Загрузил Елена Рашпелева

Вычисление интегралов

реклама
Примеры
табличного
интегрирования
Примеры
интегрирования
методом подстановки
Пример №1
Пример №4
Пример №2
Пример №5
Пример №3
Пример №6
Тренинг
Пример №7
1
3𝑥 5 + 4𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑥 + 1 𝑑𝑥
Пример №1
Интеграл суммы выражений равен сумме
интегралов этих выражений
𝟑𝒙𝟓 𝒅𝒙 +
𝟑
𝒙𝟓 𝒅𝒙 + 𝟒
𝑥 𝑛+1
𝑥 𝑑𝑥 =
+𝑐
𝑛+1
𝑛
𝟒𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 −
𝟐𝒙𝒅𝒙 +
𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 − 𝟐
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + с
𝟑𝒙𝟓+𝟏
𝟐𝒙𝟐
+ 𝟒𝒔𝒊𝒏𝒙 −
+𝒙+𝑪
𝟓+𝟏
𝟐
Постоянный
множитель можно
вынести за знак
интеграла
𝒙𝒅𝒙 + 𝟏
𝑥 𝑛+1
𝑥 𝑑𝑥 =
+𝑐
𝑛+1
𝑛
𝟏𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐
𝟏 𝟔
𝒙 + 𝟒𝒔𝒊𝒏𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝑪
𝟐
2
Пример №2
𝟏
−𝒏
=
𝒂
𝒂𝒏
3
2
4
𝑥
( 5 −𝑥 +7𝑒 − )𝑑𝑥
𝑥
𝑥
?
𝟑𝒙−𝟓
− 𝒙𝟒
+
𝟕𝒆𝒙
Записать решение:
𝟑
𝒙−𝟓 𝒅𝒙 −
Проверить
решение
𝒙𝟒 𝒅𝒙 + 𝟕
𝟐
−
𝒅𝒙
𝒙
𝒆𝒙 𝒅𝒙 − 𝟐
𝒅𝒙
𝒙
𝟑𝒙−𝟒 𝒙𝟓
−
+ 𝟕𝒆𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝒄
−𝟒
𝟓
𝟑
𝟏 𝟓
− 𝟒 − 𝒙 + 𝟕𝒆𝒙 − 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝒄
𝟒𝒙
𝟓
3
Пример №3
𝒏
𝒙𝒎 =
𝒎
𝒙𝒏
𝟒
𝟑 −𝟑 𝒙)𝒅𝒙
(
+𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
Проверить
решение
𝟏
?
𝟒
𝟑 −𝟑𝒙𝟐 )𝒅𝒙
(
+𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
Записать решение:
𝟒
𝟏
𝒅𝒙 +
𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒙𝟑 𝒅𝒙 −
𝟒
𝟑
𝟏
𝒙𝟐 𝒅𝒙
𝟑
𝒙𝟐
𝒙
𝟒𝒕𝒈𝒙 + − 𝟑 ∙ + 𝑪
𝟑
𝟒
𝟐
𝟏 𝟒
𝟒𝒕𝒈𝒙 + 𝒙 − 𝟐𝒙 𝒙 + 𝑪
𝟒
4
Все способы интегрирования имеют целью свести интеграл к
𝟓
Пример №4
табличному.
(𝟒𝒙 − 𝟔) 𝒅𝒙
Способ
подстановки
Определим,
к какому заключается в следующем:
𝒙𝒏+𝟏
𝒏
заменяютинтегралу
новой переменной
такую
часть
табличному
𝒙 𝒅𝒙
=
+𝒄
𝒏
+
𝟏
приводится данныйфункции,
интеграл при дифференцировании
подынтегральной
которой
получается
оставшаяся часть
Определим,
какую
часть
подынтегрального
выражения.
подынтегральной
функции нужно
𝒖 = 𝟒𝒙 − 𝟔
заменить и записываем замену
Находим дифференциалы обеих
частей, выражаем старый
дифференциал через новый
Производим замену в интеграле
и находим его с помощью
таблицы
Производим обратную замену, то
есть переходим к старой
переменной
𝟏
𝒅𝒖 = 𝟒𝒅𝒙, 𝒅𝒙 = 𝒅𝒖
𝟒
𝟏
𝟒
𝒖𝟓 𝒅𝒖
𝟏 𝒖𝟔
𝟏 𝟔
= ∙
+𝒄=
𝒖 +𝒄
𝟒 𝟔
𝟐𝟒
𝟏
(𝟒𝒙 − 𝟔)𝟔 +𝒄
𝟐𝟒
5
Пример №5
Записать решение:
Проверить
решение
𝒔𝒊𝒏 𝟔𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙
Введем новую переменную и
выразим дифференциалы:
𝟔𝒙 + 𝟐 = 𝒖
𝒅𝒖 = 𝟔𝒅𝒙,
𝟏
𝒅𝒙 = 𝒅𝒖
𝟔
𝒔𝒊𝒏 𝟔𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 =
𝟏
=
𝟔
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝒖 ∙ 𝒅𝒖
𝟔
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝒖 𝒅𝒖 = − 𝒄𝒐𝒔𝒖 + 𝒄
𝟔
𝟏
− 𝒄𝒐𝒔𝒖 + 𝒄 =
𝟔
𝟏
− 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝒙 + 𝟐 + 𝑪
𝟔
6
Пример №6
Записать решение:
Проверить
решение
𝟏 + 𝒍𝒏𝒙
𝒅𝒙
𝒙
Введем новую переменную и
найдем её дифференциал
𝟏 + 𝒍𝒏𝒙 = 𝒖
𝟏
𝒅𝒙
𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 =
𝒙
𝒙
𝟏 + 𝒍𝒏𝒙𝒅𝒙
=
𝒙
𝟏
𝒖𝟐 𝒅𝒖
𝒖𝒅𝒖
𝟑
𝒖𝟐
𝟐𝟐 𝟑
=
+𝑪=
𝒖 +𝑪
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐𝟐 𝟑 𝟐
𝒖 = 𝒖 𝒖=
𝟑
𝟑
𝟐
𝟏 + 𝒍𝒏𝒙
𝟑
𝟏 + 𝒍𝒏𝒙 + 𝑪
7
Пример №7
Записать решение:
𝒖 = 𝟑 − 𝟔𝒙
Проверить
решение
𝟑 − 𝟔𝒙𝒅𝒙
Выполняем замену:
𝒖 = 𝟑 − 𝟔𝒙
Выражаем дифференциалы:
𝟏
𝒅𝒖 = −𝟔𝒅𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒅𝒖
𝟔
𝟏
−
𝟔
𝟑
𝒖𝟐
𝟏
𝒖𝒅𝒖 = −
𝟔
𝟏
𝒖𝟐 𝒅𝒖
𝟏
𝟏 𝟐 𝟑
− ∙
+ 𝑪 = − ∙ 𝒖𝟐 + 𝑪
𝟔 𝟑
𝟔 𝟑
𝟐𝟑
𝟏
− 𝟑 − 𝟔𝒙
𝟗
𝟐
𝟏
− (𝟑
𝟗
𝟏𝟐
+С=−
(𝟑 − 𝟔𝒙)𝟑 + С
𝟗
− 𝟔𝒙) 𝟑 − 𝟔𝒙+С
8
Проверить
решение
Найти неопределенный
интеграл
(𝒙𝟓 + 𝟑𝒙 − 𝟒)𝒅𝒙
(𝟐𝟓𝒙𝟒 +𝟑𝒆𝒙
𝟒
− )𝒅𝒙
𝒙
𝟐
𝟑
(
+ 𝒙 − 𝟔 )𝒅𝒙
𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒙
Проверить
решение
𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 − 𝟒 𝒅𝒙
(𝟑 + 𝟒𝒙)𝟒 𝒅𝒙
𝒆𝟔𝒙−𝟑 𝒅𝒙
9
Следует отметить, что для функции вида f(kx+b)
можно применять упрощенную формулу
𝟏
𝒇 𝒌𝒙 + 𝒃 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒌𝒙 + 𝒃 + 𝑪
𝒌
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟔 − 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒔𝒊𝒏 𝟔 − 𝟐𝒙 + 𝑪
𝟐
𝟏
𝟏
𝒅𝒙 = 𝒍𝒏 𝟓𝒙 − 𝟒 + 𝑪
𝟓𝒙 − 𝟒
𝟓
𝒆
𝟐𝒙+𝟏
𝟏 𝟐𝒙+𝟏
𝒅𝒙 = 𝒆
+𝑪
𝟐
10
Решение типичных примеров
• 1. Вычислить интеграл:
 2 x
2

 1 2 dx
• 2. Вычислить интеграл методом подстановки:
•
 3x  1 dx
2
3
• 3. Вычислить интеграл методом
интегрирования по частям:
•
2 x
x

e
dx

11
1 пример
 2x 1 dx   4x  4x 1dx 
2
2
4
2
  4 x dx   4 x dx   dx 
4
2
5
3
4x 4x


 xC
5
3
12
2 пример


3
3
5
t
3x  1 dx   t  t dt   t dt   C 
5
2
3x  1
5
5
3x  1  t 3 ;
 
1 3
x  t 1 ;
3
2
2
4

3x  1 3x  1
C 
2
3
5
1 2
dx   3t dt  t 2 dt
3
C
t  3 3x  1
13
3 пример
 udv  u  v   vdu
 xe
2 x
1 2 x 1 2 x
dx   xe   e dx 
2
2
1 2 x 1 2 x
  xe  e
C
2
4
ux
du  dx
dv  e
2 x
dx
1 2 x
v e
2
14
15
Скачать