Разработка практического занятия по теме: Метод площадей Цель (ставиться перед учащимися и перед учителями): Определить какие компоненты метода площадей мы будем применять на уроке при решении задач и по каким признакам можно определить, что в той или иной задаче используется тот или иной компонент метода площадей. I этап - подготовительный : повторение теории и отработка отдельных компонентов метода площадей. 1) На доске висит ромашка: учащиеся подходят и срывают лепесток, читают вопрос и отвечают на него. Вопросы: - Дайте определение площади. - Что является единицей измерения площадей? - Сформулируёте свойство аддитивности площадей. - Сформулируйте свойство инвариантности площадей. - Cформулируйте теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. - Сформулируйте теорему об отношении площадей треугольников, имеющих равные высоты. - Какие фигуры называются равновеликими? - Какие фигуры называются равносоставленными? 2) Пока учащиеся отвечают на вопросы «ромашки», два ученика выходят к доске и заполняют нужную формулу площадей фигур (один ученик заполняет формулы площадей треугольников, а другой всех остальных фигур ). Формулы площадей треугольников при проверке проговаривают вслух. 3) Устное решение задач по готовым чертежам (задачи на один или 2 компонента метода): а) Площадь треугольника ABD равна 15 м2. Найти площадь параллелограмма ABCD (свойство инвариантности и свойство аддитивности площадей: треугольники равны, следовательно равны их площади и находим сумму площадей). б) В треугольнике АВС на стороне АС взята точка D. Найдите отношение площадей треугольников АВD и ВDС (площади относятся как основания AD:DC). Найдите отношение площадей треугольников АВD и ВDС, если ВDбиссектриса ( АD:DC=AB:BC) и если ВD – медиана (AD:DC=1). Сделайте вывод о равновеликости треугольников (отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты). Вывод: медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. На эти выводы учащимся предлагаются задачи: В В 5 S1 -? S2 S2 S1 А Найти 4 С D х 7 А SABD = 7. Найти SDBC -? D С II этап - решение задач: решение задач на несколько компонентов метода и задач, в которых признаки выбора метода не видны. Учитель: сейчас рассмотрим задачи, где используются 2-3 компонента метода. Ваша задача- определить какие это компоненты. Где в условии задач видны признаки этих компонентов? 1) Задачи на 2-3 компонента метода, признаки которого видны в формулировке задач: 1. Найти площадь четырёхугольника АВСD, если АВ=5 см, ВС=13 см, СD=9 см, АD=15 см, АС=12 см (площадь прямоугольного треугольника, свойство аддитивности площадей). В 13 Рассмотрим треугольники АВС и АСD. По теореме, обратной теореме Пифагора доказываем, что эти треугольники прямоугольные: 52+122=132 ; 122+92=152. По свойству аддитивности площадей имеем 1 1 1 SАВСD=SАВС+SАСD= AB AC AC CD AC AB CD 2 2 2 С 5 12 А 9 15 D SАВСD= 1 12 5 9 6 14 84 см 2 . 2 Вопросы к задаче: - Что требуется найти? (площадь четырёхугольника – признак выбора метода площадей). - Чтобы найти плошадь четырёхугольника, какой компонент метода площадей можно использовать? (свойство аддитивности площадей). - Как найти площади треугольников? (по формуле площади прямоугольного треугольника). - Итак, мы видим, что в задаче используются два компонента метода площадей и по условию задачи и по чертежу мы увидели признаки выбора этих компонентов. Данную задачу учащиеся решают самостоятельно по готовому чертежу (на кодопозитиве), в тетрадь записывают только решение, которое потом сверяют с кодопозитивом. 1. 2. Диагонали четырёхугольника АВСD пересекаются в точке О. Найдите площадь четырёхугольника, если известно, что площади треугольников АОВ, ВОС, СОD равны соответственно 12, 18, 24 см2 (отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты, свойство аддитивности площадей). В О С H А D Рассмотрим треугольники ВОС и СОD. СH – высота для этих треугольников. По теореме об отношении площадей треугольников, S S BO BO имеющих равные высоты имеем: BOC и AOB S COD OD S AOD OD S BOC S AOB 18 24 12 12 16см 2 . ; ; SAOD= 18 S COD S AOD 24 S AOD По свойству аддитивности площадей: SABCD=SBOC+SCOD+SAOB+SAOD=18+24+12+16=70 (см2). S S Вывод-обобщение задачи: BOC AOB S COD S AOD Вопросы к задаче: - Что требуется найти? (площадь четырёхугольника – признак выбора метода площадей). - Чтобы найти плошадь четырёхугольника, какой компонент метода площадей можно использовать? (свойство аддитивности площадей). - Чтобы применить данный компонент, что нужно найти? (площадь треугольника AOD). - Рассмотрим треугольники BOC и COD. Что они имеют общего? (высоту). Значит, о каком компоненте идёт речь? (об отношении площадей треугольников, имеющих равные высоты). Найдём отношение площадей этих треугольников. - Рассмотрите треугольники AOB и AOD и сделайте вывод. - Итак, сколько компонентов метода площадей мы использовали в задаче? (два). Перед решением задачи на доске заготовлен чертёж, один учащийся выходит к доске, записывает дано и строит необходимые элементы на чертеже. После устного разбора задачи у доски оформляет решение следующий ученик. Последний шаг учащиеся выполняют самостоятельно. 2) Задача, в формулировке которой не видны признаки метода площадей. 3. Стороны параллелограмма и его меньшая диагональ относятся как 10:21:17. Определите стороны параллелограмма, если его меньшая высота равна 16 см. В С AB:AD:BD=10:21:17 Пусть k-коэффициент пропорциональности, тогда AB=10k, AD=21k, BD=17k. 1 BH AD 2 S ABD p p AB p BD p AD AB BD AD 10k 17k 21k p 24k 2 2 Рассмотрим треугольник ABD: S ABD 16 А H D Приравнивая различные выражения для одной и той же площади получаем уравнение: 1 16 21k 24k 24k 10k 24k 17k 24k 21k 2 168k 24k 14k 7k 3k 168k 84k 2 k 2 AB 10 2 20см AD 21 2 42см 84k 168 Вопросы к задаче: - По условию задачи видны ли признаки выбора метода площадей? (нет). - Что требуется найти? (стороны параллелограмма). - Что для этого нужно знать? (коэффициент пропорциональности). - Нам дано отношение сторон AB, AD, BD. Какую фигуру образуют эти стороны? (треугольник). Выразите стороны этого треугольника через коэффициент пропорциональности. Зная стороны, что можно найти? (площадь по формуле Герона) - Что нам ещё известно? (высота). - Что можно найти, зная стороны и высоту? (площадь треугольника). - Что мы сделаем с этими выражениями? (приравняем). И что мы найдём? (коэффициент пропорциональности). - Итак, для решения данной задачи использовался следующий компонент метода - умение выражать площадь одной и той же фигуры разными способами через элементы данной фигуры. Данная задача полностью оформляется на доске учащимися. Заключительное слово учителя: Мы провели занятие на решение задач методом площадей. Для некоторых задач можно сразу увидеть способ решения методом площадей, т. е. признаки выбора метода видны в формулировке и чертеже задачи, а для некоторых задач признаки выбора метода не видны в формулировке задач, поэтому наша цель научиться решать именно такие задачи, при решении которых, в основном, составляется уравнение и задача переводиться на «алгебраический » язык. Работа с группой учителей 1. Суть метода площадей: Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Способ решения задач основывается на понятии площади, её свойствах. Суть метода основывается на следующих приёмах: 1) На основании свойств площади (аддитивность, инвариантность), а также на понятиях равновеликих и равносоставленных фигур. 2) На основании отношения площадей треугольников, имеющих равные высоты и по равному углу, подобных треугольников. 3) На основании сравнений различных выражений для площади данной фигуры . Данный приём позволяет получить соотношения между элементами фигур (сторонами, высотами и т. д). В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. В данном случае метод площадей из геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя всё к решению уравнения. Основное своё применение данный приём находит в задачах, где участвует треугольник из-за большого количества формул площадей, хотя неисключён и случай применения данного приёма и для других фигур. 2. О всех ли компонентах метода площадей шла речь? Учителя зачитывают компоненты, которые они увидели на занятии и «свои» компоненты. 3. Решение задач: Рассмотрим задачу, в которой применяется ещё один компонент метода площадей: Из вершины А треугольника АВС провести две прямые так, чтобы они разделили треугольник АВС на три равновеликих треугольника. В SABD= 21 ADBH SDBE= 12 DEBH А D Е С SEBC= 12 ECBH 1 2 ADBH= 21 DEBH= 21 ECBH AD = DE = EC Компонент: Умение выражать площади разных фигур через одну и ту же величину. Рассмотрим задачу, в формулировке которой не видны признаки выбора метода площадей: Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами. Компоненты: - Умение выражать площадь одной и той же фигуры разными способами через данные элементы фигуры. - Умение находить площадь ромба по формулам.