Document 610504

Решения 11 вариант
Задача 1. При каких значениях b корни уравнения x 2  bx  2  0, если каждый из них
уменьшить на единицу, становятся корнями уравнения x 2  b 2 x  b  1  0 ?
Решение. Пусть x1 , x2 - корни первого уравнения. По теореме Виета x1 x2  2 ,
x1  x2  b . Тогда x1  1  x2  1 - сумма корней второго уравнения. Из второго уравнения
по теореме Виета b  2  b 2 , откуда получаем ответ.
Ответ: b  1; b  2
Задача 2. Решить уравнение:
Решение. Пусть t 
1
1
26
.


x 2  x  4 2 25
x x4
, тогда x  t  2 и уравнение примет вид
2

 
2
2

2
26
25  t  2    t  2   26 t  4




 t  2 2  t  2 2 25 
t  2
 t  3
13t 4  129t 2  108  0
 

t   12 .
t  2


13
1
1
Таким образом, получим четыре решения: x  5; x  1; x  2 

2

12
12
;x 2
.
13
13
Ответ: 1;2 
Задача 3. Найдите область определения функции y 
12
; 5.
13
x2 5
.
2  3 x  14
x2 5
 0 решим обобщенным методом интервалов. Ко2  3 x  14
рень числителя: x  27 . Корень знаменателя: x  22 . Отметив их на числовой оси, получаем решение.
Решение. Неравенство
Ответ:  22, 27
Задача 4. Найти sin

3
12 
, если ctg    ,    .
5 2
2
2
Решение. Заметим, что ctg   0 , поэтому уточним условие для угла  :

  
1
. Так как
       . Воспользуемся тождеством 1  tg 2  
cos 2 
2
4 2 2
5
12
1
и cos 2  
.
tg   ctg   1 , то tg   
2 , откуда получим cos   
13
12
 5
1  
 12 
С помощью формулы понижения степени найдём:
sin 2
 1  cos 

1  12 

5

 sin 
.
1    sin 
2
2
2
2  13 
2
26
Ответ:
log 2 4
x
Задача 5. Решите уравнение 4log x 5  10  5
5
.
26
 16  0 .
Решение. ОДЗ. x  0, x  1 . Нетрудно видеть, что 2log x 5  5log x 2 . (Доказывается логарифмированием по основанию x ). Поэтому, введя новую переменную t  2log x 5 , получим t 2  10t  16  0 . Откуда 2log x 5  2 или 2log x 5  8 . Поэтому log x 5  1  x  5 или
log x 5  3  x  3 5 .
Ответ: 5; 3 5
Задача 6. В квадрат ABCD со стороной
15 вписана окружность.
Найти длину вектора
n  NA  NB  NC  ND , где N - произвольная точка окружности.
Решение. Введем прямоугольную систему координат с центром в точке пересечения диагоналей
квадрата и с осями координат, параллельными сторонам квадрата. Положим длину стороны квадрата равной a . Без ограничения общности будем считать, что точка A лежит в первой координатной
четверти, а точки B , C и D , соответственно, во второй, третьей и четвертой. В выбранной систеa a
 a a
 a a
a a
ме точки имеют следующие координаты: A  ,  , B   ,  , C   ,   , D  ,   Пусть N
2 2
 2 2
 2 2
2 2
- произвольная точка вписанной окружности с координатами N  x, y  . Тогда входящие в условия задачи
векторы
имеют
вид
a
a
a
a
a

 a

 a

a

NA    x,  y  , NB     x,  y  , NC     x,   y  , ND    x,   y  .
2
2
2
2
2

 2

 2

2

их, получаем вектор n   4 x, 4 y  . Его длина равна n 
 4 x    4 x 
2
2
Суммируя
 4 x 2  y 2  2a
(по-
скольку в выбранной системе координат вписанная в квадрат окружность описывается уравнением
2
a
x  y    ). В нашем случае a  15 , поэтому имеем: n  30 .
2
2
2
Ответ: 30.
4
2

9 x  16 y  5 y
Задача 7. Решить систему уравнений 
.
2
2
y

6
y
x

1


Решение. Вычтем второе уравнение из первого. Перепишем систему в виде

9 x  16 y 4  5 y 2

.

4
2
2
9
x

16
y

5
y

2
y

6
y
x

1

0




Выделим во втором уравнении полные квадраты и получим:
4 y
2

 1  y  3 x
2

2
 2 1
 y  4
0  
 x y

3
1

 x  36
 
.
1
y  

2
Непосредственной проверкой убеждаемся, что полученное решение удовлетворяет
обоим уравнениям.
1

x


36
Ответ: 
.
1
y  

2
Задача 8. Найти множество значений функции y  12sin x  cos x  sin 2 x  4cos2 x.
Решение. Воспользуемся формулами кратных аргументов и понижения степени
sin 2  2sin   cos ,
1  cos 2
,
2
1  cos 2
sin 2  
.
2
cos 2  
Тогда будем иметь:
y  6sin 2 x 
1  cos 2 x
1  cos 2 x
 4
 y  6sin 2 x  2,5cos 2 x  1,5 .
2
2
Далее по формуле введения дополнительного аргумента преобразуем функцию к виду
y  62   2,5  sin 2 x  cos   cos 2 x  sin    1,5  y  6,5sin  2 x     1,5 ,где
2
  arctg
 8;5 .
5
. Так как 1  sin x  1 , то множество значений нашей функции –отрезок
12
Ответ:  8;5 .
Задача 9. Второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии на 14
больше суммы всех последующих членов прогрессии, а сумма членов с четными
номерами равна 12,5. Найдите знаменатель прогрессии.
 

b1q 2
q 
b1q 1 
  14
b1q  14 
1 q

  1 q 

Решение. Запишем систему 
. Разделив первое уравb1q
 b1q  12,5

 12,5
 1  q 2
 1  q 2
28
нение на второе, получим уравнение относительно q : 1  2q 1  q  
или
25
3
2q 2  q 
 0 . Откуда получаем ответ.
25
Ответ: q  0,3 или q  0, 2
Задача 10. Пусть x1 - точка минимума, а x2 - точка максимума функции
y  2ax3  3  a  3 x2 18x  3a 2 1. Найти все значения параметра a , при которых выполняется усло-
вие x1 : x2  3: 2 .
Решение. Найдем производную данной функции: y  6ax2  6  a  3 x 18 . Используя теорему
Виета, получим условия, которым удовлетворяют корни уравнения y  0 :
a3
3
и x1  x2   . Объединяя эти условия с условием, данным в задаче, получим систему
a
a
a3

 x1  x2   a

3

уравнений  x1  x2  
.
a

3

 x1  2 x2

x1  x2  
1
1
1
Система имеет два решения a  18, x1   , x2   и a   , x1  3, x2  2 .
2
3
2
В обоих случаях производная в своем меньшем корне меняет знак с минуса на плюс и в большем
корне – с плюса на минус, т.е. меньший корень является точкой минимума, а больший корень производной – точкой максимума функции. Этому условию удовлетворяет только первое решение системы.
Ответ: -18.