Пример 1а. Для составной конструкции АВС (Рис. 1) определить реакции опор А и В, а также усилия в шарнире С, возникающие под действием заданной нагрузки, если F 10 кН , q 4 кН м , М 8 кНм . Решение. Отбросив внешние связи, q F изобразим конструкцию под действием С активной нагрузки и опорных реакций B (Рис.2,а). При этом распределенную нагрузку заменим равнодействующей, 3м М которая приложена на расстоянии 2 xQ CB 2 м A 3 1м 1м 3м от шарнира С и имеет модуль Q q BC 4 3 6 кН , 2 2 Рис.1 Силу F представим в виде двух составляющих: F1 F cos 600 10 0,5 5 кН , F2 F sin 60 0 10 0,866 8,66 кН . Изобразим также левую (Рис.2,б) и правую (Рис.2,в) часть конструкции, приложив к ним помимо активной нагрузки и опорных реакций усилия в шарнире С, которые, согласно третьему закону Ньютона, связаны между собой равенствами: X C X C/ , YC YC/ . (а) Решение задачи целесообразно начать с правой части конструкции, т.к. она содержит только три неизвестных реакции, что соответствует числу уравнений равновесия. Запишем уравнения равновесия: F 0: X 0, M F 0 : R 3 Q 2 0 F 0: Y Q R 0 Y пр kx пр С пр ky / C B k / C B / C Q2 62 4 кН , 3 3 RB Q 4 6 2 кН . RB Теперь рассмотрим равновесие левой части конструкции. Согласно равенствам (а), X C X C/ 0 , YC YC/ 2 кН . Знак ”минус” в последних равенствах опущен, т.к. в векторных равенствах, т.к. в векторных равенствах (а) он указывает на противоположность направлений векторов X C и X C/ и векторов YC и YC/ , а этот факт уже учтен нами при составлении расчетной схемы – указанные векторы изображены противоположно направленными. F2 F1 С B М 3м A XА YА RВ Q МА 1м 1м 2м 1м а) F2 F1 YC X С/ С X С МА XА B YС/ М A С RВ Q б) в) YА Рис.2 Таким образом, в левой части конструкции остается только три неизвестных реакции, которые могут быть определены из уравнений равновесия: F 0 : X F X 0 X F X 5 0 5 кН , F 0 : Y F Y 0 Y F Y 8,66 2 10,66 кН , M F 0 : M M F 3 F 1 Y 2 X 3 0 лев kx А лев ky А лев А k 1 2 А C А C A 1 1 2 2 C C C C M A M F1 3 F2 1 YC 2 X C 3 8 5 3 8,66 1 2 2 0 3 19,66 кН Выполним проверку полученных результатов. Согласно аксиоме затвердевания, конструкция в целом также должна удовлетворять уравнениям равновесия. Подставив в уравнения равновесия найденные значения реакций, получим F X F 5 5 0 , F Y F Q R 10,66 8,66 6 4 0 , M F M M F 3 F 1 Q 4 R 5 цел ky A цел ky цел А A k 1 2 B A 1 2 B 19,66 8 5 3 8,66 1 6 4 4 5 0 . Реакции определены верно. Пример 1б. На составную конструкцию АВС (Рис.3) действуют сосредоточенная F 20 2 кН , сила равномерно распределенная нагрузка интенсивности q 3 кН м и пара сил с моментом М 8 кНм . Определить реакции опор А и В, а также усилия, возникающие в сочленении С. F С 45 М 2м B A 4м 4м Рис.3 Решение. Расчетная схема задачи изображена на Рис.4. Здесь Q q 4 12 кН , 2 20 кН , 2 2 F2 F sin 450 20 2 20 кН 2 F1 F cos 450 20 2 В данной задаче, в отличие от предыдущей, каждая часть конструкции содержит по четыре неизвестных реакции, что превышает число уравнений равновесия. Конструкция в целом также содержит четыре неизвестных, однако нетрудно заметить, что в точках А и В пересекаются по три линии действия реакций. Следовательно, уравнение моментов, составленное относительно любой из указанных точек, будет содержать только одну неизвестную. Составим уравнение моментов относительно точки А и найдем из него реакцию YB : M Aцел Fk 0 : M F1 2 Q 6 YB 8 0 M F1 2 Q 6 8 40 72 15 кН . 8 8 Теперь правая часть конструкции содержит только три неизвестные реакции и может быть полностью рассчитана: YB Fkxпр 0 : XB 0, Fkyпр 0 : RC/ Q YB 0 RC/ YB Q 15 12 3 кН , M Aпр Fk 0 : M С/ RC/ 4 Q 2 0 M С/ RC/ 4 Q 2 3 4 12 2 36 кНм F2 F1 2м С М Q XВ A XА YА 4м 2м 2м B YВ а) F1 YС F2 С М С/ МС С YС/ М Q A XА YА б) в) XВ B YВ Рис.4 Как следует из третьего закона Ньютона, RC RC/ 3 кН , М C М C/ 36 кНм Осталось определить две реакции: X А и YА . Они могут быть найдены из рассмотрения равновесия левой части конструкции или конструкции в целом. Рассмотрим конструкцию в целом, а уравнения равновесия левой части оставим для проверки полученных результатов. Одно уравнение (уравнение моментов относительно точки А) уже было использовано для определения реакции YB . Составим два оставшихся уравнения: Fkxцел 0 : X A F1 X B 0 X A F1 X B 20 0 20 кН , Fkyцел 0 : YA F2 Q YB 0 YA F2 Q YB 20 12 15 17 кН Проверим, находится ли в равновесии левая часть конструкции, которая не рассматривалась при определении опорных реакций: F X A F1 20 20 0 , F YA F2 RC 17 20 3 0 , лев kx лев ky M F М F 2 R лев A k 1 C 4 M C 8 20 2 3 4 36 0 . При найденных значениях реакций левая часть конструкции находится в равновесии, следовательно, реакции определены верно.