ПОСОБИЕ ПО ДИФ. УРАВНЕНИЯМ

Дифференциальные уравнения в экономике
Введение
Тема
«Дифференциальные уравнения» является одной из важ-
нейших тем курса высшей математики в вузе.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Основные определения
Определение 1. Дифференциальным
уравнением второго порядка называется
уравнение вида:
F x , y , y, y  0 .
Обычно рассматриваются дифференциальные уравнения
второго порядка, разрешенные относительно
y :
y  f ( x , y , y ) .
Определение 2. Решением дифференциального уравнения второго порядка
F x, y, y, y  0 называется дважды дифференцируемая функция y   x, которая обращает
данное уравнение в тождество:
F x, ( x), ( x), ( x)   0 .
1
Теорема. Дифференциальное уравнение
//
/
y

f
(
x
,
y
,
y
) имевторого порядка вида
ет бесчисленное множество решений, которые даются формулой у = φ(х, с1, с2), содержащей две произвольные постоянные.
Определение 3. Эта совокупность решений называется общим решением дифференциального уравнения.
Определение 4. Если в общем решении у
= φ(х, с1, с2) заменить с1 и с2 определенными
числами, то получим частное решение.
На практике частное решение находится
из общего при помощи задания начальных
условий.
§ 2. Задача Коши для дифференциального
уравнения второго порядка
Дано дифференциальное уравнение F (x,
y, y/, y//) = 0. Найти частное решение у = φ(х),
удовлетворяющее заданным начальным
условиям:
 ( x0 )  y0 ,
 / ( x0 )  y0/ .
2
Теорема Коши существования и единственности решения задачи Коши.
Если в уравнении y  f ( x , y , y ) функция f ( x, y , y ) непрерывна в окрестности
значений x0 , y0 , y0 , то уравнение
y  f ( x , y , y ) имеет решение y  ( x )
такое, что ( x0 )  y0 ,  ( x0 )  y0 . Если,
кроме того, непрерывны и частные произf
f
и
водные первого порядка y
y / , то
это решение единственно.
Схема решения задачи Коши для дифференциальных уравнений второго порядка:
F( x, y , y, y )  0 .
1. Находим общее решение
y   ( x, c1 , c2 ) .
 y0    x0 , c1 , c2 
2. Решаем систему  y /   /  x , c , c  и
 0
находим значения c1 и c2 .
0
1
2
3. Подставляем эти значения в общее
решение и находим искомое частное решение.
3
Для уравнений второго порядка выделение частного решения из общего можно производить и путем задания краевых условий.
§ 3. Дифференциальные уравнения второго
порядка,
приводимые к
уравнениям первого порядка
Уравнения вида y  f ( x )
(нет явно y , y )
Это уравнение решается двукратным интегрированием.
y /   f  x  dx  c1 ,
y    f  x  dx  c1 dx  c2    f  x  dx  dx  c1 x  c2 .
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка у//
= sin x.
Решение.
y   sin x dx  c1   cos x  c1;
y    cos x  c1  dx  c2   sin x  c1 x  c2 .
Уравнения вида у// = f (x, y/)
(нет явно у)
4
Метод решения основан на замене производной y дифференцируемой функцией z(x) ,
второй производной y – функцией z(x) , после
чего приходим к дифференциальному уравнению первого порядка для функции z (x) . Решив это уравнение, сделаем обратную замену
z ( x)  y и решим дифференциальное уравнение
первого порядка для y(x) .
y /  z ( x)
y // 
z/
 z /  f x, z .
Получили уравнение первого порядка.
Решаем его.
z    x, c1  
y /    x, c1  
y     x, c1  dx  c2 .
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка
y/
y   x.
x
//
Решение.
y/ 
z x 
y // 
z/
z
x
x
1
z/  z  x
x
z/ 
5
Получили линейное дифференциальное
уравнение первого порядка. Решаем его.
z  uv,
u / v  v /u 
1
uv  x;
x
1 

z /  u / v  v / u; v u /  u   v / u  x;
x 

1
u /  u  0;
v / x  x;
x
du u
 ;
v /  1;
dx x
z du
 x x
dx c1 ;

/
 2 ; v   dx  c1;
u
y u xx. x  c1vx; x  c .
1


y   x 2  c1 x dx  c2 ;
x3
x2
y
 c1
 c2 .
3
2
Уравнения вида y  f ( y , y )
(нет явно x )
Метод решения основан на замене производной y(x) сложной функцией p(y) , при этом
вторая производная y(x) заменяется произведением dp  p( y) , после чего получаем диффеdy
ренциальное уравнение первого порядка для
p(y) .Решив это уравнение, необходимо сделать обратную замену p( y)  y и решить полу6
ченное дифференциальное уравнение для
функции y(x) .
y/  p y
y // 

dp
 p  f  y, p  – дифференциальное уравнение первого порядка.
dy
dp
p
dy
Решая его, получим:
p    y, c1 ,
y /    y, c1 .
Разделяя переменные и интегрируя, получаем общий интеграл исходного диффеdy
  dx  c2 .
ренциального уравнения : 
  y, c1 
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка
y/ 2
.
y 
y
//
Решение.
dp
p2
p
;
dy
y
 dp p 
p     0;
 dy y 
p 0
dp p
 ;
dy y
y/  0
yc
dp
dy


  ln c1 ;
p
y
7
ln p  ln c1 y ;
p  c1 y ;
y /  c1 y ;
dy
 c1  dx  ln c2 ;

y
ln
y
 c1 x;
c2
y  c2 e c1 x .
Линейные дифференциальные
уравнения второго порядка
Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение первой степени (линейное)
относительно неизвестной функции и ее производных:
y  py  qy  f x  ,
(1)
где p и q – функции независимой переменной х или постоянные величины.
Если f x   0 , то уравнение (1) называется
однородным, ЕСли f  x   0 , то уравнение
(1) называется неоднородным.
8
Определение 2. Функции y1  x , y2  x  –
y1  x 
линейно независимы, если y  x   const и ли2
y1 x 
 const .
нейно зависимы, если
y2  x 
Если y1 x  и y2 x  – линейно независимые
функции и являются решениями уравнения
y  y  Qy  0 , то общее решение этого
уравнения записывается в виде:
y  c1 y1 x   c2 y2 x , где с1, с2 – произвольные постоянные.
Линейные однородные
дифференциальные уравнения второго
порядка
с постоянными коэффициентами
Рассмотрим уравнение вида:
у// + ру/ + qy = 0,
(2)
где p и q – постоянные (действительные чису = еkx
ла).
Будем искать решение данного уравнения в
виде
, где k = const.
Тогда у/ = kekx ; y// = k2ekx.
9
Для того чтобы функция у = еkx была решением данного уравнения, необходимо, чтобы она вместе со своими производными у/,
у// обращала данное уравнение в истинное
равенство. Таким образом, получаем:
k2ekx + pkekx + qekx = 0 ;
еkx (k2 + pk + q) = 0.
Это равенство истинно, если k2 + pk + q =
0. Полученное уравнение называется характеристическим.
Таким образом, если в функции у = еkx в
качестве k взять корень характеристического уравнения, то получим дифференцируемую функцию, являющуюся решением данного дифференциального уравнения.
При этом возможны следующие случаи.
1-й случай.
Корни характеристического уравнения
действительные и различные: k1 , k 2  R, k1  k 2 .
Тогда будем иметь два частных решения
исходного дифференциального уравнения:
y1  e ;
y2  e
k1 x
k2 x
.
Функции y1 и y2 - линейно независимы:
y1 ek1 x
(  k 2 x  ek1  k 2 x  const ),
y2 e
10
поэтому можно записать общее решение исходного
уравнения
в
виде:
y  c1e
k1x
 c2e
k2 x
, где с1 и с2 – const.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
у// – 7у/ + 10у = 0.
Решение. Составим и решим характеристическое уравнение. Имеем:
k2 – 7k + 10 = 0 ; k1 = 2; k2 = 5; . Отсюда по2x
5x
y

e
;
y

e
лучаем 1
– линейно незави2
симые частные решения дифференциального
уравнения. Общее решение линейного урав2x
5x
y

c

e

c

e
нения :
.
1
2
2-й случай.
Корни характеристического уравнения
действительные и равные:
k1 , k2  R, k1  k 2  k. Тогда уравнение (2)
имеет частное решение у1  е kx , а в качестве
второго частного решения уравнения (2)
можно взять функцию у 2  х е kx . Таким образом, получаем общее решение уравнения (2):
11
y  c1e  c2 xe
kx
kx
.
Пример. Решить линейное дифференциальное уравнение:
y //  4 y /  4 y  0.
Решение. Составим и решим характеристическое уравнение. Имеем: k 2  4k  4  0. Отсюда находим корни k1  k2  2 . Следовательно,
y1  e2 x ; y2  xe 2 x ;  y  c1e2 x  c2 xe 2 x – общее решение.
3-й случай.
Корни характеристического уравнения
комплексные.
k1     i ; k2     i ; k1 , k2  C . Тогда частные решения исходного дифференциального уравнения имеют вид:
y
 ctg x  const  y и y
y1  e x  cos  x , y2  e x  sin  x.
y
1
1
2
2
– линейно независимые решения, то
y  c e cos  x  c e sin  x – общее решение уравнения (2).
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения у" + 4y = 0.
x
1
x
2
12
Решение. k2 + 4 = 0, k2 = –4; k = 0  2i;
=0 ; =2;
y1 = cos2x ;y2 = sin2x; y
= c1cos2x + c2sin2x – общее решение.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами
Пусть дано линейное уравнение второго порядка с пра-
вой частью у"  py'  qy  f x  .
Общее решение линейного неоднородного уравнения
можно составить как сумму общего решения y соответ-
ствующего однородного уравнения: у"  py'  qy  0 и какого-нибудь частного решения
y0 неоднородного уравнения.
у  y  у0
Нахождение частного решения линейного неоднородного
дифференциального уравнения по виду правой части
Таблица видов частных решений y  y  qy  bx
Правая часть дифференциального
уравнения -  f  x 
n  x e ax
Корни
характеристического уравнения
1. Число a не является корнем характеристического
уравнения:
a  k1 ; a  k2
2. Число a совпадает с одним из корней характеристического уравнения:
a  k1 или a  k2
3. Корни характеристического уравне13
Вид частного
решения
Qn  x е ax , где
Qn  x  –многочлен
степени n
хQn  x е ax , где
Qn  x  –многочлен
степени n
х 2Qn  x еax , где
ния равны и совпадают с числом а :
k1  k2  a
 cosbx   sin bx 1. Числа  bi не являются корнями характеристического
уравнения
2. Числа  bi являются корнями характеристического
уравнения
Qn  x  –многочлен
степени n
 cosbx   sin bx
x  cos bx   sin bx
Пример. Решить задачу Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения.
 y (0)  3;
y  4 y  3 y  e5x ;

 y(0)  9.
Решение. Составим и решим характеристическое уравнение. Имеем:
k 2  4k  3  0;
D  16  12  4;
k1,2  4  2 / 2  3;1.
y  C1e3 x  C2e x .
Получили общее решение однородного дифференциального уравнения.
Рассмотрим правую часть исходного неоднородного
уравнения. Имеем:
f  x   e5 x , n  0, a  5  k1,2 ;
y  e5 x ;
y   5e5 x ;
y   25e5 x ;
Подставим y, y, y в исходное уравнение. Получим верное равенство:
14
25e5 x  20e5 x  3e5 x  e5 x ;
25  20  3  1;
8  1;
  1/ 8;
y0  1/ 8e5 x .
y  y  y0  1 / 8e5 x  C1e3x  C2e x – общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения. Теперь займемся решением задачи Коши. Найдем его производную y .
Получаем: y  5 / 8e5 x  3C1e3x  C2e x . Подставляем в полученное общее решение и в его производную начальные условия. Имеем:
3  1 / 8C1  C 2
C 2  23 / 8  C1





9  5 / 8  3C  C
3C  23 / 8  C  67 / 8
1
2
1

 1
C 2  23 / 8  C1C
C 2  1 / 8.




2C  22 / 4
C 22 / 8.
 1
 1
Откуда получаем y  1 / 8e5 x  11 / 4e3x  1 / 8e x – частное решение неоднородного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям (то есть решение
задачи Коши).
Задачи для самостоятельного решения
1) y /  y  cos x .
2) y //  y /  2 y  8 sin 2 x.
3) y //  2 y /  5 y  e x cos 2 x.
4) y //  y  3 sin x.
5) y //  y  4 cos x.
6) y //  9 y  e 3 x cos x.
7) y //  4 y  e 2 x sin 2 x.
15
8) y //  2 y  2e x (cos x  sin x).
9) y //  y  2 sin x  4 cos x.
10) y //  6 y /  25 y  2 sin x  3 cos x.
Ответы:
x
1) y  C1 cos x  C2 sin x  sin x.
2
2
2) y  C1e x  C2 e  2 x  3 sin 2 x  cos 2 x .
5
x
3) y  C1 cos 2 x  C2 sin 2 x e x  e x sin 2 x.
4
3
4) y  C1 cos x  C2 sin x  x cos x.
2
5) y  C1 cos x  C2 sin x  x cos x  x 2 sin x.
1
6) y  C1e 3 x  C2 e  3 x  e 3 x 6 sin x  cos x .
37
1
7) y  C1e  2 x  C2 e 2 x   e 2 x sin 2 x  2 cos 2 x .
20
8) y  C1e  x 2  C2 e x 2  xe x sin x  e x cos x.
9) y  C1e x  C2 e  x  2 cos x  sin x.
1
14 cos x  5 sin x .
10) y  (C1 cos 4 x  C2 sin 4 x)e 3 x 
102
Замечание:
Пусть правая часть уравнения
y  py  qy  f (x)
равна сумме двух (или нескольких) функций:
f ( x)  f1 ( x)  f 2 ( x) ;
y1* и y2* – решения уравнений с той же левой частью, но с правыми частями, соответственно равными f1 ( x) и f 2 ( x) , тогда
y*  y1*  y2* - частное решение данного уравнения. Следовательно, в том случае, когда правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций, можно
16
подобрать частное решение для каждого слагаемого правой части, а затем найти сумму полученных частных решений.
Пример. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y  y  5 x  2e x .
Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y  y  0 . Для этого составим и решим
характеристическое уравнение.
Имеем:
k2  k  0;
k  0 или k  1.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y  C1  C2e  x .
Теперь рассмотрим правую часть исходного уравнения.
Она представляет собой сумму двух функций f1 ( x)  5 x и
f 2 ( x)  2e x . Подберем частное решение неоднородного уравнения для каждой функции в отдельности. Имеем:
y1*  x( Ax  B) .
Найдем коэффициенты A и B . Для этого дважды продифференцируем y1* и подставим в уравнение y  y  5x .
Получим:
( y1* )  2 Ax  B ;
( y1* )  2 A ;
2 A  2 Ax  B  5 x ;
5
A  ; B  5 .
2
5
Таким образом, y1*  x( x  5) . Теперь найдем y2* . Име2
ем y2*  Ae x . Продифференцируем дважды y2* и подставим в
уравнение y  y  2e x . Получим:
( y2* )  Ae x ;
( y2* )  Ae x ;
Ae x  Ae x  2e x ;
17
A  1.
Таким образом, y2*  e x . Следовательно,
5
y*  x 2  5 x  e x . Общее решение исходного неоднородного
2
уравнения найдем по формуле: y  y  y * . Получим
5
y  C1  C2e  x  x 2  5 x  e x .
2
Задачи для самостоятельного решения
1) y //  2 y /  y  e  x cos x  xe  x .
2) y //  3 y /  x  cos x.
3) y /  2 y /  10 y  sin 3x  e x .
4) y //  4 y  2 sin 2 x  3 cos 2 x  1.
5) y //  9 y  xe 3 x  2 x sin x.
6) y //  y  2 x cos x cos 2 x.
7) y ///  5 y /  8 y /  4 y  2e 3 x  3e 2 x .
8) y ///  y //  x 2  1  3xe x .
9) y IV  2 y //  y  e x  sin x  sin 2 x.
Ответы:
3

 x
x

 cos x e .
1) y   C1  C2 x 
6


1
x2 x
3x
2) y  C1  C2e  cos x  3sin x  
 .
10
6 9
1
ex
x
3) y  C1 cos 3x  C2 sin 3x e  sin 3x  6 cos 3x   .
37
9
x
1
4) y  C1 cos 2 x  C2 sin 2 x  3 sin 2 x  2 cos 2 x   .
4
4
18
1
4
5) y  C1 cos3x  C2 sin 3x  x sin x 
1
1
cos x  3x  1e3 x .
16
54
x
x2
x
3
6) y  C1 cos x  C2 sin x  cos x  sin x  cos 3x  sin 3x.
4
4
8
32
3
y  C1e x  C2  C3 x e 2 x  e 3 x  x 2 e 2 x .
2
3
1
1
3
15
8) y  C1e  x  C2  C3 x  x 2  x 3  x 4   x  e x .
2
3
12
4
2
9) y  C1 x  C2 cos x  (C3 x  C4 ) sin x  1 e x  1 x 2 sin x  1 sin 2 x.
7)
4
8
9
Интегрирование линейных
дифференциальных уравнений второго порядка
методом вариации произвольных постоянных
Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное
уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
у"+a1y'+a2y = f(x).
Общее решение такого дифференциального уравнения
можно найти методом вариации произвольных постоянных
(методом Лагранжа). Обычно этот метод используется только в
том случае, когда правая часть уравнения не имеет стандартного вида, рассмотренного выше.
Схема решения.
1. Решить соответствующее однородное уравнение:
у"+a1y'+a2y = 0
и найти у1, у2 – линейно независимые частные решения этого
уравнения.
c1 и c2 :
 с1'  x  y1  c2'  x  y 2  0,
 '
'
'
'




c
x
y

c
x
y
1
1
2
2  f ( x ).
2. Решить систему для неизвестных
19
3. Найти с1(х) и с2(х), интегрируя найденные функции
c1 и c2 :
с1 x    c1' x dx  k1 ,
c2 x    c2' x dx  k2 ,
где k1, k2–произвольные постоянные.
4. Написать общее решение исходного неоднородного
уравнения: y=c1(x)y1+c2(x)y2 ,
y
 c x dx  k y   c xdx  k y .
'
1
1
1
'
2
2
2
Пример. Решить линейное неоднородное дифференци1
"
альное уравнение y  4 y 
методом вариации произcos 2 x
вольных постоянных (методом Лагранжа).
Решение.
y   4 y  0;
k 2  4  0;
k 2  4;
k  0  2i;
y1  cos 2 x;
y1/  2 sin 2 x;
y 2  sin 2 x;
y 2/  2 cos 2 x.
c / y  c / y  0;
1 1 2 2
 / /
c1 y1  c2/ y2/  f  x .
c / cos 2 x  c / sin 2 x  0;
2
1

1
/
/
.
 2c1 sin 2 x  2c2 cos 2 x 

cos 2 x
sin 2 x
1
c1/  
; c2/  .
2 cos 2 x
2
20
1 sin 2 x
1
с1   
dx  k1  ln cos 2 x  k1 ,
2 cos 2 x
4
с2 
1
1
dx

k

x  k2 .

2
2
2
Ответ: Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
1

1

y   ln cos 2 x  k1  cos 2 x   x  k 2  sin 2 x .
4

2

Задачи для самостоятельного решения
Решить задачи Коши для следующих дифференциальных уравнений:
e x
/
/
1) y  2 y  y 
, y1  0, y / 1  0.
x
1
 
 
2) y /  y 
, y   1, y /    0.
sin x
2
2
3) y //  4 y  2tgx, y 0  0, y / 0  2.
1
, y 0  0, y / 0  0.
4) y //  4 y 
cos 2 x
5) y //  y  tgx, y 0  2, y / 0  1.
ex
6) y  2 y  y  ,
x
y1  e,
//
7) y //  y  thx,
y 0  2 

2
,
y / 1  3e.
y / 0  1.
8) y //  2 y  4 x 2e x ,
y0  3,
4x2 1
,
9) y  y 
x x
y 1  e  4,
2
//
10) y //  2 y  y 
x2  2x  2
x3
,
Ответы:
21
y / 0  0.
y / 1  e  2.
y  1 
1
 1,
e
y /  1 
1
 1.
e
1) y  1  x  x ln x e  x .
2) y 

2
cos x  sin x  x cos x  sin x ln sin x .
1
3) y   x cos 2 x 2 x  sin 2 x  sin 2 x ln cos x .
2
1
x
4) y  cos 2 x ln cos 2 x  sin 2 x.
4
2
1
x  
5) y  2cos x  sin x   cos ctg    .
2
2 4
x
6) y  xe 1  ln x .



x
x
1  arctge x .
7) y  e  e
2
x 2
 e x 2  e x .
8) y  e
9) y  e  4 x .
x
10) y  e 
x
1
.
x
22
Список литературы:
1. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах.
Часть 2. – М.: Высшая школа, 1974.
2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука,
1987.
3. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник. М.: Высшая школа,
1990, 480 с.
23
CОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………..3
Глава I. Дифференциальные уравнения
первого порядка…………………………..............4
§1. Основные определения…………......................4
§2. Дифференциальные уравнения
с разделенными переменными………………..5
§3. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными…………….5
§4. Однородные дифференциальные
уравнения первого порядка……………………9
§5. Линейные дифференциальные
уравнения первого порядка………………….13
§6. Уравнение Бернулли………………………….17
§7. Понятие об уравнениях в полных
дифференциалах………………………………21
Глава II. Дифференциальные уравнения
второго порядка………………………………….22
§ 1. Основные определения………………………22
§ 2. Задача Коши для дифференциального
уравнения второго порядка…………………22
§ 3. Дифференциальные уравнения второго
порядка, приводимые к уравнениям первого
порядка………………………………………..23
§ 4. Линейные дифференциальные
уравнения второго порядка…………………28
§ 5. Линейные однородные дифференциальные
уравнения с постоянными
коэффициентами……………………………..29
§ 6. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами……………………………..31
§ 7. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений второго порядка методом
вариации произвольных постоянных……….37
Список литературы…………………………………………...42
24
Учебное пособие
Лариса Вячеславовна Малышева,
Владимир Святославович Мавзовин
Дифференциальные уравнения
Издано в авторской редакции
Подписано в печать
.2010. Формат 60х84 1/16. Гарнитура Times.
Печать трафаретная. Бумага офсетная. Тираж экз.
Издательский центр «Наука»
Типография «Саратовский источник»
г. Саратов, ул. Университетская, 42, оф. 106
25