Нестерова Мария Вадимовна учитель математики Два высших образования 12 лет педагогической работы , в т.ч. 8 лет в гимназии в старших профильных классах, 15 медалистов, в т.ч. 9 в физ-мат классах. Мое главное достижение – это мои ученики ! Тема выступления КОНЦЕРТ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРА В СОПРОВОЖДЕНИИ КЛАССА ИЛИ КАК МЫ ЭТО ДЕЛАЕМ… Рекомендации для начинающих ВОПРОСЫ Курс и тема в курсе Зачем? Кто работает? Технологии и средства Помощь Курс и тема в курсе Внеурочная деятельность Алгебра (Малонаглядно, много текстовой информации, требуется обработка содержания) Геометрия (Много чертежей, символики, требуется продумать анимацию) Зачем? Наглядность Доступность и краткость в изложении материала Многократное использование как целого, так и фрагментов Внешняя привлекательность (не путать с наглядностью!) …Сформулируйте сами Кто работает? Преподавател ь (Договорись с самим собой) Преподавател ь+ученик Ученик (Договорись с собой и донеси (Доступно и это до понятно объясни, ребенка!) чего хочешь!) Технологии и средства Наличие/отсутствие технических ресурсов Наличие/отсутствие соответствующих программных продуктов Умение работать с требуемыми программами Наличие/отсутствие в программе соответствующих возможностей и пути выхода из тупиковых ситуаций ПРОСТЕЙШИЕ тригонометрические неравенства Способы решения. Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности • Решим неравенство sin у t>a Для этого: • Начертим единичную окружность в декартовой системе координат. 1 P t2 а 1 • На оси синусов отметим значение a, а на окружности – точки Рt , задающие числа, синус которых равен a. Рt 1 0 х Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности Значения sin t, большие, чем a, на оси синусов расположены выше, чем a, но не выше, чем 1. Дуга окружности, на которой расположены точки Рt , отвечающие условию sin t >a - это дуга между точками Рt1 и Р t2 Чтобы «пройти» по этой дуге, следует двигаться от точки Р t к точке Рt против часовой 1 стрелки 2 у 1 Pt а 2 Рt 1 1 0 х Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности у 1 • Значение t1определяется значением arcsin • Значение t2 определяется значением arcsin • Получаем: arcsin < < а а а t Pt arcsin а а 2 Рt 1 1 0 х Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности • Помним, что функция f(x)=sin x является периодической, повторяя свои значения через каждые 2 . • Чтобы записать решение неравенства на множестве R, следует добавить к обеим частям полученного двойного неравенства 1 Pt а 2 arcsin at arcsin a слагаемое у 2k : arcsin а 2k t arcsin a 2k Рt 1 1 0 х СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ Теорема 5. Если a<b, и c<d, то a+c<b+d. Доказательство: a<b a+с<b+с c<d c+b<d+b a+с<b+с, b+c<d+b a+с<b+d Если сложить почленно два и более верных неравенства одного знака, то получится верное неравенство. СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ Пример. Известно, что 7<a<10, 14<b<15. Оценить сумму, разность, произведение и частное a и b. • Оценим сумму a+b: 7<a<10 + 14<b<15 21< a+b<25 • Оценим разность a – b: - 15< - b < - 14 + 7<a<10 - 8 < – b + a< - 4 -8<a–b<-4 Найдем объем цилиндра с радиусом оснований R и высотой Н. Р2 Р1 R O1 H • Построим многоугольники Р1 и Р2 : Р2 содержит круг – основание цилиндра, Р1 содержится в круге – основании цилиндра, причем количество сторон этих многоугольников n. Значит, Sp1 и Sp2 S(O;R). O • На многоугольниках Р1 и Р2 как на основаниях построим n – угольные призмы с высотой Н. Р2 R Р1 O1 •Получается, что призма Р2 содержит цилиндр, а призма Р1 содержится в цилиндре. •Т.к. n , то Vp1 и Vp2 Vцилиндра, т.е. Vцилиндра Sосн Н R 2 H H где R – радиус основания цилиндра, Н – высота. O у y=f(x) •Проведем плоскость , проходящую через ось тела, и введем в этой плоскости декартову систему координат. •Ось тела примем за Ох. O х •Плоскость хОу пересекает поверхность тела по линии, для которой Ох – ось симметрии. •Пусть y=f(x) – уравнение той части этой линии, которая расположена выше оси Ох у •Проведем через точку А(х; 0) плоскость Ох и обозначим V(x) – объем той части тела, которая лежит левее плоскости . •V(x) – функция от х. А h В х х+h х •Проведем через точку В(х+h; 0) плоскость Ох и обозначим V(x+h) – объем той части тела, которая лежит левее плоскости . •V(x+h) - V(x) = V слоя тела, заключенного между плоскостями и . •V(x+h) - V(x) = V слоя тела, заключенного между плоскостями и . F f •Пусть F=max f(x) на [x; x+h], f=min f(x) на [x; x+h]. •Тогда рассматриваемый слой содержится в цилиндре с высотой h и радиусом оснований F и содержит в себе цилиндр с высотой h и радиусом оснований f. x f h F VВНУТР .ЦИЛИНДРА V ( x h) V ( x) VВНЕШ .ЦИЛИНДРА f 2 V ( x h) V ( x) F 2 h при h 0 f F h x f 2 f 2 ( x) F 2 f 2 ( x) V ( x h) V ( x) V ' ( x) h 0 h lim значит,V ' ( x) f 2 ( x) . По формуле Ньютона – Лейбница b b a a V (b) V (a) V '( x)dx f 2 ( x)dx где x a и x b - плоскости, между которыми заключается часть тела, объем которой находят. Таким образом, общая формула для расчета объема тела вращения: V b 2 f ( x)dx a Здесь y=f(x) – уравнение, задающее кривую, по которой пересекается осевое сечение тела с его поверхностью, a и b – плоскости, между которыми расположено тело, объем которого ищется. Ф(x) O a x b x Ф( x1 ) O x0 a x1 x2 Ф( x2 ) xi 1 Ti xi Ф( xi ) Ф ( xn ) b xn x Система координат О – начало координат Ox, Oy, Oz, - координатные оси Oxy, Ozy, Ozx – координатные плоскости Ox – ось абсцисс Oy – ось ординат Oz – ось аппликат Mx – абсцисса точки M My – ордината точки M Mz – аппликата точки M Содержание Расстояние между точками Дано: A(x1,y1,z1) B(x2,y2,z2) Найти: AB 1. Проведем через A и B прямые, || оси z. Они пересекут плоскость xy в точках A’ и B’. Проведем через точку A плоскость, || плоскости xy. Она пересечет прямую BB’ в некоторой точке C. 2. По теореме Пифагора AB2=BC2+CA2 AB2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 CB’=AA’ A’B’=(x2-x1)2+(y2-y1)2 AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 BC=|z1-z2| Содержание Задачa №2 Дано: ABCDA1B1C1D1-параллелепипед P∈ R∈ T∈ Q∈ A1 (AA1B1B) (AA1D1D) C1D1 AA1 T B1 P D1 R Построить: Сечение параллелепипеда плоскостью, параллельной плоскости (PRT) и проходящей через точку Q Q B A D C C1 Задачa №2 Построение: Построим сечение параллелепипеда плоскостью (PRT). Построим проекции точек P,R и T на ребра, принадлежащие плоскости основания: A1 B1 prAB P = P1 prCD T = T1 Найдем след сечения. R M Q RT∩R1T1 = M MN – след сечения D1 P prAD R = R1 PR∩P1R1 = N T P1 A N D R1 T1 B C C1 Задачa №2 Найдем точки пересечения плоскости (PRT) с ребрами параллелепипеда A1 F B1 D1 P AB∩MN=G PG∩AA1=E PG∩A1B1=F ER∩C1D=K T R E M Q A N G B EFTK – сечение параллелепипеда плоскостью (PRT) D C C1 K Задачa №2 Искомая плоскость параллельна плоскости (PRT). A1 Значит, прямые пересечения искомой плоскости и плоскости (PRT) с гранями параллелепипеда параллельны (по св-ву 1) QS║FE, S∈AB SY║FT,Y∈CD XY║TK, X∈CD1 T F B1 P D1 R X E Q A Y S B QSYX – искомая плоскость C D C1 K Доказательство Допустим, что плоскости α и β не параллельны Тогда они пересекаются по некой прямой с Итак, α проходит через а, причем а ll β, и пересекает β по прямой с => a ll c Но α проходит также через прямую b, причем b ll β поэтому b ll c Таким образом, через точку М проходят две прямые, параллельные с, что невозможно (теорема о параллельных прямых) Значит, наше допущение неверно, и α ll β Теорема доказана. α a M b β с a1 b1 вершина образующая ось направляющая основание Геометрия Эвклида 5 постулатов, 9 аксиом, 23 начальных определения СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! Сентябрь 2007 года