1 Курс лекций по дисциплине «Прикладная механика» для студентов химико-технологических специальностей Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 2 О ОББЩ ЩИ ИЕЕ П ПО ОЛ ЛО ОЖ ЖЕЕН НИ ИЯ ЯС СО ОП ПРРО ОТТИ ИВ ВЛ ЛЕЕН НИ ИЯ ЯМ МА АТТЕЕРРИ ИА АЛ ЛО ОВ В Сопротивление материалов изучает поведение различных материалов при действии на них сил и указывает, как подобрать для каждого элемента конструкции надлежащий материал и поперечные размеры при условии полной надежности работы и наибольшей дешевизны конструкции. Реальные элементы конструкций и деталей машин при действии на них внешних сил изменяют свою форму, и размеры отсюда вытекают задачи курса “Сопротивление материалов“ как науки о прочности, жесткости и устойчивости. Прочность – способность конструкции, а также ее частей воспринимать заданную нагрузку, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций. Жесткость – способность конструкции, и ее частей под воздействием заданной нагрузки сохранять свои размеры и форму в установленных пределах. Устойчивость – способность конструкции и ее частей сохранять под воздействием заданной нагрузки первоначальную форму упругого равновесия. Схематизация. Расчетная схема – реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей. Схематизация свойств материала: 1) Материалы рассматривают как однородную сплошную среду. 2) Среда считается абсолютно упругой. 3) Сплошная среда считается изотропной (т.е. свойства по любым направлениям одинаковы). Схематизация геометрии объекта. Многообразие форм реальных объектов можно свести к брусу и оболочке. Брус – тело, одно из измерений которого (длина) много больше двух других. В зависимости от формы геометрической оси, брусья делятся на прямые и кривые. Брус с прямолинейной осью называется стержнем. Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Оболочка – тело, одно из измерений которого (толщина) много меньше двух других. Если поверхность оболочки плоскость, то расчетный объект называют пластиной. Схематизация сил. Различают следующие силовые факторы: сосредоточенный момент, распределенная нагрузка. сосредоточенная Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. сила, 3 Внешние силовые факторы. Объект расчета рассматривается изолированно от окружающих его тел, действие же последних на него заменяют силами, которые принято называть внешними. К внешним силам относятся и реакции связей (реактивные силы – действие на тело опор, защемления) Внутренние силовые факторы. Непосредственной причиной разрушения конструкций и деформаций являются внутренние силы, вызванные действием внешних сил (внутренние силы взаимодействия атомов и молекул не учитываются). В расчетные формулы по определению напряжений и деформаций подставляются величины не внешних, а внутренних сил и моментов. Все тела состоят из отдельных частиц, между которыми существуют силы взаимодействия. При деформации тела расстояние между частицами изменяются. При этом возникают дополнительные силы взаимодействия упругие силы, которые стремятся вернуть частицы в первоначальное положение. Эти силы называют внутренними силами (возрастают нагрузки, следовательно, возрастают внутренние силы (до определенной величины, дальше разрушение)). Основные принципы сопротивления материалов. В основе расчетов сопротивления материалов лежит ряд общих предпосылок или принципов. Такими принципами являются: принцип суперпозиции или принцип независимости действия сил, принцип начальных размеров и принцип Сен-Венана. Принцип независимости действия сил указывает, что общий результат от действия нескольких сил равен сумме результатов от действия каждой силы взятой в отдельности, при этом общий результат действия сил не зависит от порядка их приложения. В соответствии с этим принципом, напряжения и перемещения, возникающие в теле от действия нескольких сил, можно определить как их сумму от действия каждой отдельной силы. Принцип начальных размеров предполагает, что при нагружении твердого тела его геометрические размеры и форма изменяются не значительно и при составлении уравнений равновесия деформированного тела его деформациями можно пренебречь (т.е. рассматривается тело как абсолютно жесткое не деформируемое). Исключением являются мгновенно изменяемые системы, которые в некотором положении допускают перемещения элементов, не сопровождающиеся деформациями. Принцип Сен-Венана утверждает, что особенности приложения внешних сил к телу проявляются в малом объеме тела вокруг нагруженного участка на расстояниях, не превышающих линейных размеров поперечного сечения тела. Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 4 В ВН НУ УТТРРЕЕН НН НИ ИЕЕ С СИ ИЛ ЛО ОВ ВЫ ЫЕЕ Ф ФА АК КТТО ОРРЫ Ы.. М МЕЕТТО ОД ДС СЕЕЧ ЧЕЕН НИ ИЙ Й Как уже указывалось, в расчетные формулы подставляются только внутренние силовые факторы. Величины внутренних силовых факторов определяются с использованием метода сечений. Метод сечений основан на том, что рассматриваемое тело под действием внешних сил находится в равновесии. Следовательно, в равновесии должна находиться и любая часть этого тела. Рассмотрим брус, к которому приложена система внешних сил, удовлетворяющая условиям равновесия (рис.1). Мысленно рассечем наш брус на две части (рис.2) и одну из них отбросим. В общем случае внешние силы действующие на оставленную часть бруса не будут удовлетворять Fn-1 Fn-1 F2 F2 Fn Fn F1 F1 Рис 1 Рис 2 Fn-1 X Mr ed Y Rr e d Fn Z Fn-1 X Qz Y Qy N Fn Z Mk My Mz Рис 3 Рис 4 условиям равновесия. Однако если весь брус находится в равновесии, то в равновесии должна находиться и оставленная часть. Так как связи между частями устранены, то заменим действие правой части бруса на левую и левой на правую системой сил (внутренних сил) в этом сечении (рис 2). Следовательно, оставленная часть бруса удерживается в равновесии за счет внутренних сил действующих в сечении, разделившем брус на две части. По принципу действия и противодействия внутренние силы взаимны. Правая Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 5 часть действует на левую так же, как левая на правую. Внутренние силы считаются поверхностными силами, то есть принимается, что частицы, расположенные за сечением, во взаимодействии не участвуют. Рассмотрим оставленную часть бруса. Приведем систему внутренних сил к центру тяжести сечения. В результате получим главный вектор Rred и главный момент Mred (рис 3). Через центр тяжести сечения проведем главные центральные оси (X;Z;Y), разложим на эти оси главный вектор и главный момент. Запишем условия равновесия оставленной части (рис 4). Fx N Fex 0; Mx Mk ост Fy Qy Fey 0; My Fez 0; Mz My Qz ост 0; M y ( Fe ) 0; M z ( Fe ) 0 ост ост Fz M x ( Fe ) ост Mz ост где N – нормальная сила; Qy и Qz – поперечные силы; Mk – крутящий момент; My и Mz – изгибающие моменты. Все эти перечисленные составляющие главного вектора и главного момента называются внутренними силовыми факторами. Записанная система уравнений позволяет сформулировать правило определения каждого из внутренних силовых факторов. Знаки внутренних силовых факторов принято определять их направлением относительно поперечного сечения, к которому они приложены, что соответствует характеру деформаций и действующим в сечении элементарным силам. Нормальная сила, направленная от сечения, вызывает в сечении растяжение материала и считается положительной, а направленная к сечению – вызывает в сечении сжатие и считается отрицательной. Нормальная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на ось Х, направленную по нормали к сечению, всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части бруса Поперечная сила считается положительной, если внешние силы стремятся вращать отсеченную часть бруса относительно проведенного сечения по часовой стрелке; если против часовой стрелки, то поперечная сила считается отрицательной. Изгибающий момент от внешних сил, вызывающих сжатие верхних волокон балки, считается положительным, а вызывающий сжатие нижних волокон балки отрицательным. При построении эпюры изгибающих моментов для внутренних стержней рамы, знаки не присваиваются, а эпюра строится на сжатых волокнах. Крутящий момент в сечении считается положительным, когда скручивающие (внешние) моменты, действующие на оставленную часть бруса, образуют равнодействующий момент, направленный по часовой стрелке, если смотреть на сечение со стороны внешней нормали; когда равнодействующий момент направлен против часовой стрелки, то крутящий Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 6 момент в сечении считается отрицательным. Правило знаков для крутящих моментов носит рекомендательный характер. Виды нагружений В соответствии с наименованием силовых факторов производится классификация видов нагружения. Нагружение называется простым, если в поперечных сечениях элемента конструкции возникает только один внутренний силовой фактор. Простыми видами нагружения являются: растяжение (сжатие) – в поперечных сечениях элемента возникает только нормальная (продольная) сила; кручение – в поперечных сечениях элемента возникает только крутящий момент; чистый изгиб – в поперечных сечениях элемента возникает только изгибающий момент; сдвиг – в поперечных сечениях элемента возникает только поперечная сила. Нагружение называется сложным, если в поперечных сечениях элемента одновременно возникает несколько силовых факторов. Напряжение Напряжение - мера интенсивности внутренних сил. Рассмотрим брус, нагруженный равновесной системой сил. Методом сечений рассечем брус на две части (рассмотрим правую часть) рис 5. Действие отброшенной части на оставленную заменим внутренними силами, которые непрерывно Рис. 5. Среднее напряжение Рис. 6. Разложение вектора полного напряжения распределены по сечению. Выделим вокруг произвольной точки К элементарную площадку ΔА. Пусть равнодействующая внутренних сил на этой площадке ΔR (рис. 5). Отношение равнодействующей внутренних сил, возникающих на элементарной площадке, к площади этой площадки называется средним напряжением Pm в окрестности рассматриваемой точки по проведенному сечению. Pm R A Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 7 Напряжение в точке Р lim A 0 R ; A Н м2 Па Напряжение в данной точке по рассматриваемому сечению величина векторная. Проекция на нормаль к сечению называется нормальным напряжением и обозначается σ (рис.6). Проекции полного напряжения на оси, лежащие в плоскости сечения, называются касательными напряжениями и обозначаются буквой τ с двумя индексами первый обозначает ось к которой перпендикулярна площадка, а второй – ось, по направлению которой действует напряжение. Через точку можно провести множество сечений и каждый раз полное напряжение будет другим. Совокупность напряжений для всех площадок, проходящих через данную точку, называется напряженным состоянием в точке. Внутренние силовые факторы можно выразить через напряжения dN dA где dN – элементарная нормальная сила, приходящаяся на площадку dA ; dQ dA где dQ – элементарная поперечная сила, приходящаяся на площадку dA ; dMk dA где dMk – элементарный крутящий момент внутренних сил, действующих на площадку dA относительно центра тяжести сечения; dM z ydA и dM y zdA где dM z и dM y – элементарные изгибающие моменты внутренних сил, действующие на площадку dA относительно осей Z и Y. Перемещения и деформации Все твердые тела не являются абсолютно жесткими и под действием внешних сил изменяют свою форму и размеры. Термин «деформация» в сопротивлении материалов, применяется двояко: с одной стороны, в качественном смысле, как всякое изменение формы и размеров тела, а с другой стороны, как количественная мера изменения состояния в точке. Вектор S , (рис.7) имеющий начало в точке В недеформированного тела, а конец в этой же точке В' деформированного тела, называют полным перемещением точки. Проекции вектора S на координатные оси называются составляющими или компонентами перемещений или перемещениями по Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 8 осям, и обозначаются соответственно осям x,y,z через u,v,w. Перемещения разных точек деформированного тела различны. Перемещения не могут быть приняты как характеристики деформации, так как они включают в себя составляющие, связанные не только с деформациями в данной точке, но и с переносами самой точки, вызванные перемещениями других участков тела. F1 Y Y v 2 В' F2 В' C' В 90 О О С В u X w о В' В 1 S + S C' S С Z X Рис.7 Рис.8 Рассмотрим точки В и С недеформированного тела (рис. 8), расположенные друг от друга на расстоянии S. После приложения нагрузки точки заняли положение В' и С', а расстояние изменилось на ΔS. Предел отношения приращения длины к начальному расстоянию между точками, когда точка С стремится к точке В, называется относительной линейной деформацией или относительным удлинением тела в точке В по направлению ВС. BC lim C B B C BC BC lim S 0 S S Если ΔS положительное тогда имеет место удлинение, если ΔS отрицательное тогда имеет место укорочение. Кроме линейной деформации существует понятие угловой деформации. Рассмотрим прямой угол в недеформированном теле образованный отрезками ОВ и ОС. После нагружения точки заняли новое положение О'В'С', а прямой угол превратился в острый. Предел разности углов В'О'С' и , когда точки В и С стремятся к 2 точке О, называется относительным сдвигом или углом сдвига в точке О в плоскости XY и обозначается буквой γ с индексами соответствующей координатной плоскости. xy lim B O C B O C O 2 Согласно рисунка γxy =γ1+γ2 где γ1и γ2 – углы поворотов отрезков ОВ и ОС. Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 9 Деформация характеризует состояние материала в точке и не связана с какой-либо длиной или формой тела. Если все точки деформированного тела в заданном направлении F испытывают одинаковую деформацию, то деформация называется однородной. Если перемещение, а значит и деформация по направлению какой-либо A0 координатной оси отсутствует, деформация называется плоской. Кроме того деформации бывают упругие и пластические. В общем случае линейные и угловые деформации в точке меняются в зависимости от F ориентации осей координат (секущей плоскости). ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ Осевое (центральное) растяжение и сжатие является простым видом нагружения. При данном нагружении в поперечных сечениях тела возникают только нормальные (продольные) силы. Это же можно сказать и о напряжениях т.е. в поперечных сечениях бруса испытывающего растяжение или сжатие появляются только нормальные напряжения которые определяются по зависимости N A0 НАКЛОННЫЕ ПЛОЩАДКИ Рассмотрим в теле, испытывающем осевое растяжение (сжатие) наклонное сечение. Наклон определяется острым n F углом α между направлением оси стержня и p нормалью nα к площадке. Определим напряжения в наклонных площадках. Изобразим наше тело в A виде плоской фигуры. По наклонной площадке площадь которой A0 равна Аα равномерно распределены полные напряжения Pα, параллельные осевой силе N=F в сечении. Следовательно N= Pα Аα откуда P F N A F cos A0 0 cos Проектируя Pα на нормаль и плоскость сечения, получим выражения для нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке P cos P sin 0 0 2 cos2 ; sin 2 ; Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 10 F l Закон Гука Опытное изучение свойств материалов при растяжении и сжатии показало, что пока нагрузка на образец не достигла предела пропорциональности, удлинение прямо пропорционально растягивающей силе N, длине образца l и обратно пропорционально площади поперечного сечения А. Таким образом зависимость для определения удлинения образца имеет вид Nl EA l где Е – модуль упругости (Юнга) характеризует упругие свойства материала. Данная зависимость носит название закона Гука. Чтобы исключить влияние геометрического фактора и выделить свойства материала, преобразуем закон Гука следующим образом l 1 N E A l Тогда закон Гука можно записать в следующем виде где ε – относительная деформация. E a- a a Коэффициент Пуассона При растяжении стержня его удлинение всегда сопровождается уменьшением поперечных размеров (продольная деформация сопровождается b-b поперечной). Относительная l продольная деформация может b l+l l быть найдена как l Относительная поперечная деформация b b a a Поперечная деформация для всех изотропных материалов по всем поперечным направлениям одинакова. Опытами было показано, что в пределах упругой области, при простом растяжении и сжатии, относительная поперечная деформация пропорциональна относительной продольной. Данные деформации всегда противоположны по знаку где μ – коэффициент Пуассона. Из записанной зависимости видно, что коэффициент Пуассона определяется как Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 11 Используя закон Гука, относительную поперечную деформацию можно выразить через нормальное напряжение E В данную формулу величина нормального напряжения подставляется со знаком, учитывающим вид нагружения т.е. при растяжении знак плюс, при сжатии знак минус. Величина коэффициента Пуассона для реальных материалов находится в пределах 0<μ≤0,5. Для большинства материалов μ=0,25-0,35, для стали μ≈0,3. Условия прочности и жесткости при растяжении и сжатии Условие прочности выражает требование, что бы максимальное расчетное напряжение в стержне не превышало значения допускаемого напряжения, и записывается в виде следующего неравенства x , max N max A где – допускаемое напряжение (то максимальное напряжение, которое допускается создавать при рабочих нагрузках). Условие жесткости выражает требование, чтобы расчетное удлинение стержня не превышало допускаемого удлинения, и записывается в виде неравенства l max l Указанные условия позволяют произвести три вида расчетов 1) конструкторский или проектный (подбор поперечного сечения) A N max A N max l E l Из полученных площадей поперечного сечения принимают максимальную. 2) проверочный в этом случае все известно надо проверить выполнение условий прочности и жесткости 3) расчет грузоподъемности или несущей способности N A N EA l l После сравнения полученных результатов принимают наименьшее значение. ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ Механические характеристики материалов, характеризующие их свойства, получают экспериментально на испытательных машинах. Испытания на растяжение и сжатие являются наиболее распространенными, т.к. позволяют определить основные механические Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 12 свойства материалов. Современные испытательные машины, снабжены устройством, автоматически записывающим диаграмму зависимости между усилием и деформацией образца. Диаграмму, записываемую машиной, называют машинной диаграммой. I. Диаграмма растяжения пластичных материалов Характерная машинная диаграмма, получаемая при растяжении образца из пластичного материала, показана на рис.1. На диаграмме отчетливо просматриваются четыре характерные зоны. Это зона пропорциональности (на диаграмме – прямая линия ОА); зона текучести (на диаграмме – практически горизонтальный участок ВС); зона упрочнения (на диаграмме – следующий участок СD до достижения максимального усилия) и зона местной текучести (на диаграмме – участок DK завершающийся разрывом образца). D F K Fmax Fт Fy Fп ц A1 B C A l l lp p y 0 Рис. 1 В зоне пропорциональности деформация образца прямо пропорциональна растягивающей силе. Таким образом, до величины силы, соответствующей точке А, соблюдается закон Гука: l Fl EA где l - длина образца; Е - модуль упругости; А - площадь поперечного сечения образца. Наибольшую силу, до которой справедлив закон, Гука, обозначают Fпц. В зоне пропорциональности возникают только упругие деформации (деформации, практически полностью исчезающие после снятия нагрузки). В последующих зонах одновременно с упругими деформациями Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 13 d0 появляются и пластические (остаточные). Как правило, зоной пропорциональности ограничивается диапазон рабочих нагрузок для элементов конструкций и механизмов. Следующий участок ВС, почти параллелен оси ∆l, т.е. практически без увеличения силы F образец продолжает деформироваться или, как говорят, "течет". Участок ВС иногда называют площадкой текучести. Силу, соответствующую пределу текучести, обозначают Fт. a) d1 <d0 l 0 =10d0 б) d3 в) d2 =d1 l1 >l0 l3 >l1 Рис.2. За площадкой текучести материал как бы упрочняется и снова приобретает способность оказывать сопротивление возрастающей нагрузке (участок СD). На этом участке небольшим увеличениям растягивающей силы соответствуют большие остаточные деформации образца. Зависимость между силой и удлинением криволинейная. Достигнув некоторой величины Fmax, нагрузка при дальнейшем деформировании образца начинает падать, т.к. в это время в образце появляется местное сужение ("шейка", рис.2в). До силы Fmax, рабочая часть образца деформируется равномерно. При появлении "шейки" деформации в основном развиваются в этой области, в то время как остальные участки почти не деформируются. Поперечные размеры образца в области "шейки" резко уменьшаются, и происходит разрыв (точка К на диаграмме). Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 14 На рис. 2а показан образец до испытания, на рис. 2б – образец, нагруженный силой F<Fmax, и на рис. 2в – образец непосредственно перец разрывом. 2. Характеристики прочности материала Силы Fпц, Fт, Fmax, не являются характерными величинами для данного материала, так как зависят от площади поперечного сечения образца. Поэтому машинную диаграмму, показанную на рис. I, следует перестроить, разделив силы на первоначальную площадь поперечного сечения образца А0, а абсолютные удлинения - на расчетную длину l0. Тогда диаграмма будет изображать зависимость между напряжением σ и относительным удлинением образца ε (рис. 3) и вместо сил Fпц, Fт, Fmax получим напряжения: Fпц пц A0 ; т Fт ; A0 в Fmax A0 где σпц – предел пропорциональности; σт – предел текучести, σв – временное сопротивление (иногда это напряжение называют пределом прочности и обозначают σпч). Перечисленные пределы и являются характеристиками прочности материала. Дадим определения этим напряжениям. Предел пропорциональности - это наибольшее напряжение, до которого справедлив закон Гука, т.е. до которого сохраняется прямая пропорциональность между напряжением и относительным удлинением. Предел текучести - это напряжение, при котором материал "течѐт", т.е. при котором деформация растет без увеличения нагрузки. Временное сопротивление, или предел прочности - это напряжение, соответствующее наибольшему значению нагрузки, которую способен выдержать образец. Чем больше значения величин σпц , σт и σв, тем материал прочнее. Следует отметить, что диаграмма, показанная сплошной линией на рис. 3, является условной, так как напряжения получены путем деления силы на первоначальную площадь поперечного сечения образца. Фактически площадь все время будет уменьшаться, особенно заметно это уменьшение после достижения силой наибольшего значения. Поэтому истинное напряжение получим, если силу разделим на площадь поперечного сечения образца, соответствующую данной силе. Истинные напряжения, которые на рис. 3 показаны штриховой линией, будут больше условных. Для практических целей используют обычно условные напряжения. Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 15 d в a c т b y пц a1 k p 0 p y p Рис.3. 3. Характеристики пластичности материала Кроме характеристик прочности, при растяжении определяют характеристики пластичности. Характеристиками пластичности являются относительное остаточное удлинение ε после разрыва и относительное остаточное уменьшение площади поперечного сечения ψ в самом тонком месте испытанного образца. В момент разрыва длина образца больше, чем после разрыва, т.к. при разрыве исчезают упругие деформации l yp (рис. I). Тогда относительное остаточное удлинение образца после разрыва будет равно p 0 lk l0p l0 l0 l0 где l0 – длина расчетной части образца до испытания, lk – конечная длина расчетной части образца, т.е. после разрыва. Относительное изменение площади поперечного сечения образца A0 Ak A0 где А0 – площадь сечения до испытания; Ак – площадь сечения шейки после разрыва. Чем больше ε и ψ, тем материал пластичнее. Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 16 5.Наклеп Если образец из пластичного материала нагрузить напряжением, большим предела текучести, но меньшим временного сопротивления (σт<σ<σв), а затем разгрузить, то диаграмма разгрузки пойдет по прямой МО1, параллельной начальной прямой ОА (рис.6а). При этом упругая де М т пц О K в C B A D о О1 у р о Рис. 6а D K * пц * т в М О1 0,002 о р Рис.6б формация исчезнет (отрезок О1L) и останется пластическая (остаточная) деформация, измеряемая отрезком ОО1. Таким образом, полная деформация при нагружении выше предела упругости будет складываться из упругой деформации и остаточной: ε=εу+εо . При повторном нагружении разгруженного образца диаграмма растяжения пойдет по примой О1М, а начиная с точки М -как будто не было разгрузки, т.е. при повторной нагрузке диаграмма напряжений изменяется по линии О1МДК. Это свидетельствует о том, что материал при Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 17 предварительном растяжении выше предела текучести меняет свои свойства. Рассмотрим диаграмму деформации исходного образца (рис.6а), и диаграмма растяжения образца предварительно растянутого (рис.6б). Из диаграмм видно, что при повторном нагружении предел пропорциональности увеличился, пропала площадка текучести. Следовательно, после предварительной вытяжки материал стал более упругим и более прочным, так как увеличились пределы пропорциональности и текучести, в то же время он стал более хрупким, так как уменьшилась относительная остаточная деформация разрыва. Такое изменение свойств материала в результате предварительного пластического деформирования называют наклепом. Наклеп может возникнуть не только при растяжении, но и при любых других видах пластического деформирования. Наклеп широко используется в технике. Цепи, тросы часто подвергают предварительной вытяжке, с тем, чтобы избежать остаточных удлинений в дальнейшем при работе. В нежелательных случаях наклеп можно снять отжигом. 6. Диаграмма растяжения хрупких материалов К хрупким материалам относятся чугун, высокоуглеродистая сталь, стекло, кирпич, бетон и др. Эти материалы разрушаются без образования заметных остаточных деформаций. Для хрупких материалов величина относительного остаточного удлинения при разрыве не превышает 0,02– 0,05 (2–5 %). На диаграмме растяжения хрупкого материала отсутствует площадка текучести и зона упрочнения (рис. 7). По диаграмме растяжения можно определить только предел пропорциональности σпц и временное сопротивление σв или предел прочности σпч хрупкого материала (рис.7б). Для этого по машинной диаграмме (рис.7а) определяют силу, соответствующую пределу пропорциональности Fпц, и наибольшую Fпц Fmax ; в силуFmax. Тогда пц A0 A0 где А0 – площадь поперечного сечения образца до испытания. Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 18 пц Fmax Fпц p lo в F l p ly p o а p y б Рис.7. 7. Диаграмма сжатия пластичных материалов Пластичный материал при сжатии в начальной стадии ведет себя так же, как и при растяжении. На некотором участке ОА (рис. 8) наблюдается прямо пропорциональная зависимость между абсолютной деформацией (укорочением) и силой или между относительной деформацией и напряжением. Затем после некоторого искривления наблюдается площадка текучести, которая при сжатии менее ярко выражена, чем при растяжении. При дальнейшем нагружении сжимающая сила все время возрастает, так как образец расплющивается и площадь его поперечного сечения увеличивается. Образец из пластичного материала довести до разрушения практически невозможно, так как он сжимается в тонкий диск, и дальнейшее испытание ограничивается возможностями машины. По машинной диаграмме (рис. 8а) можно определить наибольшую силу Fпц, до которой справедлив закон Гука, и силу Fт, при которой материал «течет». Разделив эти силы на первоначальную площадь поперечного сечения образца А0, найдем предел пропорциональности и предел текучести: Fпц пц ; т Fт A0 A0 которые для пластичного материала при сжатии получаются по величине примерно такими же, как и при растяжении. Предел прочности при сжатии пластичного материала получить нельзя (рис.8б). Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 19 F аb c пц Fт Fпц т АВ С l О О а б Рис.8. 8. Диаграмма сжатия хрупкого материала Диаграмма сжатия хрупкого материала аналогична диаграмме растяжения (рис. 7). Предел пропорциональности и предел прочности хрупкого материала при сжатии определяют так же, как и при растяжении. Необходимо обратить внимание на то, что предел прочности при сжатии хрупкого материала σвс значительно больше, чем предел прочности при растяжении σвр. Величина отношения К=σвр/ σвс для чугуна колеблется от 0,2 до 0,4. Для керамических материалов К=0,1–0,2. 9. Допускаемое напряжение Одной из наиболее важных величин, определяемых по результатам испытаний на растяжение и сжатие, является допускаемое напряжение. Наибольшие напряжения, фактически возникающие в конструкции, не должны превышать некоторой допускаемой величины. Причем допускаемое напряжение должно быть таким, чтобы конструкция, рассчитанная по этому напряжению, работала не на пределе, а с определенным запасом. Для хрупкого материала предельным (опасным) напряжением является предел прочности или временное сопротивление, так как при этом напряжении материал разрушается. Для пластичного материала за опасное напряжение принимается предел текучести, так как при достижении его в пластичном материале появляются большие остаточные деформации. При больших остаточных деформациях существенно меняются размеры отдельных элементов конструкции и нарушается ее нормальная работа в целом. Учитывая, что конструкция должна работать с запасом, необходимо, чтобы допускаемое напряжение составляло некоторую часть от опасного напряжения, т.е. [σ]=σо/n, где [σ] – допускаемое напряжение; σо – опасное напряжение, n – Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 20 коэффициент запаса прочности. Для пластичных материалов σо=σт , для хрупких σо= σв. Что касается коэффициента запаса прочности, то при его назначения необходимо учитывать очень многие факторы: прочность и безопасность проектируемой конструкции, ее экономичность; условия в которых будет работать конструкция; изученность материала, из которого сделана конструкция, и др. Поэтому коэффициенты запаса прочности обычно назначают государственные нормирующие органы. СДВИГ Сдвигом называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня действует только поперечная сила. Если при данном нагружении рассмотреть в теле элементарный параллелепипед, то в нем под действием нагрузки длины ребер элементарного параллелепипеда не изменяются, а изменяются лишь углы между боковыми гранями: первоначально прямые углы становятся равными 90°+γ и 90°-γ. Каждая из граней параллелепипеда при деформации чистого сдвига перемещается относительно грани на величину АА', называемую абсолютным сдвигом. Отношение абсолютного сдвига к расстоянию между противоположными гранями называется относительным сдвигом; при малых деформациях оно равно величине угла сдвига γ. Абсолютный сдвиг выражается в мерах длины, а относительный в радианах. А' A 9 0 + 90 Закон ГУКА Закон ГУКА для сдвига записывается следующей формулой G или G где G – модуль сдвига (модуль упругости второго рода) физическая постоянная материала, характеризующая его жесткость при сдвиге (Па). Взаимосвязь между тремя постоянными Существует взаимосвязь между тремя постоянными E,G,μ (т.е. между модулем упругости первого рода, модулем упругости второго рода и коэффициентом Пуассона) G E 21 Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 21 Учитывая, что 0<μ<0,5 G=(0,33÷0,5)E Для большинства материалов в том числе и для стали G=0,4E. Для стали G=8·1010Па. Расчеты на сдвиг Элементами конструкций, работающими на сдвиг, являются заклепки, штифты, болты повышенной точности, устанавливаемые в калиброванные отверстия без зазоров, а также сварные соединения. Рассмотрим болтовое соединение, нагруженное силами F. Под действием сил F листы будут давить на болт. Кроме того, в результате затяжки гайки, со стороны листов на головку болта и гайку будут действовать вертикальные реакции R. Из рисунков видно, что усилия h R Область сдвига R h R F R R F h F n m R m R F R F M Q n N стремятся срезать болт по сечению m-n. Определим методом сечений внутренние силы, для этого рассмотрим равновесие верхней части болта R N Q F M 0 0 Fh 2 0 N Q R F M Fh 2 Исследования показывают, что поперечная сила Q значительно превышает нормальную силу N и изгибающий момент M. Поэтому последними можно пренебречь. Поперечная сила Q вызывает касательные напряжения в поперечном сечении болта. Q A где A F A d2 – площадь поперечного сечения. 4 Эта формула справедлива также при расчете штифтов, заклепок и т.д. Если в соединении нагрузку F воспринимают несколько болтов, при этом каждый соединительный элемент имеет несколько плоскостей среза, то общая площадь среза будет равна d2 A nk 4 Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 22 где n – количество соединительных элементов (болтов, заклепок); k – число плоскостей среза у одного соединительного элемента. При расчете болтовых и заклепочных соединений необходимо учитывать, что нагрузка приложенная к элементам соединений, вызывает смятие их поверхностей соприкосновения. В расчетах площадь смятия принято принимать равной площади проекции сминаемой поверхности на плоскость перпендикулярную силе F т.е. Aсм=d·h. Если в соединении нагрузку воспринимают несколько болтов (заклепок), то общая площадь смятия будет равна Aсм=d·h·n где n – число соединительных элементов (болтов, заклепок). Так как болты (заклепки) ослабляют соединяемые детали, то последние необходимо проверять на разрыв по ослабленному отверстиями сечению. F b nd где b и δ – размеры сечения листа; n' – число отверстий в ослабленном сечении; [σ] – допускаемое напряжение на растяжение; d – диаметр отверстия. Сварные соединения Основными типами сварных соединений являются: соединения стыковые; соединения нахлѐсточные и соединения тавровые. Практикой установлено, что при сварке в стык соединение стальных деталей разрушается преимущественно на участках основного металла, прилегающих к шву. Поэтому расчет сварного соединения встык выполняется по нормальным напряжениям и размерам сечения детали в зоне F lk F л ин и я р аз р у ш е н и я шва. Так расчет стыкового шва расположенного под углом α к действующему усилию (как правило, α=45°) ведется по размерам сечения детали, без учета длины шва, в предположении, что шов равнопрочен основному металлу. Нормальные напряжения в сварном стыковом соединении определяются по формулам для осевого растяжения (сжатия). Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 23 k 45 Нахлесточные соединения выполняются с помощью угловых швов. По форме сечения угловые швы принимают, за равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого является основной геометрической k характеристикой шва. Разрушение углового шва происходит по его наименьшему сечению, совпадающему с биссектрисой прямого угла треугольника. Расчетная высота шва hш равна k sin 45 hш где k – катет шва. lф F Касательные напряжения для лобовых и фланговых швов определяются по выражению F 0,7kl p F lл 0,7k где l p – суммарная длина шва. Тавровые соединения применяют при соединении элементов, расположенных во взаимно F перпендикулярных плоскостях. При действии растягивающей нагрузки F, касательные напряжения в угловых швах вычисляются по формуле F Ac 2 0,7 k b – площадь сечения двух угловых швов. где Ac Условия прочности и допускаемые напряжения Материал в области среза находится в напряженном состоянии чистого сдвига. Тогда условие прочности можно записать в общем виде max где τmax – максимальное касательное напряжение; [τ] – допускаемое напряжение на сдвиг, принимается для болтов, шпилек равным (0,5÷0,6)[σ]; [σ] – допускаемое напряжение на растяжение. Допускаемые напряжения [τэ] для сварных соединений устанавливаются с учетом качества технологического процесса сварки, характера загрузки швов (переменная, статическая), и определяются как Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 24 производные от допускаемых напряжений на растяжение [σ], для основного металла конструкции. Условие прочности на смятие имеет вид σсм≤ [σсм] где [σсм] – допускаемое напряжение на смятие устанавливается опытным путем и принимается равным [σсм]=(2,0÷2,5)[σ] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ Yc Y Знание геометрических характеристик относительно заданной системы координат, характера их изменения при преобразовании осей координат, позволяет наиболее рационально располагать элементы конструкции относительно внешних нагрузок, обеспечивая наибольшую грузоподъемность конструкции при наименьшем весе. Основными геометрическими Y Zc C характеристиками, используемыми в курсе сопротивления материалов, являются: A Z площадь сечения, осевой статический момент сечения, осевой момент инерции сечения, полярный момент инерции сечения, центробежный момент инерции сечения. Z Основные геометрические характеристики определяются интегралами. Определим основные геометрические характеристики для произвольного сечения площадью А в системе координат Y,Z. Статическим моментом сечения относительно заданной оси называют взятую по всей площади сечения сумму произведений площадей элементарных площадок на их расстояния до данной оси Sz ydA Sy A zdA A Единица статического момента кубический метр (м3). Статический момент может быть положительным, отрицательным и в частности равным нулю. Используя теорему о среднем интегрального исчисления можно записать Sz ydA Yc dA Yc A A Sy zdA A A Z c dA Z c dA A где Yc и Zc – средние значения подынтегральных функций представляющие для плоских фигур координаты их центра тяжести. Тогда формулы для определения центра тяжести сечения можно записать следующим образом Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 25 A Ai Sy Z ci Ai Sz Yci Ai Sz A Sy Yc Zc A Оси, проходящие через центр тяжести, называют центральными. Из формул следует, что статический момент сечения относительно центральной оси равен нулю. Если сечение удается разбить на конечное число отдельных элементов, площади которых и координаты центра тяжести известны, то интегрирование можно заменить суммированием Моменты инерции сечения Осевым моментом инерции сечения относительно данной оси называют взятую по всей площади сечения сумму произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до этой оси. Y A Z A z 2 dA Iy Y y 2 dA Iz A Z Полярным моментом инерции сечения называют взятую по всей площади сечения сумму произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до некоторой точки, которую принято называть полюсом 2 Ip dA A Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны. Единицей осевых и полярного моментов инерции является метр в четвертой степени (м4). Из рисунка видно, что ρ2=y2+z2 тогда 2 Ip A z2 dA A y 2 dA z 2 dA A y 2 dA Iy Iz A Сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей, т.е. начала координат. Центробежным моментом инерции сечения относительно осей координат называют взятую по всей площади сечения сумму произведений Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 26 площадей элементарных площадок на произведение их расстояний до осей координат I yz zydA A Y Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю в зависимости от положения сечения относительно осей координат. Если одна из осей координат представляет собой ось симметрии сечения, то каждому элементу dA имеющему положительную координату z, соответствует такой же симметрично располоY женный элемент dA, имеющий туже координату y, но отрицательную координату z. Следовательно слагаемые вида zydA взаимоуничтожаются и интеграл центробежного момента инерции -Z Z обращается в нуль. Следовательно центробежный момент инерции сечения относительно осей, одна из которых Z является осью симметрии, равен нулю. Параллельный перенос осей Если известны геометрические характеристики сечения относительно осей Z и Y, то геометрические характеристики этого сечения относительно других осей Z1 и Y1 параллельных первым будут определяться, согласно выражениям: Y b A z y Y1 a Z Z1 S z1 y a dA A S y1 z b dA A zdA A bdA Sy bA A A 2 z b dA A aA y 2 dA 2a ydA a 2 dA 2 I y1 Sz A y a dA A adA A 2 I z1 I z1 y 1 ydA A y a z b dA 2 A I zy aS y 2aS z a2 A A z dA 2b zdA b A Iz dA Iy 2bS y b2 A A bS z abA Пусть оси Y и Z проходят через центр тяжести сечения, т.е. являются центральными осями Yc и Zc тогда Sz=Sy=0. В этом случае записанные выражения будут иметь вид Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 27 Yc b A z C y Y1 Zc a r Z1 S z1 aA S y1 bA I z1 I zc a2 A I y1 I yc b2 A I z1 y 1 I zcyc abA Теперь рассмотрим подобные преобразования в отношении полярного момента инерции сечения I p1 I z1 I y1 I zc a 2 A I yc b2 A a2 I pc b2 A I pc r2 A Главные оси и главные моменты инерции Если рассмотреть какие-либо центральные оси и найти относительно их осевые моменты инерции сечения Iz и Iy , а затем повернуть эти оси на произвольный угол α и найти моменты инерции относительно новых осей Izα и Iyα , то можно заметить, что Iz ≠Izα и Iy ≠Iyα в тоже время Iz + Iy= Izα + Iyα . Таким образом, с изменением угла Y Y поворота осей α каждая из величин Izα и Iyα меняется, а их сумма остается неизменной. Следовательно существует такое α, при котором один из моментов инерции Z достигает своего максимального значения, в Z то время как другой момент инерции принимает минимальное значение. Оси, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений, называются главными осями. Моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции. Если у сечения имеется ось симметрии, то она является одной из главных центральных осей (вторая главная центральная ось соответственно перпендикулярна ей). В общем случае положение главных центральных осей (угол наклона) относительно произвольных центральных осей можно определить, используя зависимость 2 I zy tq2 Iz Iy Положительный угол α откладывается против хода часовой стрелки, отрицательный по ходу часовой стрелки. Величины главных моментов инерции определяются по зависимости I max, min Iz Iy 2 1 2 Iz Iy 2 4 I zy2 Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 28 Геометрические характеристики простых сечений Прямоугольник Вычислим момент инерции сечения относительно оси Z проходящей через центр масс параллельно основанию (главная центральная ось). За dA примем площадь dA bdy . бесконечно тонкого слоя Тогда y dy Y h Z h 2 y 2 dA b y 2 dy IZ h 2 A bh 3 12 Аналогично находится осевой момент инерции относительно второй главной hb3 центральной оси I y 12 b Круг Определим полярный момент инерции относительно Y центра масс круга. I p d 2 dA .За dA примем площадь A бесконечно тонкого кольца d 2 Z толщиной d . Тогда d 2 d4 . Исходя из того, 32 d A 0 0 что полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции, а круг фигура абсолютно d4 симметричная можно записать: I Z I Y . 64 Аналогичные вычисления можно выполнить и для других геометрических фигур Треугольник равнобедренный 2 Ip dA 2 2 d 2 3 d Y h Z IZ IY bh3 ; 36 hb3 48 b Моменты инерции сложных сечений Момент инерции сложного сечения равен сумме моментов инерции простых фигур, на которые можно разбить сложное сечение. При сложении моментов инерции простых фигур составляющих сложное сечение, необходимо учитывать взаимное расположение осей для всего сечения и для составляющих его фигур. Если эти оси параллельны, вычисления Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 29 производятся по зависимостям, полученным в разделе «Параллельный перенос осей» если оси непараллельные расчеты усложняются. Моменты инерции прокатных сечений (двутавров, швеллеров, уголков и т.д.) и для других, не рассмотренных выше, простых фигур имеются в справочной литературе. КРУЧЕНИЕ Деформация кручения прямого бруса вызывается внешними парами сил, действующими в плоскостях, перпендикулярных к оси бруса. Моменты внешних пар сил называются скручивающими. В общем случае на брус действует Tn-1 несколько скручивающих (внешних) моментов, T2 при этом они уравновешивающиеся. При кручении в поперечных сечениях Tn бруса внутренние силы приводятся к одному силовому фактору – крутящему моменту. T1 При работе брусьев часто бывают заданы передаваемая мощность и угловая скорость ω при этом скручивающий момент вычисляют по формуле N T (Нм) где N – мощность в (Вт); ω – угловая скорость (rad/сек). Напряжения при кручении брусьев круглого сплошного и кольцевого сечений Напряжения и деформации при кручении существенно зависят от формы поперечного сечения бруса. Гипотеза плоских сечений (нет продольных деформаций) справедлива лишь для бруса с круглым сплошным или кольцевым поперечным сечением. В остальных случаях происходит искажение поперечных сечений. Теория кручения бруса круглого поперечного сечения основана на следующих допущениях 1. Ось бруса ОС после деформации остается прямой линией. l T x О В' С В А T x Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 30 2. Расстояния между поперечными сечениями остаются неизменными, т.е. удлинения (укорочения) волокон отсутствуют. 3. Поперечные сечения плоские до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к оси бруса после деформации (гипотеза плоских сечений). 4. Радиусы поперечных сечений, поворачиваясь на определенный угол, остаются прямыми (например, радиус ВС займет положение В'С). Справедливость этих допущений подтверждена на практике. В поперечных сечения в рассматриваемом случае возникают лишь касательные напряжения, определяемые по формуле Мк (Па) Ip где Мк – крутящий момент в исследуемом поперечном сечении; – расстояние от исследуемой точки до оси бруса; Ip – полярный момент инерции поперечного сечения бруса. m ax max d d d0 Для круга I p d4 32 0,1d Для кругового кольца d4 Ip 1 c 4 0,1d 1 c 4 32 4 где c ro r do d В любой точке поперечного сечения касательное напряжение перпендикулярно радиусу, проходящему через эту точку. Наибольшей величины касательные напряжения достигают в крайних точках сечения, наиболее удаленных от оси бруса: max M k max Ip Mk Wp где Wp – полярный момент сопротивления W p Ip max Для кругового кольца W p Ip max d3 16 0,2d 3 3 d 1 с4 16 0,2d 3 1 с 4 Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 31 Определение перемещений при кручении Если на участке бруса крутящий момент и полярный момент инерции бруса постоянны, то угол закручивания – угол относительного поворота концевых сечений этого участка (в радианах) определяется по закону Гука M kl GI p где l – длина рассматриваемого участка; G – модуль сдвига. Если брус ступенчатый и крутящий момент скачкообразно изменяется по его длине, то полный угол закручивания бруса, т.е. взаимный угол поворота его концевых сечений, может быть определен суммированием углов закручивания по участкам, в пределах которых Mk и Ip постоянны M kl Ip 1 G Угол закручивания на единицу длины бруса называется относительным углом закручивания. Он обозначается θ и определяется из выражений Mk d dx GI p Расчет брусьев на прочность при кручении Условие прочности бруса состоит в том, что наибольшее касательное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемого касательного напряжения. τmax ≤ [τ] Превышение наибольшего рабочего напряжения над допускаемым разрешается в пределах 5 %. Расчеты на прочность бывают двух видов 1. Проверка почности max Mk Wp 2. Подбор сечения Wp M kmax Расчет на жесткость Для нормальной работы бруса и связанных с ним деталей он должен иметь достаточную жесткость, т.е. наибольший относительный угол закручивания бруса не должен превышать допускаемого. Условие жесткости бруса max M kmax GI p где [θ] – допускаемый относительный угол закручивания. Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 32 ИЗГИБ Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях балки действует изгибающий момент. Виды изгибов. В зависимости от наличия в поперечных сечениях силовых факторов различают следующие виды изгиба: а) чистый, когда в поперечных сечениях действует только один изгибающий момент M, а все другие силовые факторы отсутствуют; б) поперечный, когда в поперечных сечениях одновременно с изгибающим моментом M действует поперечная сила Q; в) продольный и продольно поперечный, когда в поперечных сечениях одновременно с изгибающим моментом M действует нормальная N и поперечная Q силы. Каждый вид изгиба, в свою очередь может быть Y прямым или косым, при этом косой изгиб бывает N плоский и пространственный. Рассмотрим рис. Пусть NN – след плоскости, в которой действует полный изгибающий момент, а оси Y и Z главные центральные оси сечения. Если угол α=0 или α=90°, изгиб называют Z прямым, если α≠0 и α≠90°, изгиб называют косым. Косой изгиб, когда α=const по длине балки, N называется плоским; когда α≠const, называется пространственным. Напряжения в поперечных сечениях балки при чистом изгибе Рассмотрим балку, имеющую продольную плоскость симметрии, в которой действуют все внешние силы. В данном случае перемещения при изгибе будут так же происходить в плоскости симметрии. Рассмотрим участок балки, М М испытывающий чистый изгиб. Нанесем на его поверхности сетку. Под действием внешних моментов M балка как будет показано позже, изогнется по дуге окружности. Деформацию балки при чистом изгибе можно рассматривать как поворот плоских поперечных сечений друг относительно друга на некоторый угол. Так как при деформации верхние волокна удлиняются, а нижние укорачиваются, то будет существовать слой, в котором волокна сохранят свою длину. Этот слой называют нейтральным слоем. Пересечение нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения. Изобразим элемент балки длиной dx после деформации. Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 33 Y c M d a M Z y b N N Обозначим: NN – нейтральный слой; О – центр кривизны нейтрального слоя; – радиус кривизны нейтрального слоя; d – угол между сеченьями. Из рисунка видно, что 1 d dx Выделим на расстоянии y от нейтрального слоя волокно cd. Так как до деформации все волокна элемента имели длину dx=ab, то относительная продольная деформация волокна cd в результате изгиба будет равна cd ab yd d 1 y ab d где 1 – кривизна принимаемая по абсолютной величине, без учета знака. Из формулы видно, что относительные продольные деформации прямопропорциональны кривизне нейтрального слоя и расстоянию y волокна от нейтрального слоя. Поскольку продольные линейные деформации сопровождаются поперечными деформациями: при растяжении сужением, а при сжатии расширением в поперечном направлении т.е. то z x первоначально прямоугольное сечение превращается в сечение трапециидальной формы. Так как при чистом изгибе Q=0; Mk=0, то в поперечных сечениях отсутствуют касательные напряжения, а значит, между продольными волокнами отсутствует взаимодействие. На основании закона Гука нормальные напряжения в сечении будут x x E Ey Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. (а) 34 Из формулы видно, что: а) напряжения в поперечном сечении балки Z изменяются по линейному закону; б) напряжения в волокне прямо пропорциональны расстоянию от волокна до нейтральной оси (на рисунке ось Z); в) максимальные напряжения возникают в крайних волокнах сечения. Распределенные по сечению напряжения должны дать относительно поперечной оси Z-Z пару сил с моментом, Z равным изгибающему моменту, действующему в x данном сечении. Выделим элементарную площадку dA на расстоянии y от нейтральной линии. Элементарный изгибающий момент, создаваемый элементарной силой, действующий на площадку относительно нейтральной линии будет Y + - y Y dA dM x ydA Полный изгибающий момент в сечении найдем, проинтегрировав выражение по всей площади сечения M Ey x ydA A ydA A Так как кривизна и модуль упругости постоянны E M y 2 dA E Iz A откуда 1 M EI z (б) так как E=const; Iz=const то 1/ =сonst. Следовательно, балка изгибается по дуге окружности радиусом . Произведение EIz – называется жесткостью поперечного сечения балки при изгибе. Так как в поперечном сечении отсутствует нормальная сила N, то интеграл от элементарной силы σxdA, действующей на площадку dA, взятый по всей площади сечения, должен быть равен нулю. Ey E N dA ydA 0 x dA A но E A 0, A ydA тогда A 0 ydA Известно, что A Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. Sz – 35 статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной оси Z-Z. Так как Sz=0, то нейтральная ось Z-Z проходит через центр тяжести поперечного сечения. Подставляя формулу (б) в формулу (а), получим расчетную формулу, позволяющую определить напряжения в любой точке поперечного сечения балки x My Iz Наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения в сечении возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной оси My max M Iz где Wz – осевой момент сопротивления max y max Iz Wz ymax – расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной точки сечения. Если сечение симметрично относительно оси Z, y max h где h – высота 2 сечения. Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то для крайних верхних и нижних точек сечения в формулу подставляются величины WzВ где В y max – Iz Н ; Wz В y max Iz Н y max расстояние от нейтральной оси до крайних верхних точек Н сечения; Ymax – расстояние от нейтральной оси до крайних нижних точек сечения. Напряжения в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе При поперечном изгибе, в соответствии с внутренними силовыми факторами, в поперечных сечениях балки возникают нормальные и касательные напряжения, вызывающие давление продольных волокон друг на друга. Наличие касательных напряжений вызывает в каждой элементарной площадке сечения появление угловых деформаций. Точные расчеты с использованием теории упругости показывают, что искривление поперечных сечений незначительно отражается на величине нормальных напряжений, определяемых по формулам для чистого изгиба. Расчет балок на прочность при изгибе Практика показывает, что в балках имеющих сплошное поперечное сечение, а также сечения с достаточно толстыми стенками, опасными являются крайние точки в опасном сечении, в котором изгибающий момент имеет максимальное значение. В этих точках касательные напряжения Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 36 отсутствуют, поэтому практический расчет балок на прочность производят по условию прочности без учета касательных напряжений. Используя известные уравнения можно вычислить нормальные σ напряжения, возникающие в любой точке сечения, если известен изгибающий момент для этого сечения. Нормальные напряжения максимальны в крайних точках сечения и равны нулю на нейтральной оси. Следовательно, опасной точкой может быть точка, расположенная в крайних волокнах сечения, где действует наибольший изгибающий момент, и условие прочности запишется в виде M max max Wz где [σ] – допускаемое напряжение. Если материал не одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то условие прочности должны удовлетворять отдельно max p min c где [σp] и [σc] – соответственно допускаемые напряжения на растяжение и сжатие. Рациональные формы сечений балок при изгибе Выбор поперечного сечения балки определяется материалом, характером внешней нагрузки и условиями работы конструкции. Сечение балки считается рациональным, если оно обеспечивает необходимую прочность при минимальном весе (площади поперечного сечения). Согласно условию прочности наиболее рациональной формой сечения является та, для которой при постоянной площади осевой момент сопротивления имеет наибольшее значение. Рассмотрим прямоугольное сечение Y a Y Z a a Z a a a 3 2a a 3 a3 Iz a 2a 2 3 Wz W a z a 3 12 y 12 a 3 max 2 Прямоугольное поперечное сечение, при сохранении площади, становится более рациональным с увеличением высоты. Этот вывод справедлив только для балок, изготовленных из пластичного материала, оказывающего одинаковое сопротивление при растяжении и сжатии. Для Iz y max Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 37 балок из хрупкого материала, у которого допускаемое напряжение на растяжение [σp] значительно меньше допускаемого напряжения на сжатие [σc], целесообразно применять сечения, несимметричные относительно нейтральной оси, при этом наивыгоднейшей формой будет такое, у которого расстояния h1 и h2 от нейтральной оси до наиболее удаленных растянутых и сжатых Y [ ]c h1 Z h2 + [ ]p волокон будут пропорциональны допускаемым напряжениям на растяжение и сжатие h1 h2 c p СЛОЖНОЕ НАГРУЖЕНИЕ Ранее рассмотренные виды нагружения являются простыми. На практике часто детали конструкций подвергаются действию нагрузок, создающих различные комбинации из простых нагружений (в поперечных сечениях одновременно действует несколько видов силовых факторов). Расчет таких видов нагружения производится на основе принципа независимости действия сил. Когда действующие в сечении внутренние силовые факторы создаются одним видом напряжений, трудностей с расчетом не возникает. Когда в сечении возникают одновременно нормальные и касательные напряжения необходимо использовать теорию прочности, наиболее адекватно описывающую напряженное состояние возникающее при рассматриваемом виде нагружения. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ Внецентренным растяжением или сжатием называется такой вид нагружения, при котором под действием внецентренно приложенной продольной внешней нагрузки в поперечных сечениях бруса одновременно действуют нормальная сила и изгибающий момент. Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 38 YF Y Рассмотрим брус произвольного поперечного сечения. Пусть в точке К с координатами ZF и YF относительно главных центральных осей Z и Y, приложена продольная растягивающая сила F (данная сила может являться равнодействующей всех внешних сил). Координаты ZF и YF точки приложения силы F называются F Y ZB эксцентриситетом этой силы относительно главных ZF осей сечения, а точка К приложения силы F К Z полюсом. Случай нагружения бруса продольными силами, приложенными в центре тяжести сечения, ранее уже рассматривался. Заданную силу F можно представить приложенной к центру тяжести сечения, но в этом случае необходимо учитывать и два момента создаваемых силой F относительно осей Z иY. Величины этих моментов определяются по зависимостям M z FYF ; M y FZ F . Таким образом, внецентренное растяжение (сжатие) можно рассматривать как нагружение бруса центральной растягивающей (сжимающей) силой и моментами относительно осей Z и Y. В любом поперечном сечении бруса будет действовать нормальная сила, равная F, и изгибающие моменты, равные внешним моментам Mz и My. Определим величину нормального напряжения в произвольной точке В с координатами Z и Y, которое на основании принципа независимости действия сил равно сумме напряжений от нормальной силы и изгибающих моментов. F A M ZY IZ MY Z IY F A FYF Y IZ FZ F Z IY В полученном выражении два последних слагаемых разделим и умножим на площадь сечения А. F A FAYF Y AI Z FAZ F Z AIY AYF Y F 1 A IZ AZ F Z IY Воспользовавшись понятием радиуса инерции (раздел геометрические характеристики) можно окончательно записать Y Y F 1 F2 A iZ ZF Z iY2 В полученной формуле численное значение силы F подставляется с соответствующим знаком в зависимости от того растягивающая эта сила или сжимающая, и все координаты со своим знаком. При использовании этой формулы необходимо помнить, что все входящие в нее геометрические характеристики (площадь, радиусы инерции, координаты) должны быть найдены относительно главных центральных осей того сечения, которому принадлежит исследуемая точка. Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 39 YD Нейтральная линия Так как в поперечных сечениях бруса действует изгибающий момент, то в общем случае (как и при изгибе) в сечениях имеются как точки испытывающие растяжение, так и точки испытывающие сжатие. Определим положение точек разделяющих сечение на область испытывающую растяжение и область испытывающую сжатие, т.е. точки в которых напряжение равно нулю. Приравняв нулю F Yрастяжение выражение для определения напряжений н.л. получаем, что отношение силы к площади - +Z c поперечного сечения не может быть равно Z сжатие C нулю, следовательно равно нулю выражение стоящее в скобках. D Выражение в скобках является прямой 1 YF Y iZ2 ZF Z iY2 0 линией, и она называется нейтральной. Положение прямой определяется двумя точками. В общем случае любая прямая имеет точки пересечения с осями координат. Воспользуемся этим для определения положения нейтральной линии. Точка D пересечения нейтральной линии с осью Y будет иметь координаты Z D 0 ; YD iZ2 , а точка С пересечения нейтральной линии с осью YF Z будет иметь координаты YC 0 ; Z D iY2 . ZF Из полученных уравнений следует: а) при внецентренном растяжении и сжатии нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения; б) положение нейтральной линии не зависит от величины и знака внешней нагрузки F; в) нейтральная линия и полюс расположены по разные стороны от центра тяжести сечения; г) нейтральная линия может как пересекать сечение, так и располагаться за его пределами. Когда нейтральная линия пересекает сечение – в сечении возникают растягивающие и сжимающие напряжения, когда она проходит за пределами сечения – в сечении напряжения будут одного знака. Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 40 Условие прочности Условие прочности как и при любом виде нагружения заключается в том, что бы в наиболее опасной точке тела величина Y напряжения не превышала допускаемой величины. S Наибольшие напряжения в поперечном сечении н.л. возникают в точках наиболее удаленных от Z нейтральной линии. Поэтому для определения положения опасных точек необходимо построить L нейтральную линию, затем определить наиболее удаленные от нее точки S и L, замеряя расстояния по проведенным перпендикулярам к нейтральной линии. Найденные точки и будут наиболее опасными. Условия прочности для нашего случая имеют следующий вид F YY ZF ZS p 1 F2 S p max S A iZ iY2 c max L F YY 1 F2 L A iZ ZF ZL iY2 c C Y0 YC YB Ядро сечения Ядром сечения называют область, расположенную вокруг центра тяжести поперечного сечения, обладающая тем свойством, что внешняя нагрузка, приложенная в любой ее точке вызывает во всех точка сечения напряжения одного знака. Рассмотрим поперечное сечение, на Y котором прямая n-n представляет ZB B нейтральную линию, соответствующую n Z0 полюсу В. Координаты любой точки С, Z лежащей на нейтральной линии, ZC удовлетворяет уравнению нейтральной линии 1 n YF YC i 2 z ZF ZC i 2 y 0 Если точку С принять за полюс, то нейтральная линия пройдет через точку В. При перемещении полюса по прямой n-n нейтральная линия будет вращаться вокруг точки В. Следовательно для построения ядра сечения: необходимо последовательно размещать полюс в характерных точках контура сечения (например в вершинах углов) и для каждого полюса находить положение нейтральной линии. Зона, ограниченная нейтральными линиями, будет представлять ядро сечения. В том случае, когда сечение имеет внутренние углы, например, угол D, эти углы при обходе контура из D Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 41 рассмотрения исключаются, так как через точку D нельзя провести нейтральную линию, чтобы она не пересекала сечения. КОСОЙ ИЗГИБ Брус испытывает косой изгиб если действующий в его поперечных сечениях полный изгибающий момент не лежит ни в одной из главных плоскостей этого бруса. Y Y Z F q F1 Z X h F2 X си л ов ая пл о ск ос т ь l b Определение напряжений в поперечных сечениях бруса при косом изгибе Для определения напряжений в поперечных сечениях бруса, воспользуемся принципом независимости действия сил. Запишем величины напряжений возникающих в точках B и D от силы F1 действующей в вертикальной плоскости. Запишем величины напряжений возникающих в точках B и D от силы F2 действующей в горизонтальной плоскости. Рассмотренные плоскости является главными плоскостями. Y YD YB D F1 Y zB B B Z M zYB Iz F2 h h B Mz zD D X l b D Mz F1 l M zY D Iz X b Z B My l F2 l Воспользовавшись упомянутым принципом можно записать M zYB Iz M yZB B M zYD Iz M yZD D M yZB Iy Iy Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. Iy M yZD D My Iy 42 В общем случае напряжение можно найти по формуле M zY Iz M yZ Iy Изгибающие моменты положительны, если они создают в первой четверти растягивающие напряжения. Определение положения нейтральной линии Для определения положения нейтральной линии необходимо записать напряжение для первой четверти декартовой системы координат и приравнять их нулю. M zY M y Z 0 Iz Iy Отсюда получим Y M y Iz Z Mz Iy tq Z Из полученной зависимости видно, что нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения и имеет угол наклона с осью Z равный β. Если β<0 то угол откладывают по часовой стрелке, если β>0 то угол откладывают p против часовой стрелки. В точках m ax наиболее удаленных от нейтральной линии будут возникать наибольшие c m in напряжения. Наибольшие напряжения Условия прочности напряжения не должны превышать max p min допускаемые ; c c Задачи, требующие для решения, записи условия прочности могут быть корректно решены, если в брусе будут найдены опасные точки, т.е. те в которых возникают наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения. Упрощенно данную задачу можно решить записав условие прочности для опасных сечений. Опасные сечения – те, в которых My и Mz имеют наибольшие значения. Если сечения как в нашем случае симметричны относительно осей Z и Y в вершинах прямоугольника, в точках I и II, будут возникать наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения p Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 43 M zY I Iz max p M zY II Iz min c M yZI p Iy M y Z II c Iy или max p min c Mz Wz Mz Wz My Wy p My Wy c Если надо подобрать сечение балки из проката, то делается это методом постепенных приближений. Допускается перенапряжение 5%, а недонапряжение 10–15 %. ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ Данному виду нагружения чаще всего подвергаются валы различных механизмов. Предположим на валу закреплен шкив ременной передачи. Шкив испытывает внешние силовые воздействия от набегающей и сбегающей ветвей ремня равные S и 2S. В свою очередь вал воспринимает эти нагрузки в виде силы F и скручивающего момента T. F D T 2S F S 2 S S 3S D 2S S 2 Скручивающий момент Т вызывает в сечениях вала крутящий момент Мk. Сила F изгибающий момент и поперечную силу. Перечисленные силовые факторы вызывают появление в сечениях вала как нормальных, так и касательных напряжений. В указанной ситуации необходимо найти точку, в которой ранее других в материале детали наступает опасное состояние, и вести расчету с учетом обоих видов напряжений. Для выполнения таких расчетов разработаны теории прочности, в которых сложное напряженное состояние заменяется эквивалентным напряжением. Дальнейшие расчеты производятся по эквивалентному напряжению. Наибольшее распространение получили четыре теории прочности в их основе лежат следующие гипотезы: 1. опасное состояние наступает в результате достижения какимлибо главным напряжением (нормальное напряжение на площадке где не действуют касательные напряжения) предельного значения; 2. опасное состояние наступает в результате достижения относительной линейной деформацией предельного значения; Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 44 3. опасное состояние наступает в результате достижения касательным напряжением предельного значения; 4. опасное состояние наступает в результате достижения удельной потенциальной энергией формообразования предельного значения. Для определения опасного сечения необходимо построить эпюры всех внутренних силовых факторов в главных плоскостях. Для чего действующие внешние нагрузки разлагают на составляющие. Поперечными силами, вызывающими при изгибе касательные напряжения можно пренебречь (ввиду их малости). Изгиб поперечных сечений вала в виду их полной симметрии (круг) будет происходить в плоскости действия полного изгибающего момента M M y2 M z2 Опасным сечением вала считается то, где одновременно имеют наибольшее значение полный изгибающий момент M и крутящий момент Mk. Для определения в опасном сечении опасной Y точки рассмотрим эпюры распределения x max P B нормальных напряжений от изгибающего x max момента М; и касательных напряжений от Z O крутящего момента Mk. Как видно из X рисунка опасные точки расположены на C P поверхности вала. Валы изготавливают как правило из стали. Сталь относят к пластичным материалам. Для пластичных материалов наилучшие результаты получаются при использовании для расчетов третьей или четвертой теории прочности. Условие прочности по третьей теории прочности M экв M 2 M k2 или экв экв Wz Wz Условие прочности по четвертой теории прочности M2 экв 0,75M k2 или экв M экв Wz Wz УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ Сжатые стержни ранее рассматривались в разделе центральное (осевое) растяжение (сжатие). В указанном разделе предполагалось, что стержни короткие и массивные, а потеря работоспособности наступает вследствие возникновения остаточных деформаций или разрушения. Для длинных сжатых стержней необходимо учитывать, в какой форме равновесия они находятся. В деформированном состоянии равновесие между внешними и вызываемыми ими внутренними силами упругости может быть устойчивым и неустойчивым. Устойчиво оно если деформированное тело при любом малом отклонении от состояния равновесия стремится Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 45 возвратиться к первоначальному состоянию. Упругое равновесие неустойчиво, если деформированное тело, будучи выведено из него какимлибо воздействием, приобретает стремление продолжать деформироваться в направлении данного ему отклонения, и после удаления воздействия в исходное состояние не возвращается. Между этими двумя состояниями равновесия существует переходное состояние, называемое критическим, при котором деформированное тело может, как сохранить первоначально приданную ему форму, так и потерять ее от незначительного воздействия. Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы тела, F<Fk F>Fk называется критической. Потеря устойчивости при достижении этой нагрузки происходит очень быстро, и предупредить (приостановить) наступающие разрушения практически невозможно. Для обеспечения определенного запаса устойчивости должно удовлетворяться условие F≤[F]; [F]= Fkp/ny где ny – коэффициент запаса устойчивости. Критическая сила. Формула Эйлера Рассмотрим прямой стержень, сжимаемый силами F. Полагаем, что отклонения от прямолинейной формы очень малы. Поэтому для решения задачи воспользуемся приближенным уравнением упругой линии EI minV M V где Imin – минимальный момент инерции сечения, так как изгиб стержня всегда происходит в плоскости Y минимальной жесткости. x Изгибающий момент в сечении с координатой x равен X F Подставляя одну формулу в l другую получим M FV 0 F обозначим EI min FV EI minV 2 2 V 0 тогда уравнение примет вид V решением уравнения будет V C1 sin x C 2 cos x Постоянные интегрирования С1 и С2 определяются из граничных условий При x=0 V=0 следовательно С2=0. Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 46 Отсюда следует, что изогнутая ось является синусоидой с уравнением V C sin x . При x=l V=0 из уравнения следует C1 sin l 0 Случай С1=0 не интересует так как соответствует стержню с прямолинейной формой. n (где n – целое число) Тогда sin l 0 откуда l 2 2 n n 2 или 2 l l Тогда 2 F EI min n2 l2 Отсюда 2 F n 2 EI min l2 Наименьшее значение силы будет при n=1 тогда 2 EI min Fkp l2 Полученная зависимость для определения величины критической силы носит название формулы Эйлера. Влияние закрепления стержня на величину критической силы Рассмотрим центрально сжатый стержень длиной l, защемленный одним концом. Форма равновесия показана на рисунке б. Сравнивая с предыдущим случаем можно сказать, что стержень длиной l с одним защемленным концом можно рассматривать как стержень длиной 2l с шарнирно защемленными концами. Тогда критическая сила 2 EI min Fkp 4l 2 Для стержня с двумя защемленными концами форма изгиба представлена на рис г. Для этого случая критическую силу можно найти по формуле 2 EI min 4 2 EI min Fkp l2 l2 4 Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 47 F F F F F l l точки перегиба симметрия а б в г д Раннее рассмотренный первый случай крепления стержня называют основным. Для придания универсальности формуле Эйлера ее записывают в следующем виде 2 Fkp EI min 2 l где μ – коэффициент приведения длины. Коэффициент приведения длины 1 ; k можно определить по зависимости где k – количество полуволн синусоиды которыми описывается форма изгиба сжатого стержня. Критическое сжимающее напряжение может быть найдено по зависимости 2 Fkp kp A EI min 2 l A Если воспользоваться величиной гибкости стержня определяемой по l зависимости ; формула для определения критического напряжения imin может быть записана в виде 2 kp E 2 Из формулы видно, что чем больше гибкость стержня тем меньше критическое напряжение. Формула Эйлера выведена из уравнения упругой линии, для которой должен соблюдаться закон Гука. Следовательно, можно записать условие 2 2 E E пред kp пц откуда 2 пц 11 Для стали Ст.3 Е=2·10 Па, σпц=200 МПа тогда λпред≥100. Для чугуна λпред≈80, для дерева λпред≈110. При гибкости стержней меньше λпред , формула Эйлера не применима, так как в этом случае продольный изгиб происходит при напряжениях больше σпц . Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час. 48 кр т ( в) пц прямая Ясинского гипербола Эйлера пред Для этих случаев Ясинским по экспериментальным данным предложены формулы для определения критических напряжений a b ; и kp a b c 2 kp были где a,b,c – коэффициенты зависящие от свойств материала и имеющие размерность напряжения. Коэффициент снижения основного допускаемого напряжения Для стержней малой гибкости предельным напряжение является σт . Для стержней малой гибкости, рассчитываемых на прочность по предельному напряжению равному пределу текучести, коэффициент т безопасности nт равен nт ; где [σ]сж – основное допускаемое сж напряжение на сжатие. Для стержней большой и средней гибкости предельным напряжением является критическое напряжение. Тогда коэффициент безопасности по kp устойчивости nу равен Стержни nу у равноопасны если nт= nу тогда т kp сж kp у cж сж ; где υ – коэффициент снижения ; откуда у основного т допускаемого напряжения υ=(0–1), зависит от гибкости λ и для наиболее часто встречаемых материалов приведен в справочниках в виде таблиц. Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.
