Теоремы умножения и сложения вероятностей Формула полной вероятности Def: Условной вероятностью Р А (В ) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило. Условная вероятность обладает теми же свойствами, что и безусловная вероятность. # Из ящика, содержащего 4 белых и 7 чёрных шаров наудачу последно извлекаются 2 шара. Найти вероятность того, что 2-й шар - чёрный при условии, если первым был извлечён белый шар. А 1 ый извлечён белый шар В 2 ой извлечён черный шар 7 РА ( В ) 10 ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Th: Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило. Р( АВ ) Р( А) Р А ( В) Следствие: Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причём вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: Р( А1 А2 А3 ... Аn ) Р( А1 ) РА1 ( А2 ) РА1 А2 ( А3 ) ...РА1 А2 ... Аn1 ( Аn ) # Из ящика, содержащего 4 кр., 6 зел., и 5 син. шаров наудачу последовательно извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что первым будет извлечён красный шар, вторым – зелёный и третим – синий (извлечённые шары обратно в ящик не возвращаются). Решение: S третий синий R первый шар кр. Z втор. шар з ел. А RZ S Р( А) Р( R Z S ) РR ( Z ) РR Z (S ) 4 6 5 15 14 13 Независимые события. Теорема умножения для независимых событий Пусть вероятность события В не зависит от появления события А. Def: Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е., если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: Р А ( В ) Р( В) Свойство независимости событий взаимно, т.е., если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В. Р В ( А) Р ( А) Th: Для независимых событий теорема умножения Р( АВ ) Р( А) Р А ( В) имеет вид Р( АВ) Р( А) Р( В) Def: Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называются зависимыми. Зам ечание: Если события А и В нез ависим ы, то нез ависим ыт.ж. события А и В , А и В, А и В . Def: Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Def: Несколько событий называют независимыми в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Следствие из Th умножения: Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий. Р( А1 А2 ... Аn ) Р( А1 ) Р( А2 )... Р( Аn ) Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Следствия. Th: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий. Р( А В) Р( А) Р(В) Следствие: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р( А1 А2 ... Аn ) Р( А1 ) Р( А2 ) ... Р( Аn ) Вероятность появления хотя бы одного события Th: Вероятность появления хотя бы одного из событий А1 , А2 , ..., Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий А1 , А2 , ... Аn Р ( А) 1 q1 q 2 ... q n Частный случай. Если события А1 , А2 , ... Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий Р ( А) 1 q n # Вероятност и попаданияв цель при стрельбе из трёх орудий таковы : р1 0,8; р2 0,7; р3 0,9. Найтивероятност ь хотя бы одного попадания(соб.А) при одном залпе из всех орудий. Теорема сложения вероятностей совместных событий Th: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Р( А В) Р( А) Р(В) Р( АВ ) Замечание: При использовании формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми. # Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р1 0,7; р 2 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обеих орудий) хотя бы одним из орудий. Ответ: р=0,94 Формула полной вероятности Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместимых событий В1 , В2 ,..., Вn Th: Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1 , В2 ,..., В , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А. n Р( А) Р( В1 ) РВ1 ( А) Р( В2 ) РВ2 ( А) ... Р( Вn ) РВn ( А) # Имеются 5 урн. В двух урнах по 2 белых и одному чёрному шаров. В одной 10 чёрных. В двух по 3 белых и одному чёрному шаров. Найти вероятность того, что вынутый наудачу выбранной урны шар окажется белым. Решение: А вынутый шар белый Н1 выбрана урна первой гр. Н2 Н3 А Н1 А Н 2 А Н 3 А Р ( А) Р( Н1 ) РН1 ( А) Р( Н 2 ) РН 2 ( А) Р( Н 3 ) РН 3 ( А) 2 2 1 0 2 3 4 6 4 3 8 9 17 Р ( А) 5 3 5 10 5 4 15 20 15 10 30 30