М. А. Капустин Московский физико-технический институт

МОДЕЛЬ ИЗУЧЕНИЯ ЧЕЛОВЕКОМ ТОЧНЫХ НАУК, ОПТИМИЗАЦИЯ
ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ И УЧЕБНЫХ КУРСОВ
М. А. Капустин
Московский физико-технический институт
В этой работе мы коснемся следующих вопросов:
1. Какова оптимальная стратегия успешного обучения? Каковы
возможные критерии оптимальности и успеха обучения?
2. Долго ли система знаний в голове ученика остается в работоспособном
состоянии?
3. Каковы требования для уровня владения предметом, используемым в
дальнейшем обучении? Как эти требования отличаются от аналогичных для
того учебного курса, который в дальнейшем будет использован при научной
работе студента?
Чтобы решать эти задачи, нужно в первую очередь понять, какими понятиями
оперирует модель и какими параметрами характеризуются учебный курс и стратегия
обучения. В нашей модели вводятся следующие понятия:
1. Метод – конкретный факт (теорема или формула) плюс знания о том, как этот
факт применять для вывода других методов.
2. Способ вывода метода (цепочка методов, после применения которых к
некоторому начальному методу получается данный метод. Таким образом, весь курс
мы можем рассматривать как ориентированный граф).
3. Количество различных способов вывода одного метода (обозначаем его буквой
N). Как правило, мы будем работать с усредненным по всему курсу количеством
способов вывода, что предполагает известную однородность курса. Мы покажем, что
хотя эта количество обычно порядка единицы, его увеличение есть важный резерв
оптимизации обучения.
4. Типичная длина вывода одного метода, характеризующую сложность курса
(обозначаем буквой М). Если в школьном курсе геометрии М около 3, то в
институтском курсе ТФКП имеем М порядка 5.
5. Круг понятий – формализованный аналог главы. Вводится линейное
упорядочение кругов понятий. То есть методы следующих кругов понятий выводятся
либо из методов предыдущих кругов понятий (с характерной длиной вывода М), либо
из методов того же самого круга понятий, но уже с характерной длиной вывода
существенно меньше М. Последний случай описывает в основном немедленные
следствия из теорем, которые логично включать в тот же круг понятий, что и сами
теоремы. Базовому кругу понятий (включающих те методы, из которых выводятся все
остальные) присваивается номер 0. В этом круге обычно содержатся аксиомы и
постулаты, факты, полученные опытным путем, а также сведения, полученные в рамках
других учебных курсов.
6. Доля методов i-го круга понятий, которыми владеет учащийся (обозначаем через
pi).
Долю методов i-го круга понятий, которые учащийся непосредственно запомнил
обозначаем через pmem , причем, как следует из предыдущего пункта, pmem ≤ pi
(поскольку в pmem не включаются методы, которые ученик не помнит, но может
вывести). Как правило, уверенное запоминание методов достигается в процессе
решения задач. В дальнейшем мы будем предполагать, что на решение задач из каждой
главы ученик тратит примерно одинаковое время, поэтому и pmem для различных
кругов понятий одно и то же. Однако, это предположение не является обязательным
для модели и при желании можно его заменить каким-либо другим.
Результаты, полученные в модели.
Зависимость доли операбельных методов в i+1-м круге понятий от такой доли в i-м
имеет следующий вид:
pi 1  1  (1  p mem )(1  piM ) N
(1)
График этой зависимости выглядит следующим образом при малом pmem :
Pmem=0.5
1
0.9
0.8
N=1
0.7
N=2
N=3
N=4
0.5
N=5
0.4
N=6
0.3
N=7
x=y
0.2
0.1
0.
8
0.
86
0.
92
0.
98
0
0.
2
0.
26
0.
32
0.
38
0.
44
0.
5
0.
56
0.
62
0.
68
0.
74
Pi+1
0.6
0.
02
0.
08
0.
14
При большем pmem этот график
выглядит так, как показано ниже.
Мы видим, что при малом pmem
имеются 2 устойчивые точки
такого
отображения
и
одна
неустойчивая, разделяющая их
области
притяжения.
Таким
образом, в этом случае лишь при
весьма хорошем владении нулевым
кругом понятий знания ученика
возрастают от круга к кругу,
стремясь к 100%; в противном же
случае
он
вынужден
удовольствоваться
долей
Pi
операбельных методов, близкой
к pmem. Напротив, при достаточно
1
большом pmem есть всего лишь
0,9
одна устойчивая точка – это 1.
0,8
Ряд1
Таким образом, если уровень
0,7
Ряд2
владения
нулевым
кругом
Ряд3
0,6
понятий не слишком велик (в
Ряд4
0,5
Ряд5
частности, если он равен pmem ,
0,4
Ряд6
что может наблюдаться, когда
Ряд7
0,3
Ряд8
нулевой круг не содержит
0,2
методов из других курсов и
0,1
выучен в той же степени, как и
0
все остальные), то характерная
Pi
зависимость устойчивой точки
р* (то есть уровня владения
высокими кругами понятий) от pmem имеет следующий вид:
0,
02
0,
08
0,
14
0,
2
0,
26
0,
32
0,
38
0,
44
0,
5
0,
56
0,
62
0,
68
0,
74
0,
8
0,
86
0,
92
0,
98
Pi+1
Pmem = 0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Мы видим, что на этом графике
есть
скачок:
после
достижения
*
некоторого критического уровня p mem
ученик полностью владеет высокими
кругами понятий. Это явление мы
будем называть «скачок понимания».
Поставим теперь вопрос об
эффективном владении курсом. А
именно, время на вывод нужного
метода не должно быть большим. Можно формализовать это требование следующим
образом: время, нужное для вывода метода не должно быть линейной функцией от
количества кругов понятий в курсе. Желательно, чтобы это время было константой. Это
означает, что цепочка вывода, как правило, не будет тянуться аж до нулевого круга
понятий. Напротив, скорее всего, метод будет или вспомнен сразу, или же будут
вспомнены все методы, необходимые для его вывода.
Оказывается, необходимым условием для эффективного владения курсом как раз и
будет достижение скачка понимания! Таким образом, хотя хорошее владение нулевым
кругом понятий дает возможность не достигать скачка понимания для полного
овладения курсом, скачок понимания все же необходим, чтобы это владение было
эффективным.
Далее ставится вопрос о времени, необходимом для эффективного овладения
курсом и о зависимости этого времени от характерного количества вариантов вывода
метода N. Однако здесь модель обучения должна быть дополнена моделью составления
курса (нам нужно знать, какой объем курса будет необходим, чтобы обеспечить для
каждого метода в среднем N способов вывода). Наиболее реалистичным является
подход, говорящий, что для увеличения N на единицу нужно предложить взгляд на
данный вопрос с другой стороны – полностью другую интерпретацию проблемы. В
таком случае у нас получается как бы еще один «параллельный» вариант курса – что
дает A  A0 N . Для зависимости pmem от времени, потраченного на обучение используем
модель «случайных выстрелов по мишени» - ведь речь идет о непосредственном
запоминании. Это дает
*
*
ln(1  pmem
)
ln(1  pmem
)
*
,
(2)
t ( pmem )  At0
 NA0t0
ln(1  p)
ln(1  p)
где t0 - характерное время, приходящееся на один метод. Численное решение
позволяет сделать вывод, что следует как можно сильнее понижать величину М
(количество шагов). Если ее удастся понизить до величины 2-3 шага, то имеет большой
смысл увеличение количества вариантов N.
Однако достижение скачка понимания – это не лучший критерий качества
обучения. Человек, только что достигший скачка понимания, находится, в сущности, в
весьма неустойчивом положении. Стоит ему забыть лишь небольшую часть изученного
– и снова он теряет возможность эффективно пользоваться большей частью курса. А
ведь не только студент не сразу начинает пользоваться всеми из полученных знаний,
даже профессионал, стремящийся достичь универсализма, вынужден переключаться с
одной объемистой темы на другую. Итак, очень важно, сколько времени у
обучающегося будет «в запасе», перед тем, как он начнет пользоваться курсом. Считая
забывание
также
экспоненциальным
процессом,
получим:
t /A 

 зап


1  e  зап 

, а в качестве критерия эффективности мы можем
t эфф (t зап )   заб ln
*
 pmem





взять максимально возможное отношение времени эффективного владения до начала
использования к времени, затраченному на обучение (то есть max(tэфф / t зап ) ). Здесь t зап
обозначает время, потраченное на обучение – в первую очередь, на запоминание
методов путем решения задач. Важнейшим результатом, который дает модель, является
тот факт, что при самых малых M (порядка 2) и больших N (порядка 5) эффективность
обучения, вычисленная по этому критерию, в 100 и более раз выше, чем при
использовании сложного курса (с М около 10) без какого либо дублирования ( N 1 ). И
хотя создать оптимальный курс очень непросто (все имеющиеся безнадежно далеки от
этого), мы видим, что игра в высшей степени стоит свеч!