Продолжение. Точки разрыва функции и их классификация.

ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
Точки , в которыхнарушается непрерывность
функции,называются точками разрыва функции.
Если х=х0-точка разрыва функции у=f(х),то вней не
выполняется по крайней мере одно из условий первого
определения непрерывности , а именно:
1.Функция определена в окрестности точки х0, но не
определена в самой точке х0
Например,функция у  1
не определена в точке х0=2
х2
2.Функция определена в точке х0 и ее окрестности, но не
существует предела f(х) при x  x0 .
Например, функция :
f(х)=  х  1, если  1  х 2,

 2  х, если 2  х 5,
Определена в точке х0=2 (f(2)=0), Однако в точке х0=2 имеет
разрыв (см.рисунок) т.к. эта функция не имеет предела при x  2
:
lim f ( x)  1, lim f ( x)  0.
x 2  0
x 2  0
3.Функция определена в точке х0 и ее окрестности, существует lim f ( x) ,но
x x0
f ( x)  f ( x0 )
этот предел не равен значению функции в точке х0 : xlim
x
0
 sin x
Например, функция g ( x)  
, если х  0
x
2, еслих  0
sin x
 1, а g(х0)=g(0)=2 (см.рис.)
x 0
x
Здесь х0=0 – точка разрыва: lim g ( x)  lim
x 0
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго
рода. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции
y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и
справа (односторонние пределы),т.е lim f ( x)  A1 и
lim f ( x)  A2
xx0 0
xx0 0
При этом: а) если А1=А2,
то точка х0 называется точкой устранимого разрыва
б)если A1  A2
то точка х0 называется точкой конечного разрыва
Величину A1  A2 называют скачком функции в точке разрыва первого
рода.
Точка разрыва х0называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x),если
по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа ) не
существует или равен бесконечности.
1.Обратимся к функцииy 
1
x2
, х0=2 – точка разрыва второго рода.
2.Для функции f(x)= х  1, если  1 
х 2,

 2  х, если 2  х 5,
Х0=2 – точка разрыва первого рода , скачок функции равен
3. Для функции
 sin x

g ( x)   x

 2
1  0  1.
,x  0
,x  0
Х0=0 является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив g(x)=1
(вместо g(x)=2) при х=0, разрыв устраниться,функция станет непрерывной.
x3
Пример: Дана функция f ( x) 
x3
Найти точки разрыва,выяснить их тип.
Решение: Функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой оси,кроме
точки х=3.
1 ,x 3

Очевидно ,f(x)=

1 , x 3
Следовательно,lim
x30
f ( x)  1, а lim f ( x)  1.
x30
Поэтому в точке х=3 функция имеет разрыв первого рода.Скачок функции в этой
точке равен 1-(-1)=2.