Балка опирается в двух точках

Теоретическая механика (Insenerimehaanika)
Задача 1.
На ползун С действует сила Р. Ползун может
скользить по стержню BD. Определить силу F,
необходимую для равновесия механизма в
указанном на рисунке положении, где BC=CD.
Весом деталей механизма пренебречь.
B
60o
C
A
P
F
60o
D
30o
O
Решение:
I способ:
x
y
N
C
60o
S
 Fx  0
 Fy  0
S cos 60  P  0

N  S sin 60  0
S  2 P,
N  P 3.
P
S
’
B
MD  0
60o
C
S1  2 DC sin 60  N  DC  0,
S1 
N
’
y
D
N
2 sin 60


P 3
2 sin 60
 P.
x
D
D
y
x
S
60’
 Fx  0
1
o
F  S1  S  3P.
A
S
’
F
F sin 30  S1 sin 30  S sin 30  0,
30o
S
2
II способ:
Fs A cos 60  PsCr  0,
SB
s B cos 30  s A cos 60 , s B  s A tan 30 ,
30o
B
Src
Sec
P
60o
60o
o
60
C
D
s A cos 60  sCr cos 60  sCe cos 30 ,
SA
1
2
s A sin 30  sCr sin 30  s B cos 30 ,
60o
3
2
A
sCr  s A ,
F
30o
O
3
Fs A sin 30  P s A  0,
2
F  3P.
Ответ: F=3P.
Задача 2.
A
Однородное весом G опирается в точках A и B на
остроконечные призмы, с которыми у кольца одинаковый
коэффициент трения. Найти при каком значении коэффициента
трения кольцо будет находиться в равновесии при произвольно
расположенным грузом С весом Р.
Дано: G, P. Найти .
B
C
Решение
F
T
A
Примем, что груз находиться в произвольном положении
и изобразим силы, действующие на кольцо.
Составим уравнения равновесия
 Fkx  0; FB  TA  0
A
A
B
T
F
O
B

B
 Fky  0;
 M o  0;
TA  r  TB  r  P  r  sin   0
где r – радиус кольца.
G
B
B
FA 
GP
1  2
FA  TB  G  P  0
C
,
P
 (G  P)
.
FB
B 
2
1 
Из последнего P  sin  
В предельном случае TA    FA , TB    FB .
Тогда из первых двух уравнений имеем
 (G  P)  1   
, откуда  
P  sin 
.
G  P  1  sin  
1  2
При этом значении  кольцо находиться в состоянии предельного статического равновесия
при любом значении угла  . Принимая наибольшее значение sin   1 при    / 2 ,
получим значение  , которое обеспечивает равновесие при любом  в интервале
P

0 
.
G  2P
P
Ответ:  
.
G  2P
Задача 3.
P
P
Однородный гладкий цилиндр, находящийся на гладкой
плоскости, разрезан на две равные половинки и
удерживаются в равновесии
с помощью нити,
перекинутой через цилиндр, на концах которых висят
грузы. Общий вес цилиндра G . Найти минимальный вес
грузов Р, при котором система будет в равновесии?
Дано: G. Найти P.
Решение
P
O
C
G/2
TA
FA
P
Рассмотрим равновесие правой половинки цилиндра. В
предельном случае обе части цилиндра пытаются отделиться
друг от друга, соприкасаясь только в нижней точке А с силой ТА
.
Центр тяжести полуцилиндра находим по формуле центра
тяжести сектора
2 sin  / 2 4 r
OC  r

, r - радиус цилиндра.
3  /2
3
Из уравнения равновесия имеем
G 4 r
 M A  0;  P  r  2  P  r  2  3    0 ,
2 G
что P   .
3 
2 G
Ответ: P  
3 
Задача 4.
Система состоит из однородного цилиндра 1 радиусом r
и массой m1 , груза 2 массой m2 и нерастяжимой нити. В
начальный момент система покоится, а груз находится на
полу. В какой-то момент под действием пары сил с
моментом М система начинает движение. Найти угловую
скорость цилиндра в момент отрыва груза от пола.
Первоначальная длина нити превосходит длину натянутой
нити на величину l.
Дано: r , m1 , m2 , 0  0 , l и M=const. Найти  2 .
Решение
1
B
M
B
C
Решение состоит из двух этапов.
1. Первый этап заключается в нахождении угловой скорости
цилиндра до момента отрыва груза от пола, когда выберется
лишняя длина нити l , но нить еще не натянута.
По теореме кинетической энергии имеем
J 2
m r2
Ek  Ek 0  Wke , Ek 0  0 , E k  c 1 , J c  1 и
2
2
2
M

l
l
 Wke  M    r , где   r .
m1r 2 12 M  l
2 M l
откуда 1 
.


r m1r
2
2
r
2. Явление, когда нить полностью выпрямится и груз втечение очень малого времени
получит какую-то скорость, называется ударом. По теореме кинетического момента при
ударе
LC1  LC0    M C I ke .
 
Момент импульса внешних сил
 M C I ke  при ударе равен нулю. Тогда
m r2
J C  2 m 2 V2  r  J C  1  0 , где V2  2  r и J C  1
.
2
m1  1
2  m1
M l
Откуда 2 
.

m1  2  m2 r m1  2  m2  m1  r
Ответ:
2 
2  m1
M l
r m1  2  m2  m1  r
Задача 5.
Два одинаковых стержня длиной l и весом G
каждый соединены шарниром С в точках А и В
опираются на гладкий горизонтальный пол. В
начальный момент шарнир находится на высоте h
от пола и начинает спускаться без начальной
скорости. Определить скорость шарнира С в
момент его первого соприкосновения с полом.
C
A
B
Решение:
C
T1  T0   We ,
mv 2
I 2
h
2
 2G ,
2
2
2
2
2
mv  I  mgh,
2
h
A1
C1
A
G
B
v
v
B1
mvc2 ml 2 v c2

 mgh,
4
12l 2
3v c2  v c2  12 gh,
v c  3 gh .
vC
Ответ: vc  3gh.
Задача 6
Водило I длиной ОА=l вращается вокруг оси О неподвижного колеса 1 с
угловой скоростью  и угловым ускорением
 . На конце А водила
шарнирно закреплено колесо z. Радиусы колес 1 и 2 соответственно r и R=
2r.
Найти скорость и ускорение точки Р, находящейся на ободе колеса 2 в
показанном на рисунке положении.
Дано: ОА=l, ,  , r, R= 2r .
Найти: v p и a p .
2
1
,
А
I
р
Решение:
Методом остановки водила (метод Виллиса) найдем угловую скорость 2
колеса 2
 2r r
 ,
1r R
где  2r и 1r - относительные угловые скорости колес, направленные в
одну сторону
2   I r

1   I R
или
2  

0 

r 1
2  .

2
2r 2
Это соотношение справедливо в любой момент времени, а значит угловое
ускорение  2 

2
.
v A    OA    l .
Скорость точки А водила
Скорость точки Р по формуле плоского движения
v p  v A  v pA ,

v pA   2  AP   2 R   2 2r  2r  r .
где
2
2
1
,
vА
2,2
aA
a An
А
I
a npA
р

a pA
vPА
Откуда
v p  v A2  v pA   2 l 2   2 r 2   l 2  r 2 .
2
Соответственно усорения точки Р
n
a p  a A  a pA
 a pA ,
 r
 
  Ap    2r 
2
2
2
где
n
a pA
2
- нормальное ускорение в относительном
2
2
движении вокруг точки А,
apA   2 Ap 
а касательное

2
2r  r .
Ускорение точки А
a A  a An  a Aa , где
a An  I2OA   2l ,
a A   I OA  l .
Окончательно ускорение точки Р
ap 
Ответ:
a
n
A
  a
 2
 a pA
vp   l 2  r 2

A
a

n 2
pA

 2r 

  2 l  r    l 
2 

2
2
Задача 7
Жесткая конструкция, состоящая из двух одинаковых тяжелых однородных
пластин, соединенных тонким невесомым стержнем с ломанной осью
(изогнутом под прямым углом), удерживается в равновесии на опоре О.
Найти максимальное значение l , при котором система находится в
равновесии, если коэффициент трения стержня об опору равен .
4a
l
4a
4a
3a
4a
Решение:
Найдем положение центра тяжести пластин.
2,6а
1,4а
2а
у
С1
х
С2
2а
С
а
2а
3а
а
уС=0 ( в силу симметрии)
xc 
где
A1 xc1  A2 xc2
A1  A2
A1  4a  4a  16a 2 (площадь прямоугольника).
1
A2   3a  4a  6a 2 (площадь треугольника).
2
xc1  2a ,
x c2  3a (координаты
центров
тяжести
прямоугольника
и
треугольника)
16a 2  2a  6a 2  3a 14a3
xc 

 1,4a .
16a 2  6a 2
10a 2
Если стержень, опирающийся на точку О оставить горизонтальным, то в
случае равновесия сила трения на опоре О отсутствует.
b=6,6a
l
А
b-l
C
b=4a+2,6a=6,6a
O
G
C’
G
Из уравнения моментов относительно точки О
M
0
0,
G  l  G (b  l )  0 ,
l  b  l  0 , 2l  b  6,6a , l  3,3a .
Для нахождения максимального значения l несколько сдвинем стержень
влево. В этом случае система повернется на некоторый угол  и будет
находиться в предельном равновесии с учетом силы трения на опоре О.
Fn
lmax
F

А
b-lmax
b
C’
G
у
C
G
x
Из условия равновесия имеем
F
F
kx
0,
 G sin   F  G sin   0 ,
F  2G sin 
ky
0,
Fn  G cos   G cos   0 ,
Fn  2G cos  .
0,
G cos   l max  G sin   b  G cos  (b  l max )  0 .
M
0
.
cos  l max  sin   b  cos  b  cos  l max  0 ,
2l max  cos  b(sin  cos ) ,
b(tg  1)
.
2
в предельном случае равновесия F  Fn ,
F   Fn
l max 
Учитывая, что
получим
sin    cos ,
Тогда
l max 
Ответ:
  tg .
b
  1  6,6a   1  3,3a1   
2
2
lmax  3,3a1   
Если   0,3 , то lmax  3,3a1  0,3  4,29a .