+ m - Томский политехнический университет
advertisement
Томский политехнический университет ЕНМФ щей физики н Юрий Иванович Адрес: пр. Ленина, 43, г.Томск, Россия, 634034 tyurin@fnsm.tpu.edu.ru, Тел. 8-3822-563-621 Факс 8-3822-563-403 Сегодня: воскресенье, 8 мая 2016 г. Лекция 3 Тема: КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА Содержание лекции: Введение 1. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона 2. Второй закон Ньютона. Основные понятия 3. Третий закон Ньютона 4. Свойства пространства-времени и уравнения классической динамики. Глава 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА 2.1. Введение Динамика (от греческого dynamis сила) – раздел механики, посвященный изучению движения материальных тел под действием приложенных к ним сил. В основе классической динамики лежат законы Ньютона, из которых получаются все уравнения и теоремы, необходимые для решения задач динамики. Как и другие принципы, лежащие в основе физики, они являются обобщением опытных фактов. Законы классической динамики имеют огромную область применения от описания движения микроскопических частиц в модели идеального газа до поведения гигантских тел во Вселенной. Открытие, применение и осознание этих законов определяют технических прогресс человечества на протяжении уже более трех веков. 2.2. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона Для описания механических явлений надо выбрать систему отсчета. В различных системах отсчета законы движения имеют, в общем случае, различный вид. Однако оказывается, что всегда можно найти такую систему отсчета, в которой законы механики имеют наиболее простой вид. Это система отсчета с однородным и изотропным пространством и однородным временем. Такая система отсчета называется инерциальной. В инерциальной системе отсчета всякое свободное движение происходит с постоянной по величине и направлению скоростью. Это утверждение оставляет содержание первого закона Ньютона закона инерции. Если наряду с имеющейся у нас инерциальной системой отсчета мы введем другую систему отсчета, движущуюся относительно первой прямолинейно и равномерно, то законы свободного движения по отношению к этой системе будут такими же, как и по отношению к первоначальной: свободное движение снова будет происходить с постоянной скоростью. Существует бесконечное множество инерциальных систем отсчета, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно. Во всех инерциальных системах свойства пространства и времени одинаковы и одинаковы все законы механики. Это утверждение составляет содержание принципа относительности Галилея. Координаты и одной и той же точки в разных системах отсчета K1 и K2, из которых K1 движется относительно K2 со скоростью v, связаны друг с другом соотношением r2 = r1 + vt Подразумевается, что время течет одинаково в K1 и K2: t1 = t2 = t. Представление об абсолютном времени лежит в основе классический механики. Принцип относительности Галилея можно сформулировать как требование инвариантности уравнений механики по преобразованиям Галилея: t1 = t2 = t, r2 = r1 + vt. отношению к Из абсолютности времени и принципа относительности Галилея следует, что в классической механике взаимодействие между телами распространяется мгновенно. Если бы взаимодействие было бы не "мгновенным", то в силу принципа Галилея и однородности времени скорость распространения фундаментальных взаимодействий была бы различна в разных инерциальных системах отсчета. Это привело бы к различию законов движения тел в разных инерциальных системах отсчета. Из первого закона следует важный физический принцип: существование инерциальной системы отсчета. Смысл первого закона состоит в том, что если на тело не действуют внешние силы, то существует система отсчета, в которой оно покоится. Но если в одной системе тело покоится, то существует множество других систем отсчета, в которых тело движется с постоянной скоростью. Следствием первого закона Ньютона является утверждение, что если наблюдатель находится в инерциальной системе отсчета, а это удостоверяет покоящееся в ней тело, то все прочие тела, на которые не действуют силы, будут также находиться в покое или двигаться с постоянной скоростью. 2.3. Второй закон Ньютона. Основные понятия Второй закон Ньютона количественно определяет, как изменяется состояние движения тела под действием внешних сил. Под силой в механике понимают всякую причину, изменяющую состояние движения тела. Всякое тело оказывает сопротивление при попытках привести его в движение или изменить модуль или направление его скорости. Это свойство тел называется инертностью. Мера инертности тела называется массой. Неизвестную массу m можно сравнить с данной стандартной массой m0, поместив между ними небольшую сжатую пружину). Отпустив пружину, мы заставим первоначально покоившиеся массы разлететься в противоположные стороны со скоростями v и v0 соответственно. При этом количественно неизвестную массу m можно определить следующим образом: m = m0v0/v (определение инертной массы). Импульс или количество движения материальной точки - вектор, равный произведению массы точки на ее скорость: p = mv. Импульсом или количеством движения системы материальных точек назовем векторную сумму импульсов отдельных материальных точек, из которых эта система состоит. Для системы из двух материальных точек p = p1 + p2 = m1v1 + m2v2. В инерциальной системе отсчета изменение импульса p материальной точки со временем представляется уравнением p = dp/dt = d(mv)//dt = F. Для медленных движений, пропорционален скорости: mv = F, когда импульс Величина F, равная скорости изменения импульса во времени, называется силой, действующей на рассматриваемую материальную точку Очевидно, сила F есть вектор, поскольку она равна производной от вектора p по времени. Таким образом, в инерциальной системе отсчета производная импульса материальной точки по времени равна действующей на нее силе. Это утверждение называется вторым законом Ньютона, а соответствующие ему уравнения – уравнениями движения материальной точки. Во второй закон Ньютона входит результирующая сила. Поэтому прежде чем применять второй закон Ньютона, нужно сначала найти векторную сумму всех сил, действующих на данное тело. Соотношение ma = Fрез предполагает аддитивность масс и векторный закон сложения сил. Аддитивность масс означает, что если соединить вместе два тела с массами mA и mB, то масса такого тела будет равна m = mA + mB. 2.4. Третий закон Ньютона Третий закон динамики Ньютон сформулировал так: “Действию всегда есть равное и противоположное противодействие; иначе взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны”. Третий закон утверждает: если тело В действует на тело А с силой FАВ, то в свою очередь тело А обязательно действует на тело В с силой FВА, равной по величине и противоположной по знаку силе FАВ; обе силы направлены вдоль одной прямой. Третий закон отражает тот факт, что сила есть результат взаимодействия двух различных тел: FАВ = -FВА Третий закон ничего не говорит о величине сил, а только о том, что они равны. Здесь очень важно отметить, что в третьем законе идет речь о силах, приложенных к различным телам. 2.5. Свойства пространства-времени и уравнения классической динамики. Как и в кинематике, исходными понятиями в динамике являются пространство и время. Пространство выражает порядок сосуществования отдельных физических объектов. Время – порядок смены явлений. При движении тела со скоростями, много меньшими с = 299792458 м/с1 – скорости света, пространство является евклидовым, и время течет одинаково во всех системах отсчета – область классического поведения физических объектов. Пространство однородно и изотропно – в пространстве нет выделенных положений и направлений. Все точки пространства равноправны, и все направления эквивалентны. Однородность времени означает, что все моменты времени эквивалентны и нет какого-либо выделенного начала отсчета для протекания любого физического явления. Время однонаправлено и протекает из прошлого в будущее. При скоростях движения, близких к скорости света, пространство и время образуют единый четырехмерный пространственновременной континуум. При больших скоростях движения, близких к 3108 м/с, размеры предметов и временной интервал между событиями не являются более инвариантами и зависят от выбора системы отсчета. Евклидовость пространства и однородность времени практически предопределяют законы классической динамики. 2.6. закон сохранения импульса Рассмотрим физическую систему, взаимодействующих материальных точек координатами r1 и r2. F12 m1 d 2 (r2 r1 ) Откуда следует соотношение dt 2 состоящую массами m1 F21 m2 из и двух m2 с d 2 (r2 r1 ) dt 2 d p1 p 2 0 dt импульс системы двух взаимодействующих точек при отсутствии внешних сил остается постоянным: р1 + р2 = const. Закон сохранения импульса есть следствие однородности пространства. Третий закон Ньютона позволяет выполнить переход от описания движения отдельной материальной точки к механике системы материальных точек. Силы, действующие на материальные точки системы, можно разделить на внутренние и внешние. Внутренние силы взаимодействия между материальными точками самой системы. Внешние силы это силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела. Согласно третьему закону Ньютона Fjk + Fkj = 0, поэтому геометрическая сумма всех внутренних сил равна нулю: F 1(i) + F 2(i) +…+ F n(i) = 0 (i intrinsic внутренний), где Fn(i) полная внутренняя сила, действующая на n-ю материальную точку. Пусть F1(e), F2(e) ,…, F n(e) внешние силы (e extrinsic внешний), действующие на материальные точки системы. На основании второго закона Ньютона имеем . d p n (i ) (e) d p1 ( i ) ( e ) d p 2 ( i ) ( e ) F1 F1 , F2 F2 ,..., Fn Fn dt dt dt Сложив эти уравнения, получаем d p1 p 2 ... p n F1e F2e ... Fne dt dp F e dt n p pk суммарный импульс всей системы, k 1 n (e) (e) F Fk k 1 равнодействующая всех внешних сил, действующих на систему. Если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю, то - dp 0 dt и, следовательно, р = const. То есть, если геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется со временем. Требование попарного равенства величин всех внутренних сил Fjk = Fkj является излишне сильным для доказательства закона сохранения импульса. Достаточно условия равенства нулю геометрических сумм всех внутренних сил в системе. Закон сохранения импульса является фундаментальным законом природы, не знающим исключений. И он в этом смысле не является следствием законов Ньютона. 2.7 Движение центра масс Пусть геометрическая сумма внешних сил, действующая на систему материальных точек отлична от нуля и движение описывается уравнением F (e) d d2 (p1 p 2 ... p n ) 2 ( m1r1 m2 r2 ... mn rn ). dt dt Домножим и разделим правую часть этого равенства на m = m1 + m2 +…+ mn общую массу системы F (e) m d 2 R ц.м dt 2 , R ц.м m1r1 m2r2 ... mn rn m1 m2 ... m n Воображаемая точка массой m с радиус-вектором Rц.м называется центром масс или центром инерции системы (рис. 3.10) Две массы M1 и M2, расположенные на оси x в точках с координатами x1 и x2, обладают центром масс, расположенным в точке с координатой M1 x1 M 2 x2 X ц.м M1 M 2 Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы, а действующая сила равна геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему, теорема о движении центра масс. Если система замкнута, то F(e) = 0. В этом случае имеем dvц.м dt 0, vц.м m1v1 m2 v2 ... mn vn const m1 m2 ... mn центр масс замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно. Это соотношение выражает замечательное свойство центра масс: скорость центра масс постоянна в отсутствие внешних сил. . В отсутствие внешних сил скорость центра масс постоянна. Здесь подразумевается радиоактивное ядро, обладающее скоростью R ц.м перед распадом Первый закон Ньютона, или закон инерции говорит о том, что существуют системы отсчета, где свободная материальная точка сохраняет состояние покоя или движется без ускорения. Такие системы отсчета называются инерциальными. Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета и утверждает, что действующая на материальную точку сила определяет скорость изменения импульса материальной точки. Третий закон Ньютона отражает тот факт, что сила есть результат взаимодействия тел, и устанавливает, что действию есть всегда равное и противоположное противодействие. До Ньютона не было представления о том, что эти три закона являются основой всей механики. Только Ньютон, исследуя и анализируя движения всевозможных тел, указал, что все сколь угодно сложные механические явления подчинены трем законам динамики. 2.6 Реактивное движение тел переменной массы Принцип движения ракеты основан на законе сохранения импульса. Ракета с топливом представляет замкнутую систему. Сгорая, газы с большой скоростью истекают из сопла ракеты и воздействуют на ракету, сообщая ей ускорение. Импульс такой системы не изменяется со временем. Поэтому ракета должна начать двигаться в сторону, противоположную истечению газов. Пусть m(t), v(t), mv(t) масса, скорость и импульс ракеты в момент времени t. Спустя время dt масса ракеты уменьшится на dm, скорость увеличится на dv, а импульс ракеты станет равным (m dm)(v + dv). Импульс газов, образовавшихся за время dt, равен vГ dmГ, где vГ скорость истечения газов. Изменение импульса системы равно: (m dm)(v + dv) + vГ dmГ – mv = Fdt. Пусть на ракету не действуют внешние силы: F = 0. Уравнение движения ракеты примет в таком случае вид: dv dm m vотн dt dt vГ v = vотн скорость газовой струи относительно ракеты v = vотн или . m0 ln m v m0 exp m vотн Последнее соотношение получено К.Э. Циолковским (1857 1935) и называется формулой Циолковского. Для сообщения ракете первой космической скорости v = 8 км/с, при скорости газовой струи vотн = 1 км/с необходимо (m0/m) = 3000. Практически вся масса ракет приходится на топливо. При vотн = 2 км/с (m0/m) = 5,5, а при vотн = 4 км/с (m0/m) =7,4. Лекция окончена Нажмите клавишу <ESC> для выхода
