Всероссийская контрольная "Выходи решать!" Пробный тур. Решения задач по математике. Ноябрь 2018. Çàäà÷à 1. Ó òð¼õ øêîëüíèêîâ áûëà îäíà ëîïàòà. Îíè ïî î÷åðåäè âñêàïûâàþò îãîðîä, ïðè÷¼ì èç-çà òîãî, ÷òî ëîïàòà âñåãî îäíà, ðàáîòàþò îíè ïî î÷åðåäè. Îêàçàëîñü, ÷òî êàæäûé èç íèõ ðàáîòàåò ñòîëüêî âðåìåíè, çà ñêîëüêî 2 äðóãèõ øêîëüíèêà âñêîïàþò ïîëîâèíó îãîðîäà. Ðàáîòàÿ òàêèì îáðàçîì, îíè âñêîïàëè âåñü îãîðîä. Âî ñêîëüêî ðàç áûñòðåå îíè áû âñêîïàëè îãîðîä, åñëè áû ó íèõ áûëî 3 ëîïàòû è îíè ðàáîòàëè îäíîâðåìåííî? Íàéäèòå îòâåò ñ òî÷íîñòüþ äî 1 çíàêà ïîñëå çàïÿòîé è ââåäèòå â ïîëå îòâåòà. Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ, êîãäà ó øêîëüíèêîâ áûëî 3 ëîïàòû. Ïóñòü â òî âðåìÿ, êîãäà îäèí èç íèõ âñêàïûâàåò èñêîìûé îãîðîä, äâîå äðóãèõ âñêàïûâàþò ñîñåäíèå îãîðîäû òàêîãî æå ðàçìåðà. Ê òîìó ìîìåíòó, êàê áóäåò âñêîïàí èñêîìûé îãîðîä, ðåáÿòà óñïåþò âñêîïàòü åùå 3 · 0, 5 = 1, 5 ñîñåäíèõ îãîðîäîâ. Çíà÷èò, âìåñòå áû îíè âñêîïàëè çà ýòî âðåìÿ Çàäà÷à 2.  òðàïåöèè è CD 2, 5 îãîðîäîâ. 2,5. Îòâåò: ABCD îñíîâàíèÿ AD è BC ðàâíû 25 ñì è 4 ñì, à áîêîâûå ñòîðîíû AB 20 ñì è 13 ñì ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå âûñîòó òðàïåöèè. Íàéäèòå îòâåò ñ òî÷íîñòüþ äî öåëîãî ÷èñëà è ââåäèòå â ïîëå îòâåòà. Ðåøåíèå. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ CC1 ïàðàëëåëüíî AB . C1 D = 25 − 4 = 21, CC1 = AB = 20. 1D C1 CD. Åãî ïîëóïåðèìåòð ðàâåí p = CC1 +CD+C = 27. 2√ p Ïî ôîðìóëå Ãåðîíà åãî ïëîùàäü ðàâíà S = p(p − a)(p − b)(p − c) = 27 · 7 · 14 · 6 = 3·7·6 = 126. 1 Ñ äðóãîé ñòîðîíû, S = C1 D · h. Ñëåäîâàòåëüíî, 2 Òîãäà Ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê h= Îòâåò: 2S 2 · 126 = = 12. C1 D 21 12. Çàäà÷à 3. Äâîå áåãóíîâ áåæàëè ìàðàôîí. Íà÷èíàÿ ñ ñåðåäèíû äèñòàíöèè îíè áåæàëè ñ ïîñòî- ÿííîé ñêîðîñòüþ 6 êì/÷ íà ðàññòîÿíèè 200 ìåòðîâ äðóã îò äðóãà. Ïîòîì îíè ñòàëè ïîäíèìàòüñÿ â ãîðó, è ñêîðîñòü èõ óïàëà äî 4 êì/÷. Çàòåì îíè îáà áåæàëè ñ ãîðû ñî ñêîðîñòüþ 7 êì/÷, ïîñëå ÷åãî ïîïàëè â òðóäíîïðîõîäèìîå ïîëå, ÷åðåç êîòîðûå áåæàëè ñî ñêîðîñòüþ 3 êì/÷. Êàêèì ñòàëî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè? Îòâåò âûðàçèòå â ìåòðàõ ñ òî÷íîñòüþ äî öåëîãî ÷èñëà è ââåäèòå â ïîëå îòâåòà. Êîãäà ïåðâûé áåãóí îêàçàëñÿ ó ïîäíîæèÿ ãîðû, îí îïåðåæàë âòîðîãî íà 200 ì. 4 Çàòåì, ê òîìó ìîìåíòó, êîãäà âòîðîé áåãóí îêàçàëñÿ ó ïîäíîæèÿ ãîðû, âòîðîé ïðåîäîëåë 200 · 6 ì (íà÷àëüíîå ðàññòîÿíèå äîìíîæèëè íà îòíîøåíèå ñêîðîñòåé). Ðåøåíèå. Ïðîäîëæàÿ ðàññóæäåíèÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ïîñëå ñïóñêà ñ ãîðû ðàâíî 200 · Îòâåò: 4 7 3 · · = 100. 6 4 7 100. Çàäà÷à 4.  êëàññå 17 ÷åëîâåê, êàæäûé èç êîòîðûõ ó÷àñòâóåò â îëèìïèàäå Âûõîäè ðåøàòü ëèáî ïî ìàòåìàòèêå, ëèáî ïî ôèçèêå. Èçâåñòíî, ÷òî ñðåäè ëþáûõ 10 ÷åëîâåê åñòü õîòÿ áû 1 ÷åëîâåê, êîòîðûé ó÷àñòâóåò â îëèìïèàäå ïî ôèçèêå, à ó÷àùèõñÿ, ó÷àñòâóþùèõ â îëèìïèàäå ïî ìàòåìàòèêå, áîëüøå, ÷åì ó÷àñòâóþùèõ â îëèìïèàäå ïî ôèçèêå. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî ó÷åíèêîâ, êîòîðûå ó÷àñòâóþò â îëèìïèàäå ïî ôèçèêå. Ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå âïèøèòå â ïîëå äëÿ îòâåòà. Îöåíêà: ïîñêîëüêó ó÷àñòíèêîâ îëèìïèàäû ïî ìàòåìàòèêå áîëüøå, ÷åì ó÷àñòíèêîâ Ðåøåíèå. îëèïèàäû ïî ôèçèêå, òî â îëèìïèàäå ïî ìàòåìàòèêå ó÷àñòâîâàëè ïî êðàéíåé ìåðå 9 ÷åëîâåê. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ó÷àñòíèêîâ îëèìïèàäû ïî ìàòåìàòèêå áóäåò áîëüøå 9, íå áóäåò âûïîëíÿòüñÿ îäíî èç óñëîâèé çàäà÷è: ìîæíî áóäåò íàéòè 10 ÷åëîâåê, ñðåäè êîòîðûõ íèêòî íå áóäåò ó÷àñòâîâàòü â îëèìïèàäå ïî ôèçèêå. Ñëåäîâàòåëüíî, â îëèìïèàäå ïî ìàòåìàòèêå ïðèíÿëè ó÷àñòèå 9 ÷åëîâåê,à â îëèìïèàäå ïî ôèçèêå 17 − 9 = 8. Îòâåò: 8. Çàäà÷à 5. 16 ìèøåê åëè ì¼ä èç áàíêè, îáú¼ìîì 1,7 ëèòðà. Ïåðâûé ñúåë ïîëîâèíó áàíêè, âòîðîé òðåòü îñòàâøåãîñÿ ïîñëå ïåðâîãî, òðåòèé ÷åòâåðòü îñòàâøåãîñÿ îò ïðåäûäóùèõ, è òàê äàëåå, â êîíöå øåñòíàäíàäöàòûé ñåìíàäöàòóþ ÷àñòü îñòàâøåãîñÿ. Ñêîëüêî ì¼äà ñúåëè ìèøêè? Îòâåò âûðàçèòå â ëèòðàõ ñ òî÷íîñòüþ äî 1 çíàêà ïîñëå çàïÿòîé è ââåäèòå â ïîëå îòâåòà. Ðåøåíèå. Ïåðâûé ìèøêà ñúåë 1 1, 7 · , 2 à â áàíêå îñòàëîñü 1 1, 7 · 1 − 2 , ïîñêîëüêó èç îáùåãî êîëè÷åñòâà (öåëóþ áàíêó ì¼äà îáîçíà÷èëè çà 1) âû÷ëè òó ÷àñòü, êîòîðóþ îí ñúåë. Àíàëîãè÷íî, âòîðîé ìèøêà ñúåë 1 1, 7 · 1 − 2 1 · , 3 à ïîñëå ïåðâîãî è âòîðîãî ìèøêè îñòàëîñü â áàíêå 1 1 1, 7 · 1 − 1− . 2 3 Àíàëîãè÷íî ðàññóæäàÿ, ïîëó÷èì, ÷òî ïîñëå øåñòíàäöàòîãî ìèøêè îñòàíåòñÿ 1, 7 · Îòâåò: 1,6. 1 2 16 16 · · ··· · = 1, 7 · = 1, 6 2 3 17 17
