ЛЕКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Содержание
 1. Уравнение электромагнитной волны
 2. Плоская электромагнитная волна
 3. Свойства электромагнитных волн
 4. Энергия электромагнитных волн. Вектор
Умова-Пойтинга
 5. Излучение диполя
УРАВНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ
ВОЛНЫ
И з ур а в н е н и й М а кс ве л л а с ле д ует в ы вод о
с ущ ес тво ва н и и н о во го фи з и ч ес ко го я вле н и я
- эле к тр ома г н и тн о е п оле может с ущ ес тво ва ть
с а мос тоя те л ь н о – б е з эле к тр и ч ес к и х за ря д о в
и то ко в . П р и этом и зм е н е н и е е го с ос тоя н и я
и м е ет вол н о во й х а р а к те р . П ол я та ко го р од а
н а з ы ва ютс я эле к тр ома г н и тн ы м и вол н а м и .
 Рассмотрим однородную
нейтральную

непроводящую среду  j  0  с постоянными
 и  . Запишем уравнения Максвелла и
дополним их материальными
условиями.



B
 D  0
  
t


 D
 B  0
 H 
t




D  0 E
B   0 H
 0
Произведем подстановку материальных
условий в уравнения


H
  E  0 
t


E
  H   0
t

 E  0

 H  0
Возьмем ротор от обеих частей уравнений



    E     0    H 
t 
Раскроем ротор ротора

и используем   E  0
E 
  2 E
c2


    E  E   E
,
получим
2 E
E   0  0 2
t
1
, èñï î ëüçî âàëè  0  0  2
2
t
c




2
2
2
 E  E  E   E
 2  2  2 2
2
x
y
z
c t
2
(1)
Аналогичная процедура для второго уравнения
приводит к результату




2
2
2
2
 H  H  H   H
 2  2  2
(2)
2
x
y
z
c t 2
Учтем, что
(3)
c
V

Уравнения (1) и (2)
представляют собой
типичные волновые уравнения. Функция,
удовлетворяющая такому уравнению, описывает волну,
распространяющую с фазовой скоростью (3) .
ПЛОСКАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА
Волновое уравнение плоской электромагнитной волны,
распространяющейся вдоль оси
х
имеет вид:
 2 E y   2 E y
 2 2
2
x
c
t
 2 H z   2 H z
 2
2
x
c
t 2
Простейшим решением этих уравнений являются
функции
E  E cost kx 
y m 
1
 
H  H cost kx 
z
m 
2
1
2
 Уравнение электромагнитной волны в векторной
форме
 
E  E cost kx 
m


H  H cost kx
m
1   2  0
причем
Em  0  H m  0
СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

скорость распространения волн в непроводящей
нейтральной неферромагнитной среде
;
c 1
V c



 00
  
векторы E , H , V - взаимно перпендикулярны и
образуют правовинтовую систему;


в электромагнитной волне векторы E и H всегда
колеблются в одинаковых фазах, причем между


мгновенными значениями E и H в любой точке
существует связь
 0 E   0 H
Мгновенный снимок электромагнитной волны,
распространяющейся вдоль оси Х
Мгновенный снимок электромагнитной волны,
распространяющейся вдоль оси Z
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН. Вектор
Умова- Пойтинга
Электромагнитные волны переносят энергию. Плотность
потока энергии можно получить, если умножить
плотность энергии на скорость распространения волны.
Плотность энергии электромагнитной волны
 0 E 2  0 H 2
w
2
Т.к.  0 E   0 H
, то
что можно записать в виде
2
2

2
w  2 wE , 0 E 2
w  0  0 EH 
1
EH
V
Умножив w  V , получим для плотности потока энергии
S  EH
 

Т.к. E , H и V
образуют правовинтовую систему,
 
то вектор
совпадает с направлением
E, H
распространения волны и равен по модулю



EH
Следовательно, вектор плотности потока энергии

S

  
S  E, H

Вектор
называется вектором Пойтинга.
Поток электромагнитной энергии через произвольную
 
поверхность F можно найти как
   SdF
F
ИЗЛУЧЕНИЕ ДИПОЛЯ
Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны,
является колеблющийся электромагнитный диполь. Примером
такого диполя может служить система из неподвижного заряда  q
и колеблющегося около него точечного заряда  q , либо
неподвижный диполь, заряд которого изменяется по
гармоническому закону. Дипольный электрический момент такой
системы изменяется со временем по закону

r




p  qr  q  l  e cos t  p0 cos t
- радиус – вектор заряда q ,
l - амплитуда колебаний,

e - единичный вектор, направленный вдоль оси диполя


p0  q  l  e
Рассмотрим излучение диполя, размеры которого малы
по сравнению с  l   . Такой диполь называется
точечным. В непосредственной близости от диполя
картина электромагнитного поля очень сложная. Она
сильно упрощается в так называемой волновой зоне
диполя, которая начинается на расстояниях r   .
Если волна распространяется в однородной
изотропной среде, то волновой
фронт будет

сферическим . Вектор E в каждой точке волновой
зоны направлен по касательной к меридиану, а вектор

 к лучу
H - по касательной к параллели,оба они

 . В каждой точке векторы E и H колеблются по
r
закону cost  kr ,
а амплитуды Em и H m зависят

от r и от угла между r и
осью диполя. Для вакуума
эта зависимость имеет вид
1
Em ~ H m ~ sin 
r
S
Среднее значение потока энергии
пропорционально Em  H m
, следовательно
1
 S ~ 2 sin 2 
r
Из этой формулы вытекает, что интенсивность волны
изменяется вдоль луча по закону
,
ïðè   const  ~ 1
r2
кроме того, она зависит от угла 
. Сильнее всего
излучает диполь
  в направлениях, перпендикулярных

его оси   2  .



ДИАГРАММА НАПРАВЛЕННОСТИ ИЗЛУЧЕНИЯ
ДИПОЛЯ
В направлениях, совпадающих с осью   0,   ,
диполь не излучает. Зависимость интенсивности

излучения от угла 
очень наглядно изображается с
помощью диаграммы направленности излучения диполя.
Эта диаграмма строится так, чтобы длина отрезка,
отсекаемого ею на луче, проведенном из центра диполя,
давала интенсивность излучения под углом .
ИЗЛУЧЕНИЕ ДИПОЛЯ
Соответствующий расчет дает, что мощность
P
излучения диполя
пропорциональна
квадрату второй производной дипольного момента
по времени
..
2
P
~
p
..2
2 4
p  p0  cos 2 t
2
P ~ p0  4 cos 2 t
Усреднив по времени, получим
 P ~ p0  4
2
Если рассмотреть колеблющийся диполь, то можно
получить еще и другое выражение для P


..
..

p  qr  p  q r  qw
Тогда
P ~ q 2 w2
Таким образом, всякий заряд,
движущийся с ускорением, возбуждает
электромагнитные волны, причем мощность
излучения пропорциональна квадрату заряда и
квадрату ускорения. Заряд, совершающий
гармонические колебания, излучает
монохроматическую волну с частотой, равной
частоте колебаний заряда.
Интенсивность обращается в 0, если w  0 ,
следовательно электрон, движущийся с постоянной
скоростью, не излучает электромагнитных волн.
Это, однако, справедливо лишь в том случае, если в той
среде, в которой движется электрон
Výë.  Vñâåòà
Výë.  Vñâåòà
При
наблюдается излучение
Вавилова - Черенкова (1934г.)