ТС-1(Лініар.)

1.1 Лінеаризація нелінійних систем
Більшість реальних
описується рівнянням
систем
нелінійна,
тобто
поведінка
x (t )  f ( x(t ), u(t ), t ),
y (t )  g ( x(t ), u(t ), t ),
а не більш простими лінійними рівняннями
x (t )  a(t ) x(t )  b(t )u(t ),
y (t )  c(t ) x(t )  d (t )u(t ).
системи
(2.14)
(2.15)
Часто на практиці нелінійну систему можна апроксимувати лінійною в
деякій обмеженій області. Так при вивченні нелінійних електричних ланцюгів
(наприклад, транзисторного підсилювача) для відповідного ланцюга
виділяють сигнал в деякому околі точки розгляду і проводять його аналіз.
Щоб зрозуміти процедуру отримання наближеної лінійної моделі,
припустимо, що розв’язки xn (t ) і yn (t ) рівнянь (214) відомі при заданій
початковій умові xn (t0 )  xn 0 і вхідної змінної un (t ) тобто
xn (t )  f ( xn (t ), un (t ), t ),
(2.16)
yn (t )  g ( xn (t ), un (t ), t )
і
(2.17)
x n ( t0 )  x n 0 .
Тепер припустимо, що початковий стан і вхідну змінну змінено так, що
новий стан і вхідна змінна мають вигляд
x (t )  xn (t )  (t ) ,
u(t )  un (t )  (t ).
Тоді вихідну змінну
y ( t )  y n ( t )  ( t )
можна знайти за допомогою розв’язку обурених рівнянь
xn (t )   (t )  f ( xn (t )  (t ), un (t )  (t ), t )
і
y0 (t )  (t )  g ( xn (t )  (t ), un (t )  (t ), t ).
У результаті розкладання в ряд Тейлора можна отримати
df
df
xn (t )   (t )  f ( xn (t ), un , t ) 
(t ) 
(t )  (2 , 2 )
dx xn , un
du xn , un
і
yn (t )  (t )  g ( xn (t ), un (t ), t ) 
dg
dg
(t ) 
(t )  (2 , 2 ),
dx xn , un
du xn , un
(2 , 2 ) залишковий член другого порядку малості відносно  і  .
Передбачається, що функції f і g двічі диференційовані по всіх аргументах,
окрім, мабуть, t. Тоді, нехтуючи (2 , 2 ) , і використавши рівності (2.16) і
(2.17) можна одержати наступні лінійні апроксимуючі рівняння:
f
f
 (t ) 
(t ) 
(t )
x xn ,un
u xn ,un
і
g
g
(t ) 
(t ) 
(t ).
x xn ,un
u xn ,un
Ці вирази можна переписати у вигляді
(t )  a(t ) (t )  b(t ) (t ),
(2.18)
 (t )  c(t ) (t )  d (t ) (t ),
де
a (t ) 
f
f
, b(t ) 
,
x xn ,un
u xn ,un
c(t ) 
g
g
, d (t ) 
.
x xn ,un
u xn ,un
Вирази (2.15) і (2.18) насправді аналогічні. Припущення, що 2 мало,
звичайно справедливо, оскільки  – вхідні (керовані) відхилення. Проте не
завжди можна забезпечити малість  2 . Лінійну систему, описувану рівнянням
(2.15), можна використовувати для характеристики поведінки нелінійної
системи, описуваної рівнянням (2.14) в тій області, де значення  2
залишається малим. Питання про малість  2 як правило вирішується при
дослідженні стійкості.
Приклад 1. Лініаризувати нелінійну систему задану рівнянням стану у
стандартній формі при вказаному вхідному впливі u(t ) і початковому стані
x (t 0 ) :
x (t )  e  x (t )u (t ),
y (t )  x 2 (t )) / u (t );
u (t )  2t , x(1)  0.
Розв’язок:
Це означає що нелінійну систему задану рівнянням стану у стандартній
формі треба апроксимувати лінійною системою, тобто здійснити
відображення
x (t )  a(t ) x(t )  b(t )u(t ),
x (t )  f ( x(t ), u(t ), t ),

y (t )  c(t ) x(t )  d (t )u(t ).
y (t )  g ( x(t ), u(t ), t ),
1. Розв’язок рівняння стану нелінійної системи при u(t )  2t методом
відокремлення змінних
t
t
dx(t )
 x (t )
x ( )
x ( )
 e 2t  e dx( )  2 d   e dx( )   2d ( ) 
dt
t0
t0
e
x ( )
t

t0
t
 e x ( t )  e x ( t0 )  t 2  t0  e x ( t )  e 0 )  t 2  1  e x ( t )  t 2 
2
2
t0
 ln e x ( t )  ln t 2  x(t )  2 ln t.
2. Визначення коефіцієнтів лініаризованої системи
2
f
t
a(t ) 
 e  x (t )u (t )
 e ln t 2t  2 2  2 / t ,
x x (t ),u (t )
t
x ( t ),u ( t )
b(t ) 
c(t ) 
f
u
g
x
g
d (t ) 
u
2
 e x (t )
x ( t ),u ( t )
x ( t ),u ( t )

x ( t ),u ( t )
 e ln t 
2 x(t )
u (t )

x ( t ),u ( t )
x 2 (t )
 2
u (t )
x ( t ),u ( t )
1
,
t2
4 ln t
ln t
2
,
2t
t
2
 ln t 

.
t


x ( t ),u ( t )
1.2 Лінеаризація нелінійних систем
Більшість реальних
описується рівнянням
систем
нелінійна,
тобто
поведінка
x (t )  f ( x(t ), u(t ), t ),
y (t )  g ( x(t ), u(t ), t ),
а не більш простими лінійними рівняннями
x (t )  a(t ) x(t )  b(t )u(t ),
y (t )  c(t ) x(t )  d (t )u(t ).
системи
(2.14)
(2.15)
Часто на практиці нелінійну систему можна апроксимувати лінійною в
деякій обмеженій області. Так при вивченні нелінійних електричних ланцюгів
(наприклад, транзисторного підсилювача) для відповідного ланцюга
виділяють сигнал в деякому околі точки розгляду і проводять його аналіз.
Щоб зрозуміти процедуру отримання наближеної лінійної моделі,
припустимо, що розв’язки xn (t ) і yn (t ) рівнянь (214) відомі при заданій
початковій умові xn (t0 )  xn 0 і вхідної змінної un (t ) тобто
xn (t )  f ( xn (t ), un (t ), t ),
(2.16)
yn (t )  g ( xn (t ), un (t ), t )
і
(2.17)
x n ( t0 )  x n 0 .
Тепер припустимо, що початковий стан і вхідну змінну змінено так, що
новий стан і вхідна змінна мають вигляд
x (t )  xn (t )  (t ) ,
u(t )  un (t )  (t ).
Тоді вихідну змінну
y ( t )  y n ( t )  ( t )
можна знайти за допомогою розв’язку обурених рівнянь
xn (t )   (t )  f ( xn (t )  (t ), un (t )  (t ), t )
і
y0 (t )  (t )  g ( xn (t )  (t ), un (t )  (t ), t ).
У результаті розкладання в ряд Тейлора можна отримати
df
df
xn (t )   (t )  f ( xn (t ), un , t ) 
(t ) 
(t )  (2 , 2 )
dx xn , un
du xn , un
і
yn (t )  (t )  g ( xn (t ), un (t ), t ) 
dg
dg
(t ) 
(t )  (2 , 2 ),
dx xn , un
du xn , un
(2 , 2 ) залишковий член другого порядку малості відносно  і  .
Передбачається, що функції f і g двічі диференційовані по всіх аргументах,
окрім, мабуть, t. Тоді, нехтуючи (2 , 2 ) , і використавши рівності (2.16) і
(2.17) можна одержати наступні лінійні апроксимуючі рівняння:
f
f
 (t ) 
(t ) 
(t )
x xn ,un
u xn ,un
і
g
g
(t ) 
(t ) 
(t ).
x xn ,un
u xn ,un
Ці вирази можна переписати у вигляді
(t )  a(t ) (t )  b(t ) (t ),
(2.18)
 (t )  c(t ) (t )  d (t ) (t ),
де
a (t ) 
f
f
, b(t ) 
,
x xn ,un
u xn ,un
c(t ) 
g
g
, d (t ) 
.
x xn ,un
u xn ,un
Вирази (2.15) і (2.18) насправді аналогічні. Припущення, що 2 мало,
звичайно справедливо, оскільки  – вхідні (керовані) відхилення. Проте не
завжди можна забезпечити малість  2 . Лінійну систему, описувану рівнянням
(2.15), можна використовувати для характеристики поведінки нелінійної
системи, описуваної рівнянням (2.14) в тій області, де значення  2
залишається малим. Питання про малість  2 як правило вирішується при
дослідженні стійкості.
Приклад 1. Лініаризувати нелінійну систему задану рівнянням стану у
стандартній формі при вказаному вхідному впливі u(t ) і початковому стані
x (t 0 ) :
x (t )  e  x (t )u (t ),
y (t )  x 2 (t )) / u (t );
u (t )  2t , x(1)  0.
Розв’язок:
Це означає що нелінійну систему задану рівнянням стану у стандартній
формі треба апроксимувати лінійною системою, тобто здійснити
відображення
x (t )  a(t ) x(t )  b(t )u(t ),
x (t )  f ( x(t ), u(t ), t ),

y (t )  c(t ) x(t )  d (t )u(t ).
y (t )  g ( x(t ), u(t ), t ),
1. Розв’язок рівняння стану нелінійної системи при u(t )  2t методом
відокремлення змінних
t
t
dx(t )
 x (t )
x ( )
x ( )
 e 2t  e dx( )  2 d   e dx( )   2d ( ) 
dt
t0
t0
e
x ( )
t

t0
t
 e x ( t )  e x ( t0 )  t 2  t0  e x ( t )  e 0 )  t 2  1  e x ( t )  t 2 
2
2
t0
 ln e x ( t )  ln t 2  x(t )  2 ln t.
2. Визначення коефіцієнтів лініаризованої системи
2
f
t
a(t ) 
 e  x (t )u (t )
 e ln t 2t  2 2  2 / t ,
x x (t ),u (t )
t
x ( t ),u ( t )
b(t ) 
c(t ) 
f
u
g
x
g
d (t ) 
u
2
 e x (t )
x ( t ),u ( t )
x ( t ),u ( t )

x ( t ),u ( t )
 e ln t 
2 x(t )
u (t )

x ( t ),u ( t )
x 2 (t )
 2
u (t )
x ( t ),u ( t )
1
,
t2
4 ln t
ln t
2
,
2t
t
2
 ln t 

.
t


x ( t ),u ( t )
ТС-1, варіант 01
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  x 2 (t )u (t ),

2
2
 y (t )  2 x (t )  u (t ).
u (t )  e t ; x(0)  1.
ТС-1, варіант 02
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  ( x(t )  2)u (t ),

2
 y (t )  ln x(t )  u (t );
u (t )  1 /(t  1)3 , x(0)  3.
ТС-1, варіант 03
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
3 x (t ) 2

 x (t )  e u (t ),
4

 y (t )  x(t )u (t );
u (t )  2t , x(1)  0.
ТС-1, варіант 04
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  ( x 2 (t )  x(t ))u (t ),

x (t ) 2
 y (t )  e u (t );
u (t )  1 / t , x(0,5)  1.
ТС-1, варіант 05
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  ( x 2 (t )  3x(t )  2)u (t ),

 y (t )  u (t ) / x(t );
u (t )  1 / t , x(2 / 3)  1.
ТС-1, варіант 06
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  u (t )( x 2 (t )  1) / x(t ),

u (t )
 y (t )  e ln x(t );
u (t )  t , x(0)  2.
ТС-1, варіант 07
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  x(t ) / u 2 (t ),

2
 y (t )  x (t ) / u (t );
u (t )  t , x(1)  e.
ТС-1, варіант 07
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  2u (t )e x (t ) ,

u (t )
 y (t )  u (t ) x(t )  x(t )e ;
u (t )  t , x(1)  0.
ТС-1, варіант 9
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  x 2 (t )eu ( t ) ,

 y (t )  x(t )u (t );
u (t )  t , x(0)  1.
ТС-1, варіант 10
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  x(t )u (t ) / t ,

 y (t )  x(t )u (t );
u (t )  t , x(0)  1.
ТС-1, варіант 11
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  x 3 (t )u (t ),

2
 y (t )  2 x (t )  x(t )u (t );
u (t )  t 2 , x(1)  1.
ТС-1, варіант 12
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x  u (t ) / x(t ),

 y (t )  sin x(t ) cos u (t );
u (t )  t , x(0)  0.
ТС-1, варіант 13
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  ( x 2 (t )  1)u (t ),

 y (t )  u (t ) x(t );
u (t )  1 / t , x( 3)  2.
ТС-1, варіант 14
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  e  x (t )u (t ),

x (t )
 y (t )  e ln u (t );
u (t )  2t , x(1)  0.
ТС-1, варіант 15
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  u (t ) / x(t ),

x (t ) 2
 y (t )  e u (t );
u (t )  t , x(1)  1.
ТС-1, варіант 16
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x  u (t ) / x 4 (t ),

 y (t )  sin x(t ) sin u (t );
u (t )  t , x(0)  0.
ТС-1, варіант 17
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  e  x ( t )u 2 (t ),

4
 y (t )  x (t ) ln u (t );
u (t )  t , x( 2 )  0.
ТС-1, варіант 18
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  sin u (t )e x (t ) ,

u (t )
 y (t )  x(t )  x(t )e ;
u (t )  t , x(0)  0.
ТС-1, варіант 19
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
3 x (t ) 2

 x (t )  e u (t ),
4

 y (t )  x(t )u (t );
u (t )  2t , x(1)  0.
ТС-1, варіант 20
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  ( x 2 (t )  x(t ))u (t ),

x (t ) 2
 y (t )  e u (t );
u (t )  1 / t , x(0,5)  1.
ТС-1, варіант 21
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  ( x 2 (t )  3x(t )  2)u (t ),

 y (t )  u (t ) / x(t );
u (t )  1 / t , x(2 / 3)  1.
ТС-1, варіант 22
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  u (t )( x 2 (t )  1) / x(t ),

u (t )
 y (t )  e ln x(t );
u (t )  t , x(0)  2.
ТС-1, варіант 23
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  x(t ) / u 2 (t ),

2
 y (t )  x (t ) / u (t );
u (t )  t , x(1)  e.
ТС-1, варіант 24
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  2u (t )e x (t ) ,

u (t )
 y (t )  u (t ) x(t )  x(t )e ;
u (t )  t , x(1)  0.
ТС-1, варіант 25
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  x 2 (t )eu ( t ) ,

 y (t )  x(t )u (t );
u (t )  t , x(0)  1.
ТС-1, варіант 26
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  x(t )u (t ) / t ,

 y (t )  x(t )u (t );
u (t )  t , x(0)  1.
ТС-1, варіант 27
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x (t )  x 3 (t )u (t ),

2
 y (t )  2 x (t )  x(t )u (t );
u (t )  t 2 , x(1)  1.
ТС-1, варіант 28
Лініаризувати задану нелінійну систему при вказаному вхідному впливі
u(t ) і початковому стані x(t0 ) :
 x  u (t ) / x(t ),

 y (t )  sin x(t ) cos u (t );
u (t )  t , x(0)  0.