Общеобразовательная гимназия №18 Соловей Б. Г., Федотова Т.И. Обратные тригонометрические функции Компьютерный набор и верстка: Чудаков А. В. г.КОРОЛЕВ МО 2000 Раздаточный материал №3 по теме: “Обратные тригонометрические функции” Содержание Стр . §1 Простейшие тригонометрические уравнения…………………... 2 §2 Определение обратных тригонометрических функций………... 4 §3 Некоторые соотношения между обратными тригонометрическими функциями…………………………………………………. 12 §4 Производные обратных тригонометрических функций……… 18 Контрольные вопросы ………………………………………….. 21 Примеры и упражнения ………………………………………….. 22 Ответы и указания………………………………………………… 33 Литература………………………………………………………… 36 1 §1. Простейшие тригонометрические уравнения При решении простейших тригонометрических уравнений для нахождения неизвестных углов используются понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Напомним решения простейших тригонометрических уравнений: (1) если sinx = a , то x = (-1)k arcsin a + π k; (2) если cosx = a , то x = ±arccos a + 2π k; (3) если tgx = a , то x = arctg a + π k; (4) если ctgx = a , то x = arcctg a + π k, k Z. Формулы (3) и (4) особых трудностей при использовании не вызывают, так как тригонометрические функции y=tgx и y=ctgx в своих областях определений монотонны (то есть имеют один характер изменения функции: тангенс возрастает, а котангенс убывает). По этой причине в пределах своего наимень ; и для котангенса 0; ), эти 2 2 шего периода, равного π (для тангенса функции принимают все свои значения по одному разу. Формулы (1) и (2) представляют собой объединения двух решений: для четного и нечетного k в формуле (1) и для разных знаков плюс и минус в формуле (2). Объединения двух решений сделаны для удобства при получении сразу всех решений; однако, при этом надо иметь ввиду, что в пределах наименьшего периода для функций y=sinx и y=cosx, равного 2π, есть частные значения функций, равные ±1, которым соответствуют по одному значению аргумента. 2 Так, например, если sinx=1, то x=π/2 + 2πn, n Z; если sinx=-1, то x=3π/2 + 2πp, p Z; если cosx=1, то x=2πm, m Z; если cosx=-1, то x=π + 2π k, k Z. В дополнение к формулам (1)(4) удобно использовать еще одну обобщенную формулу для любых тригонометрических функций, если они встречаются в простейших тригонометрических уравнениях во второй степени. Пусть f 2 (x)=а, где f(x) – любая тригонометрическая функция; тогда: (5) x arc f ( a ) k , k Z . Например, пусть tg 2x=3, тогда x arctg 3 n, n Z ; x 3 n. Справедливость формулы (5) можно подтвердить для каждой тригонометрической функции непосредственно, учитывая, что (6) f 2 ( x) f ( x) . О наличии формулы (5) можно догадаться и из общих соображений: во-первых, наименьший период для четных функций |sinx|, |cosx|, |tgx| и |ctgx| равен (аргумент меняется от -/2 до /2); во-вторых, раскрытие модуля в соотношении (6) предполагает два решения с разными знаками. При использовании формулы (5) надо, конечно, иметь ввиду, что из соотношения f2(x)=0 следует f(x)=0 и далее используются формулы (1)(4). Например, пусть ctg2x=0, тогда ctgx=0 и x=π/2+πk, kZ, а не x=π/2+πk (если использовать механически формулу (5)). В последнем выражении одни и те же углы по сути перечисляются дважды. Если 2(x)=1, где (x) – синус или косинус, то (x)=1 и надо учитывать, что частные значения, равные 1, для синуса и коси3 нуса встречаются в пределах наименьшего периода этих функций, равного 2, по одному разу. Например, пусть sin2x=1, тогда sinx=1 и имеем два решения: x1=π/2+2πm, mZ; и x2=3π/2+2πp, pZ. Эти решения можно объединить, что дает x=π/2+πn, nZ, а не x=π/2+πn, что опять-таки перечисляет каждый угол дважды. В случае, если cos2x=1, то cosx=1, что дает два решения: x1=2πk, kZ; и x2=π+2πp, pZ; которые можно объединить: x=πm, mZ. Использование формулы (5) дает совпадающий результат, но это возникает по той причине, что слагаемое arccos1 равно нулю и в ответе, естественно, опускается. 4 §2. Определение обратных тригонометрических функций Вспомним определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, рассматривая их как функции, называемые обратными тригонометрическими. Итак, арксинусом числа а называется такое число b из отрезка [-/2; /2], синус которого равен а, то есть: (7) arcsin a=b, (8) где b [-/2; /2], (9) причем sin b=a, и a [-1; 1]. (10) Будем считать переменное число а из отрезка [-1; 1] независимым переменным (аргументом) и обозначим его, как обычно, через х. В свою очередь, переменное число b из отрезка [-/2; /2] будем считать зависимым переменным (то есть функцией) и обозначим его, как обычно, через y. Таким образом, имеем функциональную зависимость: (11) y=arcsinx, (12) где D(f): x [-1; 1], (13) а E(f): y [-/2; /2]. График функции y=arcsinx изображен на рис. 1 сплошной линией. Область определения этой функции составляет промежуток [-1; 1] (формула (12)), а множество значений ограничивается промежутком [-/2; /2] (формула (13)). 5 Из формулы (11), согласно определению арксинуса (формулы (7) и (9)), следует, что (14) x=siny. Если в формуле (14) x и y поменять ролями (то есть поменять оси координат), то получим известную тригонометрическую функцию y=sinx с привычными обозначениями для функции и аргумента. На рис. 1 эта функция изображена пунктирной линией на выбранном промежутке из области определения, равном [-/2;/2], где она монотонна (возрастает). Множество значений этой функции обычно и составляет промежуток [-1; 1]. Рис. 1 Тригонометрическую функцию y=sinx будем считать прямой функцией, а функцию y=arcsinx – ей обратной тригонометрической. Прямая и обратная ей функции симметричны относительно прямой y=x (биссектриса первого и третьего координатных углов). Отмечаемая симметрия естественно возникает, когда 6 в выражении (14) x=siny меняем ролями переменные х и у. При этом множество значений прямой функции становится областью определения обратной ей функции, а промежуток монотонности из области определения прямой функции служит множеством значений обратной функции. Важно отметить, что характер монотонности обеих функций – прямой y=sinx и ей обратной y=arcsinx – остается один и тот же: обе функции возрастающие. Если рассматривать функцию y=sinx во всей ее области определения, то обратная ей функция в силу периодичности прямой функции будет многозначна и обозначается в этом случае как y Arc sin x ; Arc sin x 1 arcsin x n, n z . Но поскольку мы ограничиваемся изучением n однозначных функций, то рассматриваем функцию y=arcsinx как главное значение функции y=Arcsinx (при этом в вышеприведенном соотношении n=0) и считаем, что ее множество значений ограничено промежутком [-/2; /2], который мы получаем, рассматривая прямую функцию y=sinx на участке, где она монотонна. Из определения обратной тригонометрической функции y=arcsinx следует, что: (15) sin (arcsinx) = x, |x| 1; (16) arcsin (sinx) = x, |x| /2; (17) arcsin (cosx) = /2-x, 0 x . Из рис. 1 видно, что функция y=arcsinx является нечетной. Это обстоятельство можно доказать и аналитически, исходя из определения нечетной функции (f(-x) = -f(x)). Итак, докажем, что: (18) arcsin (-x) = -arcsinx, |x| 1. 7 Рассмотрим синусы обеих частей равенства (18): sin (arcsin (-x)) = sin (-arcsinx). Эта операция будет однозначной, так как E(arcsin(-x))=E(-arcsinx) и обе функции монотонны при |x|1. Учитывая соотношение (15) и то обстоятельство, что синус является функцией нечетной, имеем: -x = -sin (arcsinx), -x = -x, что и доказывает справедливость соотношения (18). Исходя из определений арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, можно рассмотреть обратные тригонометрические функции y=arccosx, y=arctgx и y=arcctgx. Кстати, они еще носят название аркфункций или обратных круговых. При этом вводятся в рассмотрение главные значения обратных тригонометрических функций, которыми и пользуются повсеместно, так как ограничиваются изучением однозначных функций. Мы будем при определении обратных тригонометрических функций исходить из свойств хорошо известных прямых тригонометрических функций, используя при этом симметрию относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (прямая у=х), а также свойство сохранения характера монотонности прямой функции и ей обратной. Рассмотрим обратную тригонометрическую функцию y=arccosx. Для этого из области определения прямой функции y=cosx выбираем участок монотонности, равный промежутку [0; ]. Здесь прямая функция убывает; стало быть, и обратная ей функция y=arccosx также будет убывающей, имея множество значений, равное промежутку [0; ], численно совпадающее с участком монотонности прямой функции, то есть E(arccosx): y[0; ]. Множество значений прямой функции, равное промежутку [-1; 1], переходит в область определения обратной тригонометрической функции y=arccosx, то есть D(arccosx): x[-1; 1]. 8 На рис. 2 график прямой функции y=cosx представлен пунктирной линией, а график обратной тригонометрической функции y=arccosx – сплошной линией. Рис. 2 Симметричность прямой и обратной ей функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов усматривается следующим образом: а) обе функции пересекаются в точке, лежащей на прямой у=х; б) верхняя часть обратной функции (выше точки пересечения с прямой у=х) симметрична нижней части графика прямой функции (ниже точки пересечения с прямой у=х); в) нижняя часть графика обратной функции симметрична верхней части графика прямой функции. 9 Итак, введена обратная тригонометрическая функция: (19) y=arccosx, (20) где D(f): x [-1; 1], (21) а E(f): y [0; ]. Из определения обратной тригонометрической функции y=arccosx следует, что: (22) cos (arccosx) = x, |x| 1; (23) arccos (cosx) = x, 0 x ; (24) arccos (sinx) = /2-x, |x| /2. Обратная тригонометрическая функция y=arccosx не является четной или нечетной, но удовлетворяет соотношению: (25) arccos (-x)=-arccosx, |x| 1. Доказательство: рассмотрим косинусы обеих частей равенства (25): cos(arccos (-x))=cos(-arccosx). Эта операция будет однозначной, так как функции, стоящие в обеих частях исходного соотношения, монотонны при |x|1, а их множества значений совпадают, то есть E(arccos(-x))=E(-arccosx). Учитывая соотношение (22), имеем: -x=-cos(arccosx), -x=-x, что и доказывает справедливость формулы (25). Рассмотренные обратные тригонометрические функции y=arcsinx и y=arccosx связаны между собой соотношением: (26) arcsin x arccos x 2 , | x | 1. Доказательство: перепишем соотношение (26) в виде: arccosx = /2– arcsinx. Рассмотрим косинусы обеих частей этого равенства: 10 cos(arccosx)=cos(/2 – arcsinx). Эта операция будет однозначной, так как E(arccosx)=E(/2-arcsinx) и обе функции монотонны при |x|1. С учетом соотношений (22) и (15) имеем: x = sin (arcsinx), x=x, что и доказывает справедливость соотношения (26). Для рассмотрения обратной тригонометрической функции y=arctgx выберем участок монотонности прямой функции y=tgx, равный (-/2; /2), где эта функция возрастает; стало быть, и обратная ей функция y=arctgx будет возрастающей. Этот участок монотонности из области определения прямой функции численно будет служить множеством значений обратной функции, то есть E(arctgx): y (-/2; /2). Поскольку множество значений прямой функции есть вся числовая ось по вертикали, то областью определения обратной функции будет служить вся числовая ось по горизонтали, то есть D(arctgx): xR. Рис. 3 11 На рис. 3 график прямой функции y=tgx представлен пунктирной линией, а график обратной тригонометрической функции y=arctgx – сплошной линией. Из рисунка также видно, что функция арктангенс является нечетной, то есть: (27) arctg (-x) = -arctgx, x R, что нетрудно также доказать и аналитически, как это было сделано при обосновании формулы (18). Итак, введена обратная тригонометрическая функция: (28) y=arctgx, (29) где D(f): x R, (30) а E(f): y (-/2; z/2). Из определения обратной тригонометрической функции y=arctgx следует что: (31) tg (arctgx) = x, x R; (32) arctg (tgx) = x, |x| < /2; (33) arctg (ctgx) = /2 – x, 0 < x < . 12 Для рассмотрения обратной тригонометрической функции y=arcctgx выберем из области определения прямой функции y=ctgx участок монотонности, равный интервалу (0; ), где эта функция убывает; стало быть, обратная ей функция y=arcctgx также будет убывающей. Этот участок монотонности из области определения прямой функции будет численно служить множеством значений обратной функции, то есть E(arcctgx): y(0; ). Так как множеством зна- чений прямой функции служит вся числовая ось по вертикали, то областью определения обратной функции будет вся числовая ось по горизонтали, то есть D(arcctgx): xR. Рис. 4 На рис. 4 представлен график прямой функции y=ctgx пунктирной линией, а график обратной тригонометрической функции y=arcctgx – сплошной линией. Симметрия прямой и обратной ей функции относительно биссектрисы 13 первого и третьего координатных углов усматривается аналогично тому, как это было в случае с функцией y=arccosx. Обратная тригонометрическая функция y=arcctgx не является четной или нечетной, но удовлетворяет соотношению: (34) arcctg (-x)=-arcctgx, xR, которое доказывается аналогично тому, как это было сделано для функции y=arccosx (формула (25)). Итак, введена обратная тригонометрическая функция: (35) y=arcctgx, (36) где D(f): xR, (37) а E(f): y (0; ). Из определения обратной тригонометрической функции y=arcctgx следует, что: (38) ctg (arcctgx) = x, x R; (39) arcctg (ctgx) = x, 0 < x < ; (40) arcctg (tgx) = /2-x, |x| < /2. Обратные тригонометрические функции y=arctgx и y=arcctgx по аналогии с функциями y=arcsinx и y=arccosx связаны соотношением: (41) arctgx+arcctgx=/2, которое доказывается аналогично тому, как это было сделано при обосновании соотношения (26). Функции, обратно пропорциональные синусу и косинусу, носят соответственно названия косеканса и секанса (то есть: 1/(sinx)=cosecx и 1/(cosx)=secx). Обратные тригонометрические функции y=arccosecx и y=arcsecx употребляют14 ся крайне редко и поэтому рассматриваться не будут. 15 §3. Некоторые соотношения между обратными тригонометрическими функциями Наряду с определениями обратных тригонометрических функций были рассмотрены связи между сходными функциями одного и того же аргумента (формулы (26) и (41)), свойство нечетности (формулы (18) и (27)) или отсутствие такового (формулы (25) и (34)), а также соотношения, вытекающие из самих определений обратных тригонометрических функций, которые в ряде случаев значительно упрощают преобразования с этими функциями (например, формулы (15), (16), (17)) для арксинуса и подобные им формулы для других функций). Теперь рассмотрим некоторые соотношения между разными обратными тригонометрическими функциями. Прежде всего, докажем, что: (42) sin (arccos x) 1 x 2 , | x | 1; (43) cos (arcsin x) 1 x 2 , | x | 1; (44) tg (arcctg x) 1 , x 0; x (45) ctg (arctg x) 1 , x 0. x 2 Доказательство формулы (42): sin (arccos x) 1 x , | x | 1. Левая часть 2 доказуемого равенства может быть представлена как 1 cos (arccos x), где перед корнем берем знак плюс, так как по определению арккосинуса 16 0 arccos x , а потому sin(arccosx)0. Далее, с учетом соотношения (22) 2 2 имеем: 1 x 1 x , что и доказывает справедливость формулы (42). При доказательстве формулы (43) надо учитывать, что по определению арксинуса 2 arcsin x 2 , а потому левая часть соотношения (43), равная 2 cos(arcsinx), положительна и представляется как 1 sin (arcsin x) , что с уче- том формулы (15) дает 1 x 2 , то есть то, что и требовалось доказать. Еще проще устанавливаются закономерности (44) и (45). Например, если в формуле (44): tg (arcctgx)=1/x, то левую часть можно представить как 1 , что с ctg (arcctgx) учетом соотношения (38) дает 1/x, то есть то, что и доказывает справедливость формулы (44). Если соотношения (42)(45) рассматривать с точки зрения определения обратных тригонометрических функций, то получим соответственно формулы, связывающие сходные обратные тригонометрические функции: (46) arccos x arcsin 1 x 2 , 0 x 1; (47) arcsin x arccos 1 x 2 , 0 x 1; (48) arcctgx arctg 1 , x 0; x (49) arctgx arcctg 1 , x 0. x 17 В представленных соотношениях области определений заужены по следующим причинам: в формуле (46) функция арккосинус не является нечетной в отличие от функции арксинус, а потому равенство возможно только при 0 x 1 ; в формуле (47) множество значений арккосинуса неотрицательно, а поэтому равенство возможно только при 0 x 1 ; в формулах (48) и (49) множество значений функции арккотангенс положительно и требует того же от множества значений функции арктангенс, что реализуется при x>0. Кстати, ограничения x 0 в формулах (48) и (49), а также в соотношениях (44) и (45), можно снять, если учесть, что функции y=arctgx и y=arcctgx при x ограничены соответственно величинами -/2 и /2 для арктангенса, а также величинами 0 и для арккотангенса. Теперь представим формулы, которые фиксируют связи между разными обратными тригонометрическими функциями. Итак, имеем: (50) arcsin x arctg x 1 x 2 , | x | 1; 1 x2 (51) arcsin x arcctg , 0 x 1; x (52) 1 x2 arccos x arctg ,0 x 1; x (53) arccos x arcctg (54) arctgx arcsin x 1 x 2 x x 1 2 , | x | 1; , x R; 18 (55) arctgx arccos (56) arcctgx arcsin (57) arcctgx arccos 1 x 1 2 1 x 1 2 x x 1 2 , x 0; , x 0; , x R. Покажем справедливость некоторых формул. Рассмотрим соотношение (50): arcsin x arctg x 1 x2 , при |x|<1. Возьмем тангенсы от обеих частей x arctg tg (arcsin x ) tg доказуемого соотношения: 1 x2 x , tg(arcsin x) 1 x2 (эта операция будет однозначной, так как обе функции в исходном соотноше нии монотонны, а их множества значений в интервале ; совпадают). Пусть arcsinx=, тогда sin =x. Итак, имеем tg 2 2 x 1 x 2 . Так как 1 11 x2 x2 1 2 1 . Если 0 < x < 1, то tg 1 , то tg 1 sin 2 1 x2 1 x2 1 x2 2 tg x 1 x 2 и arctg x 1 x 2 arcsin x. Если -1 < x < 0, то с учетом не- четности функций y=arcsinx и y=arctgx имеем: arcsin( x) arctg arcsin x arctg x 1 x 2 , arcsin x arctg x 1 x 2 x , 1 x2 , что и требовалось доказать. 19 1 x2 , 0 x 1. Рассмотрим формулу (51): arcsin x arcctg x Возьмем котангенсы от обеих 1 x2 ctg (arcsin x) ctg arcctg x частей доказываемого соотношения: 2 , ctg (arcsin x) 1 x (эта операция будет x однозначной, так как обе функции в исходном соотношении монотонны, а их множества значений в полуинтервале 0; совпадают); пусть arcsinx=, тогда sin =x. Итак, имеем: 2 1 1 x2 , ctg . Так как ctg 2 1 sin 2 x то 1 x 2 ctg x и 1 1 x2 ctg 2 1 . При положительном x имеем: x x2 2 1 x2 arcctg arcsin x, что и требовалось доказать. Если x отрицательx 1 x2 , ный, то, учитывая соотношения (18) и (34), имеем: arcsin( x) arcctg x 1 x2 1 x2 , что отличается от arcsin x arcctg , arcsin x arcctg x x формулы (51) при положительном x. Учитывая доказательства формул (50) и (51), нетрудно доказать справедливость соотношений (52) (57). Если стоит обратная задача: установить связь между какими-либо обратными тригонометрическими функциями, то ее всегда можно решить, получив одну из приведенных выше формул. Так, например, получим связь между функциями арккосинус и арктангенс. Итак, пусть arccosx=arctg, где подлежит определению. Возьмем тангенс от обеих частей равенства: tg(arccosx) = 20 =tg(arctg)= (эта операция будет однозначной, так как функции арккосинус и арктангенс монотонны, а множества их значений совпадают в полуинтервале 0; 2 ). Пусть arccosx=, тогда cos=x и надо определить tg; так как 1 1 x2 1 x 2 1 2 tg 1 , то tg 2 1 и tg (знак плюс берем cos 2 x x2 x 2 перед корнем по той причине, что arccosx 0 и tg(arccosx)=tg 0). tg= и имеем окончательно: arccos x arctg 1 x2 при 0<x1, что совпадает с форx мулой (52). Если x<0, то с учетом соотношений (25) и (27) имеем: 1 x2 1 x2 1 x2 arccos( x) arctg , arccos x arctg , arccos x arctg , x x x что отличается от формулы (52). Получим еще связь между функциями арккосинуса и арккотангенса. Итак, пусть arccosx=arcctg, где подлежит определению. Возьмем котангенсы от обеих частей равенства: ctg(arccosx)=ctg(arcctg)= (эта операция будет однозначной, так как функции арккосинус и арккотангенс монотонны, а множества их значений в интервале (0; ) совпадают). Пусть arccosx=, тогда cos=x и надо определить ctg. Так как ctg 2 1 1 , 1 cos 2 то x 1 1 1 x2 x2 ctg ctg 1 ; при 0<x<1 , а потому 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 2 имеем: arccos x arcctg arcctg При отрицательном x с x 1 x учетом 2 , то есть arccos x arcctg формул (25) и (34) x 1 x 2 . имеем: 21 arccos( x) arcctg x 1 x 2 , arccos x arcctg x 1 x 2 , arccos x arcctg x 1 x 2 , то есть полученное соотношение при -1<x<1 совпадает с формулой (53). Соотношения между обратными тригонометрическими функциями необходимо учитывать при интегрировании с помощью тригонометрических 2 подстановок. Например, найти интеграл 1 x dx с помощью подстанов- ки x=sint. Имеем: t=arcsinx и dx=cost dt, а интеграл при подстановке преобразу2 2 ется к виду: 1 sin t cos t dt cos t dt. Используя формулу пониже- ния порядка 2 cos 2 t 1 cos 2t , имеем: 1 2 cos 2 t dt 2 1 t 1 1 1 (1 cos 2t ) dt sin 2t C arcsin x sin t cos t C 2 2 4 2 2 1 x 1 x arcsin x cos(arcsin t ) C arcsin x 1 x 2 C (с учетом соотношения 2 2 2 2 (43)). 22 §4. Производные обратных тригонометрических функций Производные обратных тригонометрических функций можно опреде- 1 y лить, используя правило взятия производной от обратной функции x . x y Например, получим производную от функции y=arcsinx: так как x=siny (из 2 2 определения функции арксинус), то xy cos y 1 sin y 1 x , где знак перед корнем обусловлен тем, что 2 промежутке неотрицательный; далее yx (58) y arcsin x 2 , а косинус в этом 1 1 , то есть: xy 1 x2 1 (arcsin x) 1 x 2 , | x | 1. Второй способ определения производных от обратных тригонометрических функций использует соотношение, вытекающее из определений этих функций, и правило взятия производной от сложной функции (если y f (x) , а x (t ) , то есть y f (t ), то yt y x xt ). В качестве примера возьмем производную от функции y arccos x : так как cos(arccos x) x при sin(arccos x) (arccos x) 1 , (arccos x) 1 1 x2 | x | 1 , то (cos(arcco s x)) 1 , 1 1 sin(arccos x) 1 cos 2 (arccos x) , где знак перед корнем обусловлен тем, что 0 y arccos x , а 23 синус в это промежутке неотрицательный. Итак, имеем: (arccos x) (59) 1 1 x 2 , | x | 1. Получим производные от функций y=tgx и y=ctgx вторым и первым способом соответственно. (arctgx ) 1, cos 2 arctgx tg 2 1 Так как (arctgx) cos 2 arctgx ; tg(arctgx)=x, используя то известное (tg (arctgx)) 1 , соотношение 1 1 1 ( arctgx ) , получим: , то есть имеем 1 tg 2 arctgx 1 x 2 cos 2 окончательно: (60) (arctgx) Если y=arcctgx, то x=ctgy и x y 1 1 2 1 ctg ; так как , то получаsin 2 y sin 2 2 2 ем: xy (1 ctg y) (1 x ) ; далее, y x (61) 1 . 1 x2 1 1 , то есть имеем: xy 1 x2 (arcctgx) 1 . 1 x2 Рассмотрим несколько типичных задач, в которых используются производные от обратных тригонометрических функций. Задача 1. Построить график функции y arcsin Решение: ОДЗ: 1 2x . 1 x2 2x 1; решим два неравенства: 1 x2 24 x 1 0, x 12 0 x R; 2x 2x 1 x 2 1) 1, 0, 2 2 1 x 1 x 1 x2 2 x 1 0, x 12 0 x R; 2x 2x 1 x 2 2) 1, 0, 2 2 1 x 1 x 1 x2 2 итак, ОДЗ: x R. Так как по определению арксинуса множеством его значений является промежуток, равный [-/2;/2], то график исходной функции будет лежать в этой горизонтальной полосе. Находим производную от исходной функции: 2 y 1 4x2 1 x 1 x2 2x x 1 x 2 2 1 x2 2 1 x2 ; 2 1 x2 1 x2 1 2x2 x4 4x 2 1 x 2 2 2 2 при 1 x 0, x 1, y 2 0 и функция возрастает, проходя через 1 x2 2 начало координат, так как y (0) 0; при 1 x 0, x 1, y 2 0 и 1 x2 функция убывает, стремясь к оси абсцисс сверху при x+, и снизу при x-; при 1-x2=0, x=1, производная не существует, а поскольку сама исходная функция определена для всех x R, то эти точки x=1 будут критическими. Найдём 25 значения функции в этих точках: y (1) arcsin 2 2 arcsin( 1) arcsin 1 ; y (1) arcsin arcsin 1 . 11 2 11 2 Полученных сведений достаточно, чтобы построить график данной функции, который и представлен на рис. 5. Рис. 5. Задача 2. Определить экстремумы функции y=x+2arcctgx. 2 1 x2 2 x2 1 2 ; y'>0 при x<-1 и Решение: ОДЗ: x R; y 1 1 x2 1 x2 x 1 x>1, y'<0 при –1<x<1; стало быть в, точке x = -1 имеем максимум, равный 3 1 , а в точке x = 1 имеем минимум, равный 1 . 2 2 Задача 3. Составить уравнение касательной к кривой y=arccos3x в точке пересечения этой кривой с осью ординат. Решение: ОДЗ: -1 3x 1, -1/3 x 1/3; уравнение касательной запишем в виде: y y0 y0 x x0 , где точка касания имеет координаты (xo; yo); в нашем случае: x0 0, y0 arccos 0 y 2 2 ; y 1 3 1 9x 2 , y0 3; тогда имеем: 3x или 6 x 2 y . 26 Контрольные вопросы 1 , 4 Каковы области определений и множества значений обратных тригоно- метрических функций? 5 Имеет ли периодическая функция себе обратную? 6 , 9 Каковы соотношения, вытекающие из самих определений обратных три- гонометрических функций? 10 , 11 Каковы соотношения между сходными обратными тригонометрически- ми функциями одного и того же аргумента? 12 , 13 Доказать нечетность функций arcsin x и arctg x 14 , 15 Доказать соотношения: arccos(-x) = - arccos x, 2 2 arcctg(-x) = -arcctg x, 16 Почему прямая и обратные функции симметричны относительно прямой y=x? 17 Доказать, что производная от четной функции будет нечетной, а производ- ная от нечетной функции будет четной. 18 , 21 Найти производные от любой обратной тригонометрической функции двумя способами. 22 , 25 Установить соотношения между сходными обратными тригонометри- ческими функциями. 27 26 , 27 Установить соотношения между арксинусом и другими несходными об- ратными тригонометрическими функциями. 28 , 29 Установить соотношения между арккосинусом и другими несходными обратными тригонометрическими функциями. 30 , 31 Установить соотношения между арктангенсом и другими несходными обратными тригонометрическими функциями. 32 , 33 Установить соотношения между арккотангенсом и другими несходными обратными тригонометрическими функциями. 28 Примеры и упражнения Среди формул, представленных соответствующими номерами в вышеизложенном тексте, есть такие, которые доказываются по аналогии с обоснованиями других соотношений. Для лучшего усвоения изложенного материала по обратным тригонометрическим функциям докажем и эти формулы. Упражнение 1. Доказать, что: а) arctg ( x) arctgx, (27); в ) arctgx arcctgx д) arctgx arcsin 2 , (41); x x 1 2 , (54); б ) arcctg ( x) arcctgx, (34); 1 г ) ctg (arctgx) , (45); x е) arcctgx arcsin 1 x 1 2 , (56). Упражнение 2.Установить связь между данными обратными тригонометрическими функциями: а) арктангенс и арккосинус; б) арккотангенс и арккосинус. Упражнение 3. Решить уравнения: x а ) 4 sin 2 ( ) 3; 2 3 б ) 2 cos 2 x 2tg 2 x 5; в) 2 sin 2 x tg 2 x 0. Упражнение 4. Доказать формулы для производных от обратных тригонометрических функций способами, отличными от реализованных при выводе формул (58)(61). Найдем производные от некоторых сложных функций, содержащих обратные тригонометрические функции. 29 2 Пример 1. y ? y (arcsin x) . Решение: y 2 arcsin x 1 1 x 2 2 arcsin x 1 x 2 . Пример 2. y ? y arctgx 2 . Решение: y 1 2x 2x . 4 1 x 1 x2 Пример 3. y ? y x arctgx. 1 x2 Решение: y 1 x 2 2x x 1 1 x2 1 1 x2 1 x2 2x 2 . (1 x 2 ) 2 1 x 2 (1 x 2 ) 2 1 x 2 (1 x 2 ) 2 (1 x 2 ) 2 Упражнение 5. Найти производные от данных функций: а) y x arcsin x, б) y arcsin x , arccos x в) y 1 x 2 1 , arccos x 1 2 г ) y arcsin( x 1), д) y (arctg ) , е) y ( arcsin x arccos x) ( n ) , n N . x 2 Упражнение 6. Вычислить интеграл 4 x dx с помощью замены x=2sint. Решим некоторые уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции. Пример 4. Решить уравнение: (arcsin x) (arccos x) 2 18 . 30 Решение: согласно соотношению (26) arcsin x arccos x 2 . Обозначим arcsinx=z1, a arccosx=z2; тогда будем иметь симметричную (относительно переменных z1 и z2) систему: 2 z z , 1 2 18 z z . 2 1 2 () Используя теорему Виета, получим квадратное уравнение: z 2 2 z 2 18 z1 arcsin x 0, где z1, 2 3 x 4 2 16 2 18 4 12 3 1 1 arcsin x x ; z 2 arccos x x . 6 2 3 2 3 1 , x2 . 2 2 Пример 5. Решить уравнение: (arctgx) (arcsin x 1 x Решение: согласно соотношению (54): arctgx arcsin ем: (arctgx) 9 . Стало быть: Итак, окончательно имеем ответ: x1 2 6 3 3 . Так как система (*) сим; z 2 arccos x x 6 2 2 метрична, то еще имеем: z1 2 ; ; далее, | arctgx | дует, что x 3; arctgx 3 3 ; arctgx 2 ) x 1 x2 2 9 . , x R, тогда име- при arctgx 0, откуда сле3 при arctgx 0, тогда x 3. Итак, имеем окон- чательно ответ: x1 3 , x 2 3. Пример 6. Решить уравнение: 31 1 x2 2 (arcsin x) (arcctg ) , 0 x 1. x 9 1 x2 arcsin x при 0 x 1. Решение: согласно соотношению (51) arcctg x Тогда имеем: (arcsin x) 2 2 9 , | arcsin x | 3 , arcsin x 3 (так как в формуле (51) x неотрицательный, то соответственно и arcsinx будет тоже неотрицательный). Стало быть, x 3 , что и является окончательным ответом. 2 2 Упражнение 7. Решить уравнения: а) (arctgx) (arcctgx) б ) (arccos x) (arcctg x 1 x2 ) 2 16 , в ) (arcctgx) (arcsin 1 x2 1 ) x x Пример 7. Решить уравнение: arcsin 2 arccos 1 4 2 Решение: пусть 2 x a 0, тогда arcsin a arccos 1 a 3 16 2 , x 0. . 3 ; согласно формуле (42): arcsin x arccos 1 x 2 , тогда получаем: arcsin a arcsin a arcsin a 4 , 3 , 1 1 a , 2 x , x 1, что и является окончательным ответом. 6 2 2 x x Упражнение 8. Решить уравнение: arctg 3 arctg 3 Пример 8. Найти х из уравнений: а ) arcsin x 3 6 . x 3 a, б ) arcctg ( x 3) . 3 4 Решение: а) ОДЗ: 1 1, 3 x 3; далее имеем: sin a x , x 3 sin a. 3 32 б) ОДЗ: x R; так как 0 arcctg ( x 3) , то данное уравнение решения не имеет (х=). Упражнение 9. Найти х из уравнений: а) arcsin x 1 x b x ; б ) arccos ; в ) arctg a; г ) arcctg b; x a c 4 a д) arcsin( x 1) 3 з ) arcsin( x 2 x ; е) arccos | x | 4 ; ж) arcctg (4 x 1) 1; 1 x 1 3 2 ) ; и ) arccos( x 1,1) ; к ) arccos . 4 a 2 2 3 Упражнение 10. Что больше х или у, если: а) 3x б) 4 3 1 arcsin( ); arccos( ), 3 y 3 2 3 2 5x 4 arcsin( 2 7 2 ), 10 y arccos( ). 2 4 2 Упражнение 11. Определить х из выражений: а) sin( 5arctg (3x)) 1, б ) tg (7 arccos( 4 x)) 3. Пример 9. Решить уравнение: arcsin( 1 x) arccos(1 x). ОДЗ: а) 1 1 x 1, 2 x 0, 2 x 0, 0 x 2; б ) 1 x 1 1, 2 x 0; Стало быть, ОДЗ состоит из одной точки х=0. Проверим это значение переменной в исходном уравнении: arcsin 1=arccos 1, /2=0, что неверно; значит, x=. Упражнение 12. Решить уравнения: а) arctg (1 x) arctg (1 x), б ) arctg ( x) arcctg ( x). 33 Пример 10. Решить уравнение: 2 arcsin 2 x arccos 7 x. Решение: ОДЗ: а) 1 2 x 1, б ) 1 7 x 1, 1 1 x ; 2 2 1 1 x ; 7 7 1 1 x ; . 7 7 Пусть arcsin2x=, тогда sin=2x; если arccos7x=, то cos=7x; с учетом введенных обозначений имеем: 2=; далее, cos2=cos (операция взятия косинуса будет однозначной в промежутке, равном [0; ] (пересечение множеств значений функций 2arcsin2x и arccosx)). 1-2sin2=7x, 1-2*4x2=7x, 8x2+7x-1=0, x1, 2 7 49 32 7 9 1 ; 1; второй корень не входит в ОДЗ; стало 16 16 8 быть, x=1/8, что и является окончательным ответом. Упражнение 13. Решить уравнения: x x а ) 3 arccos x arccos , б ) arcsin 3 arcsin x. 2 3 Упражнение 14. Решить уравнения: а) 4 arcsin x arccos x , б ) arctg 2 x arcctg 2 x . Рассмотрим неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции. Пример 11. Решить неравенство: arcsin x 2 arccos x Решение: Так как arcsin x arccos x arcsin x 2 arcsin x , 2 3 3 . при | x | 1, то имеем: 2 arcsin x 2 arcsin x 4 , 3 arcsin x , 3 3 34 4 4 arcsin x . Так как , то можно записать: 2 9 2 9 4 arcsin x arcsin sin , откуда, учитывая, что арксинус есть функция возрас 9 4 тающая, имеем: x sin . С учетом D(arcsinx) имеем окончательно: 9 4 sin x 1. 9 Упражнение 15. Решить неравенство: arctg 2 x 2arcctg 2 x 4 . Для некоторых значений аргумента численные значения обратных тригонометрических функций известны (например, arcsin 1 , arctg 3 и т.п.). 2 6 3 В других случаях ответы записываются в виде arccos1/8, arcctg5 и т.п. Более сложные выражения с обратными тригонометрическими функциями подлежат упрощению. 1 Пример 12. Вычислить sin 2arctg . 2 Решение: Пусть arctg1/2=, тогда tg=1/2. С учетом введенного обозначения надо вычислить sin2. Поскольку sin 2 sin 2 2tg , то имеем: 1 tg 2 2 0,5 4 , что и является окончательным ответом. 1 0,25 5 35 1 15 1 Упражнение 16. Вычислить: a) tg arcsin ; б ) sin 3 arcsin ; 3 17 2 2 в ) tg 0,5 arcsin ; г) tg0,5arcctg3; д) sin 2arctg5; е) cos2arctg(7); 3 1 1 ж) tg2arctg3; з) cos0,5 arccos(0,1); и ) cos 3 arccos ; к ) sin 3 arcsin . 5 3 Пример 13. Вычислить: arcsin 3 12 arcsin . 5 13 Решение: Пусть arcsin3/5=, тогда sin=3/5;так как E(арксинус)=[-/2; /2], то принадлежит первой четверти; более того, (*) /6<</4. Пусть еще arcsin12/13=, тогда sin=12/13, тоже принадлежит первой четверти и удовлетворяет неравенству (**) /3<</2. Сложим неравенства (*) и (**): 6 4 3 2 3 2 4 Результат говорит о том, что искомый угол + лежит во второй четверти, и для его определения надо использовать такую обратную тригонометрическую функцию, которая имеет множество значений, охватывающее вторую четверть. Используем арккосинус: +=arccos(cos(+)). Найдем cos( ) cos cos sin sin ; так как и и принадлежат первой чет- 36 верти, то имеем: cos 1 9 4 144 5 , cos 1 ; тогда 25 5 169 13 16 4 5 3 12 16 16 cos( ) , а arccos arccos . 65 5 13 5 13 65 65 Упражнение 17: Вычислить: 1 1 3 5 a) arctg 4 arctg 5; б ) 3tg 2arcctg tg arcctg ; в ) arcsin arcsin ; 3 2 5 13 г ) arccos 2 6 1 3 4 1 11 arccos ; д) arc sin arc sin ; е) arccos arccos ; 7 3 5 5 2 3 14 ж) arcsin 3 1 240 15 4 2 2 arcsin ; arccos ; з ) arctg arctg ; и ) arcsin 4 5 289 17 5 5 4 к ) 2arctg 2 arctg ; л) arctg 2,4 2arctg1,5; м) arcsin 0,8 arccos 0,6. 3 Пример 14. Доказать тождество: arctg 2 1 arctg . 3 5 4 Решение: Пусть arctg2/3=, тогда tg=2/3 и /6<</4 (*); пусть arctg1/5=, тогда tg=1/5 и 0<</6 (**). Если сложить неравенства (*) и (**), то получим /6<+<5/12, что говорит о том, что угол + находится в первой четверти; 2 1 tg tg 10 3 3 5 далее: arctg (tg ( )) arctg 1 tg tg arctg 2 1 arctg 15 2 1 3 5 arctg1 4 , что и требовалось доказать. Упражнение 18: Доказать тождества: 37 a) arcctg 3 arcctg (2 3 ) в ) 2arctg 1 7 arctg ; 4 23 4 г ) arctg е) arc sin 0,6 arc sin 0,8 2 4 ; б ) arctg1 arctg 2 arctg 3 ; 3 1 1 5 3 arctg ; д) arctg 5 arctg ; 4 7 4 5 3 6 . Пример 15: Вычислить: a) arccos(cos (2arctg ( 2 1))). Решение: пусть arctg ( 2 1) , тогда tg ( 2 1), 0 arccos(cos (2arctg ( 2 1))) arccos(cos 2 ) arccos arccos 1 ( 2 1) 2 1 ( 2 1) 2 arccos 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 arccos 6 ; имеем: 1 tg 2 1 tg 2 2 1 2 2 arccos 2 . 2 4 1 б ) sin 2 arctg 3 arcctg . 2 1 2 Решение: с учетом соотношения (34) будем иметь: sin arctg 3 arcctg ; 2 вычислим: arctg 3 arcctg 1 arctg 3 arcctg 2 , то есть: arctg3= и 2 tg=3, причем /3<</2; arctg2=, tg=2, /3<</2; стало быть, угол + будет во второй четверти и для его определения используем арккотангенс; имеем: arcctg (ctg ( )) arctg 1 tg tg 1 2 3 arcctg arcctg (1) tg tg 23 38 arcctg1 4 3 ; далее имеем окончательно: 4 2 1 3 sin sin 2 sin . 4 2 4 4 2 1 15 1 Упражнение 19: Вычислить: а) sin 2arctg tg arcsin ; 2 17 2 1 3 1 1 б ) sin 2 arctg arctg ; в ) cos arccos 2arctg 2. 2 5 2 3 Пример 16: Выразить: а ) arcsin 3 1 и б ) arccos через значения 5 3 каждой и трех других обратных тригонометрических функций. Решение: а) с учетом формул (47), (50) и (51) имеем: 3 9 4 arcsin arccos 1 x 2 arccos 1 arccos ; 5 25 5 3 x 3 5 3 arcsin arctg arctg arctg ; 5 5 4 4 1 x2 3 1 x2 4 arcsin arcctg arcctg ; 5 x 3 б) с учетом формул (46), (52) и (53), а также соотношения (25) имеем: 1 1 2 2 1 arccos arccos arcsin 1 arcsin ; 3 9 3 3 1 x2 1 arccos arctg arctg 2 2 ; x 3 x 2 1 arccos arcctg arcctg . 4 3 1 x2 39 Упражнение 20: Выразить данное числовое выражение через значения каждой из трёх других обратных тригонометрических функций: а) arccos 12 5 3 7 7 ; б ) arctg ; в ) arcctg ; г ) arctg ; д) arcctg . 13 12 4 24 24 Упражнение 21: Имеют ли смысл данные выражения: 4 а) arcsin 3 , б ) arcsin , в ) arcsin 3 3 , г ) arcsin ? 3 Пример 17. Чему равен arcsin(sin10) ? Решение: так как sin 10 sin 3 10 3 sin 10 3 sin 10 3 sin 3 10, то arcsin(sin 10) arcsin sin 3 10 3 10, ибо 1 3 10 1 и можно использовать соотношение (16): arcsin(sinx)=x. Пример 18. Чему равен arccos(cos 5) ? Решение: arccos(cos5)=arccos(cos(2-(2-5)))=arccos(cos(2-5))=2-5, что удовлетворяет E(арккосинус)=[0;]. Упражнение 22: Чему равен: а) arcsin sin 3; б) arcsin sin 5; в) arccoscos10; г) arcsin sin 16; д) arctg tg 5 . Пример 19. Построить график функции y=arcsin (sinx). Решение: Функция определена на всей числовой оси, то есть x R, имеет период, равный 2. Поэтому достаточно построить график на промежутке, равном [-/2;3/2]. На отрезке [-/2;/2] по определению арксинуса имеем arcsin(sinx)=x, а потому графиком данной функции здесь будет служить прямая y=x. Если же x[/2;3/2], то x-[-/2;/2], и из равенства sin(-x)=sinx следу- 40 ет, что arcsin(sinx)=arcsin(sin(-x))=-x, то есть здесь графиком данной функции служит прямая y=-x+. График функции y=arcsin(sinx) изображён на рис. 6. Рис. 6. Упражнение 23: Построить графики функций: а) y arcsin cos x; б) y arccoscos x. Представим еще пример использования обратной тригонометрической функции при решении тригонометрического уравнения с параметром. Пример 20. Найти значения параметра "р", при которых уравнение 4 sin x 9 cos x p имеет решение. Решение: используем прием введения вспомогательного угла: 4 9 p sin x cos x ; 97 97 97 A2 B 2 16 81 97 , пусть 4 sin , а 97 9 97 sin sin x cos cos x x arccos cos , тогда получаем: p 97 , cos( x ) p , 97 p p 2k ; k Z , x arccos 2k. Исходя из определе97 97 41 ния арккосинуса, имеем: 1 p 1, откуда 97 p 97 , что и является 97 окончательным ответом. 42 Ответы и указания Упр. 1. Доказательство всех представленных соотношений аналогично тому, как это было сделано при выводе формул: а) (18), б) (25), в) (26), г) (44), д) (50), е) (51). Упр. 2: а) arctgx arccos 1 x 1 2 , x 0, 55; б ) arcctgx arccos x x 1 2 , x R, 57. 4 Упр. 3: а) x1 2n; x2 2k ; n, k Z ; б ) x k ; k Z ; 3 3 2 решение: 2 cos 2 x 2tg x 5; ОДЗ: x n, n Z ; 2 1 tg 2 1 tg 2 x , то имеем: 2 2tg 2 x 5; обозначим tgx=t, тотак как cos 2 2 2 1 tg 1 tg x 1 t2 2t 2 5; гда 2 2 1 t так как 1 t 2 0, то 2 2t 2 2t 2 2t 4 5 5t 2 , 2t 4 5t 2 3 0; гда 2 z 2 5 z 3 0, и далее: z1, 2 2 1 t 2 2t 2 1 t 2 5 1 t 2 , пусть z t 2 0, то- 5 25 24 5 7 1 3; ; второй корень 4 4 2 (отрицательный) не подходит, а потому x arctg 3 n, n Z ; и x n 3 z t 2 tg 2 x 3, стало быть, . в) x=k, k Z. 43 Упр. 5: а) y arcsin x в) y 1 x arccos x 2 1 x 2 arccos x 2 Упр. 6: 2 arcsin Упр. 7: а) x 1, x 1 x2 , г) y , б) y 1 2x x 2 2arccos x , д) y 2 1 x2 2arctg 1 x2 1 x, е) y 0. x x 4 x 2 C. 2 2 б) x 2 , 2 в ) x 0. 1 Упр. 8: x . 2 Упр. 9: а ) x b x b 2 ; б ) x a cos , a 0, c 0, 1 1, 0 ; c a c 2 в) x ctga,0 a ; г ) x a ctgb, 0 b , a 0; д) x 1 е) x 3 , 0 x 2; 2 2 , | x | 1; ж) x , так как E (arcctg ) : (0; ); з) x1 0, x2 1, 2 и) x , так как | D(arccos ) | 1; к) x , так как 0 E (arccos ) . Упр. 10: а) x y . б ) x y . 10 3 1 1 Упр. 11: а ) x tg , б ) x cos . 3 10 4 21 2 Упр. 12: а) x 0, б ) x 1 (знак плюс перед корнем берется по той причине, что функции арктангенс и арккотангенс сопоставимы только при положительных значениях аргументов). 44 5 ; 6 Упр. 13: а) x1, 2 Упр. 14: а) x 1, б ) x1 0, x2,3 5 . 8 б ) x . Упр. 15: x R. Упр. 16: а ) 3 5 ; ; 5 3 23 ; (напомним формулы тройного угла: 27 б) 3 5 ; (напомним 2 sin 3 3 sin 4 sin 3 , cos 3 4 cos 3 3 cos ); в ) полезные формулы для тангенса половинного аргумента: tg 2 sin 1 cos ; г ) 1 cos sin ж ) 0,75; з ) 0,3 5 ; и) Упр. 17: а) arctg д) arcsin и) ; 7 ; 25 к) ; е) 3 л) ; Упр. 19: а ) 1,4; Упр. 20: а) arcsin 10 3; 23 ; 27 1 ; 21 ; 5 ; 13 д) е) 0,96; к ) 0,568. б ) 4,25; ж ) arccos в ) arcsin 2 5 ; 5 56 ; 65 з) arctg г) 6 ; 19 ; 17 м) arccos 0,28. б) 1 ; 2 в ) 0,4 5. 5 5 12 5 12 12 , arctg , arcctg ; б ) arcsin , arccos , arctg ; 13 12 5 13 13 5 4 3 4 7 24 24 , arccos , arctg ; г ) arcsin , arccos , arcctg ; 5 5 3 25 25 7 24 7 24 д) arcsin , arccos , arctg . 25 25 7 в ) arcsin Упр. 21: нет, так как D(арксинус)=[-1; 1]. 45 Упр. 22: а) 3; б ) 5 2 ; в) 4 10; г ) 5 16; д) 5 . Упр. 23: а) рис. 7; б) рис. 8. Рис. 7 Рис. 8 46 Литература 1. Панчишкин А.А. ,Шавгулидзе Е.Т., Тригонометрические функции в задачах. – М.: Наука, 1986г. 2. Кулагин Е.Д. и др. 3000 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 1999г. 3. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – Под редакцией Г.Н. Яковлева. – М.: Наука, 1988г. 4. Черкасов О.Ю., Якушев А. Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Рольф,1997г. 5. Соболев С.К. Пособие по математике для поступающих в ВУЗ. Часть III . – М.: МГТУ, 1996г. 47