а + b

Модуль неотрицательного числа.
Решение уравнений и неравенств
 Алгебра 8 класс.
 Ноак Татьяна Алексеевна, учитель математики
 С.Молчаново, Томская область
МОДУЛЬ
 Определение:
 модулем (абсолютной величиной) числа а
называется неотрицательное число,
которое обозначается | а |
 определяется по формуле:
|а|=
а, если а 0,
-а, если а < 0
 Модулем неотрицательного числа
является само число, модулем
отрицательного – число, ему
противоположное.
 | 5,8| - это модуль (абсолютная величина)
числа 5,8; | 5,8| = 5,8.
 | -30,6 | - это модуль числа (абсолютная
величина) числа -30,6; | -30,6 | = 30,6.

Задание 1.
Найдите значения выражений:
 |3 – |(5 - 7)||;
-2 + |1 - |-6 + |-2|||;
|-(7 - |-3| + |-9|)|;
10 - (1 - |-6 + 5| - 1).
некоторые свойства модуля:
1.
Модуль числа есть число неотрицательное:|а|  0.
2.
Модуль числа а равен большему из двух чисел:a или -a.
3.
Модули противоположных чисел равны: |а| = |-а|.
4.
Модуль числа не меньше как самого числа, так и ему
5.
Квадрат модуля равен квадрату подмодульного выражения:
противоположного: |а|  а и |а|  -а.
|а|2 = а2.
6.
Модуль произведения двух чисел равен произведению
модулей этих чисел: |а b|= |а|  |b|.
 7.Модуль частного двух чисел равен





частному модулей этих чисел.
8.Модуль суммы двух чисел не больше
суммы модулей этих чисел: |а + b|  |а| + |b|.
9. |а - b|=|b - а|.
10.Если а 0 и b 0, то а + b = |а + b| = |а| + |b|.
11.Если аb  0, то |а| + |b| = |а + b|.
12.Если аb  0, то |а| + |b| = |а - b|.
Задание 2.
Числа а и b удовлетворяют
неравенствам 0 < a < 1 и -1 < b <
0. Определите выражение, имеющее
наименьшее значение:
1.
2.
3.
4.
5.

а + |b|;
b - |а|;
|а + b|;
|а - b|;
b2 + а.
Задание 3. Истинны или ложны
следующие утверждения:
1. Число неотрицательно тогда и только
тогда, когда оно равно своему модулю .
2. Число равно нулю тогда и только тогда,
когда его модуль равен нулю .
3. Числа неотрицательны тогда и только
тогда, когда их сумма равна сумме
модулей этих чисел .
4. Сумма модулей двух чисел не меньше
модуля их суммы .
 5.Если сумма модулей двух чисел равна
модулю их суммы, то эти числа
неотрицательны.
 6.Сумма модулей двух чисел
противоположна сумме этих чисел тогда и
только тогда, когда числа отрицательны.
 7.Для любых двух чисел модуль их
разности равен разности их модулей.
Задание 4. Ответьте на
вопросы, не решая уравнения
и неравенства.
 1. Сколько целых чисел можно подставить
вместо буквы m, чтобы равенство |6- m| = 2
было верным?
 2. Сколько целых чисел можно подставить
вместо буквы m, чтобы неравенство | m 8,5|  4 было верным?
 3. Сколько натуральных чисел можно
подставить вместо буквы m, чтобы
неравенство | 6,5 - m | < 0,1 было верным?
 4. Сколько целых чисел можно подставить
вместо буквы m, чтобы неравенство
| 1- m |  10 было верным?
Геометрический смысл модуля:
 |а| - это расстояние от точки,
соответствующей числу а на числовой
прямой, до точки О
Чтобы найти длину любого отрезка
координатной прямой, надо из
координаты его правого конца вычесть
координату левого конца.
Сделай рисунок на
координатной прямой:
длина отрезка АВ, то есть расстояние между
точками А(-2) и В(4), равна 4 – (– 2 ) = 6.
Пусть А(а) и В(b) – две точки на координатной
прямой и неизвестно, какая из них находится
правее другой.
 Если точка В (b) правее точки А (а), то
расстояние d между точками А и В равно b–
a = |b – a|.
 Если точка А (а) правее точки В (b), то d = a
– b = |b – a|, так как |b – a| = |a – b|.
 Если же точки А (а) и В (b) совпадают, то d =
|b – a| = 0.
 Таким образом, |a – b| - расстояние между
точками (числами) a и b на числовой
прямой.
разные способы решения уравнений и
неравенств, содержащих модуль
Задание 4.
Решите уравнение |x – 5| = 3.
Решение.
1-й способ.
Из определения модуля следует, что
x – 5 = 3 или x – 5 = - 3.
Решая полученные уравнения, находим:
x = 8 или x = 2.
Ответ: х1 = 8; х2 = 2.
2-й способ.(геометрический)
 Уравнение |x – 5| = 3 обозначает, что
расстояние между точкой А(5) и точкой с
координатой x равно 3.
Точек, находящихся на расстоянии 3 от
точки А, две: В1(2) и В2(8).
Значит, уравнение имеет два корня:
x = 8 или x = 2.
 Ответ: х1 = 8; х2 = 2.
Задание 5. Решите уравнение
 а)
 б)
 в)
 г)
|x + 4| = 6;
|x – 3| = -2;
|2x – 5| = 13;
2
|x – 2| = 2 .
Задание 6.
Решите неравенство.
|x – 3| < 5
Решение 1-й способ (алгебраический).
Данное неравенство равносильно двум
системам:
2-й способ (геометрический).
Требуется найти все числа, находящиеся
от числа 3 на расстоянии, меньшем 5.
Отметим на числовой оси все числа, расстояние от которых до числа 3 равно 5.
Это числа (-2) и 8.
Все числа, находящиеся от числа 3 на
расстоянии, меньшем 5, образуют
интервал (-2;8).
Ответ: (-2;8).
3-й способ.(двойное неравенство)
|x – 3| < 5;
-5 < x – 3 < 5;
-2 < x < 8.
Ответ: (-2; 8).
Задание 7. Решите неравенство:
|- x -5| > 1.
Решение.
Воспользуемся правилом: Модули
противоположных чисел равны: |а| = |-а|.
|- x -5| = |x +5|.
Перепишем и решим неравенство:
| x +5| > 1.
Задание 8. Решите неравенства
 а)
 б)
 в)
 г)
 д)
|x + 1| < 8;
|x + 2| > 11;
| -3x + 4| < 7;
|5x + 3| 12;
9 |x – 5| ≤18;
Задание 9. Решите уравнение
|x – 4| + |x| = 6
Решение.
Для решения такого уравнения необходимо
освободиться от модулей.
Учтём все возможные сочетания знаков
выражений, стоящих под знаком модуля.
Получаем четыре системы
Задание 10. Решить уравнение
|x - 1| + |x - 2| = 1
 Решение.
Расставим на числовой оси точки, в
которых подмодульные выражения
обращаются в нуль. Это точки с
координатами 1 и 2, они разбивают
числовую ось на три промежутка.
Определим знаки подмодульных
выражений на каждом из промежутков.
 1. При х  1, х – 1  0 и х - 2  0
(чтобы найти знак подмодульного выражения,
достаточно взять любую точку из указанного
промежутка, например, х = 0 в нашем случае,
и подставить в выражения х - 1 и х - 2).
Далее, так как подмодульные выражения
неположительны, то по определению модуля
имеем: | x-1| = - x + 1 и |x-2| = - x + 2.
 Получаем уравнение: -х + 1 - х + 2 = 1,
откуда х = 1.
Точка х = 1 принадлежит промежутку х  1,
значит, х = 1 является корнем уравнения.
2.При 1 < х  2, х – 1 > 0 и х - 2  0.
Получаем уравнение:
х – 1 – х + 2 = 1 или 1 = 1.
Данное уравнение имеет бесконечное
множество решений.
В данном случае решением уравнения
являются все х, удовлетворяющие
неравенству 1< х  2.
 3. При х > 2, х – 1 > 0 и х - 2 > 0.
Получаем уравнение х – 1 + х - 2 = 1,
откуда х = 2.
Точка х = 2 не принадлежит
указанному промежутку, поэтому в
этом случае решений нет.
Найдем общее решение,
объединив решения,
полученные в каждом случае:
х = 1 и 1 < х  2.
В итоге получаем отрезок 1; 2.
Ответ: 1; 2.
Задание 11. Решить уравнение
| х + 2|+|х - 4| = 10.
Решение.
Выражение |х+2| означает расстояние между точками с координатами х
и -2.
Выражение |х- 4| означает расстояние между точками с координатами х
и 4. Тогда из уравнения следует, что нужно найти такую точку Х(х),
сумма расстояний от которой до точек с координатами -2 и 4 равна
10.
Расстояние между точками с координатами -2 и 4 равно 6. Если точка
лежит между точками -2 и 4, то сумма расстояний от них до этой
точки, будет равно 6. Это меньше 10, следовательно, точка с
координатой х находиться вне отрезка [-2;4]. Понятно, что искомая
точка может лежать справа или слева от отрезка. И тогда заданное
расстояние – это длина отрезка и удвоенное расстояние до одного
из концов отрезка. Значит, искомые точки удалены от концов
отрезка на 2 единицы масштаба вправо и влево. Т.е. х1 = -4; х2 = 6.

Ответ: х1 = -4; х2 = 6.
Устно.
 Как изменилось бы решение
данного уравнения, если бы
вместо 10 было бы 3, 6, 20?
Сколько было бы тогда корней?
| х + 2|+|х - 4| = 10
Задание 12. Решить уравнение
 а) |x + 5| + |x - 3| = 2;
 б) |x + 5| + |3 - x | = 10 ;
 в) |2x - 13| - |x - 1| = 17;
 г) |x + 1| + |2 + x | - |x + 3| + |x - 4| = 8;
Домашнее задание
 §16 (п1,2)
 № 16.29, 16.32
Литература:
 Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. Учебник
для общеобразовательных учреждений.
М., «Мнемозина», 2012.
 Мордкович А.Г., Мишустина Т.Н.
Тульчинская Е.Е. Алгебра. 8 класс.
Задачник для общеобразовательных
учреждений. М., «Мнемозина», 2012.