Научно-исследовательский проект тему «Пифагор и его теорема»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ- ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА
с. ЛЮБИМОВО
Научно-исследовательский проект на
тему
«Пифагор и его теорема»
Выполнили: Чернов Игорь
Спринский Дмитрий
Цой Дмитрий
Хамин Иван
Руководитель: Ким Л.П
2014 учебный год
Оглавление:
I. Введение …………………………………..
2
1.1.
Обоснование темы
2
1.2.
Актуальность темы
2
1.3.
Цели и задачи
2
II. Основная часть
3
2.1. Методика исследований
3
2.2. Биография Пифагора
3
2.3. Школа Пифагора
4
2.4. История теоремы Пифагора
5
2.5. Формулировки теоремы Пифагора
6
2.6. Различные способы доказательства теоремы Пифагора
6
2.6.1.Простейшее
2.6.2.Метод подобия
2.6.3.Методом площадей
2.6.4.Через определение косинуса угла прямоугольного
2.6.5.Древнекитайское доказательство
2.6.6.Доказательство Гарфилда
2.6.7.Доказательство методом Мёльманна
2.6.8. Доказательство методом Евклида
2.6.9.Доказательство Леонардо да Винчи
6
2.7. Обобщение теоремы Пифагора
7
2.8. Применение теоремы Пифагора
8
III. Заключение. Выводы. Результаты исследования.
9
IV. Список используемых источников
10
I. Ведение
1. Обоснование темы
В своей работе мы хотим рассказать о Пифагоре и о теореме Пифагора, так как нас
интересует геометрия как наука в целом, и ее изучение пригодится нам в дальнейшем.
Первое что нас привлекло в этой теме – это возможность изучить практические свойства
самой знаменитой теоремы в геометрии. Второе-это развитие различных технологий, где
используется эта теорема.
На протяжении многих лет людей интересовал вопрос о теореме Пифагора и о
различных
способах
её
доказательства.
В
современных
школьных
учебниках
рассматриваются традиционные доказательства теоремы Пифагора. Это - алгебраическое
доказательство, основанное на площади. Приведено в учебнике «Геометрия 7-9», Л. С.
Атанасян.
Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его
теоремой. Причина такой популярности теоремы Пифагора : это простота - красота значимость.
2. Актуальность темы
Теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально
на каждом шагу. Тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой
теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.) свидетельствует о
гигантском числе ее конкретных реализаций. Теорема Пифагора представляет большой
интерес - это фундамент, основа всех математических вычислений, расчетов и многих
изобретений. Труды и великие открытия, которые он произвел, до сих пор актуальны, так
как находят свое применение во многих отраслях науки и жизнедеятельности всего
человечества. Куда бы мы ни посмотрели, везде можно увидеть плоды его великих идей,
воплощенные в различные реалии современной жизни.
3. Цели и задачи
Цель: Знакомство с историей жизни, изучение творческого пути Пифагора. Изучение
доказательств теоремы. Выяснить, почему так знаменита теорема Пифагора?
Возможность собрать и представить наиболее полную информацию по данной теме для
того, чтобы дать возможность другим ученикам получить более глубокие сведения по
теме «Теорема Пифагора». Рассмотреть задачи, которые опираются на теорему Пифагора,
затрагивающие различные области науки, искусства и техники.
Задачи:
1.Изучить биографию Пифагора;
2. Найти и изучить различные способы существующих доказательств теоремы;
3. Определить значение теоремы Пифагора для развития науки и использования в
различных областях;
4. Работать с литературой, в сети Интернета;
5. Учиться обобщать и обрабатывать полученную информацию.
II. Основная часть
1. Методика исследований
Мы очень мало знали о Пифагоре, тем более о философских системах. Постепенно
изучая материал, размышляя над ним мы приходили к самостоятельным открытиям. При
этом сам процесс исследовательской работы для нас был не менее важен, чем конечный
результат. Мы исследовали следующие вопросы: «Биография Пифагора», «Пифагорфилософ и педагог», «Теорема Пифагора», « Различные способы доказательства»,
«Применение», «Значение». С помощью поисковой программы www.google.ru сделали
запрос по ключевым словам: Пифагор, Древняя Греция, теорема Пифагора, различные
способы доказательства, применение теоремы Пифагора и др. Полученную информацию
систематизировали. Также очень много информации получили из печатных источников.
2.Биография Пифагора
Очень интересна биография Пифагора. Сам факт, что Пифагор - это не имя, а
прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как
греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью").
Пифагор Самосский - великий греческий ученый. Его имя знакомо каждому школьнику.
Про жизнь Пифагора известно очень мало, с его именем связано большое число легенд.
Пифагор - один из самых известных ученых, но и самая загадочная личность, человексимвол, философ и пророк. Он был властителем дум и проповедником созданной им
религии. Его обожествляли и ненавидели… Так кто же ты, Пифагор?
Он родился около 580-500 гг. до н. э. на острове Самос, далеко от Греции. Отцом
Пифагора был резчик по драгоценным камням. Имя же матери считается неизвестным.
По многим свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и
свои незаурядные способности.
Целые дни проводил юный Пифагор внимая мелодии кифары Гомера. Страсть к музыке и
поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным
мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен
Гомера. Неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на
маленьком Самосе, он видел в ясные дни желтые дороги, бегущие по большой земле в
большой мир. Они звали его.
Он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Слава об этом
мудреце гремела по всей Элладе. Во время встреч велись оживленные беседы. Именно
Фалес посоветовал ему отправиться за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.
Совсем юным покинул Пифагор родину. Сначала приплыл к берегам Египта, прошел его
вдоль и поперек. Внимательно присматривался к окружающим, прислушивался к жрецам.
В Египте, рассказывают, Пифагор попал в плен к персидскому завоевателю, и его увезли в
Вавилон. Пифагор знал, что это величайший город мира, он быстро освоился со
сложными вавилонскими традициями. Жадно впитывал речи жрецов, изучал теорию
чисел.
В течение 22 лет он проходил обучение в храмах и изучил математику, “науку чисел или
всемирных принципов”, из которой впоследствии сделал центр своей системы.
3. Школа Пифагора
Приблизительно в 530 году Пифагор, наконец, возвратился в Грецию и вскоре
переселился в Южную Италию. Свою школу Пифагор создает как организацию со строго
ограниченным числом учеников из аристократии, и попасть в нее было не просто.
Претендент должен был выдержать ряд испытаний.
Главным пифагорейским символом здоровья и опознавательным знаком была
пентаграмма - звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного
пятиугольника. Он содержал все пропорции: геометрическую, арифметическую, золотую.
Она была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. В средние века
считалось, что пентаграмма предохраняет от «нечистой силы». Пятиконечной звезде
около 3000 лет. Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран
мира. Внутренняя красота математического строения была еще замечена Пифагором.
Нравственные принципы, проповедуемые Пифагором и сегодня достойны подражания.
Его школа способствовала формированию интеллектуальной элиты. Пифагорейцы жили
по определенным заповедям.
Сейчас трудно сказать, какие научные идеи принадлежат Пифагору, какие его
воспитанникам и последователям. Осталось неизвестным, он ли открыл и доказал
знаменитую теорему, носящую его имя, ему ли самому удалось впервые доказать теорему
о сумме углов треугольника.
В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том,
что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям,
впервые появились именно в Школе Пифагора. Пифагор прожил 80 лет. Существует
много легенд о его смерти. По одной из них он был убит в уличной схватке.
Школа Пифагора дала Греции целую плеяду талантливых философов, физиков и
математиков
Для нас Пифагор - математик. В древности было иначе. Для своих современников
Пифагор прежде всего был религиозным пророком, воплощением высшей божественной
мудрости. Одни называли его математиком, философом, другие - шарлатаном. Интересен
и тот факт, что Пифагор первым и четыре раза подряд был олимпийским чемпионом по
кулачному бою.
4. История теоремы Пифагора
С его именем связано многое в математике и в первую очередь, конечно, теорема,
носящая его имя. Это теорема Пифагора. В настоящее время все согласны с тем, что эта
теорема не была открыта Пифагором. Она была известна еще до него. Ее частные случаи
знали в Китае, Вавилонии, Египте.
Исторический обзор начинается с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает
математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом
треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части,
то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".
Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон
3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.
Не найти, пожалуй, никакой другой теоремы, заслужившей столько всевозможных
сравнений.
Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным.
Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя
теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. Теорема
гласит: Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик
сумме квадратов, построенных на его катетах.
Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он,
вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области
практики в область науки. Теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как
теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем
интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора
послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой
древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.
5. Формулировки теоремы Пифагора
Геометрическая формулировка:
Изначально теорема была сформулирована следующим образом:
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна
сумме площадей квадратов, построенных на катетах
Алгебраическая формулировка:
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин
катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через с , а длины катетов через а и
в имеем :
а2+ в2=с2
Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна,
она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не
зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
Обратная теорема Пифагора:
Для всякой тройки положительных чисел а,в,с, таких, что а2+в2=с2,существует
прямоугольный треугольник с катетами а,в и гипотенузой с.
6. Различные способы доказательства теоремы Пифагора
С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы
Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Известно более или менее
строгих доказательств около пятисот, но стремление к преумножению их числа
сохранилось.
На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной
теоремы. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением
теоремы для геометрии.
Все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства
методом площадей. Мы хотим вас познакомить с некоторыми из них.
6.1.Простейшее доказательство
Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме
квадратов, построенных на его катетах.
Простейшее
доказательство
теоремы
получается
в
случае
равнобедренного
прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема.
В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных
треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ΔABC:
квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты,
построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.
6.2.Метод подобия
Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место
(возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие.
6.3.Доказательства методом площадей
Доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они
используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой
теоремы Пифагора.
(а+в)2=4*(ав/2)+с2;
а2+2ав+в2=2ав+с2; или а2+ в2=с2, что и требовалось доказать.
6.4.Через определение косинуса угла прямоугольного треугольника
Пусть ΔАВС - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем
высоту CD из вершины прямого угла С.
По
определению
косинуса
треугольника называется
угла
(Косинусом
отношение
острого
прилежащего
гипотенузе) соsА=AD/AC=AC/AB.
угла
прямоугольного
катета
к
Отсюда AB*AD=AC2.
Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС2. Складывая полученные равенства
почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим:АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2. Теорема
доказана.
6.5.Древнеиндийское доказательство
Наглядное доказательство теоремы Пифагора принадлежит индусам. Посмотрите
внимательно на два квадрата, и вам всё станет ясно. Индусы к этому чертежу добавляли
лишь одно слово: «СМОТРИ»
6.6.Доказательство Гарфилда
Три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь
фигуры
можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму
площадей трех треугольников.
6.8.Доказательство Евклида
Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина
площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей
квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов
равны.
6.9. Доказательство Леонардо да Винчи
Главные элементы доказательства — симметрия и движение.
7. Обобщение теоремы Пифагора
Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора. Звучит она так:
«Квадрат стороны произвольного треугольника равен сумме квадратов двух других его
сторон без удвоенного произведения одной из этих сторон на взятую на ней проекцию
другой». с2=а2+в2-2ав*cosγ. Действительно, если γ=90˚, то cos90˚=0 и с2=а2+в2
8. Применение теоремы Пифагора
Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с
достаточной полнотой. В первую очередь теорема Пифагора применяется в школьном
курсе математики и курсах смежных дисциплин. Определю возможности, которые дает
теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости. Это
нахождение диагонали квадрата, диагонали прямоугольника, высоты равностороннего
треугольника.
Нахождение
в
пространстве
диагонали
куба,
диагонали
прямоугольного
параллелепипеда, нахождение бокового ребра и высоты пирамиды, проходящей через
центр основания.
Теорема Пифагора используется также при построении сечений в объемных фигурах,
таких как куб, конус и других.
При выводе уравнения окружности.
В
строительстве:
крыш,
окон,
молниеотводов,
мостов,
зданий,
различных
металлоконструкций; при строительстве любых сооружений рассчитывают расстояния,
центры тяжести, размещение опор, балок и т.д. Если, например, рассматривать
четырехугольную пирамиду как крышу башни, то речь идет о том, какой длины нужно
сделать боковые ребра, чтобы при данной площади чердака была выдержана
предписанная высота крыши, а вопрос о величине боковой поверхности должен
интересовать, например, кровельщика при подсчете стоимости кровельных работ.
В зданиях готического и ромaнского
стилей верхние части окон расчленяются
каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют
прочности окон.
В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других
аналогичных примерах могут потребоваться вычисления. В романской архитектуре часто
встречается мотив, представленный на рисунке.
Также свое применение теорема Пифагора нашла в работах по астрономии и
космонавтики при изучении пути светового луча, сигнала. Изначально она использовалась
при определении расстояния до различных звезд, галактик.
Немаловажную роль имеет она и в мобильной связи. Чем надежнее связь, тем больше
потребителей. Например, нужно определить какую наибольшую высоту должна иметь
антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе.
III. Заключение. Выводы. Результаты исследования.
В целом, значение теоремы, кроме вышесказанного, заключается в том, что она
применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор
для создания новых. Мы считаем, что за теоремой Пифагора следует великое будущее
многих открытий, которыми человечество потрясет весь мир. С помощью своих
исследований мы установили, что вокруг личности Пифагора образовалось много легенд,
так что нам трудно судить как о доле вымысла в них, так и о степени соответствия
действительности.
Возможно значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью
можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Из-за этого
многие ученые называют эту теорему самой главной в геометрии. Теорема Пифагора фундамент, базис, основа всех математических вычислений, расчетов и многих
изобретений. Творческая работа по изучению биографии Пифагора и математического
наследия позволила в корне изменить все наши взгляды на этого великого и гениального
ученого древности.
Мы провели социологический опрос. В опросе приняли участие группа учеников,
учителя, техники нашей школы и родители. Опрошены 48 человек. Из них практически
все знакомы с высказыванием «Пифагоровы штаны во все стороны равны» (80%). Смогли
дать точную формулировку теоремы 64% опрошенных. Рассказали о Пифагоре, как об
ученом, философе,
основателе школы пифагорейцев 38% опрошенных. Нашли
применение теоремы Пифагора в практической деятельности 65%.
По данному опросу можно сделать вывод о том, что большое количество опрошенных
знакомо с именем Пифагора, теоремой Пифагора и знают где можно применить в
практической деятельности теорему. Это еще раз говорит об актуальности данной темы.
IV.Список используемых источников:
1.
Астахова В.Г.и др. «Мир вокруг нас» Москва Издательство политической
литературы,1983 год, 175с.
2.
Атанасян Л.С.и др. Геометрия 7-9 .Учебник для общеобразовательных
учреждений Москва «Просвещение», 2006 год
3.
Глейзер Г.И. «История математики в школе 4-6 классы»
Москва
«Просвещение»,1981год, 239с.
4.
Депман И.Я. «За страницами учебника математики» Пособие для учащихся
5-6 классов средней школы Москва «Просвещение», 1989год, 287с.
5.
Кисилев А.П. Элементарная геометрия Москва «Просвещение», 1980 год,
6.
Погорелов А.В.
287с.
Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных
учреждений Москва «Просвещение», 2006год.
7.
Энциклопедический словарь юного математика Москва «Педагогика», 1989
год, 349с.
8.
Под ред. С.
9.
Белл Э. Т. Творцы математики. Предшественники современной математики/
Н. Киро. М., 1979
Реньи А. Трилогия о математике (Диалоги о математике. Письма о
вероятности. Дневник – Записки студента по теории информации)/ Пер. с венг. Под ред.
Б. В. Гнеденко. М., 1980 10.
10. Хрестоматия по истории математики в 2-х т./ Под ред. А. П. Юшкевича. М.,
1975, 1976
11. Математика в школе. Рубрики «Математический календарь» и «Ученыематематики» (с 1975 г.)
12. wikipedia.org
13. moypifagor.narod.ru
14. edu.glavsprav.ru
15. school-collection.edu.ru
16. th-pif.narod.ru
17. festival.1september.ru