Лекция № 6 Дисперсия 22/03/2013 

Лекция № 6
Дисперсия
Алексей Викторович
Гуденко

22/03/2013
План лекции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Дисперсия. Фазовая и групповая скорости.
Дисперсия плазмы. Радиоволны в ионосфере.
Поляризованный и естественный свет.
Закон Малюса.
Поляризация при отражении и преломлении
света на границе двух диэлектриков. Закон
Брюстера.
Кристаллооптика
демонстрации
поляризация света
Дисперсия волн

Фазовая скорость v = λ/T = ω/k
Дисперсия – зависимость
фазовой от частоты:
v = v(ω) – закон дисперсии
v = v(λ); n = n(ω); ω = ω(k);
ε = ε(p)
Волны на воде

Закон дисперсии
v = (kσ/ρ + g/k)1/2 = (2πσ/λρ + λg/2π)1/2
vmin ≈ 23 см/с при λ0 = (4π2σ/ρg)1/2 = 1,7 см
(σ = 72 дин/см – поверхностное натяжение воды)



Капиллярные волны λ << λ0
v = (2πσ/λρ)1/2
Гравитационные волны λ >> λ0
v = (λg/2π)1/2
v{λ = 100 м} = 12,6 м/с
Закон дисперсии поверхностных
волн
Групповая скорость – скорость переноса
энергии



импульс – суперпозиция волн
с разными амплитудами,
частотами и фазами.
Импульс переносит энергию
Скорость переноса энергии –
групповая скорость, скорость
импульса
Групповая скорость U = dω/dk


E1 = Acos(ωt – kz); E2 = Acos((ω + dω)t – (k + dk)z);
E = E1 + E2 = 2A cos ½(tdω – zdk)cos(ωt – kz);
A0 = |2A cos ½(tdω – zdk)| - амплитуда волны
A0max: ½(tdω – zdk) = 0 → zmax = (dω/dk)t → скорость
импульса (групповая скорость)
U = dω/dk
Формула Рэлея: u = v – λdv/dλ


U = dω/dk = d(vk)/dk = v + kdv/dk = v – λdv/dλ
u = v – λdv/dλ – формула Рэлея
dv/dλ = 0 u = v – нет дисперсии (звук)
dv/dλ > 0 – нормальная дисперсия
dv/dλ < 0 – аномальная дисперсия
Групповая скорость волн на воде,
классической и релятивистской частицы




Капиллярные волны: v = (2πσ/ρλ)1/2
u = v – λdv/dλ = v + ½ v = 1,5 v
Гравитационные волны: v = (gλ/2π)
u = v – λdv/dλ = v – ½ v = ½ v
Классическая частица: ε = ε0 + p2/2m
u = = p/m – просто скорость частицы
Релятивистская частица ε = (ε02 + p2с2)1/2
ε2 = ε02 + p2с2 → εdε = с2pdp →
u = pc2/ε = pc2/(ε02 + p2с2)1/2 < c
Дисперсия плазмы



mx” = - αx + eE0 cosωt →
x” + ω02x = (eE0/m)cosωt; x = Acosωt →
A = eE/m (ω2 - ω02)
дипольный момент единицы объёма:
p = -e2NE/m(ω2 - ω02)
поляризуемость β = - e2N/m(ω2 - ω02)
диэлектрическая проницаемость
ε = 1 + 4πβ = 1 - 4πe2N/m(ω2 - ω02) = 1 - ωpl2/(ω2 - ω02)
ωpl = (4πe2N/m)1/2 – плазменная частота
Показатель преломления n = ε1/2 = [1 – ωpl2/(ω2 - ω02)]1/2
В плазме ω0 = 0 → n = (1 – ωpl2 /ω2)1/2
Показатель преломления плазмы
n = (1 – ωpl2/ω2)1/2



В плазме могут распространяться волны с
частотой ω > ωpl. n < 1 – плазма оптически
менее плотная, чем вакуум !
Если ω < ωpl – n = iæ комплексная амплитуда:
E = Aeiknz = Ae-kæzcosωt – затухающая стоячая
волна
Групповая скорость.
закон дисперсии v = c/n → ω2 = ωpl2 + c2k2 →
ωdω = c2kdk → uv = c2 → u = cn = c(1 – ωpl2 /ω2)1/2
Пульсар CP 1919+21
= 80 МГц; f2 = 2000 МГц; Δt = 7 c;
N = 0,05 см-3
расстояние до Пульсара
L = 2πmecΔt/Ne2 f12f22/(f22 – f12) ≈
2πmecΔt/Ne2 f12 ≈ 700 св. лет
rкл = e2/mc2 = 2,8 10-13 см.
 f1

ионосфера


Если ω = ωpl то полное внутреннее отражение
происходит при нормальном падении → в плазме могут
распространяться волны только с частотой ω > ωpl.
Для ионосферы Земли концентрация N ~ 3 106 см-3;
частота fpl = ωpl/2π = (Ne2/mπ)1/2 ≈ 1,5 107 Гц;
λ = с/f = 20 м → волны с большей длиной волны
отражаются. Дальняя космическая связь возможна на
радиоволнах с λ < 20 м.
Красивая формула для подсчёта критической λ:
λ = с/(Ne2/mπ)1/2 = (mc2π/Ne2) = (π/rклN)1/2 ≈ 2 м,
где rкл = e2/mc2 = 2,8 10-13 см – классический радиус электрона.
Радиоволны в ионосфере