Презентация на тему: «Уравнения высших степеней» Работа выполнена учеником 11 класса Ибрагимовым З Т. Разработана учителем математики высшей квалификационной категории Каратунской средней школы Апастовского района Республики Татарстан Каримуллиной Р.Р. Важнейшие факты истории уравнений 1) Египедские и вавилонские мудрецы нашли способы решения квадратных уравнений. 2) 3 век. – древнегреческий математик Диофант в основном своем труде «Арифметика» дал решение задач, приводящих к т.н. диофантовым уравнениям, и впервые ввел буквенную символику в алгебру. 3) Рубеж 6-7 вв.- творчество Омара Хайама, среднеазиатского поэта и математика (изложил решения уравнений до третьей степени включительно). 4) Конец 15 в.- Лука Пачоли, итальянский математик, изложил правила арифметических действий, решения некоторых алгебраических уравнений, их приложения к геометрии, теорию геометрических пропорций. 5) 1545 г.- Джероламо Кардано нашел формулу решения неполного кубического уравнения. 6) 1591 г.- французский математик Франсуа Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений, установил зависимость между корнями и коэффициентами уравнений. 7) П. Руффини (1765 - 1822)– итальянский математик, дал доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени. 8) Нильс Хендрик Абель (1802- 1829)- занимается теорией интерполирования функций, теорией функциональных уравнений и теорией чисел. 9) Труды французского математика Эвариста Галуа (1811- 1894) – по теории алгебраических уравнений положили начало развитию современной Уравнения Линейные уравнения ах = в Линейные уравнения, содержащие модули Квадратные уравнения ах2+вх+с=0 (а≠0) Дробные рациональные уравнения Уравнения высших степеней Я уверен, что ты решишь все эти уравнения!!! Дерзай!!! 5х-2=3 4(х+2)=4х-1 -6х+1=5(0,2-1,2х) х2+7х+10=0 3х2-7х+4=0 4х2+6х+2=0 6х2-2х=0 5х2+1=0 3х2-27=0 Просмотри и вспомни алгоритм решения уравнений с модулями l2х-3l=4х-2; 2х-3=0; х=1,5; 1). х<1,5; 2x-3<0; -2x+3=4x-2; -6x=-5; x=5/6; (входит в рассматриваемый промежуток) 2). х>1,5; 2х-3>0; 2x-3=4x-2; -2x=1; x=-0,5; (не входит в рассматриваемый промежуток) Ответ: х=5/6. Уравнения высших степеней Симметричные уравнения Уравнения, решаемые с помощью теоремы Безу Алгоритм решения симметричных уравнений. Уравнения, у которых коэффициенты членов, равноудаленных от «начала» и «конца» уравнения, равны между собой, называются симметричными. 6х4-35х3+62х2-35х+6=0 Т.к, конечно, х≠0, то разделим на х2: 6х2 - 35х + 62 - 35/х + 6/х2 = 0. Сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами: 6(х2 + 1/х2) - 35(х + 1/х) + 62 = 0. !!Фокус!! Если х+1/х = у, то (х+1/х)2=у2; х2+1/х2= у2-2; 6(у2 - 2) - 35у + 62 = 0; 6у2 - 35у + 50=0; у1=5/2; у2=10/3; х + 1/х =5/2 и х + 1/х =10/3 Решая эти уравнения, получим: х1=1/2; х2=2; х3=1/3; х4=3. Уравнения, решаемые с помощью теоремы Безу. Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х- а равен значению многочлена при х = а. Р(х)=(х- а)Д(х)+R, где R= p(a) Следствие: Если а- корень многочлена Р(х), то этот многочлен без остатка делится на двучлен х- а Теорема: Целые корни уравнения n- ой степени могут быть только среди делителей свободного члена Пример: х4+х3+х2+3х+2=0. Делители свободного члена + - 1; + - 2. Подстановкой убеждаемся, что х = - 1 – корень уравнения. Для нахождения остальных корней воспользуемся теоремой Безу: х4+х3+х2+3х+2 l х+1 х4+х3+х2+3х+2=(х+1)(х3+х+2) х4+х3 х3+х+2 Легко проверить, что многочлен х3+х+2 имеет корнем х2+3х число -1: х3+0х2+х+2 l х+1 х2+ х х3+х2 х2-х+2 2х+2 -х2+х 2х+2 -х2-х 0 2х+2 2х+2 0 2 Уравнение х -х+2=0 действительно корней не имеет. Ответ: х = 1