Lec1

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА
(для групп Е8-01,02,Т831,32,32а,32б,37,70а, 70б)
( Примечание. Для групп Т8-32,32а,32б курс
называется «Теория конденсированного
состояния» )
Авторы: КАГАН Ю.М. , СОБАКИН В.Н. ,
ИВЛИЕВ С.В.
Лектор: доцент Собакин В.Н.
ЛЕКЦИЯ 1 .ЭЛЕКТРОННАЯ ВЕТВЬ ВОЗБУЖДЕНИЯ В КРИСТАЛЛАХ.
ПЛАЗМЕННАЯ МОДЕЛЬ НЕПЕРЕХОДНОГО МЕТАЛЛА. ГАМИЛЬТОНИАН
ЭЛЕКТРОН-ИОННОЙ СИСТЕМЫ. УСЛОВИЕ ГЛОБАЛЬНОЙ И ЛОКАЛЬНОЙ
ЭЛЕКТРОНЕЙТРАЛЬНОСТИ.
H  T e V ee  Ti Vii V ei
,
Ti  0
Гамильтониан системы
Ионы тяжелые, их кин. энергию учитывать не будем
2
p
Te  
 1 2m
ZN
Кинетическая энергия электронов
2
zN
e 

1
V ee  
2    r r


Энергия электрон – электронного
взаимодействия
В силу полноты набора экспоненциальных функций типа плоских волн
любую функцию можно разложить в ряд Фурье.
 
 R    q eiqR
Разложение функции в ряд Фурье
q
 
1
iqR
 q   dRe  R

1 zN 2 4 iq  r r 
V ee   e  2 e
2    1 q q
1
r  r
Оператор электронэлектронного
взаимодействия
1 N 2 2 4
Vii   z e  2 e
q q
2 n n11

V ei    V  q e
ei


iq  Rn  Rn 

1
iq r  Rn
ZN N

 1 n 1 q
“Операторность”
Вклад дают
q
V ei
заключена в координатах электронов.
обратному расстоянию между частицами
Система металла (как и любая устойчивая макроскопическая
система в целом электронейтральна. Электроны могут
(в принципе) собраться все в одной части металла, тогда она
будет заряжена отрицательно, а кусок (область) , где
электронов нет – положительно. Конечно, в реальности такого
никогда не происходит. Чтобы избежать этой возможности
при описании, потребуем локальной электронейтральности
(чтобы нейтральными был любой, даже быть может,
микроскопически малый объем).
 
1
iqR
  q    dRe  R 

q 0

1
--среднее значение
  0    dR R 1

 
 
 R
Таким образом , во всех Фурье – разложениях
нужно выделить вклад Фурье – компонент с
q  0 . Но этот вклад аномален ( q стоит в
знаменателе).
2 2
zN
N
zN N


1
4

1
4

z
e


lim  

1


1

V
q

0

1

  ei 


2
2
q 0 2    1 q
2 n n11 q
 1 n 1




4  e  Ze  b 2 0
2
4
Vei  q 0 

q

Aq

Bq
...
2

q
 
В этой формуле последние три слагаемые- некулоновские члены;
первый член самый главный:
расстояния большие это кулоновское взаимодействие (конкретный вид).
q 0
 

N
zN N  b ZN N
4 e2  1 ZN
21
2
lim 2   1  Z
 1  Z   1    1  0 q
; q 0
2 n n11
 1 n 1    1 n 1
q  2    1
;
ZN
2
  ZN   ZN
   1
ZN N
   ZN  N
N
2
1

N
N

n  n1 1
 1 n 1
Таким образом, выражение в фигурных скобках равно

Z 2 N 2 ZN Z 2 N 2 Z 2 N 2 2 N 2
...  2  2  2  2  Z N  2 Z Z

Получаем


4 e 2 1
N
b
2
lim 2

Z  Z 
ZN 2 
q 0 q
0 N 2
0 N
2
b
b
2
3
 0 q ... N 
ZN 
ZN
0
0
 
.
Остался вклад только от одной ячейки (в первом слагаемом),
второе слагаемое содержит
N 1024
Первое слагаемое
Второе слагаемое
1
, q  0;
2
q
N
- макроскопическое число.
1
1
lim 2
2
q0 q qmin
L2
N
2
(!)
3
.
q0
отвечает бесконечная длина волны;
максимальная длина волны равна размеру кристалла
qmin
(всего ячеек
N, L
2
max
1
L
1
N
1
3
– линейный размер)
Второе слагаемое всегда >> первого в
N
1
3
раз.
L
Мы использовали трехмерность системы.
Для плоского (двумерного) кристалла первый член уже нельзя
было бы выкинуть , следовательно, условие
локальной электронейтральности
систем пониженной размерности требует отдельного рассмотрения.
Таким образом, с макроскопической точностью,
Таким образом, с макроскопической точностью,

H T e V ee Vii V ei T e  V ee Vii V ei

b
 ZN
q 0 0
Рассмотрим ион-ионное взаимодействие .
4 z e
1
E V
 
e

2
ii
i
q  0 2 q  0 q n n1
2 2


iq  Rn  Rn 

1
При фиксированных n, n1 учитываются q , не
превышающие
1
Rn  Rn
.
1
Ионная решетка, погруженная в электронную жидкость.
Эта система чисто вспомогательная; мы предполагаем,
что - жидкость остается неоднородной,
несмотря на присутствие ионов.


Суммарный заряд и дипольный момент равны нулю.
( заменили на сферическую ячейку того же
объема – мы полностью разбили взаимодействие
на N вкладов одной ячейки; от формы ничего
не зависит)
4 2
0  R0
3
Выделенный электронный заряд
взаимодействует с ионом и с
окружающей электронной жидкостью
Интегрируем по всей ячейке.
Z 2e2 4 2
3 Z 2e 2
E1  
  R0  
4 3 2
2
R
0
R0
3
(При расчете считаем , что ионы точечные! )
Для вспомогательных электронов не надо учитывать
неточечность. Этот электронный заряд
взаимодействует также и с остальными электронами из
сферы. По теореме Гаусса, заряд, распределенный по
сфере, эквивалентен точечному заряду в центре;
E2 

0
 Ze  Ze 4 

dr  
r3 
R0
2 r 3
 
  3

2 2
r
0 
0

   Z e  4  4 dr

2
r
r
0 3
0
E2 
2 2
Z e
2
 4 
6
R

 0
3


 4 
3
2
R05 5
R05
3 Z 2e 2

5
5 R0
Z 2e 2  1 1 
9 Z 2e 2
E  E1  E2  3
  
R0  2 5 
10 R0

3
10
Энергия системы оказалась отрицательной. Таким образом, система с
полностью скомпенсированным (погашенным) зарядом устойчива.