-это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами Системы счисления можно разделить на: и По современным понятиям , развитые системы нумерации впервые появились в Древнем Египте и Месопотамии. До нас дошли надписи внутри пирамид, на плитах и обелисках. Эти надписи сделаны в виде картинок - иероглифов. Сохранилось два математических папируса, позводяющих узнать об арифметике древних египтян. Для записи чисел египтяне использовали иероглифы: один -, десять - , сто - , тысяча, ..., 1 2 3 6 10 15 7 4 50 5 8 100 9 десять миллионов Все остальные числа записывались с помощью этих иероглифов и операции сложения. Так, что в египетской записи чисел особую роль играла десятка и ее степени: 10,100,1000 и тд. Делили и умножали египтяне не так как мы. Умножение и деление проводилось путем последовательного удвоения чисел Пусть, например, надо умножить 19 на 94. Египтяне последовательно удваивали число 94, причем в правом столбике записывали результаты удвоения,а в левом соответствующие степени двойки. (Разумеется, записывали они это по своему, но ниже вычисления показаны в современной записи). Удвоение продолжалось до тех пор, пока не оказывалось,что из чисел левого столбца можно составить множитель (в нашем случае 19=1+2+16. Египтяне отмечали соответствующие строки черточками складывали числа из правого столбика Одним из недостатков египетской системы является громоздкая запись чисел. Для записи числа 9 египтяне десять раз повторяли иероглиф для единицы. Этого недостатка лишены алфавитные системы записи чисел: еврейская, финикийская, грузинская, армянская, славянская. Славянская алфавитная нумерация напоминала современную позиционную. В ней числа закодированы буквами, а над этими буквами ставится специальный знак - ~ ~ ~ 1= 2=В 3=Г титло Одной буквой кодировались числа от 1 до 9, затем 10,20,…90 и, наконец, 100,200,…,900 Для больших чисел использовались те же самые буквы с добавленными к ним специальными значками. Например: ~ 10 000= В римской системе счисления 7 чисел обозначаются буквами: Остальные числа записываются комбинациями этих букв. Например: XVII -означает 10+10+5+1+1=27 Если же какие-то буквы нарушают порядок, то их значения вычитаются из значения следующей буквы. Например: XIX -означает 10+(10-1)=19 Если складывать и вычитать в такой системе можно без особого труда, то умножать очень сложно, а деление представляет собой непосильную проблему. Вместе с тем в римской системе счисления есть одна важная идея: вклад буквы в число зависит не только от самой буквы, но и от порядка следования этой буквы в записи числа. Так, например, буква I дает вклад +1 в числоVI и вклад -1 в число IV. Развитие этой идеи приводит к современным позиционным системам счисления. о с Различные системы счета и записи чисел тысячелетиямин сосуществовали и соревновались между собой, но к концу о «докомпьютерной» эпохи особую роль стало играть число в десять, а самой популярной системой кодирования чисел а н оказалась позиционная десятичная система. В этой и е системе значение цифры в числе зависит от её места(позиции) внутри числа. с Десятичная система пришла из Индии, где она появилась не и позднее VI века нашей эры. с т В десятичной системе е счисления десять цифр, м В десятичной системе счисления информацию несет не только цифра, но и место, на которомы она стоит. Особое место в десятичной системе счисления играет число 10 и его степени: 100, с Основание системы 1000, 10000 и т.д. Например число 1995 составляют: 5счисления единиц, 9 десятков 9 сотен ч Основание системы Основание счисления системы счисления и одна тысяча: и с л е Поскольку 1000=10^3, 100=10^2, 10=10^1, 1=10^0 (^ степень числа), можно написать еще и так н и я Из сказанного раньше видно, что любое десятичное число можно записать так: N=an*10^n+an-1*10^(n-1)+an-2*10^(n-2)+…+a1*10^1+a0*10^0 Выбор числа 10 в качестве основания системы счисления объясняется скорее традицией, а не какими- то замечательными свойствами числа 10. Можно рассмотретьи системы счисления с другим основанием р. Записать число в N в р-чной системе счисления - это значит записать его в виде: N=an*p^n+an-1*p^(n-1)+an-2*p^(n-2)+…+a1*p^1+a0*p^0 Где каждый из коэффициентов цифр ai может быть 0, 1, 2, 3, р-1, причем старшая цифра an ненулевая . Взяв основание равным 2, получаем систему всего с двумя цифрами 0 и 1 и простой таблицей умножения. 0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1 =1 К сожалению в такой системе счисления даже небольшие числа записываются слишком длинно. Например, число 199510=111110010112 (в этой записи внизу после числа указано основание системы счисления) Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система была придумана не инженерами-конструкторами электронных вычислительных машин, а математиками философами задолго до появления компьютеров,еще в XVII веке. Великий немецкий ученый Лейбниц считал: «Вычисление с помощью двоек …является для науки основным и рождает новые открытия…При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок». Позже двоичная система была забыта, и только в 1936-1938 годах американский математик и инженер Клод Шеннон нашел замечательные применения двоичной системы счисления при конструировании электронных схем. Разберемся в двоичной системе на примерах. Как узнать,чему равно девятизначное число N=1111101002 в десятичной записи? Составим таблицу из из первых девяти степеней двойки : 20,21,22,…28и поместим в нее цифры нашего двоичного числа Единицы в этой таблице показывают, какие степени двойки нужно сложить,чтобы получить число: