i( )
d
t 
i(t )  C
du
dt
1 u ( )
i(t ) 
d
S 0 t  
t
Соотношения между током и напряжением(24) и (25) позволяют сформулировать
уравнения Кирхгофа для электрических контуров с массивными проводниками и
рассчитать установившиеся (для переменного тока) и переходные процессы в этих
контурах. При этом с математической точки зрения уравнения Кирхгофа получаются в
форме интегро-дифференциальных уравнений, которые можно преобразовать в
1
интегральные равнения с сингулярным ядром
. Численные решения этих
t 
интегральных уравнений и, тем самым временные зависимости токов и напряжений в
электрических контурах, могут быть получены методом конечных разностей.
Понятия «массивный проводник» полезно не только при расчете переходных
процессов, но также имеет практическое значение при экспериментальном исследовании
электрических цепей мощных импульсных установок.
20
Список литературы
1. И.А. Гольдфайн. Векторный анализ и теория поля. М.:, «Наука», 1968 г.
2. Г. Корн и Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и
инженеров. М.:, «Наука», 1973 г.
3. Л.Р. Нейман и К.С. Демирчян. Теоретические основы электротехники, т. 1 и т. 2.,
Л.:, «Энергия», 1967 г.
4. К. Шимони. Теоретическая электротехника. М.:, «Мир», 1964 г.
5. Б.Э. Фридман. Скин-эффект в массивных проводниках электроимпульсных
установок. I. Электромагнитное поле в массивных проводниках. II. Массивные
проводники в электрических цепях. Журнал технической физики, 2002, том. 72, вып. 9,
сс. 41 – 56.
6. B.E. Fridman. Transients in Pulsed Electrical Circuits with Massive Conductors. IEEE
Transactions on Plasma Sciences, 2006, vol. 34, No. 5, pp. 1938 – 1941.
21
СОДЕРЖАНИЕ
1.
2.
3.
4.
5.
Предисловие
Краткие сведения из математической теории поля
Уравнения электромагнитного поля Максвелла
Проникновение электромагнитного поля в металл
Поверхностный эффект в проводниках сложной формы
Массивные проводники как элементы электрической цепи
Список литературы
22
3
4
7
10
16
18
21
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ
Текст лекций
Санкт-Петербург
2011
Автор: доктор технических наук Б.Э. Фридман
Рецензенты:
Заведующий кафедрой № 33 ГУАП, доктор технических наук,
профессор А.А. Ефимов.
Начальник лаборатории ФГУП «НИИЭФА им. Д.В. Ефремова»,
доктор физико-математических наук Н.В. Калинин.
Приведены краткие основы теории силового действия в электромагнитном
поле, необходимые для усвоения теоретических разделов курса «Электрические и
электронные аппараты».
Предназначены для студентов третьего курса, обучающихся по специальностям
«Электромеханика» и «Техническая физика термоядерных реакторов и плазменных
установок.
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Значительная часть курса «Электрические и электронные аппараты» посвящена
изучению явлений, связанных с силовым действием электромагнитного поля
Изложение и объяснение этих явлений на современном уровне возможно только на
основе соответствующих разделов теории электромагнитного поля. Однако, в
настоящее время объем обучения дисциплины «Теоретические основы
электротехники» сокращен и знаний теории электромагнитного поля у студентов,
обучающихся по специальностям «Электромеханика», недостаточно для
понимания электродинамических процессов в электротехнических устройствах.
Кроме того, необходимые сведения из теории электромагнитного поля отсутствуют
в учебниках по курсу «Электрические и электронные аппараты», которые в своем
большинстве были написаны во времена, когда «Теория электромагнитного поля»
преподавалась в должном объеме всем студентам электрических специальностей.
Поэтому преподаватель курса «Электрические и электронные аппараты» вынужден
значительную часть лекционного времени уделять разъяснению основных понятий
теории электромагнитного поля, на которых строится современное изложение
электродинамических взаимодействий в электромагнитных полях. С другой
стороны у студентов нет учебного пособия, которое бы в необходимом объеме
описывало теоретические основы указанных явлений.
Настоящее учебное пособие является продолжением материала, изданного
ранее [1]. Оно призвано помочь студентам в усвоении теории явлений, связанных с
силовым действием электромагнитного поля.
3
1. Основные соотношения
В электромагнитном поле на движущуюся заряженную частицу действует сила
Лоренца
f  qE  qu  B,
где E – напряженность электрической составляющей поля, B – индукция
магнитной составляющей поля, q - заряд частицы и u – вектор скорости частицы..
Для
электромагнитного
поля,
действующего
в
промышленных
электроустановках, можно, как правило, пренебречь силовым действием вектора E.
При этом, суммируя силу Лоренца по носителям заряда, проходящим через
элементарный объем проводника, можно получить выражение для объемной
электродинамической силы
(1)
f  δ  B,
где  - вектор плотности тока в проводнике.
Определение. Объемной электродинамической силой (пондеромоторной
силой) называется сила f, действующая на единичный объем проводника в
электромагнитном поле при прохождении электрического тока в проводнике.
Для однородной изотропной проводящей среды величина объемной
электродинамической силы определяется (1). Для среды с переменной магнитной
проницаемостью µ
1
(2)
f  δ  B  H 2grad.
2
В общем случае для любого тела или любой односвязной замкнутой области
пространства величина суммарной электродинамической силы, действующей в
электромагнитном поле на это тело или область, определяется [3]
1


F    HH  n   H 2n dS ,
(3)
2

S 
где H – значения вектора напряженности магнитного поля в точке интегрирования
на поверхности S, окружающей данное тело или область пространства, n –
единичный вектор внешней нормали в точке интегрирования на поверхности S.
Примечание. Интегральная формула (3) может быть выведена из (1) с
помощью теоремы Гаусса [1].
2. Наиболее важные применения основных соотношений
2.1. Силы действующие, на тонкий проводник с током I.
Тонким проводником называем проводник, у
которого размеры сечения существенно меньше
размеров,
характеризующих
пространственное
изменение поля, в том числе глубины скин-слоя в
металле проводника, и радиуса кривизны средней линии
проводника.
Выделим
элементарный
отрезок
проводника длиной dl. На этот отрезок во внешнем
магнитном поле B действует сила dF, величина и
направления которой могут быть определены
суммированием объемных сил f, действующих в этом
Рис. 1. Тонкий
отрезке.
проводник с током I
4



dF   f  dl  ds   δ  Bdl  ds    δds  dl   B .
s
s

 s

где s – площадь сечения проводника,.
Обозначим, dl – это вектор, величина которого равна длине элементарного
отрезка dl, а направление совпадает с направлением касательной к линии,
проходящей через центра сечений проводника, и направлением протекания тока I.
Тогда  δds  dl  I  dl , и величина электродинамической силы, действующей на
s
элементарный отрезок тонкого провода
dF = I[dlB] .
[4]
2.2. Электродинамическое давление на металлическую поверхность при резком
скин-эффекте.
Рассмотрим малую область у поверхности
проводника, для которого имеет место резкий
скин-эффект при протекании переменного или
импульсного тока (рис. 2). Аналогично [1]
выберем координатную систему таким образом,
чтобы оси x, y находились на поверхности
проводника, ось x совпадала с направлением
вектора напряженности электрического поля E,
ось y совпадала с направлением вектора
напряженности магнитного поля H, ось z
направлена по нормали в глубину металла.
В металле, у поверхности проводника
Рис.
2.
Одномерное
действует объемная электродинамическая сила
электромагнитное
поле
в
f  δ  B , которая направлена по оси z (рис. 2) и
проводящем полупространстве.
величина ее fz = xBy = µxHy.
Давление переменного или импульсного магнитного поля p определяем как
результат суммирования силы f по координате z.


0
0
p   fdz  0   x H y dz.
H y
  x . Следовательно, давление
z
переменного или импульсного магнитного поля на металлическую поверхность

H y
0 H 0 2 B0 2
(5)
p   0  H y
dz 

.
z
2
2 0
0
Необходимо понимать, что в реальности переменное или импульсное
магнитное поле создает объемные электродинамические силы в поверхностных
слоях металла, а давление есть всего лишь результат сложения этих сил в
поверхностном слое, где протекает ток.
Но из закона полного тока следует, что 
5
2.3. Электродинамическая сила, действующая на проводящее тело в условиях
идеального скнн-эффекта
При идеальном скин-эффекте [1] вектор напряженности магнитного поля H на
поверхности тела направлен по касательной. Этот факт позволяет преобразовать
соотношение (3). Выберем во внешней среде замкнутую поверхность S, которая
прилегает к поверхности тела. Учитывая, что на поверхности тела H  n  S  0 ,
получим из (3), что суммарная электродинамическая сила, действующая на
проводящее тело,
H 2
F  
ndS    pdS ,
(6)
2
S
S
где dS = ndS – вектор элементарной площадки на поверхности тела,
0 H 2 B 2
p

- давление переменного или импульсного магнитного поля на
2
20
поверхность тела (то есть результат сложения объемных сил, действующих в
поверхностном слое металла). На практике формулу (6) применяют при резко
выраженном поверхностном эффекте.
Важно
отметить,
что
давление
переменного
или
импульсного
электромагнитного поля p численно равно плотности энергии этого поля.
Полученный результат показывает, что понятием давления переменного или
импульсного поля можно пользоваться в условиях резкого скин-эффекта для
вычисления сил, действующих на проводящие тела произвольной формы.
3. Силы в системе с ферромагнитными телами.
3.1. Особенности преломления силовых линий постоянного магнитного поля на
границе ферромагнитной среды [2].
Утверждение. На границе ферромагнитного тела линии вектора индукции
постоянного магнитного поля B практически перпендикулярны к поверхности тела
S, то есть B  n  S  0 .
Рассмотрим окрестность границы ферромагнитной
среды (рис. 3). Считаем, что среды по обе стороны границы
однородные и изотропные. Магнитные силовые линии, то
есть линии вектора индукции магнитного поля B,
преломляются (изменяют направление) на границе двух
сред с различной магнитной проницаемостью. Пусть в
неферромагнитной среде угол между внешней нормалью к
границе и направлением вектора B1 составляет 1, а в
Рис. 3. Преломление ферромагнитной среде угол между внутренней нормалью к
линий B на границе границе и направлением B2 равен 2. Выберем замкнутый
объем V, ограниченный двумя плоскими поверхностями S1
ферромагнетика.
и S2, прилегающими к границе ферромагнетика, а также
цилиндрической поверхностью, соединяющей контуры
площадок S1 и S2 (рис. 3).
6
Из принципа непрерывности магнитного потока [1] следует
 B dS  0,
то есть
S
количество линий входящих в объем V, ограниченный замкнутой поверхностью S,
должно быть равно количеству выходящих силовых линий.
 B dS   B dS   B dS   Bn,1dS   Bn,2dS  0,
S
S1
S2
S1
S2
так как на поверхности S1 вектор dS S  ndS S , а на поверхности S2 вектор
1
dS S  ndS S
2
1
и нормальная составляющая вектора индукции магнитного поля
2
равна Bn = (B  n). Учитывая, что S1 = S2, получим
Bn,1 = Bn,2.
Следовательно, при прохождении через границу ферромагнитной среды
нормальные составляющие индукции магнитного поля Bn,1 и Bn,2 сохраняют свои
значения и
B1Cos(1) = B2Cos(2).
(7)
Выберем замкнутый контур abcda у границы
ферромагнетика так, чтобы линия ab проходила бы во
внешней среде у поверхности ферромагнетика, а линия cd
располагалась в ферромагнетике также у поверхности (рис.
4). В соответствии с законом полного тока циркуляция
вектора напряженности магнитного поля по выбранному
контуру  H  dl  0. Но  H  dl  H ,1 ab  H , 2 cd  0, где
Рис. 4. Преломление
abcda
abcda
линий H на границе |ab| = |cd| длины соответствующих отрезков. Отсюда
ферромагнетика.
получаем
H,1 = H,2.
Следовательно, при прохождении через границу ферромагнитной среды
касательные составляющие напряженности магнитного поля H,1 и H,2 сохраняют
свои значения и
H1Sin(1) = H2Sin(2).
(8)
Используя (7) и (8) имеем
B1Cos 1  B2 Cos 2 

.
H 1 Sin 1  H 2 Sin 2 
Учитывая, что B1 = µ0H1 и B2 = µ0µaH2 получим
1
tg 1  
tg  2 .
a
Для используемых в промышленности ферромагнитных материалов
относительная магнитная проницаемость является очень большим числом (µa  103
 105). Отсюда следует, что tg(1)  0 и 1  0, то есть магнитные силовые линии
(линии вектора индукции магнитного поля B) пересекают границу
ферромагнитных тел практически под прямым углом.
7
3.2. Сила, действующая в постоянном магнитном поле на ферромагнитное тело.
Рассмотрим ферромагнитное тело произвольной формы, находящееся в
постоянном магнитном поле. Окружим это тело замкнутой поверхностью S,
которая проходит в неферромагнитной среде в непосредственной близости от
поверхности тела. Сила, действующая в магнитном поле на ферромагнитное тело,
может быть вычислена в соответствии с (3) по значениям напряженности
магнитного поля в точках поверхности S.
1


F    0 H H  n   0 H 2n dS.
2

S 
Учитывая, что вектор напряженности магнитного поля H у поверхности
ферромагнитного тела и на поверхности S направлен по нормали и (H  n) = |H| = H,
получим
 H2
F 0
ndS   pdS ,
(9)
2
S
S
где dS = ndS – вектор элементарной площадки на поверхности тела, p 
0 H 2
2
плотность поверхностной силы, действующей в постоянном магнитном поле на
ферромагнитное тело, которая численно равна плотности энергии магнитного поля.
Заметим, что полученное выражение для силы (9) похоже на выражение для
силы, действующей на проводящее тело в переменном или импульсном
электромагнитном поле (6); отличие только в знаке перед интегралом. Направление
силы, действующей на ферромагнитное тело противоположно направлению силы,
действующей в переменном или импульсном магнитном поле на проводящие
неферромагнитные тела. В постоянном магнитном поле ферромагнитное тело
притягивается к источнику магнитного поля (например, к полюсам магнита) и сила
действует в направлении градиента плотности энергии поля gradp. В переменном
или импульсном магнитном поле на проводящие неферромагнитные тела действует
сила в направлении противоположном направлению gradp, то есть в сторону
ослабления поля.
3.3. Метод зеркальных изображений
Доказанный в п. 3.1 факт, что магнитные силовые линии практически
перпендикулярны поверхности ферромагнитного тела, позволяет в ряде случаев
упростить анализ и расчет распределения постоянного поля в системе с
ферромагнитными телами. Покажем это на примере провода с постоянным током,
который проходит вдоль плоской границы ферромагнитного тела (рис. 5).
8
Рис. 5.. Поле провода с
постоянным током около
плоской поверхности
ферромагнитного тела
На границе ферромагнетика (в плоскости x
= 0) касательная составляющая вектора
индукции магнитного поля B = 0. Если
ферромагнитное
пространство
заменить
диэлектрической средой, в которой размещен
симметрично относительно границы (плоскости
x = 0) второй проводник с током такого же
направления, то на граничной плоскости, в силу
симметрии, касательные составляющие вектора
индукции магнитного поля будут также равны
нулю. Но распределение электромагнитного
поля в пространстве единственным образом
определяется граничными условиями, то есть
условиями на плоскости x = 0.
Следовательно, для расчета или анализа распределения поля проводов с током,
проходящих над плоской поверхностью ферромагнитного тела, мы можем
использовать метод зеркальных изображений, при котором ферромагнитная среда
заменяется симметрично расположенными проводниками с током того же
направления. Это упрощает вычисление сил, действующих на проводники с током
у поверхности ферромагнетиков. Так, например, для провода с постоянным током
проходящего около плоской поверхности ферромагнитного тела (рис. 5), величину
силы, с которой провод притягивается к ферромагнетику можно определить по
известной формуле для силы, действующей между параллельными проводами с
током
2
0 2 2l 
 a   a 

F
i
1      .
4 a 
 l   l 

Заметим, что метод зеркальных изображений мы применяли для анализа
распределения переменного или импульсного электромагнитного поля в случае
идеального или резко-выраженного скин-эффекта в проводящем полупространстве
[1]. При этом в зеркальном проводе направление тока было противоположное
направлению основного тока.
4. Энергетический метод определения электродинамических сил
4.1. Теоретические основы энергетического метода.
Энергетический метод определения электродинамических сил основан на
общих принципах классической механики.
Определение 1. Обобщенными координатами xk динамической системы
называются независимые параметры любой размерности, число которых равно
числу степеней свободы системы и которые однозначно определяют положение
(динамическое состояние) системы.
Для
задач
электромеханики
кроме
координат,
определяющих
пространственное положение элементов системы, в качестве обобщенных
координат могут быть использованы электрические заряды qk, токи в контурах ik,
магнитные потоки k или потокосцепления k и другое
9
Пусть выполнено малое, виртуальное перемещение xk только по одной из
обобщенных координат xk. При этом будет совершена виртуальная работа Ak.
Определение 2. Обобщенной силой Fk называются коэффициент
пропорциональности в выражении (10), устанавливающем связь между
виртуальным перемещением xk и виртуальной работой Ak.
Ak = Fkxk.
(10)
В качестве обобщенных сил кроме механических сил и моментов в
электромеханике используются электродвижущие силы в электрических контурах
ek, магнитодвижущие силы в контурах магнитных цепей Fk и другое.
Если в системе нет диссипативных потерь (перемещение по обобщенной
координате не приводит к необратимым тепловым потерям энергии), то любая
работа, выполняемая в динамической системе, равна изменению энергии в этой
системе. В том числе, виртуальная работа, выполняемая обобщенной силой Fk,
приводит к соответствующему изменению энергии в системе W = Ak. В этом
случае обобщенная сила Fk может быть вычислена, как частная производная от
энергии системы по обобщенной координате xk.
W
Fk 
.
xk
Электродинамические силы Fe,k проявляются в магнитных полях и действуют
на проводники с током и намагниченные тела. Виртуальная работа
электродинамической силы Ae,k = Fe,kxk приводит к малому, виртуальному
изменению энергии магнитного поля Wm в системе
Wm = Ae,k.
Энергетический метод определения электродинамических сил состоит в том,
что обобщенная электродинамическая сила Fe,k, соответствующая обобщенной
координате xk, вычисляется как частная производная от энергии магнитного поля
Wm по этой обобщенной координате xk.
Wm
Fe, k 
.
(10)
xk
Электродинамическая сила всегда направлена в сторону увеличения энергии
магнитного поля в системе.
4.2. Электродинамическая сила, действующая на элементы одного контура с
током i.
В этом случае энергия магнитного поля
1
Wm  Li 2 ,
2
где L – индуктивность контура, i – ток в контуре.
Если обобщенной координатой x является какой-либо размер, при изменении
которого меняется конфигурация и энергия магнитного поля, то обобщенная сила
Fe, соответствующая координате x, определяется следующим образом
Wm
i 2 L
Fe 

.
(11)
x i  const 2 x
10
Для вычисления силы Fe требуется знать зависимость L(x). В ряде простых
случаев известны формулы, выражающие эту зависимость, и почти всегда функция
L(x) может быть измерена.
Рис. 6. Силы,
действующие на
кольцо
из
тонкого провода
с током
Пусть контур с током представляет собой кольцо радиуса R
из тонкого круглого провода, радиус сечения которого a. В
проводе протекает постоянный ток i. На элементарные отрезки
этого контура действует распределенная электродинамическая
сила p. Индуктивность такого контура [2]
 8R 7 
L   0 R ln
 .
 a 4
Выберем в качестве обобщенной координаты радиус кольца
R. Виртуальное перемещение по координате R приводит к
увеличению радиуса кольца на величину R (рис. 6). При этом
выполняется работа Ae = Fe R.
Электродинамическая сила Fe, соответствующая выбранному виртуальному
перемещению R, представляет собой результат сложения по абсолютной величине
распределенной электродинамической силы p, действующей на элементарные
отрезки витка.
i 2 L  0i 2  8 R 3 
Fe   p dl 

 ,
 ln
2 R
2  a 4

где  - контур интегрирования, окружность, проходящая через центры сечений
провода.
4.3. Электродинамическая сила, действующая на элементы двух контуров.
Пусть в двух электрических контурах протекают токи i1, i2 и между контурами
существует индуктивная связь. В этом случае энергия магнитного поля
1 2 1
2
(12)
Wm  L1i1  L2i2  Mi1i2 ,
2
2
где L1 и L2 собственные индуктивности первого и второго контуров, M –
коэффициент взаимной индуктивности между контурами.
В качестве обобщенной координаты x выберем какой-либо размер, при
изменении которого меняется конфигурация и энергия магнитного поля.
Если в результате движения по обобщенной координате x изменяется L1 и M,
1 2 L1
M
то Fe  i1
 i1i2
. Если же при движении по обобщенной координате x
2 x
x
изменяется только M, то
M
(13)
Fe  i1i2
.
x
11
Рис. 7. Электродинамическая
сила Fe, действующая между
двумя концентричными витками
с токами. Направление силы Fe
соответствует токам в витках
одного направления.
Рис. 8. Графики функций f(k) и
f
.
k
Пусть два контура представляют собой два концентричных витка тонкого
провода, радиусов R1 и R2, расположенных на одной оси в параллельных
плоскостях (рис. 7). Определим электродинамическую силу Fe, действующую
между этими витками при протекании по ним токов i1 и i2. Силе Fe соответствует
обобщенная координата x, расстояние между плоскостями витков. В выражении
для энергии магнитного поля двух индуктивно связанных контуров (12) от
координаты x зависит только коэффициент взаимной индукции M [2].
M  0 R1R2 f (k ),
где
4 R1 R2
(14)
k
,
2
2
x  R1  R2 

2
f (k )  k 
2 sin 2   1
d – функция, которая может быть выражена через полные
2
2
1

k
sin

0
эллиптические интегралы [2] (рис. 8). Параметр k называется модулем
эллиптических интегралов.
M
f k
20 xR1R2
f
 0 R1R2


 , (15)
3
2
x
k x
x 2  R  R  2 k

1
2

где

f 2 2 sin 2   1

d .
(16)
3
k 0
2
2
2
1  k sin 
f
Графики функций f(k) и
, вычисленные в программной среде Mathcad,
k
представлены на рис. 8. В соответствии с (13) и (15) электродинамическая сила,
действующая между контурами,


12
Fe  
x
20i1i2 R1R2 x


f
.
k
(17)
 R1  R2 
Для определения величины электродинамической силы Fe следует:
 вычислить по формуле (14) численное значение модуля эллиптических
интегралов k;
 определить по графику рис. 8 или рассчитать по формуле (16) (например, в
f
программной среде Mathcad) величину
;
k
f
 подставить найденное значение
, геометрические размеры витков и токи
k
в витках в формулу (17) и вычислить Fe.
f
Функция
 0. Обобщенная координата x  0, так как это расстояние между
k
плоскостями витков. Выражение (17) показывает:
 Если токи i1 и i2 одного направления, то произведение i1i2 > 0 и значение
силы Fe < 0. Это означает, что сила Fe направлена в сторону уменьшения
обобщенной координаты x. Таким образом, витки с токами одного направления
притягиваются.
 Если токи i1 и i2 направлены встречно, то произведение i1i2 < 0 и значение
силы Fe > 0. Это означает, что сила Fe направлена в сторону увеличения
обобщенной координаты x. Следовательно, витки с токами встречного направления
отталкиваются.
2
2
3
2
5. Применение уравнений Лагранжа второго рода для вывода уравнений,
описывающих динамическое состояние электромеханической системы.
Определение электродинамических сил, как правило, не является конечной
целью расчета электромеханической системы. Значения этих сил нужны для
анализа прочности конструкций системы, а также для расчета движения элементов
в этих системах под действием электродинамических сил. С другой стороны
перемещение элементов оказывает влияние на переходные процессы в
электрических контурах системы. Поэтому необходимо иметь метод, позволяющие
рассчитать процессы в электромеханической системе с учетом взаимного влияние
электрических переходных процессов и процессов, связанных с движением
элементов системы под действием электродинамических сил. Таким
универсальным методом является метод, основанный на применении уравнений
Лагранжа второго рода.
5.1. Общие положения.
В классической механике уравнения Лагранжа второго рода используют для
решения задач динамики голономных механических систем (то есть систем с
геометрическими связями, которые накладывают ограничения на движение
элементов этих систем). В электромеханике также можно использовать метод,
основанный на применении уравнений Лагранжа второго рода [4], имея в виду
определения обобщенных координат и обобщенных сил, приведенные в разделе
4.1.
13
Определение 3. Функцией Лагранжа называется функция
L = T - ,
(18)
где T = K + Wm – кинетическая энергия электромеханической системы, функция
времени t, обобщенных координат и производных по времени t от этих координат,
 - потенциальная энергия электромеханической системы, функция
обобщенных координат (например, энергия, запасенная в сжатой пружине или в
заряженном конденсаторе),
K - кинетическая энергия движущихся тел в системе,
Wm – энергия магнитного поля в системе, определяемая, например,
соотношением (12) для двух контуров с током.
Уравнения Лагранжа второго рода
d L L
(19)

 Fk , k  1, 2, ..., n,
dt x k xk
где xk и x k - обобщенные координаты и скорости, Fk - обобщенные
непотенциальные силы, связанные с необратимыми потерями энергии (например,
силы трения, силы сопротивления среды, в которой производится движение,
падение напряжения на резисторах в электрической цепи и т.п.), n – число степеней
свободы электромеханической системы и число уравнений в системе
дифференциальных уравнений (19).
Уравнения Лагранжа второго рода дают универсальный метод вывода
обыкновенных дифференциальных уравнений для обобщенных координат
электромеханической системы
5.2. Задача о рельсотроне.
Рельсотрон (Railgun) – это импульсный электродинамический ускоритель масс.
В простейшем случае состоит из двух параллельных металлических рельсов,
подключенных к источнику большого импульсного тока. Вдоль рельс движется и
разгоняется токопроводящая перемычка (металлическое тело или плазменный
поршень), через которую импульсный ток переходит с одного рельса на другой. В
последние два десятилетия технология метания тел с использованием рельсотронов
получила большое развитие. Регулярно, раз в два года в Европе проводят научные
конференции (Electromagnetic launch Symposium), на которых обсуждаются
научные и технические проблемы электрических метательных установок. В
декабре 2010 г. в США были проведены испытания рельсотрона, при которых тело
массой 9 кГ было разогнано до скорости 2,7 км/с (кинетическая энергия 33 МДж).
14
На рис. 9 представлена схема питания
рельсотрона, в которой в качестве источника
импульсного тока использована конденсаторная
батарея емкостью С, предварительно заряженная
Рис. 9. Схема питания до напряжения U0.
простейшего рельсотрона
До начала разрядного процесса метаемое тело массой m находится в начале
рельсов x t  0  0 . В момент времени t = 0 ключ S замыкается, и импульс тока
разряда конденсатора i(t) проходит через рельсы и метаемое тело; появляется
электродинамическая сила Fe, которая разгоняет тело.
Индуктивность разрядного контура L(x) зависит от текущей координаты
ускоряемого тела x.
L(x) = L0 + L\x.
(20)
L
где L 
 const - погонная индуктивность рельсотрона.
x
В качестве обобщенных координат выберем:
t

Q  Cu  Cu0   idt - заряд конденсатора.
0
 x –координата метаемого тела на рельсах.
Обобщенные силы:
 FQ   RQ  Ri - обобщенная сила, соответствующая обобщенной
координате Q, численно равная падению напряжению на резисторе R и
определяющая диссипативные потери энергии в электрическом контуре.
 Fc - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате x,
определяющая диссипативные потери на трение при движении тела,
Вычислим функцию Лагранжа L для электромеханической системы рис. 9.
Считаем, что рельсы расположены горизонтально и при движении тела его
потенциальная энергия в гравитационном поле Земли не изменяется. Поэтому
потенциальная энергия присутствует в системе только в виде энергии
электрического поля конденсатора С.
Cu 2 Q 2


.
2
2C
Кинетическая энергия движущегося тела
mx 2
K
,
2
dx
где x 
- скорость движения тела.
dt
Энергия магнитного поля в системе (в контуре рис. 9)
L( x)i 2 L  Lx Q 2
Wm 

,
2
2
15
dQ
где Q 
 i - скорость изменения обобщенной координаты Q.
dt
Таким образом, в соответствии с (18)
L  Lx Q 2  mx 2  Q2 .
(21)
L 0
2
2
2C
1) Для обобщенной координаты Q
L
d L d
L Q
L0  Lx Q .
  u,
 L0  Lx Q ,

Q
dt Q dt
Q C
Согласно (19)
d L L d
Q
x Q   FQ   RQ .



L

L
0
dt Q Q dt
C
Q
Учитывая Q  i,
 u, получим дифференциальное уравнение для
C
электрического переходного процесса в контуре рис. 9.
d
(22)
L0  Lx i  Ri  u  0.
dt
2) Для обобщенной координаты x
L LQ 2 Li 2 L
d L


,
 mx,
 mx,
x
2
2
x
dt x
d 2x


где x  2 - ускорение метаемого тела.
dt
Отсюда получаем дифференциальное уравнение движения, описывающее
i 2 L
разгон тела в рельсотроне под действием электродинамической силы Fe 
2 x
1 2
(23)
mx  Li  Fc .
2
du
i
Учитывая, что
  , и принимая во внимание начальные условия задачи,
dt
C
получим систему обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений 4-го
порядка, описывающие динамически е процессы в рельсотроне и контуре рис. 9.
d
 dt L0  Lx i   Ri  u  0,
 du
i
  ,
 dt
C
(24)
 d 2x 1
m 2  Li 2  Fc ,
2
 dt
dx

 0.
i t  0  0, u t  0  U 0 , x t  0  0, dt
t 0

Численное решение системы уравнений (24) и расчет динамических процессов
в системе могут быть выполнены, например, в программной среде Mathcad или
Matlab с помощью стандартных процедур численного интегрирования.



16

Заметим, что в (24) L0  Lx i   - это потокосцепление рельсотрона, L0 начальная индуктивность контура. Следовательно, первое уравнение в (24) это
уравнение баланса напряжений для электрического контура рис. 9. Величина
i2
электродинамической силы Fe  L может быть определена энергетическим
2
методом (пункт 4.2). То есть третье уравнение в (24) это уравнение движения
материальной точки массой m под действием электродинамической силы Fe и силы
сопротивления Fc. Таким образом, в рассматриваемом случае (рис. 9) уравнения
движения и электрического переходного процесса можно вывести без привлечения
техники уравнений Лагранжа второго рода. Однако на практике встречаются
случаи с более сложными связями в электромеханических системах, где вывод
уравнений для расчета динамических процессов не очевиден и требует применения
изложенного в этом разделе универсального метода, основанного на уравнениях
Лагранжа второго рода.
17
Список литературы
1. Б.Э. Фридман. Электромагнитное поле в проводниках. Текст лекций, ГУАП,
2010 г.
2. Л.Р. Нейман и К.С. Демирчян. Теоретические основы электротехники, т. 1 и
т. 2., Л.:, «Энергия», 1967 г.
3. К. Шимони. Теоретическая электротехника. М.:, «Мир», 1964 г.
4. А.Л. Наумов, Н.И. Жигоцкая, Э.В. Лузик. Аналитическая электромеханика.
«Вища школа», Киев, 1974 г..
18
СОДЕРЖАНИЕ
1
2
2.1
2.2
2.3
3
3.1
3.2
3.3
4
4.1
4.2
4.3
5
5.1
5.2
Предисловие
Основные соотношения
Наиболее важные применения основных соотношений
Силы, действующие на тонкий проводник с током
Электродинамическое давление на металлическую
поверхность при резком скин-эффекте
Электродинамическая сила, действующее на проводящее
тело в условиях идеального скин-эффекта
Силы в системе с ферромагнитными телами
Особенности преломления силовых линий магнитного
поля на границе ферромагнитной среды
Сила, действующая в постоянном магнитном поле на
ферромагнитное тело
Метод зеркальных изображений
Энергетический
метод
определения
электродинамических сил
Теоретические основы энергетического метода
Электродинамическая сила, действующая на элементы
одного контура с током
Электродинамическая сила, действующая на элементы
двух контуров с током
Применение уравнений Лагранжа второго рода для
вывода уравнений, описывающих динамическое
состояние электромеханической системы
Общие положения
Задача о рельсотроне
Список литературы
19
3
4
4
4
5
6
6
6
8
8
9
9
10
11
13
13
14
18