Statika
advertisement
Литература • Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики:: Учебник. -М., 1985.- т. 1,2 /и предыдущие издания/ • Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник. -М., 1998 /и предыдущие издания/ • Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие. -М. 1998 /и предыдущие издания/ • Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие под ред. А.А. Яблонского. М. 1998 /и предыдущие издания/ Статика Статика - это раздел теоретической механике в котором излагается учение о силах и изучаются условия равновесия тел, находящихся под действием сил. Основные понятия и определения • Равновесие – состояние покоя по отношению к другим телам. • Точка –тело, размерами которого в данной задачи можно пренебречь. • Система материальных точек – совокупность точек у которой положение и движение какой – либо точки зависит от положения и движения других точек системы. Основные понятия и определения Абсолютно твердое тело – система материальных точек, у которой расстояние между любыми двумя точками остается неизменной. Сила - мера механического взаимодействия между телами. Сила это векторная величина. Она характеризуется 3-мя компонентами. Основные понятия и определения • 1. Модулем. • 2. Направлением. • 3. Точкой приложения. Основные понятия и определения • Система сил - совокупность нескольких сил, действующих на данное тело. • Эквивалентные системы сил – системы сил, которые будучи приложенные к твердому телу сообщают ему одинаковое кинематическое состояние. Основные понятия и определения • Кинематическое состояние – это состояние покоя или движения. • Уравновешенная система сил – система сил, под действие которой свободное тело может находиться в равновесии. • Свободное тело – тело, перемещение которого не ограничено другими телами. Основные понятия и определения • Равнодействующая системы сил – сила эквивалентная данной системе сил. • Уравновешивающая сила – сила, равная равнодействующей по модулю, направленная вдоль той же прямой в противоположную сторону Основные понятия и определения • Внешние силы – силы, действующие на тела данной системы со стороны тел, не принадлежащих данной системе тел. • Внутренние силы – силы взаимодействия между телами данной системы сил. Основные понятия и определения • Сосредоточенная сила – сила , приложенная к телу в какой-нибудь точке. • Распределенные силы – силы, действующие на все точки данной поверхности тела. АКСИОМЫ СТАТИКИ Аксиома 1: Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F1=F2) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны АКСИОМЫ СТАТИКИ F2 A B F1 F1 = F2 АКСИОМЫ СТАТИКИ Аксиома 2: Действие данной системы на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравно вешенную систему сил. АКСИОМЫ СТАТИКИ Следствие из 1-й и 2-й аксиом: Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела. АКСИОМЫ СТАТИКИ Аксиома 3: Равнодействующая двух пересекающихся сил, определяется диагональю параллелограмма построенного на этих силах как на сторонах. F1 R α F2 R = F12 + F22 + 2 F1 • F2 • cos α АКСИОМЫ СТАТИКИ Аксиома 4: Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие. АКСИОМЫ СТАТИКИ Аксиома 5 (принцип отвердевания): Равновесие изменяемого(деформируемого) тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым) Связи и их реакции • Несвободное тело – это тело перемещение которого в пространстве ограничено. • Связи – это тела, ограничивающие перемещения данного тела. • Реакция связи – это сила, с которой связь действует на тело. Типы связей • • • • • • • Гладкая поверхность Нить Шарнирно-неподвижная опора Шарнирно-подвижная опора Стержень Сферический шарнир (подпятник) Жесткая (защемляющая)заделка Гладкая поверхность N Гладкая поверхность N1 N2 Нить A r M Шарнирно-неподвижная опора Y YA B α A X D XA Сферический шарнир Z R O X Y Подпятник Z R Y o X C B φ F1 β R α A F2 D B F2 C φ α 180˚ F1 R β A F2 A F1 R F2 B D φ F1 β R α A F2 C Система сходящихся сил Сходящейся системой сил называется система сил линии действия которой пересекаются в одной точке УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СХОДЯЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ СИЛ Для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы был равен нулю. F =0 УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ n ∑Fkx = 0 k =1 n ∑Fky = 0 k =1 n ∑Fkz = 0 k =1 УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СХОДЯЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ СИЛ Для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы были равны нулю алгебраические суммы проекций всех сил на координатные оси. РАСЧЕТ ФЕРМ F1 F2 4 C 1 D 3 YA F3 8 E 11 9 7 5 2 A XA YB 10 6 K Q k= 2n-3 n-количество узлов k-количество стержней B Сложение параллельных сил, направленных в одну сторону О Q1' R1' Q'2 C1 a F1' F2' C2 Q1 b B Q2 С A F2 F1 R1 R'2 R R2 Система двух параллельных сил, направленных в одну сторону, имеет равнодействующую, параллельную этим силам, причем ее модуль равен сумме модулей слагаемых; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям этих сил. Сложение параллельных сил, направленных в разные стороны Две неравные по модулю противоположно направленные параллельные силы имеют равнодействующую, параллельную этим силам, причем ее модуль равен разности модулей слагаемых; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям этих сил. Момент силы относительно точки Момент силы относительно какой-либо точки (центра) называется вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т.е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии действия силы, и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точку и линию действия силы в ту сторону, откуда “вращение”, совершаемое силой вокруг точки, представляется происходящим против хода часовой стрелки. Z B F α h M0(F) r O X M0(F)=r×F M 0 = r • F • sin α A Y МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ Для того чтобы найти момент силы относительно оси необходимо спроецировать силу на плоскость перпендикулярную оси и искать момент проекции силы относительно точки пересечения плоскости и оси. Момент считается положительным, если с положительного конца оси Z поворот, который сила стремиться совершить виден происходящим против часовой стрелки. Z F h F' ' M z ( F ) = ±F • h МОМЕНТ ПАРЫ СИЛ Пара сил - совокупность двух параллельных, лежащих в одной плоскости, равных по модулю, противоположно направленных сил. h F1 F2 Момент пары сил - это вектор численно равный произведению силы на плечо пары (где плечо пары это кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару), направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежит пара, в ту сторону откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки. ЛЕММА О ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ СИЛЫ Силу, приложенную к какой-либо точке твердого тела можно переносить параллельно самой себе в другую точку, добавляя при этом пару сил с моментом равным моменту данной силы относительно точки куда сила переносится F ' F B A F ' '' '' ' '' F ~ ( F , F , F ) ~ ( F , M ( F , F )) '' M B = M ( F , F ) = BA × F ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, приложенной в какой-либо точке тела (центре произведения) и равной главному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения. F1 A ' F1 '' Fn '' F2 B O F1'' ' F2 С ' Fn Fn F2 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ (F1 , F2, ...Fn ) ~ (F1 , F2, ...Fn , F1' , F2' ,...Fn' , F1'' , F2'' ,...Fn'' ) ~ (F1' , F2' ,...Fn' , M 1 (F1 , F1'' ), M 2 (F2 , F2'' ), M n (Fn , Fn'' )) ~ M1 = M1 (F1 , F1'' ) = OA × F1 .............................................. M n = M n (Fn , Fn'' ) = OC × Fn ~ (F, M ), F = F1 + F2 + ... + Fn - главный вектор системы сил M = M 1 + M 2 + ...M n - главный момент системы сил УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю. F =0 M =0 n Fox = ∑Fkx =F1x + F2 x + ... + Fnx = 0 k =1 n Foy = ∑Fky = F1 y + F2 y + ... + Fny =0 k =1 n Foz = ∑Fkz = F1z + F2 z + ... + Fny =0 k =1 n M ox = ∑M ox ( Fk ) = M ox ( F1) + M ox ( F2 ) + ... + M ox ( Fn ) = 0 k =1 n M oy = ∑M oy ( Fk ) = M oy ( F1) + M oy ( F2 ) + ... + M oy ( Fn ) = 0 k =1 n M oz = ∑M oz ( Fk ) = M oz ( F1) + M oz ( F2 ) + ... + M oz ( Fn ) = 0 k =1 УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ n n ∑Fkx = 0 k =1 n ∑Fky = 0 k =1 ∑M ox ( Fk ) = 0 k =1 n ∑M oy ( Fk ) = 0 n k =1 k =1 n ∑Fkz = 0 ∑M oz ( Fk ) = 0 k =1 УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы были равны нулю алгебраические суммы проекций всех сил на координатные оси и чтобы были равны нулю алгебраические суммы моментов всех сил относительно координатных осей. Теорема Вариньона Если рассматриваемая плоская систем сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той же самой точки Равновесие тел при наличии трения • Равновесие тела при наличии трения скольжения. • Равновесие тела при наличии трения качения. RA NA F1 F2 Fn Fтр A Равновесие тела при наличии трения скольжения. Равновесие тела при наличии трения скольжения. B C D A Равновесие тела при наличии трения скольжения. N Fтр S P Равновесие тела при наличии трения скольжения. N R φ Fmax Равновесие тела при наличии трения скольжения. КОНУС ТРЕНИЯ N R R φ Равновесие тела при наличии трения скольжения. F α N R R φ Fтр Условие равновесия тела α ≤ φ Равновесие тела при наличии трения качения Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого Равновесие тела при наличии трения качения r O P N S R N S h Fтр C P C1 δ Равновесие тела при наличии трения качения Sr = hN Sr h= N hmax = δ δ - коэффициент трения качения Mт S P N Fтр Равновесие тела при наличии трения качения Mт = δN КИНЕМАТИКА ТОЧКИ Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором излагается движение точек и тел без учета их масс и действующих на них сил. Основные задачи кинематики Задать закон движения тела. По этому закону найти основные кинематические характеристики (траекторию, скорость, ускорение). Способы задания движения точки 1) Векторный. 2) Координатный. 3) Естественный. Скорость точки при векторном способе задания движения Z V M r( t ) Δr M1 Vср r( t + Δt ) Y X Скорость точки при векторном способе задания движения Δr Vср = Δt • Средней скоростью точки называется отношения приращения радиуса вектора точки к промежутку времени, за который произошло это перемещение . Скорость точки при векторном способе задания движения Скоростью в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени, за который произошло это перемещение, когда этот промежуток времени стремиться к нулю, т.е. Δr dr • V = lim = =r Δt →0 Δt dt Скорость точки при координатном способе задания движения r = xi + yj + zk dr dx dy dz V= = i+ j+ k dt dt dt dt dx dz dy Vx = Vz = Vy = dt dt dt => проекция скорости точки на координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей этой оси координате Модуль скорости: V= 2 Vx 2 + Vy 2 + Vz •2 •2 •2 = x +y +z Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами: Vy cos( y ,v ) = V Vx cos( x ,v ) = V Vz cos( z ,v ) = V Скорость точки при естественном способе задания движения Δr dr • V = lim = =r Δt →0 Δt dt ДОМНОЖИМ ЧИСЛИТЕЛЬ И ЭНАМЕНАТЕЛЬ НА ВЕЛИЧИНУ ДУГИ Δσ Δr Δσ Δr Δσ V = lim ( ) = lim • lim Δt →0 Δσ Δt Δt →0 Δσ Δt →0 Δt Δσ > 0 M0 σ τ M υ Δσ Δr Δr Δσ M1 r( t + Δt ) r( t ) O Δr dr lim = =τ dσ Δt →0 Δσ Δσ dσ • lim = =σ dt Δt →0 Δt dσ dσ υτ = V= τ dt dt V = υτ τ Ускорение точки при координатном способе задания движения Модуль ускорения: a= a x2 + a 2y + a z2 •• 2 •• 2 •• 2 = x +y +z ax cos( x ,a ) = ; a cos( y ,a ) = ay a ; cos( z ,a ) = az a Ускорение точки при векторном способе задания движения Средним ускорением точки называется предел отношения приращение вектора скорости к промежутку времени, за который произошло это приращение. Δv aср = Δt M1 Δυ Δv Δt υ1 υ2 M2 υ2 Ускорение точки при векторном способе задания движения Ускорением в данный момент времени называется предел отношения приращение вектора скорости к промежутку времени, за который произошло это приращение, когда этот промежуток времени стремиться к нулю, т.е. Δv dv •• a = lim = =r Δt →0 Δt dt Ускорение точки при координатном способе задания движения r = xi + yj + zk 2 2 2 2 dv d r d x d y d z a= = 2 = 2 i+ 2 j+ 2 k dt dt dt dt dt 2 d x ax = 2 dt 2 d z az = 2 dt d2y ay = 2 dt => проекция ускорения точки на координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей этой оси координате Ускорение точки при координатном способе задания движения Модуль ускорения: a= a x2 + a 2y + a z2 •• 2 •• 2 •• 2 = x +y +z ax cos( x ,a ) = ; a cos( y ,a ) = ay a ; cos( z ,a ) = az a Ускорение точки при естественным способе задания движения τ1 τ1 M1 M τ V = υτ τ dV d dυτ dτ a= = (υτ τ ) = τ + υτ dt dt dt dt I II n M b I II III τ III Соприкасающаяся плоскость Нормальная плоскость Спрямляющая плоскость ε M0 σ Δτ Δσ τ1 τ1 M τ B Δτ A MM 1 = Δσ > 0 M1 Δσ dτ Δτ Δτ Δσ Δτ Δσ dτ = lim = lim [ ] = lim • lim = υτ dt Δt→0 Δt Δt→0 Δσ Δt dσ Δt →0 Δσ Δσ →0 Δt ε Δτ = τ1 - τ AB =| Δτ |= 2 sin 2 ε sin dτ Δτ ε 1 2 | |= lim | |= lim =k = dσ Δσ →0 Δσ Δσ →0 ε | Δσ | ρ 2 τ2 = 1 dτ Скалярное произведение равно нулю • τ = 0, dσ когда вектора перпендикулярны. dτ dτ ⊥τ , направлен по нормали dσ dσ Ускорение точки при естественном способе задания движения dτ 1 = vτ n dt ρ dV d dυτ 2 1 a= = (υτ τ ) = τ + υτ n dt dt dt ρ aτ = dυτ τ dt 1 an = υ τ n ρ 2 a = aτ + an Поступательное движение твердого тела Поступательное движение твердого тела – это такое движение тела, при котором любая прямая проведенная в теле перемещается параллельно самой себе. Поступательное движение твердого тела Z1 B0 B ΔrВ ρ ρ rВ rA O X1 A1 ΔrА A Y Поступательное движение твердого тела ΔrВ = ΔrA drB drA = dt dt vВ = v A dvB dv A = dt dt aВ = aA При поступательном движении тела перемещения, скорости и ускорения всех точек тела одинаковы Вращательное движение твердого тела • Вращательное движение твердого тела – это такое движение при котором какие нибудь две точки остаются неподвижными. • Проходящая через эти точки прямая называется осью вращения. Z Z1 Y A X1 φ Δφ X Y1 Вращательное движение твердого тела Δφ = φ(t + Δt ) - φ(t ) (ωz )ср Δφ = Δt средняя угловая скорость Δφ dφ • ωz = lim = =φ dt Δt →0 Δt угловая скорость Вращательное движение твердого тела Δωz = ωz ( t + Δt ) - ωz ( t ) (εz )ср Δωz = Δt среднее угловое ускорение 2 Δωz dωz d φ •• ε z = lim = = 2 =φ dt Δt →0 Δt dt угловое ускорение Вектор угловой скорости dφ ω = k = ωz k dt Вектор угловой скорости- это вектор численно равный первой производной по времени от закона изменения угла поворота, направленный по оси вращения в ту сторону, чтобы глядя с конца вектора угловой скорости вращение происходило бы против часовой стрелки. Вектор углового ускорения dω dωz εz = = k = εz k dt dt Вектор углового ускорения- это вектор численно равный первой производной по времени от закона изменения угловой скорости, направленный по оси вращения. При ускоренном вращении направления векторов углового ускорения и угловой скорости совпадают. Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Ax1 y1 z1 – неподвижная система координат Axyz – подвижная система координат (вращается вокруг оси Аz) r = xi + yj + zk Z Z1 М r k A i φ X1 X Y j φ Y1 dr di dj dk V = =x +y +z dt dt dt dt i = i1cosφ + j1 sin φ j = j1cosφ - i1 sin φ • • • di = - i1 sin φ φ+ j1 cos φ φ = j φ = jωz dt • • • dj = - j1 sin φ φ- i1 cos φ φ = -i φ = -iωz dt dk =0 dt Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси V = xωz j - yωz i Vy = xωz Vx = -yωz Vz = 0 Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Рассмотрим векторное произведение i j k i j k ω × r = ωx ω y ωz = 0 0 ωz = - iyωz + jxωz x y z V = ω× r x y z Формула Эйлера Z1 ρ ω υ C M α r O X1 Y1 Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси V =ω • r • sin α = ω • ρ Скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси равна произведению модуля угловой скорости вращения и кратчайшего расстояния от точки до оси вращения. Ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Тело вращается вокруг оси z угловой скоростью и угловым ускорением ε . Скорость точки определяется по формуле ω V = ω× r dV d dω dr a= = (ω × r ) = ×r + ω× dt dt dt dt Z1 ω ε ρ a β C ос a α r O X1 υ M a вр Y1 W ос = ω ×V W = ε × r + ω ×V ω= (ωос )2 + (ωвр )2 = ρ ε 2 + ω4 V = ω× r W вр = ε × r ωвр = εr sin(r ,ε ) = ερ W= υ = ωr sin(ω,r ) = ωρ dV d dω dr = (ω × r ) = × r + ω× dt dt dt dt ωвр ε tgβ = ос = 2 ω ω ωос = ωv = ω2 ρ ωвр ε tgβ = ос = 2 ω ω Z1 ω ε ρ a C β a υ ос M a вр r O X1 Y1 Плоскопараллельное движение твердого тела Плоскопараллельным (плоским) движением твердого тела называется такое движение тела при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. A B C Z Z1 ρ M A rА X O X1 Y r Y1 Y1 Y2 Y B φ YB Y1B ρ j2 rB φ A Y1 A O X1 X1A rA i2 X 1B X XB X2 Скорость точки при плоскопараллельном движении тела rB = rA + ρ drB drA dρ = + dt dt dt υB = v A + vBA υBA = ω × ρ υBA υB B υA ωz > 0 A υA υB = v A + vBA υ B BA υA υB ωz < 0 A υA Теореме о проекции скоростей двух точек тела Проекции скоростей двух точек тела на прямую соединяющую эти точки равны. υB υA A α υBA β B α υA VB = VA + VBA (VB )AB = (VA )AB + (VBA )AB (VBA )AB = 0 ,т.к VBA ⊥AB (VB )AB = (VA )AB Мгновенный центр скоростей • Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. • Теорема: Если угловая скорость плоской фигуры не равна нулю, то мгновенный центр скоростей существует. υA A ωz π 2 υA P υPA Определение положения мгновенного цента скоростей 1. Известно направление скоростей двух точек тела υA A υB B P Относительно МЦС тело совершает вращательное движение υB B υA P Определение положения мгновенного цента скоростей 2. Скорости двух точек тела параллельны друг другу, не равны между собой и перпендикулярны прямой соединяющей эти точки. υA υB A B P υA A P B υB Определение положения мгновенного цента скоростей 3. Скорости двух точек параллельны, но не перпендикулярны прямой соединяющей эти точки. υA α A υB α B P Определение положения мгновенного цента скоростей Тело катиться без скольжения по неподвижной поверхности. Точка касания имеет в данный момент скорость равную нулю и является мгновенным центром скоростей. O υp = 0 P υO Ускорение точек тела при плоскопараллельном движении υB = v A + vBA υB = v A + ω × ρ dvB dv A dω dρ = + × ρ + ω× dt dt dt dt aB = aA + ε × ρ + ω × vBA вр BA a B aA α ос BA a aBA aB A aA Ускорение точек тела при плоскопараллельном движении вр aВА ос aВА aBА = aB = = ε× ρ = ω × vBA вр aBA ос + aВА вр a A + aBA ос + аВА Ускорение точек тела при плоскопараллельном движении 2 ос aВА 2 = ω • vBA = ω АВ = вр a ВА = ε • ρ = εАВ a BА = ( a BА = ( 2 ) +( ) вр 2 a BA 2 v BA AB ос 2 а ВА ) +( ) вр 2 a BA ос 2 а ВА 2 4 aBА=AB ε + ω
