ЛЕКЦИЯ №21 ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ

ЛЕКЦИЯ №21
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ
СТАТИСТИКИ
(Для студентов элитного отделения ЭТО –II)
Основные положения квантовой
статистики
В отличие от классической статистики:
1) Энергия
и другие характеристики
частиц изменяются дискретно
2) Перестановка
местами двух частиц,
находящихся в разных квантовых
состояниях, не приводит к переходу к
новому микросостоянию системы
3) Все
микросостояния
системы
равновероятны
Распределения частиц по состояниям
Статистика Больцмана ─ четыре микросостояния
Статистика Бозе-Эйнштейна ─ три микросостояния
Статистика Ферми─Дирака ─ одно микросостояние
Вырождение идеального газа
nh3
A
1
3/2
(2πmkT )
Tвыр
T<< Tвыр─ система
T>> Tвыр─ система
h2 n2 / 3

2πmk
вырождена
не вырождена
Фазовое пространство. Фазовая
ячейка в квантовой статистике
Фазовое
пространство:
шестимерное
пространство;
в
качестве
измерений
выступают x, y, z и p x , p y , p z .
Объём
фазовой
ячейки
в
шестимерном
пространстве:
d  dx  dy  dx  dpx  dpy  dpz  h3.
Объём фазовой ячейки в трехмерном пространстве
h3
V
Число dZ фазовых ячеек в
интервале энергий (  ,   d  )
4 2
dZ  3 p dp.
h
Для фотонов
Для электронов
dZ  α  d 
α  2π(2m)3/ 2 / h3
4 2
dZ  3 v dv.
с
Для фононов
4 2
dZ  3 v dv.
υ
Квантовые распределения
Для фермионов:
f ( i ) 
Для бозонов:
U  TS  pV
μ

N
f ( i ) 
, где
энергия системы;
1
e
(  i μ ) / kT
1
1
e
U
(  i μ ) / kT
1
.
.
- внутренняя
S  энтропия системы
f(ε) – среднее число частиц с энергией ε в одной фазовой
ячейке
Особенности распределений
1. В статистике Ферми-Дирака f(εi) не
может
быть
соответствии с
больше
1
в
принципом Паули
подчиняются принципу
Бозоны не
Паули и f(εi)
может быть равно любому числу
( i μ) / kT
e
 1,
частиц
2. Если
то оба
распределения
переходят
в
распределение
f (Максвелла-Больцмана
)  Ae  i / kT
i
Особенности распределений
3. Для бозонов химический потенциал не
может быть положительным
4. В случае макросистем энергетические
уровни
квазинепрерывны,
т.е.
расстояние между ними мало; тогда
индекс i в  i можно опустить
Основная задача

найти среднее число
частиц в единице объема с энергией εi (или в
интервале энергий от εi до εi+dεi)
Основная задача ─
4π 2
dn  γf (ε i )dZ  3 p γf (ε i )dp
h
Распределение Бозе-Эйнштейна
(Планка) для фотонного газа
u v ,T
du 8hv


dv
c3
3
e
hv
kT
.
1