Погрешность измерения. Обработка результатов

Математическая
обработка результатов
измерения
Погрешность
измерения.
Обработка
результатов
измерения
Лектор: ст. преподаватель каф.
ИИТ
Вавилова Галина Васильевна
1
ЛК 3
2
Основные понятия и
определения
РМГ 29-99 (Рекомендации по
межгосударственной стандартизации
«Государственная система
обеспечения единства измерений.
Метрология. Основные термины и
определения»)
3
Измерение
Измерение
• совокупность операций по
применению технического
средства, хранящего единицу
физической величины,
обеспечивающих нахождение
соотношения измеряемой
величины с ее единицей и
получение значения этой величины
4
Измерение
• процесс нахождения значения физической
величины опытным путём с помощью
специальных технических средств.
Измерение
физические величины;
измерительный эксперимент;
технические средства, имеющие
нормированные метрологические
характеристики.
5
«измерение»
«мерить»
«обмерять»
«измерять»
«замерять»
«измерение
значения»
«промерять»
6
Физическая
величина
ФВ
• свойство физического объекта, в
качественном отношении общее для
многих физических объектов, а в
количественном отношении
индивидуальное для каждого из них.
• упрощенное описание объекта
измерения с помощью математических
формул
Математическая модель
V=2πr2h
7
Виды измерений
Прямые
измерения
Косвенные
измерения
• измерения, при которых искомое значение
физической величины находится
непосредственно по показаниям средства
измерения.
• измерения, при которых искомое значение
физической величины находится с
использованием известной зависимости
между этой величиной и другими
величинами, подвергаемыми прямым
измерениям.
8
• одновременные измерения нескольких
разноименных ФВ с целью установления
зависимости между ними
Совместные
измерения
• измерения нескольких одноименных ФВ,
заключающиеся в проведении прямых измерений
различных сочетаний этих величин решении
полученной системы алгебраических уравнений.
Совокупные
измерения
9
Погрешность измерения
результат измерения - 
    .
10
x  xи  xд
11
2. Разновидности
погрешностей
• число, указывающее возможные границы
неопределенности полученного значения
Погрешность
измеряемой величины.
результата
измерения
• определенное свойство прибора, для
описания которого приходится использовать
соответствующие правила.
Погрешность
прибора
12
Инструментальные и
методические погрешности
• погрешность, которая принадлежит
данному средству измерений, может
быть определена при его испытаниях
и занесена в его паспорт.
Инструментальная
погрешность СИ
13
• погрешность, которая связана не самим
прибором, а с методом проведения
измерений
Методическая
погрешность
ПРИЧИНА:
измеряют или вынуждены измерять не ту величину, которая
должна быть измерена
Оценивается самим экспериментатором!!!
Основная и дополнительная
погрешности СИ
ВЛИЯЮЩИЕ ВЕЛИЧИНЫ:
температура
тряска
вибрации
напряжение источников питания прибора и объекта
коэффициент содержания гармоник питающих напряжений
и т. п.
14
15
 доп   
16
Систематические,
прогрессирующие и случайные
погрешности
По характеру проявления во времени:
• Систематические
• Прогрессирующие
• Случайные
Систематические погрешности
• погрешности, не изменяющиеся с течением времени
Прогрессирующие (или дрейфовые)
погрешности
• непредсказуемые погрешности, медленно
изменяющиеся во времени
17
Абсолютная, относительная и
приведенная погрешности СИ.
x  xи  xд
  x x
 пр   x X m
18
Аддитивные и мультипликативные
погрешности
Аддитивная погрешность
• Погрешность нуля
• Абсолютная погрешность СИ во всем диапазоне ±Δ0
ограничена пределом
Мультипликативная погрешность
• Погрешность чувствительности
• ширина полосы возрастает пропорционально росту
входной величины х, а при х = 0 равна нулю
19
Промахи
• погрешность результата отдельного
измерения, входящего в ряд измерений,
которая для данных условий резко отличается
Промах
от остальных результатов этого ряда.
«промах»
«грубая погрешность
измерений»
«выброс»
результат неисправности СИ
резкие изменения условий
измерений
следствие неправильных
действий эксперимента
20
Критерий Шовине
Z
x  xi

Пример
Измерение силы тока дало следующие результаты: 10,07; 10,08;
10,10; 10,12; 10,13; 10,15; 10,16; 10,17; 10,20; 10,40 А. Не является ли
промахом значение 10,40 А?
Решение. Обработка данных приводит к значениям: x = 10,16А;
σ = 0,094А.
По критерию Шовине
Z
10,16  10,40
0,094
 2,55
По таблице получаем, что данное отклонение Z=2,55 не может
считаться промахом при М=45 числа измерений.
Поэтому результат 10,40 является промахом.
21
22
Метод Грубсса-Смирнова


2
1 n
S
x

x
,
 i
n  1 i 1
V1 
V1   гр
V2   гр
xmax  x
S
V2 
xmin  x
S
23
Средство измерения
Средство
измерения
(РМГ 29-99)
• техническое средство,
используемое для измерения и
имеющее нормированные
метрологические характеристики.
Инструментальная
24
Аддитивная
Мультипликативная
Аддитивная и
мультипликативная
25
Паспорт
прибора
Нормированные
погрешности
• погрешности, являющиеся предельными для
данного типа СИ
Границы основной
погрешности
Коэффициенты
влияния для каждой
дополнительной
26
Нормирование метрологических
характеристик средств измерений
ГОСТ 8.009-84 «Нормируемые
метрологические
характеристики средства
измерения»
27
Метрологические характеристики
Метрологическая
характеристика
(МХ)
• характеристика одного из свойств
средства измерений, влияющая на
результат измерений и на его
погрешность.
Для определения результатов измерений
Для расчетной оценки характеристик инструментальной
составляющей погрешности измерений;
для расчета MX каналов измерительных систем;
для оптимального выбора средств измерений.
28
Номенклатура МХ
1. Характеристики, предназначенные для
определения результатов измерений:
C
Xm
N
29
2. Характеристики погрешностей средств
измерений
характеристики систематической составляющей
погрешности средств измерений;
характеристики случайной составляющей погрешности
средств измерений;
характеристики случайной составляющей Н погрешности
от гистерезиса – вариация Н выходного сигнала
(показания) средства измерений и т. д.
30
3. Характеристики чувствительности СИ к
влияющим величинам.
4. Динамические характеристики СИ.
5. Характеристики СИ, отражающие их
способность влиять на инструментальную
составляющую погрешности измерений
вследствие взаимодействия средств
измерений с любым из подключенных к их
входу или выходу компонентов.
6. Неинформативные параметры
выходного сигнала средства измерений.
31
Вид представления МХ
Формулы
Таблицы
Графики
Численные значения в единицах измеряемой величины
Численные значения в процентах нормирующего
значения
32
Класс точности средств
измерений
Класс точности
• это обобщенная характеристика
данного типа средств измерений,
отражающая уровень точности,
выражаемая пределами
допускаемых основной и
дополнительных погрешностей, а
также другими характеристиками,
влияющими на точность (РМГ 29-99).
33
ГОСТ 8.401-80 «Классы точности
средств измерения»
34
Недостатки
Погрешности СИ имеющие разное происхождение
оцениваются суммарно в виде одного числа
• Систематические и случайные
Погрешность в большинстве случаев оказывается
завышенной
• Нормируется для всех приборов одного типа
Невозможность оценки отдельных составляющих
погрешностей
35
Но
Класс точности широко применим для
электроизмерительных СИ
Нельзя использовать произвольные числа
Выраженные в процентах:
6 – 4 – 2,5 – 1,5 – 1,0 – 0,5 – 0,2 – 0,1 – 0,05 – 0,02
– 0,01 – 0,005 – 0,002 – 0,001 и т. д.
36
 Основное
различие в способах нормирования
обусловлено разным соотношением
аддитивной и мультипликативной
составляющих в погрешности
37
При чисто мультипликативной
полосе погрешностей СИ
Абсолютная погрешность возрастает прямо измеряемой величина х.
Нормируется по относительной погрешность
 m  ( x) x
Класс точности прибора указан в виде одного числа δ, заключенного в кружок.
Например, 1,5 обозначает, что  = 1,5%.
m
Граница относительная погрешность результата (в процентах)
абсолютная его погрешность
 m . x
( x) 
100
 ( x)   m
, а
Пример
Провели измерение напряжения вольтметром с классом
точности  кл  1.0 , показания вольтметра равны 5.00В.
Решение. Границы абсолютной погрешности измерения
будут равны
1,0  5,00
U 
 0,05 В
100
Результат измерения представляем границами, в которых с
доверительной вероятностью 0.95 лежит действительное
значение измеряемого напряжения.
4.95В U д
5.05В , P=0,95
38
39
При чисто аддитивной полосе
погрешностей
Нормируется не абсолютное, а приведенное значение погрешности:
 0  0 X
N
Класс точности прибора указан одним числом γ (без кружка).
Тогда абсолютная погрешность результата измерения
( x) 
0  XN
100
 ( x) 
X
( x)
 0 N
x
x
Пример
Провели измерение электрического напряжения вольтметром, у
которого класс точности нормирован аддитивной погрешностью
 кл  1.0 . Верхний предел измерения Um = 10 В, показания
вольтметра Uи = 5,00В. Представить результат измерения.
Решение. Границы абсолютной погрешности измерения
соответствии с (3.6) определятся числом
U m 
в
1
1
U m кл 
10 1.0  0.1В
100
100
Результат измерения представляем границами, в которых с
доверительной вероятностью 0.95 лежит действительное значение
измеряемого напряжения
5.0  0.1В U д
5.0  0.1В
или
U д  5.0  0.1В , Pд  0.95 (0.997)
40
41
При одновременном присутствии
аддитивной и мультипликативной
составляющих
полоса погрешностей имеет трапецеидальную форму .
  x      x,
 Xк 
 1
x


 ( x)  c  d 
Класс точности в виде условной дроби c/d,
с – (в %) приведенная погрешность в конце диапазона измерений,
c  d
d – (в %) приведенная погрешность в нуле диапазона.
d

Xm
Абсолютная погрешность ( x) 
 ( x)  x
100
,
Пример
Рассмотрен
представление
результата
измерения
электрического тока амперметром, класс точности которого
задан коэффициентами c и d, 2.0/1.0 . Предел измерения
амперметра 10А, показания амперметра 4.53А. Представить
результат измерения.
Решение. Границы абсолютной погрешности выполненного
измерения
1

 10

I 
 4.53  2.0  1.0 
 1   0.15 A.
100

 4.5

Окончательный результат измерения
I д  4.53  0.15А
Pд  0,95
42
43
Правила округления значений
погрешности и результата
измерений
Можно сформулировать три правила округления:

Погрешность результата измерения указывается двумя значащими
цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной, – если первая есть 3
и более.

Результат измерения округляется до того же десятичного разряда,
которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности.

Округление производится лишь в окончательном ответе, а все
предварительные вычисления проводят с одним-двумя лишними знаками.
44
1. Обработка прямых
измерений
X  Xи  
45
Прямые измерения ?
46
Прямые однократные
измерения
 сл   c
Р 50.2.038-2004
Рекомендации по метрологии
«Измерения прямые однократные.
Оценивание погрешностей и
неопределенности результата
измерений»
Составляющие погрешности
результата измерения
1. Погрешности инструмента.
2. Погрешности метода измерений.
3. Погрешности, связанные с физиологией наблюдателя.
4. Погрешности, связанные с особенностями объекта и зависимостью
измеряемой величины от контролируемых окружающих условий.
5. Погрешности, связанные с влиянием неконтролируемых внешних
условий.
48
Прямые однократные измерения
– производственная необходимость ;
– возможность пренебрежения случайными
погрешностями;
– случайные погрешности существенны, но
доверительная граница погрешности результата
измерения не превышает допускаемой погрешности
измерений.
49
  k
n
2

 i,
i 1
где k – поправочный коэффициент,
определяемый принятой доверительной
вероятностью и числом n составляющих Δi.

P=0,95 => k =1,1.
P=0,99 => k =1,45 при n > 4.

ГОСТ 8.207-76

50
Представление результата
X  X ,
51
Прямые многократные измерения
Действительное значение измеряемой
величины
• наиболее вероятное из серии отсчетов
Погрешность
• характеризуют шириной интервала, который с
заданной вероятностью покрывает истинное
значение.
Результат наблюдения
• значение величины, полученное при отдельном
наблюдении,
Результат измерения
• среднее арифметическое группы результатов
наблюдений
51
52
Прямые измерения с
многократными наблюдениями
ГОСТ 8.207-76 «Прямые
измерения с
многократными
наблюдениями. Методика
обработки результатов
наблюдения. Основные
положения»
53
методика обработки измерения с
многократными наблюдениями
xи  xи1  xиi  xиn 
1 n
x   xi
n i 1
_
n
x 
 (x
i 1
i
 x) 2
n 1
53
54
методика обработки измерения с
многократными наблюдениями
n
x 
 ( x  x)
i 1
2
i
nn  1
n
 сл  t x
54
55
t P ,n
n
P  0,95
t
2
3
4
5
6
7
10
20
30
12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,26 2,09 2,04
2
  и2  сл
.
56
Пример
С помощью секундомера проведено n=3 измерений 10
колебаний
маятника.
В
результате
получены
экспериментальные данные: t1=15,3с; t2=15,7с; t3=15,4с.
Инструментальная погрешность секундомера  ис  0,2с .
Представить результат измерения.
Решение.
1.
Рассчитываем
среднее
арифметическое
значение:
1
t  (15,3  15,7  15,4)  15,47c.
3
2. Находим оценку СКО результата измерения
3
t 
 (t
i 1
i
 t)2
nn  1

15,3  15,472  15,7  15,472  15,4  15,472
3(3  1)
 0,114с.
56
57
Пример
3. Из справочной таблицы для n=3 выбираем значение
коэффициента Стьюдента t0.95,3  4,30 .
4. Инструментальная погрешность секундомера дана в
условии задачи  ис  0,2с .
5. Определяем абсолютную погрешность измерения с
учетом случайной и инструментальной
 t  (t0.95,3 ) 2  2ис  (4,30  0,114) 2  0,2 2  0,529с.
6. Вычисляем относительную погрешность

t
0,529
100% 
100%  3,42%
15,47
t
7. Окончательный результат измерения записываем в
следующем виде:
t  (15,5  0,5)с   3% P=0,95.
57
58
ОБРАБОТКА КОСВЕННЫХ
ИЗМЕРЕНИЙ
косвенные измерения?
Физическая
величина
зависимостью
z
определяется
функциональной
z  f ( x1 , x2 ,..., xn )
58
59
Порядок обработка результатов
косвенных измерений
 xi
x
i
zср  f ( x1 , x2 ,..., xn )
59
60
Порядок обработка результатов
косвенных измерений
z  ( z   zср )ед.изм.
  ...%
61
Способ 1 (Универсальный)
Вначале определяется
формуле
абсолютная
 f

zср   
 x 
i
i 1  xi

n
Затем определяется
формуле
z 
ср
zср
по
погрешность
по
2
относительная
 zср
погрешность
100%
Наиболее удобен этот способ подсчета относительной
погрешности, если независимые переменные или функции
от них образуют сумму или разность. Например,
y  ax1  bx23  c sin x3
61
Способ 2
Вначале определяется относительная погрешность по
формуле
2
n
z 
ср
  ln f


 100%


xi 
 x
i 1 
i

Затем определяется абсолютная погрешность по формуле
 zср 
zср zср
100
Если переменные или функции от них образуют
произведение или частное, удобнее пользоваться способ 2
62
63
Пример
Некоторая функция l является результатом суммирования двух
величин l = a + b,
a = (35.0±0.1)мм; δa = 0,29%
b = (15.0±0.1)мм; δb = 0,7%
Решение. Значение косвенно измеряемой величины
lср  aср  bср  35,0  15,0  50,0 мм
Для расчета погрешностей функции l воспользуемся способом 1.
 l
  l

 l    a     b   2a  2b
 a   b 
2
2
Рассчитаем абсолютную погрешность и округлим ее
l  2a  2b  0,12  0,12  0,141  0,14 мм
Рассчитаем относительную погрешность δl по формуле и
округлим ее

0,14
l 
l
lср
100% 
50,0
100%  0,28%
Результат измерения l = (50.00±0.14)мм; δ = 0,28%; P = 0.95
63
64
Пример
Рассчитаем погрешность измерения объема цилиндра
D 2
V
4
h
где D и h - диаметр и высота цилиндра, значения которых
получены прямыми многократными измерениями:
D  (15,0  0,6) мм ;   4% ; P = 0,95;
h  (35,0  1,1) мм ;   3,1% ; P = 0,95.
Решение. Рассчитаем значение косвенно измеряемой величины
объема
D
  15,0
V 
h 
35,0  6182 мм
Используем способ 2.
4
4
Предварительно прологарифмируем формулу для объема
D
h
2
2
ср
ср
ln V  ln
2
ср
D 2
4
h  ln   2 ln D  ln h  ln 4
Затем получаем расчетное соотношение для относительной
погрешности     ln V      ln V      ln V   
2
V

 
2



2

 D
2
D


2
2

 h
h


1
 2
 1 
        D     h    2  4 D2   h2 .

 D
 h 
64
Число π берем с погрешностью много меньшей, чем
погрешность измеряемых величин, поэтому будем ею
пренебрегать.
Рассчитаем относительную погрешность объема и округлим ее
V  4 D2   h2  4  42  3,12  8,58  9%
Рассчитаем абсолютную погрешность объема и округлим ее
V 
Vср V
100

6182  8,58
 530 мм 3  0,5  103 мм 3
100
Результат измерения с учетом правил представления
результатов измерений записываем в виде:
V  (6,2  0,5)  10 мм ;   9% ; P = 0,95.
или
V  (6,2  0,5)  cм ;   9% ; P = 0,95
3
3
V
3
V
65
66
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!