1) Как, в и

Презентация по материалам рабочей тетради
«Задача С2» авторов В.А. Смирнова
под редакцией И.В. Ященко, А.Л. Семенова
Геометрические
задачи «С2»
Тренировочная работа №6
Угол между
плоскостями
Повторение:
Двугранный угол, образованный полуплоскостями
измеряется величиной его линейного угла, получаемого при
пересечении двугранного угла плоскостью,
перпендикулярной его ребру.
S
А
N
F
В
М
X
Двугранный угол АВNМ, где ВN – ребро, точки А и М лежат в
гранях двугранного угла
Угол SFX – линейный угол двугранного угла
Повторение:
Алгоритм построения линейного угла.
D
Угол РОК – линейный угол
двугранного угла РDEК.
Р
О
К
E
Плоскость линейного угла (РОК)  DE.
Повторение:
Угол между пересекающимися плоскостями
можно вычислить:
1) Как угол между прямыми, лежащими в этих плоскостях и
перпендикулярными к линии их пересечения;
2) Как угол треугольника, если удается включить линейный
угол в некоторый треугольник;
3) Используя координатно –векторный метод;
4) Используя ключевые задачи;
Устно:
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – равнобедренный.
АС  ВМ
перпендикуляр
В
К

TTП
АС  NМ
А
M
N проекция
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК
Устно:
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – прямоугольный.

АС  NС
В
перпендикуляр
АС  ВС
TTП
А
С
К
N
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК
Устно:
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – тупоугольный.

АС  NS
В
перпендикуляр
АС  ВS
TTП
А
С
S
К
N
Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК
Устно:
Найдите тангенс угла между диагональю куба и
плоскостью одной из его граней.
D1
перпендикуляр
А1
А
С1
Подсказка
В1
М
D

В
перпендикуляр
С

А

Н
проекция
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей
эту прямую и не перпендикулярной к ней,
называется угол между прямой и ее проекцией на
Устно:
Дан куб. Найдите следующие двугранные углы:
АВВ1С; б) АDD1B; в) А1ВВ1К,
где К середина ребра А1Д1
D1
С1
K
А1
В1
D
А
С
В
Устно:
В кубе ABCДA1B1C1Д1 , Докажите, что плоскости
АВС1 и А1В1D перпендикулярны .
D1
А1
С1
В1
D
А
С
В
№1
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
тангенс угла между плоскостями АДД1 и
ВДС1 .
D1
С1 Задача окажется значительно
проще, если расположить куб
иначе!!!
1
А1
В1
1
1
D
А
С
1
В
№1
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
тангенс угла между плоскостями АДД1 и
ВДС1 .
1) Плоскость AДД1 параллельна
А1 плоскости ВСС1,  искомый угол
равен углом между плоскостями
ВСС1 и ВДС1 .
А
D
1
D1
ОС  ВС
ОД  ВС
В

  ДОС 
линейный угол

В1
2
2
С
ВСС1   ВДС1   ВС
1
О
1
С1
Ответ: 2
Критерии оценивания выполнения задания С2
баллы
Критерии оценивания
2
Правильный ход решения. Верно построен или
описан искомый угол. Получен верный ответ
1
1) Правильный ход решения. Получен верный
ответ, но имеется ошибка в построении и описании
искомого угла, не повлиявшая на ход решения
2) Правильный ход решения. Верно построен и
описан искомый угол, но имеется ошибка в одном
из
вычислений,
допущенная
из-за
невнимательности, в результате чего получен
неверный ответ
0
1) Ход решения правильный, но оно не доведено до
конца, или решение отсутствует. Нет ответа
2) Ход решения правильный, но имеются
существенные ошибки в вычислениях, приведшие
к неправильному ответу
3) Неправильный ход решения, приведший к
неверному ответу
4) Верный ответ получен случайно при неверном
№2
1
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 точки Е, F –
середины ребер соответственно А1В1 и А1Д1.
Найдите тангенс угла между плоскостями
АЕF и ВСС1 .
D1
С1 1) Плоскость AДД1 параллельна
плоскости ВСС1,  искомый угол
равен углом между плоскостями
АДД1 и АЕF .
F
Е
А1
М
В1
АДД 1   АЕF   AF 
1
D
А

  АМЕ 
линейный угол

ЕМ  AF
АМ  AF
С
Е
Подсказка:
1
2
1
В
А
М
1
5
Ответ: 5
2
В прямоугольном параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1,
у которого АВ = 6, ВС = 6, СС1 = 4, найдите тангенс
угла между плоскостями АСД1 и А1В1С1.
№3
D1
6
С1 1) Плоскость AВС параллельна
плоскости А1В1С1,  искомый
угол равен углом между
плоскостями АСД1 и А1В1С1 .
6
А1
В1
АВС  АД 1С  АС
4
Д1О  АС
ДО  АС
4
D
С
3 2
А

  ДОД 1 
 линейный угол

6
О
6
В
Ответ: 8
3
№4
Сторона основания правильной треугольной
призмы ABCA1B1C1 равна 2, а диагональ боковой
грани равна 5 . Найдите угол между
плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
С1
А1
(ДЕМО 2011)
самостоятельно
В1
5
С
А
М 2
2
В
Ответ: 300
№5
А1
В правильной треугольной призме
АВСА1В1С1 , все ребра которой равны 1,
найдите косинус угла между плоскостями
АСВ1 и ВА1С1.
С1

АСВ 1   АВ 1С  ДЕ
1
3
1

В1М  ДЕ
К
  КМВ1 
2
линейный угол
В1 МК  ДЕ

7
4
7
4
1
М
Д
Е
С
А
1
В
Ответ: 17 1
№6
В правильной четырехугольной пирамиде
SАВСД, все ребра которой равны 1. Найдите
косинус двугранного угла, образованного
гранями SВС и SCD.
S
Самостоятельно:
1
К
1
С
D
О
А
1
1
В
Ответ: –1
3
В правильной шестиугольной пирамиде
SАВСDЕF, стороны основания которой
равны 1, а боковые ребра равны 2,найдите
косинус угла между плоскостями SАF и SВС.
S
FSА   SВС  SK 
№7

  CМF 
 линейный угол

Подсказка:
CМ  SK
FМ  SK
2
2
С
М
Е
2
D
2
С
F
1
1
А
В
К
1
В
1
К
S
1
cosС   SK  6
4
Ответ: 0,2
В правильной шестиугольной призме A … F1,
все ребра которой равны 1, найдите
угол между плоскостями AВС и CА1Е1
№8
Е1
F1
D1
К
Самостоятельно:
С1
А1
В1
1
Е
F
D
С
М
А
1
В
1
2
Ответ: 3
Домашнее задание
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 точки Е, F – середины
ребер соответственно А1В1 и А1Д1. Найдите тангенс
угла между плоскостями АЕF и ВДД1.
Ответы :
2
4
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите тангенс
угла между плоскостями АВС и СВ1Д1 .
Ответы :
2
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 , все
ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между
плоскостями АВС и СА1В1.
2 3
Ответы :
3
В правильной шестиугольной призме
АВСДЕFА1В1С1Д1Е1F1, все ребра которой равны 1,
найдите угол между плоскостями АFF1 и ДЕЕ1 .
Ответы : 600
Литература
1. В.А. Смирнов ЕГЭ 2011. Математика.
Задача С2. Геометрия. Стереометрия. /
Под. редакцией А.Л. Семенова и И.В.
Ященко. – М.: МЦНМО, 2011.
2. http://le-savchen.ucoz.ru/