ПРОЦЕНТЫ И ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА ПРОЦЕНТ – (от лат. per cent – на сотню) сотые доли чего-либо по отношению к целому В Древнем Риме – Октавиан Август взимал налог в размере 1/100 на товары Обозначение – первоначально в Средние века обозначали «cto» – Матье де ла Порта «Руководство по коммерческой арифметике» (1685) – наборщик напечатал «%» В России – в Смутное время (привязка чеканки монет к 1 из 100 – рубль из 100 копеек); – ввел в обиход понятие – Петр Первый ПРОЦЕНТ «от какой величины считаем»: Гель для душа раньше продавался в бутылках по 750 мл, теперь же – в бутылках по 1000 мл по той же цене. Сколько процентов вы получаете в подарок? Ответ: либо (1000-750)/750*100% = 33%, либо (1000-750)/1000*100% = 25%. ПРОЦЕНТ «от какой величины считаем»: Объем продаж в прошлом году составил 10 миллионов евро. Цель на текущий год – увеличение объема продаж на 6%. Объем продаж в нынешнем году составил 10,3 миллиона евро. На сколько процентов продавец выполнил намеченную цель? Ответ: если цель – рост продаж – то на 50% (0,3 от 0,6), объем продаж – то на 97,2% (10,3 от 10,6). ПРОЦЕНТ «операции с процентами»: Если цена товара увеличилась на 20%, а затем снизилась на 20%, то каким будет соотношение начальной и конечной цены? Цена снизилась на 4%. Если Иван зарабатывает на 1000% больше Петра, то он получает в 11 раз больше. ПАРАДОКС СИМПСОНА Крупная компания открывает новый завод и создает 250 рабочих мест в службе продаж, монтажа и в складской службе. На рабочие места претендовали 355 мужчин и 325 женщин. Работу получили 190 мужчин (53,5% от претендентов) и 60 женщин (18,5%). Уровень подготовки мужчин и женщин был абсолютно одинаков. Можно ли утверждать, что имеет место дискриминация женщин при приеме на работу? ПАРАДОКС СИМПСОНА Исходные данные и расчеты: Кандидаты Принято на работу Служба Рабочие места Продажи 30 25 100 5 25 Монтаж 200 250 25 180 20 Склад 20 80 200 5 15 ИТОГО 250 355 325 190 60 % принятых на работу Мужчины Женщины Мужчины Женщины Мужчины Женщины 53,5 18,5 ПАРАДОКС СИМПСОНА Исходные данные и расчеты: Кандидаты Принято на работу % принятых на работу Служба Рабочие места Продажи 30 25 100 5 25 20 25 Монтаж 200 250 25 180 20 72 80 Склад 20 80 200 5 15 6,25 7,5 ИТОГО 250 355 325 190 60 53,5 18,5 Мужчины Женщины Мужчины Женщины Мужчины Женщины В действительности процент принятых на работу (от количества претендентов) в каждом отделе выше среди женщин. ПРОЦЕНТЫ В ФИНАНСОВОЙ СФЕРЕ – ИСТОРИЯ ДЕНЕГ – обмен излишками между семьями – некоторые товары становились «базовыми» при обмене – изображения «базовых» товаров на табличках, монетах – первые банкиры – определение стоимости драгоценных монет по весу у ювелиров – хранение монет и выдача расписок – выдача хранимых денег в долг другим людям за плату ПРОЦЕНТЫ В ФИНАНСОВОЙ СФЕРЕ – КАПИТАЛ И ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА В экономике: Капитал – фактор производства – совокупность вложений владельца предприятия в оборудование или производство. В финансовой сфере: Капитал – это сумма денег, – размещенных на банковских вкладах с определенной доходностью; – выдаваемых в виде займов за определенную плату. Доходность или плата – процентная ставка МАТЕМАТИКА Степень – многократное умножение числа на самого себя. (ab)n = an bn an am = an+m an / am = an−m (an)m = anm Решением уравнения ax = b (a > 0, a ≠ 1) называется логарифм числа b по основанию a: loga(b). loga1 = 0 logaa = 1 loga(x*y) = logax + logay loga(x/y) = logax – logay logaxp = p ∙ logax logax = (logbx)/(logba) Десятичный логарифм – логарифм по основанию 10: lg a Натуральный логарифм – логарифм по основанию e (число Эйлера e = 2,71828…): ln a МАТЕМАТИКА Геометрическая прогрессия – последовательность чисел b1, b2, b3, … (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q (знаменатель прогрессии): b1, b2 = b1q, b3 = b2q = b1q2, …, bn = bn–1q = b1qn–1 Сумма n членов прогрессии: qn – 1 Sn = Σ bi = b1 ––––––– i=1 q–1 n Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (0 < q < 1): b1 Sn → –––––––– 1–q ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ Запрашиваем у банка кредит на сумму C0 на срок n лет под i % годовых. В конце срока выплачиваем сам кредит и ежегодно выплачиваем i % от суммы кредита C0 (это плата за пользование кредитом). Суммарный объем выплат составит: Cn = C0 + n∙i∙C0 = C0 (1 + n∙i) СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ Делаем вклад в банке на сумму C0 на срок n лет под i % годовых. Хотим, чтобы ежегодно начисляемые проценты прибавлялись к вкладу и на них также начислялись проценты – капитализация процентов. К концу первого года на счете: C1 = C0 + i∙C0 = C0 (1 + i) После второго года: C2 = C1 + i∙C1 = C1 (1 + i) = C0 (1 + i)2 По итогам n лет: Cn = C0 (1 + i)n ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА Рассмотрим несколько вкладов на разные сроки под разные проценты. Как определить – какой выбрать? Эффективная ставка процента (эквивалентная годовая процентная ставка) – оценивает финансовую операцию годовой ставкой сложных процентов ref , дающей то же соотношение между начальной и итоговой суммой вклада, которая получена при любой схеме выплат. ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА Делаем вклад в банке на сумму C0 на срок n лет под i % годовых с начислением процентов m раз в году. Итоговая сумма вклада: Эффективную годовую ставку вычислим из: Cn = C0 (1 + ref)n Получаем: СРОКИ ВКЛАДОВ Делаем вклад в банке на сумму C0 на срок n лет под i % годовых. На какой срок необходимо сделать вклад, чтобы первоначальная сумма удвоилась? За n лет итоговая сумма вклада составит: Cn = C0 (1 + i)n Отсюда: lnCn = lnC0 (1 + i)n = lnC0 + n∙ln(1 + i) Получаем: lnCn – lnC0 n = –––––––––––– ln(1 + i) ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ И КРЕДИТЫ Принцип временной неравноценности денег: «равновеликие, но разновременные денежные суммы оцениваются по-разному» Приведение денег во времени – определение стоимости денежного потока в конкретный момент времени Наращивание – определение стоимости прошлых выплат в настоящий или будущий момент времени FV = Cn = C0 (1 + i)n Дисконтирование – определение стоимости будущих выплат в прошлый или настоящий момент времени PV = C0 = Cn / (1 + i)n ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ И КРЕДИТЫ D – размер кредита n – срок кредита i – кредитная ставка (простая, сложная) Yt – размер погашающего платежа в году t Погашение кредита: Долг D Платеж Y1 Y2 Y3 Yn-1 Yn Соотношение между платежами и долгом: Каждый платеж – это сумма платежа по основному долгу и процентов Yt = Dt + It ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ И КРЕДИТЫ Варианты платежей: 1. Выплата процентов и долга в конце срока (разовое погашение) Y = D (1 + i)n 2. Выплата долга в конце срока, процентов – в конце каждого периода Y1 = Y2 = … = Yn–1 = i∙D Yn = D (1 + i) 3. Выплата основного долга равными платежами D1 = D2 = … = Dn–1 = Dn = D / n I1 = i∙D, I2 = i(D – D/n), …, , …, In = i∙D/n ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ И КРЕДИТЫ Варианты платежей: 4. Выплата кредита равными платежами Y1 = Y2 = … = Yn = Y Отсюда: i Y = D ––––––––––––– 1 – 1 / (1 + i)n Задача 1. Клиент положил в банк 10 тыс. руб. сроком на 1 год. Согласно депозитному договору годовая процентная ставка до середины второго квартала составляет 30%, далее до конца третьего квартала – 25%, с начала четвертого квартала – снова 30%. Какую сумму клиент получит в конце года, при условии, что договор предусматривает начисление а) по сложным процентам, б) по простым процентам. Ответ: а) 13080,57 руб.; б) 12812,5 руб. Задача 2. Вкладчик внес в банк под определенный процент сумму 20 тыс. руб. Через год он снял со счета половину процентной прибавки, а основной вклад и оставшуюся прибавку оставил в банке. Через год у вкладчика на счету оказалось 26 400 руб. Определите, какую процентную ставку использовал банк. Ответ: 20%. Задача 3. Что выгоднее: вложить 20 тыс. руб. на 1 месяц под годовую ставку 12% или на 6 месяцев под ставку 12,2%? Ответ: Выгоднее на один месяц (эффективная ставка процента по первому варианту 12,68% больше, чем по второму 12,57%). Задача 4. Пусть счет с начальной суммой U у.е. открывается под простую годовую ставку r в момент времени t = 0. Спустя L лет открывается счет с начальной суммой V y.e. (V > U) и с той же ставкой. Определить: а) момент времени t, когда накопленные суммы на обоих счетах сравняются; б) чему равен этот срок, если U = 100 у.е., V = 110 у.е., ставка r = 20%, а запаздывание L = 1 год. Ответ: а) ; б) срок равен 6 годам. Задача 5. Компания по переработке древесины владеет лесоматериалом «на корню», стоимость которого в году t оценивается по формуле P(t) = 2 + 0,6t. Годовая процентная ставка в рассматриваемый период времени при начислении сложных процентов равна i. Требуется: а) получить формулу оптимального года t для начала переработки лесоматериалов и их продажи в зависимости от ставки начисления i; б) дать рекомендации по использованию лесного массива при условии, что ставка i = 0,1. Ответ: а) ; б) обрабатывать и продавать лесной массив через 7 лет. Задача 6. У вас есть должник, которому необходимо сегодня отдать вам 2000 руб., но он просит отсрочить платеж ровно на год. Ставка банковского процента составляет 50% годовых. a) Не меньше какой суммы он должен вам предложить в качестве платежа на следующий год, чтобы вы согласились на отсрочку? b) Как изменится ответ задачи, если он просит отсрочить платеж на два года? Ответ: а) не менее 3000 руб.; б) не менее 4500 руб. Задача 7. Клиент сделал вклад на текущий счет в банке в сумме 100 тыс. руб. под простую ставку 14% годовых. Затем через 3, 6 и 9 месяцев он вложил еще по 10 тыс. руб. В конце года клиент закрыл счет. Какую сумму он получил при закрытии счета? Ответ: 146,1 тыс. руб. Задача 8. Предприятие получило кредит 100 тыс. долл. под 10% годовых на 3 года. Для погашения суммы долга единовременным платежом создается фонд, куда ежегодно в конце года вносятся равные суммы, на которые начисляются проценты по ставке 11%. Найти расходы должника в случаях ежегодной выплаты процентов и единовременной выплаты процентов одновременно с основным долгом. Ответ: В первом варианте ежегодные проценты – 10 тыс. долл., ежегодные выплаты в фонд – 32 913,44 долл. Общие расходы – 118 740,31 долл. (в том числе проценты 30 тыс.). По второму варианту ежегодные выплаты в фонд – 39 825,25 долл. При этом общие расходы – 119 475,78 долл. (в том числе проценты 33 100 долл.). Задача 9. Предприятие договорилось с банком о замене трех платежей (8 000 со сроком 130 дней, 10 000 со сроком 160 дней и 4 000 со сроком 200 дней) на один платеж в 21 тыс. долл. Используемая ставка процента не изменилась и составляет 20% годовых. Начисление происходит по методу простых процентов. Определите, в какой момент времени предприятие должно произвести единый платеж (в году считать 365 дней). Ответ: Срок выплаты единого платежа – 66 дней. Задача 10. Иванов должен выплатить Петрову 40 тыс. руб. Он предлагает заменить эту разовую выплату ежегодными платежами в начале каждого года по 10 тыс. руб. каждый. Сколько лет должен будет ждать Петров полного погашения долга со стороны Иванова, если на долг начисляются проценты по ставке 8% годовых? Ответ: 4 года. Задача 11. Виктор Кузнецов рассматривает два варианта вложения денег. Первый: вносить на счет в банке 500 долл. каждые полгода под 7% годовых, начисляемых раз в полгода. Второй: вносить на счет в банке 1000 долл. под 7,5% годовых, выплачиваемых раз в год. Первый вклад по первому варианту может быть сделан через 6 месяцев, по второму – через год. Определить: а) какой план следует избрать Виктору, если его заботит только стоимость вложений через 10 лет; б) изменили бы вы свой совет при изменении ставки второго варианта до 7%? Ответ: а) предпочтительней второй вариант; б) становится предпочтительным первый вариант. Задача 12. Робинзону надоело добывать себе пропитание голыми руками, и он знает, как изготовить сеть для ловли рыбы. На это Робинзону потребуется 30 дней. Но кушать рыбу хочется каждый день. Вручную Робинзон ловит две рыбы в день и съедает. С помощью сети Робинзон мог бы ловить пять рыб в день, три из которых он бы засушивал и таким образом высвобождал бы время для других занятий. Пятница предложил Робинзону кредит в виде 60 сушеных рыб и требует вернуть долг через 60 дней с процентами. Какой максимальный процент может получить Пятница (за весь срок пользования кредитом)? Ответ: 50%.