Магнитное поле проводников с токами B 

Магнитное поле проводников
с токами
ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА
ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО - ГАУССА

B
Вихревой характер магнитного поля.
 Магнитное поле так же как и электрическое можно
изображать графически при помощи линий индукции
– это линии, касательные
к которым направлены так

же, как и вектор B в данной точке поля. Подобно
линиям напряженности электрического поля, линии
магнитного поля проводят с такой густотой, чтобы
число линий, пересекающих единицу поверхности,
перпендикулярной к ним было пропорционально
индукции магнитного поля в данном месте. Линии
индукции магнитного поля замкнуты. Поля,
обладающие такими линиями, называются вихревыми.

Теорема о циркуляции вектора B
 Циркуляция вектора

B
по произвольному
 0 на
контуру  равна произведению
алгебраическую сумму токов, охватываемых
контуром  :
 Bdl

I   Iê
 0 I
- алгебраическая сумма токов. Ток
считается положительным, если его направление
связано с направлением обхода по контуру правилом
правого винта.
Правило токов
Циркуляция вектора магнитной
индукции
Проще всего вычислить этот интеграл в случае прямого
тока
Bdl  BdlB ,
( dl B - проекция вектора dl на направление вектора B.
dlB  R  d

dl

B
d

Bdl   B  Rd  

 4
0

2I
R
 Rd  

0
2
I  d
При обходе по контуру радиальная прямая все время
поворачивается в одном направлении, поэтому  d  2.
 Bdl
 0 I
 Если контур не охватывает ток, то радиальная прямая
поворачивается сначала в одном направлении, а потом
в противоположном.
Поэтому
d  0.



dl
B
Магнитное поле кругового тока
Выберем контур Г , проходящим через
произвольную точку внутри проводника и
совпадающим с силовой линией, тогда
r



 




r
0

B  2 r  0
I
B
2a B
B  2 r  0   Ia2  2 rdr
B
0 I
2 a2
I
a2
 r2
 r , r  a.
 Найдем модуль вектора магнитной индукции вне
проводника, выбрав контур по тем же правилам,
проходящим через произвольную точку вне
проводника







r




S
B  2r  0 I
I
B
2a B
 Bdl  0  j , dS
0 I
B
, r  a.
2r
Магнитное поле соленоида.
Пусть на единицу длины соленоида приходится n
винтов проводника. Если шаг соленоида мал, то
каждый виток соленоида можно приближенно
заменить замкнутым витком.
 Bdl
 0 I
B  l  0  n  l  I  B  0  n  I
учтено, что вне соленоида B=0 – для бесконечно
длинного соленоида.
Магнитное поле тороида
 Bdl  0  I
B 2r   0  N  I
B
 0 NI
2 r
N – число витков в тороидальной катушке
Теорема о циркуляции в
дифференциальной форме.
 Введем среднюю плотность тока, тогда
 Bdl  0  jn  S
Bdl

lim
 0 lim 
V 0
S
rotB  0 j

Bdl

lim
V 0
jn 
, B    j
0


ведет себя как проекция некоторого
вектора , который получил название ротора.
V 0
S
Теорема Остроградского-Гаусса
 Поток вектора магнитной индукции через
произвольную замкнутую поверхность всегда равен
нулю
 
 BdS  0
S
 Эта теорема выражает тот экспериментальный факт,
что магнитные линии не имеют ни начала, ни конца. В
природе отсутствуют магнитные заряды на которых
 бы
начинались и заканчивались линии вектора B
.
Теорема Остроградского-Гаусса
 В дифференциальной форме теорема имеет вид



, B  0
 Магнитное поле порождают не магнитные заряды, а
электрические токи.