1 Задача 12.1 Имеются следующие данные о ценах на уголь и объемах его производства в РФ: Год 1999 2000 2001 Цена за 1 т, руб. 124 170 212 Произведено, млн. т 250 258 270 При условии 100%-ной реализации угля в каждом году определите цепные и базисные индивидуальные индексы цен, физического объема реализации и товарооборота. Проверьте взаимосвязь цепных и базисных индексов. Решение: 1. Определим базисные индексы цен: ipбаз=pn/p0, где pn,0 – цена единицы продукции периода n и базисного периода. Ipмбаз=170/124=1,371 т.е. 137,1% ip ибаз=212/124=1,710 т.е. 171,0% Т.е. по сравнению с 1999 г. в 2000 г. цены на уголь выросли на 37,1%, а в 2001 –на 71%. 2. Определим цепные индексы цен: ipцеп=pn/pn-1, ip мцеп=170/124=1,371 т.е. 137,1% ip ицеп=212/170=1,247 т.е. 124,7% Т.е. по сравнению с 1999 г. в 2000 г. цены на уголь выросли на 37,1%, а в 2001 по сравнению с 2000 г. – на 24,7%. Последовательно перемножение цепных индивидуальных индексов цены продукции дает возможность получить базисный индекс: 1,371*1,247=1,71- верно 2 Задача 12.4 Имеются следующие данные о реализации мясных продуктов на городском рынке: Продукт Говядина Баранина Свинина цена за 1 кг, руб. 70 60 90 сентябрь продано, ц 26,3 8,8 14,5 цена за 1 кг, руб. 80 60 95 октябрь продано, ц 24,1 9,2 12,3 Рассчитайте сводные индексы цен, физического объема реализации и товарооборота, а также величину перерасхода покупателей от роста цен. Решение: 1. Общий индекс цен равен: Ip=q1p1/q1p0, Где p1,0 –цена реализации продукции отчетного и базисного периодов; q1,0 –объем реализации продукции отчетного и базисного периодов. Составим следующую таблицу: Продукт Говядина Баранина Свинина Итого р0 70 60 90 q0 26,3 8,8 14,5 р1 80 60 95 q1 24,1 9,2 12,3 р0q0 1841 528 1305 3674 p0q1 1687 552 1107 3346 р1q1 1928,0 552,0 1168,5 3648,5 1. Определяем общий индекс цен Ip=3648,5/3346=1,090 Таким образом, в октябре по сравнению с сентябрем в результате роста цен стоимость проданной продукции возросла на 9%. 2) Определяем общий индекс товарооборота Ipg = 3648,5/3674= 0,9931 или 99,31 % 3)Находим общий индекс цен объема физической реализации 3 Iq = 3346/3671 = 0,9114 или 91,14 % Ipg = Iq • Ip = 0.9114 • 1.09 = 0.9931 Задача 12.5 Известны следующие данные о реализации фруктов предприятиями розничной торговли округа: ТОВАР Яблоки июль 30 Груши 40 Цена за 1 кг., руб. август 20 35 Количество, кг. июль август 143,5 167,1 38,9 45,0 Рассчитайте сводные индексы: а) товарооборота; б) цен; в) физического объема реализации. Определите абсолютную величину экономии покупателей от снижения цен. Решение: Сводный индекс товарооборота равен: I pq = 167,1+45 /143,5+38,9 = 212,1/ 182,4 =1,163 Т.е. в отчетном периоде по сравнению с базисным объем товарооборота вырос на 16,3%. Сводный индекс цен: Ip=212,1/302,1=0,702=70,2% Сводный индекс физического объема реализации Iq =1,163/0,702=1,656=165,6% В сводном индексе цен числитель представляет собой сумму, уплаченную покупателями за приобретенные в августе товары, знаменатель же показывает какую сумму уплатили бы покупатели в августе за то же количество товаров, если бы цены остались прежними. 4 Разность этих сумм по модулю показывает экономию для покупателей от снижения цен: 212,1-302,1=90 тыс. руб. Задача 12.2 Строительно–производственная деятельность двух строительных фирм города характеризуется следующими данными: Построено жилья, тыс.м2 2002 2003 53 68 179 127 Домостроительный комбинат ДСК-1 ДСК-2 Себестоимость1 м2, тыс. руб. 2002 2003 6,4 7,2 6,0 6,5 Определить: 1. индекс себестоимости переменного состава 2. индекс себестоимости фиксированного состава 3. индекс структурных сдвигов. Сделать вывод. Решение: Определим индивидуальные индексы себестоимости по каждому комбинату по формуле: Iz=7,2/6,4=1,125, то есть себестоимость на первом комбинате то есть себестоимость на втором комбинате увеличилась на 12,5 % Iz=6,5/6,0=1,083, увеличилась на 8,3%. Определим индивидуальные индексы себестоимости по двум комбинатам в целом: Iz=7,2+6,5/6,4+6,0=1,105, то есть себестоимость по двух комбинатам в целом увеличилась на 5%. Рассчитаем индекс средней себестоимости переменного состава по формуле: 5 Izпс=(68*7,2+127*6,5)/(127+68)*(179+53)/(53*6,4+179*6)=1,123, то есть под влиянием изменения индивидуальных себестоимостей и структурных сдвигов в постройке жилья средняя себестоимость увеличилась на 12,3 %. Рассчитаем индекс себестоимости постоянного состава по формуле: Izфс=(68*7,2+127*6,5)/(6,4*6,8+6,0*127)=1,098, то есть под влиянием изменения индивидуальных себестоимостей средняя себестоимость увеличилась на 9,8%. Этот противоречивый результат получился из-за структурных сдвигов. Определим индекс структуры по формуле: Izстр=1,123/1,098=1,023 Вывод: вследствие изменения структуры построенного жилья себестоимость увеличилась на 2,3%. Задача 7.4 По результатам зимней экзаменационной сессии одного курса студентов получено следующее распределение оценок по баллам: Балл оценки знаний студентов Число оценок, полученных студентами 2 6 3 75 4 120 5 99 Итого 300 Определите: а) средний балл оценки знаний студентов; б) модальный балл успеваемости и медианное значение балла; в) сделайте выводы о характере данного распределения. Решение: Подсчитаем средний балл по формуле средней арифметической взвешенной: Х=X•f/f, 6 где х- балл оценки знаний студентов; f- число оценок, полученных студентами. Расчеты выполним в таблице: Балл оценки знаний студентов, х 2 3 4 5 Итого Число оценок, Х∙f Накопленные частоты 6 75 120 99 300 12 225 480 495 1212 6 81 201 300 - Х=1212/30=4,04 балла Таким образом, средний балл сдачи экзаменационной сессии составил 4. Мода (Мо) - это значение варьирующего признака, наиболее часто встречающееся в данном ряду. Модой в дискретном ряду является вариант, имеющий наибольшую частоту. Поэтому мода равна Мо=4 балла. Медиана (Ме) - это численное значение признака у той единицы изучаемой совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда. Численное значение медианы можно определить по ряду накопленных частот. Накопленная частота для медианы равна половине объема совокупности. Половина частот равна 150, значит, медиана равна Ме = 4 балла. Таким образом, средний балл оценки знаний студентов равен 4. Значение моды равно 4, то есть чаще всего встречается балл оценки, равный 4. Значение медианы также равно 4 балла, значит, половина студентов имеют балл оценки менее 4, а половина более 4. Задача 7.6 Распределение торговых фирм по размеру месячного товарооборота характеризуется следующими данными: Товарооборот, млн. руб. До 5 5-10 10-15 15-20 20-25 25 и более Итого 7 Число фирм 20 26 20 14 10 10 100 Определите: а) средний размер месячного товарооборота на одну фирму; б) модальное и медианное значение месячного товарооборота; в) сделайте выводы о характере данного распределения. Решение: Средний размер месячного товарооборота на одну фирму найдем по формуле средней арифметической взвешенной: где xi – середина интервала; fi – число фирм. Составим вспомогательную таблицу: Товарооборот, млн. руб. 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Итого 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 f 20 26 20 14 10 10 100 Х•f 50 195 250 245 225 275 1240 Накопленные частоты 20 20+26=46 46+20=66 80 90 100 - Xср=1240/100=12,4 млн. руб. Определим модальное и медианное значение месячного товарооборота. В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода определяется по формуле: xMo – начальное значение интервала, содержащего моду; iMo – величина модального интервала, fMo – частота модального интервала, f(Mo-1) – частота интервала, предшествующего модальному, f(Mo+1) – частота интервала, следующего за модальным. 8 Наибольшее число фирм (26) имеют величину товарооборота от 5 до 10 млн. руб. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения. Введём следующие обозначения: xMo=5, iMo=5, fMo=26, f(Mo-1)=20, f(Mo+1)=20. Подставим эти значения в формулу моды и произведём вычисления: Мо=5+5*(26-20)/(26-20+26-20)=7,5 млн. руб. Следовательно, наибольшее число фирм имеет товарооборот 7,5 млн. руб. Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле: где xMе – начальное значение интервала, содержащего медиану; iMе – величина медианного интервала; Σf – сумма частот ряда; S(Me-1) – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу; fMe – частота медианного интервала. Определим, прежде всего, медианный интервал. Сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (66), соответствует интервалу 10 – 15. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим её значение по приведённой выше формуле, если: xMе=10, iMе=5, Σf=100, S(Me-1)=46, 9 fMe=20: Ме=10+5*(0,5*100-46)/20=11 млн. руб. Таким образом, половина фирм имеет товарооборот менее 11 млн. руб., а остальные фирмы – более 11 млн. руб. В симметричных рядах распределения значения моды и медианы совпадают со средней величиной, а в умеренно ассиметричных они соотносятся таким образом: Соотношение характеристик центра распределения товарооборота свидетельствует об умеренной асимметрии: 3*(12,4-11) ≈12,4-7,5. Задача 7.16 Распределение фермерских хозяйств по посевной площади характеризуется следующими данными: Посевные До 100 площади, га Удельный вес хозяйств, 17 в % к итогу 100-200 200-300 300-400 400-500 500и более Итого 20 28 25 7 3 100 Определите: средний размер посевной площади, дисперсию и среднее квадратическое отклонение посевных площадей. Решение: Средний размер посевной площади исчислим по формуле средней арифметической взвешенной: Х=X∙ff, где х - середина интервала; f - число хозяйств. 10 Середина интервала До 100 17 50 194 37636 100-200 20 150 94 8836 200-300 28 250 6 36 300-400 25 350 106 11236 400-500 7 450 206 42436 500 и более 3 550 306 93636 Итого 100 1800 912 193816 Размах вариации R=550-50=500 Среднее линейное отклонение Хср=(50*17+150*20+250*28+350*25+450*7+550*3)/100=244 Dср=(194*17+94*20+6*28+106*25+206*7+306*3)/100=103,56 Среднее квадратическое отклонение ; σ=((37636*17+8836*20+36*28+11236*25+42436*7+93636*3)/100)1/2=12 9,48 Коэффициент вариации v=129,48/244*100=53% 11 Коэффициент вариации превышает 33%, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений. Задача 7.13 Распределение длины пробега автофургона торговой фирмы характеризуется следующими данными: Длина пробега за один рейс, 30-40 км Число рейсов за 1 месяц 20 40-50 50-60 60-70 70-80 80 и выше Итого 25 14 18 8 5 90 Определите показатели вариации: а) среднюю длину пробега за один рейс; б) среднее квадратическое отклонение; в) коэффициент вариации. Оцените количественную однородность совокупности. Решение: Среднюю длину пробега за один рейс определим по формуле: Х=X∙f/f, где Х – середина интервала; f – число рейсов за 1 месяц. Длина пробега за один рейс, км 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 Итого Середина интервала, Х Число рейсов за 1 месяц, f Х∙f Итого 35 45 55 65 75 85 20 25 14 18 8 5 90 700 1125 770 1170 600 425 4790 6640,988 1690,123 44,247 2496,889 3794,173 5049,136 19715,556 X =(20*35+25*45+14*55+18*65+75*8+5*85)/90=53,22 12 D=(35-53,22)+(45-53,22)+(55-53,22)+(65-53,22)+(75-53,22)+(8553,22)/90=1140/90=12,67 Дисперсия =20* (35-53,22)2+25* (45-53,22)2+14* (55-53,22)2+18* (6553,22)2+8* (75-53,22)2+5* (85-53,22)2/90=19714,56/90=2019,06 Хсркв=35*35*20+45*45*25+55*55*14+65*65*18+75*75*8+85*85*5/90= 274650/90=3051,67 Среднеквадратическое отклонение = 2019,061/2=14,8 Коэффициент вариации = v=14,8*100/53,22=27,8% Данные рассчитанных коэффициентов вариации, свидетельствуют о том, что совокупность однородна, т.к. коэффициенты вариации меньше 33%. Задача 7.10 Распределение населения региона по величине среднедушевого денежного дохода в России за 2000г. Характеризуется следующими данными Среднедушев ые денежные доходы, руб. месяц До 500, 0 500,0 1000,0 1500,0 2000,0 3000,0 Свыш 750,0е 1000,0 750,0 1500,0 2000,0 3000,0 4000,0 4000,0 ИТОГ О Численность населения, в млн. человек 4,5 10,5 145,6 14,3 30,1 24,7 Решение: 30,7 14,9 15,9 13 Итого: Численность населения, m (частота) 4,5 10,5 14,3 30,1 24,7 30,7 14,9 15,9 145,6 1687,5 6562,5 12512,5 Накопление частоты статистического ряда 4,5 29,3 59,4 84,1 114,8 129,7 145,6 302062,5 Величина среднедушевых денежных доходов населения составляет: Хср=302062,5/145,6=2074,6 руб. Определяется мода, при этом модальным интервалом будет 2000-3000. Мо=2000+1000*(30,7-24,7)/(30,7-24,7+30,7-14,9)=2275,2 руб. Большинство населения имело денежные доходы в месяц 2275,2 руб. Для нахождения медианного интервала рассчитывается следующее соотношение: 145,6/2+0,5=73,3 Среди накопленных частот находится ближайшее значение к 73,3. Оно определяет медианный интервал, который равен 1500-2000,0. Тогда медиана составит: Ме=1500+500*(145,6/2-59,4)/24,7=1771 руб. Половина населения имело денежные доходы в среднем до 1771 руб., а половина больше. Децильный коэффициент дифференциации доходов населения (Kd) – это коэффициент, который показывает во сколько раз минимальные доходы 10 % самого богатого населения превышают максимальные доходы 10 % наименее обеспеченного населения, рассчитывающийся по формуле: d9, d1 - девятый и первый дециль (вариант ранжированного ряда, отсекающий десятую часть совокупности). Нижний дециль определяется по формуле: 14 Верхний предел определяется по формуле: Расчет децильного коэффициента дифференциации доходов населения (Kd): D1=500+250*(145,6/10-4,5)/10,5=739,52 руб. D9=1500+500*(9*145,6/10-(4,5+10,5+14,3+30,1)/24,7=2950 руб. Кd=2950/739,52=3,99.
