Распространим определения числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. ♦ Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой xЄ[а; b], называют определенный интеграл: b M (X) = ∫ x f(x) dx. a Если возможные значения принадлежат всей ∞ оси Ох, то M (X) = ∫ x f(x) dx, -∞ х – М (Х) – есть отклонение величины Х. Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. существует ∞ интеграл ∫ |x| f(x) dx -∞ ♦ Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможныеb значения Х Є [а; b], то D(X) = ∫ [x – M(X)]2 f(x)dx. а Если х Є [-∞; ∞], то ∞ D(X) = ∫ [x – M(X)]2 f(x)dx. -∞ ♦ Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для дискретных величин, равенством: σ (Х) = √ D (X) . Замечание 1. Можно доказать, что св-ва мат. ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непрерывных величин. Замечание 2. Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы: b D(X) = ∫ х2 f(x)dx - [M(X)]2; а ∞ D(X) = ∫ х2 f(x)dx - [M(X)]2. -∞ Пример. Найти мат. ожидание и дисперсию случайной величины Х, заданной ф-ей распределения: 0 при х ≤ 0 F(x) = х при 0 < х ≤ 1 1 при х > 1. Решение. Найдем плотность распределения: 0 при х < 0 f(х) = F'(x) = 1 при 0 < х < 1 0 при х > 1. Найдем мат. ожидание: 1 M(X) = ∫ x ·1· dx = 1 2 х /2 0 0 = 1/2. Дисперсия: 1 D(X) = ∫ х2 ·1· dx - [1/2]2 = 0 1 х3/30 - 1/4 = 1/12. Нормальное распределение Нормальным называется распределение вероятностей непр. случ. величины, кот. определяется плотностью f(x) = 1 σ √2π е -(х- а)2/2σ2 . Норм. распределение опред-ся 2-мя параметрами а и σ. Вероятностный смысл этих параметров таков: а – есть математическое ожидание, а σ – среднее квадратичное отклонение формального распределения. Общим называют норм. распределение с произвольными параметрами а и σ (σ>0). Нормированным называют норм. распр-ие с параметрами а=0 и σ=1. Напр., если Х – нормальная величина с параметрами а и σ, то U = (Х - а)/σ – нормированная нормальная величина, причем М(U)=0, σ(U)=1. Плотность нормированного распределения 1 -х2/2 φ(x) = е . √2π Эта ф-ция фигурирует в локальной теореме Лапласа и затабулирована. Локальная теорема Лапласа При больших значениях n ф-ла Бернулли неудобна, и для приближенных вычислений используют локальную теорему Лапласа: «Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, событие А наступит ровно k раз, приближенно равна k-np -х2/2 1 Рn(k) φ(x), где φ(x)= е , Х= k-np √npq √2π √npq Ф-ла тем точнее, чем больше n. Ф-ция φ(x) затабулирована и ее таблица для положительных х приводится в приложениях учебных пособий. Т.к. фия φ(x) четная, то для отрицательных значений х можно воспользоваться формулой φ(-x) = φ(x). Интегральная теорема Лапласа Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, событие А наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна Рn(k1; k2) ≈ Ф(х'') - Ф(х'), где 2/2 1 -Z Ф(х) = ∫е ·dz – ф-ия Лапласа, √2π k1-np k2-np х'= , х''= , k2>k1. Ф(-х) = Ф(х), √npq √npq для х>5 Ф(х)=0,5. • Важнейшие непрерывные распределения • Определение. Н.с.в Х имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если ее плотность вероятности f(x) постоянна на этом отрезке, а вне его равна нулю: • 1 , при f ( x) b a 0, при x a; b x a; b • Функция распределения F(x) для равномерно рапределенной с.в.Х имеет вид 0, при xa x a F ( x) , при b a 1, при x a; b xb • Числовые характеристики равномерного распределения: • Таким образом математическое ожидание случайной величины,равномерно распределенной на отрезке [a;b] совпедает с серединой этого отрезка . • Найдем дисперсию равномерно распределенной случайной величины • Среднее квадратическое отклонение • Графики функций f(x) и F(x) имеют вид: • Найдем вероятность попадания значения случайной величины,имеющей равномерное распределение ,на интервале (a;b),принадлежащий целиком отрезку [a;b] • Геометрически эта вероятность представляет собой площадь заштрихованного рямоугольника.Числа a и b представляют собой параметры распределения и однозначно определяют равномерное распределение • К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся те с.в., о которых известно, что все их значения лежат внутри некоторого промежутка [a,b], и при этом одинаково возможны. Например, время ожидания транспорта. • Пример:Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию.Интервал движения 5 минут.Найти вероятность того,что пассажир,подошедший к остановке будет ожидать очередной автобус менее 3 минут. • С.в.-время ожидания автобуса имеет равномерное распределение.Тогда искомая вероятность будет равна • Пример :Ребро куба x измерено приближенно.Причем • Рассматривая ребро куба как случайную величину,распределенную равномерно в интервале (a;b),найти математическое ожидание и дисперсию объема куба. • Решение:Объем куба-случайная величинаопределяемая выражением • Y X 3 Тогда математическое ожидание равно: • Дисперсия: • Определение. Н.с.в Х имеет показательное распределение (экспоненциальное), если ее плотность вероятности f(x) имеет вид: x e , при x 0 f ( x) 0, при x 0 • где >0 –параметр данного распределения. • Функция распределения F(x) с.в.Х, рапределенной по показательному закону, имеет вид 1 e x , при x 0 F(X ) x0 0, при • Числовые характеристики показательного распределения: M (X ) 1 ; D( X ) 1 2 • Графики дифференциальной и интегральной функций показательного распределения имеют вид: График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Исследуем ф-ию (х- а) 1 у= е 2σ σ√2π Методом дифференциального исчисления. 2 2 1. Очевидно, ф-ия определена на всей f(x) оси х. 0 а 2. у > 0, т.е. кривая расположена над осью х. 3. Lim y = 0, т.е. у=0 – ось Ох служит х→±∞ горизонтальной асимптотой графика. 4. Исследуем ф-ию на экстремум. (х- а) у' = - х - а е 2σ . σ3√2π 2 2 Легко видеть, что у'=0 при х=а, у'>0 при х<a и у'<0 при х>а. Согласно достаточному условию экстремума при х=а ф-ия имеет максимум: 1 уmax= . √2π 5. Разность х-а содержится в аналитическом выражении ф-ии в квадрате, т.е. график симметричен относительно прямой х=а. 6. Исследуем ф-ию на точки перегиба (где график меняет характер выпуклости) 2 (х-а) 2/2σ2 1 -(х-а) у'' = е ·[1 - 2 ]. σ σ3√2π у''=0 при х=а±σ, а при переходе через эти точки 2-ая производная меняет знак (в обеих этих точках значение ф-ии равно 1 σ√2πe Таким образом, точки графика 1 1 (а – σ; ) и (а + σ; ) σ√2πe σ√2πe являются точками перегиба. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой Известно, что график f(x-a) получается параллельным переносом графика f(x) на а единиц масштаба вправо, если а>0. Отсюда следует, что изменение величины параметра а (матем. ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если «а» возрастает, и влево, если «а» убывает. Иное дело с σ. Максимум нормальной кривой распределения равен 1 . σ√2π Отсюда следует, что с возрастанием σ максимум убывает, а сама кривая становиться более пологой, т.е. сжимается к оси Ох; при убывании σ нормальная кривая становиться более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси Оу. Важно заметить, что при любых значениях а и σ площадь, ограниченная нормальной кривой и осью х остается равной 1. (В частности при σ→0 получаем одно из определений дельта-функции Дирака). f(x) σ1 σ2 0 σ3 х 0 < σ 1< σ 2< σ 3; а=0. (σ1≈1 кривую называют нормированной). Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины Как известно β P (α<X<β) = ∫f(x)dx – вероятность α того, что случайная величина Х примет значения из (α; β). Пусть Х – нормальная величина. Тогда 1 β (х-а)2 2 P (α<X<β) = ∫е 2σ σ√2π α Чтобы пользоваться готовыми таблицами, преобразуем эту формулу: α-а ). P (α<X<β) = Ф( β-α ) – Ф( σ σ Вычисления вероятности заданного отклонения Часто требуется вычислить вероятность то, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х по абсолютной величине меньше заданного положительного числа δ, т.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства |Х-а|<δ. P (|Х-а|<δ) = 2Ф( δ ). σ В частности, при а=0 P (|Х|<δ) = 2Ф( δ ). σ Т.е. чем меньше σ (рассеяние нормальной случайной величины вокруг ее мат. ожидания), тем больше вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (-δ; δ). Правило трех сигм В ф-ле P (|Х-а|<δ) = 2Ф( δ ) положим σ δ=σ·t, тогда P (|Х-а|<σ t) = 2Ф(t). Если t = 3 и, следовательно, σ t = 3σ , то P (|Х-а|<3σ) = 2Ф(3) = 2·0,49865 = 0,9973 , т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973. Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратичное отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Т.е. в 0,27% случаев так может произойти. Такие события можно считать практически невозможными. Правило 3-х сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения. На практике, если распределение неизвестно, но выполняется условие в правиле 3-х сигм, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально. В противном случае она не распределена нормально.