Презентация Power Point "Числовые неравенства и их свойства".

Подобно тому как все
искусства тяготеют
к музыке, все науки
стремятся
к
математике.
Д. Сантаяна
a=b
a>b
a<b
Пример 1. Сравните обыкновенные дроби.
>
Пример 2. Сравните десятичные дроби.
3,6748
3,675
3=3
6=6
7=7
4<5
единицы
десятые
сотые
тысячные
Пример 3. Сравните отрицательные числа.
-15
|-15|=15
|-23|=23
15<23
-23
Число а больше числа b,
если разность
a-b –
положительное
число;
число a меньше числа b,
если разность a-b –
отрицательное число, если
a-b=0, то a=b.
Примеры: сравните числа.
-20 < 15
a-b= -20-15=-35 – отрицательное число
1,45
-3,75
a-b= 1,45+3,75=5,20 – положительное число
= 0,9
a-b= 0,9-0,9=0
Докажем, что сумма квадратов
любых двух чисел не меньше их
удвоенного произведения.
а и b – произвольные числа.
Доказать:
Свойства числовых неравенств.
Теорема 1
Если a>b, то b<a; если a<b, то
b>a.
Пример
Если 20>15, то
15<20
Если 14<16, то
16<14
Если 7<5, то
5<7
Теорема 2
Если a<b и b<с то a<с .
Доказательство.
a-c=a-c+b-b=(a-b)+(b-c)
a<b и b<с –
по условию
a-b и b-c –
отрицательные
числа
Их сумма
отрицатель
ное число
a<c
Если a<b и b<с то a<с .
5<7 и 7<10
5<10
3<4 и 4<8
3<8
13<18 и 18<20
13<20
33<45 и 45<69
33<69
Теорема 3
Если a<b и с – любое число, то a+с<b+с .
Доказательство.
Преобразуем разность (a+c)-(b+c)=a-b
a<b – по
условию
a-b –
отрицате
льное
число
(a+b)-(b+c) –
отрицательн
а
a+с<b+с
Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и
то же число, то получится верное неравенство.
Если a<b и с – любое число, то
a+с<b+с .
29<50
5<7 и число 7
24<29
3<4 и число 4
46<58
13<18 и число 11
7<8
33<45 и число 13
12<14
21<42 и число 8
Теорема 4
Если a<b и с – положительное число, то
aс<bс . Если a<b и с – отрицательное число,
то aс>bс .
Доказательство.
c>0
ac-bc=c(a-b)
a<b
c(a-b) -
aс<bс
отрицате
льно
a-b –
отрицательное
число
c(a-b) c<0
положит
ельно
aс>bс
Если a<b и с – положительное число, то aс<bс .
Если a<b и с – отрицательное число, то aс>bс .
5<7 и число 7
3<4 и число (-4)
126<252
26<36
-99>-135
13<18 и число 2
-12>-16
33<45 и число (-3)
35<49
21<42 и число 6
Сложение и умножение
числовых неравенств.
Теорема 5
Если a<b и c<d то a+c<b+d .
Доказательство.
a<b
a+c<b+c
a+c<b+d
c<d
b+c<b+d
Если сложить
почленно верные
неравенства
одного знака, то
получится верное
неравенство.
35<74
Если a<b и c<d то a+c<b+d .
5<7 и 8<9
3<4 и 5<12
15<38
45<60
13<18 и 2<20
8<16
33<45 и 12<15
13<16
21<42 и 14<32
Теорема 6
Если a<b и c<d, где a,b,c и d –
положительные числа, то ac<bd .
Доказательство.
a<b
a+c<b+c
a+c<b+d
c<d
b+c<b+d
Если почленно
перемножить
верные неравенства
одного знака, то
получится верное
неравенство.
Если a<b и c<d, где a,b,c и d –
положительные числа, то ac<bd .
5<7 и 8<9
3<4 и 5<12
294<1344
26<360
396<675
13<18 и 2<20
15<48
33<45 и 12<15
40<63
21<42 и 14<32
Совместите начало записей свойств неравенств с
их завершением.
Если а<b и с<d, то…
Если а<b, с< d, где а, b,с, d –
положительные числа, то…
Если а<b и с- положительное
число, то…
Если а<b и с- отрицательное
число, то…
Если а<b и b<с, то…
ac<bc
a<c
ac>bc
а+с<b+d
ас<bd
Даны неравенства:
8>-10
Впишите каждое из них в одну из
малых фигур в соответствии с тем, как
эти малые фигуры объединены на
рисунке.
0>-
2>9 14>10
0,2<
-5<-21
-
Неверное неравенство
Верное неравенство
Дано: 5<x<8
Оценить значение выражений:
30 < 6x < 48
-50 < -10x < -80
0< x – 5 < 3
16 < 3x + 1 < 25
-15 < -x*3 < -24
Дано неравенство:
6>5
Задание:
Прибавьте к обеим частям неравенства число 4
10>9
Прибавьте к обеим частям неравенства число –2
4>3
Вычесть из обеих частей неравенства число 7
Вычесть из обеих частей неравенства число –6
Умножьте обе части неравенства на число 3
-1>-2
12>11
18>15
Итоги урока:
Как сравнить два числа?
Свойства числовых неравенств