Муниципальное общеобразовательное учреждение «Цивильская средняя общеобразовательная школа №1 имени М. В. Силантьева» Цивильского района Чувашской Республики Приёмы устного решения квадратного уравнения Учитель математики Ермеев Валерий Александрович Цивильск-2008г. Дорогу осилит идущий , а математику - мыслящий Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных , иррациональных уравнений и неравенств. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Цель урока Обобщить и систематизировать изученный материал по теме: «Квадратные уравнения». Научить учащихся приёмам устного решения квадратных уравнений. Дорогу осилит идущий , а математику - мыслящий От чего зависит наличие действительных корней уравнения? Сколько корней могут иметь квадратные уравнения? Какой вид имеет приведённое квадратное уравнение? Какие формулы для нахождения корней вы знаете? D >0 2корня D =0 1корень D<0 Нет корней Формулы корней: x px g 0 2 2 1 x1,2 p 2 2 p g; 4 b b 2 4ac x1, 2 ; 2a 3 x1, 2 k k 2 ac a ax bx c 0 2 (*) В каком случае уравнение вида (*) называется квадратным? Какой вид примет это уравнение, если… Как называются такие уравнения? Имеют ли корни уравнения? a0 ax 2 bx c 0 b=o c=0 b≠0 c=0 b=0 c≠0 ax 0 2 1 корень: x=0 ax 2 c 0 2 корня, если: а и с имеют разные знаки НЕТ КОРНЕЙ, если: а и с имеют одинаковые знаки ax 2 bx 0 2 корня x(ax b) 0, x1 0 b x2 a Теорема Виета Когда уравненье решаешь дружок, Ты должен найти у него корешок. Значение буквы проверить несложно. Поставь в уравненье его осторожно. Коль верное равенство выйдет у вас, То корнем значенье зовите тотчас x1 , x2 корни уравнения x px g 0 2 x1 x2 p x1 x2 g Теорема Виета x1 , x2 корни уравнения ax 2 bx c 0 Франсуа Виет (или Вьет) (фр. François Viète, seigneur de la Bigotière; 1540—13 декабря c x1 x 2 a b x1 x 2 a 1603) — выдающийся французский математик XVI века, положивший начало алгебре как науке. По образованию и основной профессии — юрист, по склонности души — математик. Теорема Виета По праву достойна в стихах быть воспета свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни – и дробь уж готова? В числителе с , в знаменателе а. А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь, что за беда. В числителе в, в знаменателе а. Квадратные уравнения с большими коэффициентами 4 x 13 x 9 0 2 319 x 2 1988 x 1669 0 1999 x 2 2000 x 1 0 4 x 11x 7 0 2 1978 x 2 1984 x 6 0 319 x 2 1988 x 1669 0 2x x 3 0 2 ax bx c 0 2 Приём «Коэффициентов»: 1) Если а+в+с=0, то 2) Если в = а + с, то 3) Если abc 0 x1 1, x 2 c . a c x1 1, x 2 . a , то приём «Переброски» Используя приёмы 1) -3) можно придумывать уравнения с рациональными корнями. Пусть дано квадратное уравнение ax 2 bx c 0, где a 0 1.Если a + b + c=0 (т.е сумма коэффициентов равна нулю), то x1 1, x 2 c . a a0 x2 По теореме Виета По условию a + b +c =0, Получаем b c x 0. a a b x1 x 2 a x x c . 1 2 a ac c x1 x 2 a 1 a откуда b= - a – c. Значит, x1 x 2 1 c . a x1 1, x 2 c , a что и требовалось доказать. abc 0 2 x 2 11x 5 0 Решаем устно x 2 11x 10 0 Его корни 10 и 1, и делим на 2. Ответ: 5; 1 2 6 x 2 7 x 3 0 x 2 7 x 18 0 Корни 9 и (-2). Делим числа 9 и ( -2) на 6: Ответ: 3 1 ; 2 3 9 2 x1 , x 2 6 6 Используя приёмы решения 1) – 3),вы можете придумывать уравнения с рациональными корнями. Например, возьмём уравнение x 2 5 x 6 0 (Корни 2 и 3), 6 делится на 1,2,3,6 6=1*6 6=6*1 6=2*3 6=3*2 Отсюда уравнения: ________________ Одно уравнение дало ещё 7 уравнений с рациональными корнями. ------------------------------------------------- 6 x 2 5x 1 0 2 x 2 5x 3 0 3x 2 5 x 2 0 x 2 5x 6 0 2 x 2 5x 3 0 6 x 2 5x 1 0 3x 2 5 x 2 0